专题9计数原理与概率统计(解析版)

专题9计数原理与概率统计

1．已知(

)*

n a n n N

=∈，设多项式()543

11

5

30

n n n n f a xa a n ya =++-

，满足()11f =，()217f =. （1）求x ，y 的值；

（2）试探究对于一切正整数n ，()f n 是否一定是整数？并证明你的结论；

（3）求证：当2n ≥时，2

2

2

4n n a a n n a a +-+≤.

【答案】（1）12

x =

，1

3y =；（2）()f n 是整数，证明见解析；（3）证明见解析

【解析】（1）由()11f =，得5

6

x y +=， 由()217f =，得4

23

x y +=

， 联立得12

x =

，13y =.

（2）由（1）得()5431111

52330

f n n n n n =

++-， 由()10f -=，()11f =，()217f =…， 猜想：对于一切正整数n ，()f n 是整数， 用数学归纳法证明：对一切正整数n ，()f n 是整数. ①当1n =时，()11f =，结论成立.

②假设当(

)*

n k k N

=∈时，结论成立，

即()5431111

52330

f k k k k k =

++-是整数，

则当1n k =+时，()()()()()543

11111111523130

f k k k k k =

++-+++++ 051423324504132234

5555554444452C k C k C k C k C k C C k C k C k C k C +++++++++=+

()031223

333311330

C k C k C k C k ++++-+

()4324641f k k k k k =+++++.

根据假设()f k 是整数，而4324641k k k k ++++显然是整数. ∴()1f k +是整数，从而当1n k =+时，结论也成立. 由①、②可知对对一切正整数n ，()f n 是整数.

（3）当2n ≥时，欲证222

4n

n a a n

n a

a

+-+≤，只需证明214n

n ??+≥ ???

， 因为1

2

01222221n n

n n n n n C C C C n n n n ????????+=+++

+ ? ? ? ???????

??

()214

1242n n n

-≥++

?≥， 所以对任意正整数()2n n ≥，都有2

2

2

4n n a

a

n n a a +-+≤成立.

2．某工厂生产了一批高精尖的仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家检测仪器的可靠性，毎台仪器被毎位专家评议为“可靠”的概率均为(01)p p <<，且每台仪器是否可靠相互独立．

（1）当4

5

p =

，现抽取4台仪器，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为X ，求X 的分布列和数学期望；

（2）为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪

器可靠，则仪器通过检测．若三位专家检测结果都为不可靠，则仪器报废．其余情况，仪器需要回厂返修．拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费．现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算3.3万元用于检测和维修，问费用是否有可能会超过预算？并说明理由． 【答案】（1）分布列详见解析，数学期望16

()5

E X =

；（2）不会超过预算，理由详见解析． 【解析】（1）题意知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4， 且X 服从参数为4

4,5

n p ==

的二项分布， 所以()()4444C 10,1,2,3,455k

k

k P X k k -????==-= ? ???

??

()4

41015625

P X ??==-=

???， ()1

3

14

44161C 155625P X ??

??==-= ?

?

??

??， ()2

2

2444962C 155625

P X ??

??==-= ?

?

??

??， ()3

1

34

442563C 155625

P X ??

??==-= ?

???

??， ()4

425645625

P X ??===

???．

故 X 的分布列为 ：

从而()165

E X =

． （2）设每台仪器所需费为X 元，则X 的可能取值为100，400．

()()331001P X p p ==+-，()()3

340011P X p p ==---．

所以()E X =()][()3333

100140011p p p p ??+-+---??

，

化简得()()33

4003001E X p p ??=-+-??

，

令()()33

4003001f p p p ??=-+-??

，()0,1p ∈

()()()22300331300630f p p p p '??=---=--=??，解得1

2

p =，

当102p <<，()0f p '>，()f p 在10,2?? ???单调递增， 当

112p <<，()0f p '<，()f p 在112??

???

，单调递减， 所以当1

2

p =

时，()f p 的最大值为13252f ??

= ???

． 实施此方案，最高费用为10032532500?=元<33000元，不会超过预算．

3．设集合n T ＝{1，2，3，…，n }(其中n ≥3，n N *∈)，将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S .

（1）求3S ，4S ，5S 的值；

（2）试求n S 的表达式.

【答案】（1）31S =；45S =；515S =（2）4

1n n S C +=

【解析】（1）3{1,2,3}T =，其所有三元子集为{1,2,3}，故31S =；

4{1,2,3,4}T =，其所有三元子集为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，故45S =；

5{1,2,3,4,5}T =，，其所有三元子集为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{2,3,4}，

{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，故515S =；

（2）{1,2,3,

,}n T n =的所有三元子集中：

最小元素为1的三元子集个数为2

1n C -

最小元素为2的三元子集个数为2

2n C -

最小元素为3的三元子集个数为2

3n C - ……

最小元素为n ﹣2的三元子集个数为2

2C

222222

234321(2)(3)(4)32n n n n S n C n C n C C C C ---=-+-+-++++

2322

222

2334321(3)()(4)32n n n C n C C n C C C C ---=+-++-++++

232

222

244321(3)(4)32n n n C n C n C C C C ---=+-+-++++

2332

222

2444321(4)()32n n n C C n C C C C C ---=++-+++++

233

222

245321(4)32n n n C C n C C C C ---=++-++++

……

433

3

445n C C C C =+++

+

43

3

55n C C C =+++

4

1n C +=.

4．设n 为给定的大于2的正整数，集合{}1,2,,S n =???，已知数列n A ：1x ，2x ，…，n x 满足条件：

①当1i n ≤≤时，i x S

∈；

②当1i j n ≤<≤时，i j x x ≠.

如果对于1i j n ≤<≤，有i j x x >，则称()

,i j x x 为数列n A 的一个逆序对.记数列n A 的所有逆序对的个数为

()n T A .

（1）若()41T A =，写出所有可能的数列4A ； （2）若()2n T A =，求数列n A 的个数；

（3）对于满足条件的一切数列n A ，求所有()n T A 的算术平均值.

【答案】（1）不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4；（2）()()2

1212

n n n --；（3）

()14n n -. 【解析】（1）因为()41T A =， 故1234,,,x x x x 只有一个逆序对， 则不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4.

（2）因为()42T A =，故数列n A ：1x ，2x ，…，n x 有两种情况： ①2对逆序数由3个元素提供，即

121212,,,i i i i i i i n x x x x x x x x x x ++++<<<>><<<，

这样的n A 共有()()

3

126

n n n n C --=

个.

②2对逆序数由4个元素提供，即

121212i i i j j j n x x x x x x x x x ++++<<<><<<><<<.

这样的n A 共有()()()

4

123212

n n n n n C ---=

.

综上，满足()2n T A =的数列n A 的个数为()()2

1212

n n n --.

（3）对任意的n A ：1x ，2x ，…，n x ，其逆序对的个数为()n T A ，

我们引进一个定义：1i j n ≤<≤，有i j x x <，则称()

,i j x x 为数列n A 的一个顺序对，

则n A 中的顺序对个数为

()

()12

n n n T A --. 考虑n A ：1x ，2x ，…，n x 与n B ：n x ，1n x -，…，1x ，

n A 中的逆序对的个数为n B 中顺序对的个数，n A 中顺序对的个数为n B 中逆序对个数，

把所有的n A 按如上形式两两分类，则可得所有的n A 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，而它们的和为

()1!2n n n -?，故逆序对的个数为()

1!4

n n n -?，

所以所有()n T A 的算术平均值为

()14

n n -.

5．甲?乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.

（1）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率； （2）设第n 次由甲投掷的概率为n p ，求n p .

【答案】（1）11831728.（2）1

111

262

n n p -??

=?+ ?

??

【解析】由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有

()()()()()()()()1,6,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,3,4,4

()()()()()()()()4,5,4,6,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1()()()()()6,2,6,3,6,4,6,5,6,6

共21种.

则点数之和大于6的概率为

712，小于等于6的概率为512

. （1）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：

①第一?第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6， 其概率为77

11212

?

=， ②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6， 其概率为55717511212121728

?

??=， 甲为“幸运儿”的概率为

717511831217281728

+=； （2）第1n +次由甲投掷这一事件，包含两类： ①第n 次由甲投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为

21

36

n p ， ②第n 次由乙投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为()211136n p ??--

???

，

从而有()121211

51136366

12n n n n p p p p +??=

+--=+ ???， 1111262n n p p +??∴-

=- ???

1111111210,122262

n n p p p +-

-=-=≠∴

=- ∴数列12n p ?

?-???

?是以12为首项，16为公比的等比数列

1

111226n n p -??

∴-=? ?

??

，

1

111262

n n p -??

∴=?+ ?

??

. 6．（某工厂生产零件A ，工人甲生产一件零件A ，是一等品、二等品、三等品的概率分别为111

,,424

，工人乙生产一件零件A ，是一等品、二等品、三等品的概率分别为111

,,333

．己知生产一件一等品、二等品、三

等品零件A 给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.

（1）试根据生产一件零件A 给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏；

（2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件A ，如果一方生产的零件A 品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A 品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜．P i +4（i =-4，-3，-2，…，4）表示甲总分为i 时，最终甲获胜的概率． ①写出P 0，P 8的值； ②求决赛甲获胜的概率．

【答案】（1）乙的技术更好，见解析（2）①00P =，81P =；②

1

2

【解析】（1）记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为X 元、Y 元， 随机变量X ，Y 的分布列分别为

所以10524242EX =

?+?+?=，111710523333

EY =?+?+?=， 所以EX EY <，即乙的技术更好

（2）①0P 表示的是甲得4-分时，甲最终获胜的概率，所以00P =，

8P 表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以81P =；

②设每轮比赛甲得分为X ，则

每轮比赛甲得1分的概率111111

(1)433233

P X ??==

?++?= ???， 甲得0分的概率1111111(0)4323433P X ==

?+?+?=， 甲得1-分的概率111111(1)234333

P X ??=-=

?+?+= ???， 所以甲得(3,2,3)i i =--???时，最终获胜有以下三种情况：

（1）下一轮得1分并最终获胜，概率为411

3

i P ++；

（2）下一轮得0分并最终获胜，概率为

41

3i P +； （3）下一轮得1-分并最终获胜，概率为4113

i P +-；

所以1111111

2,(2,3,4,5,6,7)333

n n n n n n n P P P P P P P n -+-+=

++?=+=， 所以{}n P 是等差数列，

则0841

22

P P P +=

=， 即决赛甲获胜的概率是

1

2

.