2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期) 专题39 开放性问题(含解析)

开放性问题

一.选择题

1. （2019•广东省广州市•3分）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α

（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为15°或45°．

【分析】分情况讨论：①DE⊥BC；②AD⊥BC．

【解答】解：分情况讨论：

①当DE⊥BC时，∠BAD＝75°，∴α＝90°﹣∠BAD＝15°；

②当AD⊥BC时，∠BAD＝45°，即α＝45°．

故答案为：15°或45°

【点评】本题主要考查了垂直的定义，旋转的定义以及一副三角板的各个角的度数，理清定义是解答本题的关键．

2. （2019•甘肃省庆阳市•4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为

这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝或．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解

【解答】解：

①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°

∴特征值k＝＝

②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°

∴特征值k＝＝

综上所述，特征值k为或

故答案为或

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注

意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．

二.填空题

1.

三.解答题

1. 1. （2019•江西•9分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下研究：

如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图

活动一

如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时铅笔AB的中点C与点O重合。

数学思考;

(1)设CD=xcm,点B到OF的距离GB=ycm ;

①用含x的代数式表示：AD的长是cm ，BD的是

cm

②y与x的函数关系式是自变量x的取值范围是

活动二

③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象

数学思考

请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质

【考点】此题主要考察相似三角形的判定及性质，难度不大．需要注意的是自变量的取值范围，要考虑端点值。最后一问开放题，说明函数图像的性质，可以从图象位置，增减性，最值等几个角度入手，考察同学们的发散思维能力．

【解析】（1）∵AB=12且C为AB中点

∴AC=BC=6

∵CD=x

∴AD=AC+CD=6+x

BD=BC-CD=6-x

②：∵BG⊥OF

∴BG∥AE

∴△BGD△AOD

则有

错误！不能通过编辑域代码创建对象。

依题意得：AO=AC=6

代入得：

错误！不能通过编辑域代码创建对象。

，此时自变量x的取值范围是06．∴

错误！不能通过编辑域代码创建对象。

（2

②如图所示。（3，2）和（0，6）③如图所示。

（3）性质可从三个角度入手，从图象位置，增减性，最值三个角度入手

从位置角度：当06时，图象在象限内的图象在第一象限

当06时，图象与坐标轴有两个交点

从增减性角度：当06时，y随x增大而减小

从最值角度理解：当x=6时，y取到最小值为0

2. （2019•浙江杭州•4分）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，

函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式y＝﹣x+1．

【分析】根据题意写出一个一次函数即可．

【解答】解：设该函数的解析式为y＝kx+b，

∵函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，

∴

解得：，

所以函数的解析式为y＝﹣x+1，

故答案为：y＝﹣x+1．

【点评】本题考查了各种函数的性质，题目中x、y均可以取0，故不能是反比例函数．3. （2019•贵州省安顺市•14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，

B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；

（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接P A，过点P作PQ⊥P A交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：

，解得：，

∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；

（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，

∵A（0，3），∴B（﹣4，1）

①当点B、C、M三点不共线时，

|MB﹣MC|＜BC

②当点B、C、M三点共线时，

|MB﹣MC|＝BC

∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，

过点B作x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝＝，∴|MB﹣MC|取最大值为；

（3）存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．

设点P坐标为（x，x2+x+3）（x＞0）