福建省正曦中学2017-2018学年高三上学期开学第一考数学(理)试题 Word版含答案
福建师大附中2017-2018学年高三上学期数学(理)第十二周周练试题 Word版含答案
2017-2018学年12周练数学（理科）试题卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：（每小题5分, 共40分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1．“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（ ▲ ）A ．不存在0x ∈R, 02x>0B ．存在0x ∈R, 02x ≥0C ．对任意的x ∈R, 2x≤0D ．对任意的x ∈R, 2x>02．给定下列四个：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真的是A ． ①和②B ． ②和③C ． ③和④D ． ②和④3．为得到函数()cos f x x x =，只需将函数y x x = （ ▲ ） A ． 向左平移512π B ．向右平移512π C ．向左平移712π D ．向右平移712π4．已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O ∉直线l ，实数x 满足关系式220x OA xOB OC ++=，有下列结论中正确的个数有 （ ▲ ）① 20OB OC OA -⋅≥； ② 20OB OC OA -⋅<；③ x 的值有且只有一个； ④x 的值有两个；⑤ 点B 是线段AC 的中点．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知映射():(,)0,0f P m n P m n '→≥≥．设点()3,1A ，()2,2B ，点M 是线段AB 上一动点，:f M M '→．当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点M '所经过的路线长度为 （ ▲ ）A ．12π B ．6π C ． 4π D ． 3π 6．如图，已知椭圆C 1：112x +y 2=1，双曲线C 2：22ax —22b y =1（a >0，b >0），若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A 、B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为 （ ▲ ）A ．5B ．5C ．17D ．7142 7．半径为R 的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r 的可能最大值为（ ▲ ）．AR B R C D8．某学生对一些对数进行运算，如下图表格所示：现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是 （ ▲ ） A ．(3),(8) B ．()4,(11) C ．()1,(3) D ．(1),(4)非选择题部分（共110分）二、填空题本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．9．设全集U R =，集合2{|340}A x x x =--<，2{|log (1)2}B x x =-<，则AB = ▲ ，A B = ▲ ，RC A = ▲ ．10．若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体的体积为__▲ ， 外接球的表面积为__▲ ．11．若{}m ax ,a b 表示,a b 两数中的最大值，若{}2()max ,xx f x e e-=，则()f x 的最小值为▲ ，若{}()max ,x x tf x e e-=关于2015x =对称，则t = ▲ ．12．，若n A 表示集合n A 中元素的个数，则5A =__▲ ，则12310...A A A A ++++=__▲ ．13．直角ABC ∆的三个顶点都在给定的抛物线22y x =上，且斜边AB 和y 轴平行， 则RT ABC ∆斜边上的高的长度为 ▲ ．14．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形 （实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若 干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A走过的路径的长度为 ▲．15．已知动点(,)P x y 满足220(1x y x x y ⎧+≤⎪⎪≥⎨⎪++≥⎪⎩，则222x y y ++的最小值为▲ ．三、解答题：（本大题共5小题, 共74分。
福建省三明市第一中学2017-2018学年高三(平行班)上学期第二次月考文数试题 Word版含解析
2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.若02sin >α,则（ ）A. 0cos >αB.0tan >αC.0sin >αD.02cos >α 【答案】B .考点：１、倍角公式；2、三角不等式.2.设集合{}{}22430,log 1,M x x x N x x M N =-+≤=≤⋃=则（ ）A. []1,2B. [)1,2C. []0,3D. (]0,3【答案】D . 【解析】试题分析：对于集合2{430}{13}M x x x x x =-+≤=≤≤，对于集合2{log 0}{01}N x x x x =≤=<≤，所以{03}M N x x ⋃=<≤，故应选D .考点：1、集合间的基本运算；2、一元二次不等式的解法；3、对数不等式的解法. 3.已知直线l 过点(1,2)且与直线0132=+-y x 垂直，则l 的方程是（ ）A. 0123=-+y xB. 0723=-+y xC ．053-2=+y xD ．083-2=+y x【答案】B . 【解析】试题分析：因为直线0132=+-y x 的斜率为23k =，所以直线l 的斜率为32-，又因为直线l 过点(1,2)，所以由点斜式可得直线l 的方程为：32(1)2y x -=--，即0723=-+y x ，故应选B .考点：1、直线的方程.4.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的侧视图可以为（ ）A. B. C ． D ． 【答案】B .考点：1、三视图.5.函数)1lg()(2+=x x f 的图象大致是( )【答案】A .考点：1、函数的图像；2、函数的基本性质.6.设1F 、2F 分别是椭圆12222=+by a x 的左、右焦点，若椭圆上存在点A ，使02190=∠AF F ，且213AF AF =，则椭圆离心率为（ ）A.45B ．410C ．415 D ． 5【答案】B . 【解析】试题分析：设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，由椭圆的定义可知：122AF AF a +=，所以222121224AF AF AF AF a ++=，所以123,22a aAF AF ==. 若椭圆上存在点A ，使02190=∠AF F ，所以222124AF AF c +=，所以2285c a =，所以e =，故应选B .考点：1、椭圆的标准方程；2、椭圆的定义；3、椭圆的简单几何性质.7.平面向量a 与b 的夹角为︒60，)4,3(=a，1=b ，则b a 2-=（ ）A. 19B. 62C. 34D.39【答案】A .【解析】 试题分析：因为222220124444cos 602541451192a b a b a b a b a b -=+-⋅=+-⋅=+⨯-⨯⨯⨯=r r r r r r r r r r ，所以2a b -=r rA .考点：1、平面向量的数量积的运算.8.已知函数x x x x f sin )cos (sin )(+=,则下列说法正确的为（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．()f xC ．()f x 的图象关于直线8x π=-对称D ．将()f x 的图象向右平移8π,再向下平移12个单位长度后会得到一个奇函数的图象 【答案】C .考点：1、三角函数的恒等变换；2、三角函数的图像及其性质；3、三角函数的图像变换. 9.已知双曲线的一个焦点与抛物线y x 242=的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为 60，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．127922=-y x B ．127922=-x y C ．192722=-x yD ．192722=-y x【答案】C . 【解析】试题分析：因为抛物线线y x 242=的焦点坐标为(0,6)，所以所求双曲线的一个焦点坐标为(0,6)，即焦点在y 轴上，且6c =，所以排除,A D ；于是设所求的双曲线的方程为22221y x a b-=，则其渐近线方程为a y x b =±，而其一条渐近线的倾斜角为 60，所以0tan 60a b=，即a =，又因为222c a b =+，所以2227,9a b ==，所以所求的双曲线的方程为192722=-x y ，故应选C . 考点：1抛物线的定义；2、双曲线的定义；3、双曲线的简单几何性质.10.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥730ay x x y x ，若目标函数y x z +=的最大值为14，则a 值为（ ）A ．1B ．21或31C ．21D ．31 【答案】C.考点：1、简单的线性规划问题.11.奇函数)(x f 的定义域为R .若)2(+x f 为偶函数，且1)1(=f ，则=+)8()5(f f （ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．1【答案】B . 【解析】试题分析：因为)2(+x f 为偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称，所以(2)(2)f x f x +=-，于是，令1x =，则(3)(1)1f f ==；令3x =，则(5)(1)(1)1f f f =-=-=-；令6x =，则(8)(4)(4)(0)0f f f f =-=-=-=，所以(5)(8)1f f +=-，故应选B .考点：1、函数的奇偶性；2、函数的对称性.【思路点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的对称性，属中档题.其解题的一般思路为：首先由)2(+x f 为偶函数可得出，()f x 关于直线2x =对称，即可得出(2)(2)f x f x +=-，然后运用赋值法分别令1,3,6x x x ===可分别求出(5),(8)f f 值，进而得出所求的值.其解题的关键是灵活运用赋值法求出(5),(8)f f 的值.12.数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{}n a 的前44项和为（ ） A ．990 B ．870 C ．640 D ．615 【答案】A .考点：1、由数列的递推公式求其数列的和；2、等差数列的前n 项和.【思路点睛】本题主要考查了由数列的递推公式求其数列的和，等差数列的前n 项和公式的应用，考查学生运算能力和勇于创新能力，属高档题.其解题的一般思路为：首先由已知的递推关系式可计算出该数列的前几项，进而得到相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，最后由等差数列的求和公式计算即可得到所求的值.第Ⅱ卷（共90分）（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.过点（1，0）且与直线1-=x 相切的圆的圆心轨迹是 . 【答案】抛物线24y x =. 【解析】试题分析：设动圆的圆心为(,)M x y ，则由圆M 过点（1，0）且与直线1-=x 相切可得：点M 到点（1，0）的距离等于点M 到直线1-=x 的距离. 由抛物线的定义可知，点M 的轨迹方程为以点（1，0）为焦点，直线1-=x 为准线的抛物线. 设所求抛物线的方程为：22(0)y px p =>，则12p=，所以点M 的轨迹方程为24y x =，故应填抛物线24y x =. 考点：1、抛物线的定义.14.已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为1的球面上,球心O 在AB 上,SO ⊥底面ABC ,2=AC ，则此三棱锥的体积为 .1.考点：1、球的内接体；2、球的有关计算.15.在ABC ∆中,D 为BC 边上一点,3BC BD =,AD =,135ADB ο∠=，AB AC 3=,则BD = . 【答案】295+. 【解析】试题分析：在ABC ∆中, 应用余弦定理可得：22202cos135AB BD AD AD BD =+-⋅，22202cos45AC CD AD AD CD =+-⋅，即2222AB BD BD =++，2222AC CD CD =+-，又因为3BC BD =，所以2CD BD =，所以22424AC BD BD =+-，又因为AB AC 3=，所以2223366AC AB BD BD ==++，所以22366424BD BD BD BD ++=+-，即21040BD BD --=，所以5BD =应填295+.考点：1、余弦定理的应用.【思路点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力，属中档题. 其解题的一般思路为：首先利用余弦定理可分别表示出,AB AC ，然后把已知条件代入并整理可根据3BC BD =推断出2CD BD =，进而整理得到等式22424AC BD BD =+-，再把AB AC 3=代入并整理，最后联立方程组即可解出BD 的长度.16.若定义在R 上的函数满足()()()/1,04f x f x f +>=，则不等式()31xf x e >+的解集为 . 【答案】()∞+,0.考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、利用函数的单调性解不等式. 【思路点睛】本题主要考查了不等式的解集，涉及导数在研究函数的单调性中的应用和函数的基本性质以及构造法在研究函数的性质中的应用，属中档题. 其解题的一般思路为：首先将不等式()31x f x e >+可化为()3x x e f x e ->，然后构造函数()(),x x g x e f x e x R =-∈，并运用导数法判断其在定义域上的单调性，进而可得所求的不等式的解集.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）根据所给条件求直线的方程：（Ⅰ）直线过点(4, 0)，倾斜角的余弦值为10（Ⅱ）直线过点(5, 1)，且到原点的距离为5.【答案】（Ⅰ）3120x y --=；（Ⅱ）50x -=或065512=-+y x .（Ⅱ）当斜率不存在时，所求直线方程为50x -=；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为1(5)y k x -=-，即150kx y k -+-=.由点到直线距离公式，得51512=+-k k ，解得k ＝512-.故所求直线方程为065512),5(5121=-+--=-y x x y 即. 综上知，所求直线方程为50x -=或065512=-+y x .考点：1、直线的方程；2、直线与直线的位置关系. 18.（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列,2a ,4a 是方程024102=+-x x 的根. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+12n n a 的前n 项和.【答案】（Ⅰ）2+=n a n .(Ⅱ) 1422n n n S ++=-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先解出一元二次方程的两个根，即可得出2a ,4a 的值，然后由等差数列的通项公式即可列出方程组，进而得出1a ,d 的值，最后得出所求的数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所求数列的通项公式是一个等比数列与一个等差数列的乘积形式，其前n 项和的求法是采用错位相减法，即可得出所求的结果.考点：1、等差数列；2、错位相减法求和.【方法点睛】本题主要考查了等差数列和错位相减法求和，考查学生运用知识的能力和计算能力，属中档题.对于第一问求等差数列的通项公式的求法是：直接由等差数列的通项公式即可列出方程组，解出首项1a 和公差d 的值即可得出其通项公式；对于第二问针对数列的通项公式是一个等比数列与一个等差数列的乘积形式，一般采用错位相减法对其进行求解.19.（本小题满分12分）如图所示，已知在四棱锥P ABCD -中, 底面A B C D 为直角梯形，其中CD //AB ,AD AB ⊥,侧棱ABCD PA 底面⊥，且112AD DC PA AB ====. （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设点M 为PB 中点，求四面体PAC M -的体积.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）6112131=⨯⨯==--PAM C PAC M V V . （Ⅱ）∵ABCD PA 底面⊥,∴CE PA ⊥，又AB CE ⊥ A AB PA =⋂PAB CE 面⊥∴BAPCD M所以CE 为三棱锥PAM -C 的高， ABCD PA 底面⊥，AB PA ⊥∴,又M 为PB 中点，所以点M 到直线PA 的距离等于121=AB , 又1=PA ∴211121=⨯⨯=∆PAM S ， 又1=CE ， ∴6112131=⨯⨯==--PAM C PAC M V V . 考点：1、线面垂直的判定定理；2、空间几何体的体积计算.【方法点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和空间几何体的体积求法，属中档题.对于线面垂直的证明的一般思路为：第一步按照线线垂直得到线面垂直，进而得出面面垂直的思路分析解答；第二步找到关键的直线或平面；第三步得出结论.对于第二问求空间几何体的体积的关键是合理地运用等体积转化法将所求的三棱锥的体积转化为可求的三棱锥的体积.20.（本小题满分12分） 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的焦点为21,F F ,点()12P ，在C 上， 且x PF ⊥2轴．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ） 若直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点,A B ，原点O 在以AB 为直径的圆外，求m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）12422=+y x ；（Ⅱ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6,362362,6．.考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系.21.（本小题满分12分）设函数)()(b ax e x f x +=.若曲线在点))0(,0(f P 处的切线方程为24+=x y .（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）设24)(2++=x x x g ，若x ≥－2时,)()(x g x kf ≥,求k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）⎩⎨⎧==22b a ;（Ⅱ）[]21e ，. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）首先求出函数()f x 的导函数，然后由导数的几何意义可得2)0(=f 和4)0('=f ，于是得出方程组，解出该方程组即可得出所求的a 、b 的值；（Ⅱ）首先构造函数)()()(x g x kf x F -=，然后求出其导函数，由已知条件可得出k 的取值范围，于是对k 分三类进行讨论：21e k <≤，2e k =，2e k >，分别求出函数()F x 的单调区间和最值，进而得出k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）由已知得2)0(=f ，4)0('=f ，而)()('a b ax e x f x ++=，所以有⎩⎨⎧=+=42a b b从而⎩⎨⎧==22b a .（Ⅱ）由（Ⅰ）得)1(2)(+=x ke x f x ，设函数)()()(x g x kf x F -=24)1(22---+=x x x ke x ，42)2(2)('--+=x x ke x F x )2)(12+-=x ke x （，由题设可得0)0(≥F ，即1≥k ，令0)('=x F 得k x ln 1-=，22-=x .（i ） 若21e k <≤，则021≤<-x .从而当),2(1x x -∈时，0)('<x F ；当),(1+∞∈x x 时，0)('>x F ，即)(x F 在),2(1x -单调递减，在),(1+∞x 单调递增.故)(x F 在[)∞+-,2的最小值为)(1x F .而24)1(2)(121111---+=x x x ke x F x 24221211---+=x x x 1212x x --= 0211≥+-=）（x x ,故当x ≥－2时, 0)(≥x F ，即)()(x g x kf ≥恒成立. （ii ）若2e k =，则)2)(12)('2+-=x e e x F x （)2)(222+-=-x e e e x （ 从而当x >－2时, 0)('>x F ，即)(x F 在),2(+∞-单调递增.而0)2(=-F ,故当x ≥－2时, 0)(≥x F ，即)()(x g x kf ≥恒成立.（iii ）若2e k >，则22)2(2+-=--ke F 0)(222<--=-e k e ,从而当x ≥－2时, )()(x g x kf ≥不可能恒成立. 综上，k 的取值范围是[]21e ，.考点：1、导数的几何意义；2、导数在研究函数的单调性；3、导数在研究函数的极值中的应用.22.（本小题满分10分） 已知圆C 的参数方程是ααα(sin 2cos 1⎩⎨⎧+=+=y x 为参数）.（Ⅰ）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设直线l 和圆C 的交点为,M N ，求CM N ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）04sin 4cos 22=+--θρθρρ；（Ⅱ）2121=⋅CN CM .考点：1、参数方程；2、极坐标系.。
福建省惠安三中2017-2018学年高三第一次月考数学文试题 Word版含答案
惠安三中2017-2018学年高三年第一次月考文科数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分.第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}|2,0,|lg x M y y x N x y x ==>==，则MN 为（ ）A ．()0,+∞B ．()1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞ 2．设复数1z i =-的共轭复数为z ，则z z ⋅=（ ）A ．0B ．-1C ．2D 3．计算662log 3log 4+的结果是（ ）A.6log 2B.2C.6log 3D.3 4．角α是第二象限角，)5,(x P 是其终边上一点，且x 42cos =α，则x 的值为（ ） A ．3 B ．3± C ．3- D ．2- 5．函数2()sin sin()3f x x x π=+-图象的一条对称轴为（ ） A ．2x π=B ．x π=C ．6x π=D ．3x π=6．已知c b a ,,均为正数，且2))((=++c b c a ，则c b a 32++的最小值为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．87．若11sin cos αα+=sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13或-18．函数()lg 1y x =-的图象是（ ）9.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+0530103y x y x y x ，则22y x +的最小值为（ ）A ．223 B ．29 C ．5 D ．510.若sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆是 （ ） A ．等边三角形 B ．有一内角是30︒的三角形 C ．等腰直角三角形 D ．有一内角是30︒的等腰三角形11．函数20.8()log (23)f x x ax =-+ 在()1,-+∞为减函数，则a 的范围( )A.[]54--， B.(]5,4-- C. (),4-∞- D.(],4-∞- 12.()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()33f x f x -=+，当03x <<时，()()22log 2f x x =-+.则当06x <<时，不等式()()30x f x ->的解集是（ ） A ．()()0,23,4 B ．()()0,24,5 C ．()()2,34,5 D ．()()2,33,4第II 卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．若“,|||1|2x x a x ∃∈-++≤R ”是假命题，则a 的取值范围是 ． 14．已知函数()23,0x f x x x x ⎧≥⎪=⎨--<⎪⎩，若()2f x ≤，则x 的取值范围是 __ ____. 15．在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知a =,223b c bc +=+,则角A为 ．16．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0,0,0A ωϕπ>><<）的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ① 直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②函数3y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭为偶函数； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π． 其中正确的判断是___________．（写出所有正确判断的序号）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题12分）已知0107:2<+-x x p ，034:22<+-m mx x q ，其中0>m ． （1）若4=m ，且q p ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．（本小题12分）在某次考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示.（1）求甲班的平均分； （2）从甲班和乙班成绩90100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率.19．（本小题12分）已知函数22()cos(2)2cos 3f x x x π=++（x R ∈）． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调减区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．20．（本小题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ，若cos cos 2cos b A a B c C +=-． （1）求角C 的大小；（2）若6a b +=，且ABC ∆的面积为c 的长．21．（本小题12分）已知函数()2xf x e x ax =--.（1）若函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为2y x b =+,求,a b 的值; （2）若函数()f x 在R 上是增函数, 求实数a 的最大值.请考生在第22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）,以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）在圆C 上求一点D ,使它到直线l 的距离最短,并求出点D 的直角坐标.23．（本小题10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x =-++． （1）解不等式()8f x ≥；（2）若不等式()23f x a a <-的解集不是空集，求实数a 的取值范围．惠安三中2017届高三年第一次月考文科数学试卷参考答案1-12 B C B C D C A C B C A D 13．(,3)(1,)-∞-+∞ 14．(][],21,4-∞--15．3π16．②③17．解（1）由27100x x -+<，解得25x <<，所以:25p x <<； 又，因为，解得，所以.当时，， 又为真，都为真，所以.（2）由是的充分不必要条件，即，，其逆否命题为，由（1），，所以，解得.18.解（1）甲班的平均分为77757288878498951081068910+++++++++=.（2）甲班90-100的学生有2个，设为,A B ；乙班90-100的学生有4个，设为,,,a b c d .从甲班和乙班90-100的学生中抽取两人，包含的基本事件有：(,),(,),A B A a(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A b A c A d B a B b B c B d a b a c a d b c b d c d共15个.设事件M=“至少含有甲班一名同学”，则事件M 包含的事件有：(,),(,),A B A a(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A b A c A d B a B b B c B d 共9个，所以93()155P M ==， 即至少含有甲班一名同学的概率为35.02x π≤≤1cos(22∴-≤20．（1）由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos B A A B C C +=-， 所以sin()2sin cos A B C C +=-，化简得sin 2sin cos C C C =-0C π<<（2）因为120C ︒=6a b += 22a b ∴+21． 解（1）2()x f x e x ax =--，()2x f x e x a '∴=--,则(0)1f a '=-.根据题意知12a -=, 1a ∴=-.2()x f x e x x ∴=-+, (0)1f ∴=.则有120b =⨯+, 1b ∴=.(2)因为 函数()f x 在R 上是增函数，()0f x '∴≥,即20x e x a --≥恒成立, 2x a e x ∴≤-恒成立.设()2x h x e x =-，则()2x h x e '=-.当(,ln 2)x ∈-∞时, ()0h x '<,()h x ∴为减函数； 当(ln 2,)x ∈+∞时, ()0h x '>,()h x ∴为增函数.min ()(ln 2)2ln 2h x h ∴==-.2ln 2a ∴≤-,即a 的最大值为2ln 2-.22.解（1）消去参数得,直线的普通方程为； 由，得，从而有，所以（2）因为点在圆上，所以可设点，所以点到直线的距离为．因为，所以当时，．此时，所以点的坐标为.][)3,+∞.3a 的解集不是空集，等价于()1)(3)f x x =--+min ()f x ∴1)(4,)+∞.。
福建省三明市第一中学2017-2018学年高三上学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案
三明一中2017-2018学年（上）第一次月考高三数学（文）试题（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的.）1．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a +b 等于( ) A ．(5,7)B ．(5,9)C ．(3,7)D ． (3,9)2．已知集合错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则（ ） A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
3．下列函数中，满足“错误！未找到引用源。
”且单调递减的是 ( ) A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ． 错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
4． 在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝b ，则角A 等于( ) A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π35．已知错误！未找到引用源。
△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)；错误！未找到引用源。
已知两向量a ，b ，若|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝2．则下列中为真的是 ( ) A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ． 错误！未找到引用源。
6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则这个函数的周期和初相分别是( ) A ．2，－π3 B ．2，－π6C ．错误！未找到引用源。
，－π6 D ．错误！未找到引用源。
，－π37．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝错误！未找到引用源。
，则 △ABC 的面积是( )A ．3B ．错误！未找到引用源。
2017-2018学年福建省龙岩市上杭二中高三(上)开学数学试卷(理科)(解析版)
10． （5 分）已知 f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）＝0，且 x≥0 时，f（x）＝e +m（m 为常数） ，则 f（﹣ln3）的值为（ A．﹣3﹣m 11． （5 分）已知函数 B．﹣4 ） C．﹣2 D．2
，实数 a，b，c 满足 f（a） •f（b） •f（c）＜0（0
＜a＜b＜c） ， 若实数 x0 是函数 （ f x） 的一个零点， 那么下列不等式中不可能成立的是 （ A．x0＜a B．x0＞b C．x0＜c D．x0＞a
第 3 页（共 11 页）
2 2 2 2 2 2
为奇函数．
（2）已知该企业已筹集到 8 万元资金，并将全部投入 A，B 两种产品的生产，若平均投 入生产两种产品，可获得多少利润？ （3）已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部投入 A，B 两种产品的生产． 问：如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润 约为多少万元？
22． （12 分）已知函数 f（x）＝ax +bx+1（a，b 为实数，a≠0，x∈R） ． （1）若函数 f（x）的图象过点（﹣1，0） ，且方程 f（x）＝0 有且只有一个根，求 f（x） 的解析式； （2）在（1）的条件下，当 x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx 是单调函数，求实数 k 的取值范围； （3）若 F（x）＝ ，当 mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数 f（x）为偶函数
x﹣1
的定义域为 +2 的图象一定过点
． ． ．
， 则满足 （ f x） ≤2 的 x 的取值范围是
16． （5 分）已知函数 y＝loga（1﹣ax） （a＞0，a≠1）在定义域（1，3）上为增函数，则 a 的范围是 ．
2018年福建省质检数学(理科)试卷(含答案)
2018年福建省高三毕业班质量检查测试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合21{|log 0},33xA x xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =I （ ）A ．{|11}x x -<<B ．{|01}x x <<C ．{|0}x x >D ．R1．【答案】B【考查意图】本小题以集合为载体，考查指数函数、对数函数的图象与性质，集合的运算等基础知识；考查运算求解能力，考查数形结合思想等．【答题分析】只要掌握指、对数函数的图象与性质，集合的运算等，便可解决问题．解：2log 0x <等价于22log log 1x <，解得01x <<，所以(0,1)A =；133x⎛⎫< ⎪⎝⎭等价于11133x-⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1x >-，所以(1,)B =-+∞，从而(0,1)A B =I ． 2．将函数sin 2y x =的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y f x =的图象，则（ ）A ．()y f x =的图象关于直线8x π=对称B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增 2．【答案】D【考查意图】本小题以三角函数为载体，考查函数的图象变换及三角函数的图象与性质等基础知识，考查推理论证能力，考查数形结合思想、特殊与一般思想等．【答题分析】只要掌握函数图象变换知识、三角函数的图象与性质，便可解决问题． 解：由题意得，()sin f x x =．sin y x =的图象对称轴为直线,2x k k Z ππ=+∈，所以选项A 错误；sin y x =的最小正周期为2T π=，所以选项B 错误； sin y x =的图象对称中心为(,0),k k Z π∈，所以选项C 错误；sin y x =的一个单调递增区间为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,,3622ππππ⎛⎫⎛⎫-⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项D 正确．3．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系；在如图所示的正五角星中，以,,,,A B C D E 为顶点的多边形为正五边形，且51PT AT -=．下列关系中正确的是（ ） A ．512BP TS RS -=u u u r u u r u uu r B ．512CQ TP TS +=u u u r u u r u ur C ．512ES AP BQ -=u u u r u u u r u u ur D ．512AT BQ CR +=u u u r u u u r u u ur ABCDEP QR S T【考察意图】本小题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算等基础知识，考查推理论证能力，考查转化与化归思想等．【答题分析】只要掌握平面向量的概念，平面向量的加法、减法及数乘运算的几何意义，便可解决问题．解：由题意得，51BP TS TE TS SE RS +-=-==u u u r u u r u u r u u r u u r u uu r ，所以选项A 正确． 512CQ TP PA TP TA ST +=+==u u u r u u r u u u r u u r u u r u u u r ，所以选项B 错误；512ES AP RC QC RQ QB -=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以选项C 错误；51,2AT BQ SD RD CR RS RD SD +=+==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，若512AT BQ CR +=u u u r u u u r u u u r ，则0SD =u u u r r，不合题意，所以选项D 错误．故选A ．4．已知5234560123456(2)(21)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则024a a a ++=（ ） A ．123 B ．91 C ．120- D ．152- 4．【答案】D【考查意图】本小题以代数恒等式为载体，考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、特殊与一般思想等．【答题分析】只要掌握二项式定理，会合理赋值，便可解决问题．解法一：由5234560123456(2)(21)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，取1x =得：01234563a a a a a a a ++++++=， ①取1x =-得：0123456243a a a a a a a -+-+-+=-， ②+①②，得0246120a a a a +++=-，又561232a =⨯=，所以024152a a a ++=-．解法二：因为5(21)x -的展开式的第1r +项515(2)(1),0,1,2,3,4,5r r r r T C x r -+=-=， 所以5054143230525522(1)2,12(1)22(1)70a C a C C =⨯-=-=⨯-+⨯-=-， 23214145512(1)22(1)80a C C =⨯-+⨯-=-，所以024152a a a ++=-，故选D ．5．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（ ） A ．120 B ．84 C ．56 D ．28【答案】B【考查意图】本小题以数学文化为载体，考查程序框图等基础知识，考查运算求解能力、应用意识． 【答题分析】只要按程序框图逐步执行，便可解决问题． 解：按步骤执行程序框图中的循环体，具体如下：1,1,12,3,43,6,104,10,20i n S i n S i n S i n S ===→===→===→===； 5,15,356,21,567,28,84i n S i n S i n S ===→===→===．所以输出84S =．故选B ．6．已知函数22()22x f x x x =-+．命题1:()p y f x =的图象关于点(1,1)对称；命题2:p 若2a b <<，则()()f a f b <．则在命题112212312:,:()(),:()q p p q p p q p p ∨⌝∧⌝⌝∨和 412:()q p p ∧⌝中，真命题是（ ）A ．13,q qB ．14,q qC ．23,q qD ．24,q q【答案】B【考察意图】本小题以分式函数为载体，考查函数的图象与性质、导数及其应用、逻辑联结词的含义等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、特殊与一般思想等．【答题分析】只要掌握逻辑联结词的含义、函数图象的对称性，会利用导数研究函数的单调性，会判断含逻辑联结词的命题的真假，便可解决问题．解法一：因为2222(2)44(2)(2)2(2)222x x x f x x x x x --+-==---+-+， 所以22244()(2)222x x x f x f x x x -+++-==-+，故()f x 的图象关于点(1,1)对称，故命题1p 为真命题； 因为2(2),(0)05f f -==，所以(2)0f ->，故命题2p 为假命题． 所以1p ⌝为假命题，2p ⌝为真命题，故1212,()p p p p ∨∧⌝为真命题．故选B ．解法二：因为2222(1)()122(1)1x x f x x x x -==+-+-+，所以函数()y f x =的图象可由22()1xg x x =+的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到．因为()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，()g x 的图象关于原点对称，从而()y f x =的图象关于点(1,1)对称，故命题1p 为真命题．因为22224()(22)x xf x x x -+'=-+，令()0f x '>，得02x <<，所以()f x 的单调递增区间为(0,2)；令()0f x '<，得0x <或2x >，所以()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，(2,)+∞； 故命题2p 为假命题．所以1p ⌝为假命题，2p ⌝为真命题，故1212,()p p p p ∨∧⌝为真命题．故选B ． 解法三：同解法一可得，命题1p 为真命题．因为当0x ≠时，2221()2211122x f x x x x x ==-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2()221h t t t =-+，1t x =，则1t x=在(,0)-∞单调递减，当(,0)x ∈-∞时，(,0)t ∈-∞，又因为 2()221h t t t =-+在(,0)-∞单调递减，当(,0)t ∈-∞时，()(1,)h t ∈+∞，所以211122y x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(,0)-∞单调递增，又因为1y x =在(1,)+∞单调递减，所以()f x 在(,0)-∞单调递减，故命题2p 为假命题．所以1p ⌝为假命题，2p ⌝为真命题，故1212,()p p p p ∨∧⌝为真命题．故选B ．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点,M N 间隔3分钟先后从点P 出发，绕原点按逆时针方向作角速度为6π弧度/分钟的运算圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为（ ） A ．37.5分钟 B ．40.5分钟 C ．49.5分钟 D ．52.5分钟O Py【答案】A【考查意图】本小题以匀速圆周运动为背景，考查任意角三角函数的定义、三角函数的图象与性质等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、应用意识及创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想等．【答题分析】只要掌握任意角三角函数的定义、三角函数的图象与性质等，或结合平面几何知识直观判断，便可解决问题．解法一：设点N 出发后的运动的时间为t 分钟，圆O 的半径为1，由三角函数的定义，得sin cos 266N y t t πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，因为,M N 间隔3分钟，所以362MON ππ∠=⨯=，所以sin sin 2626M y t t ππππ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭，所以sincos26664M N y y t t t ππππ⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭， 当2,642t k k Z ππππ+=+∈，即312,2t k k Z =+∈时， M N y y -取得最大值，故当3k =时，M N y y -第4次取得最大值，此时37.5t =，故选A ．解法二：因为,M N 间隔3分钟，所以362MON ππ∠=⨯=，当M N y y -取得最大值时，MN x ⊥轴，且4PON π∠=，O PyNM当M N y y -第一次取得最大值时，N 运动的时间为4 1.56ππ=分钟；又质点N 运动一周的时间为2126ππ=分钟，当M N y y -第4次取得最大值时，N 运动的时间为1.512337.5+⨯=分钟．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ） A ．32643π-B ．648π-C ．16643π-D ．8643π-【答案】C【考查意图】本小题以空间几何体为载体，考查三视图，正方体，圆柱，圆锥的体积等基础知识；考查空间想象能力，运算求解能力．【答题分析】只要掌握三视图及正方体、圆柱、圆锥的体积计算公式，便可解决问题． 解：由三视图可知该几何体是由棱长为4的正方体截去14个圆锥和14个圆柱所得的几何体，且圆锥的底面半径为2，高为4；圆柱的底面半径为2，高为4，如图． 所以该几何体的体积为311164444464433πππ⎛⎫-⨯⨯⨯+⨯⨯=- ⎪⎝⎭．故选C ．9．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止．若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为（ ） A ．3200元 B ．3400元 C ．3500元 D ．3600元 【答案】C【考查意图】本小题以故障机器问题为载体，考查计数原理、排列与组合、随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力及应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想等． 【答题分析】只要能列出随机变量的所有取值并应用计数原理及排列组合知识计算对应的概率，理解数学期望的意义，便可解决问题．解法一：设检测机器的台数为ξ，则ξ的所有可能取值为2，3，4．1123223232235513133(2),(3),(4)1101010105C C A A A P P P A A ξξξ+========--=， 所以133234 3.510105E ξ=⨯+⨯+⨯=，故所需检测费用的均值为10003500E ξ⨯=元． 解法二：设检测费为η元，则η的所有可能取值为2000，3000，4000．1123223232235513133(2000),(3000),(4000)1101010105C C A A A P P P A A ηηη+========--=所以133200030004000350010105E η=⨯+⨯+⨯=，故所需检测费用的均值为3500元． 10．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN y ⊥轴于点N ．若四边形CMNF 的面积等于7，则E 的方程为（ ）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =【答案】C【考查意图】本小题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程及其简单几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等．【答题分析】只要掌握抛物线的标准方程及其简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，并根据题意准确作//FC NM ，设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，则1212221212122122AB y y y y pk y y x x y y p p--====-+- 所以122y y p +=，所以0y p =，作MK x ⊥轴于K ，则MK p =，因为AB 的斜率为1， 所以FMK △为等腰直角三角形，故FK KC p ==，所以32MN OK OF FK p ==+=，所以四边形CMNF 的面积为132722p p p ⎛⎫⨯+⨯= ⎪⎝⎭，解得2p =，故抛物线方程为24y x =． 解法二：由题意，得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p y x =-，四边形CNMF 为梯形，且//FC NM ，设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，由222p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得2220y py p --=，则122y y p +=，所以0y p =，故(0,)N p ，由于2p y x =-，令0y p =，得032x p =， 所以3,2M p p ⎛⎫⎪⎝⎭，因为MC AB ⊥，所以1MC AB k k ⋅=-，故1MC k =-，从而直线MC 的方程为52y x p =-+，令0y =，得52C x p =，故5,02p C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以四边形CMNF 的面积为132722p p p ⎛⎫⨯+⨯= ⎪⎝⎭，解得2p =，故抛物线方程为24y x =．11．已知,,,A B C D 四点均在以点1O 为球心的球面上，且25AB AC AD ===，42,8BC BD CD ===．若球2O 在球1O 内且与平面BCD 相切，则球2O 直径的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D【考查意图】本小题以球为载体，考查空间几何体，球的性质等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想等．【答题分析】只要通过长度关系，认清以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥的图形特征，正确判断球心1O 的位置，借助方程求出球1O 的半径，直观判断球2O 的位置，便可解决问题．解法一：取CD 的中点O ，连结,AO BO ，如图，因为42BC BD ==8CD =，所以222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥，故O 为BCD △的外心，因为25AC AD ==AO CD ⊥，且2AO =，故AO OB ⊥，又BO CD O =I ，所以AO ⊥平面BCD ，所以1O 在直线AO 上，连结1O D ，设1O D R =，则1AO R =，12OO R =-，因为1OO DO ⊥，所以22211DO OO O D +=，即2216(2)R R +-=，解得5R =，球2O 的直径最大时，球2O 与平面BCD 相切且与球1O 相切，12,,,A O O O 四点共线，此时球2O 的直径为18R OO +=．解法二：将Rt BCD △补形成正方形ECBD ，如图，易知四棱锥A BCED -为正四棱锥，正方形BDEC 的中心为O ，BO CD ⊥．连结,AO BO ，则O 为BCD △的外心，因为25AC AD ==AO CD ⊥，且2AO =，又因为4,4OD BO ==，所以222AO BO AB +=，故AO OB ⊥，又BO CD O =I ，所以AO ⊥平面CBDE ，设1O D R =，则1AO R =，12OO R =-，因为1OO DO ⊥，所以22211DO OO O D +=，即2216(2)R R +-=，解得5R =，球2O 的直径最大时，球2O 与平面BCD 相切且与球1O 相切，12,,,A O O O 四点共线，此时球2O 的直径为18R OO +=．1O 2O A BC DO 1O 2O A BCDO E12．已知函数3()()3(0)f x x a x a a =--+>在[1,]b -上的值域为[22,0]a --，则b 的取值范围是（ ） A ．[0,3]B ．[0,2]C ．[2,3]D ．(1,3]-【答案】A【考查意图】本题以三次函数为载体，考查导数及其应用等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及创新意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想等． 【答题分析】只要将函数3()()3()2f x x a x a a =----的图象作平移变换得到3()3g x x x =-，将条件转化为“当[1,]x a b a ∈---时，()g x 的值域为[2,2]a -”，注意到()g x 的极小值与它在[1,]a b a ---上的最小值相等，再结合函数图象，由()g x 的值域为[2,2]a -直观判断b a -的取值范围；或直接研究函数()f x 的图象与性质，通过分类讨论确定a 的值，进而根据图象直观判断出b 的取值范围． 解法一：将函数33()()3()3()2f x x a x a x a x a a =--+=----的图象向左平移a 个单位，再向上平移2a 个单位，得到3()3g x x x =-的图象，故条件等价于3()3g x x x =-在[1,]a b a ---的值域为[2,2]a -．2()333(1)(1)g x x x x '=-=+-，所以当(,1)x ∈-∞-或(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，故()g x 的单调递增区间为(,1),(1,)-∞-+∞；当(1,1)x ∈-时，()0g x '<，故()g x 的单调递减区间为(1,1)-．又(1)2,(1)2g g -==-，令()2g x =，得3320x x -+=，即2(1)(2)0x x -+=，得2x =-或1x =，因为0a >，所以11a --<-，由图象得12a ---≥，故01a <≤．①当1a =时，3()3g x x x =-在[2,1]b --的值域为[2,2]-，因为(1)(2)2g a g --=-=-，令()2g x =，得3320x x --=，即2(1)(2)0x x +-=，解得：1x =-或2x =，故由图象得112b --≤≤，解得03b ≤≤；②当01a <<时，211,022a a -<--<-<<，所以1b a -<-，又()g x 在(1,)a b a ---上单调递增，所以()(1)2g x g a -->-≥，此时与题意矛盾． 综上，可知03b ≤≤，故选A ．解法二：因为3()()3f x x a x a =--+，所以2()3()3f x x a '=--，令()0f x '=得：1x a =+或1x a =-，又(1)22,(1)22f a a f a a +=---=-+，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：x (,1)a -∞-1a -(1,1)a a -+1a +(1,)a ++∞()f x ' ()0f x '>()0f x '<()0f x '>()f x单调递增22a -+ 单调递减22a --单调递增① 若(1)22f a -=--，则32340a a +-=，整理得，2(1)(2)0a a -+=，解得：1a =或2a =-（舍去），此时3()(1)31f x x x =--+，令()4f x =-，解得1x =-或2x =；令()0f x =，解得0x =或3x =，因为()f x 在[1,]b -的值域为[4,0]-，故由图象可得03b ≤≤． ②若(1)22f a ->--，因为0a >，所以11a ->-，要使()f x 在[1,]b -上的值域为[22,0]a --，则1a b +≤，所以1[1,]a b -∈-，所以(1)22(1)0f a f a ->--⎧⎨-⎩≤， 即3(1)322220a a a a ⎧--++>--⎨-⎩≤，即2(1)(2)01a a a ⎧-+<⎨⎩≥，无解． 综上，可得03b ≤≤，故选A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省六校高三上学期期中联考数学(理)试卷Word版含答案
“长汀、连城、上杭、武平、漳平、永定一中”六校联考2017-2018学年第一学期半期考高三数学（理科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.若集合2{|230},{|0}A x x x B x x =--≤=≤则A B =A ．[1,0]-B. [1,0)-C. [1,1]-D. [1,)-+∞2.命题“2000,10x R x x ∃∈++>”的否定是A ．2,10x R x x ∀∈++≤ B. 2,10x R x x ∀∈++> C. 2000,10x R x x ∃∈++≤D. 200,10x R x x ∃∈++≥3.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若34812,64a a S +==，则{}n a 的公差为 A ．1B. 2C. 3D. 44.若向量(2,0),(2,1),(,1)a b c x =-==满足条件3a b +与c 共线，则x 的值为 A ．2B. 2-C. 4D. 4-5.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知A c B a A b cos 2cos cos =+，则A =A ．6π B.56π C.3π D.23π 6.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ） A. 6里 B. 12里 C. 24里 D. 48里7.若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，32314log 2,log 5,2a b c ===，则()()(),,f a f b f c 满足A. ()()()f b f a f c <<B. ()()()f c f b f a <<C. ()()()f c f a f b <<D. ()()()f a f b f c <<8.已知函数()ln ||f x x x =-，则()f x 的图象大致为9.设函数||1lg(1),1()3,1x x x f x x +->⎧=⎨≤⎩若()0f x b -=有三个不等实数根，则b 的取值范围是A. ()1,+∞B. (]1,10C. (]1,3D. (]0,310.已知2()sin cos f x x x x =+，将f （x ）的图象向右平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到y =g （x ）的图象，则()4g π=A. 1+B. 2C. 1+D. 1 11.设过曲线()x f x e x =--上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2sin g x xa x =-上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是 A.(2,3]- B. (2,3)-C. [1,2]-D. (1,2)-12.已知数列{}n a 中， 11,n a S =为数列{}n a 的前n 项和，当2n ≥时，恒有2n n n n ka a S S =-成立，若99150S =，则k 的值是 A ．1B. 2C. 3D. 4第Ⅰ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2017-2018学年福建省厦门市双十中学高三(下)开学数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年福建省厦门市双十中学高三（下）开学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．1．（5分）设集合M＝{x|x2+3x+2＞0}，集合N＝{x|（）x≤4}，则M∪N＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x≤﹣2}D．R2．（5分）已知复数z满足zi＝2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|＝（）A．2B．2C．D．3．（5分）已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则￢p为（）A．∃x∈R，e x﹣x﹣1≥0B．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0D．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥04．（5分）若2cos2α＝sin（﹣α），且α∈（，π），则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．1D．5．（5分）已知①x＝x﹣1，②x＝x﹣2，③x＝x﹣3，④x＝x﹣4在如图所示的程序框图中，如果输入x＝10，而输出y＝4，则在空白处可填入（）A．①②③B．②③C．③④D．②③④6．（5分）已知函数f（x）＝，则函数y＝f（1﹣x）的大致图象（）A．B．C．D．7．（5分）已知S n是公差不为0的等差数列{a n}的前项和，且S1，S2，S4成等比数列，则＝（）A．4B．6C．8D．108．（5分）已知抛物线C：y2＝8x与直线y＝k（x+2）（k＞0）相交于A，B两点，F为C的焦点，若|F A|＝2|FB|，则k＝（）A．B．C．D．9．（5分）如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为（﹣1，2），点C位于第一象限，∠AOC＝α．若|BC|＝，则sin cos+cos2﹣＝（）A．﹣B．﹣C．D．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．19πD．22π11．（5分）设点A，F（c，0）分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右顶点、右焦点，直线x＝交该双曲线的一条渐近线于点P，若△P AF是等腰三角形，则此双曲线的离心率为（）A．B．3C．D．212．（5分）定义在R上的函数f（x）对任意x1、x2（x1≠x2）都有＜0，且函数y＝f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，的取值范围是（）A．[﹣3，﹣）B．[﹣3，﹣]C．[﹣5，﹣）D．[﹣5，﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13．（5分）已知向量＝（x﹣5，3），＝（2，x）且，则x的值等于．14．（5分）已知实数x，y满足，且数列4x，z，2y为等差数列，则实数z的最大值是．15．（5分）已知函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知数列{a n}满足a1＝a2＝2，且a n+2＝（1+cos nπ）（a n﹣1）+2（n∈N*），S n是数列{a n}的前n项和，则S2n＝．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD＝，AC＝，cos∠ADB＝．（1）求sin∠C的值；（2）若△ABD的面积为7，求AB的长．18．（12分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O＝．（1）证明：A′O⊥平面BCDE；（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．19．（12分）2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：（1）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210），μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分布，求P（50.5＜Z＜94）．（2）在（1）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次；②每次赠送的随机话费和对应概率如下：现有一位市民要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列．附：≈14.5若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）＝0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）＝0.9544．20．（12分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，且F1、F2分别为椭圆的左右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（﹣4，0）作斜率为k（k≠0）的直线l，交椭圆C于B、D两点，N为BD 中点，请说明存在实数k，使得以F1F2为直径的圆经过N点（不要求求出实数k）．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），不等式f（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．请考生在第（22）（23）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．23．已知m，n都是实数，m≠0，f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|．（Ⅰ）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若|m+n|+|m﹣n|≥|m|f（x）对满足条件的所有m，n都成立，求实数x的取值范围．2017-2018学年福建省厦门市双十中学高三（下）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．1．【解答】解：∵集合M＝{x|x2+3x+2＞0}＝{x|x＜﹣2或x＞﹣1}，集合N＝{x|（）x≤4}＝{x|2﹣x≤22}＝{x|﹣x≤2}＝{x|x≥﹣2}，∴M∪N＝R，故选：D．2．【解答】解：复数z满足zi＝2i+x（x∈R），可得z＝＝2﹣xi．若z的虚部为2，可得x＝﹣2．z＝2﹣2i．∴|z|＝2故选：B．3．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则￢p为∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0．故选：C．4．【解答】解：∵α∈（，π），且2cos2α＝sin（﹣α），∴2（cos2α﹣sin2α）＝（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα＝﹣，或cosα﹣sinα＝0（根据角的取值范围，此等式不成立排除）．∵cosα+sinα＝﹣，则有1+sin2α＝，sin2α＝．故选：A．5．【解答】解：由y＝（）x＝4⇒x＝﹣2，∴输入x＝10，当“？”处填①时，跳出循环x＝﹣1，∴①错误；当“？”处填②时，跳出循环x＝﹣2，∴②正确；当“？”处填③时，跳出循环x＝﹣2，∴③正确；当“？”处填④时，跳出循环x＝﹣2，∴④正确．故选：D．6．【解答】解：∵当x＝0时y＝3，故排除A，D；∵1﹣x≤1时，即x≥0时，∴f（1﹣x）＝3 1﹣x＞0，∴此函数在x＞0时函数值为正，排除B，故选：C．7．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，且d≠0，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，∴＝a1×，∴＝2a1（2a1+3d），∴d2＝2a1d，解得d＝2a1或d＝0（舍去），∴＝＝＝8，故选：C．8．【解答】解：设抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝﹣2直线y＝k（x+2）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|F A|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|＝|AF|，又∵|F A|＝2|FB|，∴|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1，∵k＞0，∴点B的坐标为（1，2），∴k＝＝．故选：A．9．【解答】解：∵点B的坐标为（﹣1，2），∴|OB|＝|OC|＝，∵|BC|＝，∴△OBC是等边三角形，则∠AOB＝α+．则sin（α+）＝＝，cos（α+）＝＝﹣，则sin cos+cos2﹣＝sinα+cosα＝sin（α+）＝，故选：D．10．【解答】解：根据四棱锥的三视图，知该四棱锥底面为矩形，高为的四棱锥；且侧面P AB⊥底面ABCD，如图所示；还原出长方体是长为2，宽为1，高为．设该四棱锥的外接球球心为O，则过O作OM⊥平面P AB，M为△P AB的外心，作ON⊥平面ABCD，则N为矩形ABCD对角线的交点；∴OM＝，ON＝×＝；∴外接球的半径满足R2＝ON2+AN2＝+＝，∴外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×＝．故选：A．11．【解答】解：显然|PF|＞|P A|，|PF|＞|AF|，所以由△P AF是等腰三角形得|P A|＝|AF|．设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，可得A（a，0），P，可得＝c﹣a，即有．化简为e2﹣e﹣2＝0，解得e＝2（﹣1舍去）．故选：D．12．【解答】解：由已知条件知f（x）在R上单调递减，且关于原点对称；∴由f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）得：s2﹣2s≥t2﹣2t；∴（s﹣t）（s+t﹣2）≥0；以s为横坐标，t为纵坐标建立平面直角坐标系；不等式组所表示的平面区域，如图所示：即△ABC及其内部，C（4，﹣2）；设，整理成：；；∴，解得：；∴的取值范围是[]．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13．【解答】解：由于向量＝（x﹣5，3），＝（2，x）且，则＝0，即为2（x﹣5）+3x＝0，解得，x＝2，故答案为：214．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得A（1，1），∵数列4x，z，2y为等差数列，∴z＝2x+y，得：y＝﹣2x+z，显然直线过A（1，1）时，z最大，z的最大值是：3，故答案为：3．15．【解答】解：当x≥1时，f（x）＝2x﹣1≥1，当x＜1时，f（x）＝（1﹣2a）x+3a，∵函数f（x）＝的值域为R，∴（1﹣2a）x+3a必须到﹣∞，即满足：，解得0≤a＜，故答案为：[0，）．16．【解答】解：当n是奇数时，cos nπ＝﹣1，由a n+2＝（1+cos nπ）（a n﹣1）+2（n∈N*）得，a n+2＝2，所以a1，a3，a5，…，a2n﹣1，…是各项为2的常数列，当n为偶数时，cos nπ＝1，同理可得a n+2＝2a n，所以a2，a4，a6，…，a2n，…是首项为a2＝2，公比为2的等比数列，则，所以S2n＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2+a4+a6+…a2n）＝2n+＝2n+1+2n﹣2，故答案为：2n+1+2n﹣2．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（1）因为，…（2分）又因为，所以：＝，…（6分）（2）在△ADC中，由正弦定理得，故，…（8分），…（10分）在△ADB中，由余弦定理得：，所以，AB＝．…（12分）18．【解答】（1）证明：连接OD，OE．因为在等腰直角三角形ABC中，∠B＝∠C＝45°，，CO＝BO＝3．在△COD中，，同理得．因为，．所以A′O2+OD2＝A′D2，A′O2+OE2＝A′E2．所以∠A′OD＝∠A′OE＝90°所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD∩OE＝O．所以A′O⊥平面BCDE．（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F因为A′O⊥平面BCDE．根据三垂线定理，有A′F⊥CD．所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在Rt△COF中，．在Rt△A′OF中，＝．所以．所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为．方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则O（0，0，0），A′（0，0，），C（0，﹣3，0），D（1，﹣2，0）＝（0，0，）是平面BCDE的一个法向量．设平面A′CD的法向量为n＝（x，y，z），．所以，令x＝1，则y＝﹣1，．所以是平面A′CD的一个法向量设二面角A′﹣CD﹣B的平面角为θ，且所以所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为19．【解答】解：（1）E（Z）＝35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05＝65，∴μ＝65，δ＝≈14.5，∴P（50.5＜Z＜79.5）＝0.6826，P（36＜Z＜94）＝0.9544，∴P（79.5＜Z＜94）＝＝0.1359，∴P（50.5＜Z＜94）＝P（50.5＜Z＜79.5）+P（79.5＜Z＜94）＝0.6826+0.1359＝0.8185．（2）P（Z＜μ）＝P（Z≥μ）＝，X的可能取值为为{10，20，30，40}，P（X＝10）＝＝，P（X＝20）＝+××＝，P（X＝30）＝××+＝，P（X＝40）＝＝．∴X的分布列为：20．【解答】解：（I）由椭圆经过点，离心率为，可得e＝＝，b＝，a2﹣b2＝c2，解得．可得椭圆C的方程为；（II）证明：设B（x1，y1），D（x2，y2），线段BD的中点N（x0，y0），由题意可得直线l的方程为：y＝k（x+4），且k≠0．联立，化为（3+4k2）x2+32k2x+64k2﹣12＝0，由△＝（32k2）2﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0，可得，且k≠0．即有，x1x2＝．可得，，假设存在实数k，使得F1F2为直径的圆过N点，即F1N⊥F2N，则，由，＝＝，则•＝﹣1，化为80k4+40k2﹣3＝0，设t＝k2，则80t2+40t﹣3＝0，由于关于t的方程存在一正一负解，且80×+40×﹣3＝12＞0，满足，且k≠0，则这样实数k存在．即存在实数k，使得以F1F2为直径的圆过N点．21．【解答】解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝x2﹣2x+2lnx；则f（1）＝﹣1，f'（1）＝2所以切线方程为y+1＝2（x﹣1），即为y＝2x﹣3．（Ⅱ）令，则2x2﹣2x+a＝0当△＝4﹣8a≤0，时，f'（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值点；当△＝4﹣8a＞0且a＞0，即0＜a＜时，函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点；由f'（x）＝0，得2x2﹣2x+a＝0，则x1+x2＝1，x1＝，x2＝，由0＜a＜，可得0＜x1＜，＜x2＜1，＝＝1﹣x1++2x1lnx1，令h（x）＝1﹣x++2xlnx（0＜x＜），h′（x）＝﹣1﹣+2lnx，由0＜x＜，则﹣1＜x﹣1＜﹣，＜（x﹣1）2＜1，﹣4＜﹣＜﹣1，又2lnx＜0，则h′（x）＜0，即h（x）在（0，）递减，即有h（x）＞h（）＝﹣﹣ln2，即＞﹣﹣ln2，即有实数m的取值范围为（﹣∞，﹣﹣ln2]．请考生在第（22）（23）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ＝1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2＝1，∴ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1＝θ2，∴|PQ|＝|ρ1﹣ρ2|＝2．∴|PQ|＝2．23．【解答】解：（1）由f（x）＞2，即|x﹣1|+|x﹣2|＞2．而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|＝2的点的坐标为和，故不等式|x﹣1|+|x﹣2|＞2的解集为﹛x|x＜或x＞﹜，（2）由题知，|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立，故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值．∵|m+n|+|m﹣n|≥|m+n+m﹣m|＝2|m|，当且仅当（m+m）（m﹣m）≥0 时取等号，∴的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[，]．。
福建省福州一中2017-2018学年高三下学期期初数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年福建省福州一中高三（下）期初数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）2．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于（）A．2 B．2C．4 D．83．（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x项的系数为（）A．10 B．﹣10 C．2 D．﹣24．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月（按30天计）共织390尺．问：每天多织多少布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，估算出每天多织的布的布约有（）A．0.55尺B．0.53尺C．0.52尺D．0.5尺5．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？6．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．7．函数是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数8．设双曲线的一条渐近线为y=﹣2x，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．9．函数f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B． C．D．10．若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中心O，以O为球心的球O与正方体的所有棱均相切，以向量为正视图的视图方向，那么该正视图为如图（）A．B．C． D．11．设a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C所对的边，则a2=c（b+c）是A=2C成立的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件12．已知定义在（0，+∞）上的连续函数y=f（x）满足：xf′（x）﹣f（x）=xe x且f（1）=﹣3，f（2）=0．则函数y=f（x）（）A．有极小值，无极大值B．有极大值，无极小值C．既有极小值又有极大值 D．既无极小值又无极大值二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．P为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点，|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则该圆锥曲线的离心率e=．14．在平面区域{（x，y）|y≤﹣x2+2x，且y≥0}内任意取一点P，则所取的点P恰是平面区域{（x，y）|y≤x，x+y≤2，且y≥0}内的点的概率为．15．已知点O为△ABC的外心，且，则=．16．已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=∠B=60°，等腰梯形ABCD外接圆的半径为1，则这个梯形面积S的取值范围．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等比数列{a n}的首项a1、公比q，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，且{b n}为递增数列．若，求数列{c n}的前n项和T n．18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．22（下面的（参考公式：，n=n1++n2++n+1+n+2）19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．20．已知F1、F2是椭圆在左、右焦点，直线AB经过F2交椭圆于A、B两点（A点在x轴上方），连结AF1、BF1．（1）求椭圆的焦点坐标和△ABF1周长；（2）求△ABF1面积的最大值（用λ表示）．21．已知函数f（x）=lnx+1．（1）①证明：当x＞0时，f（x）≤x（当且仅当x=1时取得等号）；②当n≥2，n∈N*时，证明：；（2）设，若g（x）≥0对x＞0恒成立，求实数a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目记分．作答时，请写清题号.22．如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（Ⅰ）证明：CD∥AB；（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．23．选修4﹣4：极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线，与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．24．设函数f（x）=|x+m|．（1）若不等式f（1）+f（﹣2）≥5成立，求实数m的取值范围；（2）当x≠0时，证明：f（）+f（﹣x）≥2．20145-2016学年福建省福州一中高三（下）期初数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案．【解答】解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．2．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于（）A．2 B．2C．4 D．8【考点】复数求模；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】先将z计算化简成代数形式，根据纯虚数的概念求出a，再代入|a+2i|计算即可．【解答】解：z==．根据纯虚数的概念得出∴a=2．∴|a+2i|=|2+2i|==2故选B．3．（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x项的系数为（）A．10 B．﹣10 C．2 D．﹣2【考点】二项式系数的性质．【分析】分别展开（1+2x）3=1+++…，（1﹣x）4=++…，即可得出．【解答】解：∵（1+2x）3=1+++…，（1﹣x）4=++…，∴（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x项的系数为+2=2，故选：C．4．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月（按30天计）共织390尺．问：每天多织多少布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，估算出每天多织的布的布约有（）A．0.55尺B．0.53尺C．0.52尺D．0.5尺【考点】等差数列的前n项和．【分析】设每天多织d尺，由题意a1=5，{a n}是等差数列，公差为d，前30项和为390，由此利用等差数列前n项和公式能求出结果．【解答】解：设每天多织d尺，由题意a1=5，{a n}是等差数列，公差为d∴，解得d≈0.55．故选：A．5．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 1/第一圈2 4 是第二圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故退出循环的条件应为k＞4故答案选A．6．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．7．函数是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】将函数化为y=Asin（ωx+φ）或Acos（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质判断即可．【解答】解：令f（x）=，化简得：f（x）=﹣cos（x﹣+）cos（x+）=﹣cos2（x+）=﹣（cos（2x+）=﹣cos（2x+）=sin2x最小正周期T=．f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x）∴函数f（x）=sin2x是奇函数．故选A．8．设双曲线的一条渐近线为y=﹣2x，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，可得双曲线的焦点位置，设双曲线的方程为﹣=1（n＞0，m＜0），求出渐近线方程，可得n=﹣4m，n﹣m=1，解方程即可得到所求双曲线的方程．【解答】解：抛物线的焦点为（0，1），则双曲线的焦点在y轴上，双曲线的方程为﹣=1（n＞0，m＜0）则渐近线方程为y=±x，由题意可得=2，即n=﹣4m，又n﹣m=1，解得m=﹣，n=，则双曲线的方程为y2﹣5x2=1．故选：D．9．函数f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】本题是选择题，可采用排除法进行逐一排除，根据f（0）=0可知图象经过原点，以及根据导函数大于0时原函数单调递增，求出单调增区间，从而可以进行判定．【解答】解：因为f（0）=（02﹣2×0）e0=0，排除C；因为f'（x）=（x2﹣2）e x，解f'（x）＞0，所以或时f（x）单调递增，排除B，D．故选A．10．若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中心O，以O为球心的球O与正方体的所有棱均相切，以向量为正视图的视图方向，那么该正视图为如图（）A．B．C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据以O为球心的球O与正方体的所有棱均相切，以向量为正视图的视图方向，即可得出结论．【解答】解：根据以O为球心的球O与正方体的所有棱均相切，以向量为正视图的视图方向，可得正视图为正方形及其内切圆、外接圆，故选：C．11．设a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C所对的边，则a2=c（b+c）是A=2C成立的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边的问题转化成角的正弦，利用二倍角公式化简整理求得sin（A+C）sin（A﹣C）=sinCsin（A+C），进而推断出sin（A﹣C）=sinC．求得A=2C，运用充分必要条件的定义判断．【解答】解：由正弦定理可知，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=c（b+c）中，得sin2A=sinC（sinB+sinC）∴sin2A﹣sin2C=sinBsinC∴﹣=sinCsin（A+C）∴（cos2C﹣cos2A）=sinCsin（A+C）∴sin（A+C）sin（A﹣C）=sinCsin（A+C），因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+C）≠0．所以sin（A﹣C）=sinC．所以只能有A﹣C=C，即A=2C．∵A=2C．∴逆推可得a2=c（b+c）根据充分必要条件的定义判断：a2=c（b+c）是A=2C的充分必要条件．故选：A．12．已知定义在（0，+∞）上的连续函数y=f（x）满足：xf′（x）﹣f（x）=xe x且f（1）=﹣3，f（2）=0．则函数y=f（x）（）A．有极小值，无极大值B．有极大值，无极小值C．既有极小值又有极大值 D．既无极小值又无极大值【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意可得在（0，+∞）上是增函数，从而可得f′（x）在（0，+∞）上是增函数，从而解得．【解答】解：∵==＞0，∴在（0，+∞）上是增函数，∵xf′（x）﹣f（x）=xe x，∴f′（x）=+e x，∵y=e x在（0，+∞）上是增函数，∴f′（x）在（0，+∞）上是增函数，又∵f′（1）=﹣3+e＜0，f′（2）=0+e2＞0，故f′（x）在（0，+∞）上先负值，后正值；故函数y=f（x）有极小值，无极大值，故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．P为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点，|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则该圆锥曲线的离心率e=或．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，再进行分类讨论，确定曲线的类型，从而求出曲线r的离心率．【解答】解：根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，∴|PF1|+|PF2|=6m＞|F1F2|=3m，此时曲线为椭圆，且曲线r的离心率等于；|PF1|﹣|PF2|=2m＜|F1F2|=3m，此时曲线为双曲线，且曲线r的离心率等于，∴该圆锥曲线的离心率e=或．故答案为：或．14．在平面区域{（x，y）|y≤﹣x2+2x，且y≥0}内任意取一点P，则所取的点P恰是平面区域{（x，y）|y≤x，x+y≤2，且y≥0}内的点的概率为．【考点】几何概型；定积分在求面积中的应用；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意，设平面区域{（x，y）|y≤﹣x2+2x，且y≥0}为区域M，平面区域{（x，y）|y≤x，x+y≤2，且y≥0}为区域A，由积分可得区域M的面积，区域A为三角形，计算可得A的面积，由几何概型公式，计算可得答案．【解答】解：设平面区域{（x，y）|y≤﹣x2+2x，且y≥0}为区域M，平面区域{（x，y）|y≤x，x+y≤2，且y≥0}为区域A，对于区域M，函数y=﹣x2+2x与x轴的交点为（0，0）与（2，0），则区域M的面积为∫02（﹣x2+2x）dx=（﹣x3+x2）|02=，区域A的面积为×2×1=1；则点P恰是平面区域A内的点的概率为=；故答案为．15．已知点O为△ABC的外心，且，则=6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据点O为△ABC的外心，且，所以==得到答案．【解答】解：∵点O为△ABC的外心，且，∴==||||cos＜，＞﹣||||cos＜，＞===6故答案为：616．已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=∠B=60°，等腰梯形ABCD外接圆的半径为1，则这个梯形面积S的取值范围（0，] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意：等腰梯形ABCD外接圆的半径为1，∠A=∠B=60°，利用正弦定理可知，等腰梯形ABCD在圆内的对角线为定值，设对角线与底边的夹角为θ（0＜θ＜60°），建立关系，化简，利用三角函数的有界限即可求梯形面积S的取值范围．【解答】解：如图：等腰梯形ABCD外接圆的半径为1，∠B=60°，利用正弦定理可知，，等腰梯形ABCD对角线AC=．设AC与底边的夹角为α（0＜α＜60°），过C点作CF垂直AB，交于AB于F，则AF=cosα，CF=sinα，BF=sinα，DC=cosα﹣sinα，梯形面积S=（AB+DC）×CF=（cosα+sinα+cosα﹣sinα）×sinα，=3cosαsinα，=sin2α，∵0＜α＜60°，∴0＜2α＜120°，当2α=90°时，梯形面积最大值为．所以这个梯形面积S的取值范围是（0，]．故答案为（0，]三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等比数列{a n}的首项a1、公比q，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，且{b n}为递增数列．若，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）根据等比数列的通项公式和前n项和公式求得首项a1、公比q，然后数列{a n}的通项公式；注意需要分类讨论；（2）利用（1）中求得的数列{a n}的通项公式推知数列{b n}的通项公式，然后根据拆项法推知数列{c n}的通项公式，则易求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）因为等比数列{a n}的首项a1、公比q，且，所以①当q=1时，a n=；②当q≠1时，，解得，则a n=6×（﹣）n﹣1．综上所述，a n=；（2）因为，且{b n }为递增数列，所以a n =6×（﹣）n ﹣1． 所以a 2n +1=6×（）n ． 所以=2n ，则=（﹣）．所以T n =（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．22（下面的（参考公式：，n=n 1++n 2++n +1+n +2）【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图． 【分析】（Ⅰ）利用已知条件直接列出联列表；（Ⅱ）利用独立检验公式求出k ，然后推出对歌曲名称与否和年龄有关判断． 22（Ⅱ）有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关．…19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（1）证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明，即若两个平面垂直并且其中一个平面内的一条直线a与两个平面的交线操作时则直线a与另一个平面垂直，即可证明线面垂直．（2）建立空间坐标系，根据坐标表示出两个平面的法向量，结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式，再利用函数的有关知识求出余弦的范围．【解答】解：（I）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，∴AB=2∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3∴AB2=AC2+BC2∴BC⊥AC∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD∴BC⊥平面ACFE（II）由（I）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，B（0，1，0），M（λ，0，1）∴设为平面MAB的一个法向量，由得取x=1，则，∵是平面FCB的一个法向量∴∵∴当λ=0时，cosθ有最小值，当时，cosθ有最大值．∴．20．已知F1、F2是椭圆在左、右焦点，直线AB经过F2交椭圆于A、B两点（A点在x轴上方），连结AF1、BF1．（1）求椭圆的焦点坐标和△ABF1周长；（2）求△ABF1面积的最大值（用λ表示）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）利用c=，可得焦点．由椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即可得出．（2）设直线AB的方程为：my=x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（λm2+λ+1）y2+2λmy﹣λ2=0，利用根与系数的关系可得|y1﹣y2|=．可得△ABF1面积S=|y1﹣y2|，化简利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）由椭圆，可得c==1，可得焦点（±1，0）．由椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=2．∴△ABF1周长=4．（2）设直线AB的方程为：my=x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（λm2+λ+1）y2+2λmy﹣λ2=0，△＞0，y1+y2=，y1y2=．∴|y1﹣y2|==．∴△ABF1面积S=|y1﹣y2|==≤=．当且仅当m=0时取等号．∴△ABF1面积的最大值为．21．已知函数f（x）=lnx+1．（1）①证明：当x＞0时，f（x）≤x（当且仅当x=1时取得等号）；②当n≥2，n∈N*时，证明：；（2）设，若g（x）≥0对x＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）①先构造函数m（x）=lnx+1﹣x，然后求导，根据导数符号即可求出函数m （x）的最大值为0，即得到m（x）≤0，从而证得f（x）≤x；②由①可知，ln（x﹣1）≤x﹣2，令x﹣1=t，则lnt≤t﹣1，再用赋值法，取t=n2，则lnn2≤n2﹣1，即lnn≤，由此即可证明结论成立；（2）根据x＞0，ax+（a﹣1）•﹣lnx﹣1≥0便可解得a≥，而根据上面知lnx+1≤x恒成立，从而便可求得的最大值，进而即可得出实数a的取值范围．【解答】（1）证明：①构造函数m（x）=f（x）﹣x=lnx+1﹣x，m′（x）=﹣1==0（x＞0）得x=1；当x∈（0，1）时，m'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，m'（x）＜0；∴[m（x）]max=m（1）=0；∴m（x）≤0；∴f（x）≤x；（当且仅当x=1时取得等号）；②由①可知，ln（x﹣1）≤x﹣2，x＞1，令x﹣1=t，则lnt≤t﹣1，t＞0，取t=n2，则lnn2≤n2﹣1，即lnn≤，故≤，n∈N*，n≥2∴≤++…+=（2）解：若g（x）≥0对x＞0恒成立等价于a≥对x＞0恒成立；记G（x）=，问题等价于a≥G（x）max；由（1）知lnx+1≤x（当且仅当x=1时取得等号）；∴G（x）=≤=1（当且仅当x=1时取得等号）；故G（x）max=1，所以a≥1；∴实数a的取值范围为[1，+∞）．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目记分．作答时，请写清题号.22．如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（Ⅰ）证明：CD∥AB；（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（I）根据两条边相等，得到等腰三角形的两个底角相等，根据四点共圆，得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，高考等量代换得到两个角相等，根据根据同位角相等两直线平行，得到结论．（II）根据第一问做出的边和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，根据平行的性质定理，等量代换，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆．【解答】解：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA故∠ECD=∠EBA，所以CD∥AB（Ⅱ）由（I）知，AE=BE，因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC连接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE又CD∥AB，∠FAB=∠GBA，所以∠AFG+∠GBA=180°故A，B．G，F四点共圆23．选修4﹣4：极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线，与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（Ⅰ）把C1、把C2的方程化为直角坐标方程，根据因为曲线C1关于曲线C2对称，可得直线y=a经过圆心（1，1），求得a=1，故C2的直角坐标方程．（Ⅱ）由题意可得，；φ；；=2cos（+φ），再根据|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+）sinφ+8cos（+φ）cosφ=8cos，计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）C1：即ρ2=2ρ（sinθ+cosθ）=2ρsinθ+2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，因为曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，；φ；；=2cos（+φ），∴|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+）sinφ+8cos（+φ）cosφ=8cos[（+φ）﹣φ]=8×=4．24．设函数f（x）=|x+m|．（1）若不等式f（1）+f（﹣2）≥5成立，求实数m的取值范围；（2）当x≠0时，证明：f（）+f（﹣x）≥2．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）由f（1）+f（﹣2）≥5得|m+1|+|m﹣2|≥5，然后分三种情况去绝对值号得出不等式解出；（2）使用绝对值不等式消去m，利用基本不等式证明．【解答】解：（1）∵f（1）+f（﹣2）≥5，∴|m+1|+|m﹣2|≥5，∴，或，或，解得m≤﹣2，或m≥3．∴m的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，+∞）．（2）当x≠0时，f（）+f（﹣x）=|+m|+|﹣x+m|≥|+m+x﹣m|=|x+|=|x|+||≥2．当且仅当x=±1时取“=“．∴f（）+f（﹣x）≥2．2016年12月5日。
福建省福州市闽侯三中2017-2018学年高三上学期期中考试数学理试卷 Word版含解析
2017-2018学年福建省福州市闽侯三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合A={x|y=lgx}，B={﹣1，1}，则下列结论正确的是（）A．A∩B={﹣1}B．（∁R A）∪B=（﹣∞，0）C．A∪B=（0，+∞）D．（∁R A）∩B={﹣1}2．复数﹣的实部与虚部的和为（）A．﹣ B．1 C．D．3．下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A．y=2x B．y=2|x|C．y=2x﹣2﹣x D．y=2x+2﹣x4．已知两个非零向量，满足•（﹣）=0，且2||=||，则＜，＞=（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A． B．C．D．6．设等差数列{a n}满足a2=7，a4=3，S n是数列{a n}的前n项和，则使得S n＞0最大的自然数n是（）A．9 B．10 C．11 D．127．某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是（）A．B．C．D．8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．﹣B．0 C．D．9．实数x，y满足，则z=|x﹣y|的最大值是（）A．2 B．4 C．6 D．810．已知P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则•的值是（）A．﹣ B．C．﹣D．不能确定11．将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）A．24种B．28种C．32种D．36种12．已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足（）A．0＜x0＜B．＜x0＜1 C．＜x0＜ D．＜x0二、填空题13．已知sinα﹣cosα=﹣，则sin2α=．14．已知抛物线x2=4y的集点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO=30°（O为坐标原点）时，|PF|=．15．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n+3，则S4=．16．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}满足a1=0，a n=a n+2+1+1（1）求证数列{}是等差数列，并求出a n的通项公式；（2）若b n=，求数列{b}的前n项的和T n．18．（12分）已知长方体AC1中，AD=AB=2，AA1=1，E为D1C1的中点，如图所示．（Ⅰ）在所给图中画出平面ABD1与平面B1EC的交线（不必说明理由）；（Ⅱ）证明：BD1∥平面B1EC；（Ⅲ）求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小．19．（12分）某中学根据2002﹣2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立，2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．（1）求m与n的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ1，=λ2，求证：λ1+λ2为定值．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是的⊙O直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．（Ⅰ）求证：C、D、G、E四点共圆．（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，EG=1，GA=3，求线段CE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣|+|2x+m|（m≠0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．2016-2017学年福建省福州市闽侯三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2016•沈阳一模）设全集U=R，集合A={x|y=lgx}，B={﹣1，1}，则下列结论正确的是（）A．A∩B={﹣1}B．（∁R A）∪B=（﹣∞，0）C．A∪B=（0，+∞）D．（∁R A）∩B={﹣1}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先求出集合A，根据补集和交集以及并集的运算性质分别判断即可．【解答】解：根据对数函数的定义，得x＞0，∴集合A={x|x＞0}，∴A∩B={x|x＞0}∩{﹣1，1}={1}，A错误；（∁R A）∪B={x|x≤0}∪{﹣1，1}={x|x≤0或x=1}，B错误；A∪B={x|x＞0}∪{﹣1，1}={x|x＞0或x=﹣1}，C错误；（∁R A）∩B={x|x≤0}∩{﹣1，1}={﹣1}，D正确；故选：D．【点评】本题考察了集合的运算性质，考察对数函数的定义域，是一道基础题．2．（2016•大庆二模）复数﹣的实部与虚部的和为（）A．﹣ B．1 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得实部和虚部，然后作和得答案．【解答】解：由﹣=，得复数﹣的实部与虚部分别为，1，∴数﹣的实部与虚部的和为．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（2016•沈阳一模）下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A．y=2x B．y=2|x|C．y=2x﹣2﹣x D．y=2x+2﹣x【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断．【解答】解：A虽增却非奇非偶，B、D是偶函数，C由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或y'=2x ln2+2﹣x ln2＞0），故选C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．4．（2016•蚌埠三模）已知两个非零向量，满足•（﹣）=0，且2||=||，则＜，＞=（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，•（﹣）=0，则•=•，即||2=•，结合2||=||，将其代入cos＜，＞=中可得cos＜，＞的值，进而可得＜，＞的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，•（﹣）=0，则•=•，即||2=•，又由2||=||，则cos＜，＞===；即＜，＞=60°；故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的运算，关键是5．（2016•泉州校级模拟）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A． B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】应用题；数形结合；定义法；空间位置关系与距离．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B【点评】本题考查了几何体的三视图，属于基础题．6．（2016•沈阳一模）设等差数列{a n}满足a2=7，a4=3，S n是数列{a n}的前n项和，则使得S n＞0最大的自然数n是（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式可得：a n=﹣2n+11，可见{a n}是减数列，且a5＞0＞a6，a5+a6=0，再利用前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}公差为d，∵a2=7，a4=3，∴，解得d=﹣2，a1=9．∴a n=9﹣2（n﹣1）=﹣2n+11，∴数列{a n}是减数列，且a5＞0＞a6，a5+a6=0，于是，，，故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（2016•江西模拟）某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】根据已知函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，0）代入解析式，可求出φ值，进而求出函数的解析式．【解答】解：不妨令该函数解析式为y=Asin（ωx+ϕ），由图知A=1，=，于是，即，因是函数减时经过的零点，于是，k∈Z，所以ϕ可以是，故选：C．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出A，ω和φ值，属于基本知识的考查．8．（2016•沈阳一模）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．﹣B．0 C．D．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；转化思想；分析法；算法和程序框图．【分析】根据题中的流程图，模拟运行，依次根据条件计算s和n的值，直到n＞2016运行结束，输出此时的s的值即为答案．【解答】解：由框图知输出的结果为：，因为函数的周期是6，所以=336×0=0．故选：B．【点评】本题考查了程序框图．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，要按照流程图中的运行顺序进行求解是关键．属于基础题．9．（2016•沈阳一模）实数x，y满足，则z=|x﹣y|的最大值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】简单线性规划．【专题】对应思想；数形结合法；不等式．【分析】根据题意，作出不等式组的可行域，令m=y﹣x，分析可得m的取值范围，而z=|x﹣y|=|m|，分析可得z的最大值，即可得答案．【解答】解：依题画出可行域如图，可见△ABC及内部区域为可行域，令m=y﹣x，则m为直线l：y=x+m在y轴上的截距，由图知在点A（2，6）处m取最大值是4，在C（2，0）处最小值是﹣2，所以m∈[﹣2，4]，而z=|x﹣y|=|m|，所以z的最大值是4，故选：B．【点评】本题考查线性规划求不等式的最值问题，关键是正确作出不等式的可行域．10．（2016•郑州三模）已知P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则•的值是（）A．﹣ B．C．﹣D．不能确定【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣3n2=3，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到．【解答】解：设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣3n2=3，由双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，则由解得交点A（，）；由解得交点B（，）．=（，），=（，），则•=+=﹣=﹣=﹣．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．11．（2016•沈阳一模）将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）A．24种B．28种C．32种D．36种【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题；分类讨论；转化法；排列组合．【分析】分三类，有一个人分到一本小说和一本诗集，有一个人分到两本诗集，有一个人分到两本小说，根据分类计数原理可得．【解答】解：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这中情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2本小说，1本诗集分给剩余3个同学，有3种分法，那共有3×4=12种第二类，有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先将两本诗集分到一个人手上，有4种情况，将剩余的3本小说分给剩余3个人，只有一种分法．那共有：4×1=4种，第三类，有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有4种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人，有3种分法．那共有：4×3=12种，综上所述：总共有：12+4+12=28种分法，故选：B．【点评】本题考查了分类和分步计数原理，关键是分类，属于中档题．12．（2016•江西模拟）已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足（）A．0＜x0＜B．＜x0＜1 C．＜x0＜ D．＜x0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用．【分析】求出函数y=x2的导数，y=lnx的导数，求出切线的斜率，切线的方程，可得2x0=，lnm﹣1=﹣x02，再由零点存在定理，即可得到所求范围．【解答】解：函数y=x2的导数为y′=2x，在点（x0，x02）处的切线的斜率为k=2x0，切线方程为y﹣x02=2x0（x﹣x0），设切线与y=lnx相切的切点为（m，lnm），0＜m＜1，即有y=lnx的导数为y′=，可得2x0=，切线方程为y﹣lnm=（x﹣m），令x=0，可得y=lnm﹣1=﹣x02，由0＜m＜1，可得x0＞，且x02＞1，解得x0＞1，由m=，可得x02﹣ln（2x0）﹣1=0，令f（x）=x2﹣ln（2x）﹣1，x＞1，f′（x）=2x﹣＞0，f（x）在x＞1递增，且f（）=2﹣ln2﹣1＜0，f（）=3﹣ln2﹣1＞0，则有x02﹣ln（2x0）﹣1=0的根x0∈（，）．故选：D．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查函数方程的转化思想，以及函数零点存在定理的运用，属于中档题．二、填空题13．（2016•沈阳一模）已知sinα﹣cosα=﹣，则sin2α=．【考点】二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】由sinα﹣cosα=﹣，两边平方，再利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解答】解：由sinα﹣cosα=﹣，两边平方可得：sin2α+cos2α﹣2sinαcosα=，化为1﹣sin2α=，则sin2α=．故答案为：．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，属于基础题．14．（2016•沈阳一模）已知抛物线x2=4y的集点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO=30°（O为坐标原点）时，|PF|=．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），准线l的方程为：y=﹣1．由∠AFO=30°，可得x A=．由于PA⊥l，可得x P=，y P=，再利用|PF|=|PA|=y P+1即可得出．【解答】解：由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），准线l的方程为：y=﹣1．∵∠AFO=30°，∴x A=．∵PA⊥l，∴x P=，y P=，∴|PF|=|PA|=y P+1=．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．15．（2016•沈阳一模）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n+3，则S4=66．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a n+1=2S n+3，∴a n=2S n﹣1+3（n≥2），可得a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n，n≥2，∴数列{a n}从第二项起是公比为3的等比数列，a2=5，∴=66．故答案为：66．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（2016•桂林模拟）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（0，）．【考点】抽象函数及其应用；函数的零点．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】令x=﹣1，求出f（1），可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，画出图形，根据函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），可得log a（2+1）＞f（2）=﹣2，即log a3＞﹣2，∴3＜，解得＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，故答案为：（0，）．【点评】此题主要考查函数奇偶性、周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，正确赋值是迅速解题的关键．三、解答题=a n+2+1 17．（12分）（2016秋•闽侯县校级期中）已知数列{a n}满足a1=0，a n+1（1）求证数列{}是等差数列，并求出a n的通项公式；（2）若b n=，求数列{b}的前n项的和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）变形利用等差数列的定义与通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．=a n+2+1=﹣1，【解答】（1）证明：由a n+1∴﹣=1，故数列{}是等差数列，首项为1，公差为1的等差数列．∴=1+（n﹣1）=n，∴a n=n2﹣1．（2）解：b n==（n+1）•2n，∴数列{b}的前n项的和T n=2×2+3×22+4×23+…+（n+1）•2n，2T n=2×22+3×23+…+n•2n+（n+1）•2n+1，∴﹣T n=4+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1=2+﹣（n+1）•2n+1，可得T n=n•2n+1．【点评】本题考查了“错位相减法”与等比数列的求和公式、等差数列的定义与通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016•沈阳一模）已知长方体AC1中，AD=AB=2，AA1=1，E为D1C1的中点，如图所示．（Ⅰ）在所给图中画出平面ABD1与平面B1EC的交线（不必说明理由）；（Ⅱ）证明：BD1∥平面B1EC；（Ⅲ）求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BC1交B1C于M即可得到平面ABD1与平面B1EC的交线；（Ⅱ）根据线面平行的判定定理即可证明：BD1∥平面B1EC；（Ⅲ）方法1，根据几何法作出二面角的平面角即可求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小．方法2，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解．【解答】解：（Ⅰ）连接BC1交B1C于M，则直线ME即为平面ABD1与平面B1EC的交线，如图所示；…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）因为在长方体AC1中，所以M为BC1的中点，又E为D1C1的中点所以在△D1C1B中EM是中位线，所以EM∥BD1，…（6分）又EM⊂平面B1EC，BD1⊄平面B1EC，所以BD1∥平面B1EC；…（8分）（Ⅲ）因为在长方体AC1中，所以AD1∥BC1，平面ABD1即是平面ABC1D1，过平面B1EC上点B1作BC1的垂线于F，如平面图①，因为在长方体AC1中，AB⊥平面B1BCC1，B1F⊂平面B1BCC1，所以B1F⊥AB，BC1∩AB=B，所以B1F⊥平面ABD1于F．过点F作直线EM的垂线于N，如平面图②，连接B1N，由三垂线定理可知，B1N⊥EM．由二面角的平面角定义可知，在Rt△B1FN中，∠B1NF即是平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的平面角．因长方体AC1中，AD=AB=2，AA1=1，在平面图①中，，…（10分），，C1E=1，在平面图②中，由△EMC1相似△FMN1可知==，所以tan∠B1NF==，所以平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小为arctan2．…（12分）空间向量解法：（Ⅰ）见上述．…（4分）（Ⅱ）因为在长方体AC1中，所以DA，DC，DD1两两垂直，于是以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，因为AD=AB=2，AA1=1，所以D（0，0，0），D1（0，0，1），B（2，2，0），B1（2，2，1），C（0，2，0），E（0，1，1）．所以，，，…（6分）令平面B1EC的一个法向量为所以，，从而有，，即，不妨令x=﹣1，得到平面B1EC的一个法向量为，而，所以，又因为BD1⊄平面B1EC，所以BD1∥平面B1EC．…（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，令平面ABD1的一个法向量为，所以，，从而有，，即，不妨令x=1，得到平面ABD1的一个法向量为，…（10分）因为=．…（11分）所以平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小为．…（12分）【点评】本题主要考查线面平行的判定以及二面角的求解，利用几何法以及建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决空间二面角的常用方法，综合性较强，运算量较大．19．（12分）（2016•沈阳一模）某中学根据2002﹣2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立，2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．（1）求m与n的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】应用题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）根据假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n，建立方程组，即可求m与n的值；（2）确定学分X的可能取值，求出相应的概率，可得X的分布列与数学期望【解答】解：（1）由题意，，m＞n∴m=，n=；（2）学分X的取值分别为0，1，2，3，4，5，6，则P（X=0）=，P（X=1）=×=，P（X=2）=×=，P（X=3）=+×=，P（X=4）=×=，P（X=5）==，P（X=6）=．期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×=．【点评】本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．20．（12分）（2013•南开区一模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ1，=λ2，求证：λ1+λ2为定值．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．易求出a，b的值，得到椭圆C的方程．（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2），然后采用“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”，结合已知中，，求出λ1+λ2值，即可得到结论．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为，则由题意知b=1．…（2分）∴．∴a2=5．…（4分）∴椭圆C的方程为．…（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0）．又易知F点的坐标为（2，0）．…（6分）显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2）．…（7分）将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0．…（8分）∴．…（9分）又∵．（11分）∴．…（12分）【点评】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．21．（12分）（2016•宁城县一模）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；作图题；数形结合；分类讨论；转化思想；数形结合法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为g（x）=lnx ﹣ax有两个不同零点，从而讨论求解；（Ⅱ）可化为1+λ＜lnx1+λlnx2，结合方程的根知1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），从而可得；而，从而化简可得，从而可得恒成立；再令，t∈（0，1），从而可得不等式在t∈（0，1）上恒成立，再令，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），故，又，故，解得，x0=e，故，故．（解法二）转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．又，即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减．=g（e）=；故g（x）极大又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，故g（x）的草图如右图，可见，要想函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，只须．（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，而（x＞0），若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．若a＞0，在时，g′（x）＞0，在时，g′（x）＜0，所以g（x）在上单调增，在上单调减，从而=，又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，＞0，即，所以．于是只须：g（x）极大综上所述，．（Ⅱ）因为等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．所以原式等价于，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．令，t∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，又=，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论，转化思想，数形结合的思想方法的应用，属于中档题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•衡水校级二模）如图，AB是的⊙O直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．（Ⅰ）求证：C、D、G、E四点共圆．（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，EG=1，GA=3，求线段CE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）连接BD，由题设条件结合圆的性质能求出∠C=∠AGD，从而得到∠C+∠DGE=180°，由此能证明C，E，G，D四点共圆．（Ⅱ）由切割线定理推导出EB=2，由此能求出CE的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD，则∠AGD=∠ABD，∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90°∴∠C=∠AGD，∴∠C+∠DGE=180°，∴C，E，G，D四点共圆．…..（Ⅱ）解：∵EG•EA=EB2，EG=1，GA=3，∴EB=2，又∵F为EB的三等分点且靠近E，∴，，又∵FG•FD=FE•FC=FB2，∴，CE=2．…．（10分）【点评】本题考查四点共圆的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质的灵活运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•汉中二模）已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】转化思想；转化法；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）根据参数方程和极坐标方程与普通方程的关系进行转化求解即可．（Ⅱ）求出圆心坐标以及圆心到直线的距离，结合四边形的面积公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（θ为参数），所以圆C的普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．…（2分）由得ρcosθ+ρsinθ=2，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴直线l的直角坐标方程x+y﹣2=0…（4分）（Ⅱ）圆心C（3，﹣4）到直线l：x+y﹣2=0的距离为d==…（6分）由于M是直线l上任意一点，则|MC|≥d=，∴四边形AMBC面积S=2×AC•MA=AC=2≥2∴四边形AMBC面积的最小值为…（10分）【点评】本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，考查学生的运算和转化能力．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•汉中二模）设函数f（x）=|2x﹣|+|2x+m|（m≠0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式，结合基本不等式证明：f（x）≥2；。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
福建省正曦中学2017-2018学年高三入学考试
数学（理科）试题
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1.
设f(n)=N),则集合{x|x=f(n)}中元素的个数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.无穷多个
2.
不等式组表示的平面区域的面积为（ ）
A． B． C． D．无穷大
3.设曲线在点(0，0)处的切线方程为，则的值为
A.0 B.1 C.2 D.3
4.
设集合S={1，2,3，4,5，6}，定义集合对(A，B)::，A中含有3个元素，B中至少含
有2个元素，且B中最小的元素不小于A中最大的元素.记满足的集合对(A，B)的总个
数为m，满足的集合对(A，B)的总个数为n，则的值为
(A) (B) (C) (D)
5.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的
数据（如下表），由最小二乘法得回归直线方程，表中有一个数据模糊不清，请你推断该
数据的值为
零件个数x（个）
10 20 30 40 50
加工时间y（min） 62 ●
75 81 89
A.68 B.68.2 C.70 D.75
6.从l，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2
个数均为偶数”则P(B/A)等于
7.在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB上AC，D是A点在BC上的射影，则
AB2=BD·BC。拓展到空间，在四面体A-BCD中，CA⊥面ABD，点O是4在面BCD内的射影，且O在
面BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是
A. S△ABC2=S△BOC·S△BDC B. S△ABD2=S△BOD·S△BDC
C. S△ADC2=S△DOC·S△BDC D. S△DBC2=S△ABD·S△ABC
8.若函数f(x)在定义域R内可导，
，则的大小关系是
9.某班组织文艺晚会，准备从4，B等6个节目中选出3个节目演出，要求：4，曰两个节目至少有一
个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为
A.84 B.80 C.76 D.72
10.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f’(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf’(x)的图
像可能是
二、填空题：本大题共5小趣，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸相应的位置.
11.若复数z=l+i（i为虚数单位），是的共轭复数，则的虚部为 ▲ .
12.抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数服从二项分布，若
则亭的方差D（）= ▲ .
13.曲线y=x2-2x与直线x=-1，x=l以及z轴所围图形的面积为 ▲ ..
14.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放人3个不同的信封中。若每个信封放2张，其中标号为
1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 ▲ .种（用数字作答）.
15.观察下列等式：
(1+1)=2xl
(2+1)(2+2)=22×l×3
(3+1)(3+2)(3+3)=23×l×3×5
照此规律，第n个等式可为 ▲ .
三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请
将解答过程写在答题纸的相应位置.
16.（本小题满分12分）
已知复数z=3+bi，（b为正实数），且（z-2）2为纯虚数
(I)求复数z；
(Ⅱ)若，求复数的模||.
17.（本小题满分12分）
在二项式的展开式中，前三项系数成等差数列.
(I)求展开式中的常数项；
(Ⅱ)求展开式中系数最大的项.
18.（本小题满分12分）
某中学对高二甲、乙两个同类班级，进行“加强‘语文阅读理解’训练，对提高‘数学应用题’得分
率的作用”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训
练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数
学应用题测试的平均成绩（均取整数）如下表所示：
60分以下 61-70分 71-80分 81-90分 91-100分
甲班（人数）
3 6 11 18
12乙班（人数）
7 13 10 10 10
现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀.
(I)试分析估计两个班级的优秀率；
(Ⅱ)由以上统计数据填写下面2x2列联表，根据以上数据，能杏有95%的把握认为“加强‘语文阅读
理解’训练对提高 ‘数学应用题’得分率”有帮助？
优秀人数 非优秀人数 合计
甲班
乙班
合计
参考公式及数据：
P（x2≥k0）
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.028 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19.（本小题满分12分）
已知函数数列满足.
(I)求
(Ⅱ)猜想数列通项，并用数学归纳法予以证明.
20.（本小题满分13分）
一个盒子中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.
(I)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
(Ⅱ)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表
示x1，x2，x3中的最大数，求X的分布列和数学期望E（X）.
21.（本小题满分14分）
已知函数f(x)=x2+x-ln（1+x）
(I)讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)若关于x的方程八戈）=丢肖一6在区间上恰有两个不同的实数根，求实数b的取
值范围；
(Ⅲ)证明：对任意的正整数n，不等式都成立.