3静定结构
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结构力学第三章静定结构组合结构及拱
0 FNJ 右 FQJ 右 sin FH cos (7.5) (0.447) 10 0.894
3.35 8.94 12.29kN (压)
二、三较拱的压力线
如果三铰拱某截面D以左(或以右)所有外力的 合力FRD已经确定，则该截面的弯矩、剪力、轴 力可按下式计算：
15kN K右
Fº ＝－2.5kN QK右
0 0 (FH 10kN , FQK左 12.5kN , FQK右 2.5kN )
(sin 0.447, cos 0.894)
0 FQK 左 FQK 左 cos FH sin 12.5 0.894 10 0.447
67.5kN
50
A F C G E
B
30
D
M图
kN.m
求AC杆和BC杆剪力
F
FQAC
y
0, FQAC 7.5kN
22.5kN 7.5 32.5 10kN/m FNAD
FAy
+ _
15
+
7.15 67.5kN 35 FQ图 kN
作业
3-20
§3-6 三铰拱受力分析
拱 (arch)
FN DE 135kN ,
FNDF FN EG =-67.5kN
FAy
D
FCx 135kN , FCy 15kN
FNDA
FNDF
D
FN DA FN EB＝ kN 151
FNDE
2m
F
50kN.m
求AC杆和BC杆弯矩
22.5kN 5kN.m
20kN.m 10kN/m
30kN.m
MD FRD
3.35 8.94 12.29kN (压)
二、三较拱的压力线
如果三铰拱某截面D以左(或以右)所有外力的 合力FRD已经确定，则该截面的弯矩、剪力、轴 力可按下式计算：
15kN K右
Fº ＝－2.5kN QK右
0 0 (FH 10kN , FQK左 12.5kN , FQK右 2.5kN )
(sin 0.447, cos 0.894)
0 FQK 左 FQK 左 cos FH sin 12.5 0.894 10 0.447
67.5kN
50
A F C G E
B
30
D
M图
kN.m
求AC杆和BC杆剪力
F
FQAC
y
0, FQAC 7.5kN
22.5kN 7.5 32.5 10kN/m FNAD
FAy
+ _
15
+
7.15 67.5kN 35 FQ图 kN
作业
3-20
§3-6 三铰拱受力分析
拱 (arch)
FN DE 135kN ,
FNDF FN EG =-67.5kN
FAy
D
FCx 135kN , FCy 15kN
FNDA
FNDF
D
FN DA FN EB＝ kN 151
FNDE
2m
F
50kN.m
求AC杆和BC杆弯矩
22.5kN 5kN.m
20kN.m 10kN/m
30kN.m
MD FRD
第3章静定结构受力分析三铰拱
将以上两式代入上方程得 :
FN FQ0 sin FH cos
FQ FQ0 cos FH sin
(2)
M M 0 FH y
概念：
上式即为用相应简支梁的内力 表示的拱的内力式。当将上式 用作拱的内力计算公式时，可 以叫做公式法。
3.拱的内力图特征和制作
分析
由式2可知，在竖向荷载作用 下静定拱内力与相应简支梁
例1 图(a)所示三铰拱的拱轴 为半圆形。计算截面K1、K2的 内力。
FP=10kN
R=4m
(a)
解 1)求支座反力
竖 MA 0
向 FBy
1 [q R 2R
R 2
FP (R
R cos )] 11.33kN()
反 MB 0
力 FAy
1 [q R 2R
力与前规定相同；弯矩以使 拱的下侧受拉为正；
以图示三铰刚架为例说明拱的内 力计算的一般方法。
FH F Ay
FH
F By FN0
解：
截开指定截面K，取左侧为隔 离体，见下页图(c)(d)，截 面上的内力均按规定的正方 向示出 。
M FN
FH
FQ
FAy
(c)
M0 0
FQ0
(d)
在轴力和剪力的两个正交方 向上建立投影方程，并建立 关于截面形心的力矩方程， 即得：
内力及拱水平反力有关。其
中拱水平反力对应确定的荷
载是一常数。此外，拱轴力
和剪力还与所计算截面外法
线与x轴的夹角a有关。
结论
拱轴上内力有以下3个特点：
1
不管是在均布荷载下还是在集 中荷载下，拱的三个内力图都 是曲线图形。
FN FQ0 sin FH cos
FQ FQ0 cos FH sin
(2)
M M 0 FH y
概念：
上式即为用相应简支梁的内力 表示的拱的内力式。当将上式 用作拱的内力计算公式时，可 以叫做公式法。
3.拱的内力图特征和制作
分析
由式2可知，在竖向荷载作用 下静定拱内力与相应简支梁
例1 图(a)所示三铰拱的拱轴 为半圆形。计算截面K1、K2的 内力。
FP=10kN
R=4m
(a)
解 1)求支座反力
竖 MA 0
向 FBy
1 [q R 2R
R 2
FP (R
R cos )] 11.33kN()
反 MB 0
力 FAy
1 [q R 2R
力与前规定相同；弯矩以使 拱的下侧受拉为正；
以图示三铰刚架为例说明拱的内 力计算的一般方法。
FH F Ay
FH
F By FN0
解：
截开指定截面K，取左侧为隔 离体，见下页图(c)(d)，截 面上的内力均按规定的正方 向示出 。
M FN
FH
FQ
FAy
(c)
M0 0
FQ0
(d)
在轴力和剪力的两个正交方 向上建立投影方程，并建立 关于截面形心的力矩方程， 即得：
内力及拱水平反力有关。其
中拱水平反力对应确定的荷
载是一常数。此外，拱轴力
和剪力还与所计算截面外法
线与x轴的夹角a有关。
结论
拱轴上内力有以下3个特点：
1
不管是在均布荷载下还是在集 中荷载下，拱的三个内力图都 是曲线图形。
结构力学3静定刚架受力分析
C
∑F = 0,
x
XB + XC = 0, XC = −P(↓)
XC
YC
B
XB
YB
3)取整体为隔离体 取整体为隔离体 ∑Fy = 0,YA +YB = 0,YA = −YB = −P(↓) l ∑ M A = 0, M A + P × 2 − YB × l = 0, 1 M A = Pl (顺时针转 ) 2
Pl
Pl
P
l
l
l
练习: 练习 试找出图示结构弯矩图的错误
练习: 练习 试找出图示结构弯矩图的错误
本章小结
一. 刚架的受力特点 二. 刚架的支座反力计算 三. 刚架指定截面内力计算 四.刚架弯矩图的绘制 五.计算结果的校核
作业
3-3 (a) 3-7(a) 3-8(c)
P
P
Pl
P
P
P
P
Pl
P
P
连接两个杆端的刚结点, 连接两个杆端的刚结点 §3-3 静定刚架受力分析 ,若 结点上无外力偶作用, 结点上无外力偶作用,则两 三. 刚架指定截面内力计算 个杆端的弯矩值相等, 个杆端的弯矩值相等,方向 与梁的指定截面内力计算方法相同. 与梁的指定截面内力计算方法相同. 相反. 相反.
第三章 静定结构受力分析
§3-3 静定刚架受力分析
§3-3 静定刚架受力分析
一. 刚架的受力特点
刚架是由梁柱组成的含有刚结点的杆件结构
1 2 ql l 8
梁
桁架
1 2 ql 8
弯矩分布均匀 可利用空间大
刚架
§3-3 静定刚架受力分析
二. 刚架的支座反力计算
静定刚架的分类: 静定刚架的分类 三铰刚架 (三铰结构 三铰结构) 三铰结构
结构力学 第三章 静定结构的内力计算(典型例题练习题)
作简支梁的剪力图与弯矩图。
解：求支座反力荷载叠加法平衡方程*［例题3-2-2］作外伸梁的剪力图与弯矩图。
解：求支座反力<荷载叠加法平衡方程*作外伸梁的剪力图与弯矩图。
解：求支座反力荷载叠加法平衡方程、［例题3-3-1］作多跨静定梁的内力图。
解：求支座反力荷载叠加法&［例题3-3-2］作三跨静定梁的内力图。
解：求支座反力[［例题3-3-3］作多跨静定梁的内力图。
解：求支座反力［例题3-4-1］作静定刚架的内力图解：求支座反力)［例题3-4-2］作静定刚架的内力图解：求支座反力［例题3-4-3］（作静定刚架的内力图解：求支座反力［例题3-4-4］作静定刚架的内力图解：求支座反力—［例题3-4-5］作三铰刚架的内力图解：求支座反力|［例题3-4-6］作三铰刚架的内力图解：求支座反力）［例题3-4-7］作静定刚架的内力图解：求支座反力…［例题3-4-8］作静定刚架的图解：［例题3-4-9］作静定刚架的图解：。
［例题3-4-10］作静定刚架的图解：［例题3-4-11］作静定刚架的图解："［例题3-4-12］作静定刚架的图解：［例题3-4-13］ 作静定刚架的图解：*［例题3-4-14］ 作静定刚架的图解：求支座反力［例题3-4-15］）作静定刚架的图解：［例题3-5-1］试绘制三铰拱的内力图。
拱轴方程为解：相应简支梁的反力和内力求支座反力.拱轴方程当时》00001050145105233315105233315533,75546403305055315-25693255-5507-45135-8581200-1150［例3-5-2］试求对称三铰拱在竖向均布荷载作用下的合理轴线。
解：相应简支梁的弯矩方程为水平推力合理轴线方程为合理轴线为一抛物线。
［例3-6-1］用结点法求桁架各杆的内力。
解：求支座反力解题路径：以结点为对象以结点为对象以结点为对象以结点为对象［例3-6-2］用结点法求桁架各杆的内力。
第三章 静定结构的内力计算
FAy
1 3a 4 FP a M q 3a 3a 2 5
第三章
静定结构的内力计算
M
B
0
3a 4 FAy 3a M q 3a FP a 0 2 5 1 3a 4 FAy FP a M q 3a 3a 2 5
第三章
无荷载 平行轴线
Q图
静定结构的内力计算
均布荷载
集中力 发生突变
P
集中力偶
无变化 发生突变
m
斜直线
M图
二次抛物线 凸向即q指向
出现尖点
两直线平行 备 注
Q=0区段M图 Q=0处，M 平行于轴线 达到极值
集中力作用截 集中力偶作用 面剪力无定义 面弯矩无定义
在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩 等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。
第三章 静定结构的内力计算
第三章
静定结构的内力计算
§3-1单跨静定梁
一、静定结构概述 1．概念：是没有多余约束的几何不变体系。 2．特点：在任意荷载作用下，所有约束反力和内力都 可由静力平衡方程唯一确定。 平衡方程数目 = 未知量数目 3．常见的静定结构 常见的静定结构有：单跨静定梁、多跨静定梁、静 定平面刚架、三铰拱、静定平面桁架、静定组合结构等 (如下图）。
0 FYA FYA 0 FYB FYB
A
x
C
L
斜梁的反力与相应简支 梁的反力相同。
第三章
（2）内力
静定结构的内力计算
求斜梁的任意截面C的内力，取隔离体AC： a FP1 A
FYA x Fp1 FYA
0
MC
《结构力学》第四章 静定结构的位移计算 (3)
A M k M P ds
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
第三章 静定结构的内力计算(组合结构)
A A A A 0 0 0 0
0 0 0 0
8 8 8 8
HC
3、求梁式杆内力 处理结点A处力
结构力学
第3章静定结构的内力计算
静定结构特性
结构力学
第3章静定结构的内力计算
静定结构特性 静定结构特性 一、结构基本部分和附属部分受力影响
A
F1
B
C
F2
D
E
F3
F
如只有 F1 作用。则Ⅱ、Ⅲ无内力和反力； Ⅰ Ⅱ Ⅲ 如只有 F1 作用。则Ⅱ、Ⅲ无内力和反力； 如只有 F1 作用。则Ⅱ、Ⅲ无内力和反力； 如只有 F3 作用。则Ⅰ、Ⅱ均有内力和反力； 如只有 F3 作用。则Ⅰ、Ⅱ均有内力和反力； 如只有 F3 作用。则Ⅰ、Ⅱ均有内力和反力； 如只有 F2 作用。则Ⅲ无内力和反力，但Ⅰ有内力和反力。 如只有 F2 作用。则Ⅲ无内力和反力，但Ⅰ有内力和反力。 特性一、静定结构基本部分承受荷载作用，只在基本部分上产 如只有 F2 作用。则Ⅲ无内力和反力，但Ⅰ有内力和反力。 生反力和内力；附属部分上承受荷载作用，在附属部分和基本 部分上均产生反力和内力。
第3章静定结构的内力计算
q = 1 kN/m A FR Ax FR Ay FNDA F C FNFD VC
8 8 8 8
M M图 图 （ m M图 （kN· kN· m） ） M 图 （kN· m） （kN· m） F 图 FQ 图 Q （ ） FkN 图 （ kN Q ） FkN 图 （ Q ） （kN） F 图 FN N图 （ ） FkN （ kN ） N图 FkN N图 （ ） （kN）
结构力学
第3章静定结构的内力计算
二、平衡荷载的影响
F C B D
A B q C
第3章 静定结构的受力分析
(1)组成次序：先固定梁AB， 在固定BD，最后固定DF。基 本部分与附属部分间的支撑 关系如图所示。 (2)计算分析次序：先计算
箭头画反
附属部分FD。D点反力求出， 反其指向即为梁DB的荷载。 依次类推。最后计算梁BA，
求出A端的支座反力。
23
支座反力求出后，即可做M 图和Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图(图d和e)，
（ d）
14
Y 0
18
FQ图 kN
10
14
M图 kN m
6
4
14
26.5 22
15
6 16
例2：
例3：
0.25ql
2
q
0.5l
0.5l
16
40kN m
例4：
2m 2m
4 kN
m
例5：
2m
20kN
2m
20kN m
17
例6：
12 kN
m
26kN
3m
1m
例7：
8 kN
m
24kN m
45
46
47
48
49
50
51
例题3-5
52
例题3-5
53
例题3-5
54
55
56
下图为一复杂桁架，对水平截面m-m，AF为截面单杆，其轴力可由此截面的水 平投影方程直接求出。此杆轴力求出后，其余各杆轴力即可用结点法依次求出 （依次取结点F、D、G、E为隔离体） 左图中均为联合桁架，每个结 点都不存在结点单杆。这些联 合桁架都是由两个简单桁架用 三个连接杆1、2、3装配而成。 对图中所示截面，连接杆1、
64
2.刚架的支座反力
箭头画反
附属部分FD。D点反力求出， 反其指向即为梁DB的荷载。 依次类推。最后计算梁BA，
求出A端的支座反力。
23
支座反力求出后，即可做M 图和Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图(图d和e)，
（ d）
14
Y 0
18
FQ图 kN
10
14
M图 kN m
6
4
14
26.5 22
15
6 16
例2：
例3：
0.25ql
2
q
0.5l
0.5l
16
40kN m
例4：
2m 2m
4 kN
m
例5：
2m
20kN
2m
20kN m
17
例6：
12 kN
m
26kN
3m
1m
例7：
8 kN
m
24kN m
45
46
47
48
49
50
51
例题3-5
52
例题3-5
53
例题3-5
54
55
56
下图为一复杂桁架，对水平截面m-m，AF为截面单杆，其轴力可由此截面的水 平投影方程直接求出。此杆轴力求出后，其余各杆轴力即可用结点法依次求出 （依次取结点F、D、G、E为隔离体） 左图中均为联合桁架，每个结 点都不存在结点单杆。这些联 合桁架都是由两个简单桁架用 三个连接杆1、2、3装配而成。 对图中所示截面，连接杆1、
64
2.刚架的支座反力
第3章 静定结构的受力分析
40kNm
20kN
B
2m 2m 2m
q=8kN/m
B
3m
A 4m
1m
28
§ 3-1 单跨静定梁的内力计算
例：作图示斜梁的内力图。 q
x
FxA A
θ
FyA
ql
l /cosq
C
q
qlcosq
B
90°
FQBA
qlsinq
l
29
§ 3-1 单跨静定梁的内力计算
解：1) 求A、B截面剪力和轴力
q
MA 0
q A
MA
l
B MB
MA
(MA+MB)/2 MB
MA +
q A
MB B
ql2/8
MA A
= MB
ql2/8 B
ql 2 8
M
A
2
MB
12
§ 3-1 单跨静定梁的内力计算 ③简支梁的区段叠加法作弯矩图
MA=Pl+ql2/2 q
P
FyA=P+ql l
=
区段叠加法
MA
q ql2/8 P
⑵画出每一单跨梁的内力图再拼接。
36
§ 3-2 静定多跨梁 例3-2 作图示静定多跨梁的M 图和FQ 图。
A 1.5m
20kN BC
1.5m 1m 1.5m
10kN D E
1.5m 1m
解： ⑴作组成层次图
10kN
20kN
C
DE
A
B
组成层次图
4kN/m F
3m
4kN/m F
37
⑵求各部分约束力画层次受力图
结构力学3静定刚架
（）
速绘弯矩图
Pa
P
a
2m/3 m/3
m m/3
m 2m/3
a
a
a
a
↑↑↑↑↑
P
Pa a
P Pa
a
qa2/2 l
a
a
P
m
m Pa/2
m
Oa
a
m
m/2 m
m/2a
a
Pa/2
m
m/2a
m
a
m/2
m/2
m/2
0
m/2a
a
a m/2
a
a
P
2Pa Pa
2P
0
Pa
a
a
a
Pa
a
2P
m
2Pa Pa
P
Pa P
h
E
D
B
2q A
2a 2a
4a
4）杆AB
N BA
M BA
B QBA
2q 14qa2
A 8qa
10qa
3)杆BE q
M BE
N BE
QBE 4a
8qa 2
M图NBBiblioteka = 10qa QBA = 0 M BA = 2qa2
x=0
NBE q 4a sin = 0
N BE
=
4qa
1、悬臂刚架
可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。
q
2q
½qL²↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qL²
2q
↓↓↓↓↓
L
q
qL²
2m
2m
L
6q
2、简支型刚架弯矩图
简支型刚架绘制弯矩图时，往
速绘弯矩图
Pa
P
a
2m/3 m/3
m m/3
m 2m/3
a
a
a
a
↑↑↑↑↑
P
Pa a
P Pa
a
qa2/2 l
a
a
P
m
m Pa/2
m
Oa
a
m
m/2 m
m/2a
a
Pa/2
m
m/2a
m
a
m/2
m/2
m/2
0
m/2a
a
a m/2
a
a
P
2Pa Pa
2P
0
Pa
a
a
a
Pa
a
2P
m
2Pa Pa
P
Pa P
h
E
D
B
2q A
2a 2a
4a
4）杆AB
N BA
M BA
B QBA
2q 14qa2
A 8qa
10qa
3)杆BE q
M BE
N BE
QBE 4a
8qa 2
M图NBBiblioteka = 10qa QBA = 0 M BA = 2qa2
x=0
NBE q 4a sin = 0
N BE
=
4qa
1、悬臂刚架
可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。
q
2q
½qL²↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qL²
2q
↓↓↓↓↓
L
q
qL²
2m
2m
L
6q
2、简支型刚架弯矩图
简支型刚架绘制弯矩图时，往
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静静多截
定 平 面
定 刚
跨 静 定
面 内
桁架
架 内 力
内 力
梁 内 力
力 计
图图图算
§３-1 回顾和补充
３-1-1 材料力学内容回顾
杆件内力分析要点： • 内力正负号规定：
FN
FN
FQ
MM
FQ
FN
FN
FQ FQ
M
M
• 求内力的基本方法：
截面法（截取隔离体；代之相应截面内力；利用平衡 方程求解）
平行轴线 斜直线
↓↓↓↓↓↓
＋ －
二次抛物线 凸向即q指向
发生突变
＋P －
出现尖点
尖点指向即P的指向
无变化 发生突变
m
两直线平行
备 Q=0区段M图 Q=0处，M 集中力作用截 集中力偶作用面
注 平行于轴线 达到极值
面剪力无定义 弯矩无定义
等于在零自q，、由有零qQ端、集、、、中平QqM铰、力、、支偶M斜qQ座、、作、、Q用抛M铰、，结M截点面处弯，矩无等集于中集力中偶力作偶用的，值截。面弯矩
截开、代替、平衡
• 内力的叠加与分解：
假设：材料满足线弹性、小变形。
例：求截面1、截面2的内力
5kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
N2=50 －141×cos45o
=－50kN
1
Q2= －141×sin45°＝－100kN 2
1 2
50kN
M2＝ 50×5 －125－141×0.707×5 ＝－375kN.m +
第3章 静定结构的受力分析
Chapter 3 Statically Determinate Structure
➢ ➢ ➢ ➢
多跨梁及刚架基本要求
掌握结构的支座反力的计算，结构的 剪力和轴力计算的两种方法，内力图 的形状特征和绘制内力图的叠加法。 熟练掌握绘制弯矩图各种技巧，能迅 速绘制弯矩图。 理解恰当选取分离体和平衡方程计算 静定结构内力的方法与技巧。会根据 几何组成寻找求解途径。
1、首先求出两杆 端弯矩，连一虚线；
q
↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓
A
2、然后以该虚线 为基 线，叠加上简支 梁在跨间荷载作用下 的弯矩图。
↓ ↓ ↓↓ ↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓
NA MA QA
MA
q
↓ ↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓
➢对于任意直杆段，不论 其内力是静定的还是超静
YA°
C 1m
A
2m
（a）
RA=70kN
D 1m
B
RB=10kN
QD左
Q
右 A
q分布图的面积
50 ＋
10 40
=50－20×2＝10kN
（b）
20
10 －
Q图 (kN)
10
适用条件：AD段内无集中力 作用。
（c）
M D M A Q分布图的面积
30
40 = － 10+(50+10)×2／2
M图 (kN.m)
45° 141kN
M2＝375kN.m （左拉）
N1=141×0.707=100kN
5m
Q1= 50 +5×5－141×0.707
=－25kN
M1=125 +141×0.707×10－50×5－5/2×5²
=812.5kNm
(下拉）
125kN.m 5m
• 荷载与内力之间的关系： qy
Q ↓↓↓↓↓↓↓
M°
少求甚至不求支座反力。而且
对以后利用图乘法求位移，也
提供了把复杂图形分解为简单
图形的方法。
MA
M M' M°
MB MB
MB
＋
MB
M
FP
MA
Pl
4
MB
做法：
M
先在梁端绘弯矩竖标
过竖标顶点连直虚线
MB
以虚线为基础叠加相应
简支梁弯矩图
注意:合成内力图是
MB 竖标相加,不是图形 的简单拼合。
2）直杆情况
3-1-2 结构力学与材料力学内力规定的异同
• 轴力和剪力的正负号规定与材料力学相同 • 内力符号脚标有其特定的意义。如MAB表明AB杆的
A端弯矩 • 结构力学弯矩图画在受拉纤维一侧
3-1-3 区段叠加法（superposition method） 做弯矩图
简支梁熟记弯矩图
FP
q
Pl
ql 2
4
8
50
=50kN.m 适用条件：AD段内无集中力
偶作用。
4kN·m
4kN
3m
3m
（1）集中荷载作用下
6kN·m
（2）集中力偶作用下
4kN·m 2kN·m
（3）叠加得弯矩图
4kN·m
4kN·m
8kN·m
2kN/m
3m
3m
2m
（1）悬臂段分布荷载作用下
2kN·m
4kN·m
（2）跨中集中力偶作用下
4kN·m
4kN·m
（3）叠加得弯矩图
6kN·m
4kN·m
2kN·m
q
l/2
FAy q
FAy
l/2
M0 FOy
M0
分析步骤
• 确定控制点
• 分析各段内力图走势 （利用微分关系）
• 求控制截面内力（利用
FBy
积分关系）
• 绘控制截面间内力图 （弯矩图、剪力图）
• 确定弯矩最大点位置 及最大值
ql
q
A
B
D↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
Q+d
1 ） 微分关系
N
qx
Q N+d→→→→→ NhomakorabeaNx
M
M+d
dFN dx
qx
dx y
M
dFQ dx
qy
qy向下为正
dM dx FQ
微分关系给出了内力图的形状特征
2） 增量关系
ΔN=－FX ΔQ=－Fy
Q
N
m
Fx
M
Fy
Q+ΔQ
N+ΔN M+ ΔM
ΔM=m
增量关系说明了内力图的突变特征
3） 积分关系
FNB FNA AB qx (x)dx
FQB FQA AB qy (x)dx
M B M A AB FQdx
由微分关系可得
右端剪力等于左端剪力减去该段qy 的合力；
右端弯矩等于左端弯矩加上该段剪
力图的面积。
Q图 M图
内力图形状特征
无何载区段 均布荷载区段 集中力作用处 集中力偶作用处
定的；不论是等截面杆或
是变截面杆；不论该杆段 MA
M'
内各相邻截面间是连续的
M°
还是定向联结还是铰联结
弯矩叠加法均适用。
B NB
QB MB
MB
YB°
MB
↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓
q=20kN/m P=20kN m=40kN.m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M
M 2
M 2
1）简支梁情况
MA
q
↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓↓↓
几点注意：
➢弯矩图叠加，是指竖标相
MA
加，而不是指图形的拼合，竖
标M °，如同M、M′一样垂 MA
M'
直杆轴AB，而不是垂直虚线。
➢利用叠加法绘制弯矩图可以
q
↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓↓↓
少求一些控制截面的弯矩值，
F
E
ql2/2
ql
ql2/4
ql2/8
ql
l/2
l/2
l
M图 ql
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/4
ql2/8
qL
＋
－
qL
Q图
10kN/m ↓↓↓↓↓↓↓
2m
60kN.m
2m
2m
55 30
20 30 5 m/2 m
m/2