上海市黄浦区2016届高三数学4月第二次模拟考试试题理

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2023届上海市黄浦区高三二模数学试卷及答案

1黄浦区2023年高考模拟考数学试卷2023年4月（完卷时间：120分钟满分：150分）

考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一

律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．设集合{1,3,5,7,9}A，{|25}Bxx，则ABI__________．2．函数4cos23yx的最小正周期为__________.3．若函数ayx

的图像经过点(2,16)与(3,)m，则m的值为_________．

4．已知复数12,zz在复平面内的对应点关于虚轴对称，且12iz(i为虚数单位)，则12zz

________．

5．以抛物线24yx的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为__________．6．已知m是2m与4的等差中项，且52345012345()mxaaxaxaxaxax，则3a

的值为

__________．7．已知函数()yfx是定义在R上的奇函数，且当0x时，()fxax

e

．若(ln2)f－4，则实数a的

值为__________．8．如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为10cm的圆柱挖去一个圆锥（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心，底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________cm2．9．若函数()yfx的图像可由函数3sin23cos2yxx的图像向右平移(0π)个单位所得到，

且函数()yfx在区间π[0 ]2，上是严格减函数，则__________．10．若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为__________．11．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，90ABC，2AD，1BC，点P是腰AB上的动点，则|2|PCPDuuuruuur的最小值为__________．12．已知实数,,abc满足：0abc++=与23abc-=，则abc的取值范围为__________．

2016届上海市虹口区高三4月高考练习(二模)数学(理)试题(2016.04)

（第11题图）CBOFAy xOBAC虹口区2016年高考模拟数学试卷（理合卷）2016.4考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设集合{}2M x x x ==，{}20N x log x =≤，则=N M __________.2．已知虚数1+2i 是方程20()x ax b a b R ++=∈、的一个根，则_______.a b += 3. 在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）. 4．已知复数z 在复平面上对应的点在曲线2y x=上运动，则z 的最小值等于__________. 5.已知函数()f x 的对应关系如下表：x2-1- 01 2()f x32-15m若函数()f x 不存在反函数，则实数m 的取值集合为___________. 6.在正项等比数列{}n a 中，132341,,3a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞+++= ___________.7.已知()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数ω的最大值为___________.8.若行列式124cos()20116x π+-中的元素4的代数余子式的值等于32，则实数x 的取值集合为____________.9. 若二项式1(2)nx x-展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为__________.10 .已知A 、B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=，C 为该球面上的动点，若三棱锥ABC O -体积的最大值为323， ( 第10题图) 则球O的表面积为___________.11. 如图, 2222+1(0)x yA B a b a b =>>、为椭圆的两个顶点，过椭圆的右焦点F 作x 轴的垂线，与其交于点 C. 若//AB OC (O 为坐标原点)，则直线AB 的斜率为___________.12. 若经过抛物线 24y x =焦点的直线 l 与圆22(4)4x y -+= 相切，则直线l 的方程为___________.13.（理）假设某10张奖券中有一等奖1张，奖品价值100元；有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖. 现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值ξ 不少于其数学期望E ξ的概率为_________.14. （理）已知对任意的[](,0)(0,),1,1x y ∈-∞⋃+∞∈-，不等式222168210x xy y a x x+----≥恒成立，则实数a 的取值范围为_________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.15． 3a =“”是“直线2(2)0a a x y -+=和直线310x y ++=平行”的 ( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件16．（理）已知抛物线21:4C y x =的焦点F 恰好是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且两条曲线12C C 与交点的连线过点F ，则椭圆2C 的长轴长等于 ( )（A ）21+ （B ）2 （C ） 222+ （D ）4 17. 在ABC ∆中，a b c 、、分别是内角A B C 、、所对的边，若2224ABC a b c S ∆+-=（其中)ABC S ABC ∆∆表示的面积，且0,AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭则ABC ∆的形状是 ( ) （第16题图）（A ）有一个角为30︒的等腰三角形（B ）等边三角形（C ）直角三角形（D ）等腰直角三角形18．（理）已知点列(,)()n n n A a b n N *∈均在函数(0,1)x y a a a =>≠的图像上，点列(,0)n B n 满足1.n n n n A B A B +=若数列{}n b 中任意连续三项能构成三角形的三边，则a 的取值范围为（）QA DCBP （第20题图）（A ）51510,,22⎛⎫⎛⎫-+⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （B ）5151,11,22⎛⎫⎛⎫-+⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（C ）31310,,22⎛⎫⎛⎫-+⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（D ）3131,11,22⎛⎫⎛⎫-+⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤. 19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分. 在锐角ABC ∆中， 2sin sin sin()sin().44A B B B ππ=++-(1) 求角A 的值；(2) 若12,AB AC ⋅=求ABC ∆的面积.20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分. （理）如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，2AB AD AP ===，1BC =.(1) 求点A 到平面PCD 的距离；(2) 若点Q 为线段BP 的中点，求直线CQ 与平面ADQ 所成角的大小.21．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.已知函数131()log 1ax f x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭满足(2)1f -=，其中a 为实常数. （1）求a 的值，并判定函数()f x 的奇偶性；（2）若不等式1()2xf x t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭在[]2,3x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.已知直线2y x =是双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线，点(1,0)(,)A M m n 、(0)n ≠（第22题图）P NQxOAMy都在双曲线C 上，直线AM 与y 轴相交于点P ，设坐标原点为O ．(1) 求双曲线C 的方程，并求出点P 的坐标（用m 、n 表示）； (2) 设点M 关于y 轴的对称点为N ，直线AN 与y 轴相交于点Q ．问：在x 轴上是否存在定点T ，使得TP TQ ⊥？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 若过点(0,2)D 的直线l 与双曲线C 交于R S 、两点，且OR OS RS +=，试求直线l 的方程．23. (本题满分18分)（理）本题共3个小题，每小题6分.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 且2(1)().n n n S a S n N *-=∈（1）求123S S S 、、的值，并求出n S 及数列{}n a 的通项公式；（2）设121(1)(1)(),n n n n b n a a n N +*+=-+⋅∈求数列{}n b 的前n 项和.n T（3）设(1)(),n n c n a n N *=+⋅∈在数列{}n c 中取出(,3)m m N m *∈≥为常数项，按照原来的顺序排成一列，构成等比数列{}n d .若对任意的数列{}n d ，均有123,m d d d d M ++++≤ 试求M 的最小值.虹口区2016年高考模拟数学试卷参考答案与评分标准2016年4月一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）1．[]0,1 2． 3 3．125 4． 2 5． {}3,2,1,5- 6.92 7. 32 8． 2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭9. 64 10．64π 11．2212. 5102x y ±-=QA D CBP （第20题解答图）z yx 13．（理）23； 14．（理）(,842⎤-∞-⎦；二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15. A 16. C 17. D 18. B 三、解答题（本大题共5题，满分74分）19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分.()2222sin sin sin()sin()sin sin()cos()4444111sin sin(2)sin cos 1242222A B B B B B B B B B B πππππ=++-=+++=++=+=解：因分故由ABC ∆为锐角三角形，得.6A π=……6分（2）由（1）知3cos ,2A =由已知，有 312cos ,2AB AC cb A bc =⋅=⋅= 故8 3.bc = ……9分从而111sin 832 3.222ABC S bc A ∆=⋅=⋅⋅= ……12分20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.（理）解：(1)以},,{AP AD AB 为正交基底建立空间直角坐标系xyz A -，则相关点的坐标为B （2,0,0），(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2).C D P ……2分设平面PCD 的法向量为(,,),n x y z =由(2,1,0),DC =- (0,2,2),DP =- (0,2,0).DA =-则202,2.220n DC x y y x z x n DPy z ìïì?-==ïïïÞ眄镲=?-+=ïîïî 令1x =，则(1,2,2)n = . ……5分所以点A 到平面PCD 的距离为：(0,2,0)(1,2,2)4.(1,2,2)3DA n d n×-?=== ……7分 (2) 由条件，得(1,0,1),Q =(0,2,0),(1,0,1),AD AQ ==且(1,1,1).CQ=-- 设平面ADQ 的法向量为0000(,,),n x y z = 则00000000200,.0n AD y y z x n AQ x z ìïì?==ïï镲Þ眄镲=-?+=ïïîî 令01x =，则0(1,0,1)n =-. ……10分设直线CQ 与平面ADQ 所成角为,θ则00026sin cos ,.332CQ n CQ n CQ n θ⋅=<>===⋅故直线CQ 与平面ADQ 所成角的大小为6sin.3arc ……14分注：第（1）小题也可用等积法来做.21．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分. 解：（1）由1312121(2)log 1,,2133a a f ++-==-=--得解得 1.a =- ……3分于是131()log 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭，其定义域为(,1)(1,).D =-∞-⋃+∞ ……4分对于任意的(,1)(1,),x ∈-∞-⋃+∞有111133331111()+()log log log log 10,1111x x x x f x f x x x x x +-++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=⋅== ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭故()f x 为奇函数. ……7分（2）由1()2x f x t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，得[]1()2,32xt f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭在恒成立.由12111x x x +=+--在(,1)-∞-及(1,)+∞上均递减，且13()log g u u =在(0,)+∞上也递减，故函数()f x 在区间(,1)(1,)-∞-+∞及均单调递增. ……10分由()f x 及12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]2,3均单调递增，知[]1()()2,32xx f x ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在单调递增， ……12分故2min15()(2)(2).24x f ϕϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭因此，实数t 的取值范围为5(,).4-∞- ……14分22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.解：（1）由已知，得11,2,2a a b b a=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩故双曲线C 的方程为 22 1.4y x -= ……3分 (1,)AM m n =-为直线AM 的一个方向向量，∴直线AM 的方程为1,1x y m n -=-它与y 轴的交点为(0,).1nP m- ……5分（2）由条件，得(,),N m n -且(1,)AN m n =--为直线AN 的一个方向向量，故直线AN 的方程为1,1x ym n -=--它与y 轴的交点为(0,).1n Q m+ ……7分假设在x 轴上存在定点0(,0)T x ，使得TP TQ ⊥,则由0(,),1n TP x m =--0(,),1n TQ x m =--+ 及221,4n m -=得 0(,)1n T P T Q x m ⋅=-⋅- 22222000022(,)40.11(1)14n n n x x x x n m m --=-=-=-=+-+- 故02,x =±即存在定点T ，其坐标为(2,0)或(2,0),-满足题设条件. ……10分(3) 由OR OS RS +=知，以OR OS 、为邻边的平行四边形的对角线的长相等，故此四边形为矩形，从而.OR OS ⊥……12分由已知，可设直线l 的方程为2,y kx =+并设1122(,),(,),R x y S x y则由222,1,4y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得 22(4)480.k x kx -++= 由2221632(4)16(8)0,k k k ∆=--=->及240,k -≠得2284k k <≠且（*）由121212122248,,(2)(2),44k x x x x y y k x k x k k +=-==++-- ……14分得2222121212122228(1)84(2)(1)2()440444k k k OR OS x x y y k x x k x x k k k +-⋅=+=++++=-+==---故22,k =符合约束条件（*）.因此，所求直线l 的方程为2 2.y x =±+ ……16分 23.（理） (本题满分18分) 本题共3个小题，每小题6分. 解：（1）当1n =时， 22111111(1);2S a S S S -==⇒=当2n =时， 222222212(1)();23S a S S S S -==-⇒=当3n =时， 233333323(1)().34S a S S S S -==-⇒= ……2分由此，猜测： ().1n nS n N n *=∈+ 下面用数学归纳法证明：（i ）当1n =时，结论显然成立；（ii ）假设当()n k k N *=∈时，1k kS k =+；则当1n k =+时，由条件，得 21111111(1)().2221k k k k k k k k k k k S a S S S S S k S k k +++++++-==-⇒===-+-+即当1n k =+时，结论也成立.于是，由（i ），（ii ）可知，对任意的,.1n nn N S n *∈=+均有……4分当1112,.1(1)n n n n n n a S S n n n n --≥=-=-=++时又1111,212a S ===⨯ 于是数列{}n a 的通项公式为:1().(1)n a n N n n *=∈+ ……6分 (2)因 121111111(1)(1)(1)(1)(),(2)22n n n n n n b n a a n n n n ++++=-+⋅=-⋅=-⋅-++……8分当n 为奇数时， 12111111111111(1)()()()()()232435461121111111(1)?221222(1)(2)n n T b b b n n n n n n n n ⎡⎤=+++=---+---+--+-⎢⎥-++⎣⎦⎡⎤=-+-=+⎢⎥++++⎣⎦分当n为偶数时，12111111111111(1)()()()()()232435461121111111(1).221222(1)(2)n n T b b b n n n n n n n n ⎡⎤=+++=---+---++---⎢⎥-++⎣⎦⎡⎤=--+=-⎢⎥++++⎣⎦故111,(22(1)(2)11(1)=.22(1)(2)111,(22(1)(2)nnn n n T n n n n n ⎧⎡⎤+⎪⎢⎥++⎡⎤-⎪⎣⎦=-⎨⎢⎥++⎡⎤⎣⎦⎪-⎢⎥⎪++⎣⎦⎩当为奇数)当为偶数)……12分（3）因1(1),n n c n a n =+⋅=由于数列{}n c 的(3)m m ≥项子列{}n d 构成等比数列，设其公比为,q 则 211231(1).m m d d d d d q q q -++++=++++11,1,(),q Q q d a N a +*∈<=∈因且设(,,2,,).vq u v N u u v u *=∈≥且互质（i ）当1v =时，因11,2q u =≤故 2112312111111(1)12.2222m m m m d d d d d q q q ---++++=++++≤++++=- ……15分（ii ）当1v ≠时，因11111m m m m v d d q a u---==⋅是数列{}n c 中的项，故1().m a v a a N -*''=⋅∈2112311232211232211232211111(1)111111()111111111122323233121()321232(3).223213m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m d d d d d q q q a v v u v u vu u v v u v u vu u m --------------------++++=++++=+++++'≤+++++≤+++++⋅⋅⋅⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==-<-≥- 从而综合（i ），（ii ），得：在数列{}n c 中的所有(3)m m ≥项等比子数列{}n d 中，其和最大的是：211111.222m - ，，，，故由题意知：M 的最小值为112.2m -- ……18分另解（3）：因1(1),n n c n a n =+⋅=由于数列{}n c 的(3)m m ≥项子列{}n d 构成等比数列，设其公比为,q 则 211231(1).m m d d d d d q q q -++++=++++11,1,().q Q q d a N a +*∈<=∈因且（i ）当1a =时，因1,2q ≤故 211232111111112.2222m m m m d d d d q q q ---++++=++++≤++++=- ……15分（ii ）当2a ≥时，因11,11a a q a a+≤=+ 故2112311111(1)111312(3).22m m m d d d d q q q a a a aa m --++++=++++<⋅=+-+≤<-≥综合（i ），（ii ），得：在数列{}n c 中的所有(3)m m ≥项等比子数列{}n d 中，其和最大的是：211111.222m - ，，，，故由题意知：M 的最小值为112.2m -- ……18分。

2016学年度上海市黄浦区高三二模考试文科数学试卷

1 / 6黄浦区2010年高考模拟考数学试卷(文科)(2010年4月22日)考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．方程2sin 10x -=的解集是． 2．已知直线1220350l y l x -+=-=，：，则直线12l l 与的夹角是． 3．已知全集U R =，若集合{}2|20=-->∈，A x x x x R ，{}||1|2B x x x R =+≤∈，，则()R A B ⋃ð= ．4．幂函数()y f x =的图像过点(42)A ，，则函数()y f x =的反函数1()f x -= (要求写明定义域)．5．已知1(z i i =-是虚数单位)，计算13|iz i z++= (其中z z 是的共轭复数)． 6．161()2x x-的二项展开式中第4项是． 7．函数sin(2)cos(2)36y x x ππ=+++的最小正周期T = ．2 / 68．若125120131xx =，则实数x = ． 9．已知123(1,3),(1,1),()e e e x ===，-1，且3122()e e e R =+λλ∈，则实数x 的值是．10．如下图所示，角a 的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A 3(cos )5a ，，则cos sin a a -= ．11．已知长方体中1111D C B A ABCD -，1AB BC AA ===，则异面直线11AB BC 与所成的角是．12．从某高级中学高一年级的10名优秀学生(其中女生6人，男生4人)中，任选3名学生作为上海世博志愿者，问恰好选到2女1男的概率是．(用数值作答) 13．某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是32π时，则该圆锥体的体积是．3 / 614、已知函数()y f x =的定义域和值域都是[1]-，1(其图像如下图所示)，函数()sin g x x =，[]x ππ∈-，．定义：当11212()0([1,1])()([,])f x x g x x x =∈-=∈-ππ且时，称2(())0x f g x =是方程的一个实数根．则方程(())0f g x =的所有不同实数根的个数是．二．选择题(本大题满分16分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．已知a b c 、、是直线，α是平面，b c ≠⊂α、，则“a ⊥α平面”是“a b a c ⊥⊥且”的 [答]( )A ．充要条件．B ．充分非必要条件．C ．必要非充分条件．D ．非充分非必要条件．16．坐标平面上的点51()00x y y x x y x y ì+?ïïïï?ïíï³ïïï³ïî，位于线性约束条件所表示的区域内(含边界)，则目标函数34z x y =+的最大值是 [答]( ) A ．15． B ．20． C ．18． D ．25．17．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和*1()3n n S a n N =+∈，且a 是常数，则此无穷等比数列各项的和是 [答]( )A ．13．B ．13-． C ．1． D ．1-．4 / 618．某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查。

004-2016杨浦二模

上海市杨浦区2016届高三二模数学试卷2016.04一. 填空题1.函数()1f x x =-的定义域为 2. 已知线性方程组的增广矩阵为11334a --⎛⎫ ⎪⎝⎭，若方程组解为12-⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a =3. 计算：2123 (i)1n nn →∞++++=+ 4. 若向量a 、b 满足||1a =，||2b =，且a 与b 的夹角为3π，则||a b +=5. 若复数134z i =+，212z i =-，其中i 是虚数单位，则复数12||z z i+的虚部为6. 已知菱形ABCD ，若||1AB =，3A π=，则向量AC 在AB 上的投影为7. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应的边的长度分别为a 、b 、c ，若a c b ac a b b--=，则角C 的大小是8. 已知等比数列{}n a 各项均为正数，且174a a =，则数列2{log }n a 前7项之和为9.（文）已知变量x 、y 满足530,0x y x y x y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥≥⎩，则23x y +的最大值为（理）在极坐标系中曲线:2cos C ρθ=上的点到(1,)π距离的最大值为 10.（文）已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，其三视图中的俯视图如右图所示，则其左视图的面积是（理）袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到的球中的最大号码，则ξ 的数学期望是11. 已知双曲线2214y x -=的右焦点为F ，过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P ，M 在直线PF 上，且满足0OM PF ⋅=，则||||PM PF =12. 现有5位教师要带3个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有（用数字作答） 13.（文）若关于x 的方程54(5)|4|x x m x x+--=在(0,)+∞内恰有四个相异实根，则实数 m 的取值范围为（理）若关于x 的方程54(4)|5|x x m x x+--=在(0,)+∞内恰有三个相异实根，则实数m 的取值范围为14. 课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法，祖暅原理也可用来求旋转体的体积，现介绍用祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式，请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为221425x y +=，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于二. 选择题15. 下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,)+∞上递增的是（） A. ||2x y = B. ln y x = C. 13y x = D. 1y x x=+16. 已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，则“3πα<”是“k < ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件17. 设x 、y 、z 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A. 2211x x x x+≥+ B.C. 1||2x y x y-+≥- D. ||||||x y x z y z -≤-+- 18.（文）空间中n 条直线两两平行，且两两之间的距离相等，则正整数n 至多等于（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5（理）已知命题：“若a 、b 为异面直线，平面α过直线a 且与直线b 平行，则直线b 与平面α的距离等于异面直线a 、b 的距离”为真命题；根据上述命题，若a 、b 为异面直线，且它们之间距离为d ，则空间中与a 、b 均异面且距离也均为d 的直线有（） A. 0条 B. 1条 C. 多于1条，但为有限条 D. 无数条三. 解答题19. 如图，底面是直角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，1112AC BC AA ===，D 是棱1AA 上的动点；（1）证明：1DC BC ⊥；（2）求三棱锥1C BDC -的体积；20. 某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长），已知 10PA PB ==米，4AOP BOP π∠=∠=，OAP OBP ∠=∠，设OAP θ∠=，四边形OAPB 的面积为S ；（1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值；21. 已知函数2()log (21)x f x ax =++，其中a R ∈；（1）（文）当12a =-，求证：函数()f x 是偶函数；（理）根据a 的不同取值，讨论()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）已知0a >，函数()f x 的反函数为1()f x -，若函数1()()y f x f x -=+在区间[1,2]上的最小值为21log 3+，求函数()f x 在区间[1,2]上的最大值；22.（文）已知数列{}n a 和{}n b 满足：12a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈，且对一切*n N ∈，均有12nan bb b ⋅⋅⋅=；（1）求证：数列{}na n为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）设n nn n na b c a b -=*()n N ∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求正整数k ，使得对任意 *n N ∈，均有k n T T ≥；（理）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的焦距为F 与短轴的两个端点组成一个正三角形，若直线l 与椭圆C 交于11(,)A x y 、22(,)B x y ，且在椭圆C 上存在点M ，使得3455OM OA OB =+（其中O 为坐标原点），则称直线l 具有性质H ；（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 垂直于x 轴，且具有性质H ，求直线l 的方程；（3）求证：在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ；23.（文）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的焦距为F 与短轴的两个端点组成一个正三角形，若直线l 与椭圆C 交于11(,)A x y 、22(,)B x y ，且在椭圆C 上存在点 M ，使得3455OM OA OB =+（其中O 为坐标原点），则称直线l 具有性质H ；（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 垂直于x 轴，且具有性质H ，求直线l 的方程；（3）在椭圆C 上是否存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ；若存在，求出一组P 、Q 、R ；若不存在，说明理由；（理）已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈，且对一切*n N ∈，均有12nan bb b ⋅⋅⋅=；（1）求证：数列{}na n为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若2λ=，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）设n nn n na b c a b -=*()n N ∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，问：是否存在正整数λ，对一切*n N ∈，均有4n T T ≥恒成立；若存在，求出所有λ的值；若不存在，说明理由；参考答案一. 填空题1. [21)(1,)-+∞， 2. 2 3.124. 5. 3- 6. 157.3π 8. 7 9.（文）14（理）3 10.（文）（理）9211. 12 12. 54 13.（文）(6,10)（理） 14. 803π二. 选择题15. C 16. A 17. C 18.（文）B （理）D三. 解答题19.（1）略；（2）113D BCC V -=； 20.（1）2100(sin sin cos )S θθθ=+，3(0,)(,)444πππθ∈；（2）)504S πθ=-+，最大值50，38πθ=；21.（1）（文）略；（理）12a =-，偶函数；12a ≠-，非奇非偶函数；（2）1a =，()f x 单调递增，最大值2(2)2log 5f =+；22.（文）（1）证明略，2n a n n =+；（2）2n n b =，122n n S +=-；（3）4k =；（理）（1）2214x y +=；（2）x =（3）证明略；23.（文）（1）2214x y +=；（2）x =（3）不存在；（理）（1）证明略，2(1)n a n n λ=+-；（2）2nn b =，122n n S +=-；（3）2或3；。

2016届上海市黄浦区高三一模(理科)数学试题及答案

黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷（理科） 2016年1月

考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码；

3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1．不等式的解集用区间表示为．|1|1x(0,2)

2．函数的最小正周期是． 22cossinyxx

3．直线的一个方向向量可以是．321

xy(2,1)

4．若将两个半径为的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为．132

5．若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．12

6．若函数在区间上有且只有一个零点，则．sinyax[,2]a17．若函数为偶函数且非奇函数，则实数的取值范围为．22()1fxxaxa

(1,)8．若对任意不等于的正数，函数的反函数的图像都过点，则点的坐标1a2()xfxa

PP

是．(1,2)9．在的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为，则二项式系数的最大()nab128

值为（结果用数字作答）．7010．在△中，若，且，则．ABCcos(2)sin()2ACBBCA2ABBC2211．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续天中随机抽取天进行紧急疏散演练，那52

么选择的天恰好为连续天的概率是（结果用最简分数表示）．222512．已知，若曲线与曲线无交点，则．kZ222xykxykk

1

13．已知点（）和抛物线：，过的焦点的直线与交于、(,0)Mm0mC24yxCFCA两点，若，且，则．B2AFFB||||MFMAm11

上海市闵行区2016届高三4月二模考试数学(文)试卷(WORD版)

闵行区 2015-2016 学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷（文科）
考生注意： 1．本试卷共 4 页，23 道试题，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 2．本考试分设试卷和答题纸。试卷包括三大题，第一大题为填空题，第二大题为选择题，第三大题为解答题。 3．答卷前，务必在答题纸上填写学校、姓名、准考证号。 4．作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。第二大题的作答必须涂在答题纸上相应的区域，第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． 1．函数 y log 3 ( x 1) 的定义域是 2．集合 3．若复数， . ，则等于 . .
2 *
13．设数列 an 的前 n 项和为 S n ， S n = n + 2a | n - 2 | （ n N ），数列 an 为递增数列，则实
1
数 a 的取值范围
.
14．若两函数 y x a 与 y 1 2 x 2 的图像有两个交点 A 、 B ， O 是坐标原点，当 △OAB 是直角三角形时，则满足条件的所有实数 a 的值的乘积为 .
7．在 △ ABC 中， AB
n
6 ， A ， C 60 ，则 BC 2 2 an n n 2 1
.
8．若 an 为 1 x 的展开式中的 x 2 项的系数，则 lim 9．若 m 0 ， n 0 ， m n 1 ，且
.
t 1 （ t 0 ）的最小值为 9 ，则 t m n

上海市崇明县2016届高三第二次高考模拟考试数学理试卷含答案

崇明县2015-2016学年第二次高考模拟考试试卷高三数学（理卷）(考试时间120分钟，满分150分)考生注意：1．每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料,所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效； 2．答卷前,考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚；3．本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题(本大题共14小题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分,否则一律得零分。

1．已知全集U R =，{}2|20A x x x =-<,{}|1B x x =≥，则U AC B =．2．设复数z 满足 (4)32i z i-=+（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为．3．若函数2cos y x ω=(0)ω>的最小正周期是π，则ω= ．4．圆22:2440C xy x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = ．5．已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为15πcm 2,则此圆锥的体积为 cm 2．6．已知,x y R +∈,且满足134x y+=,则xy 的最大值为．7焦点与抛物线216y x=的焦点相同，则双曲线的标准方程为．8．已知函数22,0(),0xa x f x x ax x ⎧+⎪=⎨-<⎪⎩≥，若()f x 的最小值是a ，则a = ．9．从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，若这个小组中必须男女医生都有，共有种不同的组建方案(结果用数值表示）．10．若数列{}na 是首项为1，公比为32a -的无穷等比数列,且{}na 各项的和为a ，则a 的值是．11．设0a ≠,n 是大于1的自然数，1nx a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式为2012nn aa x a x a x ++++．若13a =,24a =，则a = ．12．某种填数字彩票，购票者花2元买一张小卡片，在卡片上填10以内（0，1,2，…,9）的三个数字（允许重复)．如果依次填写的三个数字与开奖的三个有序的数字分别对应相等,得奖金1000元．只要有一个数字不符（大小或次序），无奖金．则购买一张彩票的期望收益是元．13．矩形ABCD 中，2,1AB AD ==，P 为矩形内部一点，且1AP =．若AP AB AD λμ=+(,)R λμ∈,则2λ+的最大值是．14．已知函数()f x 是定义在[)1,+∞上的函数,且123,12()11,222x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎩≤≥，则函数2()3y x f x =-在区间(1,2016)上的零点个数为．二、选择题（本大题共4小题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

2024年上海黄浦区二模高考数学试卷试题答案详解(精校打印)

上海市黄浦区2024届高三二模数学试题2024年4月（完成试卷时间：120分钟总分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．若集合[]1,4A =，[]2,5B =，则A B ⋃=.2．抛物线24y x =的焦点到准线的距离是.3．若(3cos ,sin )a θθ= ，(cos ,3sin )b θθ= ，其中R θ∈，则a b ⋅=.4．若一个圆柱的底面半径为2，母线长为3，则此圆柱的侧面积为.5．若251()ax x+的展开式中4x 的系数是80-，则实数=a .6．在ABC 中，3cos 5A =-，1AB =，5AC =，则BC =.7．随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，若()2 2.50.36P X <≤=，则()|2|0.5P X ->=.8．若实系数一元二次方程20x ax b ++=有一个虚数根的模为4，则a 的取值范围是.9．某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为.10．已知数列{}n a 是给定的等差数列，其前n 项和为n S ，若9100a a <，且当0m m =与0n n =时，m nS S -{}()*,|30,m n x x x ∈≤∈N 取得最大值，则00mn -的值为.11．如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ∠ODF ∠均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为百米.12．在四面体PABC 中，2PD PA PB=+u u u r u u r u u r ，523PE PB PC =+uur uu r uu ur ，23PF PC PA =-+ ，设四面体PABC 与四面体PDEF 的体积分别为1V 、2V ，则21V V 的值为.二、选择题（本大题共有4题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（）A ．2515500300C C +B ．2515500300C C ⋅C ．2020500300C C +D ．2020500300C C ⋅14．函数212cos 4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数15．设函数()2220,4023,04x ax x f x ax x x ⎧-++-≤≤=⎨-+<≤⎩，若()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5,116⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“T 数列”.对于命题：①存在“T 数列”{}n a ，使得数列{}n S 为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”.下列判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．设R a ∈，函数2()21x x af x +=-.(1)求a 的值，使得()y f x =为奇函数；(2)若(2)f a =，求满足()f x a >的实数x 的取值范围.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，点E 是棱PD 上的一点，//PB 平面AEC .(1)求证：点E 是棱PD 的中点；(2)若PA ⊥平面ABCD ，2AP =，AD =PC 与平面ABCD 所成角的正切值为13，求二面角D AE C --的大小.19．某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格.组别[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]频数926655347(1)该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放2个随机红包，不合格的发放1个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为20500.80.2⎛⎫⎪⎝⎭.若从这200个成年市民中随机选取1人，记X （单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求X 的分布及数学期望；(2)已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比.20．如图，已知1Γ是中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，2Γ是以1Γ的焦点12,F F 为顶点的等轴双曲线，点54(,)33M 是1Γ与2Γ的一个交点，动点P 在2Γ的右支上且异于顶点.(1)求1Γ与2Γ的方程；(2)若直线2PF 的倾斜角是直线1PF 的倾斜角的2倍，求点P 的坐标；(3)设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，直线1PF 与1Γ相交于点,A B ，直线2PF 与1Γ相交于点,C D ，11||||AF BF ⋅m =，22||||CF DF n ⋅=，求证：121k k =且存在常数s 使得m n +sm n =.21．若函数 ()y f x =的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数 ()y f x =的图象的“自公切线”，称这两点为函数 ()y f x =的图象的一对“同切点”.(1)分别判断函数1 ()sin f x x =与2 ()ln f x x =的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；(2)若R a ∈，求证：函数ππ()tan ((,))22g x x x a x =-+∈-有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；(3)设*N n ∈，ππ()tan π((,))22h x x x n x =-+∈-的零点为n x ，ππ(,)22t ∈-，求证：“存在(2π,)s ∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“ t 是数列{}n x 中的项”.1．[]1,5【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为集合[]1,4A =，[]2,5B =，则A B ⋃=[]1,5.故答案为：[]1,5.2．2【详解】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2.3．3【分析】利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】223cos 3sin 3a b θθ⋅=+=，故答案为：34．12π【分析】将圆柱的侧面展开，得到矩形的两边长，求出面积即可.【详解】将圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一边为3，另一边为2π24π⨯=，故侧面积为34π12π⨯=.故答案为：12π5．2-【分析】根据通项公式得到1034r -=，求出2r =，从而得到方程，求出2a =-.【详解】通项公式为51025103155C C r rr r r r rr T a x x a x -----+=⋅=，令1034r -=，解得2r =，故235C 80a =-，解得2a =-.故答案为：2-6．【分析】根据余弦定理建立方程，可得答案.【详解】在ABC 中，根据余弦定理可得：222cos 2+-=⋅⋅AB AC BC A AB AC ，设()0BC x x =>，则231255215x +--=⨯⨯，整理可得232x =，解得x =故BC =故答案为：7．0.28##725【分析】根据正态曲线的性质计算可得.【详解】因为2(2,)X N σ 且()2 2.50.36P X <≤=，所以()()1.522 2.50.36P X P X ≤<=<≤=，则()()1|2|0.512 2.520.36082.2P P X X ≤->=-<=-⨯=.故答案为：0.288．(8,8)-【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别为i m n +和i m n -，则2216m n +=，又()()22i i 16b m n m n m n =+-=+=，再由Δ0<可求a 的取值范围.【详解】设实系数一元二次方程20x ax b ++=的两个虚数根为i m n +和i m n -，则2216m n +=.所以()()22i i 16b m n m n m n =+-=+=.由Δ0<⇒24160a -⨯<⇒88a -<<.故答案为：(8,8)-9．35##0.6【分析】求出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的场数和抽签总共的可能场数，即可得出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率.【详解】由题意，若甲第一个上场，乙则可以第3,4,5个上场，有1333C A 332118=⨯⨯⨯=种，若甲第二个上场，乙则可以第4,5个上场，有1323C A 232112=⨯⨯⨯=种，若甲第三个上场，乙则可以第1,5个上场，有1323C A 232112=⨯⨯⨯=种，若甲第四个上场，乙则可以第1,2个上场，有1323C A 232112=⨯⨯⨯=种，若甲第五个上场，乙则可以第1,2,3个上场，有1333C A 332118=⨯⨯⨯=种，共有181212121872++++=种，而所有的上场顺序有5554321120A =⨯⨯⨯⨯=种，∴甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率：7231205P ==,故答案为：35.10．21【分析】不妨设数列{}n a 的公差大于零，不妨取m n >，则1mm n ii n S S a=+-=∑，设3030910i i k S S a ==-=∑，再分9,30n m >=和9,30n m <=两种情况讨论，可得出0n 的值，再讨论30m <，即可求出0m ，即可得解.【详解】不妨设数列{}n a 的公差大于零，由于9100a a <，得9100,0a a <>，且9n ≤时，0n a <，10n ≥时，0n a >，不妨取m n >，则1mm n ii n S S a=+-=∑，设3030910i i k S S a ==-=∑，若9,30n m >=，则030301n ii n S S ak =+-≤<∑，此时式子取不了最大值；若9,30n m <=，则09301n ii n S S a k =+-≤+∑，又9i ≤时，0i a <，因为09301n ii n S S a k k =+-≤+<∑，此时式子取不了最大值；因此这就说明09n n ==必成立.若30m <，则0910m m i i S S a k =-≤<∑，这也就说明030m <不成立，因此030m =，所以0021m n -=.故答案为：21.11．2【分析】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，借助相似三角形性质用x 表示CE ，结合对称性求出步道长度关于x 的函数关系，利用导数求出最大值即得.【详解】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，显然90AEB ∠= ，由点O 为线段,AB CD 的中点，得两个半圆步道及直道,CE DF 都关于过点O 垂直于AB 的直线对称，则11,22AC x BC x =-=+，又CE AB ⊥，则Rt ACE ∽Rt ECB V ，有2CE AC BC =⋅，即有214DF CE x ==-，因此步道长221()2π14π4f x x x x x =-+=-+，102x <<，求导得24()π14x f x x '=-+-，由()0f x '=，得2π2π4x =+，当2π02π4x <<+时，()0f x '>，函数()f x 递增，当2π122π4x <<+时，()0f x '<，函数()f x 递减，因此当2π2π4x =+时，222max 22πππ4()14()22π42π4f x +=-+=++，所以步道的最大长度为2π42+百米.故答案为：2π42+12．720##0.35【分析】根据空间向量的加法与数乘运算，可得点的位置并作图，利用三角形的等积变换可得底面的面积比，可得答案.【详解】由2PD PA PB =+u u u r u u r u u r ，2PD PA PB PA PA =+-+，()2PD PA PB PA -=- ，则2AD AB = ；由523PE PB PC =+uur uu r uu u r ，52333PE PB PC PB PB =+-+，()()53PE PB PC PB -=- ，则53BE BC = ；由23PF PC PA =-+ ，2333PF PC PA PC PC =-+-+，()()23PF PC PA PC -=- ，则23CF CA = ；显然四面体PABC 与四面体PDEF 共顶点且底面共面，则其高相同可设为h ，结合题意可作图如下：在底面连接FB，作图如下：由23CF CA = ，即23AC FC =，则23ABC FBC S AC S FC == ，易知13FAB FBC S S = ；由2AD AB = ，即12BD BA =，则12DBF ABF S BD S BA == ，易知16DBF FBC S S = ；由53BE BC = ，即25EC BC =，则25ECF BCF S EC S BC == ；由12BD BA =，35BE BC =，则1332510DEB ABC S S =⨯= ，易知3211035DBE FBC S S =⨯= ；7130ECF FDE DBF DBE FBC FBC BCF FBC S S S S S S S S =--= ，73730220FDE ABC S S =⨯= ；211731203DEF ABC hS V V hS == .故答案为：720.13．B【分析】由分层抽样先求出初中部和高中部应抽取的学生，再由组合数公式和分步计数原理即可得出答案.【详解】该校初中部和高中部分别有500和300名学生，所以初中部应抽取50054040258008⨯=⨯=名学生，高中部应抽取30034040158008⨯=⨯=名学生，所以不同的抽样结果的种数为2515500300C C ⋅.故选：B.14．A【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简函数，再利用三角函数的周期公式以及奇偶函数的定义即可求解.【详解】2212cos 2cos 1cos 2sin 2442y x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()()()sin 2sin 2f x x x f x -=--==-，所以为奇函数，周期22T ππ==，所以此函数最小正周期为π的奇函数，故选：A.15．D【分析】分40x -≤≤和04x <≤两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可.【详解】当40x -≤≤时，2200x ax -++>恒成立，即220ax x >-恒成立，当0x =时，上式成立；当40x -≤<，20a x x <-，明显函数20y x x=-在[)4,0-上单调递增，所以min 20144y ---==，所以1a <；当04x <≤时，2230ax x -+>恒成立，即232a x x >-恒成立，令11,4t x ∞⎡⎫=∈+⎪⎢⎣⎭，则223a t t >-在1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，又223y t t =-开口向下，对称轴为11,34t ∞⎡⎫=∈+⎪⎢⎣⎭，所以223y t t =-的最大值为211123333⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以13a >，综上：实数a 的取值范围是1,13⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D.16．A【分析】根据题意，结合“T 数列”的定义，举出实例说明①②，即可得出答案.【详解】对于命题①，对于数列{}n a ，令21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，则11,12,2n n n S n -=⎧=⎨≥⎩，数列{}n S 为公比不为1的等比数列，当1n =时，11S =是数列{}n a 中的项，当2n ≥时，12n n S -=是数列{}n a 中的项，所以对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，故命题①正确；对于命题②，等差数列{}n a ，令1a d =-，则()()112n a a n d n d =+-=-，则()()()123222n n n d n d n a a n n S d ⎡⎤-+-+-⎣⎦===，因为21n -≥-且2Z n -∈，()2313912228n n n -⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭，且()3N*,Z 2n n n -∈∈，所以对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，所以对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”，故命题②正确；故选：A.17．(1)1a =(2)(0,2)【分析】（1）由奇函数的性质可得(1)(1)f f -=-，代入解方程即可得出答案；（2）由(2)f a =，可得2a =，则22221x x +>-，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案.【详解】（1）由()f x 为奇函数，可知(1)(1)f f -=-，即(12)(2)a a -+=-+，解得1a =，当1a =时，212112(),()()212112x x xx x xf x f x f x --+++=-===----对一切非零实数x 恒成立，故1a =时，()y f x =为奇函数.（2）由(2)f a =，可得43aa +=，解得2a =，所以2224()201242121x x xx x f x a +->⇔>⇔<⇔<<--解得：02x <<，所以满足()f x a >的实数x 的取值范围是(0,2).18．(1)证明见解析(2)arctan【分析】（1）作出辅助线，由线面平行得到线线平行，结合点F 是BD 的中点，得到证明；（2）方法一：作出辅助线，得到PCA ∠就是PC 与平面ABCD 所成角，从而根据正切值得到AB =，证明出线面垂直，得到CGD ∠是二面角D AE C --的平面角，求出各边长，从而得到arctan CGD ∠=方法二：作出辅助线，得到PCA ∠就是PC 与平面ABCD 所成角，建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，利用法向量夹角余弦值得到二面角的大小.【详解】（1）连接BD ，它与AC 交于点F ，连接EF ，四边形ABCD 为矩形，F ∴为BD 的中点，//PB 平面AEC ，平面PBD 经过PB 且与平面AEC 交于EF ，//PB EF ∴，又点F 是BD 的中点，∴点E 是棱PD 的中点.（2）方法一：∵PA ⊥平面ABCD ，,,AC AD CD ⊂平面ABCD ，,,PA AC PA AD PA CD ∴⊥⊥⊥且PCA ∠就是PC 与平面ABCD 所成的角，故1tan 3PAPCA AC ∠===，解得AB =.四边形ABCD 为矩形，AD CD ∴⊥，又PA CD ⊥，PA 与AD 是平面PAD 内的两相交直线，CD \^平面PAD .在平面PAD 内作DG AE ⊥，垂足为G ，连接GF ，则CG AE ⊥，CGD ∴∠是二面角D AE C --的平面角.在直角三角形PAD 中，2,PA AD == E 是PD 的中点，π6EAD ADE ∴∠=∠=，且πsin 6DG AD ==CD ⊥ 平面,PAD DG ⊂平面PAD ，CD DG ∴⊥，故tanDC CGD DG ∠===，所以arctan CGD ∠=，故二面角D AE C --的大小为arctan 方法二：∵PA ⊥平面ABCD ，,,AC AD CD ⊂平面ABCD ，,,PA AC PA AD PA CD ∴⊥⊥⊥且PCA ∠就是PC 与平面ABCD 所成的角，又四边形ABCD 为矩形，AB AD ∴⊥，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，设1,(,,1)AB t n x y ==是平面AEC 的一个法向量，二面角D AE C --的大小为θ，由1tan 3PA PCA AC ∠==，可得t =则AC AE ==，故()()11(,,1)20(,,1)0,10n AC x y n AE x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩，解得6x =且3y =，所以1n ⎫=⎪⎝⎭ ，又2(1,0,0)n =是平面AED 的一个法向量，且θ为锐角，故12121cos 3n n n n θ⋅==⋅ ，可得1arccos 3θ=.所以二面角D AE C --的大小为1arccos 3.19．(1)分布列见解析，39(2)36%，98:27【分析】（1）依题意，X 的所有可能取值为20,50,40,70,100，利用独立事件的概率乘法公式求解相应的概率，进而得到X 的分布，再结合期望公式求解即可；（2）利用全概率公式和条件概率公式求解.【详解】（1）随机抽取的200个成年市民的成绩合格率为534750%200+=，21(100)0.20.022P X ==⨯=，121(70)C 0.20.80.162P X ⨯==⨯⨯=，1(50)0.20.12P X ==⨯=，21(40)0.80.322P X ==⨯=，1(20)0.80.42P X ==⨯=，所以X 的分布为X20405070100P0.40.320.10.160.02()1000.02700.16500.1400.32200.439E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即X 的数学期望为39；（2）设“从该社区成年市区随机抽取1人，此人年龄在60岁以下”为事件A ，“从该社区成年市民随机抽取1人，此人安全知识合格”为事件B ，则()70%,()30%P A P A ==，()56%,()50%P B A P B ≈≈∣，由()()()()(P B P A P BA P A PB A =⋅+⋅∣∣，可得50%70%56%30%()P BA ≈⋅+⋅∣，所以()36%PB A ≈∣，所求比值()()()()70%56%98()()()()30%36%27P A B P A P B A P B P A B P B P A P B A ⋅⋅==⋅≈=⋅⋅∣∣∣∣.估计60岁及以上人员的合格率约为36%，成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比约为98:27.20．(1)22154x y +=与221x y -=(2)(3)证明见解析【分析】（1）设12ΓΓ、的方程分别为22221(0)x ya b a b+=>>与222(0)x y c c -=>，将点M 的坐标代入2Γ的方程可求出c ，利用椭圆的定义可求出a 的值，从而可得b ，进而可得12ΓΓ、的方程；（2）分点P 在第四象限和第一象限时两种情况讨论求出点P 的坐标；（3）利用两点的斜率公式及点P 在2Γ上即可证明211k k =，设1PF 的方程为(1)y k x =+，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示,m n ，化简11m n+为常数，即可得出答案.【详解】（1）设12ΓΓ、的方程分别为22221(0)x y a b a b +=>>与222(0)x y c c -=>，由225433⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2c ，得1c =，故12,F F 的坐标分别为(1,0),(1,0)-，所以122a MF MF =+=+=2a b ===，故1Γ与2Γ的方程分别为22154x y +=与221x y -=.（2）当点P 在第四象限时，直线12,PF PF 的倾斜角都为钝角，不适合题意；当P 在第一象限时，由直线2PF 的倾斜角是直线1PF 的倾斜角的2倍，可知2121F F P F PF ∠=∠，故2122PF F F ==，设P 点坐标为(,)x y ，可知22(1)4x y -+=且221(0,0)x y x y -=>>，解得2,x y ==，故点P的坐标为，（3）设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，点P ，A ，B 的坐标分别为()()()001122,,,,,x y x y x y ，则22220000001222000011,11111y y y x x y k k x x x x --==⋅===+---，1PF 的方程为(1)y k x =+，代入22154x y +=可得()222458160k y ky k +--=，故21221645k y y k-=+，所以()2111121222111611145k m AF BF y y y y k k +⎛⎫=⋅⋅⋅=+= ⎪+⎝⎭，同理可得()222216145k n k +=+，又211k k =，故()212116145k n k +=+，故()()22112211454511161161k k m n k k +++=+++()()212191916161k k +==+，即916m n mn +=，所以存在s ，使得m n smn +=.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21．(1)函数1()f x 的图象存在“自公切线”；函数2()f x 的图象不存在“自公切线”，理由见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）由直线1y =切sin y x =的图象于点π5π(,1),(,1)22判断1 ()sin f x x =，由导数确定意见性判断2 ()ln f x x =.（2）利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，利用导数的几何意义求出切线方程，证明112sin2x x =在π(0,)2上无解即得.（3）求出在点(,sin )s s 与(,sin )t t 处的切线方程，利用（2）的结论，结合诱导公式，及充要条件的证明方法推理即得.【详解】（1）显然直线1y =切sin y x =的图象于点π5π(,1),(,1)22，直线1y =是sin y x =的图象的一条“自公切线”，因此函数1()f x 的图象存在“自公切线”；对于221()ln ,()(0)f x x f x x x'==>是严格减函数，则2()f x 在不同点处的切线斜率不同，所以函数2()f x 的图象不存在“自公切线”.（2）由22221sin ()1tan 0cos cos xg x x x x '=-==≥恒成立，且仅当0x =时()0g x '=，则()y g x =是ππ(,)22-上的严格增函数，可得它至多有一个零点，令1ππ()sin ()cos ([,])22g x x x a x x =--∈-，由y =1()g x 的图象是连续曲线，且11ππ(()1022g g -=-<，因此1()g x 在ππ(,22-上存在零点，即在ππ(,)22-上1()()cos g x g x x =存在零点，所以()g x 有唯一零点；假设()g x 的图象存在“自公切线”，则存在12ππ,(,)22x x ∈-且12x x ≠，使得()g x 的图象在1x x =与2x x =处的切线重合，即2212tan tan x x =，有21x x =-，不妨设1π(0,2x ∈，切线211111:tan tan ()l y x x a x x x -+-=⋅-，222222:tan tan ()l y x x a x x x -+-=⋅-，有相同截距，即2211112222tan tan tan tan x x x x a x x x x a -+-+=-+-+，而21x x =-，则2211111111tan tan tan tan x x x x x x x x -+-=-+，即2111(1tan )tan x x x +=，则有111sin cos x x x =，即112sin2x x =，令()sin ,0πx x x x ϕ=-<<，()1cos 0x x ϕ'=->，即函数()ϕx 在(0,π)上单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，因此当π()0,x ∈时，sin x x >，即112sin2x x =在π(0,)2上无解，所以()g x 的图象不存在“自公切线”.（3）对给定的*n ∈N ，由（2）知()h x 有唯一零点，即n x 唯一确定，又()h x 在点(,sin )t t 处的切线方程为sin cos ()y t t x t -=-，即cos sin cos y x t t t t =+-，()h x 在点(,sin )s s 处的切线方程为cos sin cos y x s s s s =+-，若存在(2,)s π∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =图象的一对“同切点”，则()cos cos sin cos sin cos s t s t s s s t t t⎧=≠⎨-=-⎩，又ππ(,)22t ∈-，则cos 0t >，所以()cos cos tan tan s t s t s s t t⎧=≠⎨-=-⎩，cos cos s t =且tan tan s t =-，从而存在*n ∈N ，使得2πs n t =-，代入tan tan s s t t -=-，可得tan π0t t n -+=，则n x t =，即t 是数列{}n x 中的项；反之，若t 是数列{}n x 中的项，则存在*n ∈N ，使得n x t =，即tan π0t t n -+=，由（2）中的()g x 严格增，可知()h x 严格增，又(0)π0h n =>且()0h t =，可知0t <，令2πs n t =-，则(2π,)s ∈+∞且cos cos ,tan (tan )2(tan π)0s t s s t t t t n =---=--=，即tan tan s s t t -=-，可得sin cos sin cos s s s t t t -=-，所以存在(2π,)s ∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =的图象的一对“同切点”.所以存在(2π,)s ∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =图象的一对“同切点”的充要条件是“t 是数列{}n x 中的项”.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

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1 黄浦区2016年高考模拟考数学试卷（理科）（2016年4月）

考生注意： 1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效； 2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1．已知集合{1,3,21}Am，集合2{3,}Bm．若BA，则实数m ．

2．计算：131lim32nnnn ． 3．函数3()1fxx的反函数1()fx ． 4．函数2()(sincos)fxxx的最小正周期为． 5．在极坐标系中，直线(cos2sin)1与直线sin1的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）．

6．已知菱形ABCD，若||1AB，3A，则向量AC在AB上的投影为． 7．已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如右图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V ．

8．已知函数32()lg(1)fxxxx，若()fx的定义域中的a、b满足 f(-a)+f(-b)-3=f(a)+f(b)+3，则()()fafb ．

9．在代数式5221(425)1xxx的展开式中，常数等于． 10．若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则该椭圆的短轴长为．

第7题 2

11．有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各3个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2和3，现任取出3个，它们的颜色与号码均不相同的概率是（结果用最简分数表示）． 12．设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，()Pkakb（1,2,3k），若的数

学期望73E，则ab ．

13．正整数a、b满足1ab，若关于x、y的方程组24033,|1|||||yxyxxaxb有且只有一组解，则a的最大值为． 14．数列{}na中，若10a，2iak（*iN，122kki≤，1,2,3,k），则满足2100iiaa≥ 的i的最小值为．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0laxbyc，2222:0laxbyc，

那么“11220abab”是“两直线1l、2l平行”的[答] ( )． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

16．复数i1imz（mR，i为虚数单位）在复平面上的点不可能位于[答] ( )． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．若△ABC的三条边a，b，c满足()()()7910abbcca∶∶∶∶，则△ABC[答] ( )．

A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 18．若函数()lg[sin()sin(2)sin(3)sin(4)]fxxxxx的定义域与区间[0,1]的交集由n个开区间组成，则n的值为[答] ( )． A．2 B．3 C．4 D．5 3

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）如图，小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管．考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P与凳面圆形的圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分细钢管上下两段的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60．若A、B、C是凳面圆周的三等分点，18AB

厘米，求凳子的高度h及三根细钢管的总长度（精确到0.01）．

20．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．已知函数()sincosfxaxbx，其中a、b为非零实常数．

（1）若24f，()fx的最大值为10，求a、b的值．（2）若1a，6x是()fx图像的一条对称轴，求0x的值，使其满足0()3fx，且0[0,2]x．

21．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．已知函数2()1xxfxax，其中1a．（1）证明：函数()fx在(1,)上为增函数．（2）证明：不存在负实数0x使得0()0fx．

ABCPO 4 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知数列{}na的通项公式为12()()nanknk，其中*nN，1k、2kZ．

（1）试写出一组1k、2k的值，使得数列{}na中的各项均为正数．（2）若11k，*2kN，数列{}nb满足nnabn，且对任意的*mN（3m），均有3mbb，写出所有满足条件的2k的值．（3）若12kk，数列{}nc满足||nnncaa，其前n项和为nS，且使0ijcc（i、*jN，ij）的i和j有且仅有4组，1S、2S、…、nS中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求1k、2k的最小值．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

对于双曲线(,)abC：22221xyab（,0ab），若点00(,)Pxy满足2200221xyab，则称P在(,)abC

的外部；若点00(,)Pxy满足2200221xyab，则称P在(,)abC的内部．（1）若直线1ykx上点都在(1,1)C的外部，求k的取值范围．（2）若(,)abC过点(2,1)，圆222xyr（0r）在(,)abC内部及(,)abC上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围．（3）若曲线2||1xymx（0m）上的点都在(,)abC的外部，求m的取值范围．

黄浦区2016年高考模拟考 5

数学试卷（文理）参考答案一、填空题(本大题满分56分)

1．1 2．13 3．3(1)x，xR 4． 5．25arccos5

6．32 7．332 8．3 9．（理）15（文）123n 10．（理）103

（文）15 11．（理）114 （文）103 12．（理）16 （文）2

13．（理）2016（文）114 14．（理）128（文）2016 二、选择题(本大题满分20分) 15．B 16．D 17．C 18．C 三、解答题(本大题满分74分) 19．(本题满分12分) [解] 联结PO，AO，由题意，PO平面ABC，因为凳面与地面平行，所以PAO就是PA与平面ABC所成的角，即60PAO．（2分）在等边三角形ABC中，18AB，得63AO，（4分）在直角三角形PAO中，318OPAO，（6分）

由0.618OPhOP，解得47.13h厘米．（9分）

三根细钢管的总长度3163.25sin60h厘米．（12分） 20．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分． [解]（1）因为22()sincossin()fxaxbxabx（其中22sinbab，

22cosaab），

所以()fx的最大值为22ab．由2210ab，（2分）及222422fab，（4分）解得1a，3b或3a，1b．（6分）（2）易知，当6x时，取得最大值21b或最小值21b，

于是2131622fbb，解得3b．（8分）于是()sin3cos2sin()3fxxxx，（10分）当()3fx时，解得2xk或23xk（kZ）．（12分） 6

因为0[0,2]x，故所求0x的值为0，3，2．（13分） 21．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分． [证明]（1）任取121xx，1212121222()()11xxxxfxfxaaxx

121212121212

223()()()11(1)(1)xxxxxxxxaaaaxxxx





．（3分）

因为121xx，1a，所以12xxaa，110x，210x，120xx，于是120xxaa，12123()0(1)(1)xxxx，得12()()0fxfx，即12()()fxfx．因此，函数()fx在(1,)上为增函数．（6分）（2）（反证法）若存在负实数0x（01x），使得0()0fx，即方程201xxax有负实数根．（8分）对于21xxax，当00x且01x时，因为1a，所以0110,,1xaaa，（10分）

而000231(,1)(2,)11xxx．（13分）因此，不存在负实数0x使得21xxax，得证． 22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（理）[解]（1）11k、22k（答案不唯一）．（4分）

（2）由题设，22(1)nnakbnknn．（6分）

当21k，2时，2()kfnnn均单调递增，不合题意，因此，23k≥．当23k≥时，对于2()kfnnn，当2nk≤时，()fn单调递减；当2nk≥时，()fn单调递增．由题设，有123bbb，34bb．（8分）于是由23bb及43bb，可解得2612k．因此，2k的值为7，8，9，10，11．（10分）

（3）2,0,||0,0.nnnnnnaacaaa≤ 其中2121212()()()nanknknkknkk，且12kk．当120kk≤时，{}na各项均为正数，且单调递增，2nnca，也单调递增，不合题意；

当120kk≤时，222,,0,.nnankcnk≤ 不合题意；（12分）