2006+2007+2008+2009+201高数上 期末考试题目
广东海洋大学高等数学往年试卷
广东海洋大学2006 ——2007学年第一学期《高等数学》课程试题课程号： 1920008□ 考试□ A 卷□ 闭卷□ 考查□ B 卷□ 开卷一． 计算（20分，各4分）.1.x x x x sin 2cos 1lim0-→. 2.⎰+x dx2cos 1.3.⎰-++1121sin 1dx xx . 4.x x x x )1232(lim ++∞→. 5.⎰262cos ππxdx .二.计算（20分，各5分）. 1.求)arcsin(tan x y =的导数。
2.求由方程0=-+e xy e y所确定的隐函数y 的二阶导数22dxyd 。
3.已知⎩⎨⎧==te y t e x tt cos sin ，求当3π=t 时dx dy的值。
4.设x y y x z 33-=，求xy zx z ∂∂∂∂∂2,.三.计算.（25分，各5分）.1. dx x x ⎰+9232.dx e x ⎰班级：计科1141 姓名： 阿稻学号：2014xx试题共2页加白纸4张密封线GDOU-B-11-3023.dttedt e xt xt x ⎰⎰→020222)(lim .4.求]1)1ln(1[lim 0xx x -+→. 5.dx x ⎰-202sin 1π.四.解答（14分，各7分）.1.问12+=x xy ()0≥x 在何处取得最小值？最小值为多少？ 2.证明x x xx<+<+)1ln(1.五.解答（21分，各7分）.1.求由2x y =与x y 2=围成图形的面积。
2.求由x x x y ),0(,sin π≤≤=轴围成的图形绕x 轴所产生的旋转体的体积。
3.计算σd y x D⎰⎰+)(22，其中D 是矩形闭区域：1,1≤≤y x .《高等数学》课程试题A 卷答案一. 计算 （20分 各4分）1.原式＝2sin sin 220lim =→x x x x 2.原式＝c x xdx +=⎰tan 21sec 212 3. 原式＝201arctan 211112π⎰-==+x dx x 4. 原式＝e x x x =++∞→)1221(lim 5. 原式＝83622cos 126-=+⎰πππdx x 二、计算 （20分 各5分） 1.x xy 22sec tan 11'-=2.两边对x 求导，得：0''=++xy y y e y yex yy +-=' 2)()'1()('''y y y e x y e y e x y y ++-+-= 32)(22y yy e x e y ye xy +-+= 3.tt tt t e t e t e t e dx dy tt t t sin cos sin cos cos sin sin cos +-=+-=2331313-=+-==πt dx dy 4.323y y x xz -=∂∂222233y x y x z x y z -=∂∂∂=∂∂∂三、计算 （20分 各5分）1.原式＝c x x dx x x x x ++-=+-+⎰)9ln(29219992223 2. 原式＝c e e x c e te dt te x xt t t +-=+-=⎰)(2)(223. 原式＝2222220lim=⎰→x xt xx xedte e4. 原式＝212111)1ln(lim lim20=+-=+-→→x x x x x x x 5. 原式＝222)cos (sin )sin (cos cos sin 244020-=-+-=-⎰⎰⎰ππππdx x x dx x x dx x x四、解答 （14分 各7分）1.解:0)x (1x 1'y 222=+-= 1x ±= 1x -=（舍）又 00x y 211x y ==== 故：函数在1x =取到最大值，最大值为21。
高数必不挂-2006-2007高等数学A(一)解答
试卷号：B020002(答案)注：各主观题答案中每步得分是标准得分，实际得分应按下式换算：第步实际得分本题实际得分解答第步标准得分解答总标准得分N =N ⨯一、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)1、答：12 2、x =03、04、e -35、⎩⎨⎧=-=01y x 二、解答下列各题(本大题共2小题，总计10分) 1、(本小题5分)⎰-=ππ002sin 2sin xdx x x x 原式 5分⎰-=ππ0cos 2cos 2xdx x x =-2π 10分2、(本小题5分)直线方向向量为S D B =-+{,,}226ππ12,法向量分别为n n 12322123=-=-{,,},{,,}3分由条件n S n S 1200⋅=⋅=,即 231403120B D B D -+=++=⎧⎨⎩7分解得：B D =-=50111811, 10分三、解答下列各题(本大题共4小题，总计25分) 1、(本小题5分)解原式=-⋅⋅→limsin tan sec x xx x 122πππππ5分 =-→1213limcos x x π8分 =1210分2、(本小题5分)解：⎰+-====c t tdt t t dx t x csc 41cot csc 41,sec 2,tan 22原式令 7分 ＝C xx ++-442。
10分3、(本小题7分)原式=++-+-++-⎰⎰()()x x x dx x x x dx 2202032112114分=+--⎡⎣⎢⎤⎦⎥+-++⎡⎣⎢⎤⎦⎥-x x x x x x 322032033131ln()ln() =-ln124310分4、(本小题8分)解：k j i k j i b a732131112++-=--=⨯ 6分所以所求单位向量为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-±627,623,622。
10分 四、解答下列各题(本大题共2小题，总计16分) 1、(本小题8分)y xy y x y y x y e xy '='+-'+)sin()()(， 5分2)0(,2.,0='==y y x 时当。
C成都理工大学2006-2007学年线性代数期末考试试题(含答案)
成都理工大学2006—2007学年 第一学期《线性代数》考试试卷（A ）（含答案）一.填空题（每空3分，共30分）1. 已知A* =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4031，则A = 。
2. A 、B 、C 是同阶矩阵，A 可逆，若AB = AC ，则B = 。
3. 若A 2= E ，则A 1- = 。
4. 设A = 1，A 2 = 32，则A 为 阶矩阵。
5. 行列式D = 42062013-中，元素6的代数余子式为 。
6. A 、B 、C 是同阶方阵，且A ≠0，BA=C ，则B= 。
7. 逆序数τ（23541）= 。
8. n + 2个n 维向量的相关无关性为 （填“相关”“无关”或“不确定”）。
9. 向量组的 所含向量的个数称为向量组的秩。
10. 若n 阶实矩阵A 满足 ，则称A 为正交矩阵。
二.单项选择题（每小题3分，共15分）11. A 、B 是同阶方阵，下面结论中（ ）是正确的。
(A) 若AB = 0且B ≠0，则A = 0； (B) 若AB = 0且B ≠0，则A = 0；(C) 若AB = 0且B ≠0，则A ≠0； (D)若A ≠0，则A 是可逆矩阵。
12. n 阶行列式D 的值为零的充要条件是（ ）(A)某一行元素全为零； (B)某两行元素相等； (C) D 的秩＜n ； (D)两行对应元素成比例. 13. 若A 是( )，则A 不一定是方阵。
(A)对称矩阵； (B)方程组的系数矩阵； (C)可逆矩阵； (D)上（下）三角形矩阵。
14. 两个非零向量α、β线性相关的充分必要条件是（ ）(A)α、β的对应分量成比例； (B)α=β；(C)α、β中有一个是零向量； (D) 0α+0β=0不成立. 15. 齐次线性方程组AX=0有非零解是它的基础解系存在的（ ）。
(A)充要条件； (B)必要条件； (C)充分条件； (D)无关条件.三.解答下列各题：（21分）16. 计算D = 1222111b a a c c b b a ca c bc b a+++17. 证明若对称矩阵A为非奇异矩阵，则A1 也对称。
北京林业大学《高等数学》2006-2007学年第二学期期末试卷
20 06 --20 07 学年第 二 学期考试试卷(A)试卷名称： 高等数学 （理工类） 课程所在院系： 理学院 （N ）考试班级 学号 姓名一、填空题（每题 3 分，共 39 分） 1． 设 f (x − y , x + y ) = x2− y 2 ，则 f (x , y ) = xy .x 2 y4． 函数 u = x sin(yz ) 的全微分为du = sin(yz )dx + xz cos(yz )dy + xy cos(yz )dz .5． 已知平面区域 D 是由直线 x + y = 1， x − y = 1及 x = 0 所围成，则 ydxdy = 0D6．微分方程 y ′ = y2 e 2x, 满足初始条件 y (0) = − 2 的特解为 y = −2e −2x .7． 设 y 1 , y 2 , y 3 是微分方程 y ′′+ p (x )y ′+ q (x )y = f (x ) 的三个不同的解， 且 ≠ 常数， 则微分方程的通解为 y = c 1 (y 1 − y 2 ) + c 2 (y 2 − y 3 ) + y 1 .8． 周期为 2π 的函数 f (x )， 它在一个周期上的表达式为 f (x ) = ， 则 f (x ) 的傅里叶级数的和函数在 x = 0 处的值为 0 . 9． 设 Σ 为平面 ++ = 1在第一卦限中的部分，则(z +2x + y )dS = 4 .Σ11. 设 L 为下半圆周 y = − ，则对弧长的曲线积分 ∫ ex 2 +y2ds = 2πe 4 .L12．函数 f (x ) =1展开为 x 的幂级数的形式为1 [1 + x + (x ) +2 + (x )n + ], −2 < x < 22 − x 2 2 2 213．若级数(u n +1)收敛，则 l nu n = -1二、（5 分） 函数 z = z (x , y ) 由方程 x − az = φ(y − bz ) 所确定， 其中φ(u ) 有连续导数， a , b 是不全为零的常数，证明： a∂x + b ∂y = 1 证明：方程 x − az = φ(y − bz ) 两边同时对 x , y 求偏导得2． 极限 lim = 2 .3． 设函数 f (x , y ) = 2x2+ ax + xy 2 + 2y 在点 (1, − 1) 处取得极值，则常数 a = -5 .10． 曲线 x = t − sin t , y = 1 − cos t , z = 4sin 在对应 t = 的点处的法平面方程是2 2 π 2x + y + z − −4 = 0 .y x 00− 1 t π∂z ∂z∂x ∂x ∂x a − b φ′ ∂z ∂z ∂z −φ′ ∂y ∂y ∂y a − b φ′ ∂z ∂z ∂x ∂y 三、（5 分）设 z = e ，求1 xy xy1 − a∂z = φ′ ⋅ ( −b ∂z ) ⇒ ∂z =1− a = φ′ ⋅ (1 − b ) ⇒ =故 a + b = 1x 2 y 3 ∂2z∂x ∂y= 2xy 3ex 2 y 3,= (6xy 2+ 6x 3y 5)ex 2 y 3四、（6 分）求微分方程 y ′′ − 3y ′+ 2y = 2e x 满足条件 y (0) = 0, y ′(0) = 1 的特解. 解：特征方程为： r2− 3r + 2 = 0 特征根为： r 1 = 2, r 2 = 1 对应齐次方程的通解是： y = c 1e 2x + c 2 e x设原方程的特解为： y *= axe x ，将其代入原方程待定系数得 a = −2 .所以 y * = −2xe x故原方程的通解为 y = c 1e 2x+ c 2 e x − 2xe x 由 y (0) = 0, y ′(0) = 1 解得c 1 = 3, c 2 = −3因此所求的特解是 y = 3e 2x − 3e x − 2xe x五、（6 分）计算二重积分 (x2+ y )dxdy ，其中 D = {(x , y ) 4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9 } .D解:(x2+ y )dxdy = x 2dxdy =πd θ∫23(r cos θ)2 rdr =πD D六、（5 分） 利用格林公式， 计算(2x 2 y − 2y )dx + (x 3 − 2x )dy ， 其中 L 为以 y = x , y = x 2 围成区域的正向L边界. 解:(2x 2y − 2y )dx + (x 3− 2x )dy = − x 2dxdy = − ∫01dx ∫ x 2 dy = −L D七、（6 分） 设 Σ 是由曲线 z = y 2 ,(0 ≤ z ≤ 2) 绕 z 轴旋转而成的曲面.x = 0,(1) 写出 Σ 的方程.（2）计算 4(1 − y2)dzdx + z (8y +1)dxdy ，其中 Σ 取下侧.Σ解: (1) Σ 的方程是 z = x2+ y 2 (0 ≤ z ≤ 2) .(2) 设 Σ 1 为 z = 2, (x2+ y 2 ≤ 2) 的上侧，则4(1 − y 2)dzdx + z (8y +1)dxdy =∫ dv =πd θ 2d ρ∫ρ22 ρdz = 2πΣ+Σ Ω 4(1 − y 2 )dzdx + z (8y +1)dxdy = 2(8y +1)dxdy = 2dxdy =4πΣ D D 4(1 − y 2 )dzdx + z (8y +1)dxdy = 2π− 4π = −2πΣ八、（6 分）求幂级数 的收敛半径与收敛区间，并求出它在收敛区间内的和函数.解： 收敛半径 R = 2 ，收敛区间为[− 1,3)1解：s(x) = s′(x) = ⋅ = ()n−1 =s(1) =0，s′(x)dx== dx,s(x) =ln 2 −ln(3 −x) (−1 ≤ x< 3)九、（5 分）设b n是收敛的正项级数，(a n−a n+1 ) 收敛. 试讨论a n b n的敛散性，并说明理由.解: a n b n是绝对收敛的.因为(a n−a n+1 ) 收敛,所以部分和s m= (a n−a n+1 ) = a1 −a m+1 有界,从而数列{a n}有界即存在常数M> 0 ，使| a n|< M (n= 1, 2, 3, ) ，故| a n b n|< Mb n(n= 1, 2, 3, )由于b n是收敛的正项级数，由比较审敛法知，a n b n绝对收敛.十、（6 分）设可导函数f (x) 满足f (x) cos x+ 2f (t) sin tdt= x+1，求f (x) .解：方程f (x) cos x+ 2f (t) sin tdt= x+1两边对x求导得f′(x) c os x+ f (x) s in x= 1即f′(x) +tan x⋅f (x) =求解上面的一阶线性微分方程得f (x) = e−∫ tan xdx[ ∫ e∫ tan xdx dx+ C] = sin x+ C cos x由于f (0) =1，所以C= 1，故f (x) =sin x+ cos x十一、（5 分）证明: (sin y−y sin x)dx+ (x cos y+cos x)dy为某二元函数f(x, y)的全微分，并求f(x, y)，计算(sin y−y sin x)dx+ (x cos y+ cos x)dy.解因为P= sin y−y sin x, Q= x cos y+ cos x∂P= cos y−sin x= ∂Q∂y∂x所以(sin y−y sin x)dx+ (x cos y+cos x)dy为某二元函数f(x, y)的全微分(sin y−y sin x)dx+ (x cos y+ cos x)dy= (sin ydx+ x cos ydy) +(cos xdy−y sin xdx)= d(x sin y+ y cos x)故f (x, y) = x sin y+y cos x+ c(sin y−y sin x)dx+ (x cos y+ cos x)dy= [x sin y+ y cos x]= −1十二、（6 分）求抛物面z= 1+ x2 +y2 的一个切平面，使它与抛物面及圆柱面(x−1)2 + y2 = 1所围成的立体的体积最小，并求出最小的体积，写出所求切平面方程.解：设 F (x , y , z ) = 1 + x2+ y 2 − z ，得F x = 2x , F y = 2y , z F = − 1抛物线在 (x 0 , y 0 , z 0 ) 处的切平面方程为2x 0 (x − x 0 ) + 2y 0 (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0即 z = 2x 0 x + 2y 0 y + 1 − x 02− y 02该平面与抛物面及圆柱面所围成的立体的体积为2解一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1、已知两点 M 12(,2,2) 和 M 21(,3,0) ,则模 M 1M 2 = ____ 2 _____。
高数期末试题
2 1
f ( x)dx 1 , 证明在(0,3)内存在
, 使 f ( ) f ( ) 0.
九 . (8 分) 设 f ( x) 有连续导数 , 且 lim
x 0
f ( x) f ( x) 2, ex 1
f (0) 0, 证明 x 0 是 f ( x) 的
x 0
____________ .
2.
I1
ln 2 x dx 与 I 2 x
dx 中 收 敛 的 为 _____________, 其 值 等 于 x ln 3 x
___________. 3.
1
1
3 1 x 2 dx _____________,
1
1
x 1 x 2 dx _____________ .
2x 1 x2
( x 1) 是否恒为常数.
y 1 dy d 2 y 2 2 六. (9 分) 设 arctan ln( x y ) 确定函数 y y ( x) , 求 , 2 . x 2 dx dx
信息与电子二学部学生会学习部整理
七. (10 分) 求下列反常积分. (1)
1
二. (9 分) 求极限 lim(cos x x sin x) .
x2 x 0
三. (9 分) 求不定积分 ( x arctan x
1 x e )dx . x2
1
四. (9 分) 求 f ( x) 3 ( x 2 2 x) 2 在区间 [1,3] 上的最大值和最小值.
五. (8 分) 判断 f ( x) arctan x arcsin
0
x
是 f ( x) 的极值点, 并判断 f (0) 是极大值还是极小值.
高数上期末考试题及答案
高数上期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为：A. 2x+3B. 2x+4C. x^2+3D. 3x+2答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数f(x)=e^x的不定积分为：A. e^x + CB. e^(-x) + CC. ln(x) + CD. -e^(-x) + C答案：A4. 曲线y=x^3-3x+2在x=1处的切线斜率为：A. 0B. 1C. -1D. 3答案：D5. 以下哪个函数是偶函数：A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 函数f(x)=x^3的二阶导数为_________。
答案：6x7. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为_________。
答案：1/38. 函数f(x)=ln(x)的定义域为_________。
答案：(0, +∞)9. 曲线y=e^x与直线y=x相切的切点坐标为_________。
答案：(1, e)10. 函数f(x)=x^2-4x+4的极小值点为_________。
答案：2三、计算题（每题10分，共40分）11. 求极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2) / (x^3 + 5x^2 - 2)。
答案：lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2) / (x^3 + 5x^2 - 2) = lim(x→∞) (1 - 3/x + 2/x^2) / (x + 5 - 2/x^2) = 012. 求不定积分∫(2x - 3) / (x^2 + 1) dx。
答案：∫(2x - 3) / (x^2 + 1) dx = ∫(2x / (x^2 + 1)) dx - ∫(3 / (x^2 + 1)) dx = ln(x^2 + 1) - 3arctan(x) + C13. 求曲线y=x^2+2x+1在x=0处的切线方程。
2006+2007+2008+2009+2010高数第二学期期末考试卷(综合)
一。
偏导数的几何应用1、[07]曲线cos :sin x a ty a t z ct=⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩在点(),0,0a 的切线方程为0x a y z a c -==. 2.[07]（化工类做）在曲面22122z x y =+上求出切平面，使所得的切平面与平面42210x y z ---=平行。
解：曲面的法向量{}4,,1n x y =-应与平面平面42210x y z ---=的法向量平行，从而有411,1,4222x y y x -==⇒=-=--，由于切点在曲面上()221121122z ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 因此切平面为()()1421210,2102x y z x y z ⎛⎫--+--=---= ⎪⎝⎭3.[2006]已知直线34:273x y zL ++==--和平面:4223x y z ∏--=则（ B ） A 、L 在∏内 B 、L 与∏平行，但L 不在∏内 C 、L 与∏垂直 D 、L 不与∏垂直，L 不与∏平行4.[2006]曲面23z z e xy -+=在点()1,2,0处的法线方程是12420x y z--== 5. [2006]（化工类做） 已知直线1210:320x y L x z +-=⎧⎨+-=⎩和2112:123x y z L -+-==，证明：12//L L ，并求由12,L L 所确定的平面方程。
证明：直线1L 上任取两点()()0,1,2,1,1,1--，则{}11,2,3S =--是1L 的方向向量；2L 的一个方向向量为{}21,2,3S =-，因为12//S S ，所以12//L L设12,L L 所确定的平面方程为0Ax By Cz D +++=，它经过点()1,1,2-和点()()0,1,2,1,1,1--，所以2022000A B C D A DB C D B D A B C D C -++==-⎧⎧⎪⎪++=⇒=-⎨⎨⎪⎪--+==⎩⎩所求方程为210x y --+=二。
北京科技大学《高等数学》2006-2007学年第二学期期末试卷A卷
北京科技大学 2006 --2007 学年第二学期高等数学 试卷 （A ）院(系) 班级 学号 姓名试卷卷面成绩占课程考核成绩80 % 平时成绩 占 20 %课程考核 成绩 题号 一二 三 四 五 六 七 小计 得分阅卷审核一、填空题（15 分）1．曲面z =+ y 2 在点(2,1, 3) 的切平面方程为2．交换积分次序 dx ∫0ln x f (x , y )dy =3．设l 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 与平面 x + y + z = 0 的交线，则(x 2 + y 2 + z 2 )dl = 4．级数x 2n −1 的收敛半径是5．求微分方程 y "+ y '− 2y = 0 的通解 y =二、单选题（15 分）1．设u = f (x + y , xz ) 有二阶连续偏导数，则= （ ）（ A ） f '2+ (x + z )f 12'' + xzf '2'2 （B ） x f 12''+ xzf '2'2（ C ） f '2 + xf 12''+ xzf '2'2 （D ） x zf '2'2得 分得 分自 觉 遵 守 考 试 规 则， 诚 信 考 试， 绝 不 作 弊装 订 线 内 不 得 答 题2． 若 f (x , y )dxdy = ∫d θcos θf (r cos θ, r sin θ)rdr ， 其中a > 0 为常数， 则积分区域 D 是D 2（ ）（ A ） x 2 + y 2 ≤ a 2 （B ） x 2 + y 2 ≤ a 2 , x > 0 （ C ） x 2 + y 2 ≤ ax （D ） x 2 + y 2 ≤ ay3． 设∑ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1， ∑1 为上半球面 z = ， D xy 为曲面 ∑ 在 xoy 平面上的投影区域，则下列等式成立的是（ ） （ A ） ∫ zdS = 2∫ zdS （B ）∫ zdS = 0 ∑ ∑1 ∑（ C ） ∫ z 2 dS = 2∫ z 2dxdy （D ）∫ z 2dS = 2∫ z 2dxdy ∑ ∑1 ∑ D xy4．设幂级数a n (x − 1)n 在 x = 2 处条件收敛，则该级数在x = 处是（ ）（ A ） 条件收敛 （B ）绝对收敛 （ C ） 发散 （D ）敛散性不一定5． 设线性无关的函数 y 1 , y 2 , y 3 都是二阶非齐次线性方程 y "+ p (x )y '+ q (x )y = f (x ) 的解， c 1 , c 2 为任意常数，则该方程的通解是（ ）（ A ） c 1y 1 + c 2 y 2 + y 3 （B ） c 1y 1 + c 2 y 2 + (c 1 + c 2 )y 3 （ C ） c 1y 1 + c 2 y 2 − (1 − c 1 − c 2 )y 3 （D ） c 1y 1 + c 2 y 2 + (1 − c 1 − c 2 )y 31．（8 分） 设u = x 2 + 2y 2 + 3z 2 + xy + 3x − 2y − 6z ， 求点 P 0 (1,1,1) 处从点 P 0 到点 P 1 (3, 0, − 1) 方 向的方向导数P 0 和在点 P 0 处的梯度 gradu (1,1,1)2．（8 分）计算 I = x 2 + y 2 − 4 dxdy , 其中 D : x 2 + y 2 ≤ 9D3．（8 分） 计算∫∫ (x2+ y 2 )dv ， 其中Ω 是由曲线绕 z 轴旋转一周而成的曲面与两平面 z = 2， z = 8 所围成的区域。
2006-2007(2)高等数学试题(A卷)(90)
学院领导 审批并签名A 卷广州大学 2006-2007 学年第二学期考试卷课 程：高等数学（A 卷）（90 学时） 考 试 形 式： 闭卷 考试 题 次 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 分 数 301414868812100得 分 评卷人一．填空题（每小题3分，本大题满分30分）1. (,)(1,2) 22lim 2x y xy xy ® +- = - ________. 2.设 2sin z x y = ,则 2zx y¶ = ¶¶ ____________.3.函数 3 x z y e = 的全微分dz =____________________.4.若 243 (,)2 f x x x x x =++ , 22 1(,)221 f x x x x ¢ =-+ ,则 22 (,) f x x ¢ =____________.5.改换积分次序: ln 1(,) e xdx f x y dy = òò ____________________.6.平面 1 x y z ++= 在第一卦限部分的面积等于________.7.设L 为圆周 222 x y a += ,则 ò = + Lds y x ) ( 2 2 ________.8.若级数 1n n u ¥ = å 条件收敛，则级数 1|| n n u ¥= å 的敛散性为：__________.9.函数 1 1 () x n f x n¥= = å 的定义域为x Î________.10.若 2 ()2ln 0 y f x dx y xdy += 为全微分方程,则 () f x =__________.学院 专业 班 级姓名学号二．解答下列各题(每小题7分,本大题满分14分)1.已知 ) , ( y x f z = 是由方程 0 ze xyz -= 确定的隐函数, 求 x z ¶ ¶ 和 2 2 xz¶ ¶ .2.求曲面 222 236 x y z ++= 在点(1,1,1) - 处的切平面及法线方程.三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分 14分）1.计算 cos() Dx x y d s + òò ,其中D 是顶点分别为(0,0),(,0) p 和(,) p p 的三角形闭区域.2.设L 为正向圆周 22 1 x y += ,计算 ò + - Ldy xy dx yx x 2 2 2 ) (sin .装订 线 内 不 要 答题四．(本题满分8分）求幂级数 2ln n n xn ¥= å 的收敛域.五．(本题满分6分） 求微分方程 dy y xdx x y=+ 的通解.六．（本题满分8分）某厂家生产两种产品I 和II，出售单价分别为 10元与9元，生产x 单 位的产品I 与生产 y 单位的产品II 的总费用是：22 400230.01(33) x y x xy y +++++ （元）假定销售量等于生产量.求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？七．（本题满分8分）设W 是由曲面 22 6 z x y =-- 及 22 z x y =+ 所围成的有界闭区域,求W 的体积.装订 线 内 不 要 答题八．(本题满分12分） （1）验证函数3693 ()1 3!6!9!(3)!nx x x xy x n =++++++ L L ，（ x -¥<<+¥）满足微分方程 x y y y e ¢¢¢ ++= ；（2）利用（1）的结果求幂级数 3 0(3)! n n xn ¥= å 的和函数.。
工科数分(上) 2006-2007 第一学期期末考试试卷
a
a
两边积分，得
b |
f
(x) |2dx
b
(x − a)dx
b
|
f
(x) |2dx
=
(b − a)2
b
|
f
(x) |2dx ，…
a
a
a
2
a
故得成立 2 b f (x) 2 dx (b − a)2 b f '(x) 2 dx 。………………….10 分
a
a
六、证明题（本题 10 分）
1 x2
−
2 cos x
1 x2
x 0, 则
【
0
x=0
Ａ． f (x) 在 x = 0 处连续
Ｂ. f (x) 在[-1，1]上可积
C】
Ｃ． f (x) 在[-1，1]上有连续原函数
D. f (x) 在 x = 0 处导数连续
2． 下列命题中不正确的是
【D 】
A. 若 f (x) 在 (a,b) 内的某个原函数是常数，则 f (x) 在该区间内恒为零。
−11 + 1 − x 2
−11 + 1 − x 2
1
=4 01+
x2
dx + 0 = 4 1 x2 (1 −
1−
x2
)dx
=
4
1
(1 −
1− x2
0
x2
0
1 − x2 )dx ..4 分
3
= 4[1 − 1 1 − x2 dx] = 4[1 − ] = 4 − ,…………………………………..5 分
−
1 ) n+1 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2010-2011学年第一学期《高等数学》试卷（A 卷）一. 填空题 (共5小题,每小题3分,共15分)1．当a x →时,xx x f ln 1)(-=是无穷小,则实数=a _； 2．设()3)1(sin ln +=x y ，则=y d3．设)(x f 在0x 可导，则000(2)(3)lim h f x h f x h h →+--= 4．曲线x y ln =的拐点为 ；5．设x x x f e )(=，则)()(x f n 在点=x 处取极小值 ．二. 计算下列各题 (共4小题,每小题5分,共20分)1．求极限)12111(lim 222n n n n n ++⋅⋅⋅++++∞→．2．求极限211e lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→．3 ．求极限202(arctan )d lim1x x t t x →+∞+⎰4．设函数1,0()1e 0,0x x x f x x ⎧≠⎪=⎨+⎪=⎩ ，讨论()f x 在点0x =处的连续性与可导性．三.解答下列各题 (共3小题,每小题6分,共18分)1．由方程)tan(y x y +=确定了隐函数)(x y y =，求)(x y 的二阶导数．2．设)1(,)(3-=-=t e f y t f x π，其中)(t f 二阶可导，且0)0('≠f ，求0=t dx dy 和022=t dx yd ．3．指出数列{}n n 中最大的数，并说明理由．四. 解答下列各题(共4小题,每小题6分,共24分)1．设2ln ,1()11,121x x f x x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪+⎩，求()d f x x ⎰2．计算3221d 1x x x +⎰．3．设0>s ，求),2,1(d 0 ==⎰∞+-n x x e I n sx n ．4．设→→→→+-=k j i a 2,→→→→++=k j i b ,试在→→b a ,所决定的平面内，求一个与→a 垂直的单位向量．解五. 解答下列各题(共2小题,每小题6分,共12分)1．求心形线)r围成的图形面积．=a+cos1(θ2．求摆线(sin),(1cos)a>的一拱02x a t t y a t=-=-(0)≤≤与x轴所围成的平tπ面图形绕2y a=旋转所得旋转体的体积．解：六. 证明下列各题(共2小题)1．(本题6分)写出拉格朗日中值定理，并给出证明.2．(本题5分)设函数)(xf在),f和)('''x-∞(+∞-∞上三阶可导，且)(x,f在)(+∞有界.试证：)(+∞,-∞有界.('xf和)(''xf在)2009年考试题目三. 填空题 (共5小题,每小题3分,共15分)1．(09)设0x →时,tan e e x x -与n x 是同阶无穷小,则n =__________；2．(09)设x y 211+=，则=)()6(x y ；3．(09)若曲线23bx ax y +=的拐点为（1, 3），则常数=a ，=b ；4．(09)曲线1(21)e x y x =-的渐近线方程为 ；5. (09)x x f ln )(=在10=x 处带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式为 ．四. 计算下列各题 (共4小题,每小题5分,共20分)1．(09)已知)1(||)(22--=x x xx x f ，指出函数的间断点及其类型．2． (09)设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=-1,1e 1,ln )()1(22x x a x x f x b 在点1x =处可导，求,a b 的值．3． (09)已知011ln arctan 2lim 0≠=-+-→C x xxx n x ，试确定常数n 和C 的值．_____________ _____________________ ________五. 解答下列各题 (共3小题,每小题6分,共18分)1．(09)由方程02=+-y x x y 确定了隐函数)(x y y =，求微分d y ．2．(09)求由参数方程⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(tt y t t x 所确定函数的二阶导数22d d y x ．3．(09)已知函数)(x f 连续，t x t f t x g xd )()(02⎰-=，求)('x g ．四. 解答下列各题(共4小题,每小题6分,共24分)1．(09)()221sin d sec tan sec d tan sec cos x x x x x x x x c x-=-=-+⎰⎰ (6)2．(09)161arctan 1d x x -⎰．3．(09)211d e ex x x +∞-+⎰．4．(09)已知三点)1,2,1(-M ,)1,3,2(-A 和)0,3,1(B ,计算：(1)以MA ,MB 为邻边的平行四边形的面积；(2)求同时垂直于MA ,MB 的单位向量→0n ．五. 解答下列各题(共2小题,每小题6分,共12分)2．(09)求θsin 2=r 和θ2cos 2=r 围成图形的公共部分的面积．2．(09)求由曲线2,1,e ===x x y x 及x 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转所成立体的体积．六. 证明下列各题(共2小题)1．(09) (本题6分)设函数)(x f 在),(+∞-∞上连续，利用定义证明函数t t f x F x d )()(0⎰=在),(+∞-∞上可导，且)()('x f x F =．2．(09) (本题5分)设函数)(x f 在]1,0[上连续，且0d )(10=⎰x x f ，1d )(10=⎰x x xf ，试证： （1）存在 ]1,0[∈ξ，使得4)(≥ξf ；（2）若)(x f 在]1,0[上可导，则存在)1,0(∈η，使得4)('≥ηf ．《高等数学》试卷（2008期末理工类统考 时间120分钟，总分100）成绩报告表序号： 专业班 姓 名： 学院（系）一、填空题（共18分）1．(08) [3分] 设()()21lim 1n n x f x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为 ，它是第 类间断点2．(08) [3分]若()()()()()1232008f x x x x x x =---- ，则()0f '=3．(08) [3分]设()f u 可微，且()2sin3y fx =，则dy =4．(08) [3分] ()22214x x dx -+-=⎰5、(08) [3分] 已知()f x 的一个原函数为ln x x ，则()f x '=6、(08) [3分] 设{1,2,2},{2,1,2}a b =-=- ，则()()a b a b -⨯+= 二、计算下列各题（4520⨯=）1、(08) [5分] 设()2sin 2n a n n n π=+-，求lim n n a →∞2、(08) [5分]求极限011cos lim 12x x x x →⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦3、(08) [5分] 已知()f x 有一阶连续导数，且()()001f f '==，求极限()()0sin 1lim ln x f x f x →-4、(08) [5分]求极限111lim 12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭三、 (08)解答下列各题[每小题5分，共20分]1． (08)已知两曲线()y f x =与2arctan 0xt y e dt -=⎰在点()0,0处的切线相同，求此切线方程2． (08)设函数()y y x =由参数方程3292x t t y t t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩确定，求曲线()y y x =向下凸的x 的取值范围3． (08)设()x ϕ具有二阶连续导数，且()00ϕ=，若()(),0,0x x f x x a x ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（1）确定a ，使()f x 在(),-∞+∞内连续；（2）求()f x '4、(08)设函数()y y x =由方程()0,0y x y x x y =>>确定，求dy dx四、解答下列各题[每小题5分，共20分]1、(08)计算3sec xdx ⎰2、(08)计算()321401x xdx -⎰3、(08)计算()()221211x dx x +∞++⎰4、(08)设()()1ln ,01x t f x dt x t =>+⎰，求()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭五、(08) [本小题10分] 设直线()01y ax a =<<与曲线2y x =所围成的图形面积为1S ，它们与直线所围成的面积为2S（1）试确定常数a 的值，使达到最小，并求出最小值；（2）求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积六、证明下列各题[每小题6分，共12分](08)1、当02x y π<<<时，证明：()()()2222cos tan tan cos cos cos y x y y x y x y x x -<-<-2、(08)设()f x 在[],a a -上二阶导数连续()0a >，且()00f =，证明：在[],a a -上至少存在一点η使得()()33aa a f f x dx η-''=⎰（2007期末理工类统考 时间120分钟，总分100）成绩报告表序号： 专业班 姓 名： 学院（系）一填空题1．(07) [3分] 设arctan 1y x =+，则0x dy ==2．(07) [3分]()20lim 1sin xx x →+=3．(07) [3分]已知ABC ∆的三个顶点的坐标为()()()1,0,1,2,1,0,0,1,1A B C ，则ABC ∠=、4．(07) [3分] 曲线()211ln 142y x x x e =-≤≤的弧长等于5、 (07) [3分] 2x xedx +∞-=⎰二单项选择题1、(07) [3分] 设()()()2,d f x g x h x x dx ==，则()()d f h x dx=（ ） A. ()2g x B. ()2xg x C. ()22x g x D. ()22xg x2、(07) [3分] 设()572xxf x =+-，则当0x →时（ ）A.()f x 与x 是等价无穷小量B. ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量C. ()f x 是比x 高阶的无穷小量D. ()f x 是比x 低阶的无穷小量3、(07) [3分] 设()g x 在(),-∞+∞上严格单调减少，()f x 在0x x =处有极大值，则（ A. ()[]g f x 在0x x =处有极小值 B. ()[]g f x 在0x x =处有极大值 C. ()[]g f x 在0x x =处有最小值 D. ()[]g f x 在0x x =处既无极值也无最值4、(07) [3分]在下列函数中，在定义域上连续的函数是（(A) ()sin ,00,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ (B) ()1sin ,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩(C) ()11,00,0x x f x xx ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩(D) ()1,00,0x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩ 5、(07) [3分]若连续曲线()1y f x =与()2y f x =在[],a b 上关于x 轴对称，则积分()()12b baaf x dx f x dx +⎰⎰的值为（ ）A 、()12b a f x dx ⎰B 、()22b af x dx ⎰C 、 ()()122[]ba f x f x dx-⎰ D 、0三 (07)解答下列各题[每小题7分，共14分]4． (07) 设参数方程()2220ln 11t x t u y du u ⎧=+⎪⎨=⎪+⎩⎰，求22d y dx 、5． (07)求曲线xy xe -=在拐点处的切线方程四解答下列各题[每小题7分，共14分] 1、(07)计算定积分21ln e xdx x ⎰2、 (07)计算不定积分221x dxx-⎰五 (07) [本小题8分] 确定常数,a b 的值，使函数(),0()arcsin ,0x e b x f x ax x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续且可导六 (07) [本题8分] 已知()f x 的一个原函数是2x e -，求()xf x dx '⎰七、(07) [本题8分]设()f x 在[]0,1上可导，且()()1122021f x f dx x=+⎰，试证：()0,1ξ∃∈，使()()()2120f f ξξξξ'+-=八 (07)证明方程2201101x xt dt t =+⎰在()0,1内有且仅有一个实根九 (07)已知曲线()0y a xa =>与曲线lny x =在点()00,x y 有公共切线，求：（1）常数a 的值其切点；（2）两曲线与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积《高等数学》试卷（2006期末理工类统考 时间120分钟，总分100）成绩报告表序号： 专业班 姓 名： 学院（系）一填空题1．(06)[3分] 函数()212arcsin3x y x x -=-+的定义域是2．(06) [3分]201cos3limx xx →-=3．(06) [3分]设xey x π=+，则y '= 4．(06) [3分] 设()220xy a a x =≠+，则=dy5、 (06) [3分] 若220,dx a a x<=-⎰二单项选择题1、(06) [3分] 极限2451lim 23x x x x →∞+++ （ ）A. 2=B.2=-C.2=±D. 不存在2、(06) [3分] 下列函数()f x 在[]1,1-上适合罗尔定理条件的是（ ） A.()32f x x =B. ()2f x x x =C. ()arccos f x x =D. ()cot2xf x π=3、(06) [3分] 下列函数中哪一个不是sin 2x 的原函数（ ）A. 2sin xB. 2cos x -C. cos 2x -D. 225sin 4cos x x + 4、(06) [3分]设21ln P xdx =⎰，221ln Q xdx =⎰221,1R x dx =+⎰，则（）(A) P Q R << (B) Q R P << (C) R Q P << (D) Q P R <<5、(06) [3分]设()x f 在[],a b 上连续，则()[]b a dx f x dx dx=⎰（A 、()b af x dx ⎰B 、()()bf b af a -C 、 ()()()ba x fb f a f x dx -+⎡⎤⎣⎦⎰ D 、()()ba xf x f x dx +⎰对三 [每小题6分，共26分]1(06) 计算极限sin cos 30lim x x xx e e x→-2 (06)设()22ln sin 1sin 1sin x t ty t ⎧=++⎪⎨⎪=+⎩确定了y 是x 的函数，求22d y dx3 (06)计算不定积分()12ln 11xx dx x x+<-⎰4 (06)计算定积分22222x x dx --⎰四解答下列各题[每小题7分，共14分]1、(06)在曲线21y x =+上求一点M ，使它到点()5,0P 的距离为最小2、(06)设由c o s ,0,0y x y x ===在第一象限围成的图形为D ，其面积为0S .又曲线()sin 0y a x a =>将D 分为左右两部分12,D D ，其面积分别为12,S S ，求a 的值使12:2:1S S =五(06) [本小题8分] 设()()()()13()1x b x b f x x a x +--=--有无穷间断点10x =，有可去间断点21x =，求,a b 的值六 (06) [本题9分]设()21,0,2,0x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，讨论()f x 及()f x '在0x =处的连续性七(06) [本题10分]设()f x 在(),a b 连续、可导且()f x '单调增，()0,x a b ∈，()()()()00000,.,f x f x x x x x x f x x xϕ-⎧≠⎪-=⎨⎪'=⎩证明：()x ϕ在(),a b 内也单调增。