四川省德阳市2017-2018学年高考数学三诊试卷(理科) Word版含解析
四川省雅安市2017-2018届高考三诊数学试题(理)含答案
4 25
B．
4 i 25
12.在直角梯形 ABCD ， AB AD ， DC / / AB ， AD DC 1 ， AB 2 ， E ， F 分别为
AB ， BC 的中点，点 P 在以 A 为圆心， AD 为半径的圆弧 DEM 上变动（如图所示）.若 AP ED AF ，其中 , R ，则 2 的取值范围是（ ）
1 ， 若 b c 2a ， 2
期期间进行广泛的阅读，开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查，得到了如图所 示的频率分布直方图（部分已被损毁） ，统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读 量为 8.3 万字.根据阅读量分组按分层抽样的方法从全年级 500 人中抽出 20 人来作进一步调 查.
A． [ 2,1]
B． [ 2, 2]
C． [
1 1 , ] 2 2
D． [
2 2 , ] 2 2
二、填空题（本大题每题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上） 13.函数 f ( x )
3 sin(2 x ) 的图象在区间 (0, ) 上的对称轴方程为 3 2
．
14.已知数列 {an } 是等差数列，数列 {bn } 是等比数列，满足： a1000 a1018 2 ， b6b2012 2 ， 则 tan
n n 2
1 x
2018-2017年高等学校招生全国统一考试押题卷理科数学试卷(三)含解析
65 76 5 4 d 7 a1 d 5a1 d ，∴ a7 0 ， a6 a7 0 ，∴ 2 2 2
S13
13 a1 a13 2
13a7 0 ， S12
12 a1 a12 2
6 a6 a7 0 ，
∴满足 S n S n 1 0 的正整数 n 的值为 12，故选 C． 6．将函数 y sin x
x
2．在 △ABC 中， “ AB BC A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A
0 ”是“ △ABC 是钝角三角形”的（
B．必要不充分条件
）
D．既不充分也不必要条件
班级
座位号
【解析】若 AB BC 锐角，此时 AB BC
1 4 y 2 x2 2 1 ，将 P 点坐标代入得 2 2 1 ， 2 a b a b
即 b 2 4a 2 a 2b 2 0 ，而双曲线 c 1 ，故 1 a 2 b 2 ， b 2 1 a 2 ，所以 1 a 2 4a 2 a 2 1 a 2 0 ，解 得a
1 1 1 ， x , 0 ， F x 2 x 2 0 ， 3 x x 2
1 F x f x g x ，在 x 3 , 0 内单调递增，故①正确；②，③设 f x , g x 的隔离直线为 2
2 1 ，故离心率为
c a
1 2 1 ，故选 C． 2 1
11．在三棱锥 S ABC 中， SB BC ， SA AC ， SB BC ， SA AC ， AB
四川省2017-2018学年高考数学二模试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年四川省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，B=N，则集合A∩B的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．82．已知z=2+i，（i是虚数单位），z的共轭复数是，则=（）A．5 B．25 C．4 D．33．已知向量，，与垂直，则实数λ的值为（）A．1 B． C．D．﹣14．已知回归直线方程为，样本点的中心为，若回归直线的斜率估计值为2，且，，则回归直线方程为（）A．B．C．D．5．“k=1”是“函数（k为常数）在定义域上是奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．设x∈[0，3]，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个数a，“2a﹣10≥0”的概率为（）A．B．C．D．7．如图是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为（）A．B．C． D．8．已知a＞﹣2，若圆O1：x2+y2+2x﹣2ay﹣8a﹣15=0，圆O2：x2+y2+2ax﹣2ay+a2﹣4a﹣4=0恒有公共点，则a的取值范围为（）A．（﹣2，﹣1]∪[3，+∞）B．C． D．（﹣2，﹣1）∪（3，+∞）9．设f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），当x∈[﹣1，1]时，|f（x）|的最大值为m，则m的最小值为（）A．B．1 C．D．210．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线于P，Q两点且PQ⊥PF1，若|PQ|=λ|PF1|，，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．=______．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a4=18﹣a6﹣a5，则S8=______．13．设，则a3=______．14．若x，y满足约束条件则的取值范围为______．15．已知a为正整数，f（x）=ax2+4ax﹣2x+4a﹣7，若y=f（x）至少有一个零点x0且x0为整数，则a的取值为______．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．17．自2014年1月26日悄悄上线后，微信红包迅速流行开来，其火爆程度不亚于此前的“打飞机”小游戏，数据显示，从除夕开始至初一16时，参与抢微信红包的用户超过500万，总计抢红包7500万次以上．小张除夕夜向在线的小王、小李、小明随机发放微信红包，每次发1个．（Ⅰ）若小张发放10元红包3个，求小王恰得到2个的概率；（Ⅱ）若小张发放4个红包，其中5元的一个，10元的两个，15元的一个，记小明所得红包的总钱数为X，求X的分布列和期望．18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD，底面ABCD为正方形，E为DP的中点，AF⊥PC于F．（Ⅰ）求证：PC⊥平面AEF；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=6，S7=56，数列{b n}前n项和为T n，且2T n ﹣3b n+2=0．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和Q n．20．已知椭圆C的中心在原点，离心率为，且与抛物线有共同的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A1、A2，P为椭圆C上异于A1、A2的动点，直线A1P、A2P分别交直线l：x=4于M、N两点，设d为M、N两点之间的距离，求d的最小值．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，求实数a，b的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，+∞）上的最小值；（Ⅲ）证明：．2017-2018学年四川省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，B=N，则集合A∩B的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】解不等式求出集合A，进而得到集合A∩B的元素个数，最后由n元集合有2n﹣1个真子集得到答案．【解答】解：∵集合=[，3]，B=N，∴集合A∩B={1，2，3}，故集合A∩B的真子集个数为23﹣1=7个，故选：C．2．已知z=2+i，（i是虚数单位），z的共轭复数是，则=（）A．5 B．25 C．4 D．3【考点】复数求模．【分析】求出z的共轭复数，代入求出的值即可．【解答】解：∵z=2+i，∴=2﹣i，则=|（3﹣2（2+i））•（2﹣i）|=|（﹣1﹣2i）•（2﹣i）|=|﹣3i|=3，故选：D．3．已知向量，，与垂直，则实数λ的值为（）A．1 B． C．D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的坐标可以求出向量和的坐标，根据与垂直便可得到，进行数量积的坐标运算即可得出关于λ的方程，从而可解出λ的值．【解答】解：；∵；∴；∴．故选C．4．已知回归直线方程为，样本点的中心为，若回归直线的斜率估计值为2，且，，则回归直线方程为（）A．B．C．D．【考点】线性回归方程．【分析】根据题意，求出、，代人回归直线方程求出，写出回归直线方程即可．【解答】解：∵回归直线方程为的斜率估计值为2，且，，∴==3，==5；代人回归直线方程得=5﹣2×3=﹣1，∴回归直线方程为=2x﹣1．故选：C．5．“k=1”是“函数（k为常数）在定义域上是奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数（k为常数）在定义域上是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，化为：k2=1，解出即可判断出结论．【解答】解：函数（k为常数）在定义域上是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，∴+=0，化为：k2（e x+e﹣x）=e x+e﹣x，∴k2=1，解得k=±1，经过验证，此时函数f（x）是奇函数．∴“k=1”是“函数（k为常数）在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．故选：A．6．设x∈[0，3]，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个数a，“2a﹣10≥0”的概率为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】先分析程序的功能为计算并输出分段函数y=的值，进而求出函数的值域，再由几何概型概率计算公式，得到答案．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，当x∈[0，2）时，y∈[3，5），当x∈[2，3]时，y∈[5，10]，故输出的结果的范围为[3，10]，若从输出的结果中随机取一个数a，“2a﹣10≥0”⇔a∈[5，10]，则P==，故选：C7．如图是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为（）A．B．C． D．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由正四面体的棱长为a，所以此四面体一定可以放在棱长为a的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的半径，再代入体积公式计算．【解答】解：由题意，由三视图得该几何体是正四面体，棱长为a，此四面体一定可以放在正方体中，∴我们可以在正方体中寻找此四面体．如图所示，四面体ABCD满足题意，BC=a，∴正方体的棱长为a，∴此四面体的外接球即为此正方体的外接球，∵外接球的直径=正方体的对角线长，∴外接球的半径为R=a，∴该几何体外接球的体积为V=πR3=πa3．故选：B．8．已知a＞﹣2，若圆O1：x2+y2+2x﹣2ay﹣8a﹣15=0，圆O2：x2+y2+2ax﹣2ay+a2﹣4a﹣4=0恒有公共点，则a的取值范围为（）A．（﹣2，﹣1]∪[3，+∞）B．C． D．（﹣2，﹣1）∪（3，+∞）【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据两圆相交的条件进行求解即可．【解答】解：圆O1：x2+y2+2x﹣2ay﹣8a﹣15=0的标准方程为（x+1）2+（y﹣a）2=a2+8a+16，圆心O1（﹣1，a），半径R==|a+4|=a+4，圆O2：x2+y2+2ax﹣2ay+a2﹣4a﹣4=0的标准方程为（x+a）2+（y﹣a）2=a2+4a+4，圆心O2（﹣a，a），半径R==|a+2|=a+2，则圆心距离|O1O2|=|﹣a+1|=|a﹣1|，若两圆恒有公共点，则两圆相交或相切，即a+4﹣（a+2）≤|O1O2|≤a+2+a+4，即2≤|a﹣1|≤2a+6，若a≥1，则不等式等价为2≤a﹣1≤2a+6，即，即得a≥3，若﹣2＜a＜1，则不等式等价为2≤1﹣a≤2a+6，即，即，得﹣≤a≤﹣1，综上﹣≤a≤﹣1或a≥3，故选：C．9．设f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），当x∈[﹣1，1]时，|f（x）|的最大值为m，则m的最小值为（）A．B．1 C．D．2【考点】二次函数的性质．【分析】若x∈[﹣1，1]时，|f（x）|的最大值为m，则4m≥|f（﹣1）|+|f（1）|+2|f（0）|≥2，解得m的最小值．【解答】解：∵f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），当x∈[﹣1，1]时，|f（x）|的最大值为m，∴4m≥|f（﹣1）|+|f（1）|+2|f（0）|=|1+A+B|+|1﹣A+B|+2|B|≥|（1+A+B）+（1﹣A+B）﹣2B|=2m≥，即m的最小值为，故选：A10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线于P，Q两点且PQ⊥PF1，若|PQ|=λ|PF1|，，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由PQ⊥PF1，|PQ|=λ|PF1|，可得|QF1|=|PF1|，由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，解得|PF1|=，|PF2|=|PF1|﹣2a，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，代入化简．令t=1﹣λ+，则上式化为8（﹣）2+，由t关于λ单调递减，可得≤t＜，即≤≤，由二次函数的单调性解出即可．【解答】解：可设P，Q为双曲线右支上一点，由PQ⊥PF1，|PQ|=λ|PF1|，在直角三角形PF1Q中，|QF1|==|PF1|，由双曲线的定义可得：2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，由|PQ|=λ|PF1|，即有|PF2|+|QF2|=λ|PF1|，即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a=λ|PF1|，∴（1﹣λ+）|PF1|=4a，解得|PF1|=．|PF2|=|PF1|﹣2a=，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，即有（）2+[]2=4c2，即为+=e2．令t=1﹣λ+，则上式化为e 2==8（﹣）2+，由t=1﹣λ+=1+，且≤λ≤，由t 关于λ单调递减，可得≤t ＜即≤≤，由∉[，]，可得e 2在[，]递增，≤e 2≤，解得≤e ≤．可得椭圆离心率的取值范围是[，]．故选：C ．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．=．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答】解：===﹣．故答案为：．12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 4=18﹣a 6﹣a 5，则S 8= 36 ． 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的性质可得：a 3+a 6=a 4+a 5=a 1+a 8．再利用前n 项和公式即可得出． 【解答】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3+a 4=18﹣a 6﹣a 5， ∴a 3+a 4+a 6+a 5=18，a 3+a 6=a 4+a 5=a 1+a 8． ∴2（a 1+a 8）=18，即a 1+a 8=9． 则S 8==36．故答案为：36．13．设，则a3=400．【考点】二项式定理的应用．【分析】根据x7+x6=[（x+2）﹣2]7+[（x+2）﹣2]6，按照二项式定理展开，可得（x+2）3的系数a3的值．【解答】解：∵x7+x6=[（x+2）﹣2]7+[（x+2）﹣2]6=a0+a1（x+2）+a2•（x+2）2+…+a7（x+2）7，∴a3=•（﹣2）4+•（﹣2）3=400，故答案为：400．14．若x，y满足约束条件则的取值范围为[1，]．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，化简所求表达式，利用表达式的几何意义，求解即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：则==+．由可行域可知：∈[1，k OA]，由，可得A（1，3），k OA=3，∈， +2∈，∈，则∈[1，]．故答案为：[1，]．15．已知a为正整数，f（x）=ax2+4ax﹣2x+4a﹣7，若y=f（x）至少有一个零点x0且x0为整数，则a的取值为1或5．【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．【分析】令f（x）=ax2+4ax﹣2x+4a﹣7=0，则a（x2+4x+4）=2x+7，即a=，结合a为正整数，可得：﹣3≤x≤1，分别代入验证可得答案．【解答】解：∵f（x）=ax2+4ax﹣2x+4a﹣7=a（x2+4x+4）﹣2x﹣7，∴f（﹣2）=﹣3≠0，即x=﹣2不是函数y=f（x）的零点，令f（x）=ax2+4ax﹣2x+4a﹣7=0，则a（x2+4x+4）=2x+7，即a=，∵a为正整数，∴≥1，解得：﹣3≤x≤1，当且仅当x=﹣3时，a=1，x=﹣1时，a=5，x=1时，a=1满足条件，综上可得：a的值为1或5，故答案为：1或5．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由．利用正弦定理可得：（a+b）（b﹣a）=c（b﹣c），化简再利用余弦定理即可得出．（II）bcsinA=，化为bc=4．利用余弦定理可得=4，联立解出即可得出．【解答】解：（I）在△ABC中，∵，由正弦定理可得：（a+b）（b﹣a）=c（b﹣c），化为b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∵A∈（0，π），∴解得A=．（II）bcsinA=，化为bc=4．=4，联立解出：或．17．自2014年1月26日悄悄上线后，微信红包迅速流行开来，其火爆程度不亚于此前的“打飞机”小游戏，数据显示，从除夕开始至初一16时，参与抢微信红包的用户超过500万，总计抢红包7500万次以上．小张除夕夜向在线的小王、小李、小明随机发放微信红包，每次发1个．（Ⅰ）若小张发放10元红包3个，求小王恰得到2个的概率；（Ⅱ）若小张发放4个红包，其中5元的一个，10元的两个，15元的一个，记小明所得红包的总钱数为X，求X的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出小张发放10元红包3个，小王恰得到2个的概率．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，5，10，15，20，25，30，35，40，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）小张除夕夜向在线的小王、小李、小明随机发放微信红包，每次发1个．∵小张发放10元红包3个，∴小王恰得到2个的概率p==．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，5，10，15，20，25，30，35，40，P（X=0）=（）4=，P（X=5）==，P（X=10）==，P（X=15）=×+=，P（X=20）==，P（X=25）=×2=，P（X=30）==，P（X=35）==，P（X=40）=（）4=，XEX=+++35×=．18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD，底面ABCD为正方形，E为DP的中点，AF⊥PC于F．（Ⅰ）求证：PC⊥平面AEF；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向理量法能证明PC⊥平面AEF．（Ⅱ）先求出平面AEC的法向量和平面ABC的法向量，由此能求出二面角B﹣AC﹣E的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设PA=AD=2，则P（0，0，2），C（2，2，0），D（2，0，0），B（0，2，0），E（1，0，1），A（0，0，0），=（1，0，1），=（2，2，﹣2），=2+0﹣2=0，∴PC⊥AE，∵AF⊥PC于F，AE∩AF=A，∴PC⊥平面AEF．解：（Ⅱ）=（2，2，0），=（1，0，1），设平面AEC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，﹣1），平面ABC 的法向量=（0，0，1），设二面角B ﹣AC ﹣E 的平面角为α，则cos α===．∴二面角B ﹣AC ﹣E 的余弦值为．19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3=6，S 7=56，数列{b n }前n 项和为T n ，且2T n ﹣3b n +2=0．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n }的前n 项和Q n ．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，由于a 3=6，S 7=56，可得，解出即可得出．由数列{b n }前n 项和为T n ，且2T n ﹣3b n +2=0．利用递推关系即可得出． （II ）对n 分类讨论，分别利用等差数列与等比数列的前n 项和公式即可得出． 【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=6，S 7=56，∴，解得a 1=d=2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n．∵数列{b n}前n项和为T n，且2T n﹣3b n+2=0．∴2b1﹣3b1+2=0，解得b1=2．当n≥2时，2T n﹣1﹣3b n﹣1+2=0，∴2b n﹣3b n+3b n﹣1=0，∴b n=3b n﹣1，∴数列{b n}是等比数列，首项为2，公比为3．∴b n=2×3n﹣1．（II），当n=2k﹣1（k∈N*）时，数列{c n}的前n项和Q n=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k﹣2）=2[1+3+…+（2k﹣1）]+2×（3+33+…+32k﹣3）=+2×=2k2+=+．当n=2k（k∈N*）时，数列{c n}的前n项和Q n=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k）=2[1+3+…+（2k﹣1）]+2×（3+33+…+32k﹣1）=2k2+=+．20．已知椭圆C的中心在原点，离心率为，且与抛物线有共同的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A1、A2，P为椭圆C上异于A1、A2的动点，直线A1P、A2P分别交直线l：x=4于M、N两点，设d为M、N两点之间的距离，求d的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）抛物线的焦点为，即为椭圆的焦点．设椭圆C的标准方程为： +=1（a＞b＞0）．由题意可得：c=，，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）设P（x0，y0），（x0≠±2，y0≠0），可得+=1，根据点斜式可得直线A1P、A2P的方程，分别交直线l：x=4于M，N两点，可得d=，k=表示经过椭圆上的点P（x0，y0）与点Q（4，0）的直线的斜率（y0≠0）．设经过点Q且斜率为k的直线方程为：y=k（x﹣4），与椭圆方程联立，根据判别式即可得出．【解答】解：（I）抛物线的焦点为，即为椭圆的焦点．设椭圆C的标准方程为： +=1（a＞b＞0）．由题意可得：c=，，a2=b2+c2，联立解得c=，a=2，b=1．故椭圆C的标准方程为：=1．（II）由（I）可得：A1（﹣2，0），A2（2，0），设P（x0，y0），（x0≠±2，y0≠0），则+=1，∴=4﹣．直线A1P、A2P的方程分别为：y=（x+2），y=（x﹣2），分别交直线l：x=4于M，N两点，d=====，k=表示经过椭圆上的点P（x0，y0）与点Q（4，0）的直线的斜率（y0≠0）．设经过点Q且斜率为k的直线方程为：y=k（x﹣4），联立，化为：（1+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0，由△=（32k2）2﹣4（1+4k2）（64k2﹣4）≥0，化为：k2≤，解得≤k≤，k≠0，∴k=±时，d取得最小值=2．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，求实数a，b的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，+∞）上的最小值；（Ⅲ）证明：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的几何意义，结合曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，即可求实数a，b的值；（Ⅱ）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求f（x）在[0，+∞）上的最小值；（Ⅲ）证明e x≥x+1．取x=﹣，i=1，3，…，2n﹣1，得1﹣≤，即（）n≤，利用累加法，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=e x﹣ax﹣1，∴f′（x）=e x﹣a，∴f′（1）=e﹣a，∵f（1）=e﹣a﹣1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣a﹣1）=（e﹣a）（x﹣1），即y=（e﹣a）x﹣1，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，∴e﹣a=2，b=﹣1，∴a=e﹣2，b=﹣1；（Ⅱ）解：∵f（x）=e x﹣ax﹣1，∴f′（x）=e x﹣a∴a≤1时，函数在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（0）=0；a＞1时，f′（x）=e x﹣a=0，x=lna，∴函数在[0，lna）上单调递减，（lna，+∞）上单调递增，∴x=lna时，f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（lna）=a﹣alna﹣1；（Ⅲ）证明：设t（x）=e x﹣x﹣1，则t′（x）=e x﹣1，令t′（x）=0得：x=0．在x＜0时t′（x）＜0，f（x）递减；在x＞0时t′（x）＞0，f（x）递增．∴t（x）最小值为t（0）=0，故e x≥x+1．取x=﹣，i=1，3，…，2n﹣1，得1﹣≤，即（）n≤，累加可得++…+≤+…+=＜，∴．2017-2018学年9月26日。
2018年四川省宜宾市高考数学三诊试卷(理科)(解析版)
2018年四川省宜宾市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题有四个选项，只有一个是正确的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，，则A∩B＝（）A．B．C．D．2．（5分）设，其中m，n是实数，则|m+ni|＝（）A．B．2C．D．33．（5分）已知等差数列{a n}前3项的和为6，a5＝8，则a20＝（）A．40B．39C．38D．374．（5分）为了测试圆周率，设计如下方案：点D（x，y）满足不等式，向圆C：x2+y2＝1内均匀撒M粒芝麻，已知落在不等式组所表示的区域内的芝麻数是N，则圆周率π为（）A．B．C．D．5．（5分）已知圆（x+3）2+y2＝5与双曲线的渐近线相切，则a＝（）A．2B．C．D．46．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A．12πB．10πC．9πD．8π7．（5分）设，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＝c＞b C．a＞c＞b D．c＞a＞b8．（5分）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的多项式求值算法，至今仍是比较先进的算法．已知f（x）＝a10x10+a9x9+…+a1x+a0，如图程序框图设计的是求f（x0）的值，其中内应填的执行语句是（）A．S＝S+n B．S＝S+a n C．S＝i+n D．S＝S+a i9．（5分）设数列{a n}的首项a1＝a2＝1，且满足a2n+1＝3a2n﹣1与a2n+2﹣a2n+1＝a2n，则数列{a n}的前12项的和为（）A．364B．728C．907D．163510．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是侧棱AA1AA1上一点，截面DB1C1将该正三棱柱分成体积之比为1：8的两部分，过点A作平面α∥平面DB1C1，α∩平面ABC＝l，则l与DC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线y2＝4x的准线与x轴交于点H，直线l过H与该抛物线交于A，B 两点，O为坐标原点，C为线段OA的中点，延长OB到D，使OD＝2OB，设C，D在y 轴上的射影分别为P，Q，当则|OP|+|OQ|的值最小时，直线l的方程为（）A．4x﹣5y+4＝0或4x+5y+4＝0B．x﹣y+1＝0或x+y+1＝0C．5x﹣4y+5＝0或5x+4y+5＝0D．4x﹣3y+4＝0或4x+3y+4＝012．（5分）已知A、B是函数f（x）＝（其中常数a＞0，e为自然对数的底数）图象上的两个动点，点P（，0），若•的最小值为0，则函数f（x）的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知平面向量＝（），＝（﹣），则在上的投影＝．14．（5分）的展开式中，常数项为2，则x2的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）某酒厂生产浓香型、酱香型两种白酒，若每吨浓香型的白酒含乙醇0.6吨，水0.4吨；每吨酱香型的白酒含乙醇0.4吨，水0.6吨，销售每吨浓香型的白酒可获利润5万元，销售每吨酱香型的白酒可获利润4万元，该厂在一个生产周期内乙醇总量不能超过3.4吨，水总量不能超过3.6吨．那么该酒厂在一个生产周期内可获利润的最大值是万元．16．（5分）已知函数，为曲线y＝f （x）的对称轴，为函数f（x）的零点，且函数f（x）在上单调，则ω的所有可能的值的和为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内．17．（12分）如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于D，AB＝3，AD＝2，cos∠BAC＝．（I）求BD；（II）求△ACD的面积．18．（12分）十九大报告强调：坚持保护环境的基本国策，像对待生命一样对待生态环境．某市化工研究所为了环保需要，从城区搬迁到修建了先进环保设施的城郊新区，但全所30名员工仍住在城区，为了方便他们上下班，该研究所准备购买一辆客车定时定位接送，为了节约成本，先对员工们的乘车情况作了调研：从市客运中心租用了一辆载客量为33人的大客车接或送员工共计60次，并委托司机对60次的乘车人数都作了统计，结果如下：（I）若在这60次记录中随机抽查两次员工们的乘车情况，求这两次中至少有一次乘车人数超过20的概率；（II）以这60次记录的各种乘车人数的频率作为这种乘车人数的概率，并假设每次乘车人数相互独立．了解员工们的乘车情况后，再了解客车交易市场，发现可供选择的客车只有22座的S型车和24座的T型车两种，除去司机外，载客量分别为21人，23人，经测算，购买S型车时每次运行费用为100元，购买T型车时每次运行费用120元；若某次乘车的员工人数超过载客量时，超出的员工每人从司机处签字并领取15元钱供他们乘出租车，然后再由该研究所定期返还司机；请以1次接或送总费用的期望值为依据，判断该研究所购买哪种车型较划算？19．（12分）如图1，四边形ABCD是边长为6的正方形，已知AE＝EF＝2，ME∥NF∥AD，且ME，NF与对角线DB分别交于G，H两点，现以ME，NF为折痕将正方形折起，使BC，AD重合，D，C重合后记为P，A，B重合后记为Q，如图2所示．（I）求证：平面PGQ⊥平面HGQ；（II）求平面GPN与平面HGQ所成锐二面角的余弦值．20．（12分）设动点M到定点A（﹣1，0）的距离为4，点B与定点A关于原点对称，线段BM的中垂线与AM，BM分别交于点P，Q．（I）求点P的轨迹C方程，Q的轨迹D的方程；（II）若过点A作互相垂直的两直线分别与曲线C交于E，F两点，与曲线D交于G，H 两点，求四边形EGFH面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝mx2﹣2x﹣mlnx．（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）当m＞0，f（x）有两个零点时，设f（x）的极值点为x0，求mx0的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（参数φ∈R）．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，（I）求圆C的极坐标方程；（II）直线l，射线OM的极坐标方程分别是，，若射线若射线OM分别与圆C分别交于O，P两点，与直线l的交点为Q，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|．（I）若存在x0∈R，使得，求实数m的取值范围；（II）若m是（I）中的最大值，且a3+b3＝m，证明：0＜a+b≤2．2018年四川省宜宾市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题有四个选项，只有一个是正确的．1．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，＝{x|x＞}，∴A∩B＝{x|}＝（，2）．故选：B．2．【解答】解：∵＝，∴，解得m＝﹣1，n＝2，∴|m+ni|＝|﹣1+2i|＝＝．故选：C．3．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，由已知得若a1+a2+a3＝6，a5＝8，⇒3a1+3d＝6，a1+4d＝8，解得a1＝0，d＝2故a20＝0+（20﹣1）×2＝38；故选：C．4．【解答】解：作出点D所在的平面区域如图所示：∴芝麻落在△AOB内的概率P＝＝，即＝，故π＝．故选：D．5．【解答】解：圆（x+3）2+y2＝5的圆心为（﹣3，0），半径为，双曲线的渐近线为y＝±x，由双曲线的渐近线与圆相切可得：＝，解得a＝2，故选：A．6．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为：1，2，2的长方体的外接球，故球O的半径R满足：4R2＝12+22+22＝9，故球O的表面积S＝9π，故选：C．7．【解答】解：∵0＝ln1＜ln2＜lne＝1，0＝log51＜log52＜ln2＜lne＝1，＝（﹣log52）2＝（log52）2＜log52＜a，c＝log 54＞a＝ln2＝，∴c＞a＞b．故选：D．8．【解答】解：由题意，a n的值为多项式的系数，由a10，a n9…直到a1，由程序框图可知，内应该填入S＝S+a n．故选：B．9．【解答】解：数列{a n}的首项a1＝a2＝1，且满足a2n+1＝3a2n﹣1，则：a3＝3a1＝3，a5＝3a3＝9，a7＝3a5＝27，a9＝3a7＝81，a11＝3a9＝243，由于a2n+2﹣a2n+1＝a2n，则：a2n+2＝a2n+1+a2n，故：a4＝a3+a2＝4，a6＝a5+a4＝13，a8＝a7+a6＝40，a10＝a9+a8＝121，a12＝a11+a10＝364，所以：数列{a n}的前12项的和为：1+1+3+4+9+13+27+40+81+121+243+364＝907．故选：C．10．【解答】解：如图，设正三棱柱的底面边长为2a，则＝3a，再设底面积为S，A1D＝x，则，，由题意可得：，得x＝a，∴，由已知可得，l与DC1所成角为∠DC1B1，在△DC1B1中，由余弦定理可得：coc∠DC1B1＝．故选：C．11．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（，），D（2x2，2y2），∴|OP|+|OQ|＝||+|2y2|，由题意可知H（﹣1，0），设直线l的方程为y＝k（x+1），联立方程组，消去x可得y2﹣+4＝0，由△＝﹣16＞0得k2≤1，∴﹣1＜k＜1且k≠0．由根与系数的关系可得：y1+y2＝，y1y2＝4，∴OP|+|OQ|＝||+|2y2|≥2＝4，当且仅当||＝|2y2|即|y1|＝4，|y2|＝1时取等号，此时，y1+y2＝±5＝，∴k＝±．∴直线AB的方程为：y＝或y＝﹣（x+1），即4x﹣5y+4＝0或4x+5y+4＝0．故选：A．12．【解答】解：函数f（x）＝（其中常数a＞0）图象上的两个动点，∴函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，当x＜a时，f（x）＝f（2a﹣x）＝e（2a﹣x）﹣2a＝e﹣x，设P A与f（x）＝e﹣x相切于点A，设A（x0，y0），∴f′（x）＝﹣e﹣x，∴k AP＝f′（x0）＝﹣e＝，解得x0＝a﹣1，同理PB与f（x）＝e x﹣2a相切于点B，设B（x1，y1），解得x1＝a+1，∵•的最小值为0，可得（﹣1，e）•（1，e）＝0，即有e2﹣2a＝1，即2﹣2a＝0，解得a＝1，∴f（x）min＝f（1）＝，故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：平面向量＝（），＝（﹣），则在上的投影为||cosθ＝||×＝＝＝﹣1．故答案为：﹣1．14．【解答】解：根据题意，（1﹣）6＝C60（﹣）0+C61（﹣）1+C62（﹣）2 +C63（﹣）3+C64（﹣）4+C65（﹣）5+C66（﹣）6＝1﹣6+15x﹣203+15x2﹣65+x3，若的展开式中，常数项为a，又由其常数项为2，则a＝2，则含x2的项为a×15x2+x×15x＝45x2，即x2的系数是45；故答案为：45．15．【解答】解：设生产浓香型产品x吨，生产酱香型产品y吨，由题意知：，利润z＝5x+4y，作出可行域如图中阴影部分所示，联立，解得A（3，4），化目标函数z＝5x+4y为y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣x+过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为31，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润31万元．故答案为：31．16．【解答】解：由题意知﹣（﹣）＝+k×，且T＝，∴ω＝2k+1（k∈N）；又由单调区间得﹣≤＝，解得ω≤8.4，由大到小验证ω＝7时，为零点，得：，满足题意，再验ω＝5，3时不合题意，ω＝1时满足题意；综上，ω的所有可能值的和为7+1＝8．故答案为：8．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内．17．【解答】解：（Ⅰ）设∠BAD＝α∵AD平分∠BAC，∴…（3分）．∵，∵BD＞0∴BD＝2…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得α为锐角，，．∴，…（8分）．∵，∴…（10分）可得△ACD的面积＝…（12分）18．【解答】解：（Ⅰ）设“抽查的两次中至少有一次乘车人数超过20”为事件A，乘车人数不超过20的次数为24，则…（6分）（Ⅱ）用ξ表示租用S型车的总费用（单位：元），则ξ可取100，115，130，145，分布列为Eξ＝100×0.65+115×0.2+130×0.1+145×0.05＝108.5…（9分）用η表示租用T型车的总费用（单位：元），则η可取120，135，分布列为Eη＝120×0.95+135×0.05＝120.75…（11分）因此以一次接、送付出的总费用的期望值为依据，租S型车较划算…（12分）19．【解答】（I）证明：取EQ的中点J，连接FJ，则PQ⊥FJ…（1分）取GQ中点R，连接HR，RJ，易得HR⊥GQ且HF∥RJ，HF＝RJ，所以四边形RJFH为平行四边形…（3分）所以RH∥JF，PQ⊥RH，又PQ∩GQ＝Q，所以RH⊥平面PGQ，又RH⊂平面HGQ，故平面PGQ⊥平面HGQ…（5分）（II）解：取EF中点O，如图建立空间直角坐标系．…（6分）设平面HGQ的法向量则，令…（8分）又，∴设平面GPN法向量为则，令…（10分）设两平面所成锐二面角为…（12分）20．【解答】解：（Ⅰ）连接PB，∵线段BM的中垂线与AM，BM分别交于点P，Q，∴|PM|＝|PB|，∴|P A|+|PB|＝|AM|＝4∴P的轨迹为A（﹣1，0），B（1，0）为焦点椭圆，设方程为＝1，∴a＝2，b2＝22﹣1＝3∴P的轨迹C的方程为＝1连结OQ，∵O为AB中点，∴|OQ|＝|AM|＝2，∴轨迹Q的方程为x2+y2＝4（Ⅱ）（1）当EF在x轴上时，|EF|＝4，|GH|＝2，四边形EGFH面积＝（2）当EF与x轴垂直时，|EF|＝＝3，|GH|＝4，四边形EGFH面积＝×3×4＝6（3）设EF方程为x＝my﹣1（m≠0），代入＝1得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0设E（x1，y1），F（x2，y2），则y1+y2＝，y1y2＝△＝（﹣6m）2+4×（3m2+4）×9＝144（m2+1）∴|y1﹣y2|＝|EF|＝∵EF⊥GH，且GH过点A（﹣1，0），∴GH方程为x＝﹣y﹣1，即mx+y+m＝0，O到GH的距离d＝四边形EGFH面积＝＝12×，值域为综上，四边形EGFH面积的取值范围为21．【解答】解：（I）x∈（0，+∞），f'（x）＝2mx﹣2﹣…（1分）①当m＝0时，f（x）在（0，+∞）上单调减，无增区间；…（2分）②当m＞0时，令g（x）＝2mx2﹣2x﹣m，则△＝2∵m＞0由f'（x）＝0得唯一正根x＝，由f'（x）＜0得f（x）的减区间为，由f'（x）＞0得f（x）的增区间为…（4分）③当m＜0时，令g（x）＝2mx2﹣2x﹣m，则△＝2∵m＜0由f'（x）＝0得唯一正根x＝，由f'（x）＜0得f（x）的减区间为，由f'（x）＞0得f（x）的增区间为…（6分）（II）由（I）知，当m＞0时，2mx02﹣2x0﹣m＝0，则x0＝，m＝+2＞0这时…（8分）先证lnx＜x，证明：令m（x）＝x﹣lnx，则m'（x）＝，由m'（x）＝0得x＝1，由m'（x）＞0得增区间（1，+∞），由m'（x）＜0得减区间（0，1）m（x）min＝m（1）＝1＞0，m（x）min＝m（1）＝1＞0，∴lnx＜x成立∴f（x）＝mx2﹣2x﹣mlnx＞mx2﹣（m+2）x＝x[mx﹣（m+2）]∴，这时，∵f（x）有两个零点，∴f（x）min＝f（x0）＝mx02﹣2x0﹣mlnx0＝＜0，∵2x02﹣1＞0，∴x02+lnx0﹣1＞0…（10分）令h（x0）＝x02+lnx0﹣1，则h（x0）单调递增，h（1）＝0，∴x0＞1，∴mx0＝在（1，+∞）上单调递减，∴mx0值域为（1，2），…（12分）（注：1．本题可分离成则求解更简便，供阅卷和评讲试卷参考．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）∵圆C的参数方程为，（参数φ∈R）．∴（ρcosθ﹣2）2+（ρsinθ）2＝（﹣2cosφ）2+（2sinφ）2＝4，∴ρcosθ＝4，∴圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（2）∵直线l的极坐标方程是，射线OM的极坐标方程是，∴ρcos（）＝3，ρ＝6，∵射线OM分别与圆C分别交于O，P两点，与直线l的交点为Q，∴，P（2，），∴|PQ|＝6﹣2＝4．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（I）f（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|2x﹣1﹣（2x+2）|＝3，∵存在x0∈R，使得，∴3+m2≤m+5，即m2﹣m﹣2≤0，解得﹣1≤m≤2．（II）由（I）知：m＝2，即a3+b3＝2，∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝（a+b）[（a﹣）2+]＝2，且（a﹣）2+＞0，∴a+b＞0．又2＝a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝（a+b）[（a+b）2﹣3ab]≥（a+b）[（a+b）2﹣（a+b）2]＝（a+b）3，∴（a+b）3≤8，∴0＜a+b≤2．。
四川省广元市2017届高考数学三诊试卷(理科)含解析
2017年四川省广元市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={|2﹣4＜0}，B={|＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．（0，4]B．（﹣∞，4）C．[4，+∞）D．（4，+∞）2．欧拉公式e i=cos+isin （i为虚数单位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e表示的复数的模为（）A．B．1 C．D．3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．100 B．82 C．96 D．1124．已知函数f（）=Asin（ω+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．函数f（）的最小正周期为B．直线=﹣是函数f（）图象的一条对称轴C．函数f（）在区间[﹣，]上单调递增D．将函数f（）的图象向左平移个单位，得到函数g（）的图象，则g（）=2sin25．对于四面体A﹣BCD，有以下命题：①若AB=AC=AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等；②若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心；③四面体A﹣BCD的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体A﹣BCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为．其中正确的命题是（）A．①③B．③④C．①②③D．①③④6．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（）A．21 B．22 C．23 D．247．若数列{a n}是正项数列，且++…+=n2+n，则a1++…+等于（）A．2n2+2n B．n2+2n C．2n2+n D．2（n2+2n）8．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种9．命题p：已知数列{a n}为等比数列，且满足a3•a6=d，则logπa4+logπa5=；命题q：“∀∈R，sin≠1”的否定是“∃∈R，sin=1”．则下列四个命题：￢p∨￢q、p∧q、￢p∧q、p∧￢q中，正确命题的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．110．已知定义在R上的偶函数f（），满足f（+4）=f（），且∈[0，2]时，f（）=sinπ+2|sinπ|，则方程f（）﹣|lg|=0在区间[0，10]上根的个数是（）A．17 B．18 C．19 D．2011．抛物线y2=2p（p＞0）的焦点为F，其准线经过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D． +112．已知函数f（）=ln+3﹣2，射线l：y=﹣（≥1）．若射线l恒在函数y=f（）图象的下方，则整数的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题（﹣1）（2﹣）6的展开式中的系数为．（用数字作答）14．若实数，y满足不等式组，则的最小值为．15．在[﹣2，2]上随机抽取两个实数a，b，则事件“直线+y=1与圆（﹣a）2+（y ﹣b）2=2相交”发生的概率为．16．在平面内，定点A，B，C，D满足||=||=||=2，•=•=•=0，动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（b2+c2）=3a2+2bc．（Ⅰ）若，求tanC的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积，且b＞c，求b，c．18．（12分）质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分划随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如图的频率分布直方图：（I）写出频率分布直方图（甲）中a的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为s12，s22，试比较s12，s22的大小（只要求写出答案）；（Ⅱ）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一个桶的质量指标大于20，且另一个不大于20的概率；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布N（μ，δ2）．其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s22，设表示从乙种食用油中随机抽取lO桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的桶数，求的散学期望．注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得s2=≈11.95；②若﹣N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜＜μ+2δ）=0.9544．19．（12分）如图，四边形ABCD是梯形．四边形CDEF是矩形．且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=90°，AB∥CD，AB=AD=DE=CD，M是线段AE上的动点．（Ⅰ）试确定点M的位置，使AC∥平面DMF，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面DMF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且点A（﹣1，0），B（1，0），动点C满足=λ（λ为常数且λ＞1），动点C的轨迹为曲线E．（Ⅰ）试求曲线E的方程；（Ⅱ）当λ=时，过定点B（1，0）的直线与曲线E交于P，Q两点，N是曲线E上不同于P，Q的动点，试求△NPQ面积的最大值．21．（12分）已知函数f（）=esin﹣cos，g（）=cos﹣e，其中e是自然对数的底数．（1）判断函数y=f（）在（0，）内的零点的个数，并说明理由；（2）∀1∈[0，]，∃2∈[0，]，使得f（1）+g（2）≥m成立，试求实数m 的取值范围；（3）若＞﹣1，求证：f（）﹣g（）＞0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系Oy中，曲线C1：（α是参数）．在以O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρcosθ﹣3=0．点P是曲线C1上的动点．（1）求点P到曲线C2的距离的最大值；（2）若曲线C3：θ=交曲线C1于A，B两点，求△ABC1的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（）=|﹣a|，其中a＞1（1）当a=2时，求不等式f（）≥4﹣|﹣4|的解集；（2）已知关于的不等式|f（2+a）﹣2f（）|≤2的解集{|1≤≤2}，求a的值．2017年四川省广元市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={|2﹣4＜0}，B={|＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，4]B ．（﹣∞，4）C ．[4，+∞）D ．（4，+∞）【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】利用一元二次不等式可化简集合A ，再利用A ⊆B 即可得出． 【解答】解：对于集合A={|2﹣4＜0}，由2﹣4＜0，解得0＜＜4； 又B={|＜a }， ∵A ⊆B ， ∴a ≥4．∴实数a 的取值范围是a ≥4． 故选C ．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系，属于基础题．2．欧拉公式e i =cos +isin （i 为虚数单位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 表示的复数的模为（ ）A ．B ．1C ．D ．【考点】A8：复数求模．【分析】直接由题意可得=cos +isin ，再由复数模的计算公式得答案．【解答】解：由题意， =cos+isin，∴e表示的复数的模为．故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．100 B．82 C．96 D．112【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，分别计算长方体和棱锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，长方体的体积为：6×6×3=108，棱锥的体积为：×4×3×4=8，故组合体的体积V=108﹣8=100，故选：A．【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．4．已知函数f（）=Asin（ω+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．函数f （）的最小正周期为B ．直线=﹣是函数f （）图象的一条对称轴C ．函数f （）在区间[﹣，]上单调递增D ．将函数f （）的图象向左平移个单位，得到函数g （）的图象，则g （）=2sin2【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】先求出函数的解析式，再进行判断，即可得出结论．【解答】解：根据函数f （）=Asin （ω+φ）（A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2，图象的一条对称轴方程为==，一个对称中心为为（，0），∴==，∴T=，∴ω=2，代入（，2）可得2=2sin （2×+φ），∵|φ|＜π，∴φ=﹣，∴f （）=2sin （2﹣），将函数f （）的图象向左平移个单位，可得g （）=2sin [2（+）﹣]=2sin2，故选：D ．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．5．对于四面体A ﹣BCD ，有以下命题：①若AB=AC=AD ，则AB ，AC ，AD 与底面所成的角相等；②若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则点A 在底面BCD 内的射影是△BCD 的内心；③四面体A ﹣BCD 的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体A ﹣BCD 的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为．其中正确的命题是（ ） A ．①③B ．③④C ．①②③D ．①③④【考点】2：命题的真假判断与应用．【分析】对于①，根据线面角的定义即可判断；对于②，根据三垂线定理的逆定理可知，O是△BCD的垂心，对于③在正方体中，找出满足题意的四面体，即可得到直角三角形的个数，对于④作出正四面体的图形，球的球心位置，说明OE是内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面积．【解答】解：对于①，因为AB=AC=AD，设点A在平面BCD内的射影是O，因为sin∠ABO=，sin∠ACO=，sin∠ADO=，所以sin∠ABO=sin∠ACO=sin∠ADO，则AB，AC，AD与底面所成的角相等；故①正确；对于②设点A在平面BCD内的射影是O，则OB是AB在平面BCD内的射影，因为AB⊥CD，根据三垂线定理的逆定理可知：CD⊥OB 同理可证BD⊥OC，所以O是△BCD的垂心，故②不正确；对于③：如图：直接三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4．故③正确对于④，如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为：1；所以OE为内切球的半径，BF=AF=，BE=，所以AE==，因为BO2﹣OE2=BE2，所以（﹣OE）2﹣OE2=（）2，所以OE=，所以球的表面积为：4π•OE2=，故④正确．故选D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，综合考查了线面、面面垂直的判断与性质，考查了学生的空间想象能力，是中档题．6．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（）A．21 B．22 C．23 D．24【考点】EF：程序框图．【分析】该程序框图的作用是求被3和5除后的余数为2的数，根据所给的选项，得出结论．【解答】解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数，在所给的选项中，满足被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．7．若数列{a n}是正项数列，且++…+=n2+n，则a1++…+等于（）A．2n2+2n B．n2+2n C．2n2+n D．2（n2+2n）【考点】8H：数列递推式．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+n，∴n=1时，=2，解得a1=4．n≥2时， ++…+=（n﹣1）2+n﹣1，相减可得：=2n，∴a n=4n2．n=1时也成立．∴=4n．则a1++…+=4（1+2+…+n）=4×=2n2+2n．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要自不同的家庭，②、A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，每种情况下分析乘坐人员的情况，由排列、组合数公式计算可得其乘坐方式的数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，乘坐甲车，有C32×C21×C21=12种乘坐方式；②、A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上，对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，乘坐甲车，有C31×C21×C21=12种乘坐方式；则共有12+12=24种乘坐方式；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，关键是依据题意，分析“乘坐甲车的4名小孩恰有2名自于同一个家庭”的可能情况．9．命题p：已知数列{a n}为等比数列，且满足a3•a6=d，则logπa4+logπa5=；命题q：“∀∈R，sin≠1”的否定是“∃∈R，sin=1”．则下列四个命题：￢p∨￢q、p∧q、￢p∧q、p∧￢q中，正确命题的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】2E：复合命题的真假．【分析】利用微积分基本定理与等比数列的性质即可判断出命题p的真假；利用复合命题真假的判定方法即可判断出命题q的真假．再利用复合命题真假的判定方法即可判断出真假．【解答】解：命题p：已知数列{a n}为等比数列，且满足a3•a6=d=×π×22=π，则logπa4+logπa5=logπ（a4a5）=logπ（a3a6）=logππ=1≠，因此是假命题；命题q：“∀∈R，sin≠1”的否定是“∃∈R，sin=1”，是真命题．则下列四个命题：￢p∨￢q、p∧q、￢p∧q、p∧￢q中，只有￢p∨￢q、￢p∧q是真命题．正确命题的个数是2．故选：C．【点评】本题考查了微积分基本定理、等比数列的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知定义在R上的偶函数f（），满足f（+4）=f（），且∈[0，2]时，f（）=sinπ+2|sinπ|，则方程f（）﹣|lg|=0在区间[0，10]上根的个数是（）A．17 B．18 C．19 D．20【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由已知写出分段函数，然后画出图象，数形结合得答案．【解答】解：f（）=sinπ+2|sinπ|=，由f（+4）=f（），可知f（）是以4为周期的周期函数，方程f（）﹣|lg|=0即f（）=|lg|，方程的根即为两函数y=f（）与y=|lg|图象交点的横坐标，作出函数图象如图：由图可知，方程f（）﹣|lg|=0在区间[0，10]上根的个数是19．故选：C．【点评】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．11．抛物线y2=2p（p＞0）的焦点为F，其准线经过双曲线﹣=1（a＞0，b ＞0）的左焦点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D． +1【考点】C：双曲线的简单性质．【分析】确定抛物线y2=2p（p＞0）的焦点与准线方程，利用点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，求出M的坐标，代入双曲线方程，即可求得结论．【解答】解：抛物线y2=2p（p＞0）的焦点为F（，0），其准线方程为=﹣，∵准线经过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，∴c=；∵点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，∴M的横坐标为，代入抛物线方程，可得M的纵坐标为±p，将M的坐标代入双曲线方程，可得=1，∴a=p，∴e=1+．故选：D．【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查曲线的交点，考查双曲线的几何性质，确定M的坐标是关键．12．已知函数f（）=ln+3﹣2，射线l：y=﹣（≥1）．若射线l恒在函数y=f（）图象的下方，则整数的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由题意得问题等价于＜对任意＞1恒成立，令g（）=，利用导数求得函数的最小值即可得出结论．【解答】解：由题意，问题等价于＜对任意＞1恒成立．令g（）=，∴g′（）=，令h（）=﹣2﹣ln，故h（）在（1，+∞）上是增函数，由于h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0所以存在0∈（3，4），使得h（0）=0﹣2﹣ln0=0．则∈（1，0）时，h（）＜0；∈（0，+∞）时，h（）＞0，即∈（1，0）时，g'（）＜0；∈（0，+∞）时，g'（）＞0知g（）在（1，0）递减，（0，+∞）递增，又g（0）＜g（3）=ln3+＜g（4）=4+2ln4，所以ma=5．故选B．【点评】本题主要考查利用导数研究函数单调性、最值等性质，考查学生的运算能力，综合性较强，属于中档题．二、填空题（2017•广元模拟）（﹣1）（2﹣）6的展开式中的系数为﹣80．（用数字作答）【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】求出（2﹣）6展开式的常数项和含的项，再求（﹣1）（2﹣）6的展开式中的系数．【解答】解：（2﹣）6展开式的通项公式为：T r=•（2）6﹣r•=（﹣1）r•26﹣r••6﹣2r，+1令6﹣2r=0，解得r=3，∴（2﹣）6展开式的常数项为（﹣1）3•23•=﹣160；令6﹣2r=1，解得r=，∴（2﹣）6展开式中不含的项；∴（﹣1）（2﹣）6的展开式中的系数为×（﹣160）=﹣80．故答案为：﹣80．【点评】本题考查了利用二项式的通项公式求展开式特定项的应用问题，是基础题．14．若实数，y满足不等式组，则的最小值为3．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的斜率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，的几何意义是区域内的点到定点D（0，﹣1）的斜率，由图象知BD的斜率最小，由得，即B（1，2），此时BD的斜率==3，故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用两点间的斜率公式以及数形结合是解决本题的关键．15．在[﹣2，2]上随机抽取两个实数a，b，则事件“直线+y=1与圆（﹣a）2+（y﹣b）2=2相交”发生的概率为．【考点】CF：几何概型．【分析】根据直线和圆相交的条件求出a，b的关系，利用线性规划求出对应区域的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：根据题意，得，又直线+y=1与圆（﹣a）2+（y﹣b）2=2相交，d≤r，即≤，得|a+b﹣1|≤2，所以﹣1≤a+b≤3；画出图形，如图所示；则事件“直线+y=1与圆（﹣a）2+（y﹣b）2=2相交”发生的概率为P===．故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的计算，根据直线和圆相交的位置关系求出a，b的关系是解决本题的关键．注意利用数形结合以及线性规划的知识．16．在平面内，定点A，B，C，D满足||=||=||=2，•=•=•=0，动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意可设D（0，0），A（2，0），B（﹣1，），C（﹣1，﹣），P（2+cosθ，sinθ），M（，），利用坐标运算求出以及的最大值即可．【解答】解：平面内，||=||=||=2，•=•=•=0，∴⊥，⊥，⊥，可设D（0，0），A（2，0），B（﹣1，），C（﹣1，﹣），∵动点P，M满足||=1，=，可设P（2+cosθ，sinθ），M（，），∴=（，），∴=+=≤，当且仅当sin（﹣θ）=1时取等号，∴||2的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量坐标运算性质、模的计算公式、数量积运算性质以及三角函数求值问题，是综合题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•广元模拟）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（b2+c2）=3a2+2bc．（Ⅰ）若，求tanC的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积，且b＞c，求b，c．【考点】HS ：余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）由3（b 2+c 2）=3a 2+2bc ，利用余弦定理，可得cosA ，根据，即可求tanC 的大小；（Ⅱ）利用面积及余弦定理，可得b 、c 的两个方程，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵3（b 2+c 2）=3a 2+2bc ，∴ =∴cosA=，∴sinA=∵，∴∴∴∴tanC=；（Ⅱ）∵ABC 的面积，∴，∴bc=①∵a=2，∴由余弦定理可得4=b 2+c 2﹣2bc × ∴b 2+c 2=5②∵b ＞c ，∴联立①②可得b=，c=．【点评】本题考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•广元模拟）质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分划随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如图的频率分布直方图：（I）写出频率分布直方图（甲）中a的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为s12，s22，试比较s12，s22的大小（只要求写出答案）；（Ⅱ）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一个桶的质量指标大于20，且另一个不大于20的概率；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布N（μ，δ2）．其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s22，设表示从乙种食用油中随机抽取lO桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的桶数，求的散学期望．注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得s2=≈11.95；②若﹣N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜＜μ+2δ）=0.9544．【考点】BC：极差、方差与标准差；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）按照题目要求想结果即可．（Ⅱ）设事件A，事件B，事件C，求出P（A），P（B），P（C）即可；（Ⅲ）求出从乙种食用油中随机抽取lO桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826，得到～B（10，0.6826），求出E即可．【解答】解：（Ⅰ）a=0.015，s12＞s22；（Ⅱ）设事件A：在甲种食用油中随机抽取1捅，其质量指标不大于20，事件B：在乙种食用油中随机抽取1捅，其质量指标不大于20，事件C：在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一个桶的质量指标大于20，且另一个不大于20，则P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3，∴P（C）=P（）P（B）+P（A）P（）=0.42；（Ⅲ）计算得：=26.5，由条件得～N（26.5，142.75），从而P（26.5﹣11.95＜＜26.5+11.95）=0.6826，∴从乙种食用油中随机抽取lO桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826，依题意得～B（10，0.6826），∴E=10×0.6826=6.826．【点评】本题考查离散型随机变量的期望的求法，独立重复试验概率的求法，考查计算能力．19．（12分）（2017•广元模拟）如图，四边形ABCD是梯形．四边形CDEF是矩形．且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=90°，AB∥CD，AB=AD=DE=CD，M是线段AE上的动点．（Ⅰ）试确定点M的位置，使AC∥平面DMF，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面DMF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）当M是线段AE的中点时，AC∥平面DMF．连结CE，交DF 于N，连结MN，利用三角形中位线定理能够证明AC∥平面DMF．（Ⅱ）过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l，过点M作MG⊥AD于G，过G作GH⊥l于H，连结MH，由已知条件推导出∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角，由此能求出所求二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）当M是线段AE的中点时，AC∥平面DMF．证明如下：连结CE，交DF于N，连结MN，由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，由于MN⊂平面DMF，又AC不包含于平面DMF，∴AC∥平面DMF．（4分）（Ⅱ）过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l，∵AC∥平面DMF，∴AC∥l，过点M作MG⊥AD于G，∵平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，∴DE⊥平面ABCD，∴平面ADE⊥平面ABCD，∴MG⊥平面ABCD，过G作GH⊥l于H，连结MH，则直线l⊥平面MGH，∴l⊥MH，∴∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角．（8分）设AB=2，则DG=1，GH=DGsin∠GDH=DGsin∠DAC=1×=，MG==1（11分）∴cos∠MHG==，∴所求二面角的余弦值为．（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的判定及证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）（2017•广元模拟）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且点A（﹣1，0），B（1，0），动点C满足=λ（λ为常数且λ＞1），动点C的轨迹为曲线E．（Ⅰ）试求曲线E的方程；（Ⅱ）当λ=时，过定点B（1，0）的直线与曲线E交于P，Q两点，N是曲线E上不同于P，Q的动点，试求△NPQ面积的最大值．【考点】L：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意可知丨CA丨+丨CB丨=2λ＞2，则动点C的轨迹P为椭圆（除去A、B与共线的两个点）．即可求得求曲线E的方程；（Ⅱ）当λ=时，求得椭圆方程，分类讨论，设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，利用导数求得函数单调性区间，即可求得△NPQ面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由丨AB丨=2，则丨CA丨+丨CB丨=2λ（定值），且2λ＞2，∴动点C的轨迹P为椭圆（除去A、B与共线的两个点）．设其标准方程为（a＞b＞0），则a2﹣λ2b2﹣λ2=1，∴求曲线的轨迹方程为（≠±λ），（Ⅱ）当λ=时，椭圆方程为（≠±），．①过定点B的直线与轴重合时，△NPQ面积无最大值，②过定点B的直线不与轴重合时，设l方程为：=my+1，P（1，y1）、Q（2，y2），若m=0，由≠±，故此时△NPQ面积无最大值．根据椭圆的几何性质，不妨设m＞0，联立方程组，消去整理得：（3+2m2）y2+4my﹣4=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则丨PQ丨=丨y1﹣y2丨=．因为当直线l与平行且与椭圆相切时，切点N到直线l的距离最大，设切线l：=my+n（n＜），联立，消去整理得（3+2m2）y2+4mny+2n2﹣6=0，由△=（4mn）2﹣4（3+2m2）（2n2﹣6）=0，解得：2n2﹣3+2m2=0，n＜﹣．又点N到直线l的距离d=，∴△NPQ面积S=丨PQ丨d=××=，∴S2=．将n2=3+2m2，代入得：S2=6（1﹣）2（1﹣（）2），令t=∈（﹣，0），设函数f（t）=6（1﹣t）2（1﹣t2），则f′（t）=﹣12（t ﹣1）2（2t+1），由当t∈（﹣，﹣）时，f′（t）＞0，当t∈（﹣，0）时，f′（t）＜0，∴f（t）在（﹣，﹣）上是增函数，在（﹣，0）上是减函数，∴f min（t）=f（﹣）=．故m2=时，△NPQ面积最大值是．∴当l的方程为=±y+1时，△NPQ的面积最大，最大值为．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•广元模拟）已知函数f（）=esin﹣cos，g（）=cos﹣e，其中e是自然对数的底数．（1）判断函数y=f（）在（0，）内的零点的个数，并说明理由；（2）∀1∈[0，]，∃2∈[0，]，使得f（1）+g（2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（3）若＞﹣1，求证：f（）﹣g（）＞0．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理；63：导数的运算．【分析】（1）利用导数得到函数y=f（）在（0，）上单调递增，f（0）=﹣1＜0，f（）＞0，根据函数零点存在性定理得函数y=f（）在（0，）内的零点的个数为1；（2）确定函数f（）在[0，]上单调递增，可得f（）min=f（0）=﹣1；函数g（）在[0，]上单调递减，可得g（）ma=g（0）=﹣，即可求出实数m的范围；（3）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证＞，令h（）=，＞﹣1，利用导数求出h（）min=h（0）=1，再令=，其可看作点A（sin，cos）与点B（﹣，0）连线的斜率，根据其几何意义求出的最大值，即可证明．【解答】解：（1）函数y=f（）在（0，）内的零点的个数为1，理由如下：∵f（）=esin﹣cos，∴f′（）=e（sin+cos）+sin，∵∈（0，），∴f′（）＞0，∴函数y=f（）在（0，）上单调递增，∵f（0）=﹣1＜0，f（）＞0，根据函数零点存在性定理得函数y=f（）在（0，）内的零点的个数为1．（2）∵f（1）+g（2）≥m，∴f（1）≥m﹣g（2），∴f（1）min≥[m﹣g（2）]min，∴f（1）min≥m﹣g（2）ma，当∈[0，]时，f′（）＞0，函数f（）在[0，]上单调递增，∴f（）min≥f（0）=﹣1，∵g（）=cos﹣e，∴g′（）=cos﹣sin﹣e，∵∈[0，]，∴0≤cos≤1，sin≥0，e≥，∴g′（）≤0，∴函数g（）在[0，]上单调递减，∴g（）ma≥g（0）=，∴﹣1≥m+，∴m≤﹣1﹣，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1﹣]；（3）＞﹣1，要证：f（）﹣g（）＞0，只要证f（）＞g（），只要证esin﹣cos＞cos﹣e，只要证e（sin+）＞（+1）cos，由于sin+＞0，+1＞0，只要证＞，下面证明＞﹣1时，不等式＞成立，令h（）=，＞﹣1，∴h′（）=，＞﹣1，当∈（﹣1，0）时，h′（）＜0，h（）单调递减，当∈（0，+∞）时，h′（）＞0，h（）单调递增，∴h（）min=h（0）=1令=，其可看作点A（sin，cos）与点B（﹣，0）连线的斜率，∴直线AB的方程为y=（+），由于点A在圆2+y2=1上，∴直线AB与圆相交或相切，当直线AB与圆相切且切点在第二象限时，直线AB的斜率取得最大值为1，∴当=0时，=＜1=h（0），≠0时，h（）＞1≥，综上所述，当＞﹣1，f（）﹣g（）＞0．【点评】本题考查了函数零点存在性定理，导数和函数的最值的关系，以及切线方程，考查分类整合思想、转化思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．注意认真体会（3）问中几何中切线的应用，属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•广元模拟）在平面直角坐标系Oy中，曲线C1：（α是参数）．在以O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρcosθ﹣3=0．点P是曲线C1上的动点．（1）求点P到曲线C2的距离的最大值；（2）若曲线C3：θ=交曲线C1于A，B两点，求△ABC1的面积．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）求得C1的标准方程，及曲线C2的标准方程，则圆心C1到=3距离d，点P到曲线C2的距离的最大值d ma=R+d=6；（2）将直线l的方程代入C1的方程，求得A和B点坐标，求得丨AB丨，利用点到直线的距离公式，求得C1到AB的距离d，即可求得△ABC1的面积．【解答】解（1）曲线C1：（α是参数）．整理得：（+2）2+（y+1）2=1曲线C2：ρcosθ﹣3=0，则=3．则圆心C1到=3距离d，d=2+3=5，点P到曲线C2的距离的最大值d ma=R+d=6；∴点P到曲线C2的距离的最大值6；（2）若曲线C3：θ=，即y=，，解得：，，丨AB丨==∴C1到AB的距离d==，则△ABC1的面积S，S=××=．∴△ABC1的面积．【点评】本题考查参数方程与普通方程的转化，直线与的圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2013•辽宁）已知函数f（）=|﹣a|，其中a＞1（1）当a=2时，求不等式f（）≥4﹣|﹣4|的解集；（2）已知关于的不等式|f（2+a）﹣2f（）|≤2的解集{|1≤≤2}，求a的值．【考点】&2：带绝对值的函数；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=2时，f（）≥4﹣|﹣4|可化为|﹣2|+|﹣4|≥4，直接求出不等式|﹣2|+|﹣4|≥4的解集即可．（2）设h（）=f（2+a）﹣2f（），则h（）=．由|h（）|≤2解得，它与1≤≤2等价，然后求出a的值．【解答】解：（1）当a=2时，f（）≥4﹣|﹣4|可化为|﹣2|+|﹣4|≥4，当≤2时，得﹣2+6≥4，解得≤1；当2＜＜4时，得2≥4，无解；当≥4时，得2﹣6≥4，解得≥5；故不等式的解集为{|≥5或≤1}．（2）设h（）=f（2+a）﹣2f（），则h（）=。
2018年四川省德阳市高考数学一诊试卷(理科)
2018年四川省德阳市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|3x2﹣4x+1≤0}，B=，则A∩B=（）A． B． C．D．2．（5分）若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i（其中i为虚数单位），则z的虚部为（）A．B．C．i D．i3．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）满足：∀x1，x2∈R，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|min=，那么f（x）的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π4．（5分）已知函数f（x）在R上存在导数f′（x），下列关于f（x），f′（x）的描述正确的是（）A．若f（x）为奇函数，则f′（x）必为奇函数B．若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数C．若f（x）不为周期函数，则f′（x）必不为周期函数D．若f（x）为偶函数，则f′（x）必为偶函数5．（5分）如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为60°的菱形组成，那么图形中的向量，满足•=（）A．1 B．2 C．4 D．66．（5分）榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（）A．192 B．186 C．180 D．1987．（5分）执行如图所示的程序框图，若m=4，则输出的结果为（）A．1 B．C．2 D．8．（5分）已知函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）f（y）且f（1）=1，那么+++…+=（）A．1009 B．2018 C．3027 D．40369．（5分）在如图所示平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为1，曲线m是函数y=a（x ﹣1）2+b图象位于正方形内的部分，直线AC恰好是函数y=a（x﹣1）2+b在x=0处的切线，现从正方形内任取一点P，那么点P取自阴影部分的概率等于（）A．B．C．D．10．（5分）设点P为椭圆C：+=1上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|：|PF2|=3：4，那么△GPF1的面积为（）A．24 B．12 C．8 D．611．（5分）用min{a，b}表示实数a，b中的较小者，已知向量，，满足||=1，||=2，•=0，=λ+μ（λ2+μ2=1），则当min{•，•}取得最大值时，||=（）A．B．C．1 D．12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣m|f（x）|﹣2m﹣3=0有三个不同的实数解，则m的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（﹣，﹣]C．（﹣，﹣）D．（﹣，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（1+x）（1+ay）5（a为常数）的展开式中不含字母x的项的系数和为243，那么（1+x）（1+ay）5展开式中xy2项的系数为．14．（5分）某学校分别从甲、乙两班各抽取7名同学在某次物理测试中的成绩如茎叶图所示，其中抽取的甲班成绩的众数是85，乙班成绩的中位数是83，现从成绩82分以上的同学中选取3名组成学习经验交流小组，那么选取的小组中甲班同学多于乙班同学的方法数是种．（用数字作答）15．（5分）若平面区域夹在两条平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离是，那么这两条平行直线的斜率是．16．（5分）若函数f（x）﹣sin（x+φ）是偶函数，f（x）﹣cos（x+φ）是奇函数，已知∃x1∈（0，π），使得函数f（x）在点P（x1，f（x1）），Q（x1+，f（x1+））处的切线斜率互为倒数，那么点P的坐标为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知{a n}是等差数列，且a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和S n ，证明：≤S n ＜．18．（12分）已知△ABC中，∠B=60°，点D在BC边上，且AC=2．（1）若CD=，AD=2，求AB；（2）求△ABC的周长的取值范围．19．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．（1）若选取的3组数据恰好是连续ξ天的数据（ξ=0表示数据来自互不相邻的三天），求ξ的分布列及期望；（2）根据12月2日至4日数据，求出发芽数y关于温差x的线性回归方程=x+．由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？附：参考公式：=，=﹣．20．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣bx（b∈R）．（1）若∃x＞0，使得f（x）≥bx2+x成立，求实数b的最小值；（2）若f（x）的三个零点0，x1，x2满足1＜x1＜x2，l1，l2分别是y=f（x）在x1，x2处的切线，设P（x0，y0）是l1，l2的交点，求y0的取值集合．21．（12分）已知f（x）=e x﹣1+ln（+1）．（1）若函数f（x）在（﹣1，0）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若a∈（0，1]且x＞0，证明：f（x）＞2x．请考生在22、23题中任选一题作答．22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为原点，极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程，将直线l的参数方程化成普通方程；（2）当m=0时，直线l与曲线C异于原点O的交点为A，直线ρ=﹣与曲线C异于原点O 的交点为B，求三角形AOB的面积．23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（1）求m的值；（2）若a，b，c∈（0，+∞），且++=m，证明：a+2b+3c≥9．2018年四川省德阳市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|3x2﹣4x+1≤0}，B=，则A∩B=（）A． B． C．D．【解答】解：∵集合A={x|3x2﹣4x+1≤0}={x|}，B=={x|x}，∴A∩B={x|}=[，1]．故选：B．2．（5分）若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i（其中i为虚数单位），则z的虚部为（）A．B．C．i D．i【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i（其中i为虚数单位），∴z===+i．则z的虚部为．故选：A．3．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）满足：∀x1，x2∈R，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|min=，那么f（x）的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π【解答】解：根据正弦型函数f（x）=sin（ωx+）的图象与性质知，对∀x1，x2∈R，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|min=，∴f（x）的最小正周期是T=2×=π．故选：C．4．（5分）已知函数f（x）在R上存在导数f′（x），下列关于f（x），f′（x）的描述正确的是（）A．若f（x）为奇函数，则f′（x）必为奇函数B．若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数C．若f（x）不为周期函数，则f′（x）必不为周期函数D．若f（x）为偶函数，则f′（x）必为偶函数【解答】解：对于A：例如：f（x）=x3为奇函数，则f′（x）=3x2，为偶函数，故A错误，对于B：f（x）是可导函数，则f（x+T）=f（x），两边对x求导得（x+T）′f'（x+T）=f'（x），f'（x+T）=f'（x），周期为T．故若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数．故B正确，对于C：例如：f（x）=sinx+x不是周期函数，当f′（x）=cosx+1为周期函数，故C错误，对于D：例如：f（x）=x2为偶函数，则f′（x）=2x为奇函数，故D错误，故选：B．5．（5分）如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为60°的菱形组成，那么图形中的向量，满足•=（）A．1 B．2 C．4 D．6【解答】解：如图，由题意可知，，且与的夹角为60°，∴=．则，，∴•===．故选：D．6．（5分）榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（）A．192 B．186 C．180 D．198【解答】解：由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部分为长方体，棱长分别为2、6、3，下部分为长方体．棱长分别为6、6、3，其表面积公式S=4×6×3+2×6×6+（2+6）×2×2=192故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若m=4，则输出的结果为（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：模拟执行程序框图，可得p=4，k=0不满足条件k2≥3k+4，p=4，k=1不满足条件k2≥3k+4，p=8，k=2不满足条件k2≥3k+4，p=32，k=3不满足条件k2≥3k+4，p=256，k=4满足条件k2≥3k+4，退出循环，可得z=故选：D．8．（5分）已知函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）f（y）且f（1）=1，那么+++…+=（）A．1009 B．2018 C．3027 D．4036【解答】解：由意题f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=1，可得令x=n，y=1，可得f（n+1）=f（n），可得f（1）=f（2）=f（3）=…=f（n）=1，那么：+++…+=f2（1）+f2（2）+…+f2（1009）+f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2018）=1009+1009=2018，故选：B．9．（5分）在如图所示平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为1，曲线m是函数y=a（x ﹣1）2+b图象位于正方形内的部分，直线AC恰好是函数y=a（x﹣1）2+b在x=0处的切线，现从正方形内任取一点P，那么点P取自阴影部分的概率等于（）A．B．C．D．=1，【解答】解：∵正方形OABC的边长为1，∴S正方形OABC由函数y=a（x﹣1）2+b，得y′=2a（x﹣1），则y′|x=0=﹣2a=﹣1，得a=．又当x=0时，y=a+b=1，可得b=，∴曲线m的解析式为y=（x﹣1）2+，∴阴影部分面积S==．∴点P取自阴影部分的概率等于．故选：D．10．（5分）设点P为椭圆C：+=1上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|：|PF2|=3：4，那么△GPF1的面积为（）A．24 B．12 C．8 D．6【解答】解：∵点P为椭圆C：+=1上一点，|PF1|：|PF2|=3：4，|PF1|+|PF2|=2a=14∴|PF1|=6，|PF2|=8，又∵F1F2=2c=10，∴△PF 1F2是直角三角形，S=，∵△PF 1F2的重心为点G．∴S=，∴△GPF1的面积为8，故选：C11．（5分）用min{a，b}表示实数a，b中的较小者，已知向量，，满足||=1，||=2，•=0，=λ+μ（λ2+μ2=1），则当min{•，•}取得最大值时，||=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵•=（λ+μ）•=λ+μ=λ，=（λ+μ）•=μ+λ=4μ，∵λ2+μ2=1，∴λ≥4μ时，不妨令0≤λ，μ≤1解得0≤μ≤，∴min{•，•}=，设f（μ）=，则f（μ）在[0，]上递增，在[，1]上递减，∴当μ=，f（μ）取得最小值，此时=+，∴||2=（16+8•+）=∴||=故选：A12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣m|f（x）|﹣2m﹣3=0有三个不同的实数解，则m的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（﹣，﹣]C．（﹣，﹣）D．（﹣，0）【解答】解：，可得x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减．可知y=|f（x）|大致图象如图所示，设|f（x）|=t，则|f（x）|2﹣m|f（x）|﹣2m﹣3=0有三个不同的实数解，即为t2﹣mt﹣2m﹣3=0有两个根t1，t2，①若t1=1，t2=0，时，t1+t2=m=1，t1•t2=﹣2m﹣3=0，不存在实数m，②若t1=1，t2＞1时，当有一个根为1时，12﹣m﹣2m﹣3=0，m=﹣，代入t2﹣mt﹣2m﹣3=0另一根为﹣，不符合题意．③t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）时，设h（t）=t2﹣mt﹣2m﹣3h（1）=12﹣m﹣2m﹣3＞0，h（0）=﹣2m﹣3＜0﹣＜m＜﹣，∴m的取值范围为（﹣，﹣）．故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（1+x）（1+ay）5（a为常数）的展开式中不含字母x的项的系数和为243，那么（1+x）（1+ay）5展开式中xy2项的系数为40．【解答】解：（1+x）（1+ay）5展开式中不含字母x的项的系数和为（1+a）5=243，解得a=2；∴（1+x）（1+2y）5展开式中xy2项的系数为•22=40．故答案为：40．14．（5分）某学校分别从甲、乙两班各抽取7名同学在某次物理测试中的成绩如茎叶图所示，其中抽取的甲班成绩的众数是85，乙班成绩的中位数是83，现从成绩82分以上的同学中选取3名组成学习经验交流小组，那么选取的小组中甲班同学多于乙班同学的方法数是28种．（用数字作答）【解答】解：甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则，解得x=5，y=3，∴甲班82分以上有4人，乙班82分以上有4人，从这8位同学中选3名，共有=56种不同的取法，选取的小组中甲班同学多于乙班同学的方法数与乙班同学多于甲班同学的方法数相等，∴所求的结果是×56=28．故答案为：28．15．（5分）若平面区域夹在两条平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离是，那么这两条平行直线的斜率是k=2或．【解答】解：作出平面区域如图所示：可行域是等腰三角形，平面区域夹在两条平行直线之间的距离为：，可得可行域的A（1，2），B（2，1），C（3，3），|AB|==，∴平行线间的距离的最小值为d=，A到BC的距离：=，B到直线AC的距离：=，所求直线与AC或BC重合，可得：k=2或．故答案为：k=2或．16．（5分）若函数f（x）﹣sin（x+φ）是偶函数，f（x）﹣cos（x+φ）是奇函数，已知∃x1∈（0，π），使得函数f（x）在点P（x1，f（x1）），Q（x1+，f（x1+））处的切线斜率互为倒数，那么点P的坐标为（，±1）．【解答】解：函数f（x）﹣sin（x+φ）是偶函数，可得f（﹣x）﹣sin（﹣x+φ）=f（x）﹣sin（x+φ），即有f（﹣x）=f（x）﹣sinxcosφ﹣cosxsinφ﹣sinxcosφ+cosxsinφ=f（x）﹣2sinxcosφ，①f（x）﹣cos（x+φ）是奇函数，可得f（﹣x）﹣cos（﹣x+φ）+f（x）﹣cos（x+φ）=0，f（﹣x）+f（x）﹣cosxcosφ﹣sinxsinφ﹣cosxcosφ+sinxsinφ=0，即为f（﹣x）+f（x）﹣2cosxcosφ=0，②由①②可得f（x）=（sinx+cosx）cosφ，导数为f′（x）=（cosx﹣sinx）cosφ，∃x1∈（0，π），使得函数f（x）在点P（x1，f（x1）），Q（x1+，f（x1+））处的切线斜率互为倒数，可得f′（x1）•f′（x1+）=1，可得（cosx1﹣sinx1）cosφ•（cos（x1+）﹣sin（x1+））cosφ=1，即为（cosx1﹣sinx1）（﹣sinx1﹣cosx1）cos2φ=1，即为（sin2x1﹣cos2x1）cos2φ=1，即有﹣cos2x1•cos2φ=1，可得cos2φ=1，cos2x1=﹣1，x1∈（0，π），可得x1=，即有f（x1）=（1+0）•cosφ=±1，即P（，±1）．故答案为：（，±1）．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知{a n}是等差数列，且a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和S n，证明：≤S n＜．【解答】解：（1）{a n}是公差为d的等差数列，且a1=3，a4=12，可得3+3d=12，解得d=3，则a n=3+3（n﹣1）=3n；数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列，可得b1﹣a1=1，b4﹣a4=8，且q3=8，解得q=2，则{b n﹣a n}的首项为1，公比q为2，则b n﹣a n=2n﹣1，可得b n=3n+2n﹣1；（2）证明：===﹣，=﹣，则前n项和S n=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=﹣＜，由3n+3+2n递增，可得﹣递增，即有S n≥S1=﹣=，则：≤S n＜．18．（12分）已知△ABC中，∠B=60°，点D在BC边上，且AC=2．（1）若CD=，AD=2，求AB；（2）求△ABC的周长的取值范围．【解答】解：（1）△ABC中，∠B=60°，点D在BC边上，且AC=2．CD=，AD=2，则：=，所以：=．在△ABC中，利用正弦定理：，解得：=，（2）△ABC中，利用正弦定理得：=，所以：，=，由于：0＜A＜120°，==，则：l△ABC=2+，=，由于：0＜A＜120°，则：30°＜A+30°＜150°，得到：，所以△ABC 的周长的范围是：19．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．（1）若选取的3组数据恰好是连续ξ天的数据（ξ=0表示数据来自互不相邻的三天），求ξ的分布列及期望；（2）根据12月2日至4日数据，求出发芽数y关于温差x的线性回归方程=x+．由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？附：参考公式：=，=﹣．【解答】解：（1）由题意知，ξ=0，2，3；则P（ξ=0）==，P（ξ=3）==，∴P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=3）=，∴ξ的分布列为：数学期望为Eξ=0×+2×+3×=2.1；（2）由题意，计算=×（11+13+12）=12，=×（25+30+26）=27，（x i﹣）（y i﹣）=﹣1×（﹣2）+1×3+0×（﹣1）=5，=（﹣1）2+12+02=2，∴==，=﹣=27﹣×12=﹣3，∴y关于x的线性回归方程为=x﹣3；当x=10时，y=×10﹣3=22，且|22﹣23|＜2，当x=8时，y=×8﹣3=17，且|17﹣16|＜2；∴所求得线性回归方程是可靠的．20．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣bx（b∈R）．（1）若∃x＞0，使得f（x）≥bx2+x成立，求实数b的最小值；（2）若f（x）的三个零点0，x1，x2满足1＜x1＜x2，l1，l2分别是y=f（x）在x1，x2处的切线，设P（x0，y0）是l1，l2的交点，求y0的取值集合．【解答】解：（1）∃x＞0，使得f（x）≥bx2+x成立，f（x）≥bx2+x⇔﹣x3+x2﹣bx≥bx2+x，⇔b（x+1）≤x2+x﹣1．∴b≤（x＞0）．令t=x+1＞1．∴b≤=﹣（t＞1）．∵t＞1，t+=2，当且仅当t=时取等号．∴b≤=．∴b的最大值为：．（2）由f（x）=﹣x（x2﹣3x+3b）=0，可得x1，x2是方程x2﹣3x+3b=0的两个实数根，且1＜x1＜x2，∴，且3b﹣2＞0，解得b∈．f′（x）=﹣x2+2x﹣b．∴l1：y=（x﹣x1），l2：y=﹣（﹣+2x2﹣b）（x﹣x2）．联立解得y0==﹣（+b）．=﹣（3x1﹣3b﹣2x1+b）（3x2﹣3b﹣2x2+b）=﹣（x1﹣2b）（x2﹣2b）=﹣[x1x2﹣2b（x1+x2）+4b2]=﹣（3b﹣6b+4b2）=﹣4b2+3b=﹣4+，b∈．∴y0∈．∴y0的取值集合是．21．（12分）已知f（x）=e x﹣1+ln（+1）．（1）若函数f（x）在（﹣1，0）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若a∈（0，1]且x＞0，证明：f（x）＞2x．【解答】解：（1）由+1＞0在（﹣1，0）上恒成立．当a＞0时，x＞﹣a，∴﹣a≤﹣1，可得a≥1．当a＜0时，x＜﹣a，∴﹣a＞0，可得a＜0．故a∈（﹣∞，0）∪[1，+∞）．当a≥1时，可得f（x）在（﹣1，0）上单调递增．当a＜0时，f′（x）=e x+≥0在（﹣1，0）上恒成立，此时x+a＜0．故e x（x+a）+1≤0，⇔a≤﹣e﹣x﹣x=g（x），x∈（﹣1，0），∵g′（x）=e﹣x﹣1=＞0，∴a≤g（﹣1）=1﹣e．综上可得：f（x）在（﹣1，0）上单调递增，实数a的取值范围是（﹣∞，1﹣e]∪[1，+∞）．（2）证明：a∈（0，1]且x＞0，f（x）＞2x⇔e x﹣1+ln＞2x．∵x+1，故只要证明：x＞0，e x﹣1+ln（x+1）＞2x．令h（x）=e x﹣1+ln（x+1）﹣2x（x＞0）．h′（x）=e x+﹣2，h″（x）=e x﹣，即h′（x）在（0，+∞）上单调递增，h′（x）＞h′（0）=0．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，h（x）＞h（0）=0．故a∈（0，1]且x＞0时，f（x）＞2x．请考生在22、23题中任选一题作答．22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为原点，极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程，将直线l的参数方程化成普通方程；（2）当m=0时，直线l与曲线C异于原点O的交点为A，直线ρ=﹣与曲线C异于原点O 的交点为B，求三角形AOB的面积．【解答】解：（1）线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．转化为直角坐标方程为：x2+y2=4x直线的参数方程，转化为直角坐标方程为：y=x﹣m．（2）当m=0时，求得：A（2，），B（2，﹣），所以：=．23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（1）求m的值；（2）若a，b，c∈（0，+∞），且++=m，证明：a+2b+3c≥9．【解答】解：（1）函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]，可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即有[﹣m，m}={﹣1，1]，可得m=1；（2）证明：a，b，c∈（0，+∞），且++=1，则a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）=3+（+）+（+）+（+）≥3+2+2+2=3+2+2+2=9，当且仅当a=2b=3c=3，取得等号．。
[精品]2017年四川省凉山州高考数学三诊试卷及解析答案word版(理科)
2017年四川省凉山州高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共11小题，每小题5分，满分55分）1．（5分）已知集合A={x|（x﹣1）＞1}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）若复数z=（sinα﹣）+i（cosα﹣）是纯虚数（i是虚数单位），则tanα的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣23．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣3 B．﹣ C．D．24．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.45．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里6．（5分）已知命题p：函数f（x）=|cos2x﹣sinxcosx﹣|的最小正周期为π；命题q：函数f（x）=ln的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）7．（5分）箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（）A． B． C． D．8．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．20+2B．14+4C．26 D．12+29．（5分）设各项为正的数列{a n}满足a1=2017，log2a n=1+log2a n+1（n∈N+），记A n=a1a2…a n，则A n的值最大时，n=（）A．10 B．11 C．12 D．1310．（5分）不等式组，所表示的平面区域为T，若直线mx﹣y+m+1=0与T有公共点，实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．[，+∞）C．（1，+∞）D．[1，+∞）11．（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣ax恰有两个零点时，则实数a的取值范围为（）A．（0，）B．（0，）C．[，）D．[，e）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）12．（5分）在二项式（﹣）6的展开式中，第四项的系数为．13．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，2S n+1=S n+S n+2（n∈N+），若a3=3，则a100=．14．（5分）设点M，N是抛物线y=ax2（a＞0）上任意两点，点G（0，﹣1）满足•＞0，则a的取值范围是．15．（5分）设由直线xsinα﹣ycosα﹣6=0（参数α∈R）为元素所构成的集合为T，若l1，l2，l3∈T，且l1，l2，l3为一个等腰直角三角形三边所在直线，且坐标原点在该直角三角形内部，则该等腰直角三角形的面积为．三、解答题（共5小题，满分60分）16．（12分）某班在高三凉山二诊考试后，对考生的数学成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组[90，100）、第二组[100，110）…第六组[140，150]．得到频率分布直方图如图所示．若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有2人．（1）请补充完整频率分布直方图；（2）现从该班成绩在[130，150]的学生中任选三人参加省数学竞赛，记随机变量x表示成绩在[130，140）的人数，求x的分布列和E（x）．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，cos2C+2cosC+2=0．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的面积为sinAsinB，求c的值．18．（12分）如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF ⊥AC，AF平行且等于2CE，G是线段BF上的一点，AB=AF=BC=2．（1）当GB=GF时，求证：EG∥平面ABC；（2）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．19．（12分）已知F1、F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，离心率为，点P在椭圆C上，且点P在x轴上的正投影恰为F1，在y轴上的正投影为点（0，）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F1且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点P且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，求证：四边形PABQ为平行四边形．20．（12分）已知函数f（x）=﹣（t+1）lnx，t∈R，其中t∈R．（1）若t=1，求证：x＞1，f（x）＞0成立；（2）若t≥1，且f（x）＞1在区间[，e]上恒成立，求t的取值范围；（3）若t＞，判断函数g（x）=x[f（x）+t+1]的零点的个数．四、选修4-4：坐标系与参数方程21．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1的极坐标方程；（2）若直线（t参数）与圆C1的交点为M，N，求△C1MN的面积（C1圆心）．五、选修4-5：不等式选讲22．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2017年四川省凉山州高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共11小题，每小题5分，满分55分）1．（5分）已知集合A={x|（x﹣1）＞1}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由（x﹣1）＞1，可得：，解得，即集合A=．由x2﹣2x﹣3＞0，解得：x＞3，或x＜﹣1．即B（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．则“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件．故选：D．2．（5分）若复数z=（sinα﹣）+i（cosα﹣）是纯虚数（i是虚数单位），则tanα的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【解答】解：∵复数z=（sinα﹣）+i（cosα﹣）是纯虚数（i是虚数单位），∴sinα﹣=0，cosα﹣≠0，∴sinα=，cosα=﹣，∴tanα=﹣．故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣3 B．﹣ C．D．2【解答】解：i=0，满足条件i＜4，执行循环体，i=1，s=满足条件i＜4，执行循环体，i=2，s=﹣满足条件i＜4，执行循环体，i=3，s=﹣3满足条件i＜4，执行循环体，i=4，s=2不满足条件i＜4，退出循环体，此时s=2故选：D4．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4【解答】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A．5．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里【解答】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6=，解得：a1=192，∴，此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故选：C．6．（5分）已知命题p：函数f（x）=|cos2x﹣sinxcosx﹣|的最小正周期为π；命题q：函数f（x）=ln的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）【解答】解：命题p：函数f（x）=|cos2x﹣sinxcosx﹣|==的最小正周期为，因此是假命题；命题q：函数f（x）=ln，由＞0，化为（x+3）（x﹣3）＜0，解得﹣3＜x ＜3，可得定义域为：（﹣3，3）．又f（﹣x）==﹣ln=﹣f（x），因此函数f （x）是奇函数，其图象关于原点中心对称，是真命题．则下列命题是真命题的是p∨q．故选：B．7．（5分）箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意知首先做出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有C62=15种结果，两个球的号码之积是4的倍数，共有（1，4）（3，4），（2，4）（2，6）（4，5）（4，6），∴摸一次中奖的概率是=，4个人摸奖．相当于发生4次试验，且每一次发生的概率是，∴有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是×（）3×=，故选：B．8．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．20+2B．14+4C．26 D．12+2【解答】解：由三视图得几何体是四棱锥P﹣ABCD，如图所示：且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=4、AD=2，面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，则△PDC的高为=，所以△PDC的面积为：×4×=2，因为PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，即BC⊥PC，同理可证AD⊥PD，则两个侧面△PAD、△PBC的面积都为：×2×3=3，侧面△PAB的面积为：×4×=6，且底面ABCD的面积为：4×2=8，所以四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2+2×3+6+8=20+2，故选A．9．（5分）设各项为正的数列{a n}满足a1=2017，log2a n=1+log2a n+1（n∈N+），记A n=a1a2…a n，则A n的值最大时，n=（）A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解：∵log2a n=1+log2a n+1（n∈N+），∴a n=2a n+1，即a n+1=a n，∴a n=2017×．∴A n=a1a2…a n=2017n×=2071n×．=2017×2﹣n，可得n≤10时，＞1，数列{A n}单调递增；n≡11时，＜1．数列{A n}单调递减．则A n的值最大时，n=11．故选：B．10．（5分）不等式组，所表示的平面区域为T，若直线mx﹣y+m+1=0与T有公共点，实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．[，+∞）C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），直线mx﹣y+m+1=0过定点P（﹣1，1），∵．∴要使直线mx﹣y+m+1=0与T有公共点，则实数m的取值范围是[，+∞）．故选：B．11．（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣ax恰有两个零点时，则实数a的取值范围为（）A．（0，）B．（0，）C．[，）D．[，e）【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴x＞1时，y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）12．（5分）在二项式（﹣）6的展开式中，第四项的系数为．【解答】解：由已知二项式得到展开式的第四项为：=；故答案为：﹣．13．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，2S n+1=S n+S n+2（n∈N+），若a3=3，则a100= 3．【解答】解：∵S n是数列{a n}的前n项和，2S n=S n+S n+2（n∈N+），+1=d．∴数列{S n}是等差数列，设公差为d，可得S n﹣S n﹣1∴a3=S3﹣S2=d=3，则a100=S100﹣S99=d=3．故答案为：3．14．（5分）设点M，N是抛物线y=ax2（a＞0）上任意两点，点G（0，﹣1）满足•＞0，则a的取值范围是（，+∞）．【解答】解：过G点作抛物线的两条切线，设切线方程为y=kx﹣1，切点坐标为A（x0，y0），B（﹣x0，y0），则由导数的几何意义可知，解得k=±2．∵•＞0恒成立，∴∠AOB＜90°，即∠AGO＜45°，∴|k|＞tan45°=1，即2＞1，解得a＞．故答案为（，+∞）．15．（5分）设由直线xsinα﹣ycosα﹣6=0（参数α∈R）为元素所构成的集合为T，若l1，l2，l3∈T，且l1，l2，l3为一个等腰直角三角形三边所在直线，且坐标原点在该直角三角形内部，则该等腰直角三角形的面积为36+24．【解答】解：原点到此直线的距离d==6．因此直线xsinα﹣ycosα﹣6=0（参数α∈R）为元素所构成的集合T为圆：x2+y2=36的所有切线组成的直线系．不妨取：x=6，y=﹣6，y=x+6．可得等腰直角三角形的顶点分别为：（6，6），．（﹣6﹣6，﹣6），（6，﹣6），∴该等腰直角三角形的面积S==36+24．故答案为：36+24．三、解答题（共5小题，满分60分）16．（12分）某班在高三凉山二诊考试后，对考生的数学成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组[90，100）、第二组[100，110）…第六组[140，150]．得到频率分布直方图如图所示．若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有2人．（1）请补充完整频率分布直方图；（2）现从该班成绩在[130，150]的学生中任选三人参加省数学竞赛，记随机变量x表示成绩在[130，140）的人数，求x的分布列和E（x）．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：第六组的频率为：0.005×10=0.05，∵第六组有2人，∴样本单元数n==40，∵第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有2人，设公差为d，∴0.020×10×40+0.015×10×40+0.035×10×40+（2+2d）+（2+d）+2=40，解得d=2，∴第四组小矩形的高为：÷10=0.015，第五组小矩形的高为：=0.010．∴频率分布直方图为：（2）该班成绩在[130，140]的学生有4人，成绩在[140，150]的学生有2人，从成绩在[130，150）的学生中任选三人参加省数学竞赛，基本事件总数n==20，随机变量X表示成绩在[130，140）的人数，则X的可能取值为1，2，3，P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===，∴X的分布列为：EX==2．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，cos2C+2cosC+2=0．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的面积为sinAsinB，求c的值．【解答】解：（1）由cos2C=2cos2C﹣1，则2cos2C﹣1+2cosC+2=0，整理得：2cos2C+2cosC+1=0，∴（cosC+1）2=0，cosC=﹣，由0＜C＜π，则C=，∴角C为；（2）由△ABC的面积S，S=absinC=sinAsinB，则ab×=sinAsinB，整理得：×=2由正弦定理可知：===2R，（R为外接圆半径），则4R2=2，解得：R=，c=2Rsinc=2××=1，∴c的值为1．18．（12分）如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF ⊥AC，AF平行且等于2CE，G是线段BF上的一点，AB=AF=BC=2．（1）当GB=GF时，求证：EG∥平面ABC；（2）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．【解答】（1）证明：取AB的中点D，连接GD，CD，∵G是FB的中点，D是AB的中点，∴GD AF，又CE AF，∴GD CE，∴四边形CEGD是平行四边形，∴EG∥CD，又CD⊂平面ABC，GE⊄平面ABC，∴EG∥平面ABC．（2）解：∵AF⊥AC，平面ACEF⊥平面ABC，平面ACEF∩平面ABC=AC，AF⊂平面ACEF，∴AF⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴AF⊥BC，又AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面ABF，以B为原点，以BC为x轴，以BA为y轴建立空间直角坐标系B﹣xyz，则B（0，0，0），E（2，0，1），F（0，2，2），∴=（2，0，1），=（0，2，2），设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=1得=（1，2，﹣2），又BC⊥平面ABF，∴=（1，0，0）是平面ABF的一个法向量，∴cos＜＞===，∵二面角E﹣BF﹣A为锐二面角，二面角E﹣BF﹣A的余弦值为．19．（12分）已知F1、F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，离心率为，点P在椭圆C上，且点P在x轴上的正投影恰为F1，在y轴上的正投影为点（0，）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F1且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点P且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，求证：四边形PABQ为平行四边形．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e==，则a=c，由题意可知P（﹣c，），代入椭圆方程：，解得：b2=2，由a2=b2+c2，则3c2=2+c2，则c2=1，则a2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）证明：由F1（﹣1，0），倾斜角为的直线斜率k=﹣，则直线l的方程为y=﹣（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：3x2+2x﹣5=0，故x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴丨AB丨=•=×=，∵P（﹣1，），PQ∥AB，∴直线PQ的方程为y﹣=﹣（x+1）．由，整理得3x2﹣2x﹣5=0，∵x P=﹣1，则x P=，∴丨PQ丨=丨x P﹣x Q丨=，∴丨PQ丨=丨AB丨=，∴四边形PABQ为平行四边形．20．（12分）已知函数f（x）=﹣（t+1）lnx，t∈R，其中t∈R．（1）若t=1，求证：x＞1，f（x）＞0成立；（2）若t≥1，且f（x）＞1在区间[，e]上恒成立，求t的取值范围；（3）若t＞，判断函数g（x）=x[f（x）+t+1]的零点的个数．【解答】解：（1）t=1时，f（x）=x﹣﹣2lnx，x＞0∴f′（x）=1+﹣==≥0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）=1﹣1﹣0=0，∴x＞1，f（x）＞0成立，（2）依题意，在区间[，e]上f（x）min＞1，∵f′（x）=t+﹣==，令f′（x）=0，解得x=1或x=≤1，若t≥e，则由f′（x）＞0得，1＜x≤e，函数f（x）递增，由f′（x）＜0得，≤x＜1，函数f（x）递减，∴f（x）min=f（1）=t﹣1＞1，满足条件，若1＜t＜e，则由f′（x）＞0得，≤x＜或1＜x≤e，函数f（x）递增，由f′（x）＜0得，≤x＜1，函数f（x）递减，∴f（x）min=min{f（），f（1）}，依题意，即，∴2＜t＜e，若t=1，则f′（x）≥0得，函数f（x）在[，e]递增，f（x）min=f（）＜1，不满足条件，综上所述t＞2，（3）当x∈（0，+∞），g（x）=tx2﹣（t+1）xlnx+（t+1）x﹣1∴g′（x）=2tx﹣（t+1）lnx，设m（x）=2tx﹣（t+1）lnx，∴m′（x）=2t﹣=，令m′（x）=0，得x=，当0＜x＜时，m'（x）＜0；当时x＞，m'（x）＞0．∴g'（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．∴g'（x）的最小值为g′（）=（t+1）（1﹣ln），∵t＞，∴=+＜+＜e．∴g'（x）的最小值g′（）=（t+1）（1﹣ln）＞0，从而，g（x）在区间（0，+∞）上单调递增．又g（）=+（6+2lnt）﹣1，设h（t）=e3t﹣（2lnt+6）．则h′（t）=e3﹣．令h'（t）=0得t=．由h'（t）＜0，得0＜t＜；由h'（t）＞0，得t＞．∴h（t）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．∴h（t）min=h（）=2﹣2ln2＞0．∴h（t）＞0恒成立．∴e3t＞2lnt+6，．∴g（）＜+﹣1=++﹣1＜++﹣1＜0．又g（1）=2t＞0，∴当t＞时，函数g（x）恰有1个零点四、选修4-4：坐标系与参数方程21．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1的极坐标方程；（2）若直线（t参数）与圆C 1的交点为M，N，求△C1MN的面积（C1圆心）．【解答】解：（1）∵圆C1：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，∴x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0．（2）∵直线（t参数），∴直线的直角坐标方程为y=x，联立，得，或，∴M（1，1），N（2，2），C1（1，2），∴MC1=1，NC1=1，MN==，∴MC12+NC12=MN2，∴MC1⊥NC1，∴△C1MN的面积S===．五、选修4-5：不等式选讲22．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
2018年四川省德阳市高考数学三诊试卷(文科)-教师用卷
2018年四川省德阳市高考数学三诊试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，若，则实数x的值等于A. 4B.C. 2D. 3【答案】C【解析】解：，，，解得．故选：C．利用复数的运算法则、复数相等即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了计算能力，属于基础题．2.已知，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：集合，，则．故选：C．解不等式求得集合A，求函数的值域的集合B，根据交集的定义写出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3.已知函数，则的值为A. 24B. 16C. 12D. 8【答案】A【解析】解：由，由，可得，由，可得．故选：A．运用对数的运算性质，可得，，代入对应的解析式，运用对数的恒等式，计算即可得到所求值．本题考查分段函数的运用：求函数值，考查对数的运算性质，以及对数恒等式的运用，属于基础题．4.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是A.B.C. 40D. 20【答案】A【解析】解：由题意可得，几何体的直观图如图：该三棱锥的体积是：．故选：A．由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，利用三视图的数据，可得几何体的体积．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．5.命题p：“对任意的，不等式恒成立”，命题q：；则p是q的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：时，不等式恒成立，a与b不全为0时，不等式化为：，对任意的，不等式恒成立”，，，画出图象：可知：表示的是以原点为圆心，1为半径的圆及其内部．而可知：表示的是正方形ABCD及其内部．是q的必要不充分条件，故选：B．根据不等式恒成立以及绝对值不等式的几何意义，转化为两个平面区域的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质进行转化是解决本题的关键综合性较强，难度较大．6.执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数p的最大值为A. 7B. 15C. 31D. 63【答案】B【解析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环Sk循环前第一圈是1 2第二圈是3 3第三圈是7 4第四圈是15 5第五圈是31 6第六圈否故时，满足条件时，不满足条件故p的最大值15．故选：B．由框图可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的k值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出所求问题的结论，是基础题．7.如图，在等腰直角中，，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，则等于A. B. C.D.【答案】A【解析】解：由已知条件知，，；又，；．故选：A．将，带入，然后根据条件进行数量积的运算即可求得答案．考查向量加法、减法的几何意义，两向量垂直时数量积为0，向量数量积的运算及计算公式．8.函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，求函数在上的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得，，，，由题意，得，函数在区间的最小值为．故选：A．由条件根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得，，由此根据求得的值．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．9.一组数据共有7个数，记得其中有10，2，5，2，4，2，还有一个比2大的数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则这个数的所有可能值的和为A. 20B. 17C. 32D. 3【答案】A【解析】解：设这个数字是x，且，则平均数为，众数是2，当时，中位数为x，此时，解得，当时，中位数为4，此时，解得，综上，x的所有可能值为3与17，其和为20．故选：A．设未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列方程求得x的所有值，求和即可．本题考查了众数、中位数、平均数和等差数列的应用问题，是综合题．10.双曲线C：的离心率为，抛物线E：的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线：和：的距离之和的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：双曲线的离心率，，双曲线的右焦点为，，即．抛物线的方程为：．设，则M到的距离，M到的距离，，当时，取得最小值2．故选：B．根据离心率求出a，得出抛物线方程，设，求出M到两直线的距离，根据二次函数的性质得出最值．本题考查了双曲线的性质，点到直线的距离公式，属于中档题．11.已知数列的前n项和为，且，数列的前n项和为，若对一切正整数n，恒成立，则正数t的最小值为A. 2B. 1C.D.【答案】B【解析】解：时，，化为：．时，，解得．数列是等比数列，首项为，公比为2．．．数列的前n项和为．若对一切正整数n，恒成立，．则正数t的最小值为1．故选：B．时，，化为：时，，解得利用等比数列的通项公式可得可得再利用裂项求和方法即可得出数列的前n项和为进而得出答案．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、对数运算性质、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线“下列方程：，；；对应的曲线中存在“自公切线”的是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，在和处的切线都是，故有自公切线；是一个等轴双曲线，没有自公切线；，，，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线；由于，即，图象如右，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故选：C．在和处的切线都是，故有自公切线；是一个等轴双曲线，没有自公切线；此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，此函数有自公切线；结合图象可得，此曲线没有自公切线．正确理解新定义“自公切线”，正确画出函数的图象、数形结合的思想方法是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设实数x，y满足，若的最小值为，则正数______．【答案】3【解析】解：由实数x，y满足作出可行域如图，联立，解得，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过时，直线在y轴上的截距最小为，则．故答案为：3．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得最小值，得到k值．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.若三棱锥最长的棱，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的表面积是______．【答案】【解析】解：三棱锥的最长的棱，且各面均为直角三角形，此三棱锥的外接球的直径为2，即此三棱锥的外接球的半径为1，此三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：．推导此三棱锥的外接球的直径为2，由此能求出此三棱锥的外接球的表面积．本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查三棱锥、球等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．15.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到4095个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为______．【答案】【解析】解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到4095个正方形，则有，，最小正方形的边长为，故答案为：正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，利用共得到4095个正方形，借助于求和公式，可求得正方形边长变化的次数，从而利用等比数列的通项公式，即可求最小正方形的边长．本题以图形为载体，考查等比数列的求和公式及通项，关键是的出等比数列模型，正确利用相应的公式．16.设点在直线上，若在圆O：上存在点N，使得，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：点在直线上，在直线上，又直线与圆O：相切，要使圆O：上存在点N，使得，则的最大值大于或等于时，一定存在点N，使得，而当MN与圆相切时取得最大值，此时有，的取值范围为故答案为：．根据直线和圆的位置关系，作出图象，数形结合可得的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知Ⅰ求证：a、b、c成等差数列；Ⅱ若，，求及b的值．【答案】证明：Ⅰ中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知则：，所以：，整理得：，所以：a、b、c成等差数列．解：Ⅱ，则：，解得：．由于，所以：，解得：．由于：a、b、c成等差数列，所以：，则：，即：，由于：，所以：，解得：．【解析】Ⅰ直接利用三角函数关系式的恒等变换及余弦定理求出结果．Ⅱ利用Ⅰ的结论，等差中项和余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，等差中项的应用．18.某大一学生在寒假中欲将购进一批成本价为4元件的商品卖出，为了对这种产品制定合理售价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下6组数据：据，2组数据中“定价合理”的个数记为X，求的概率；求出y关于x的线性回归方程，预计在今后的销售中，销量与单价仍服从此关系，为了获得最大利润，该产品的销售单价应定为多少元？利润销售收入成本参考公式：，【答案】解：从这6组数据中任意抽取2组数据中有种，组数据中“定价合理”的个数的有：，，，有3种，则的概率．因为，，，，则，；则y关于x的线性回归方程是，利润函数；当时，取得最大值；故当单价定为元时，工厂可获得最大利润．【解析】根据古典概型的概率公式进行计算即可．根据回归方程求出对应的参数进行计算即可．本题主要考查回归直线的应用以及概率的计算，求出相应的系数是解决本题的关键考查学生的计算能力．19.如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直与圆O所在平面，G为的垂心．求证：平面平面PAC；若，点Q在线段PA上，且，求三棱锥的体积．【答案】证明：为的垂心，，平面ABC，平面ABC，．又平面PAC，平面PAC，，平面PAC．又平面OPG，平面平面PAC．解：延长OG交AC于点M．由知平面PAC，即GM为点G到平面PAC的距离．由已知可得，，为正三角形，．．，，．，．【解析】由，即可得出平面PAC，故而平面平面PAC；利用公式计算体积．本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20.设，分别是椭圆C：的左、右焦点，过椭圆右焦点的直线l与椭圆C相交于E、F两点，的周长为8，若P是椭圆C上的一个动点，且的最大值为3．求椭圆C的方程；四边形MNAB的四个顶点均在椭圆C上，且，MB丄x轴，若直线MN 和直线AB交于点问：四边形MMAB两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】解：由椭圆的定义可知：，的周长，则，设，，，则，，，当时，取最大值，最大值为，则，则，椭圆的标准方程：；设MA与x轴交于，则直线MA的方程为，记，，由对称性知，，由，消x得：，所以，则，，由M、N、S三点共线知，即，所以，整理得，所以，即，，所以直线MA过定点，同理可得直线NB也过定点，即四边形MNAB两条对角线的交点是定点，且定点坐标为．【解析】根据椭圆的定义，可知的周长，求得a，根据向量的数量积的坐标运算，可得当时，取最大值，即可求得b和c的值，即可求得椭圆方程；设直线MA的方程，代入椭圆方程，根据M、N、S三点共线，即可求得，同理即可求得直线NB也过定点．本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查为韦达定理，直线的斜率公式，向量数量积的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．21.已知函数．求函数的单调区间；若曲线在点处的切线垂直于直线，求证：当时，．【答案】解：，时，，在R递增，时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；由，解得：，故，要证明时，，即证明时，，令，，则，，故在递增，而，，故存在，使得，故，，故在递减，在递增，故，而当“”成立时，，即，显然“”不成立，故．故当时，．【解析】求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；根据切线方程求出m的值，问题转化为证明时，，令，，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查不等式的性质，不等式的证明，是一道综合题．22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，已知曲线C：，过点的直线l的参数方程为：，直线l与曲线C分别交于M，N．写出曲线C和直线L的普通方程；若，，成等比数列，求a的值．【答案】解：由，得，即；由，可知直线过，且倾斜角为，直线的斜率等于1，直线方程为，即；直线l的参数方程为为参数，代入得到，则有，因为，所以，即．解得．【解析】把极坐标方程两边同时乘以后，代入极坐标与直角坐标的互化公式得答案；由直线的参数方程可得直线经过的定点和直线的倾斜角，求出斜率后直接写出直线的点斜式方程；把直线的参数方程代入抛物线方程，由，，成等比数列，借助于直线方程的参数的几何意义列式求解a的值．本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，训练了等比数列性质的应用，是中档题．23.已知函数，，的解集为．求m的值；若，成立，求实数t的取值范围．【答案】解：因为，所以，，或，又的解集为．故分等价于不等式，设，分故，，使得成立，则有，即，解得或，即实数的取值范围分【解析】将不等式转化为，根据其解集情况，确定m；将不等式转化为不等式，左边构造函数，只要求出其最大值，得到关于t的不等式解之即可．本题考查了绝对值不等式的解法以及求能成立问题参数范围；关键是转化的思想应用．。
2020年四川省德阳市高考(理科)数学三诊试卷 (解析版)
2020年四川省德阳市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．（5分）设集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1} 2．（5分）如图，若向量对应的复数为z，则复数z+为（）A．3+i B．﹣3﹣i C．3﹣i D．1+3i3．（5分）在正方形ABCD中，弧AD是以AD为直径的半圆，若在正方形ABCD中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知等比数列{a n}中，a5＝3，a4a7＝45，则的值为（）A．30B．25C．15D．105．（5分）设向量＝（﹣2，1），+＝（m，﹣3），＝（3，1），若（+）⊥，设、的夹角为θ，则cosθ＝（）A．﹣B．C．D．﹣6．（5分）若函数f（x）＝e x（sin x+a）在区间R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[，+∞）B．（1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（，+∞）7．（5分）若函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），已知函数y＝|f（x）|的图象如图，则（）A．f（x）＝2sin（4x+）B．f（x）＝2sin（4x﹣）C．f（x）＝2sin（x﹣）D．f（x）＝2sin（x+）8．（5分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，在△BCD中∠BCD＝90°且BC ＝3．将△ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若AM＝，那么（）A．平面ABD⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面ABDC．AB⊥CD D．AC⊥BD9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（）A．2B．﹣1C．﹣1D．2﹣110．（5分）已知双曲线﹣＝1与圆x2+y2﹣5x+4＝0交于点P，圆在点P处的切线恰好过双曲线的左焦点（﹣2，0），则双曲线的离心率为（）A．+B．C．D．11．（5分）将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A．1个B．2个C．3个D．4个12．（5分）已知函数f（x）＝ae2x﹣2e x+x有两个极值点x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜e+e+t恒成立，那么t的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣2﹣2ln2，+∞）C．[﹣3﹣1n2，+∞）D．[﹣5，+∞）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分将等案填在答题卡上13．（5分）在二项式（x﹣）n的展开式中，二项式系数之和为64，且展开式中的常数项为20，则a＝．14．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2n﹣1，则数列{}的前n项和为．15．（5分）某车间每天能生产x吨甲产品，y吨乙产品，由于条件限制，每天两种产品的总产量不小于1吨不大于3吨且两种产品的产量差不超过1吨．若生产甲产品1吨获利2万元，乙产品1吨获利1万元，那么该车间每天的最高利润为万元．16．（5分）已知点M（，﹣1），直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点交抛物线C于A、B 两点，且AM恰与抛物线C相切，那么线段AB的中点坐标为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）我市某校800名高三学生在刚刚结束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分到150分之间，抽取其中一个容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组[100，110），第二组[110，120），…第五组[140，150]，得到频率分布直方图．（1）若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；（2）若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男生的个数为ξ，求ξ的分布列及期望．18．（12分）在三角形△ABC中，内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知b cos C+c cos B ＝2，b sin C＝a．（1）求△ABC的面积；（2）若b：c＝：1，求A．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱与底面垂直，底面ABCD是菱形，四棱锥P﹣ABCD的顶点P在平面A1B1C1D1上的投影恰为四边形A1B1C1D1对角线的交点O1，四棱锥P﹣ABCD和四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高相等．（1）证明：PB∥平面ADO1；（2）若∠BAD＝，AA1＝A1B1，求平面PBC与平面ABO1所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）巳知函数f（x）＝ax﹣2lnx﹣2，g（x）＝axe x﹣4x．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a＞0时，证明：g（x）﹣2（lnx﹣x+1）≥2（lna﹣ln2）．21．（12分）已知动点Q到点F（1，0）的距离和到直线l：x＝4的距离之比为．（1）求动点Q的轨迹方程C；（2）已知点P（1，），过点F的直线和曲线C交于A、B两点，直线PA、PB、AB 分别交直线x＝4于M、N、H．（i）证明：H恰为线段MN的中点；（ii）是否存在定点G，使得以MN为直径的圆过点G？若存在，求出定点G的坐标，否则说明理由．请考生在22.23二题中任选-题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分作答时.请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＝4，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；（2）射线OP：θ＝α（α∈（0，））交圆C于O、A，交直线l于B，若A，B两点在x轴上投影分别为M、N，求MN长度的最小值，并求此时A、B两点的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知函数f（x）＝+﹣m≥0恒成立．（1）求m的取值范围；（2）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）设集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1}【分析】求出集合N，然后直接求解M∩N即可．解：因为N＝{x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，M＝{﹣8，0，1}，所以M∩N＝{0，1}．故选：B．2．（5分）如图，若向量对应的复数为z，则复数z+为（）A．3+i B．﹣3﹣i C．3﹣i D．1+3i【分析】由已知求得z，代入z+，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由题意，得z＝1﹣i，则z+＝1﹣i+＝1﹣i+＝3+i．故选：A．3．（5分）在正方形ABCD中，弧AD是以AD为直径的半圆，若在正方形ABCD中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出阴影部分的面积，作商即可．解：连结AC和BD交与点O，如图示：由对称性可得，S阴影部分＝S正方形ABCD﹣S△AOB；故所求概率为：1﹣＝，故选：D．4．（5分）已知等比数列{a n}中，a5＝3，a4a7＝45，则的值为（）A．30B．25C．15D．10【分析】根据题意，设数列{a n}的公比为q，由等比中项的性质可得a4a7＝a4a6q＝（a5）2q＝45，解可得q的值，结合等比数列的通项公式有＝＝q（1+q），计算即可得答案．解：根据题意，等比数列{a n}中，设其公比为q，若a5＝3，a4a7＝45，则a4a7＝a7a6q＝（a5）2q＝45，则q＝5，故选：A．5．（5分）设向量＝（﹣2，1），+＝（m，﹣3），＝（3，1），若（+）⊥，设、的夹角为θ，则cosθ＝（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】由已知利用平面向量垂直的坐标表示可求m的值，根据平面向量数量积的坐标表示、模、夹角即可求解．解：∵+＝（m，﹣3），＝（3，1），（+）⊥，∴3m﹣3＝0，可得m＝5，可得+＝（1，﹣3），∴＝（3，﹣4），∴设、的夹角为θ，则cosθ＝＝＝﹣．故选：D．6．（5分）若函数f（x）＝e x（sin x+a）在区间R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[，+∞）B．（1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（，+∞）【分析】求函数的导数，要使函数单调递增，则f′（x）≥0恒成立，然后求出实数a 的取值范围．解：因为f（x）＝e x（sin x+a），所以f′（x）＝e x（sin x+a+cos x）．要使函数单调递增，则f′（x）≥0恒成立．所以a≥﹣sin x﹣cos x，所以﹣≤﹣sin x﹣cos x≤，故选：A．7．（5分）若函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），已知函数y＝|f（x）|的图象如图，则（）A．f（x）＝2sin（4x+）B．f（x）＝2sin（4x﹣）C．f（x）＝2sin（x﹣）D．f（x）＝2sin（x+）【分析】直接利用函数y＝|f（x）|的周期为函数y＝f（x）的周期的一半，根据函数的图象和沿x轴的翻折，进一步利用函数f（）＝±2来求出φ的值，最后求出函数的关系式．解：由于函数y＝|f（x）|的周期为函数y＝f（x）的周期的一半，根据函数的图象函数y＝f（x）的周期T，满足，所以ω＝4．整理得φ＝kπ+（k∈Z），解得φ＝kπ﹣（k∈Z），故选：A．8．（5分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，在△BCD中∠BCD＝90°且BC ＝3．将△ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若AM＝，那么（）A．平面ABD⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面ABDC．AB⊥CD D．AC⊥BD【分析】由直角三角形的斜边的中线长为斜边的一半，以及平面的垂线和斜线的性质，判定M为BC的中点，由线面垂直的性质和判定，可得结论．解：△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，BC＝3，点A在平面BCD上的射影为点M，若AM＝，AM⊥平面BCD，则AM⊥CD，可得CD⊥平面ABC，可得CD⊥AB，故选：C．9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（）A．2B．﹣1C．﹣1D．2﹣1【分析】模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，S＝+++…++的值，用裂项法即可得解．解：模拟执行程序框图，可得N＝10，S＝0，k＝1满足条件k＜10，k＝2，S＝+，…不满足条件k＜10，退出循环，输出S的值为﹣1．故选：C．10．（5分）已知双曲线﹣＝1与圆x2+y2﹣5x+4＝0交于点P，圆在点P处的切线恰好过双曲线的左焦点（﹣2，0），则双曲线的离心率为（）A．+B．C．D．【分析】设出切线的斜率，求出切线方程，然后求解切点坐标，代入双曲线方程，然后求解双曲线的离心率即可．解：设圆在点P处的切线的斜率为k，则切线方程为：y＝k（x+2），可得kx﹣y+2k＝0，圆x2+y2﹣5x+3＝0的圆心（，0），半径为：，不妨取切线方程y＝（x+2）代入圆的方程可得：（1+）x2﹣5x+x+4+＝0，解得x＝2，解得a＝b＝，故选：C．11．（5分）将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为，根据定义逐一判断即可得出结论．解：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为，（1）根据定义，可以得到曲线Γ是等宽曲线，错误；（3）根据（2）得（3）错误；（5）正三角形的边长为7，则三角形对应的扇形面积为＝，则一个弓形面积S′＝﹣，而圆的面积为π＝，不相等，故错误．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝ae2x﹣2e x+x有两个极值点x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜e+e+t恒成立，那么t的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣2﹣2ln2，+∞）C．[﹣3﹣1n2，+∞）D．[﹣5，+∞）【分析】令e x＝m，问题可化为f（m1）+f（m2）＜m1+m2+t恒成立，设h（a）＝﹣﹣1﹣ln2a，根据函数的单调性求出其最大值，确定t的范围即可．解：令e x＝m，则f（m）＝am2﹣2m+lnm，显然m＞0，不等式f（x8）+f（x2）＜e+e+t恒成立，由f（m）＝am2﹣2m+lnm，f′（m）＝（m＞0），所以方程2am2﹣2m+1＝0在（0，+∞）上有两个不相等的正实数根，因为f（m1）+f（m6）﹣（m1+m2）＝a[（m1+m2）3﹣2m1m2]﹣3（m1+m3）+ln（m1m2）设h（a）＝﹣﹣1﹣ln2a，故h（a）在（0，）上单调递增，所以t≥﹣5，故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分将等案填在答题卡上13．（5分）在二项式（x﹣）n的展开式中，二项式系数之和为64，且展开式中的常数项为20，则a＝﹣1．【分析】由已知列式求得n，写出二项展开式的通项，再由x的指数为0求得r值，由常数项为20求解a值．解：∵二项式（x﹣）n的二项式系数之和为64，∴2n＝64，即n＝6．由＝．∴，即a＝﹣8．故答案为：﹣1．14．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2n﹣1，则数列{}的前n项和为．．【分析】通过数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1判断数列是等差数列，求出数列的和，化简的表达式，然后求和即可．解：∵数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1，所以数列是等差数列，首项为1，公差为2，S n＝n+＝n2，可得数列{}的前n项和为1+3+3+…+n＝．故答案为：．15．（5分）某车间每天能生产x吨甲产品，y吨乙产品，由于条件限制，每天两种产品的总产量不小于1吨不大于3吨且两种产品的产量差不超过1吨．若生产甲产品1吨获利2万元，乙产品1吨获利1万元，那么该车间每天的最高利润为5万元．【分析】由题意列出不等式组，画出可行域，设该车间每天的利润为z，则目标函数z＝2x+y，根据简单的二元线性规划的解决方法，即可求出每天利润的最大值．解：由题意可知，设该车间每天的利润为z，则z＝2x+y，由图可知，当目标函数过点A时，取得最大值，所以z的最大值为5×2+1＝5，故答案为：5．16．（5分）已知点M（，﹣1），直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点交抛物线C于A、B 两点，且AM恰与抛物线C相切，那么线段AB的中点坐标为（，）．【分析】设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及导数的几何意义，即可求得x1，x2，求得直线l的斜率．然后求解中点坐标．解：抛物线C的焦点为（0，1），设A（x1，y1），B（x6，y2），直线AB的方程为y ＝kx+1，联立方程组，消去y，整理得：x2﹣4kx﹣4＝0，由y＝，求导y′＝x，直线AM的斜率k＝＝＝x3，整理得x12﹣3x4﹣4＝0，所以或，即k＝，AB的中点坐标为（，）．故答案为：（，）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）我市某校800名高三学生在刚刚结束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分到150分之间，抽取其中一个容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组[100，110），第二组[110，120），…第五组[140，150]，得到频率分布直方图．（1）若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；（2）若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男生的个数为ξ，求ξ的分布列及期望．【分析】（1）由频率分布直方图求出第四、五组的频率，乘以800得答案；（2）由（1）知，第一小组共有3人，其中2男1女；第五小组有4人，其中1男3女，可得ξ的所有取值为：1，2，3．利用古典概型求概率，可得ξ的分布列，再由期望公式求期望．解：（1）由频率分布直方图可知，成绩在130分及以上的同学在第四、五组内，其频率为（0.032+0.008）×10＝0.2，故根据样本数据可估计出该校本次数学模拟考试中成绩优秀人数为800×0.4＝320人；则ξ的所有取值为：1，2，7．P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列为：ξ163P期望E（ξ）＝＝．18．（12分）在三角形△ABC中，内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知b cos C+c cos B＝2，b sin C＝a．（1）求△ABC的面积；（2）若b：c＝：1，求A．【分析】（1）由余弦定理化简已知等式解得a＝2，由已知可求b sin C＝，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．（2）由（1）及条件和余弦定理可得：，化简可得sin（A+）＝1，结合A的范围，利用正弦函数的性质即可求解A的值．解：（1）∵b cos C+c cos B＝2，∴由余弦定理可得：b•+c•＝8，∵b sin C＝a＝，（2）由（1）及条件和余弦定理可得：，因为：A∈（0，π），可得：A+＝，可得A＝．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱与底面垂直，底面ABCD是菱形，四棱锥P﹣ABCD的顶点P在平面A1B1C1D1上的投影恰为四边形A1B1C1D1对角线的交点O1，四棱锥P﹣ABCD和四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高相等．（1）证明：PB∥平面ADO1；（2）若∠BAD＝，AA1＝A1B1，求平面PBC与平面ABO1所成的锐二面角的余弦值．【分析】（1）连接BO1、PO1，易证得PO1∥BB1∥DD1，即P、B、O1、D四点共面；由四棱锥P﹣ABCD和四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高相等，可推出四边形PBO1D为平行四边形，故PB∥O1D；再由线面平行的判定定理即可得证．（2）以O1为原点，O1A1、O1B1、O1P所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设O1B1＝1，依次写出O1、A、B、P、C的坐标，根据法向量的性质求出平面ABO1和平面PBC的法向量为与，再由cos＜，＞＝即可得解．【解答】（1）证明：连接BO1、PO1，由题知，PO1⊥平面A1B3C1D1且四棱柱ABCD﹣A1B1C1D7的侧棱与底面垂直，∵四棱锥P﹣ABCD和四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高相等，∴四边形PBO1D为平行四边形，又O1D⊂平面ADO7，PB⊄平面ADO1，∴以O1为原点，O1A1、O1B1、O8P所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，∴O1（0，0，2），A（，0，2），B（0，1，2），P（0，0，4），C（，0，7），设平面ABO1的法向量为＝（x，y，z），则，即，同理可得，平面PBC的法向量＝（﹣2，，）．故平面PBC与平面ABO1所成的锐二面角的余弦值为．20．（12分）巳知函数f（x）＝ax﹣2lnx﹣2，g（x）＝axe x﹣4x．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a＞0时，证明：g（x）﹣2（lnx﹣x+1）≥2（lna﹣ln2）．【分析】（1）求导得f'（x）＝，定义域为（0，+∞），再分a≤0和a＞0两类讨论f'（x）与0的大小关系，即可得f（x）的单调性，从而求极值；（2）问题转化为g（x）﹣2（lnx﹣x+1）≥2（lna﹣ln2）⇔f（xe x）≥2lna﹣2ln2，求出函数的最小值，证明结论即可．【解答】（1）解：∵f（x）＝ax﹣2lnx﹣2，∴f'（x）＝a﹣＝，定义域为（5，+∞），当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，无极值；∴极小值为f（）＝2（lna﹣ln2），无极大值．当a≤0时，函数f（x）无极值；（3）证明：g（x）﹣2（lnx﹣x+1）≥2（lna﹣ln2）⇔axe x﹣4lne x﹣2lnx﹣2≥2lna﹣2ln2⇔f（xe x）≥2lna﹣7ln2，即f（x）≥2lna﹣2ln2恒成立，故f（xe x）≥2lna﹣2ln2，即原不等式得证．21．（12分）已知动点Q到点F（1，0）的距离和到直线l：x＝4的距离之比为．（1）求动点Q的轨迹方程C；（2）已知点P（1，），过点F的直线和曲线C交于A、B两点，直线PA、PB、AB 分别交直线x＝4于M、N、H．（i）证明：H恰为线段MN的中点；（ii）是否存在定点G，使得以MN为直径的圆过点G？若存在，求出定点G的坐标，否则说明理由．【分析】（1）设Q（x，y），由题意列式，化简得答案；（2）（i）证明AB的斜率为0时，H恰为线段MN的中点．当AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝ty+1（t≠0），联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得MN中点的纵坐标，即可验证H恰为线段MN的中点；（ii）当AB的斜率不为0时，求出以MN为直径的圆的方程，取y＝0可得圆过定点（1，0）或（7，0），验证AB的斜率为0时也成立，即可得到存在定点G（1，0）或（7，0），使得以MN为直径的圆过G．【解答】（1）解：设Q（x，y），由题意得：，化简可得动点Q的轨迹方程为：；直线PB：y＝﹣，得N（5，﹣3）．当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝ty+1（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），H（4，）．∴，．同理可得N（4，）．∴线段MN的中点坐标为（3，），即为H点．（ii）解：当直线AB的斜率不等于0时，|MN|＝||＝||．若存在定点G，使得以MN为直径的圆过点G，由对称性可知，G一定在x轴上．则＝解得x＝1或x＝7．当直线AB的斜率等于0时，M（4，3），N（2，﹣3），H（4，0），综上，存在定点G（1，0）或（7，6），使得以MN为直径的圆过G．请考生在22.23二题中任选-题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分作答时.请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＝4，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；（2）射线OP：θ＝α（α∈（0，））交圆C于O、A，交直线l于B，若A，B两点在x轴上投影分别为M、N，求MN长度的最小值，并求此时A、B两点的极坐标．【分析】（1）直接利用转换关系，把直线的普通方程转换为极坐标方程，进一步把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果，最后求出点A和B的极坐标．解：（1）已知直线l：x＝4，转换为极坐标方程为ρcosθ＝4．圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．整理得ρ2＝4ρsinθ，根据转换为直角坐标方程为x2+y2﹣3y＝0．得到A（4sinα，α），B（），若A，B两点在x轴上投影分别为M、N，当时，|MN|min＝2，即最小值为7．所以点A（2），B（4）．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知函数f（x）＝+﹣m≥0恒成立．（1）求m的取值范围；（2）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．【分析】（1）由参数分离和绝对值不等式的性质，即可得到所求范围；（2）可令3a+b＝s，a+2b＝t，用s，t表示a，b，结合乘1法和基本不等式，计算可得所求最小值．解：（1）f（x）＝+﹣m＝|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0⇔m≤|x+1|+|x﹣5|恒成立，因为|x+1|+|x﹣3|≥|x+1﹣x+3|＝6，当且仅当﹣1≤≤3时取得等号．（2）由（1）可得n＝3，即+＝4，（a ＞7，b＞0），即有+＝4，所以7a+4b＝+＝2s+t当且仅当s ＝t，即b＝2a ＝时取得等号．所以7a+4b的最小值为．。
四川省德阳市高三第一次诊断性考试(数学理)(含答案)word版
四川省德阳市2017届高三第一次诊断性考试（数学理）说明：1．试卷分第I 卷和第II 卷。
将第I 卷的正确选项填在答题卡上，第II 卷用铅笔或圆珠笔直接答在试卷上。
2．本试卷满分150分，120分钟完卷。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．记集合22{|4},{|30}M x x N x x x =>=-≤，则N M =（ ）A ．{|23}x x <≤B ．{|02}x x x ><-或C ．{|23}x x -<≤D ．{|02}x x <<2．已知复数12122,1,z i z i z z z =+=-=⋅则在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．在等比数列{}n a 中，5113133,4a a a a ⋅=+=，则155a a = （ ） A ．3 B ．13 C ．3或13 D ．133--或 4．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么26a a b +⋅等于（ ） A．1+ B ．4 C ．3D ．7 5．函数cos()sin()23y x x ππ=++-具有性质 （ ）A6x π=对称B ．最大值为1，图象关于直线6x π=对称C(,0)6π对称 D ．最大值为1，图象关于(,0)6π对称6．已知函数(0.5)(1),1()log 1a aa x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R 上为减函数，则a 的取值范围是 （ ）A ．01a <<B ．00.5a <<C ．0.5a <D ．0.51a <<7．给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集） （ ） ①“若a,b ∈R,则0a b a b -=⇒=”类比推出“a,b ∈C,则0a b a b ->⇒=”②“若a,b,c,d ∈R ，则复数,a bi c di a c b d +=+⇒==”类比推出“若,,,a b c d Q ∈，则,a c a c b d++⇐==”；③若“a,b ∈R,则0a b a b -=⇒>”类比推出“a,b ∈C,则0a b a b -=⇒>”其中类比结论正确的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．已知命题11:242x p ≤≤，命题15:[,2]2q x x +∈--，则下列说法正确的是 （ ）A ．p 是q 的充要条件B ．p 是q 的充分不必要条件C ．p 是q 的必要不充分条件D ．p 是q 的既不充分也不必要条件9．六个人排成一排，甲乙两人中间至少有一个人的排法种数有（ ）A ．480B ．720C ．240D ．360 10．已知四边形ABCD 上各点在映射:(,)(1,2)f x y x y →+的作用下的象集为四边形''''A B C D ，若四边形''''A B C D 的面积为12，那么四边形ABCD 的面积为（ ）A ．9B ．6 CD ．12 11．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，那么32sgn(31)y x x x =-++的大致图象是（ ）12．设函数()(1)1x f x ax x x =+>-，若a 是从—1，0，1，2三数中任取一个，b 是从1，2，3，4五数中任取一个，那么()f x b >恒成立的概率为（ ）A ．12B ．720C ．25D ．920第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分。
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2017-2018学年四川省德阳市高考数学三诊试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．设集合A={x|x2+x﹣6＜0}，B={x|x＜0}，则A∩∁RB=（ ） A．{x|0≤x＜2} B．{x|﹣3＜x＜2} C．{x|﹣6＜x＜0} D．{x|x≥0} 2．已知a，b∈R，且a﹣1+（b+2）i=0．i为虚数单位，则复数（a+bi）2在复平面内对应的
点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则asinAsinB+bcos2A=a是
b=a的（ ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．在（x﹣）5的展开式中x3的系数等于5，则该展开式中二项式系数最大的项的系数为
（ ） A．20 B．﹣10 C．﹣10，10 D．10 5．已知P是圆（x﹣1）2+y2=1上异于坐标原点O的任意一点，直线OP的倾斜角为θ，若
|OP|=d，则函数d=f（θ）的大致图象是（ ）
A． B． C．
D． 6．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）
A． B． C．20 D．40 7．若函数f（x）=3﹣sinωx﹣cosωx（x∈R）的图象向右平移个单位后与原图象重
合，则正数ω的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．若△ABC是半径为的圆O的内接三角形，3+4+5=，则•为（ ） A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6 9．设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与
抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（ ）
A． B． C． D． 10．已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x．若存在a∈[﹣3，3]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）
有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，则（log2）⊗（）﹣2=______．
12．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍．若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为______． 13．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克
水，水克火，火克金、”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A出现的概率是______（结果用数值表示）．
14．若x，y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，
则a的取值范围是______． 15．已知有限集A={a1，a2，a3…，an}（n≥2）．如果A中元素ai（i=1，2，3，…，n）满足
a1a2…an=a1+a2+…+an，就称A为“复活集”，给出下列结论： ①集合{， }是“复活集”；
②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2＞4；
③若a1，a2∈N*则{a1，a2}不可能是“复活集”；
④若ai∈N*，则“复合集”A有且只有一个，且n=3． 其中正确的结论是______．（填上你认为所有正确的结论序号）
三、解答题（共6小题，满分75分） 16．已知数列{an}的前n项和是Sn，且2Sn+an=2（n∈N+）． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=log3（1﹣Sn+1）（n∈N+），求++…+． 17．某学校为了选拔学生参加“XX市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试（满分150分），若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩； （Ⅱ）若通过学校选拔测试的学生将代表学校参加市知识竞赛，知识竞赛分为初赛和复赛，初赛中每人最多有5次答题机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复
赛．假设参赛者甲答对每一个题的概率都是，求甲在初赛中答题个数的分布列和数学期望．
18．已知向量=（cosx+sinx，1），=（sinx，），函数f（x）=． （1）求函数f（x）的最小周期T及单调递增区间； （2）已知a，b，c分别△ABC内角A，B，C的对边a=2，c=4，且f（A）是函数f（x）
在[0，]上的最大值，求△ABC的面积S． 19．如图，已知边长为6的菱形ABCD，∠ABC=120°，AC与BD相交于O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD=3． （1）若M是BC的中点，求证：在三棱锥D﹣ABC中，直线OM与平面ABD平行； （2）求二面角A﹣BD﹣O的余弦值； （3）在三棱锥D﹣ABC中，设点N是BD上的一个动点，试确定N点的位置，使得CN=4． 20．设椭圆E： =1（a＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3，且过点
（﹣1，﹣）． （1）求E的方程； （2）设椭圆E的左顶点是A，直线l：x﹣my﹣t=0与椭圆E相交于不同的两点M，N（M，N均与A不重合），且以MN为直径的圆过点A，试判断直线l是否过定点，若过定点，求
出该定点的坐标．
21．已知函数f（x）=ex﹣． （1）若f（x）在[0，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围； （2）证明：当a≥1时，f（x）≤x+1； （3）对于在（0，1）中的任一个实数a，试探究是否存在x＞0，使得f（x）＞x+1成立？如果存在，请求出符合条件的一个x；如果不存在，请说明理由． 2017-2018学年四川省德阳市高考数学三诊试卷（理科）
参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．设集合A={x|x2+x﹣6＜0}，B={x|x＜0}，则A∩∁RB=（ ） A．{x|0≤x＜2} B．{x|﹣3＜x＜2} C．{x|﹣6＜x＜0} D．{x|x≥0} 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】先解出集合A，再求A∩∁RB即可． 【解答】解：∵集合A={x|x2+x﹣6＜0}={x|﹣3＜x＜2}， ∵B={x|x＜0}， ∴∁RB={x|x≥0}， ∴A∩∁RB={x|0≤x＜2} 故选A．
2．已知a，b∈R，且a﹣1+（b+2）i=0．i为虚数单位，则复数（a+bi）2在复平面内对应的
点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【解答】解：∵a，b∈R，且a﹣1+（b+2）i=0．
∴，解得a=1，b=﹣2． 则复数（a+bi）2=（1﹣2i）2=﹣3﹣4i在复平面内对应的点（﹣3，﹣4）位于第三象限． 故选：C．
3．△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则asinAsinB+bcos2A=a是
b=a的（ ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】利用正弦定理、同角三角函数基本关系式、简易逻辑的判定方法即可判断出关系． 【解答】解：△ABC中，asinAsinB+bcos2A=a⇔sinAsinAsinB+sinBcos2A=sinA⇔sinB=sinA⇔b=a． ∴asinAsinB+bcos2A=a是b=a的充要条件． 故选：B．
4．在（x﹣）5的展开式中x3的系数等于5，则该展开式中二项式系数最大的项的系数为
（ ） A．20 B．﹣10 C．﹣10，10 D．10 【考点】二项式定理的应用． 【分析】利用通项公式根据x3的系数等于﹣5a=5求得a的值，可得该展开式中二项式系数最大的项的系数．
【解答】解：在（x﹣）5的展开式中，通项公式为 Tr+1=•（﹣a）r•x5﹣2r，令5﹣2r=3，求得r=1， 可得x3的系数等于﹣5a=5，∴a=﹣1，
则该展开式中二项式系数最大的项的系数为=10， 故选：D．
5．已知P是圆（x﹣1）2+y2=1上异于坐标原点O的任意一点，直线OP的倾斜角为θ，若
|OP|=d，则函数d=f（θ）的大致图象是（ ）
A． B． C．
D． 【考点】圆的标准方程． 【分析】分两种情况考虑，当直线OP过第一象限与当直线OP过第四象限，画出函数图象，即可得到结果．
【解答】解：当直线OP过第一象限时，得到d=f（θ）=2cosθ（0≤θ＜），
当直线OP过第四象限时，得到d=f（π﹣θ）=2cos（π﹣θ）=﹣2cosθ（＜θ≤π）， 图象如图所示， 故选：D．
6．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ） A． B． C．20 D．40 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】几何体是四棱锥，根据三视图判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算． 【解答】解：由三视图知：
该几何体是四棱锥，如图： 其中SA⊥平面ABCD，SA=4，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB=AD=4，BC=1． ∴几何体的体积V=××（1+4）×4×4=． 故选：B
7．若函数f（x）=3﹣sinωx﹣cosωx（x∈R）的图象向右平移个单位后与原图象重
合，则正数ω的最小值为（ ） A． B． C． D． 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．