2017生物数学数学基础部分

线性代数 linear algebra Chapter 1 向量 vector §1基本概念 Def 1.1向量 既有大小又有方向的量叫做向量。通常用AB 或a，a表示

如2121),(xxaxxa或





nxxxa2

1 或 ),,,(21nxxxa

n为向量的维数，nxxx21,为向量的分量 零向量指的是所有分量都为0的向量。

Def 1.2 向量的加法

nxxxx21 nyyyy21 



nnyxyxyx

yx22

11

向量的数乘 nxxxx21 标量）scolarsRc( 





ncxcxcxcx2

1

推出：RdcRWVUn,,, 是标量 ⅰ) UVVU ⅱ) )(WVUWVU ⅲ) UU00 ⅳ) 0)(UUUU ⅴ) cVcUVUc)( ⅵ) dUcUUdc)( ⅶ) UcddUc)()( ⅷ) UU1

Def 1.3 向量的内积

nRYX,是两个n维向量，称

niiinnyxyxyxyxXY12211

为向量YX,的内积。 注：内积是指二个向量的内积，也称为点积或数量积，可以看出是一个标量实数，三个向量不定义内积。

Def 1.4向量的模（即长度） nnRxxxx21 , 则22221nxxxxxx

2221xxx

§2线性关系 Def 2.1线性组合（Linear combination） 假设221Rvvvn，，，，Rcccn，，，21，nnvcvcvcy2211为

nvvv,,21的线性组合，称y可以由nvvv21线性表示或线性表出 niRcvcvcvcvvvspaninnn1)(221121，其中

Def 2.2 线性相关与线性无关

x 2x 1

x m个n维向量Rvvvm，，，21，如果存在不全为零的实数mccc，，，21

使02211mmvcvcvc成立，则mvvv，，，21线性相关。

如果只能找到mccc，，，21全为零时，才可以使得 02211mmvcvcvc

成立，即000021mvvv成立，则mvvv，，，21线性无关。

推论：向量组pvvv，，，21线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合。

Def 2.3 向量空间 vector space 向量空间是一个非空的向量集合，对于加法和数乘封闭，下面这10条也成立： 1. The sum of U and Vdenoted by(表示为) VU 2. UVVU 3. ()UVWUVW 4. There is a zero vector O in V. such that0UU 5. For each U in V .there is a vector -U in V .such the ()0UU 6. The scalar multiple of Uby c denoted cU is in V 7. c()ccUVUV 8. (c+d)cdUUU 9. UcddUc)()( 10. 1UU Def 2.4 VVH的子空间，是向量空间中的一组向量pbb，，1是H的基，如果：

①是线性无关的向量集合； ②H是由向量生成的空间 Def 2.5向量组的秩

向量组的最大线性无关组决定向量空间，该最大线性无关组的向量的个数是该向量组的秩。 注：极大线性无关组不是唯一的，例如在2R中，任意两条不共线的向量21aa，均是2R的极大线性无关组。

Def2.6 （另一定义）向量组12,nvvv中，线性无关子组中所含向量的最大个数

)(nrr称r为向量组12,nvvv的秩。也就是说，有r个向量线性无关。但再将向量组中任一向量添加到这个线性无关子组中，得到的都是线性相关组。

Def2.7 （另二定义）向量组12,nvvv中，rvvv,,21线性无关，向量组中的单一

向量均可由rvvv,,21线性表达，则称rvvv,,21是向量组12,nvvv一个极大的线性相关值，r为12,nvvv向量组的秩。

Chapter 2 行列式 §1基本概念

看一个二元一次方程组22221211212111bxaxabxaxa 我们会得到这样的方程组212122121122211babaxaaaa 当021122211aaaa时211222112121221aaaababax；

211222111222112aaaababax

同理，得到

。

Def 1.1二阶行列式

211222112221

1211aaaaaaaaD称为二阶行列式。 5

222112112211112222112112221211;aaaababaxaaaaababx

如用jD表示D中的第j列换成方程右边的常数所得到的行列式，则得到 1212;xDDxDD

Def 1.2 n阶行列式 对应n元一次方程组（n元线性方程组）

nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211为n阶行列式，2n个数（实数或复数）

ijM表示将第i行和第j列划去后剩下的1n阶行列式，称为ija的余子式

列行jiaaaaaaaaaaaaaaaaMnnjnjnnnijijiinijijiinjjij1,1,1,11,11,11,1

,11,11,11,1

11,11,111

：ijM jiijA)1(

ijM为ija

的代数余子式

Def 1.3 n阶行列式的值 112121111111nnAaAaAaa

D 11n

n

称为D依第一列展开 Def 1.4 n行列式可以按某列或某行展开求值，上下三角行列式都等于对角线之积。 )1(1niAaDnjijij 某行展开

niijijnjAaD1)1( 某列展开

§2 行列式的性质与计算 1. 性质

ⅰ) 转置 行列互换 DDT

ⅱ) nnnniniinnnnniniinaaakakakaaaaaaaaaaaaak2121112112121

11211

某行或某列有公因子k可以提到行列式符号外 ⅲ) 行列式二行(列)交换，其值反号； iv) 若有二列（行）元素相同时，行列式为0 v) 若有二行（列）元素对应成比例，行列式值为0

vi) nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaaD21211121121211121121221111211 证：将D按第i行展开 

2122112211222111DDAcAcAcAbAbAbAcbAcbAcbDinniiinnii

innnii







ⅴii) 把行列式D的第j行（列）元素的k倍加到第i行（列）对应元素上，行列式的值不变。即

nnnnjnjjinjnijijnaaaaaaakaakaakaaaaD2121221111211

 2. 行列式的计算 想法：利用行列式的性质尽可能将某行或某列的元素化为0，也可化为上（下）三角形直接出结果。

§3 Crammer法则

n元一次方程







nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa



22112222212111212111

nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211

若方程组为系数行列式0D，则方程有唯一解 njDDxjj3.2.1,

Chapter 3 矩阵 matrix §1矩阵的概念及其性质 Def 1.1矩阵

mR中的向量组

naaa,,,21为列，可以得到矩阵

),,,(21naaaA mnRvvv，，，21

记为nmijaA)(是一个nm矩阵，m行，n列

1112112122221212jnjniiijinmmmjmn

aaaaaaaaAaaaaaaaa

