小升初六年级奥数几何知识专题
六年级数学下册小升初几何重点考查内容(常用结论总结一简单相似知识、勾股定理等等)
(★★☆)
图中四边形ABCD是边长为12厘米的正方形，从G到正
方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个三角形在AB
上截得的EF长度为4厘米，那么三角形GDC的面积是
多少？
(★★★☆)
在长方形ABCD中，S长ABCD＝36，E为AD边上三等分
点，AE＝2ED，求S阴。
(★★★☆)
如图所示，直角三角形PQR的直角边分别为5厘米和9
厘米。
问：图中3个正方形面积之和比4个三角形面积
之和大多少？
(★★★)
右图中的两个滑块A、B由一个连杆连接，分别可以在垂
直和水平的滑道上滑动。
开始时，滑块A距O点20厘米，
滑块B距O点15厘米。
问：当滑块A向下滑到O点时，
滑块B滑动了多少厘米？
(★★★★)
如图，两个长方形大小相同，长和宽分别为12和8，求
阴影部分的面积。
小升初几何重点考查内容
1。
小学奥数 六年级奥数 小升初几何重点考查内容—(立体几何表面积与体积常考题型
1小升初几何重点考查内容(★★)(2010年第8届走美6年级第9题)21个棱长为1厘米的小正方形组成一个立体如下图，它的表面积是______平方厘米。
(★★☆)(第四届希望杯2试试题)如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米，若将木块从容器中取出，水面将下降______厘米。
(★★★)一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米，现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后，现在水深多少厘米？(★★★☆)(2008年仁华考试题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径是20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是多少平方米？(★★★★)(2006年第十一届华杯赛决赛试题)如图，ABCD是矩形，BC＝6厘米，AB＝10厘米，对角线AC、BD相交于点O。
图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．图中的立体图形是由14个棱长为5CM的立方体组成的,求这个立体图形的表面积?A．1000B．950C．1050D．11002．在一只长为40厘米宽为25厘米水深为20厘米的玻璃鱼缸中放入一个棱长为10厘米的正方体铁块，水可上升到多少厘米?A．20B．1C．21D．193．一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深10厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米?A．15厘米B．14厘米C．12厘米D．12.4厘米4．厚度为1毫米的纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是6厘米，内直径是4厘米。
这卷纸的总长是多少米？A．15.7米B．1.57米C．157米D．0.157米5．如图，ABCD是矩形，6cmAB=，对角线AC、BD相交O。
小学六年级奥数 立体几何常用技巧_PDF压缩
厘米的正方体小洞，第三个正方体小洞的挖法和
前两个相同，棱长为
1 4
厘米，那么最后得到的
立体图形的表面积是多少平方厘米？
【加加点睛】 求表面积——三视图
【例3】（★★★）香港保良局小学数学世界邀请赛
如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的。其中有些 小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方 体的挖除部分。请问剩下的部分共有多少个小正方体？
立体几何常用技巧
加油站 1．直线型立体几何：
⑴长方体的表面积和体积的计算公式 表面积：S长方体 2(ab bc ca)； 体积：V长方体 abc。 正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例， 它的六个面都是正方形。如果它的棱长为a， 那么： S正方体 6a2，V正方体 a3。
V
r 2h、
V
1 3
r
2
பைடு நூலகம்h。
【例1】（★★）走美6年级试题
21个棱长为1厘米的小正方体组成一个立体如下图 ，它的表面积是______平方厘米。
1
【例2】(★★)
下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表
面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小
洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为
1 2
【加加点睛】
完全没过时：h水
=
V水
V铁块 S容器
；
部分没过时：h水
=
V水 S容器 S铁块
；
水溢出时：h水 =h容器
【例7】（★★★★） 如图若以长方形的一条宽AB为轴旋转一周后，甲乙 两部分所成的立体图形的体积比是多少？ A
B
【例8】（★★★★★）华杯赛决赛试题
小学六年级奥数几何初步认识知识点
小学六年级的数学中，几何初步认识是非常重要的一部分。
在几何学中，学生将学习各种形状、图形的属性和关系。
这方面的知识能够帮助他们理解空间和形状，并发展他们的空间思维能力。
以下是小学六年级奥数几何初步认识的一些重要知识点。
1.点、线和面：学生需要了解点、线和面的概念。
点是没有大小和形状的，线是由无限多个点组成的，面是由无限多个线段组成的，可以看作是没有厚度的平面。
2.二维和三维：学生需要区分二维和三维的概念。
二维是指平面上的图形，只有长度和宽度，而三维是指有高度的图形，具有长度、宽度和高度。
3.直线和曲线：学生需要能够辨别直线和曲线。
直线是由无限多个连续的点组成的，在两个点之间是最短的路径。
曲线则是有弯曲的，没有最短路径的。
4.线段和射线：学生需要理解线段和射线的概念。
线段是由两个端点及其之间的点组成的，有确定的长度。
射线则是由一个起点和其上的任意点组成的，没有终点，但有一个方向。
5.角：学生需要学习角的概念。
角是由两条射线共享一个起点形成的，起点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。
6.直角、锐角和钝角：学生需要学习直角、锐角和钝角的概念。
直角是90度的角，锐角是小于90度的角，钝角是大于90度小于180度的角。
7.平行和垂直：学生需要学会判断两条线段或者两条线是否平行或者垂直。
平行的线段在同一平面上，永远不会相交。
垂直的线段或线相交，并且形成90度的角。
8.三角形：学生需要学习三角形的属性和分类。
三角形是由三条线段组成的图形。
根据边的长度和角的大小，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
9.正方形、长方形和平行四边形：学生需要学习正方形、长方形和平行四边形的属性和特点。
正方形的四条边都相等，四个角都是直角。
长方形的相对边相等，四个角都是直角。
平行四边形的对边平行，相对边相等。
10.圆和圆心：学生需要学习圆和圆心的概念。
圆是平面上到一个固定点距离相等的所有点的集合。
这个固定点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径。
六年级奥数几何模型知识点
六年级奥数几何模型知识点六年级学生在数学学科中接触到了各种几何模型，这些模型不仅仅是用来展示形状和结构，更是一种思维工具，能够帮助学生理解几何概念和解决几何问题。
本文将介绍六年级奥数中的几个重要的几何模型知识点，帮助同学们更好地掌握几何学。
一、平面图形与立体图形的区别在学习几何模型之前，首先需要了解平面图形和立体图形的区别。
平面图形是指只有两个维度，只有长和宽，没有厚度。
常见的平面图形有圆形、矩形、三角形等。
而立体图形则有三个维度，除了长和宽，还有高度，具有厚度的特点。
常见的立体图形有立方体、圆柱体、球体等。
二、几何模型的拼装与构建几何模型是由各种基本图形拼装和构建而成的。
比如，通过将正方形和三角形拼接起来，可以构建出一个五边形。
同样地，通过将立方体、圆柱体和球体等不同的立体图形拼接，可以构建出更复杂的几何模型。
三、相似图形的特性与应用相似图形是指形状和结构相似但大小不同的图形。
在奥数中，相似图形的特性被广泛应用于几何问题的解决中。
具体来说，当两个图形相似时，它们的对应边的比例相等。
利用相似图形的特性，我们可以解决一些复杂的几何问题，比如求解图形的面积、周长等。
四、三角形的性质与运用三角形是几何学中研究最广泛的图形之一。
在六年级奥数中，同学们需要掌握三角形的基本性质，并能灵活运用于解决问题。
常见的三角形性质有等腰三角形、等边三角形和直角三角形。
利用这些性质，我们可以求解三角形的各个边长和角度，并解决与三角形相关的几何问题。
五、平行四边形的特征与应用平行四边形是含有两组平行边的四边形。
在奥数中，平行四边形的性质和应用也是重点之一。
其中，重要的性质包括对角线互相平分、对边相互平行、对边相等等。
通过掌握平行四边形的性质，我们可以求解其面积、周长，并在解决问题时灵活运用。
六、圆的性质与相关应用圆是几何学中的重要概念，它具有独特的性质和特点。
在六年级奥数中，同学们需要了解圆的直径、半径、弧长和面积等概念，并能运用它们解决与圆相关的几何问题。
六年级奥数几何专题
几何专题例1 从一个棱长为10厘米的正方体木块中挖去一个长10厘米、宽2 厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)例1图【拓展】一个圆柱体高是4厘米，底面半径是2厘米。
将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？拓展图例2 把11块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体，已知每块砖的体积是 ，则大长方体的表面积为多少？3288cm例3 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5 米、 1米和0.5米的 3个圆柱组成一个物体。
问这个物体的表面积是多少平方米？例3图例4 现有一个棱长为1厘米的正方体，一个长宽为1厘米，高为2厘米的长方体，三个长宽为1厘米高为3厘米的长方体。
下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。
试利用下面三个图形把合并成的立体图形的样子画出来，并求出其表面积。
【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？巩固图1110.511.5侧面所看到的图形前面所看到的图形上面所看到的图形例5如图所示，一个 的立方体，在一个方向上开有 的孔，在另一个方向上开有 的孔，在第三个方向上开有 的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？例5图例6 如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米。
若将木块从容器中取出，水面将下降________厘米。
【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米。
现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后。
现在水深多少厘米？例7 （第五届走进美妙数学花园六年级初赛试题）如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体。
这三个长方体的表面积比是 时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比：_______：_______：_______例8 已知直角三角形的三条边长分别为3，4，5，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？555⨯⨯115⨯⨯215⨯⨯315⨯⨯3:4:5【巩固】 如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 ，以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 ，那么如果以AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？例9 有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小正方体。
六年级奥数讲义必备专题第4讲.几何-平面部分.学生版
一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =aS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△1． 熟练掌握五大面积模型2. 掌握五大面积模型的各种变形第四讲几何—平面部分教学目标知识点拨EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO ba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、燕尾定理在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？E_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ D_H_G_ F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_ G_H例题22例题精讲例题11【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．BA【巩固】(2008年清华附中考题)如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．B例题33BGFE DC BAEDCBA例题66例题55例题44【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAEDCBA例题88例题77HGAB CD EF例题1111例题1010例题99DFEABDCFED CBA【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?例题1313例题1212ABEDCBAAB CDO【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AG GC=？B例题1515例题1414OGF EDCBAABCD EF GBA【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．例题1717例题1616ABCDEFB【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．B【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．B例题1919例题1818?852O A BCDEFBBE例题2222例题2121例题2020EGF A D CB【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD D F FM M P PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．Q E GNMF PA D CB例题2323GFAEDCBMHGF E DCBACA例题2626例题2525例题2424O F EDCBA【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBAI HGFEDC BA【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．例题2727IH G FEDCBA【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，ABC ∆中2BD D A =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．B【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBAGFE D CBA【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？例题2828K J IHABC D E F GN M GA BCD E FGCBA例题3131例题3030例题2929GCBAFED CBAH GFED CB A练习33练习22练习11家庭作业H GFEDC BADCEBAED练习66练习55练习44FABCDE MNIH G FEDCBA练习77备选22备选11月测备选OE DCBAA BCDEF备选55备选44备选33GF EDCBAIHG FEDCBA备选66。
小升初奥数几何五大模型经典例题
【奥数】小升初几何五大模型经典例题二、五大模型经典例题详解（1）等积变换模型例1、图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？例2、如图所示，Q、E、P、M分别为直角梯形ABCD两边AB、CD上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=3，求阴影部分三角形PQM的面积。
（2）鸟头（共角）定理模型例1、如图所示，平行四边形ABCD，BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD，平行四边形ABCD的面积为2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。
例2、如图所示，△ABC的面积为1，BC=5BD、AC=4EC、DG=GS=SE、AF=FG，求△FGS的面积。
（3）蝴蝶模型例1、如图，正六边形面积为1，那么阴影部分面积为多少？例2、如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。
例3、如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中点，G 为BF的中点，求三角形BDG的面积。
例1、如图，正方形的面积为1，E、F分别为AB、BD的中点，GC=1/3FC,求阴影部分的面积。
例2、如图，长方形ABCD，E为AD的中点，AF与BD、BE分别交于G和H，OE垂直于AD，交AD于E点，交AF于O点，已知AH=5,HF=3,求AG的长。
例1、如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF的面积。
例2、如图，在△ABC中，BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC，那么△ABC的面积是阴影△GHI 面积的几倍？例3、如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E、F是BC的三等分点，若△ABC的面积是1，求四边形CDMF的面积。
苏教版六年级下小升初典型奥数之相遇问题
苏教版六年级下小升初典型奥数之相遇问题在小学奥数中，相遇问题是一个常见且重要的知识点，对于六年级即将面临小升初的同学们来说，掌握好相遇问题不仅能够提高数学解题能力，还能为初中数学的学习打下坚实的基础。
相遇问题，简单来说，就是研究两个或多个物体相向运动时，它们之间的时间、速度和路程之间的关系。
我们先来了解一下相遇问题的基本公式：路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝路程÷速度和速度和＝路程÷相遇时间接下来，我们通过一些具体的例子来深入理解相遇问题。
例 1：甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。
甲的速度是每小时5 千米，乙的速度是每小时4 千米，经过3 小时两人相遇。
A、B 两地相距多远？这是一个典型的相遇问题。
我们已知甲、乙的速度以及相遇时间，要求 A、B 两地的距离。
根据公式“路程＝速度和×相遇时间”，甲、乙的速度和为 5 ＋ 4 ＝ 9 千米/小时，相遇时间是 3 小时，所以 A、B 两地的距离为 9×3 ＝ 27 千米。
例 2：A、B 两地相距 36 千米，甲、乙两人同时从 A、B 两地出发，相向而行。
甲每小时行 6 千米，乙每小时行 4 千米，几小时后两人相遇？在这个问题中，我们已知 A、B 两地的距离以及甲、乙的速度，要求相遇时间。
根据公式“相遇时间＝路程÷速度和”，甲、乙的速度和为 6 ＋ 4 ＝ 10 千米/小时，路程是 36 千米，所以相遇时间为 36÷10 ＝36 小时。
例 3：甲、乙两人同时从相距 20 千米的两地相向而行，甲每小时行3 千米，乙每小时行 2 千米。
几小时后两人相距 5 千米？这个问题稍微有点复杂，我们需要分两种情况来考虑。
第一种情况，两人还没有相遇，相距 5 千米。
此时两人一共走的路程是 20 5 ＝ 15 千米，速度和是 3 ＋ 2 ＝ 5 千米/小时，所以相遇时间为 15÷5 ＝ 3 小时。
六年级奥数讲义必备专题第5讲.几何-立体部分.学生版
一、长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．c b aHGFED CBA①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．第五讲几何—立体部分教学目标知识点拨二、圆柱与圆锥立体图形表面积体积圆柱hr222π2πS rh r =+=+圆柱侧面积个底面积2πV r h =圆柱圆锥h r22ππ360nS l r =+=+圆锥侧面积底面积 注：l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 21π3V r h =圆锥体模块一：利用抽屉原理公式解题【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下例题22例题精讲例题11如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l 厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）的立体图形的表面积是多少？【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为256cm 的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是 2cm ．例题44例题33下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？25块积木【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？例题77例题66例题55如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？⑴当b=2h时，如何打包？⑵当b<2h时，如何打包？⑶当b>2h时，如何打包？如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?例题99例题88(2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．例题1313例题1212例题1111例题1010有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积．棱长是m 厘米（m 为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m 的最小值是多少?有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个444⨯⨯的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？A例题1717例题1616例题1515例题1414把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？【巩固】这个图形，是否能够由112⨯⨯的长方体搭构而成？【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?33223323322323111111【巩固】（2008年香港保良局第12届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的．其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小正方体？第8题例题1818(05年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个555⨯⨯的立方体，在一个方向上开有115⨯⨯的孔，在另一个方向上开有215⨯⨯的孔，在第三个方向上开有315⨯⨯的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【巩固】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态．右图中剩下的小正方体有多少个？⑷⑶⑵⑴ ⑾⑽⑼⑻⑺⑹⑸例题2020例题1919（2009年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的 倍．图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同．请问：图⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍？1110.511.5、例题2323例题2222例题2121如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？(第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)16.56m【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14=)10cm例题2626例题2525例题2424如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14=)把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？(π 3.14=)8(单位：厘米)4106【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？26【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．7cm4cm5cm例题2727(2008年”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)甲乙20cm 8cm100cm例题3131例题3030例题2929例题2828一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的13，乙容器中水的高度是锥高的23，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？(2008年仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是平方米．【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？CB A43【巩固】如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？ABC例题3333例题3232如图，ABC 是直角三角形，AB 、AC 的长分别是3和4．将ABC ∆绕AC 旋转一周，求ABC ∆扫出的立体图形的体积．(π 3.14=)已知直角三角形的三条边长分别为3cm ，4cm ，5cm ，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(π取3.14)O FABCDEOFABCDE【巩固】(2006年第十一届华杯赛决赛试题)如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD相交O ．图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？DCB A O例题3535例题3434如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O ．E 、F 分别是AD 与BC 的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)(人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求253015练习22练习11家庭作业（《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm．酒瓶的容积是多少？(π取3)第2题练习55练习44练习31如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大22008cm ，则这个圆柱体木棒的侧面积是________2cm ．(π取3.14) 如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？5cm11cm备选33备选22备选11月测备选如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(π3)如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？4cm12r r12h h备选11备选44一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？(2009年”希望杯”一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水 升．。
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小升初六年级奥数几何知识专题
第一讲：几何综合之圆与扇形解析
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第三讲：几何综合之立体涂色解析
第四讲：几何综合之几何之比解析
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第五讲：几何综合之差不变原理解析
第六讲：几何综合之差不变原理解析
第七讲：几何综合之等积变化解析
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第八讲：几何综合之等积变化解析
第九讲：几何综合之等积变化解析
第十讲：几何综合之图形综合训练题
第十一讲：几何综合之等积变化练习
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几何综合之图形综合训练题（六年级奥数）
1.明和爷爷分别沿小圆(A→B→C→D→E→A)和大圆两条路线散步．(如图)如果速度相同，两
人同时出发，谁先回到出发地点？为什么？
4用胶带捆住两根直径1分米的毛竹，捆一周（接头不计）胶带至少要多少分米？
5、ABC是等腰直角三角形. D是半圆周的中点, BC是半圆的直径,已知:AB=BC=10cm,那么阴
影部分的面积是多少?(圆周率14.3)
o
A
B
C
D
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6、计算图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
7．上右图是一个矩形，长为10厘米，宽为5厘米，则阴影部分面积为______平方厘米．
8．图中，每个小正方形的面积均为1个面积单位，共9个面积单位，则图中阴影部分面积
为多少个面积单位？
9．图中△AOB的面积为152cm，线段OB的长度为OD的3倍，则梯形ABCD的面积为______．
10．在下左图中ABCD是梯形，AECD是平行四边形，则阴影部分的面积是______平方厘米（图
中单位：厘米）．
图形的计数。
例1、数出下列各图中长方形的个数分别是多少？
A
B
CDABCD
图
1
图
2
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例2 下图中共有多少个正方形？
例3下图中有多少个角？
练习
1、有（ ）个角。
2、下图中共有多少个正方形？
3．如图，O为△A1A6A12的边A1A12上的一点，分别连结OA2，OA3，…，OA11，图中共有
______个三角形．
4、数一数
（1）、下图中一共有多少个长方形。
E
F D A B C O
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5、将ABC的每一边4等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个三角形？
6. 图中，圆的面积与长方形的面积相等。长方形的长是12厘米，圆的半径是（ ）厘
米。
7． 三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米.
AB
长40厘米, BC长 厘米.
8．图中三个圆的半径都是5厘米，三个圆两两相交于圆心，求阴影部分面积。
A
B
C
1
2