【聚焦中考】2017版中考数学(甘肃地区) 复习资料考点跟踪突破22 锐角三角函数和解直角三角形
【聚焦中考】2017版中考数学(甘肃地区) 复习资料中考模拟测试卷
中考模拟测试卷(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(2016·江西)下列四个数中，最大的一个数是( A )A ．2B .3C ．0D ．－22．(2016·哈尔滨)下列运算正确的是( C )A ．a 2²a 3＝a 6B ．(a 2)3＝a 5C ．(－2a 2b)3＝－8a 6b 3D ．(2a ＋1)2＝4a 2＋2a ＋13．(2016·威海)若x 2－3y －5＝0，则6y －2x 2－6的值为( D )A ．4B ．－4C ．16D ．－164．(2016·绍兴)据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338600000亿次，数字338600000用科学记数法可简洁表示为( A )A ．3.386³108B ．0.3386³109C ．33.86³107D ．3.386³1095．(2016·宜昌)将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是( A )6．(2016·乐山)如图，C ，D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点，若CA ＝CD ，且∠ACD ＝40°，则∠CAB ＝( B )A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°,第6题图) ,第7题图)7．(2016·包头)如图，点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等．若∠BOC ＝120°，则tan A 的值为( A )A .3B .33C .32D .228．(2016·临沂)某校九年级共有1，2，3，4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是( B )A .18B .16C .38D .129．(2016·贵港)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE.下列结论：①∠ACD ＝30°；②S ▱ABCD ＝AC·BC ；③OE ∶AC ＝3∶6；④S △OCF ＝2S △OEF .成立的个数有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个,第9题图) ,第10题图)10．(2016·鄂州)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴正半轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x ＝2，且OA ＝OC ，则下列结论：①abc ＞0；②9a＋3b ＋c ＜0；③c ＞－1；④关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一个根为－1a.其中正确的结论个数有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(每小题4分，共32分)11．计算：8－2＝．12．(2016·巴中)把多项式16m 3－mn 2分解因式的结果是__m(4m ＋n)(4m －n)__．13．(2016·苏州)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>1，2x －1≤8－x 的最大整数解是__3__． 14．(2016·龙岩)将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2＝__110°__．,第14题图) ,第15题图)15．(2016·枣庄)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B ＝．16．(2016·齐齐哈尔)有一面积为53的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为．17．(2015·鄂州)已知点P 是半径为1的⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且PA ＝1，AB是⊙O 的弦，AB ＝2，连接PB ，则PB ＝．18．(2016·宁波)如图，点A 为函数y ＝9x (x ＞0)图象上一点，连接OA ，交函数y ＝1x(x ＞0)的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，则△ABC 的面积为__6__．三、解答题(共5小题，满分38分)19．(6分)(2016·随州)先化简，再求值：(3x ＋1－x ＋1)÷x 2＋4x ＋4x ＋1，其中x ＝2－2. 解：原式＝[3x ＋1－（x ＋1）（x －1）x ＋1] ·x ＋1（x ＋2）2＝－（x ＋2）（x －2）x ＋1²x ＋1（x ＋2）2＝2－x x ＋2，当x ＝2－2时，原式＝2－2＋22－2＋2＝4－22＝22－1 20．(6分)(2015·黑龙江)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(4，－4)，C(1，－1)．(1)画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，直接写出点A 1的坐标__(－2，4)__；(2)画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2；(3)在(2)的条件下，求线段BC 扫过的面积(结果保留π)．解：(1)如图所示，A 1坐标为(－2，－4)，故答案为：(－2，－4)(2)如图所示(3)∵OC ＝2，OB ＝42，∴△ABC 旋转时BC 线段扫过的面积S 扇形BOB 2－S 扇形COC 2＝90°πOB 2360°－90°πOC 2360°＝90°π（32－2）360°＝15π2 21．(8分)(2015·咸宁)已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0.(1)证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；(2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．解：(1)Δ＝(m ＋2)2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2，∵不论m 为何值时，(m －2)2≥0，∴Δ≥0，∴方程总有实数根 (2)解方程得，x ＝m ＋2±（m －2）2m ，x 1＝2m，x 2＝1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m ＝1或2，m ＝2不合题意，∴m ＝122．(8分)(2015·湘西州)测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC 的屋顶有一根旗杆AB ，从地面上D 点处观测旗杆顶点A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 点的仰角为45°.(可用的参考数据：sin 50°≈0.8，tan 50°≈1.2)(1)若已知CD ＝20米，求建筑物BC 的高度；(2)若已知旗杆的高度AB ＝5米，求建筑物BC 的高度．解：(1)∵∠BDC ＝45°，∴DC ＝BC ＝20m ，答：建筑物BC 的高度为20m(2)设DC ＝BC ＝x m ，根据题意可得：tan 50°＝AC DC ＝5＋x x≈1.2，解得x ＝25，答：建筑物BC 的高度为25m23．(10分)(2016·丹东)某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？(3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？最大产量是多少？解：(1)设函数的表达式为y ＝kx ＋b ，该一次函数过点(12，74)，(28，66)，得⎩⎪⎨⎪⎧12k ＋b ＝74，28k ＋b ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.5，b ＝80，∴该函数的表达式为y ＝－0.5x ＋80 (2)根据题意得(－0.5x ＋80)(80＋x)＝6750，解得x 1＝10，x 2＝70，∵投入成本最低．∴x 2＝70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克(3)根据题意得w ＝(－0.5x ＋80)(80＋x)＝－0.5x 2＋40x ＋6400＝－0.5(x －40)2＋7200，∵a ＝－0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值，∴当x ＝40时，w 最大值为7200千克．∴当增种果树40棵时，果园的总产量最大，最大产量是7200千克四、解答题(共5小题，满分50分)24．(8分)(2016·陕西)如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF ，CE.求证：AF ∥CE.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴∠1＝∠2，∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ，即DF ＝BE ，在△ADF 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CB ，∠1＝∠2，DF ＝BE ，∴△ADF ≌△CBE(SAS )，∴∠AFD ＝∠CEB ，∴AF ∥CE25．(10分)(2016·益阳)在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：(1)频数分布表中a ＝__0.3__，b ＝__4__，并将统计图补充完整；(2)如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？(3)已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？解：(1)a ＝1－0.15－0.35－0.20＝0.3；∵总人数为3÷0.15＝20(人)，∴b ＝20³0.20＝4(人)；故答案为：0.3，4；补全统计图得：(2)估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有180³(0.35＋0.20)＝99(人)(3)画树状图得：∵共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有3种情况，∴所选两人正好都是甲班学生的概率是312＝1426．(10分)(2016·安徽)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象分别与反比例函数y ＝a x的图象在第一象限交于点A(4，3)，与y 轴的负半轴交于点B ，且OA ＝OB.(1)求函数y ＝kx ＋b 和y ＝a x的表达式； (2)已知点C(0，5)，试在该一次函数图象上确定一点M ，使得MB ＝MC ，求此时点M 的坐标．解：(1)把点A(4，3)代入函数y ＝a x 得：a ＝3³4＝12，∴反比例函数y ＝12x，OA ＝32＋42＝5，∵OA ＝OB ，∴OB ＝5，∴点B 的坐标为(0，－5)，把B(0，－5)，A(4，3)代入y ＝kx＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－5，∴一次函数y ＝2x －5 (2)∵点M 在一次函数y ＝2x －5上，∴设点M 的坐标为(x ，2x －5)，∵MB ＝MC ，∴x 2＋（2x －5＋5）2＝x 2＋（2x －5－5）2解得x ＝2.5，∴点M 的坐标为(2.5，0)27．(10分)(2016·枣庄)如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点P 是⊙O 外一点，连接PB ，AB ，∠PBA ＝∠C.(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)连接OP ，若OP ∥BC ，且OP ＝8，⊙O 的半径为22，求BC 的长．(1)证明：连接OB ，如图所示：∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∴∠C ＋∠BAC ＝90°，∵OA ＝OB ，∴∠BAC ＝∠OBA ，∵∠PBA ＝∠C ，∴∠PBA ＋∠OBA ＝90°，即PB ⊥OB ，∴PB 是⊙O 的切线(2)解：∵⊙O 的半径为22，∴OB ＝22，AC ＝42，∵OP ∥BC ，∴∠C ＝∠BOP ，又∵∠ABC ＝∠PBO ＝90°，∴△ABC ∽△PBO ，∴BC OB ＝AC OP ，即BC 22＝428，∴BC ＝2 28．(12分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3，与x 轴交于A(－3，0)，B(1，0)，与y 轴交于点C.(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)在平面直角坐标系中，是否存在点D ，使以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)在抛物线的对称轴l 上存在点Q ，使△ACQ 为直角三角形，请求出点Q 的坐标．解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a ＋b ＋3，0＝9a －3b ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，顶点坐标为(－1，4)(2)存在点D 使以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，满足条件的D 点坐标为D 1(－4，3)，D 2(4，3)，D 3(－2，－3) (3)抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与y 轴的交点C 的坐标为(0，3)，设点Q 的坐标为(－1，m)，①若∠QAC ＝90°，如图1，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为E ，则E(－1，0)，则AE ＝2，EQ ＝－m ，由△AEQ ∽△COA ，得EQ AO ＝AE OC ，∴－m 3＝23，∴m ＝－2，∴点Q 的坐标为(－1，－2)②若∠QCA ＝90°，如图2，作QF ⊥y 轴于点F ，则QF ＝1，FC ＝m －3，由△QFC ∽△COA ，得FQ CO ＝CF OA ，∴13＝m －33，∴m ＝4，∴点Q 的坐标为(－1，4)③若∠CQA ＝90°，如图3，设AC 的中点为Q 1，则Q 1的坐标为(－32，32)，作Q 1G ⊥l 于点G ，则QG ＝|m －32|，Q 1G ＝12，由勾股定理得，Q 1Q 2＝QG 2＋Q 1G 2＝14＋m 2－3m ＋94＝m 2－3m ＋52，∵Q 1Q ＝12AC ＝322，∴m 2－3m ＋52＝92，解得，m ＝3±172，∴点Q 的坐标为(－1，3＋172)，(－1，3－172); 综上所述，使△ACQ 为直角三角形，点Q 的坐标为(－1，－2)，(－1，4)，(－1，3＋172)或(－1，3－172)。
锐角三角函数(公式、定理、结论图表) --中考数学知识必备
锐角三角函数（公式、定理、结论图表）--中考数学知识必备考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 所对的边BC 记为a，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA，即cos A bA c∠==的邻边斜边；BCa c锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA a AA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．典例1：（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为．．【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：＝+1，令＝x，则有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），当x＝时，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sin A＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．典例2：（2022•天津）tan45°的值等于（）A．2B．1C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：tan45°的值等于1，故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.典例3：（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理构建方程求解．【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠CBE，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵OC⊥DC，CD⊥DB，∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，∴四边形CDEJ是矩形，∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，∴OC⊥AE，∴AJ＝EJ，∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，∴DE＝3，CD＝4，∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.典例4：（2022•黑龙江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（）米A．600﹣250B．600﹣250C．350+350D．500【分析】设EF＝5x米，根据坡度的概念用x表示出BF，根据勾股定理求出x，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度为5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，则EF＝500米，BF＝1200米，由题意可知，四边形DCFE为矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，则DE＝＝AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，解得：AD＝600﹣750，∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高典例5：（2022•湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C 点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为16m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB ＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，进而可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，∴BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，∴AB＝16m．故答案为：16．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键典例6：（2022•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）（1）求点D与点A的距离；（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．【解答】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△ADC中，∴（米），答：点D与点A的距离为300米．（2）过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是东西走向，∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，在Rt△ADE中，∴（米），在Rt△BDE中，∴（米），∴（米），答：隧道AB的长为米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，(1)三边之间的关系：222a b c +=；(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B＝90°；(3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，1tan tan a A b B==．(4)如图，若直角三角形ABC 中，CD⊥AB 于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a 2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b 2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h 2＝pq；由△ACD∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab＝ch．(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则①CD＝AD＝BD＝12AB；②点D 是Rt△ABC 的外心，外接圆半径R＝12AB．(6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c ab r a b c +-==++．直角三角形的面积：①如图所示，111sin 222ABC S ab ch ac B === △．（h 为斜边上的高）②如图所示，1()2ABCS r a b c=++△．典例7：（2022•黄石）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π≈＝3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（）A．12sin15°B．12cos15°C．12sin30°D．12cos30°【分析】利用圆内接正十二边形的性质求出A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题．【解答】解：在正十二边形中，∠A6OM＝360°÷24＝15°，∴A6M＝sin15°×OA6＝R×sin15°，∵OA6＝OA7，OM⊥A6A7，∴A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，∴π≈＝12sin15°，故选：A．【点评】本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算出正十二边形的周长是解题的关键．。
中考复习： 锐角三角函数
中考复习：锐角三角函数知识梳理一、锐角三角函数（正弦、余弦、正切）1、定义：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sinc ）， 记作sin A ，即sin A aA c∠==的对边斜边。
把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine ），记作cos A ，即；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tan A ，即。
锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数（trigonometric function of acute angle ）。
当锐角A 的大小确定时，∠A 的对边与斜边的比（正弦）、∠A 的邻边与斜边的比（余弦）、∠A 的对边与邻边的比（正切）分别是确定的。
2、增减性：在0°到90°之间，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦随着角度的增大而减小。
3、取值范围：当∠A 为锐角时，三角函数的取值范围是：0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0。
4、互余两角的函数关系：如果两角互余，则其中一有的正弦等于另一角的余弦，即：若α是一个锐角，则sin α=cos （90°-α），cos α=sin （90°-α）。
5、正、余弦的平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。
二、300、450、600的正弦值、余弦值和正切值如下表：三、解直角三角形bcos c A A ∠==的邻边斜边atan bA A A ∠=∠的对边＝的邻边C ∠A 的邻边b∠A 的对边a在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。
1、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c （以下字母同），则解直角三角形的主要依据是：（1）边角之间的关系： sinA ＝cosB ＝a c ， cosA ＝sinB ＝bc，tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝b a。
【专题复习】2017版《聚焦中考》中考数学(甘肃地区) 课件专题三 开放探究型问题
△BEH≌△CFH， 你添加的条件是________， 并 证明； (2)在问题(1)中，当 BH 与 EH 满足什么关系时，四边形 BFCE 是 矩形，请说明理由．
单击此处编辑母版标题样式 (1)解： 添加： EH＝FH， 证明： ∵点 H 是 BC 的中点， ∴BH＝CH，
BH＝CH， • 单击此处编辑母版文本样式 在△BEH 和△CFH 中，∠BHE＝∠CHF，∴△BEH≌△CFH(SAS) • 第二级 EH＝FH， • 第三级
单击此处编辑母版标题样式 (2)过点 C 作 CM⊥x 轴于点 M，同上可证得△BCM≌△ABO，∴
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第三级
• 第四级 • 第五级 7k＋b＝3，
CM＝OB＝3，BM＝OA＝4，∴OM＝7，∴C(7，3)，设直线 BC 的解 析式为 y＝kx＋b(k≠0，k，b 为常数)，代入 B(3，0)，C(7，3)得， • 第二级 3 k＝4， 3 9 解得 ∴y＝4x－4 9 3k＋b＝0， b＝－4， (3)存在．点 P 与点 B 重合时，P1(3，0)，点 P 与点 B 关于点 C 对 称时，P2(11，6)
• 第五级
• 第三级
单击此处编辑母版标题样式
解：AE 与 CF 的关系是平行且相等，理由：∵在▱ABCD 中，∴ OA ＝ OC ， AF ∥ EC，∴∠ OAF ＝∠OCE，在△OAF 和△OCE 中， • 单击此处编辑母版文本样式 ∠OAF ＝∠OCE， • 第三级 • 第四级 OA＝OC，• 第五级 ∴ △ OAF ≌ △ OCE(ASA) ， ∴ AF ＝ CE ， 又 ∠EOC＝∠FOA， ∵AF∥CE，∴四边形 AECF 是平行四边形，∴AE∥CF 且 AE＝CF， 即 AE 与 CF 的关系是平行且相等
【聚焦中考】2017版中考数学(甘肃地区) 复习资料第10讲 函数与及其图象
• 第三级
• 第四级 • 第五级
分析判断函数的图象
【例 2】 (2015· 十堰)如图， 一只蚂蚁从 O 点出发， 沿着扇形 OAB
的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为 t 时，蚂蚁与 O 点的距离
s，则 s 关于 t 的函数图象大致是( B ) •为 第二级
A 【点评】
单击此处编辑母版标题样式 5．(2016· 甘肃)如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠A＝90° ，BC
＝4，点 P 是△ABC 边上一动点，沿 B→A→C 的路径移动，过点 P 作 • 单击此处编辑母版文本样式 •⊥ 第二级 PD BC 于点 D，设 BD＝x，△BDP 的面积为 y，则下列能大致反映
单击此处编辑母版标题样式 试题 周末， 小明骑自行车从家里出发到野外郊游． 从家出发 0.5
小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家 1 小时 20 分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程 • 单击此处编辑母版文本样式 y(km)与小明离家时间 x(h)的函数图象． 已知妈妈驾车的速度是小明骑 • 第三级 车速度的• 3第四级 倍．
•段 单击此处编辑母版文本样式 BO，OA 匀速运动到点 A，则 OP 的长度 y 与运动时间 t 之间的函
• 第二级
• 第三级 ( D ) 数图象大致是
• 第四级 • 第五级
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第三级
4．(2014· 兰州)如图，在平面直角坐标系中，四边形 OBCD 是边
• 第二级 横坐标为 x，点 C 的纵坐标为 y，能表达 y 与 x 的函数关系的图象大 • 第三级
致是(
• 第四级 A )• 第五级
中考锐角三角函数复习教案
锐角三角函数复习教案一、【教材分析】二、【教学流程】运用第2题图3．式子2cos30°－tan45°－〔1－tan60°〕2的值是 ( )A．2 3－2B．0C．2 3D．24.在△ABC中，假设|cos A-12|＋(1－tan B)2＝0，那么∠C的度数是( )A．45°B．60°C．75°D．105°【组内交流】学生根据问题解决的思路和解题中所呈现的问题进行组内交流，归纳出方法、规律、技巧.【成果展示】教师要有意识引导学生体会锐角三角函数在题目解决中所表达的解题规律.给学生充足的时间思考分析通过学生思考梳理锐角三角函数的知识运用.一生展示，其它小组补充完善，展示问题解决的方法，注重一题多解及解题过程中的共性问题，教师注意总结问题的深度和广度.直击1.(威海中考)如图，在以下网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，那么∠AOB的正弦值是( )3101110A B C D102310．．．．第1题图2.(重庆中考)计算6tan 45°-2cos 60°的结果是( )A. B.4 C. D.5教师展示问题，学生有针对性独立思考解答，3435三、【板书设计】锐角三角函数复习作 业必做题1.(重庆中考)如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，假设BC =14，AD =12，tan ∠BAD =求sin C 的值．1题图 2.(苏州中考)如图,在△ABC ,AB =AC =5,BC =8.假设∠BPC = ∠BAC ,那么tan ∠BPC = .选做题 2题图 3.的值，求为锐角，若αααααcos sin 34cos sin -=+第一,二题学生课下独立完成，延续课堂.第三题课下交流讨论有选择性完成.以生为本，正视学生学习能力、认知水平等个体差异，让不同的学生都能学有所得，学有所成，体验学习带来的成功与快乐.34，12锐角三角函数1、锐角三角函数的定义⑴、正弦⑵、余弦⑶、正切2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值3、各锐角三角函数间的函数关系式⑴、互余关系；⑵、平方关系；⑶、相除关系四、【教后反思】。
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 第六节 锐角三角函数与解直角三角形的实际应用
模型三：拥抱型
【模型突破】如图①，BF＋FC＋CE＝BE；如图②，BC＋CE＝BE；如图③， AB＝GE，AG＝BE，BC＋CE＝AG，DG＋AB＝DE.
7．(2015·昆明第 20 题 6 分)如图，两幢建筑物 AB 和 CD，AB⊥BD，CD ⊥BD，AB＝15 m，CD＝20 m，AB 和 CD 之间有一景观池，小南在 A 点测得 池中喷泉处 E 点的俯角为 42°，在点 C 测得 E 点的俯角为 45°(点 B，E， D 在同一直线上)，求两幢建筑物之间的距离 BD.(结果精确到 0.1 m，参 考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)
主义教育基地后，先从基地门口 A 处向正南方向走 300 米到达革命纪念 碑 B 处，再从 B 处向正东方向走到党史纪念馆 C 处，然后从 C 处向北偏 西 37°方向走 200 米到达人民英雄雕塑 D 处，最后从 D 处回到 A 处．已 知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东 65°方向，求革命纪念碑与党史纪 念馆之间的距离(cos 37° ≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65° ≈2.14)
模型二：子母型
【模型突破】BC 为公共边，如图①，AD＋DC＝AC； 如图②，DC－BC＝DB.
【模型演变】
【模型突破】如图③，DF＝EC，DE＝FC，BF＋DE＝BC， AE＋DF＝AC；如图④，AF＝CE，AC＝FE，BC＋AF＝BE.
6．(2016·昆明第 20 题 8 分)如图，大楼 AB 右侧有 一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 DE，在小楼 的顶端 D 处测得障碍物边缘点 C 的俯角为 30°，测 得大楼顶端 A 的仰角为 45°(点 B，C，E 在同一水平 直线上)，已知 AB＝80 m，DE＝10 m，求障碍物 B，C 两点间的距离．(结果精确到 0.1 m．参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
中考数学考点：锐角三角函数公式
中考数学考点：锐角三角函数公式关于初中生来说中考就是一个重要的转机点，那么怎样才干在中考这场战役中取得成功呢？别担忧，看了中考数学考点：锐角三角函数公式以后你会有很大的收获：中考数学考点：锐角三角函数公式两角和与差的三角函数：sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB ?cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)三角和的三角函数：sin(++)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos(++)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincostan(++)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-ta ntan)辅佐角公式：Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)cos(-t)，tant=A/B 倍角公式：sin(2)=2sincos=2/(tan+cot)cos(2)=cos^2()-sin^2()=2cos^2()-1=1-2sin^2() tan(2)=2tan/[1-tan^2()]三倍角公式：sin(3)=3sin-4sin^3()cos(3)=4cos^3()-3cos。
【聚焦中考】2017版中考数学(甘肃地区) 复习资料第一章 数与式自我测试
第一章 数与式自我测试一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2016·烟台)下列实数中，有理数是(D )A .8B .34C .π2D ．0.101001001 2．(2016·北京)实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(D )A ．a ＞－2B ．a ＜－3C ．a ＞－bD ．a ＜－b3．(2016·昆明)下列运算正确的是(D )A ．(a －3)2＝a 2－9B ．a 2·a 4＝a 8C .9＝±3D .3－8＝－24．(2016·泰州)实数a ，b 满足a ＋1＋4a 2＋4ab ＋b 2＝0，则b a 的值为(B )A ．2B .12C ．－2D ．－125．(2016·包头)化简(1a ＋1b )÷(1a 2－1b 2)·ab ，其结果是(B ) A .a 2b 2a －b B .a 2b 2b －a C .1a －b D .1b －a二、填空题(每小题5分，共25分)6．(2016·荆门)分解因式：(m ＋1)(m －9)＋8m ＝__(m ＋3)(m －3)__．7．(2016·淄博)若x ＝3－2，则代数式x 2－6x ＋9的值为__2__．8．(2016·凉山州)若实数x 满足x 2－22x －1＝0，则x 2＋1x 2＝__10__. 9．(2016·临夏州)如果单项式2x m ＋2n y n －2m ＋2与x 5y 7是同类项，那么n m 的值是__13__． 10．(2016·贵港)已知a 1＝t 1＋t ，a 2＝11－a 1，a 3＝11－a 2，…，a n ＋1＝11－a n(n 为正整数，且t ≠0，1)，则a 2016＝__－1t__(用含有t 的代数式表示)． 点拨：根据题意得：a 1＝t 1＋t ，a 2＝11－t 1＋t ＝1＋t ，a 3＝11－1－t ＝－1t ，a 4＝11＋1t ＝t t ＋1，…，2016÷3＝672，∴a 2016的值为－1t三、解答题(共50分)11．(10分) 计算：(1)(2016·大连)(5＋1)(5－1)＋(－2)0－327；解：原式＝5－1＋1－3＝2(2)(2016·荆州)|－2|＋9×(12)－1－4×12－(π－1)0. 解：原式＝2＋3×2－2×22－1＝2＋6－2－1＝512．(7分) (2015·梅州)已知a ＋b ＝－2，求代数式(a －1)2＋b(2a ＋b)＋2a 的值．解：原式＝a 2－2a ＋1＋2ab ＋b 2＋2a ＝(a ＋b)2＋1，把a ＋b ＝－2代入得：原式＝2＋1＝313．(7分)(2016·衢州)如图，将长和宽分别是a ，b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．(1)用含a ，b ，x 的代数式表示纸片剩余部分的面积；(2)当a ＝6，b ＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．解：(1)ab －4x 2(2)依题意得：ab －4x 2＝4x 2，将a ＝6，b ＝4，代入上式得x 2＝3，解得x ＝3(x ＝－3舍去)，∴正方形的边长为 314．(18分) (1)(2016·宁夏)先化简，再求值： (a a ＋2＋1a 2－4)÷a －1a ＋2＋1a －2，其中a ＝2＋2； 解：原式＝[a （a －2）（a ＋2）（a －2）＋1（a ＋2）（a －2）]·a ＋2a －1＋1a －2＝（a －1）2（a ＋2）（a －2）·a ＋2a －1＋1a －2＝a －1＋1a －2＝a a －2，当a ＝2＋2时，原式＝2＋1(2)(2015·达州)化简：a a 2－4·a ＋2a 2－3a －12－a，并求值，其中a 与2，3构成△ABC 的三边，且a 为整数；解：原式＝a （a ＋2）（a －2）·a ＋2a （a －3）＋1a －2＝1（a －2）（a －3）＋1a －2＝1＋a －3（a －2）（a －3）＝a －2（a －2）（a －3）＝1a －3，∵a 与2，3构成△ABC 的三边，且a 为整数，∴1＜a ＜5，即a ＝2，3，4，当a ＝2或a ＝3时，原式没有意义，则a ＝4时，原式＝1(3)(2016·张家界)先化简，再求值：(x x －2－4x 2－2x )÷x ＋2x 2－x，其中x 满足x 2－x －2＝0. 解：原式＝x 2－4x （x －2）·x （x －1）x ＋2＝（x ＋2）（x －2）x （x －2）·x （x －1）x ＋2＝x －1，解方程x 2－x －2＝0，得x 1＝－1，x 2＝2，当x ＝2时，原式无意义，所以当x ＝－1时，原式＝－1－1＝－215．(8分) 符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f(1)＝1＋21，f(2)＝1＋22，f(3)＝1＋23，f(4)＝1＋24…… (1)利用以上运算的规律写出f(n)＝__1＋2n__；(n 为正整数) (2)计算：f(1)·f(2)·f(3)·…·f(100)的值．解：(2)f(1)·f(2)·f(3)·…·f(100)＝(1＋21)(1＋22)(1＋23)…(1＋2100)＝31×42×53×…×102100＝101×1022＝5151。
2016聚焦中考数学(甘肃省)考点跟踪突破22锐角三角函数和解直角三角形
考点跟踪突破22锐角三角函数和解直角三角形一、选择题(每小题6分，共24分)1．(2015·崇左)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列三角函数表示正确的是(A )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝125,第1题图),第3题图)2．(2014·凉山州)在△ABC 中，若|cos A －12|＋(1－tan B)2＝0，则∠C 的度数是(C )A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°3．(2014·德州)如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为(B )A ．43米B ．65米C ．125米D ．24米4．(2015·泰安)如图，轮船从B 处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是(D )A ．20海里B ．40海里C .2033海里D .4033海里二、填空题(每小题6分，共24分)5．(2015·柳州)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝7，则sin B ＝__713__．,第5题图),第6题图)6．(2015·邵阳)如图，某登山运动员从营地A 沿坡角为30°的斜坡AB 到达山顶B ，如果AB ＝2000米，则他实际上升了__1000__米．7．(2015·宁波)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度．站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9m ，则旗杆AB 的高度是__33＋9__m ．(结果保留根号)。
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考点跟踪突破22 锐角三角函数和解直角三角形
一、选择题
1．(2016·兰州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，BC＝6，则AB＝(D)
A．4B．6C．8D．10
2．(2016·沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是
(D )
A.433B．4C．83D．43
,第2题图) ,第3题图)
3．(2016·安顺)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则
∠ABC的正切值是(D)
A．2B.255C.55D.12
4．(2016·南宁)如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10米，∠B＝36°，
则中柱AD(D为底边中点)的长是(C)
A．5sin36°米B．5cos36°米
C．5tan36°米D．10tan36°米
,第4题图) ,第5题图)
5．(2016·重庆)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在
点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13
米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度(或坡比)i
＝1∶2.4，那么大树CD的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈
0.73)(A)
A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米
点拨：作BF⊥AE于F，则FE＝BD＝6米，DE＝BF，∵斜面AB的坡度i＝1∶2.4，
∴AF＝2.4BF，设BF＝x米，则AF＝2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2＋(2.4x)
2
＝132，解得：x＝5，∴DE＝BF＝5米，AF＝12米，∴AE＝AF＋FE＝18米，在Rt△ACE
中，CE＝AE·tan36°＝18×0.73＝13.14米，∴CD＝CE－DE＝13.14米－5米≈8.1米；故
选A.
二、填空题
6．(2016·龙岩)如图，若点A的坐标为(1，3)，则sin∠1＝__32__.
,第6题图) ,第7题图)
7．(2016·枣庄)如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，
BD，若AC＝2，则tanD＝__22__．
8．(2016·岳阳)如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了
200米到达点B，则小辰上升了__100__米．
,第8题图) ,第9题图)
9．(2016·大庆)一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方
向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为___40＋4033___海里
/小时．
10．(2016·盐城)已知△ABC中，tanB＝23，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点
D，且满足BD∶CD＝2∶1，则△ABC面积的所有可能值为___8或24___．
点拨：如图①所示：∵BC＝6，BD∶CD＝2∶1，∴BD＝4，∵AD⊥BC，tanB＝23，∴
ADBD＝23，∴AD＝23BD＝83，∴S△ABC＝12BC·AD＝12×6×8
3
＝8；如图②所示：∵BC＝6，BD∶
CD＝2∶1，∴BD＝12，∵AD⊥BC，tanB＝23，∴ADBD＝23，∴AD＝23BD＝8，∴S△ABC＝12BC·AD
＝12×6×8＝24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24.
三、解答题
11．(2016·丽水)数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含
45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问
题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，
求AF的长．
请你运用所学的数学知识解决这个问题．
解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，AC＝BCtanA＝23，则EF＝AC＝23，∵∠
E＝45°，∴FC＝EF·sinE＝6，∴AF＝AC－FC＝23－6.
12．(2016·上海)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，
且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，求：
(1)线段BE的长；
(2)∠ECB的正切值．
解：(1)∵AD＝2CD，AC＝3，∴AD＝2，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC
＝3，∴∠A＝∠B＝45°，AB＝AC2＋BC2＝32＋32＝32，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，
∠ADE＝∠A＝45°，∴AE＝AD·cos45°＝2×22＝2，∴BE＝AB－AE＝32－2＝22，
即线段BE的长为22
(2)过点E作EH⊥BC，垂足为点H，∵在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°，
∴EH＝BH＝BE·cos45°＝22×22＝2，∵BC＝3，
∴CH＝1，在Rt△CHE中，tan∠ECB＝EHCH＝2，即∠ECB的正切值为2.
13．(2016·漳州)如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图．已知长
方体货厢的高度BC为5米，tanA＝13，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C
重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD的长．(结果保留根号)
解：如图，点D与点C重合时，B′C＝BD，∠B′CB＝∠CBD＝∠A，∵tanA＝13，
∴tan∠BCB′＝BB′B′C＝13，∴设B′B＝x，则B′C＝3x，在Rt△B′CB中，B′B2＋B′C
2
＝BC2，即：x2＋(3x)2＝(5)2，x＝22(负值舍去)，∴BD＝B′C＝322.
14．(2016·山西)太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国
普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支
撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE
＝CA＝50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，FE
⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D，F到地面的垂直距离相同)，均为30cm，点A
到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少．(结果保留根号)
解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG＝30°，在Rt△ACG中，CG＝ACsin30°＝50×
1
2
＝25cm，
∵GD＝50－30＝20cm，∴CD＝CG＋GD＝25＋20＝45cm，连接FD并延长与BA的延
长线交于H，则∠H＝30°，在Rt△CDH中，CH＝CDsin30°＝2CD＝90cm，∴EH＝EC＋CH
＝AB－BE－AC＋CH＝300－50－50＋90＝290cm，在Rt△EFH中，EF＝EH·tan30°＝
290×33＝29033cm，答：支撑角钢CD和EF的长度各是45cm，29033cm.