重点高中高三数学复习练习题
高三数学复习(理)：第4讲 数列求和
第4讲 数列求和[学生用书P119]1．基本数列求和的方法(1)等差数列求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ． (2)等比数列求和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.2．数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解．(4)倒序相加法如果一个数列的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．常用结论1．一些常见数列的前n 项和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）2.(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n. 2．常用的裂项公式(1)1n（n＋1）＝1n－1n＋1.(2)1（2n－1）（2n＋1）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1.(3)1n＋n＋1＝n＋1－n.(4)(－1)n2n＋1n（n＋1）＝(－1)n⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1n＋1.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当n≥2时，1n2－1＝1n－1－1n＋1.()(2)利用倒序相加法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.()(3)若S n＝a＋2a2＋3a3＋…＋na n，当a≠0，且a≠1时，求S n的值可用错位相减法求得．()答案：(1)×(2)√(3)√二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)并项求和时不能准确分组；(2)用错位相减法求和时易出现符号错误，不能准确“错项对齐”．1．数列{a n}的前n项和为S n，已知S n＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝()A．9 B．8C．17 D．16解析：选A.S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.2．已知数列{a n}的前n项和为S n且a n＝n·2n，则S n＝________．解析：S n＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①所以2S n＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②①－②得－S n＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝2×（1－2n）1－2－n×2n＋1，所以S n＝(n－1)2n＋1＋2.答案：(n－1)2n＋1＋2[学生用书P120]分组转化求和(师生共研)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足关于x的不等式a1x2－S2x ＋2<0的解集为(1，2)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝a2n＋2a n－1，求数列{b n}的前n项和T n.【解】(1)设等差数列{a n}的公差为d，因为关于x的不等式a1x2－S2x＋2<0的解集为(1，2)，所以S2a1＝1＋2＝3，得a1＝d，又易知2a1＝2，所以a1＝1，d＝1.所以数列{a n}的通项公式为a n＝n.(2)由(1)可得，a2n＝2n，2a n＝2n.因为b n ＝a 2n ＋2a n －1， 所以b n ＝2n －1＋2n ，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2＋22＋23＋…＋2n )＝n （1＋2n －1）2＋2（1－2n ）1－2＝n 2＋2n ＋1－2.分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和；(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．1．若数列{a n }是2，2＋22，2＋22＋23，…，2＋22＋23＋…＋2n ，…，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：a n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2，所以S n ＝(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)－(2＋2＋2＋…＋2) ＝22－2n ＋21－2－2n ＝2n ＋2－4－2n .答案：2n ＋2－4－2n2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ， 故b n ＝2n ＋(－1)n n . 当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ] ＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n2－2；当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ]＝2n ＋1－2＋n －12－n＝2n ＋1－n 2－52.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1＋n2－2，n 为偶数，2n ＋1－n 2－52，n 为奇数.错位相减法求和(师生共研)(2021·西安五校联考)已知等差数列{a n }满足a 2＝5，a 4＋a 5＝a 3＋13.设正项等比数列{b n }的前n 项和为S n ，且b 2b 4＝81，S 3＝13.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n .【解】 (1)设{a n }的公差为d ，因为a 2＝5，a 4＋a 5＝a 3＋13，所以5＋2d ＋5＋3d ＝5＋d ＋13，解得d ＝2. 又a 2＝5，所以a n ＝a 2＋(n －2)·d ＝2n ＋1.设{b n }的公比为q ，因为b 2b 4＝81，所以b 23＝81，b 3＝9，即b 1q 2＝9.①又S 3＝13，所以b 1（1－q 3）1－q ＝13，即b 1(1＋q ＋q 2)＝13，②①除以②，得b 1q 2b 1（1＋q ＋q 2）＝913，化简得4q 2－9q －9＝0，因为q >0，所以q ＝3， 所以b n ＝b 3q n －3＝9×3n －3＝3n －1. (2)因为c n ＝a n b n ＝(2n ＋1)·3n －1，所以T n ＝3×30＋5×31＋7×32＋…＋(2n ＋1)·3n －1，③ 3T n ＝3×31＋5×32＋7×33＋…＋(2n ＋1)·3n ，④③－④，得－2T n ＝3＋2(31＋32＋…＋3n －1)－(2n ＋1)·3n ， 所以－2T n ＝3＋2×3（3n －1－1）3－1－(2n ＋1)·3n ＝－2n ·3n ，所以T n ＝n ·3n .运用错位相减法求和的关键：一是判断模型，即判断数列{a n }，{b n }一个为等差数列，一个为等比数列；二是错位相减；三是注意符号，相减时要注意最后一项的符号．(2020·安徽省部分重点学校联考)已知等比数列{a n }的各项均为正数，S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且9S 2＝5，a 3＝427.(1)若S n <t 恒成立，求t 的最小值； (2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由9S 2＝5得a 1＋a 1q ＝59，又a 3＝a 1q 2＝427，故q 21＋q ＝415，所以15q 2－4q －4＝0，解得q ＝23或q ＝－25(舍去)，所以由a 1＋a 1q ＝a 1(1＋q )＝a 1×53＝59，解得a 1＝13，所以S n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n<1，所以t 的最小值是1. (2)由(1)可知a n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，所以b n ＝3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.故T n ＝3⎣⎢⎡1×⎝ ⎛⎭⎪⎫320＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫321＋…＋n ×⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1①， 32T n ＝3[1×⎝ ⎛⎭⎪⎫321＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n]②，①－②得，－12T n ＝3[⎝ ⎛⎭⎪⎫320＋⎝ ⎛⎭⎪⎫321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ]，化简得T n ＝(6n －12)⎝ ⎛⎭⎪⎫32n＋12.裂项相消法求和(师生共研)(2021·广东省七校联考)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝26，a 1，a 3，a 11成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n ＋n 的前n 项和为T n ，证明：T n <23.【解】 (1)由a 1，a 3，a 11成等比数列，得a 1a 11＝a 23，又S 4＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 1（a 1＋10d ）＝（a 1＋2d ）2，又d ≠0，所以a 1＝2，d ＝3.所以a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1.(2)证明：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝2n ＋3n （n －1）2＝3n 22＋n2，1S n ＋n ＝13n 22＋n 2＋n＝23n （n ＋1）＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. T n ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝23⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<23.(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n－1a n ＋1. (2021·长沙市四校模拟考试)设数列{a n }满足a 1＝1，且2a n ＝a n＋1＋a n －1(n ≥2)，a 3＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋2的前n 项和．解：(1)由2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)可知数列{a n }是等差数列，设其公差为d ，由a 1＝1，a 3＋a 4＝12，得d ＝2，所以{a n }的通项公式a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)1a n a n ＋2＝1（2n －1）（2n ＋3）＝14⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3， 记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋2的前n 项和为S n ，则 S n ＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3] ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－12n ＋1－12n ＋3＝13－n ＋1（2n ＋1）（2n ＋3）.并项求和(师生共研)(2021·河南八市重点高中联盟测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝3，a 2＋2，a 4，a 6－2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝（－1）n a 2n ＋1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为S n ，求S 2n .【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 2＋2，a 4，a 6－2成等比数列， 所以a 24＝(a 2＋2)(a 6－2)，所以(a 3＋d )2＝(a 3－d ＋2)(a 3＋3d －2)，又a 3＝3，所以(3＋d )2＝(5－d )(1＋3d )，化简得d 2－2d ＋1＝0，解得d ＝1， 所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝3＋(n －3)×1＝n . (2)由(1)得，b n ＝（－1）n a 2n ＋1a n a n ＋1＝(－1)n2n ＋1n （n ＋1）＝(－1)n⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1，所以S 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋12n ＋1＝－1＋12n ＋1＝－2n 2n ＋1.用并项求和法求数列的前n 项和一般是指把数列的一些项合并组成我们熟悉的等差数列或等比数列来求和．可用并项求和法的常见类型：一是数列的通项公式中含有绝对值符号；二是数列的通项公式中含有符号因子“(－1)n ”；三是数列{a n }是周期数列．(2020·湖北八校第一次联考)已知数列{a n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2nn 均为等差数列，a 1＝12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝(－1)n ·4a n ＋1n （n ＋1），求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 为等差数列，所以2·a 222＝a 211＋a 233.数列{a n }为等差数列，设{a n }的公差为d ，则上式可化为(a 1＋d )2＝a 21＋（a 1＋2d ）23，即(a 1－d )2＝0，即a 1＝d . 又a 1＝12，所以a n ＝12＋(n －1)·12＝n2.(2)由(1)及题设得b n ＝(－1)n·2n ＋1n （n ＋1）＝(－1)n·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1. 所以S n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋…＋(－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n＋1n ＋1＝－1＋(－1)n ·1n ＋1.[学生用书P309(单独成册)][A 级 基础练]1．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( ) A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n ＋n －2解析：选C.S n ＝2（1－2n ）1－2＋n （1＋2n －1）2＝2n ＋1－2＋n 2.2．在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，n ∈N *，则S 60的值为( )A ．990B ．1 000C ．1 100D ．99解析：选A.n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，a n ＝2；n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，a n ＝n .故S 60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.3．在数列{a n }中，a n ＝2n －12n ，若{a n }的前n 项和S n ＝32164，则n ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D.由a n ＝2n －12n ＝1－12n 得，S n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，则S n ＝32164＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，将各选项中的值代入验证得n ＝6. 4．(2020·武昌区高三调研)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝32n 2－12n ，设b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为( ) A.n 3n ＋1 B ．3n 3n ＋1C.n －13n －2D.－3n ＋33n －2解析：选A.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n 2－12n －32(n －1)2＋12(n －1)＝3n －2；当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，满足上式，所以a n ＝3n －2，则b n ＝1a n a n ＋1＝1（3n －2）（3n ＋1）＝13⎝⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，记数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋14－17＋17－110＋…＋13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝n 3n ＋1，故选A. 5．已知函数f (n )＝⎩⎨⎧n 2，当n 为奇数时，－n 2，当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 200解析：选B.由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100.6．(2020·福州市质量检测)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝52，且a n ＋1(2－a n )＝2，则S 21＝________．解析：因为a 1＝52，a n ＋1＝22－a n ，所以a 2＝22－a 1＝－4，a 3＝22－a 2＝13，a 4＝22－a 3＝65，a 5＝22－a 4＝52，…显然数列{a n }是以4为周期的周期数列，则S 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－4＋13＋65×204＋52＝83. 答案：837．若{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前18项和为________． 解析：因为a n b n ＝1，且a n ＝n 2＋3n ＋2，所以b n ＝1n 2＋3n ＋2＝1（n ＋2）（n ＋1）＝1n ＋1－1n ＋2，所以{b n }的前18项和为12－13＋13－14＋14－15＋…＋119－120＝12－120＝10－120＝920.答案：9208．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 021项的和等于________．解析：因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝2k －1（k ∈N *），1，n ＝2k （k ∈N *），故数列的前2 021项的和等于S 2 021＝1011×12＋1 010×1＝3 0312.答案：3 03129．(2020·开封市第一次模拟考试)已知等差数列{a n }满足a n ＋1＋n ＝2a n ＋1. (1)求{a n }的通项公式； (2)记S n 为{a n }的前n项和，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n .解：(1)已知{a n }为等差数列，记其公差为d . ①当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋n ＝2a n ＋1，a n ＋n －1＝2a n －1＋1，所以d ＝1，②当n ＝1时，a 2＋1＝2a 1＋1，所以a 1＝1.所以a n ＝n . (2)由(1)可得S n ＝n （n ＋1）2.所以1S n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝2[⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.10．(2020·昆明市三诊一模)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，已知a 1＝b 1，a 3＝b 1＋b 2＝5，q ＝2d .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . 解：(1)因为b 1＋b 2＝5，所以b 1(1＋q )＝5， 又q ＝2d ，a 1＝b 1，所以a 1(1＋2d )＝5， 所以a 3＝a 1＋2d ＝5，所以a 1＝5－2d ， 所以(5－2d )(1＋2d )＝5，解得d ＝0或d ＝2， 若d ＝0，则q ＝2d ＝0(舍去)，若d ＝2，则q ＝2d ＝4，所以b 1＝a 1＝a 3－2d ＝1， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1， b n ＝b 1q n －1＝4n －1.(2)c n ＝a n ·b n ＝(2n －1)·4n －1，所以S n ＝1＋3×4＋5×42＋…＋(2n －1)4n －1， 所以4S n ＝4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －1)4n ，－3S n ＝1＋2×4＋2×42＋2×43＋…＋2×4n －1－(2n －1)×4n ＝1＋2×4（4n －1－1）4－1－(2n －1)×4n＝－6n －53×4n －53，S n ＝6n －59×4n ＋59.[B 级 综合练]11．(2021·西安五校联考)设S n 是数列{a n }的前n 项和，若a n ＋S n ＝2n ，2b n ＝2a n ＋2－a n ＋1(n ∈N*)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1nb n 的前99项和为( )A.9798 B ．9899 C.99100D.100101解析：选C.当n ≥2时，a n －1＋S n －1＝2n －1，则a n －a n －1＋(S n －S n －1)＝2n －2n －1＝2n －1，即2a n －a n －1＝2n －1，所以2a n ＋2－a n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *)，即2b n ＝2a n＋2－a n ＋1＝2n ＋1，所以b n ＝log 2 2n ＋1＝n ＋1，从而1nb n＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，故1b 1＋12b 2＋…＋199b 99＝1－12＋12－13＋…＋199－1100＝1－1100＝99100.故选C. 12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 021＝( ) A ．22 012－1 B ．21 012－3 C ．21 011－1D ．21 011－2解析：选B.a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n＝2n ＋12n ＝2，所以a n ＋2a n ＝2.所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，所以S 2 021＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 020＋a 2 021＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 021)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 020)＝1－21 0111－2＋2（1－21 010）1－2＝21 012－3.故选B.13．已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2b n (n ∈N *)，若数列{a n }为等比数列，且a 1＝2，a 4＝16，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和S n ＝________．解析：因为{a n }为等比数列，且a 1＝2，a 4＝16，所以公比q ＝3a 4a 1＝3162＝2，所以a n ＝2n ，所以a 1a 2a 3…a n ＝21×22×23×…×2n ＝21＋2＋3＋…＋n ＝2n （n ＋1）2. 因为a 1a 2a 3…a n ＝2b n ，所以b n ＝n （n ＋1）2.所以1b n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2⎝⎛11－12＋12－13＋13－14＋…＋⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 答案：2nn ＋114．已知等差数列{a n }中，a 5－a 3＝4，前n 项和为S n ，且S 2，S 3－1，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n4na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设{a n }的公差为d ，由a 5－a 3＝4，得2d ＝4，d ＝2. 所以S 2＝2a 1＋2，S 3－1＝3a 1＋5，S 4＝4a 1＋12，又S 2，S 3－1，S 4成等比数列，所以(3a 1＋5)2＝(2a 1＋2)·(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)b n ＝(－1)n4n a n a n ＋1＝(－1)n ⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1， 当n 为偶数时，T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17＋…－⎝⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1，所以T n ＝－1＋12n ＋1＝－2n 2n ＋1.当n 为奇数时，T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1， 所以T n ＝－1－12n ＋1＝－2n ＋22n ＋1.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n2n ＋1，n 为偶数，－2n ＋22n ＋1，n 为奇数.[C 级 提升练]15．(2020·福州市质量检测)等差数列{a n }的公差为2，a 2，a 4，a 8分别等于等比数列{b n }的第2项，第3项，第4项．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c na n＝b n ＋1，求数列{c n }的前2 020项的和．解：(1)依题意，得b 23＝b 2b 4， 所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，所以a 21＋12a 1＋36＝a 21＋16a 1＋28，解得a 1＝2. 所以a n ＝2n .设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝a 4a 2＝84＝2，又b 2＝a 2＝4，所以b n ＝4×2n －2＝2n . (2)由(1)知，a n ＝2n ，b n ＝2n .因为c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c n －1a n －1＋c n a n ＝2n ＋1，①所以当n ≥2时，c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c n －1a n －1＝2n ，②①－②得，c na n＝2n ，即c n ＝n ·2n ＋1，又当n ＝1时，c 1＝a 1b 2＝23不满足上式， 所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧8，n ＝1，n ·2n ＋1，n ≥2.数列{c n }的前2 020项的和S 2 020＝8＋2×23＋3×24＋…＋2 020×22 021＝4＋1×22＋2×23＋3×24＋…＋2 020×22 021，设T2 020＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋2 019×22 020＋2 020×22 021，③则2T2 020＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋2 019×22 021＋2 020×22 022，④③－④得：－T2 020＝22＋23＋24＋…＋22 021－2 020×22 022＝22（1－22 020）1－2－2 020×22 022＝－4－2 019×22 022，所以T2 020＝2 019×22 022＋4，所以S2 020＝T2 020＋4＝2 019×22 022＋8.。
吉林省长春市重点高中2024-2025学年高三上学期11月考试 数学
高三期中数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数12i 34i +-的虚部是（）A.15-B.15C.25-D.252.式子1tan151tan15+︒-︒的值为（）B.23.由正数组成的等比数列{}n a ，n S 为其前n 项和，若241a a =，37S =，则5S 等于（）A.152B.314C.334D.1724.在()()()342111n x x x +++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数是（）A.33n C + B.231n C +- C.331n C +- D.331n C +-5.已知函数()f x 对x ∀∈R 都有()()4f x f x =-，且其导函数()f x '满足当2x ≠时()()20x f x -'>，则当24a <<时，有（）A.()()()222log af f f a << B.()()()2log 22af a f f <<C.()()()2log 22af a f f << D.()()()22log 2af f a f <<6．已知函数为3211,1()3e ln(2),1x x ax x x f x x x +⎧++<-⎪=⎨⎪++≥-⎩，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．7[1,3B ．7(,]3-∞C ．[]71,3-D ．(,1]-∞7.已知βα，是函数()232cos 3-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的两个零点，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2sin πβα（）A ．32-B ．32C ．35-D ．358．已知函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，且对任意的()12,1,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则下列结论错误的为（）A ．()f x 是偶函数B ．()20230f =C ．()f x 的图象关于()1,0-对称D ．71948f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．对于函数()2024sin3f x x =和()π2024sin 33g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 与()g x 的零点相同B ．()f x 与()g x 的最小值相同C ．()f x 与()g x 的最小正周期相同D ．()f x 与()g x 的极值点相同10．抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个11．设函数()(),log ,0xa f x a g x x a ==>且1a ≠，则（）A ．函数()f x 和()g x 的图像关于直线y x =对称B ．函数()f x 和()g x 的图像一定有交点，且交点在直线y x =上C ．若e a =，方程()8f x x +=的根为1，方程()8g x x +=的根为2x ，则128x x +=D ．已知1a >，若()()()()f f x x g g x >>恒成立，则a 的取值范围为1e e e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()1e xf x x x+=-，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为__________.13.若定义在R 上的函数()f x 满足：(2)()0f x f x ++=，且(1)3f -=-，则(2025)f =______.14.如图的“心形”曲线C 恰好是半圆1C ，半圆2C ，曲线()()cos 10π,cos 10πy x x y x x =+≤≤=--≤≤组合而成的，则曲线C 所围成的“心形”区域的面积等于__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3c =，且1sin cos 64C C π⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭.（1）求角C 的大小；（2）若向量()1,sin m A = 与()2,sin n B =共线，求ABC 的周长.16.已知{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，且11a =，13b =，227a b +=，3311+=a b .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设1nn nb c a =+，*n ∈N ，求数列{}n c 的前n 项和n T .17.已知函数()1eln xf x a x -=+.（1）若()f x 在定义域上单调递增，求a 的取值范围；（2）若()3f x x ≤恒成立，求实数a 的值.18.已知函数()()()21e 1e 2xx f x a a x a =---∈R .（1）当10a -<<时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在其定义域内不存在极值，求实数a 的值.19.已知函数()()()211,(1)1f x g x x t t x x =+=-∈++R ，当t 的值能使()()21(1)1t g x f x x x=+++在区间()0,∞+上取得最大值时，我们就称函数()l f x 为“()f x 关于()g x 的t 界函数”.（1）若()t f x 为“()f x 关于()g x 的t 界函数”，求实数t 的取值范围；（2）在数列{}n a 中，已知13a =，且()11122,1n n n n n a a n b a --=+=-，判断12n t =时，()t f x 是不是“()f x 关于()g x 的t 界函数”？若是，请证明：当0x >时，*,n n b ∀∈N 的值不小于“()f x 关于()g x 的12n界函数”；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，求证：2121n n b b b n +++>+ .DABCD DBD 9BC 10ABD11AC1233y x =--133143π15（1）3C π=，（2）3+16（1）12n n a -=,21n b n =+（2）()3111102122n n n T n n--⎛⎫⎛⎫=--+⋅+ ⎪⎝⎭⎝⎭17（1）1a ≥（2）418（1）函数()()21e 1e 2xx f x a a x =---的定义域为R ，()()()()2e 1e 1e 1e 1x x x x f x a a a ='---=+-.因为10a -<<，所以由()0f x '=，得0x =或()ln x a =--.又()ln 0a -->，所以()(),f x f x '随x 的变化情况如下表：x (),0∞-0()()0,ln a --()ln a --()()ln ,a ∞--+()f x '-+-()f x 减函数极小值增函数极大值减函数由上表可知，()f x 的单调递减区间为()()(),0,ln ,a ∞∞---+，单调递增区间为()()0,ln a --.（2）函数()()21e 1e 2xx f x a a x =---的定义域为R ，若()f x 在其定义域R 内不存在极值，则()f x 在R 上为单调函数，即()()2e1e 10xx f x a a =---' 恒成立，或()()2e 1e 10x x f x a a =---' 恒成立.当0a =时，()e 1xf x '=-，不符合题意；当0a ≠时，令e 0x t =>，当x ∈R 时，()0f x ' 或()0f x ' 恒成立，即为()2110at a t --- 或()2110at a t --- 在()0,t ∞∈+时恒成立.设()()211,0g t at a t t =--->，若()()20,11a g t at a t >=---的图象是开口向上的抛物线，只需使()0g t 恒成立.又()()010,10g g =-<=，所以当()0,t ∞∈+时，()0g t 不可能恒成立.所以0a >不符合题意；若()()20,11a g t at a t <=---的图象是开口向下的抛物线，只需使()0g t 恒成立.又对称轴为102a t a-=>，所以要使()()2110,0g t at a t t =---> ，恒成立，只需使()()22Δ[1]41(1)0a a a =---⨯-=+ .所以1a =-.19（1）由()()()22110(1)1(1)1t g x x t f x x x x x x-=+=+>++++，得()()()()()2423(1)21210(1)(1)(1)tx x t x t x fx x x x x +--⋅+-=-=>+++'.因为0x >，所以当0t 时，()()0,t t f x f x <'在()0,∞+上单调递减，无最值，不符合题意.当0t >时，0x t <<时，()0t f x >'；x t >时，()0t f x <'，所以()t f x 在()0,t 上单调递增，在(),t ∞+上单调递减.所以当x t =时，()t f x 取得最大值()11t f t t=+.故若()t f x 为“()f x 关于()g x 的t 界函数”，则实数t 的取值范围是()0,∞+.（2）因为102n >，由（1）可知，当12n t =时，()t f x 为“()f x 关于()g x 的t 界函数”.当()0,x ∞∈+时，()112122112nnn n f x =++ .（*）要证当0x >时，*,n n b ∀∈N 的值不小于“()f x 关于()g x 的12n 界函数”，即证()12n nb fx .又()1122n n n a a n --=+ ，得()111122222nn nn a a n --=⋅+ ，所以()111112222n n n n a a n --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又13a =，所以数列12n na ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为11122a -=，公比为12q =的等比数列.所以1111111122222n n n nna a q --⎛⎫⎛⎫-=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即有21nn a =+.检验知1n =时，结论也成立，故()*21nn a n =+∈N.所以12121nn n n b a =-=+.所以由（*）式知，()12221nn n n f x b =+ .所以当0x >时，*,n n b ∀∈N 的值不小于“()f x 关于()g x 的12n 界函数”.（3）由（2）知，当0x >时，*n ∀∈N ，有()12nn b f x 成立，所以()()()212111222nn b b b f x f x f x ++++++ 2222111111222(1)1(1)1(1)1n x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++++++⎢⎢⎥⎢⎥++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦22111111(1)2221n n x x n x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫=-++++⎨⎬ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦⎩⎭.由（1）可知211110222nx n ⎛⎫-+++=⎪⎝⎭时，上式取得最大值，所以21111111112211222212n n n x n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ .所以2212111111122n nn nn n b b b n n n +++=>+⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭.所以原不等式成立.。
2022-2023学年辽宁省重点高中协作校数学高三上期末联考模拟试题含解析
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，2） D ．（﹣∞，1）2．已知函数2sin ()1x f x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ） A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④3．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,24．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12BCD ．55．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．366．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>8．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABCS=，P 为线段AB 上的一点，且CA CBCP x y CACB=⋅+⋅，则11x y +的最小值为（ ）A ．73123+B ．12C ．43D ．53124+9．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC = ,则AC =（ ） A ．5B ．5或1C ．5或1D ．510．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.811．已知集合{}3|20,|0x P x x Q x x -⎧⎫=-≤=≤⎨⎬⎩⎭，则()R P Q 为（ ） A ．[0，2)B ．(2，3]C ．[2，3]D ．(0，2]12．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省沈阳重点高中2025届高三第三次模拟考试数学试卷含解析
辽宁省沈阳重点高中2025届高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．2．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，26SC =，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π3．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．34．如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点P 为平行四边形外一点，且AP OB ，BP OA ，则DP =（ ）A ．2DA DC +B ．32DA DC + C ．2DA DC + D ．3122DA DC +5．下列四个图象可能是函数35log |1|1x y x +=+图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ） A ．16B ．17C ．18D ．197．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,7778．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（ ）A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭C ．(),0πD ．4,03π⎛⎫⎪⎝⎭9．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i - B ．2i +C ．12i +D ．12i -10．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）11．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．(3⎤⎦B ．)3,⎡+∞⎣C ．(5D ．)5,⎡+∞⎣12．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省常州市四星级重点高中2011届高考冲刺数学复习单元卷：函数与数列(2) (详细解答)
江苏省常州市中学2011高考冲刺复习单元卷—函数与数列2一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卷相应位置上。
1、等差数列{}n a 的前n 项和为)3,2,1(⋅⋅⋅=n S n ，当首项1a 和公差d 变化时，若1185a a a ++是一个定值，则)3,2,1(⋅⋅⋅=n S n 中为定值的是 ▲ 。
2、在等比数列｛n a ｝中,若7944,1a a a ⋅==,则12a 的值是 ▲ 。
3、已知数列{}n a 是以2-为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若7S 是数列{}n S 中的唯一最大项，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是 ▲ 。
4、在等差数列}{n a 中，39741=++a a a ，27963=++a a a ，则数列}{n a 的前9项之和9S 等于 ▲ 。
5、若数列}{n a 满足⎩⎨⎧≤≤>-=+)10(2)1(11n nn n n a a a a a ，若761=a ，则2008a = ▲ 。
6、已知数列}{n a 满足12a =，132n n a a +=-（n N +∈），则n a ＝ ▲ 。
7、在等差数列{}n a 中，11101,a a <-若它的前n 项和n S 有最大值，则使n S 取得最小正数的n = ▲ 。
8、n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若24121n n a n a n -=-，则2n nS S = ▲ 。
9、已知数列1,,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数则123499100a a a a a a ++++++= ▲ 。
10、已知数列12()3n n a =⋅,将{}n a 的各项排成三角形状:记(,)A m n 表示第m 行第n 列的项,则(10,8)A = ▲ 。
11、已知数列}{n a 的通项公式是12-=n n a ，数列}{n b 的通项公式是n b n 3=，令集合},,,,{21 n a a a A =，},,,,{21 n b b b B =，*N n ∈．将集合B A 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为}{n c ．则数列}{n c 的前28项的和28S ＝ ▲ 。
高三数学应用题50练(全国百所重点高中)
BCDAOP1. 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ． （1）按下列要求建立函数关系式：（i ）设BAO θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数；（ii ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。
（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故 10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-， 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以()222101020200x x x -+=-+所求函数关系式为)2220200010y x x x x =+-+≤≤（Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----== 令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10103y =+P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边33km 处。
2. 某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。
江苏省常州市四星级重点高中2011届高考冲刺数学复习单元卷：函数与不等式 (详细解答)
江苏省常州市中学2011高考冲刺复习单元卷—函数与不等式一、填空题：（请把答案直接填空在答题卷相应位置上。
）1. 若函数(1)f x +的定义域为[0，1]，则(31)f x -的定义域为 ▲ .2. 已知集合10x A x x⎧⎫-=>⎨⎬⎩⎭，13x B y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则=B A ▲ .3. 下列说法错误的是: ▲ (1)命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”(2)“1x >”是“||1x >”的充分不必要条件; (3)若p 且q 为假命题，则p 、q均为假命题;(4)命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<”，则p ⌝：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”4. 下列三个命题中,真命题是: ▲ ①“若1xy =,则,x y 互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若1m ≤,则方程220x x m -+=有实根”的逆否命题.5．若函数()f x =,则a 的取值范围为 ▲ .6. 已知实数,x y 满足xx y y=-,则x 的取值范围是 ▲ .7. 函数()()y f x x R =∈的图象如图所示，则当01a <<时，函数()(log )a g x f x =的单调减区间是 ▲ .8.已知函数22()1(,)f x x ax b b a R b R =-++-+∈∈,成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立，则b 的取值范围是 ▲ .9、已知00(,),(1,1),(5,2)A x y B C ，如果一个线性规划问题为可行域是ABC ∆边界及其内部，线性目标函数z ax by =+，在B 点处取得最小值3，在C 点处取得最大值12，则00ax by + 范围 ▲ .10、设(),()f x gx 均是定义在R 上奇函数,且当0x <时,'()()()'()0,(2)(2)0f xg x f x g x f g +<--=,则不等式()()0f x g x >的解集为 ▲ .11. 若12,x x 是方程1112()2xx-+=的两个实数解,则12x x += ▲ .12、线性目标函数z=2x －y 在线性约束条件{||1||1x y ≤≤下，取最小值的最优解是____ ▲13．若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩则yx 的取值范围是 ▲ .14.已知,,x y z 满足5000x y x x y k -+≥⎧⎪≤⎨⎪++≥⎩,且24z x y =+的最小值为6-,则常数k 的值为 ▲ .二、解答题：(请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【冲刺必刷】人教A版 高中数学2020届 高考复习专题--直线与圆的方程(含解析)
直线与圆的方程一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。
直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。
二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。
三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。
但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。
四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。
既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。
江苏省常州市四星级重点高中2011届高考冲刺数学复习单元卷：三角与解几 (详细解答)
江苏省常州市中学2011高考冲刺复习单元卷—三角与解几一、填空题：（本题共10个小题，每题4分，共40分）1、已知向量a 与b 的夹角为120°，且5||,2||==，则=⋅-)2( 。
2、函数1312sin)(+-=x x x f π的零点个数为 个。
3、已知函数1()11x f x x -⎧=⎨≥⎩， ， <1， 则不等式(1)(1)3x f x x +⋅+≤-的解集为 。
4、设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin 0x A ay c ⋅++= 与sin sin 0bx y B C -⋅+=的位置关系是 。
50y +-=截圆224x y +=得的劣弧所对的圆心角是 。
6、若把函数cos y x x =+的图象向右平移(0)m m >个单位后所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值为 。
7、已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.则椭圆C 的标准方程为 。
8、已知方程abx x x x b a x a x 则且的两根为,10,,01)2(21212<<<=+++++的取值范围 。
9、设曲线()1x y ax e =-在点()01,A x y 处的切线为1l ，曲线()1xy x e -=-在点()02,B x y 处的切线为2l ，若存在0302x ≤≤，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是 。
10、已知函数())2f x x π=≤≤，则()f x 的值域为 。
二、解答题：（本题共4大题，共60分）11、在平面直角坐标系中，点21(,cos )2P θ在角α的终边上，点2(sin ,1)Q θ-在角β的终边上，且12OP OQ ⋅=- . （1）求cos 2θ； （2）求sin()αβ+的值.12、设()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数， ()()f x g x 与图像关于直线1x =对称，且当[]2,3x ∈时，3()3(2)4(2)g x x x =---。
江苏省常州市四星级重点高中2011届高考冲刺数学复习单元卷：函数(1) (详细解答)
江苏省常州市中学2011高考冲刺复习单元卷—函数1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卷相应位置上。
1、函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为 ▲ 。
2、设f(x)＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x--≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f[f(21)]＝ ▲ 。
3、已知)2(x f 的定义域为]2,0[，则)(log 2x f 的定义域为 ▲ 。
4、若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin5c =，则a 、b 、c 从大到小的顺序是 ▲ 。
5、若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ▲ 。
6、若不等式｜3x －b ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围为 ▲ 。
7、定义运算法则如下：1112322181,lg lg ,2,,412525a b a ba b a b M N -⊕=+⊗=-=⊕=则M ＋N ＝ ▲ 。
8、设10<<a ，函数2()log (22)x xa f x a a =--，则使()0f x <的x 取值范围是 ▲ 。
9、设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是 ▲ 。
10、设方程2ln 72x x =-的解为0x ,则关于x 的不等式02x x -<的最大整数解为 ▲ 。
11、若关于x 的不等式22x x t <--至少有一个负数解，则实数t 的取值范围是 ▲ 。
12、设(32()log f x x x =++，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的▲ 条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
重点高中高三数学复习练习题
1 / 3
重点高中高三数学复习练习题
姓名 时间
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中有且仅有一个是
正确的）
1.（08辽宁卷1）已知集合3|0|31xMxxNxxx，≤，则集合|1xx≥＝（ ）
(A)MNI (B)MNU (C))(NMCU (D))(NMCU
2. 在等比数列{}na中，20711414106,5,aaaaaa则（ ）
（A）23 （B）32 （C）23或32 （D）23或32
3.与函数222xy的图象关于直线yx对称的曲线经过点（ ）
（A）(2,3) （B）(2,2) （C）(3,2) （D）(3,3)
4.函数22(12)yxxx的反函数是（ ）
（A）211(11)yxx （B）211(01)yxx
（C）211(11)yxx （D）211(01)yxx
5.等差数列{}na中，171,4,aa数列{}nb是等比数列，已知23321,baba，则满足801nba的最小
正整数为（ ）
（A）8 （B）7 （C）6 （D）5
6.下列命题中，正确命题的个数是（ ）
①()32fxxx是函数；②互为反函数的两个函数的图象如果有交点，则交点一定在直线
yx
上；③函数21()yxxN的图象是一条直线；④函数log()axfxa与122()()gxx表示同一函数。
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
7.已知,,abc成等比数列，则函数2()fxaxbxc的图象与x轴的交点的个数是（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）0或1
8.函数2()lg(1)1fxx的图象关于（ ）
（A）x轴对称 （B）y轴对称 （C）原点对称 （D）直线yx对称
重点高中高三数学复习练习题
2 / 3
9.若()()()fabfafb，且(1)2f，则(2)(4)(6)(2008)(1)(3)(5)(2007)ffffffffL（ ）
（A）2009 （B）2008 （C）2007 （D）2006
10.nT是等比数列na前n项积，若3618aaa是常数，则数列{}nT中也是常数的项是（ ）
（A）10T （B）13T （C）17T （D）25T
11. (08四川11)设定义在R上的函数fx满足213fxfx，若12f，则99f( )
（A）13 （B）2 （C）132 （D）213
12.定义在R上的函数对于任意的xR，都有1()(2)1()fxfxfx，设(),(*)nafnnN，则数列
{}na
中，各项的不同取值至多有（ ）
（A）12个 （B）8个 （C）6个 （D）4个
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。将你认为正确的答案填入题中的横线上）
13.若1()3xfxx，则13()5f ；
14.函数()logafxx在区间[3,5]上的最大值比最小值大1，则a ；
15.已知命题:|||1|pxxm的解集为R；命题:()(52)xqfxm是减函数，若pq或是真命题，
pq且
是假命题，则实数m的取值范围是 ；
16.（08福建卷16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意,abP，都有
,,,(0)aabababPbb
，则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集
2,FababQ
也是数域.有下列命题：
①整数集是数域；
②若有理数集QM，则数集M必为数域；
③数域必为无限集；
④存在无穷多个数域.
其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号填填上）
三、解答题：（解答要求写出文字说明或推理步骤，每题12分，共24分）
17、设整数列{}na是一个公差不为零的等差数列，56a，
（1）若33,a请在{}na中找一项,5mam，使得35,,maaa成等比数列；
（2）当32a时，若正整数12,,,,tnnnLL满足125tnnnLL，使得
重点高中高三数学复习练习题
3 / 3
1235,,,,,,t
nnn
aaaaaLL
成等比数列，求tn.
18、（08江西19）数列{}na为等差数列，na为正整数，其前n项和为nS，数列{}nb为等比数列，且
113,1ab，数列{}nab是公比为64的等比数列，22
64bS
.
（1）求,nnab；
（2）求证1211134nSSSL.