2017-2018年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷和答案(理科)
2017-2018年北京市海淀区高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
14． （5 分）对任意实数 k，定义集合
．
①若集合 Dk 表示的平面区域是一个三角形，则实数 k 的取值范围是
；
②当 k=0 时，若对任意的（x，y）∈Dk，有 y≥a（x+3）﹣1 恒成立，且存在（x， y）∈Dk，使得 x﹣y≤a 成立，则实数 a 的取值范围为 ．
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15 ． （ 13 分 ） 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， 点 D 在 AC 边 上 ， 且 AD=3BC ， AB= （Ⅰ）求 DC 的值； （Ⅱ）求 tan∠ABC 的值． ．
18． （13 分）已知椭圆 C：x2+2y2=9，点 P（2，0） （Ⅰ）求椭圆 C 的短轴长和离心率； （Ⅱ）过（1，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 M，N，设 MN 的中点为 T，判 断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论． 19． （14 分）已知函数 f（x）=2ex﹣ax2﹣2x﹣2． （Ⅰ）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （Ⅱ）当 a≤0 时，求证：函数 f（x）有且仅有一个零点；
7． （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中： ①三棱锥的体积为 ②三棱锥的四个面全是直角三角形 ③三棱锥的四个面的面积最大的是 所有正确的说法是（ ）
A．① B．①②
C．②③
D．①③
8． （5 分）已知点 F 为抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点，点 K 为点 F 关于原点 的对称点，点 M 在抛物线 C 上，则下列说法错误的是（ A．使得△MFK 为等腰三角形的点 M 有且仅有 4 个 B．使得△MFK 为直角三角形的点 M 有且仅有 4 个 C．使得 D．使得 的点 M 有且仅有 4 个 的点 M 有且仅有 4 个 ）
2017-2018学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题1．（3分）直线x+y+=0的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°2．（3分）命题“对任意x＞3，都有lnx＞1”的否定是（）A．存在x＞3，使得lnx＞1 B．对任意x＞3，都有lnx≤1C．存在x＞3，使得lnx≤1 D．对任意x≤3，都有lnx＞13．（3分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．4．（3分）设α，β是两个不同的平面，a，b，c是三条不同的直线，（）A．若a⊥b，b⊥c，则a∥c B．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a⊥b，a⊥α，则b∥αD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β5．（3分）“n＞m＞0”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（3分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，若l∥α，l∥β，α∩β=m，则（）A．l与m平行B．l与m相交C．l与m异面D．以上三个答案均有可能7．（3分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF的中点，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．1 C．D．28．（3分）设α为空间中的一个平面，记正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中到α的距离为d（d＞0）的点的个数为m，m的所有可能取值构成的集合为M，则有（）A．4∈M，6∉M B．5∉M，6∉M C．4∉M，6∈M D．5∉M，6∈M二、填空题9．（3分）命题“若a2﹣b2=0，则a=b”的逆否命题为．10．（3分）经过点M（2，1）且与直线3x﹣y+8=0垂直的直线方程为．11．（3分）在△ABC中，AB=3，BC=4，AB⊥BC．以BC所在的直线为轴将△ABC 旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为．12．（3分）若双曲线C的一个焦点在直线l：4x﹣3y+20=0上，一条渐近线与l 平行，且双曲线C的焦点在x轴上，则双曲线C的标准方程为；离心率为．13．（3分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么在这个四棱锥的四个侧面三角形中，有个直角三角形．14．（3分）在平面直角坐标系中，曲线C是由到两个定点A（1，0）和点B（﹣1，0）的距离之积等于2的所有点组成的．对于曲线C，有下列四个结论：①曲线C是轴对称图形；②曲线C是中心对称图形；③曲线C上所有的点都在单位圆x2+y2=1内；④曲线C上所有的点的纵坐标．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题15．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：BC1∥平面A1CD．16．已知圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，其中m∈R．（Ⅰ）如果圆C与圆x2+y2=1相外切，求m的值；（Ⅱ）如果直线x+y﹣3=0与圆C相交所得的弦长为，求m的值．17．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为AA1的中点．（Ⅰ）求四棱锥C﹣AEB1B的体积；（Ⅱ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为，求线段AM的长度；（Ⅲ）判断线段B1C上是否存在一点N，使得NE∥CD？（结论不要求证明）18．设F为抛物线C：y2=2x的焦点，A，B是抛物线C上的两个动点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线AB经过焦点F，且斜率为2，求|AB|；（Ⅱ）当OA⊥OB时，求|OA|•|OB|的最小值．19．如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，BC=CD=AD=2，M为AC的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥MD；（Ⅱ）求二面角B﹣MD﹣C的余弦值．（Ⅲ）求四面体A﹣BCD的外接球的表面积．（注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球．球的表面积S=4πR2）20．已知椭圆的一个焦点为，离心率为．点P为圆M：x2+y2=13上任意一点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）记线段OP与椭圆C交点为Q，求|PQ|的取值范围；（Ⅲ）设直线l经过点P且与椭圆C相切，l与圆M相交于另一点A，点A关于原点O的对称点为B，试判断直线PB与椭圆C的位置关系，并证明你的结论．2017-2018学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题1．（3分）直线x+y+=0的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【分析】根据题意，设直线x+y+=0的倾斜角为θ，由直线斜率的定义可得直线线x+y+=0的斜率，结合直线的斜率与倾斜角的关系可得tanθ=﹣1，结合直线倾斜角的范围，计算可得答案．【解答】解：设直线x+y+=0的倾斜角为θ，则0°≤θ＜180°，直线x+y+=0变形可得y=﹣x﹣，其斜率为﹣1，则有tanθ=﹣1，且0°≤θ＜180°，则θ=135°，故选：D．【点评】本题考查直线的倾斜角的定义与计算，关键是理解直线的倾斜角与直线斜率的关系．2．（3分）命题“对任意x＞3，都有lnx＞1”的否定是（）A．存在x＞3，使得lnx＞1 B．对任意x＞3，都有lnx≤1C．存在x＞3，使得lnx≤1 D．对任意x≤3，都有lnx＞1【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意x＞3，都有lnx＞1”的否定是：存在x＞3，使得lnx≤1．故选：C．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．3．（3分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣y2=1，其焦点坐标为（±，0），其渐近线方程为y=±x，即x±y=0，则其焦点到渐近线的距离d==1；故选：A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标．4．（3分）设α，β是两个不同的平面，a，b，c是三条不同的直线，（）A．若a⊥b，b⊥c，则a∥c B．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a⊥b，a⊥α，则b∥αD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β【分析】根据空间线面位置关系判断．【解答】解：对于A，若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a与c相交，或a与c异面；故A错误；对于B，若若a∥α，b∥α，则a∥b或a与b相交，或a与b异面，故B错误；对于C，若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α，故C错误；对于D，若a⊥α，a⊥β，则α∥β，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了空间线面线面位置关系的判断，属于基础题．5．（3分）“n＞m＞0”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若方程表示的曲线为椭圆，则m＞0，n＞0且m≠n，则“n＞m＞0”是“方程表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的方程求出m，n 的关系是解决本题的关键．6．（3分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，若l∥α，l∥β，α∩β=m，则（）A．l与m平行B．l与m相交C．l与m异面D．以上三个答案均有可能【分析】根据题意画出图形，利用线面平行的性质，结合图形即可得出结论．【解答】解：如图所示，α，β是两个不同的平面，l是一条直线，当l∥α时，则存在a⊂α，a∥α，当l∥β时，则存在b⊂β，b∥β，∴a∥b，可得a∥β，又α∩β=m，∴l∥m．故选：A．【点评】本题考查了空间中的直线与平面的位置关系应用问题，是基础题．7．（3分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF的中点，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．1 C．D．2【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），根据M是线段PF的中点，求出M的坐标，可得直线OM的斜率，利用基本不等式可得结论．【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），M（x，y），∵M是线段PF的中点∴x=（+），y=，∴k OM==≤=1，当且仅当y0=p时取等号∴直线OM的斜率的最大值为1．故选：B．【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，考查基本不等式，考查运算能力，属于中档题．8．（3分）设α为空间中的一个平面，记正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中到α的距离为d（d＞0）的点的个数为m，m的所有可能取值构成的集合为M，则有（）A．4∈M，6∉M B．5∉M，6∉M C．4∉M，6∈M D．5∉M，6∈M【分析】由题意知，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中到平面α的距离为d （d＞0），写出满足条件的顶点个数m的可能取值，即可得出正确的选项．【解答】解：如图所示，由题意知，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中到平面α的距离为d（d＞0），则满足条件的顶点个数为m，m的可能取值为0，1，2，4，8．∴4∈M，6∉M．故选：A．【点评】本题考查了空间中的点、线与面之间的关系应用问题，是中档题．二、填空题9．（3分）命题“若a2﹣b2=0，则a=b”的逆否命题为若a≠b，则a2﹣b2≠0．【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【解答】解：交换条件和结论，同时进行否定得逆否命题为：若a≠b，则a2﹣b2≠0，故答案为：若a≠b，则a2﹣b2≠0【点评】本题主要考查四种命题的关系，利用逆否命题的定义是解决本题的关键．10．（3分）经过点M（2，1）且与直线3x﹣y+8=0垂直的直线方程为x+3y﹣5=0．【分析】根据已知中的定点及直线方程，由垂直系方程可得答案．【解答】解：经过点M（2，1）且与直线3x﹣y+8=0垂直的直线方程为：（x﹣2）+3（y﹣1）=0，即：x+3y﹣5=0，故答案为：x+3y﹣5=0【点评】本题考查的知识点是直线系方程，熟练掌握垂直系方程，是解答的关键．11．（3分）在△ABC中，AB=3，BC=4，AB⊥BC．以BC所在的直线为轴将△ABC 旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为15π．【分析】以BC所在的直线为轴将△ABC旋转一周，形成的旋转体是底面半径为r=AB=3，高为BC=4的圆锥，由此能求出旋转所得圆锥的侧面积．【解答】解∵在△ABC中，AB=3，BC=4，AB⊥BC．∴AC===5，以BC所在的直线为轴将△ABC旋转一周，形成的旋转体是底面半径为r=AB=3，高为BC=4的圆锥，∴旋转所得圆锥的侧面积：S=πrl=π×AB×AC=π×3×5=15π故答案为：15π．【点评】本题考查过圆锥的侧面积的求法，考查圆锥、旋转体等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，数形结合思想，是中档题．12．（3分）若双曲线C的一个焦点在直线l：4x﹣3y+20=0上，一条渐近线与l平行，且双曲线C的焦点在x轴上，则双曲线C的标准方程为；离心率为．【分析】根据题意，求出直线与x轴交点坐标，即可得双曲线的焦点坐标，又由双曲线的渐近线与直线l平行，可得双曲线的渐近线方程，进而可以设双曲线的方程为：﹣=1，（t＞0）由双曲线中c的值即可得9t+16t=25，解可得t的值，即可得双曲线的标准方程，由此计算可得双曲线的离心率，即可得答案．【解答】解：根据题意，若双曲线C的一个焦点在直线l：4x﹣3y+20=0上，且其焦点在x轴上，直线与x轴交点坐标为（﹣5，0），则双曲线的焦点为（﹣5，0）与（5，0），c=5，又由双曲线的渐近线与直线l：4x﹣3y+20=0平行，则双曲线的一条渐近线为4x ﹣3y=0，设双曲线的方程为：﹣=1，（t＞0）又由c=5，则有9t+16t=25，解可得：t=1，则双曲线的方程为：，其中a=3，则双曲线的离心率e==；故答案为，【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线渐近线的求法，注意双曲线的焦点位置．13．（3分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么在这个四棱锥的四个侧面三角形中，有4个直角三角形．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=DC=1，AB∥DC，AB⊥AD，则侧面三角形PAB、PAD、PDC为直角三角形；求解三角形可得三角形PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．则答案可求．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=DC=1，AB∥DC，AB⊥AD，则侧面三角形PAB、PAD、PDC为直角三角形；由题意求得PB=，PD=，PC=，BC=，则PB2=PC2+BC2，即三角形PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．∴这个四棱锥的四个侧面三角形中，有4个直角三角形．故答案为：4．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．14．（3分）在平面直角坐标系中，曲线C是由到两个定点A（1，0）和点B（﹣1，0）的距离之积等于2的所有点组成的．对于曲线C，有下列四个结论：①曲线C是轴对称图形；②曲线C是中心对称图形；③曲线C上所有的点都在单位圆x2+y2=1内；④曲线C上所有的点的纵坐标．其中，所有正确结论的序号是①②．【分析】由题意曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数2，利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【解答】解：由题意设动点坐标为（x，y），利用题意及两点间的距离公式的得：[（x+1）2+y2]•[（x﹣1）2+y2]=4，对于①，方程中的x被﹣x代换，y被﹣y 代换，方程不变，故关于y轴对称和x 轴对称，故曲线C是轴对称图形，故①正确对于②，把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，曲线C是中心对称图形，故②正确；对于③y=0可得，（x+1）2•（x﹣1）2=4，即x2﹣1=2，解得x=±，∴曲线C上点的横坐标的范围为[﹣，]，故③错误，对于④令x=0可得，y=±1，∴曲线C上点的纵坐标的范围为[﹣1，1]，故④错误；故答案为：①②【点评】本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，考查了运算能力和转化能力，属于中档题三、解答题15．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：BC1∥平面A1CD．【分析】（Ⅰ）推导出CD⊥AB，AA1⊥底面ABC，从而AA1⊥CD，由此能证明CD ⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）连接AC1，设A1C∩AC1=O，连接OD，推导出OD∥BC1，由此能证明BC1∥平面A1CD．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D为AB的中点，所以CD⊥AB，AA1⊥底面ABC．…（1分）又因为CD⊂底面ABC，所以AA1⊥CD．…（3分）又因为AA1∩AB=A，AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，所以CD⊥平面ABB1A1．…（6分）（Ⅱ）连接AC1，设A1C∩AC1=O，连接OD，…（7分）由正三棱柱ABC﹣A1B1C1，得AO=OC1，又因为在△ABC1中，AD=DB，所以OD∥BC1，…（10分）又因为BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．…（13分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查线面、面面垂直的判定定理、性质定理的运用，考查空间线线、线面的位置关系及所成的角的概念，考查空间想象能力，属中档题．16．已知圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，其中m∈R．（Ⅰ）如果圆C与圆x2+y2=1相外切，求m的值；（Ⅱ）如果直线x+y﹣3=0与圆C相交所得的弦长为，求m的值．【分析】（Ⅰ）化简求得圆心及半径，由圆C与圆x2+y2=1相外切，则两圆的圆心距等于其半径和，即可求得m的值；（Ⅱ）利用点到直线的距离公式求得C到直线x+y﹣3=0的距离，根据垂径定理即可求得m的值．【解答】解：（Ⅰ）将圆C的方程配方，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，…（1分）∴圆C的圆心为（3，4），半径．…（3分）因为圆C与圆x2+y2=1相外切，所以两圆的圆心距等于其半径和，即，…（5分）解得m=9．…（7分）（Ⅱ）圆C的圆心到直线x+y﹣3=0的距离．…（9分）因为直线x+y﹣3=0与圆C相交所得的弦长为，所以由垂径定理，可得，…（11分）解得m=10．…（13分）【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，垂径定理，考查转化思想，属于中档题．17．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为AA1的中点．（Ⅰ）求四棱锥C﹣AEB1B的体积；（Ⅱ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为，求线段AM的长度；（Ⅲ）判断线段B1C上是否存在一点N，使得NE∥CD？（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）由已知可得AA1⊥AD．结合AB⊥AD，利用线面垂直的判定可得AD⊥平面ABB1A1．得到AD为四棱锥C﹣AEB1B的高，然后直接利用棱锥体积公式求解；（Ⅱ）以A为原点，以AD为x轴，以AA1为y轴，以AB为z轴，建立空间直角坐标系，设点M（a，b，c），由点M在线段C1E上，知=，λ＞0，根据直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为，利用向量法能求出线段AM的长；（Ⅲ）由CD为平面CEB1的一条斜线可知，线段B1C上不存在点N，使得NE∥CD．【解答】解：（Ⅰ）∵AA1⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AA1⊥AD．又∵AB⊥AD，AA1∩AB=A，∴AD⊥平面ABB1A1．∵AB∥CD，∴四棱锥C﹣AEB 1B的体积••AD=×[×（1+2）×2]×1=1；（Ⅱ）以A为原点，以AD为x轴，以AA1为y轴，以AB为z轴，建立空间直角坐标系，∵AD=CD=1，AA1=AB=2，E为AA1的中点，∴B（0，0，2），B1（0，2，2），C1（1，2，1），C（1，0，1），E（0，1，0），，．设点M（a，b，c），∵点M在线段C1E上，∴=λ，λ＞0，∴（a，b﹣1，c）=λ（1，1，1）=（λ，λ，λ），∴a=λ，b=λ+1，c=λ，得M（λ，λ+1，λ），∴=（λ，λ+1，λ），设平面BCC1B1的一个法向量为=（x，y，z），由，取z=1，得．∵直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为，∴|cos＜＞|=||=||=．解得．∴，则||==．∴线段AM的长度为；（Ⅲ）线段B1C上不存在点N，使得NE∥CD．【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查利用空间向量求解线面角，是中档题．18．设F为抛物线C：y2=2x的焦点，A，B是抛物线C上的两个动点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线AB经过焦点F，且斜率为2，求|AB|；（Ⅱ）当OA⊥OB时，求|OA|•|OB|的最小值．【分析】（Ⅰ）根据题意，由抛物线的标准方程求出其焦点坐标，进而可得直线AB的方程，联立直线与抛物线的方程可得4x2﹣6x+1=0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），由弦长公式计算可得答案；（Ⅱ）设直线OA的方程为y=kx，k≠0，根据OA⊥OB，可设直线OB的方程为y=﹣x，分别与抛物线方程联立，求出点A，B的坐标，再求出|OA|2=+，|OB|2=4k4+4k2，根据基本不等式即可求出最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，抛物线C的方程为y2=2x，则其焦点坐标为F（，1），则直线AB的方程为y=2（x﹣）=2x﹣1．由消去y，得4x2﹣6x+1=0．设点A（x1，y1），B（x2，y2），则△＞0，且x1+x2=，x1x2=，所以|AB|=•=•=．（Ⅱ）设直线OA的方程为y=kx，k≠0，∵OA⊥OB，∴直线OB的方程为y=﹣x，由，解得，即A（，），则|OA|2=+，由，解得，即B（2k2，﹣2k），则|OB|2=4k4+4k2，∴（|OA|•|OB|）2=（+）（4k4+4k2）=16（2++k2）≥16（2+2）=64，当且仅当k=±1时取等号，∴|OA|•|OB|的最小值为8．【点评】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，注意抛物线的焦点弦公式的运用，以及两点直线的距离公式，属于中档题．19．如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，BC=CD=AD=2，M为AC的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥MD；（Ⅱ）求二面角B﹣MD﹣C的余弦值．（Ⅲ）求四面体A﹣BCD的外接球的表面积．（注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球．球的表面积S=4πR2）【分析】（Ⅰ）利用直线与平面垂直的判定定理以及性质定理，转化证明BC⊥MD；（Ⅱ）以D为坐标原点，DC，为x轴，过D平行BC的直线为y轴，DA所在直线为：z轴，求出二面角的两个半平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B﹣MD﹣C的余弦值．（Ⅲ）求出外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可．【解答】（Ⅰ）证明：AD⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以BC⊥AD，又：BC⊥CD，AD∩CD=D，所以BC⊥平面ACD，CM⊂平面ACD，∴BC⊥MD；（Ⅱ）解：以D为坐标原点，DC为x轴，过D平行BC的直线为y轴，DA所在直线为：z轴，如图：BC=CD=AD=2，M为AC的中点．D（0，0，0）；C（2，0，0），B（2，﹣2，0），M（1，0，1），平面MBC的一个法向量不妨为：=（0，1，0），设平面BMD的法向量为：=（x，y，z），则，即：，取x=1，则y=1，z=﹣1，=（1，1，﹣1），二面角B﹣MD﹣C的余弦值为：==．（Ⅲ）解：四面体A﹣BCD是棱长为2的正方体，外接球的球心是AB中点，半径为：=，外接球的表面积：12π．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．已知椭圆的一个焦点为，离心率为．点P为圆M：x2+y2=13上任意一点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）记线段OP与椭圆C交点为Q，求|PQ|的取值范围；（Ⅲ）设直线l经过点P且与椭圆C相切，l与圆M相交于另一点A，点A关于原点O的对称点为B，试判断直线PB与椭圆C的位置关系，并证明你的结论．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率公式及b2=a2﹣c2，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）根据两点之间的距离公式|OQ|=，根据x1∈[﹣3，3]，即可求得|PQ|的取值范围；（Ⅲ）根据题意，分析可得PA⊥PB，进而分3种情况讨论直线PA的位置，依次证明直线PB与椭圆C相切，综合三种情况即可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：c=，e==，则a=3，b2=a2﹣c2=4，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）由题意可知：|PQ|=|OP|﹣|OQ|=﹣|OQ|，设Q（x1，y1），，∴|OQ|===，由x1∈[﹣3，3]，当x1=0时，|OQ|min=2，当x1=±3时，|OQ|max=3，∴|PQ|的取值范围[﹣3，﹣2]；（Ⅲ）证明：由题意，点B在圆M上，且线段AB为圆M的直径，所以PA⊥PB．分3种情况讨论：①，当直线PA⊥x轴时，易得直线PA的方程为x=±3，由题意，得直线PB的方程为y=±2，显然直线PB与椭圆C相切．②，同理当直线PA∥x轴时，直线PB也与椭圆C相切．③，当直线PA与x轴既不平行也不垂直时，设点P（x0，y0），直线PA的斜率为k，则k≠0，直线PB的斜率﹣，所以直线PA：y﹣y0=k（x﹣x0），直线PB：y﹣y0=﹣（x﹣x0），由，消去y，得（9k2+4）x2+18（y0﹣kx0）kx+9（y0﹣kx0）2﹣36=0．因为直线PA与椭圆C相切，所以△1=[18（y0﹣kx0）k]2﹣4（9k2+4）[9（y0﹣kx0）2﹣36]=0，整理，得△1=﹣144[（x02﹣9）k2﹣2x0y0k+y02﹣4]=0 （1）同理，由直线PB与椭圆C的方程联立，得△2=﹣144[（x02﹣9）+2x0y+y02﹣4]．（2）因为点P为圆M：x2+y2=13上任意一点，所以x02+y02=13，即y02=13﹣x02．代入（1）式，得（x02﹣9）k2﹣2x0y0k+（9﹣x02）=0，代入（2）式，得△2=﹣[（x02﹣9）+2x0y0k+（x02﹣4）k2]=﹣[（x02﹣9）+2x0y0k+（9﹣x02）k2]，=[（x02﹣9）k2﹣2x0y0k+（9﹣x02）]=0．所以此时直线PB与椭圆C相切．综上，直线PB与椭圆C相切．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，注意利用椭圆的几何性质求出椭圆的标准方程，考查转化思想，属于难题．第21页（共21页）。
2018北京十一学校高二(上)期末数学(理)II
2018北京十一学校高二（上）期末数 学II （理） 2018.1 本试卷共8页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、填空题(共15道小题,1-5每小题3分,6-15每小题4分,共55分)1. 下面说法正确的是______.①长方体的八个顶点在同一个球面上,此时长方体称为球的内接长方体,球是长方体的外接球,并且长方体的对角线是球的直径;②一球与正方体的所有棱相切,则正方体每个面上的对角线长等于球的直径;③一球与正方体的所有面相切,则正方体的棱长等于球的直径.2. 在球内有相距9cm 的两个平行截面,面积分别为249πcm 和2400πcm ,则此球的半径为______.3. 已知异面直线a 与b 所成的角70θ=,P 为空间一点,则过P 点与a 和b 所成角45φ=的直线有______条,过P 点与a 和b 所成角35φ=的直线有______条,过P 点与a 和b 所成角70φ=的直线有______条4. 设,,l m n 表示不同的直线,,,αβγ表示不同的平面,给出下列四个命题,其中正确的序号是______.①若//m l ,且m α⊥,则l α⊥;②若//m l ,且//m α,则//l α;③若,,l m n αββγγα===,则////l m n ; ④若,,m l n αββγγα===,且//n β,则//l m .5. 在三棱锥P ABC -中,点O 是点P 在底面ABC 内的射影.①若PA PB PC ==,则O 是ABC !的______心;②若,PA BC PB AC ⊥⊥,则O 是ABC !的______心;③若侧面,,PAB PBC PAC 与底面ABC 所成的二面角相等,则O 是ABC !的______心.6. 如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列四个命题正确的序号是______.①直线BM 与直线ED 平行; ②直线CN 与直线BE 是异面直线;③直线AF 与平面BDM 平行;④平面CAN 与平面BEM 平行.第6题图 第7题图 第8题图7. 某几何体的三视图如图所示,则它的体积是______.8. 如图所示,侧棱长为23的正三棱锥V ABC -中,40AVB BVC CVA ︒∠=∠=∠=,过A 作截面AEF ,则截面AEF !周长的最小值等于______.9. 如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为______.10. 在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,00,(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和左视图分别为______,______.①②③④ 11. 将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形,其中2AD BD ==,30BAC ∠=,若他们的斜边AB 重合,让三角板ABD 以AB 为轴转动,则下列说法正确的是______.①当平面平面ABC 时,C 、D 两点间的距离为2;②在三角板ABD 转动过程中,总有AB CD ⊥;③在三角板ABD 转动过程中,三棱锥D ABC -体积的最大值为3612. 如图,PA 垂直于圆O 所在的平面,AB 是圆O 的直径,C 是圆O 上一点,,AE PC AF PB ⊥⊥,给出下列结论,其中真命题的序号有______.①AE BC ⊥;②EF PB ⊥;③AF BC ⊥;④AE ⊥平面PBC .13. 如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为正三角形,底面ABCD 为边长为1的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,M 为底面ABCD 内的一个动点,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为______.14. 如图,正方形123SG G G 中,,E F 分别是1223,G G G G 的中点,现沿,SE SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体,使113,,G G G 三点重合于点G .下列五个结论中,正确的是______.①SG ⊥平面EFG ;②SD ⊥平面EFG ;③GF ⊥平面SEF ;④EF ⊥平面GSD ;⑤GD ⊥平面SEF .15. 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为BC 的中点,点P 在正方体的表面上移动,且满足11B P D E ⊥,则点P 形成的轨迹图形的周长是______.B ACD二、解答题(共4小题,共45分.要求有推理计算过程)16. （本小题满分8分）证明:如果一个角所在平面外一点与角的顶点的连线与角的两边所成的角相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上.17. （本小题满分12分）如图,已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2,底面ABC !是等腰直角三角形,且90,2,ACB AC D ∠==是1AA 的中点.（Ⅰ）求异面直线AB 和1C D 所成的角（用反三角函数表示）;（Ⅱ）若E 为线段AB 上一点,试确定点E 在AB 上的位置,使得11A E C D ⊥;（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,求点D 到平面11B C E 的距离.18. （本小题满分12分）如图,在三棱锥P ABC -中,底面ABC ,,60,90PA AB BC BCA =∠=∠=,点D 、E 分别在棱,PB PC 上,且//DE BC .（Ⅰ）求证:BC ⊥平面PAC ;（Ⅱ）当D 为PB 的中点时,求AD 与平面PAC 所成的角的大小;（Ⅲ）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角?并说明理由.19. （本小题满分13分）如图,已知菱形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直,其中1π//,,2,23BE AF AB AF AB BE AF CBA ⊥===∠=,P 为DF 的中点. （Ⅰ）求证://PE 平面ABCD ;（Ⅱ）求二面角D EF A --的余弦值;（Ⅲ）设G 为线段AD 上一点,AG AD λ=,若直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值为3926,求λ的值.数学试题答案一、填空题:本大题共15小题,1-5每小题3分,6-15每小题4分共55分.1.①②③2.25cm3.2;1;44.①④5.外;垂;内6.③④7.28π3- 8.6 9.23 10.④;③11.①③ 12.①②④13.A 14.①④ 15.3252+二、解答题:16. （本小题满分8分）已知:如图,点P 为BAC ∠所在平面外一点,PD AC ⊥于D ,PE AB ⊥于E ,PD PE =,PG ⊥平面ABC 于G .证明:连结,GE GD .PG ⊥平面ABC ,,EG DG ⊂平面ABC ,,PG EG PG DG ∴⊥⊥,又,PD PE PG PG ==,,PEG PDG GE GD ∴≅∴=!!,PG ⊥平面ABC ,EG ∴为PE 在平面ABC 内的射影,又,AB PE AB EG ⊥∴⊥,同理AC DG ⊥,,AGE AGD EAG DAG ∴≅∴∠=∠!!,AG ∴为BAC ∠的角平分线.17. （本小题满分12分）（Ⅰ）以C 为坐标原点,1,,CB CA CC 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则11(0,2,0),(0,2,2),(2,0,0),(0,0,2),(0,2,1)A A B C D ,1(2,2,0),(0,2,1)AB C D ∴=-=-.异面直线AB 与1C D 所成的角为向量AB 与向量1C D 的夹角或其补角. 设AB 与1C D 的夹角为θ, 则410cos 5225θ-==-⨯, 10πarccos 5θ=-, 即异面直线AB 与1C D 所成的角为10arccos5. （Ⅱ）设E 点的坐标为(,,0)x y ,要使得11A E C D ⊥,只要110A E C D ⋅=,11(,2,2),(0,2,1),1A E x y C D y =--=-=, 又点E 在AB 上,//,(,2,0),(2,2,0)AE AB AE x y AB ∴=-=-, 1,(1,1,0)x E ∴=,E ∴点为AB 的中点.（Ⅲ）取AC 中点N ,连接1,EN C N ,则11//EN B C . 11B C ⊥平面11AA C C ,∴平面11B C NE ⊥平面11AA C C , 过点D 作1DH C N ⊥,垂足为H ,则DH ⊥平面11B C NE , DH ∴的长度即为点D 到平面11B C E 的距离.在正方形11AA C C 中,由计算知355DH =, 即点D 到平面11B C E 的距离为355.18. （本小题满分12分）解:（Ⅰ）PA ⊥底面ABC ,PA BC ∴⊥,又90BCA ︒∠=,AC BC ∴⊥,BC ∴⊥平面PAC .（Ⅱ）D 为PB 的中点,//DE BC ,12DE BC ∴=.又由（Ⅰ）知,BC ⊥平面PAC ,DAE ∴∠是AD 与平面PAC 所成的角,PA ⊥底面ABC ,PA AB ∴⊥.又PA AB =,ABP ∴!为等腰直角三角形, 12AD AB ∴=.在Rt ABC !中,60ABC ︒∠=,12BC AB ∴=,∴在Rt ADE !中,2sin 24DE BC DAE AD AD ∠===,即AD 与平面PAC 所成角的正弦值为24.（Ⅲ）//DE BC ,又有（Ⅰ）知,BC ⊥平面PAC , DE ∴⊥平面PAC .又AE ⊂平面PAC ,PE ⊂平面PAC ,,DE AE DE PE ∴⊥⊥,AEP ∴∠为二面角A DE P --的平面角, PA ⊥底面ABC ,PA AC ∴⊥,90PAC ︒∴∠=,∴在棱PC 上存在一点E ,使得AE PC ⊥. 这时90AEP ︒∠=,故存在点E 使得二面角A DE P --是直二面角.19. （本小题满分13分）解:（Ⅰ）取AD 的中点M ,连接,PM BM , P 是DF 的中点,M 是AD 的中点,1//,2PM AF PM AF ∴=, 又1//,,//,2BE AF BE AF BE PM BE PM ==, ∴四边形BEPM 是平行四边形,//PE BM ∴,又PE Ú平面ABCD ,BM ⊂平面ABCD , //PE ∴平面ABCD .（Ⅱ）取AB 中点M ,连接,AC CM ,在ABC !中,π,3AB BC CBA =∠=, ABC ∴!是等边三角形,CM AB ∴⊥, 又平面ABCD ⊥平面ABEF AB =,CM ∴⊥平面ABEF ,又AB AF ⊥,AB ∴⊥平面DAF ,AF ⊥平面ABCD , ∴以A 为原点,作//Az MC 建立如图所示的空间直角坐标系, 设1AB =,则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,0,3),(1,0,3),(0,4,0)A B E C D F -,(3,2,3),(1,4,3)DE DF ∴=-=-,设平面DEF 的法向量(,,)n x y z =,则00n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即3230430x y z x y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩,令1z =,则33,55y z ==, 故33(,,1)55n =为平面DEF 的一个法向量,又因为AF ⊥平面ABCD , 故AF 为平面ABCD 的一个法向量,所以39cos ,31AF nAF n AF n ⋅<>==⋅, 平面DEF 与平面ABCD 所成角的余弦值为3931. （Ⅲ）过G 作GH BA ⊥,交BA 延长线于H ,连接,FH FG , 平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD 平面,,ABEF AB GH AB GH =⊥⊂平面ABCD , GH ∴⊥平面ABCD , GFH ∴∠位置线FG 与平面ABEF 所成角. ,2,AG AD AG λλ=∴=π3CBA DAH ∠=∠=, ππsin 3,cos ,33GH AG AH AG λλ∴=⋅==⋅= 22216HF AF AH λ∴=+=+, 22224FG GH FH λ=+=+,2339sin 2624GH GFH FG λλ∠===+, 计算得出33λ=.。
2017-2018北京海淀清华附高二上期末【文】
2017-2018北京海淀清华附高二上期末一．选择题．（每小题5分，共40分） 1．抛物线24y x =的焦点坐标为（ ）． A ．(1,0) B ．(1,0)- C ．(0,1) D ．(0,1)-【答案】A 【解析】2p =，12p=． 故选：A ．2．已知e ()xf x x=，则()f x '=（ ）．A ．e (1)xx + B ．e (1)xx -C ．2e (+1)x x xD ．2e (1)x x x -【答案】D【解析】2e (1)()x x f x x-'=． 故选：D ．3．双曲线2214x y -=的渐近线方程为（ ）．A ．12y x =±B ．y =C ．2y x =±D ．y = 【答案】A【解析】12b y x x a =±=±．故选：A ．4．若过原点的直线l 与圆22(4)4x y +-=切于第二象限，则直线l 的方程是（ ）．A ．y =B ．y =C ．2y x =D ．2y x =- 【答案】B【解析】0k <，422d r ===． 故选：B ．5．椭圆22143x y +=的两个焦点1F ，2F ，点P 是椭圆上的任意一点（非右顶点），则12PF F △的周长为（ ）． A ．8 B ．6C ．4D ．3【答案】B【解析】椭圆定义，12+=24PF PF a =． 周长为22426a c +=+=．故选：B ．6．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体的最大的侧面的面积为（ ）．A ．1 BCD ．2【答案】C【解析】12S =故选：C ．7．如果函数223y x x ax =-+存在极值，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(3,)+∞ B ．[3,)+∞ C ．(,3)-∞ D ．(,3]-∞【答案】C【解析】2360y x x a '=-+=． 36120a ∆=->．∴3a <． 故选：C ．8．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 是棱BC ，1CC 的中点，P是俯视图侧视图主视图底面ABCD 上（含边界）一动点，满足1A P EF ⊥，则线段1A P 长度的取值范围是（ ）． A．⎡⎢⎣⎦B．32⎤⎥⎣⎦C．[1 D．【答案】D【解析】面11A B CD EF ⊥，∴P 在CD 上即可．1max 1A P A C ==，1min 1A P A P =故选：D ．二．填空题．（每小题5分，共30分） 9．已知21()f x x x=+，则(1)f '=__________． 【答案】1-【解析】3()12f x x -'=-，(1)121f '=-=-． 故答案为：1-．10．已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为34y x =±，则它的离心率为__________．【答案】54【解析】34b a =，2222222225116c a b b e a a a +===+=．∴54e =．B 1D 1C 1A 1FED B C AAC BD EFA 1C 1D 1B 1故答案为：54． 11．已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则该圆锥的体积等于__________．【答案】【解析】h ==21=π3V r h ⋅=．故答案为：．12．若函数2()ln f x x a x =-在1x =处取极值，则a =__________． 【答案】2【解析】()2af x x x'=-，()20f x a '=-=，2a =．检验，满足． 故答案为：2．13．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，直线2y kx =+与函数()f x 的图像相切，如图所示，则函数()()g x xf x =的图像在点(3,g(3))处的切线方程为__________．【答案】3y =【解析】1(3)3k f '==-，(3)1f =．()()+()g x f x xf x ''=，(3)(3)3(3)0g f f ''=+=．(3)3(3)3g f =⋅=．∴切线方程为：3y =． 故答案为：3y =．14．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出20种商品，第二天售出14种商品，第三天售出18种商品：前两天都售出的商品有5种，后两天都售出的商品有4种，则该网店．（1）第一天售出但第二天未售出的商品有__________种．2（2）这三天售出的商品最少有__________种． 【答案】（1）15（2）29【解析】（1）由容斥原理可知第一天售出但第二天未售出的商品有20515-=种． （2）由（1）知，前两天售出的商品种类为2014529+-=种， 当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时， 这三天售出的商品种类最少为29种． 故答案为29．三．解答题．（本题共6个小题，共80分）15．已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =，数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式． （2）求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）132n n a -=⋅，1432n n b n -=-⋅． （2）222332n n S n n =++-⋅． 【解析】（1）数列{}n a 是等比数列． ∴3418a q a ==，=2q ． 11132n n n a a q --==⋅． ∵{}n n a b +是等差数列． ∴4411()()3a b a b d +-+=． 164123d -==，4d =．∴4(1)4n n a b n d n +=+-=．1432n n b n -=-⋅． （2）12341n n n S b b b b b b -=++++++．01141324232432n n S n -=⨯-⋅+⨯-⋅++⨯-⋅ 0114(12)3(222)n n -=+++-+++(1)1243212nn n +-=⋅-⋅-222323n n n =+-⋅+．16．已知函数π()sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）如果点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭角α终边上一点，求()f α的值．（2）设()()sin g x f x x =+，求()g x 的单调增区间．【答案】（1．（2）2ππ+2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．【解析】（1）4sin 5α=，3cos 5α=．πππ()sin sin cos cos sin 333f αααα⎛⎫=+=⋅+⋅ ⎪⎝⎭413525=⋅+=（2）()()sin g x f x x =+ πsin sin 3x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin sin 33x x x =⋅++3sin 2x x =+ π6x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．πππ2π2π262k x k -+++≤≤，k ∈Z ． 2ππ2π2π33k x k -++≤≤． ∴()g x 单调增区间为2ππ+2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．17．已知函数221()3f x x ax x =+-为奇函数．（1）求a 的值．（2）求函数()f x 在[2,2]-的最小值．（3）若函数()f x 在区间1,2t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递减，求实数t 的取值范围．【答案】（1）0a =．（2）min 2()3f x =-．（3）11,2t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）()f x 为奇函数．∴()()f x f x -=-．32321133x ax x x ax x -++=--+． ∴0a =．（2）31()3f x x x =-，x ∈R ．2()1f x x '=-(1)(1)x x =-+．令()0f x '=，1x =±．min ()min{(2),(1)}f x f f =-．82(2)233f -=-+=-．12(1)133f =-=-．∴min 2()3f x =-．（3）∵()f x 在[1,1]-单调递减． ∴1,[1,1]2t t ⎡⎤+⊆-⎢⎥⎣⎦．∴1t -≥，112t +≤．∴112t -≤≤，11,2t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，AD BD ⊥且=AD BD ，AC BD O =，PO ⊥平面ABCD ．（1）E 为棱PC 的中点，求证：OE ∥平面PAB ． （2）求证：平面PAD ⊥平面PBD ．（3）若PD PB ⊥，2AD =，求四棱锥P ABCD -的体积．【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）43． PO D CB【解析】（1）ABCD 是平行四边形，=AC BD O ．∴O 为AC 中点． ∵E 为PC 中点．∴在PAC △中，OE 为中位线． ∴OE PA ∥．∵PA ⊂面PAB ，OE ⊄面PAB ． ∴OE ∥面PAB ． （2）∵PO ⊥面ABCD ． AO ⊂面ABCD ．∴PO AD ⊥． ∵AD BD ⊥，=PO BD O ．∴AD ⊥面PBD ． ∵AD ⊂面PAD ． ∴PAD ⊥面PBD ． （3）在PBD △中．∵O 为BD 中点，PO BD ⊥． ∴PBD △为等腰三角形． ∴112PO BD ==．1141222333P ABCD ABD V S -=⋅⋅⋅=⋅⋅=．19．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12．（1）求椭圆C 的方程．（2）过F 且斜率为1的直线交椭圆于M ，N 两点，P 是直线4x =上任意一点，求证： 直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列．【答案】（1）22143x y +=． （2）证明见解析． 【解析】（1）1c =，12c e a ==． 2a =，b =∴椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）MN 的方程为：1y x =-．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，(4,)P t ． 3PF t k =．221143y x x y ⎧=-+=⎪⎨⎪⎩ 2234(1)12x x +-=． 27880x x --=． 0∆>，1287x x +=，1287x x =-． 121244PM PN y t y t k k x x --+=+-- 21211221124444(4)(4)x y tx y t x y y tx tx x --++--+=--121212122(5)()884()16x x t x x t x x x x -++++=-++223PF tk ==． ∴PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列． 20．已知函数()e sin x f x x ax =-．（1）若1a =，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程． （2）若()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，求实数a 的取值范围．（3）当1a ≤时，求证：对于任意的3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，均有()0f x ≥． 【答案】（1）0y =．（2）(,1]a ∈-∞．（3）证明见解析． 【解析】（1）1a =时()e sin x f x x x =⋅-． ()e sin e cos 1x x f x x x '=+-． (0)0k f '==．(0)0f =．切线方程：0y =．（2）()e sin e cos x x f x x x a '=+-． ∵()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增．∴π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥时．即e sin e cos 0x x x x a +-≥． ∴e sin e cos x x a x x +≤．令()e (sin cos )x g x x x =+．()e (sin cos )e (cos sin )x x g x x x x x '=++-=2e cos x x ．π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0g x '>． ∴()g x 单调递增，min ()(0)1g x g ==． ∴1a ≤，即(,1]a ∈-∞． （3）()e (sin cos )x f x x x a '=+-． 令()e (sin cos )x h x x x a =+-． ()2e cos x h x x '=．π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0h x '>，()h x 单调递增． π3,π24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0h x '<，()h x 单调递增． ∴(0)10h a =-≥，π02h ⎛⎫> ⎪⎝⎭．3π04h a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭． ∴03π3,π24x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使0()0h x =．∴()f x 在0(0,)x 单调递增，在03,π4x ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．∴min 3()min{(0),π}4f x f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(0)00f =≥．3π3π4433πe πe 44f a ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭． ∴min ()0f x ≥． ∴()0f x ≥．。
2017-2018北京海淀101高二上期末【文】数学真题卷
北京一零一中2017-2018学年度第一学期期末考试高二数学（文）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在答题纸上．1．如果命题p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，那么（）．A ．命题p ，q 均为真命题B ．命题p ，q 均为假命题C ．命题p ，q 有且只有一个为真命题D ．命题p 为真命题，q 为假命题【答案】C【解析】p q ∨为真命题，即至少有1个为真，p q ∧为假命题，即至少有1个为假，∴p ，q 一真一假．故选C ．2．已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程210x x -+=，则(1)2(1)f f '+的值是（）．A ．12B ．1C ．32D ．2 【答案】D 【解析】12k =，即1(1)2f '=，11(1)12f +==， ∴(1)2(1)2f f '+=．故选D ．3．已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，||4AB =，则AB 的中点M 的横坐标是（）． A ．2B ．12C ．32D ．52【答案】C【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y 由抛物线定义可知，1212||14AB x x P x x =++=++=，123x x +=， ∴M 横坐标为12322x x +=． 故选C ．4．函数()e x f x x =⋅的最小值是（）．A ．1-B ．e -C ．1e -D ．不存在【答案】C【解析】()e x f x x =⋅，()e e e (1)x x x f x x x '=+=+，∴当1x <-时，()0f x '<，()f x 单减，当1x >-时，()0f x '>，()f x 单增， ∴min 1()(1)ef x f =-=-． 故选C ．5．“1a >”是“函数()cos f x ax x =+在(,)-∞+∞上单调递增”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】()cos f x ax x =+，()sin f x a x '=-，∵sin [1,1]x ∈-，当1a ≥时，()0f x '≥恒成立，∴当1a >时，()f x 恒增，当()f x 恒增时，a 可以为1．故选A ．6．已知双曲线的一个焦点为F ，点P 在双曲线的一条渐近线上，点O 为双曲线的对称中心，若OFP △为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）．ABC ．2 D【答案】B 【解析】设双曲线方程为22221x y a b-=，(,0)F c ， P 在渐近线b y x a=上，OFP △为等腰直角三角形， 只能90OPF =︒△或90OFP =︒∠，均有45POF =︒∠， 即1b a=，∴e = 故选B ．7．函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则下列结论成立的是（）．A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a <，0b <，0c >，0d >D ．0a >，0b >，0c >，0d <【答案】A 【解析】2()32f x ax bx c '=++，由图可知，()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上为增函数，12(,)x x 为减函数，∴0a >，12203b x x a +=->， ∴0b <，12.03c x x a=>，∴0c >，0d >．故选A ．8．如图，抛物线2:4W y x =与圆22:(1)25C x y -+=交于A ，B 两点，点P 为劣弧 AB 上不同于A ，B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则PQC △的周长的取值范围是（）．A ．(10,14)B ．(12,14)C ．(10,12)D ．(9,11) 【答案】C【解析】由图可知，PC PQ QC PQC ++=△周长，Q 为抛物线上点，准线方程1x =-，延长PQ 交准线方程于M ，∴QC QM =，∴PQC △周长为5PM PC PM +=+，2224(1)25y xx y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，∴2(1)25x +=，4x =，当P 在A 上，PM 最短，当P 为圆x 轴交点时PM 最长，∴周长(10,12)∈．故选C ．二、填空题共6小题．9．命题0x ∃>，20x x +≤的否定是__________．【答案】0x ∀>，20x x +>【解析】否定为：0x ∀>，20x x +>．10．若椭圆221(4)4x y m m +=<的离心率为12，则m =__________．【答案】3【解析】∵4m <，∴24a =，2b m =，1e 2=， ∴22222241e 44c a b m a a --====，∴3m =．11．函数3()31f x x x =-+在闭区间[3,0]-上的最大值是__________最小值是__________．【答案】3；17-【解析】22()333(1)f x x x '=-=+，∴当[3,1)x ∈--时，()0f x '>，()f x 为增函数，当[1,0]x ∈-时，()0f x '<，()f x 为减函数，∴max ()(1)1313f x f =-=-++=，{}{}min ()min (3),(0)min 17,117f x f f =-=-=-．12．若命题“x ∃∈R ，使得2(1)10x a x +-+<”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1a <-或3a >【解析】若命题为真，则0∆>，2(1)40a -->，∴1a <-或3a >．13．抛物线28y x =的准线与双曲线22:184x y C -=的两条渐近线所围成的三角形面积为__________．【答案】【解析】28y x =，准线方程为2x =-，双曲线渐近线方程为y =，∴交点分别为(2,A -，(B -，∴||AB =∴122OAB S =⨯⨯=△．14．设函数33,,()2,.x x x a f x x x a ⎧-=⎨->⎩≤ （1）若0a =，则()f x 的最大值__________．（2）若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是__________．【答案】（1）2；（2）(,1)-∞．【解析】（1）若0a =，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-=⎨->⎩≤， 当0x >时，()0f x <，当0x ≤时，2()33f x x '=-，∴()f x 在(,1)f -∞-上为增，在(1,0)-为减，∴max ()(1)2f x f =-=，∴max ()2f x =．（2）由①可知，33x x -在(,1)-∞-，(1,)+∞上为增函数，在(1,1)-上为减函数，如图所示：①当12a -<≤时，最大值为(1)2f -=，②当2a ≥时，3max ()()3f x f a a a ==-，③当1a <-时，没有最大值．综上，当1a <-时，函数没有最大值．三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．设函数32()f x x ax bx c =+++满足(0)4f '=，(2)0f '-=．（1）求a ，b 的值及曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程．（2）若函数()f x 有三个不同的零点，求c 的取值范围．【答案】（1）4y x c =+．（2）32027c <<． 【解析】（1）∵2()32f x x ax b '=++，依题意(0)4(2)1240f b f a b ⎧'==⎪⎨'⎪-=-+=⎩， ∴4b =，4a =，2()384f x x x '=++，32()44f x x x x c =+++，∴(0)4k f '==，(0)f c =，∴切点坐标为(0,)c ，∴切线方程4y x c =+．（2）∵()(2)(32)f x x x '=++且x ∈R ，令()0f x '=，∴12x =-，223x =-，∴(2)f c -=，2327f c ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 若()f x 有2个不同零点，则(2)0f c -=>，2320327f c ⎛⎫-=-+< ⎪⎝⎭， ∴32027c <<． 16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，右焦点为((1,0)F ． （1）求椭圆E 的方程．（2）设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ON ⊥，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=．（2）1x y =+． 【解析】（1）2221c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，得a =1b =， ∴椭圆方程为2212x y +=． （2）依题意，直线l 斜率不为0，设l 方程为1x my =+， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立：221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩，消22:(2)210x m y my ++-=， ∵相交，∴2244(2)0m m ∆=++>，m ∈R ，1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， ∵OM ON ⊥， ∴12120OM ON x x y y ⋅=+= ，∴1212(1)(1)0my my y y +++=，21212(1)()10m y y m y y ++++=， ∴212m =，直线l方程为1x y =+．17．已知函数()ln f x x =．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（2）求证：当0x >时，1()1f x x-≥． （3）若1ln x a x ->对任意1x >恒成立，求实数a 的最大值． 【答案】（1）10x y --=．（2）见解析．（3）max 1a =．【解析】（1）∵1()(0)f x x x'=>， ∴(1)1k f '==，(1)0f =，∴切线方程为1y x =-，10x y --=．（2）证明：设1()()1g x f x x=--+，(0,)x ∈+∞， 1ln 1x x=+-， 则22111()x g x x x x-'=-=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 减函数， 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 增函数， ∴min ()(1)0g x g ==，∴()(1)0g x g =≥， ∴1()1f x x-≥． （3）设()1ln h x x a x =--，(0,)x ∈+∞， 则()1a x a h x x x-'=-=， ①当1a ≤时，()0h x '>对(1,)x ∀∈+∞恒成立， ∴()h x 在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0h x h >=，∴1ln 0x a x -->在(1,)+∞上成立， ∴1a ≤成立．②当1a >时，令()0h x '=，∴x a =且(1,)a ∈+∞，当(1,)x a ∈时，()0h x '<，∴()h x 单减， 当(,)x a ∈+∞时，()0h x '>，∴()h x 单增， ∴min ()()(1)0h x h a h =<=，∴不成立， 故1a ≤，max 1a =．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点到它的两个焦的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点． （1）求圆O 和椭圆C 的方程． （2）已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N ．求证：MQN ∠为定值．【答案】（1）222x y +=；22142x y +=；（2）见解析． 【解析】（1）依题意22224a b c a b c⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，得2a =，b c =， ∴圆方程222x y +=，椭圆C 方程22142x y +=． （2）设00(,)P x y ，10(,)Q x y ， ∴2200142x y +=，22102x y +=，00y ≠， ∵AP 方程00(2)2y y x x =++，令0x =时，0020,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，BP 方程为00(2)2y y x x =--，令0x =得02020,y N x -⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴01002,2y QM x y x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭ ，01002,2y QN x y x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭， ∴2222220000102200(42)2042x y y y QM ON x y x y -⋅=+=-+=-- ， ∴90MON =︒∠．。
2017-2018学年第二学期7月北京人大附中高二数学期末复习试题(理科)
人大附中 2017~2018 学年度第二学期期末高二年级数学(理)练习2018年7月6日说明：本练习共三道大题20 道小题，共 4 页，满分 150 分，考试时间120 分钟。
一、选择题(本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸的相应地点.）11． (e x 2 x)dx 等于（）（A）1（ B） e 1（C）e（ D） e 12．已知(13x)n的睁开式中含有x2项的系数是54，则n（）（A）3（B）4（C） 5（D）63．函数 y f ( x) 的导函数 y f ( x) 的图象如右图所示，则y f ( x) 的图象可能是（）4．已知从 A 口袋中摸出一个球是红球的概率为1，从 B 口袋中摸出一个球是红球的概率为41 ，现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球起码有一个不是红球的概率是（）5（A）1（B）19（C）3（D）7 20205205．以下极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（）O x （ A） 6 5cos （B）6 5sin（C）6 5cos （D）6 5sin6．已知随机变量i知足 P( i 1)p i , P(i 0) 1 p i , i1,2 .若 0p1 p21,则（）2（A） E( 1)E( 2)， D( 1) D( 2)（B） E( 1)E( 2)，D( 1) D( 2)（C） E( 1)E( 2)， D( 1) D( 2)（D） E( 1)E( 2)， D( 1) D( 2)7．会合 P{ x | x a0a1 2 a222a323 } ，此中a i{0,1}, i0,1, 2,3 ．则会合 P 中元素的个数及全部元素之和分别是（）（ A） 16， 120（ B） 8， 120（C） 16， 60（D）8， 608．设函数y x3x2 , x e,的图象上存在两点 P, Q ,使得△ POQ 是以O为直角极点的直角a ln x,x e三角形 (此中 O为坐标原点 ),且斜边的中点恰幸亏 y 轴上 ,则实数 a 的取值范围是（）（ A） (0,1]（B）( ,1]（C） [1, +)（D）Re1e1e1二、填空题 (本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．请把结果填在答题纸的相应地点.)9．已知复数z 12i ，此中i是虚数位，z的模是________．1 ix12cos( 参数 )被 x 截得的弦 ________．10．1 2siny11．有 5 名教要 3 个趣小出门学观察，要求每个趣小的教至多2人，不一样的方案有________种．（用数字作答）12．察以下一等式1+2=32+3+4+5=143+4+5+6+7+8=334+5+6+7+8+9+10+11=60⋯⋯照此律，第n 个等式的右端 ________．13．已知函数 f ( x)x2 2 x,x0,ax 恒建立， a 的取范是 ________．ln( x1),x若 | f (x)|0.14．定会合A n{1, 2, 3,, n } ，映照 f: A n A n，若 f足：①当 i , j A n , i j ， f (i ) f ( j ) ；②任取 m A n，若m 2 ，有m{ f (1), f (2), ,f (m)} ．称映照 fA A 是一个“ 映照”．比如：用表 1 表示的映照 f : A A 是一个n n33映照．表 1表 2i123i1234f (i )231 f (i )3（ 1）已知表 2 表示的映照 f : A4A4是一个映照，把表 2 充完好（只要填出一个足条件的映照）；（ 2）若映照 f : A A是“ 映照”，且方程 f (i )i 的解恰有 6 个，的“ 映照”1010的个数是 ________．三、解答(本大共 6 小，共 80 分，解答写出文字明明程或演算步.）15．（本小 13 分）甲、乙两人行射比，各射 4 局，每局射10 次，射命中目得 1 分，未命中目得 0 分．两人 4 局的得分状况以下：甲6699乙79x y（Ⅰ）若从甲的 4 局比中，随机取 2 局，求 2 局的得分恰巧相等的概率；（Ⅱ）假如 x y7 ，从甲、乙两人的 4 局比中随机各取 1 局，2 局的得分和X ,求 X 的散布列和数学希望；（Ⅲ）在 4 局比中，若甲、乙两人的均匀得分同样，且乙的更定，写出x 的全部可能取．（不要求明）16．（本小13 分）已知数列 { a n } 中， a11，且a n 12an ( n N ) .2 a n（Ⅰ）求 a2 , a3 , a4的值；（Ⅱ）试猜想这个数列的通项公式，并用数学概括法证明．17．（本小题 13 分）已知函数 f ( x) ax3bx24x 的极小值为8 ，其导函数 y f ( x) 的图象经过点( 2, 0)，以下图．y（Ⅰ）求 f ( x) 的分析式；（Ⅱ）若函数y f ( x) k 在区间 [ 3, 2] 上有两个不一样的零点，务实数 k 的取值范围．-2O x 18．（本小题13 分）某企业计划购置 2 台机器，该种机器使用三年后即被裁减．机器有一易损部件，在购进机器时，能够额外购置这类部件作为备件，每个200 元，在机器使用时期，假如备件不足再购置，则每个 500 元．现需决议在购置机器时应同时购置几个易损部件，为此收集并整理了100台这类机器在三年使用期内改换的易损部件数，得下边柱状图：频数402011 改换的易损部件数8910以这 100 台机器改换的易损部件数的频次取代 1 台机器改换的易损部件数发生的概率，记 X 表示2台机器三年内共需改换的易损部件数，n 表示购置 2 台机器的同时购置的易损部件数．（Ⅰ）求 X 的散布列；（Ⅱ）若要求 P( X n )0.5 ，确立 n 的最小值；（Ⅲ）以购置易损部件所需花费的希望值为决议依照，在n 19与 n 20 之中选其一，应选用哪个？19．（本小题14 分）已知函数 f ( x)e x a(x ln x) (a R ) ．x（Ⅰ）当 a （Ⅱ）当 a （Ⅲ）若存在1 ， 求 f ( x) 在 (1, f (1)) 的切 方程； 0 ， 求f ( x) 的 区 ；x 1 (0,1), x 2 (0,1) ，使得 f (x 1 ) f ( x 2 ) ， 求 a 的取 范 ．20．（本小14 分）于 数m 的有 数列 { a n } ,令 b kmax{ a 1 , a 2 , , a k } (k 1, 2, , m) ,即 b ka 1 , a 2 ,⋯a k 中的最大 , 称数列 {b n }{ a n } 的上界数列 , 如 1, 3, 2, 5 的上界数列是 1, 3, 3, 5．（Ⅰ）若各 均 正整数的数列{ a n } 的上界数列2, 4, 4, 5, 写出全部的 { a n } ；（Ⅱ） { b n } 是 { a n } 的上界数列 , 足 a kb m k 1 C ( C 常数 , k1, 2, , m ), 求 : b ka k ；（Ⅲ）若各 正整数的数列{ a n } 的 数 m 5 , 其上界数列 {b n } 足 b 1 1, b 5 10 , 求 足条件的数列 { a n } 和 { b n } 的个数．。
高三试题—2017-2018学年北京市海淀区高三上学期理科期末数学试卷解析
（3）答案见解析
17. 【答】（1）证明见解析
（2） √6
4
（3）三棱锥M − A1C D 和三棱锥N − A1C D 的体积相等．
18. 【答案】（1）短轴长为2b = ， 3√2
离心率为e = c = ． √2
a
2
（2） ． |T P | < |T M |
19. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）当0 < a < 1 时，f (x)有两个零点． 当a = 1 时，f (x)有一个零点； 当a > 1 时，f (x)有两个零点．
2017~2018学年北京海淀区高三上学期理科期末数学试卷
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 【答案】A 2. 【答案】D 3. 【答案】B 4. 【答案】A 5. 【答案】D 6. 【答案】C 7. 【答案】D 8. 【答案】C
填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9. 【答案】 2 √5
20. 【答案】（1）2，1，1，2，2，3，1 （2）证明见解析 （3）证明见解析
5
10. 【答案】5050 11. 【答案】2 12. 【答案】6 13. 【答案】√− 3− 3
14. 【答案】1．(−1, 1) 2． 1
[−2, ] 5
解答题：本大题共6小题，共80分．
15. 【答案】（1）1 （2）− 2 √3
3
16. 【答案】（1） 7
12
（2）分布列见解析，期望为 3
2017-2018北京东城汇文高二上期末【理】
2017-2018学年度第一学期 北京汇文中学期末考试 高二年级数学（理科）一、选择题（每题4分）1．下列求导运算正确的是（ ）．A ．3(3)3log xx e '=B ．(sin 2)cos 2x x '=C ．21(log )ln 2x x '=D ．2111x x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】A 项．(3)3ln 3x x '=⋅，故A 项错误；B 项．(sin 2)2cos 2x x '=，故B 项错误；C 项．21(log )ln 2x x '=，故C 项正确； D 项．2111x x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故D 项错误．综上． 故选C ．2．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，M 是AA '的中点，N 是靠近C 的四等点，则M ，N 之间的距离是（ ）．ABCD【答案】B【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD '为z 轴建立空间直角坐标系， 则由题意知，11,0,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,04N ⎛⎫⎪⎝⎭，∴MN ==． 故选B ．3．“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）．A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件【答案】CM NDABC A'B'C'D'【解析】若直线l 与平面α内无数条平行直线都垂直， 则直线l 与平面α不一定垂直， 反之，直线l 与平面α垂直， 则由线面垂直的定义可知，直线l 与平面α内无数条直线都垂直，故“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的必要非充分条件． 故选C ．4．若函数321y x x mx =+++是R 上的单调增函数，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】若函数321y x x mx =+++是R 上的单调增函数， 则2320y x x m '=++≥恒成立， ∴4120m ∆=-≤，解得：13m ≥，即实数m 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选A ．5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点．若1AF B △的周长为C 的方程是（ ）．A ．2213x y +=B ．221124x y +=C ．221128x y +=D ．22132x y +=【答案】D【解析】由题意可得，2224c a a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：a =b ，1c =， ∴C 的方程是22132x y +=．故选D ．6．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）．A ．若αβ⊥，m α∥，则m β⊥B ．若m α∥，n β∥，且m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，αβ⊥，则m α∥D ．若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥【答案】D【解析】A 项．若αβ⊥，m α∥，则m β∥，m β⊂，m 与β相交都有可能，故A 错误；B 项．若m α∥，n β∥，且m n ∥，则α，β相交或αβ∥，故B 错误；C 项．若m β⊥，αβ⊥，则由面面垂直和线面垂直的性质可得m α∥或m β⊂，故C 错误；D 项．若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，可将m ，n 平移至相交直线，由公理3推论2，确定一个平面γ，由线面垂直的性质可得α，β的交线l 垂直于γ，进而得到l 垂直于γ和α，β的交线，由面面垂直的定义，可得αβ⊥，故D 正确． 综上所述． 故选D ．7．已知函数2()e x f x x =，若()f x 在[,1]t t +上不单调．．．，则实数t 的取值范围是（ ）．A ．(,3)(0,)-∞-+∞B ．(3,2)(1,0)---C ．(2,1)--D ．(,2)(1,)-∞--+∞【答案】B【解析】由2()e x f x x =得()(2)e x f x x x '=+，∴()f x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，则(2,0)-上单调递减， ∴0或2-是函数的极值点，若函数2()e x f x x =在区间[,1]t t +上不单调， 则函数2()e x f x x =在区间(,1)t t +上存在极值点， ∴21t t <-<+或01t t <<+， 解得32t -<<-或10t -<<，即实数t 的取值范围是(3,2)(1,0)---． 故选B ．8．下列说法中正确的个数是（ ）．①如果一条直线和一个平面平行，那么它就和这个平面内的无数条直线平行； ②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点； ③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l 和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l 平行的直线在α内A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对于①，若直线l 与平面α平行，经过l 作平面β， 设α，β的交线为m ，根据线面平行的性质定理可得l m ∥， 因为这样的平面β有无数个，所以满足条件的m 也有无数条．故①正确；对于②，根据直线与平面平行的定义，可得直线与平面没有公共点， 因此平面内任意一条直线与已知直线都没有公共点，故②正确； 对于③，过直线外一点，有无数个平面和已知直线平行，故③错误； 对于④，如果直线l 和平面α平行，在α内取一点A ，过A 作直线m ，使m l ∥，经过l 与点A 的平面β，B m α'=， 则m l '∥，可得经过点A 有两条直线与直线l 平行与平行公理矛盾， 故过平面α内一点和直线l 平行的直线在平面α内，故④正确．综上所述，说法中正确的个数是3．故选C ．9．函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）．A ．0(1)(2)(2)(1)f f f f ''<<<-B ．0(2)(2)(1)(1)f f f f ''<<-<C ．0(2)(1)(2)(1)f f f f ''<<<-D ．0(2)(1)(1)(2)f f f f ''<-<<【答案】B【解析】观察图象可知，该函数在(1,2)上为连续可导的增函数，且增长的越来越慢， 所以各点处的导数在(1,2)上处处为正， 且导数值逐渐减小， 所以有(2)(1)f f ''<，而(2)(1)(2)(1)21f f f f --=-，表示连接点(1,(1))f 与点(2,(2))f 割线的斜率，根据导数的几何意义，则有0(2)(2)(1)(1)f f f f ''<<-<． 故选B ．10．如图所示，ADP △为正三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ．若点M 为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（ ）．A ．B ．D ABCPD ABCCC ．D ．【答案】A【解析】在空间中，存在过线段PC 中点且垂直于线段PC 的平面， 平面上的点到P ，C 两点的距离相等，记此平面为α，平面α与平面ABCD 有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线． 故选A ．二、填空题（每题3分）11．双曲线22143x y -=的渐近线方程是__________．【答案】y = 【解析】由双曲线方程22143x y -=得2a =，b =焦点在x 轴上，故渐近线方程为：y =．12．2121d x x =⎰__________． 【答案】12【解析】221121111d (1)22x x x =-=---=⎰．13．函数2()cos 1f x x =-+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是__________．【答案】0【解析】∵当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2sin 0f x x x '=+>，∴2()cos 1f x x x =-+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴当0x =时，()f x 取得最小值，min ()(0)0f x f ==．14．已知向量(42,1,1)a m m m =---，(4,22,22)b m m =--，若a b ∥，则m =__________． 【答案】1或3【解析】若a b ∥，则存在实数λ，DABC B使得a b λ=，所以424m λ-=，1(22)m m λ-=-， 解得：1m =或3m =．15．函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(e)ln f x xf x '=+，则(e)f '=__________．【答案】1e-【解析】∵()2(e)ln f x xf x '=+，∴1()2(e)f x f x ''=+，∴1(e)2(e)e f f ''=+，解得：1(e)ef '=-．16．函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程为122y x =+，则(1)(1)f f '+=__________． 【答案】3【解析】∵函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程为122y x =+， ∴15(1)222f =+=，1(1)2f '=， ∴51(1)(1)322f f '+=+=．17．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1BC 相交于点O ，若1DO xDA yDC zDD =++，则x y=__________．【答案】12【解析】∵DO DC CO =+，1111()()22CO CB CC DA DD =+=+，∴11122DO DC DA DD =++，又1DO xDA yDC zDD =++，D ABC A 1D 1C 1B 1O得12x =，1y =， 故12x y =．18．方程||||1169x x y y +=-的曲线即为函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点；③函数()y f x =的值域是R ；④()f x 的图象不经过第一象限，其中所有正确命题的序号是__________． 【答案】①②③④【解析】当0x ≥，0y ≥时，方程||||1169x x y y +=-可化为221169x y +=-，方程不成立；当0x ≥，0y <时，方程||||1169x x y y +=-可化为221916y x -=，表示双曲线的一部分；当0x <，0y ≥时，方程||||1169x x y y +=-可化为221169x y -=，表示双曲线的一部分；当0x <，0y <时，方程||||1169x x y y +=-可化为221169x y +=，表示椭圆的一部分．故可作出函数()y f x =的图象，如图所示：对于①，()f x 在R 上单调递减，故①正确； 对于②，由于4()30f x x +=，即3()4f x x =-，由图可知，函数()y f x =的图象与直线34y x =-无交点，所以，函数()4()3F x f x x =+不存在零点，故②正确；对于③，函数()y f x =的值域是R ，故③正确；对于④，由图象可知，()f x 的图象不经过第一象限，故④正确， 综上所述，正确命题的序号是①②③④．三、解答题．19．（本题6分）已知函数1()ln ()af x x a x a x+=+-∈R ． （1）当1a =时，求函数()f x 的极值．=（2）求函数()f x 的单调区间． 【答案】见解析．【解析】解：（1）当1a =时，2()ln f x x x x =+-，2221(1)(2)()1x x f x x x x +-'=--=， 令()0f x '=，得1x =-或2x =， 又()f x 的定义域是(0,)+∞， 故当(0,2)x ∈时，()0f x '<， 当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，∴()f x 在(0,2)时单调递减，则(2,)+∞单调递增，∴()(2)21ln 23ln 2f x f ==+-=-极小值，无极大值．【注意有文字】（2）由1()ln af x x a x x+=+-得()f x 的定义域是(0,)+∞， 且221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x ++-+'=--=，当10a +≤，即1a -≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当10a +>，即1a >-时，令()0f x '=，得1x a =+或1x =-（舍去）， 若(0,1)x a ∈+，则()0f x '<，()f x 单调递减； 若(1,)x a ∈++∞，则()0f x '>，()f x 单调递增． 综上所述，当1a -≤时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞；当1a >-时，()f x 的单调减区间是(0,1)a +，单调增区间是(1,)a ++∞．20．（本题10分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF DE ⊥，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ． （2）求二面角F BE D --的余弦值．（3）设点M 是线段BD 上的一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论． 【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴DE AC ⊥， ∵ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥， 又∵DEBD D =，∴AC ⊥平面BDE ．DABCEF（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直， ∴如图建立空间直角坐标系，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒， 即60DBE ∠=︒，∴EDDB， 由3AD =，知DE =AF =则(3,0,0)A，F，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,BF =-，(3,0,EF =-， 设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =， 则00n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3030y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令zn =， ∵AC ⊥平面BDE ，∴CA 为平面BDE 的法向量，(3,3,0)CA =-，∴cos ,||||32n CA n CA n CA ⋅===⋅，又∵二面角F BE D --为锐角， ∴二面角F BE D -- （3）点M 是线段BD 上一个动点， 设(,,0)M t t ，则(3,,0)AM t t =-， ∵AM ∥平面BDE ，∴0AM n ⋅=，即4(3)20t t -+=， 解得：2t =，此时，点M 坐标为(2,2,0)，13BM BD =．21．（本题10分）已知抛物线24y x =，点(1,0)M 关于y 轴的对称点为N ，直线l 过点M 交抛物线于A ，B 两点．（1）证明：直线NA ，NB 的斜率互为相反数．（2）求ANB △面积的最小值．（3）当点M 的坐标为(,0)m （0m >，且1m ≠）．根据（1）（2）推测并回答下列问题（不必说明理由）．①直线NA ，NB 的斜率是否互为相反数？ ②ANB △面积的最小值是多少？ 【答案】见解析．【解析】解：（1）证明：设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠， 由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，可得：2222(24)0k x k x k -++=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212224k x x k ++=，121x x =，124y y =-，又(1,0)N -，∴22121212212222121212444[(4)(4)]1144(4)(4)NA NB y y y y y y y y k k x x y y y y ++++=+=+=++++++， 211222124(4444)0(4)(4)y y y y y y -+-+==++， 又当l 垂直于x 轴时，点A ，B 关于x 轴对称， 显然，0NA NB k k +=，即NA NB k k =-，综上所述，直线NA ，NB 的斜率互为相反数． （2）12121||||||42ANB S MN y y y y =⋅-=-==△， 当l 垂直于x 轴时，4ANB S =△， ∴ANB △面积的最小值为4． （3）推测：①NA NB k k =-；②ANB △面积的最小值为4．22．（本题10分）已知函数12()ln e e x f x x x=--．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（2）求证：1ln e x x-≥． （3）判断曲线()y f x =是否位于x 轴下方，并说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2112()e e x f x x x'=--+，∴1(1)1e f '=-，又1(1)ef =-，∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：11111e e ey x ⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭， 即12110e e x y ⎛⎫---+= ⎪⎝⎭． （2）要证1ln e x x -≥，(0)x >，只需证1ln e x x -≥， 令()ln g x x x =，则()1ln g x x '=+，令()0g x '=，得1ex =， 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴()g x 的最小值为11e e g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故1ln e x x -≥， ∴1ln e x x-≥． （3）曲线()y f x =位于x 轴下方，理由如下： 由（2）可知1ln e x x -≥， 所以1111()e e e e x x x f x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭≤， 设1()e e x x k x =-，则1()e x x k x -'=． 令()0k x '>，得01x <<； 令()0k x '<，得1x ≥， ∴()k x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数， ∴当0x >时，()(1)0k x k =≤恒成立， 当且仅当1x =时，(1)0k =， 又∵1(1)0ef =-≤， ∴()0f x <恒成立， 故曲线()y f x =位于x 轴下方．。
2017~2018年高二数学期末检测题(配答案)(选修2-2)
期末检测题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知定义在复数集C上的函数f(x)满足f(x)=1+x,x∈R1−i x,x∉R，则f(1+i)等于（）A. -2B. 0C. 2D. 2+i2.设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=2Sa+b+c；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V，则r＝（）A. VS1+S2+S3+S4B. 2VS1+S2+S3+S4C. 3VS1+S 2+S3+S4D. 4VS1+S2+S3+S43.“已知函数f(x)=x2+ax+a(a∈R)，求证：|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于12。
”用反证法证明这个命题时，下列假设正确的是( )A. 假设|f(1)|≥12且|f(2)|≥12; B. 假设|f(1)|<12且|f(2)|<12;C. 假设|f(1)|与|f(2)|中至多有一个不小于12 ; D. 假设|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不大于12.4.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是（）A. B.C. D.5.（原创）若对定义在R上的可导函数f x，恒有4−x f2x+2xf′2x>0，（其中f′2x表示函数f x的导函数f′x在2x的值），则f x（）A. 恒大于等于0B. 恒小于0C. 恒大于0D. 和0的大小关系不确定6.已知函数f x满足f x=2f1x 当x∈1,3，f x=ln x，若在区间13,3内，函数g x=f x−ax与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A. 0,1e B. 0,12eC. [ln33,1e) D. [ln33,12e)7.一物体A以速度v=3t2+2（t的单位：s，v的单位：m/s），在一直线上运动，在此直线上在物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方8m处以v=8t（t的单位：s，v的单位：m/s）的速度与A同向运动，设ns后两物体相遇，则n的值为A. 4+103B. 2+10C. 4D. 58.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,g(x)=|f(x)|,曲线C:y=g(x)关于直线x=1对称,现给出如结论：①若c>0,则存在x0<0，使f(x0)=0；②若c<−1，则不等式g(x+1)>g(x)的解集为(12，+∞)；③若−1<c<0，且y=kx是曲线C:y=g(x)(x<0)的一条切线,则k的取值范围是(−274,−2).其中正确结论的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3 9.令t=∫1-1|x|dx，函数f(x)={23x+43(x≤−12)log12(x+t)(x>−12)，g(x)={12x2−ax+4a(x≤2)(2)x−1(x>2)满足以下两个条件：①当x≤0时，f(x)<0或g(x)<0；② A={f(x)|x>0}，B={g(x)|x>0}，A∪B=R，则实数a的取值范围是（）A. [−12,−13] B. [−12,−13) C. (−∞,−13) D. (−∞,−13]10.设定义在R上的函数y=f(x)满足任意t∈R都有f(t+2)=1f(t)，且x∈(0,4]时，f′(x)>f(x)x，则f(2016),4f(2017),2f(2018)的大小关系（）A. 2f(2018)<f(2016)<4f(2017)B. 2f(2018)>f(2016)>4f(2017)C. 4f(2017)<2f(2018)<f(2016)D. 4f(2017)>2f(2018)>f(2016)11.已知函数y=f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，且当x∈(−∞,0)时，f(x)+xf′(x)<0成立（其中f′(x)是f(x)的导函数），若a=(30.3)⋅f(30.3)，b=(logπ3)⋅f(logπ3)，c=(log319)⋅f(log319)，则a,b,c的大小关系是（）A. a>b>cB. c>b>aC. c>a>bD. a>c>b12.已知函数f(x)=ln(1+x)−ln(1−x)，给出以下四个命题：① ∀x∈(−1,1)，有f(−x)=−f(x)；② ∀x1,x2∈(−1,1)且x1≠x2，有f(x1)−f(x2)x1−x2>0；③ ∀x1,x2∈(0,1)，有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2；④ ∀x∈(−1,1)，|f(x)|≥2|x|.其中所有真命题的序号是（）A.①②B.③④C.①②③D.①②③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上13.平行四边形OABC各顶点对应的复数分别为z O＝0，z A＝2＋a2i，z B＝－2a＋3i，z C＝－b＋ai，则实数a－b为________．14.如图所示，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．15.设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分∫01f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，x N和y1，y2，…，y N，由此得到N个点(x i，y i)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足y i≤f(x i)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分∫01f(x)dx的近似值为________．16.牛顿通过研究发现，形如(ax+b)n形式的可以展开成关于x的多项式,即(ax+b)n=a0+a1x+a2x2+...+a n x n的形式其中各项的系数可以采用“逐次求导赋值法”计算.例如:在原式中令x=0可以求得a0，第一次求导数之后再取x=0，可求得a1，再次求导之后取x=0可求得a2,依次下去可以求得任意-项的系数，设e x=a0+a1x+a2x2+...+a n x n+ ...,则当n=5时，e= ________(用分数表示)三、解答题：本题共6小题，共70分。
北京市海淀区2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科）一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 直线在y轴上的截距为A. B. C. D.【答案】D【解析】∵令，此时∴在轴上的截距为1故选D2. 双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】∵由双曲线的方程可知∴渐近线的方程为故选A3. 已知圆经过原点，则实数等于A. B. C. D.【答案】B【解析】∵圆经过原点∴代入可得∴故选B4. 鲁班锁是曾广泛流传与民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身机构的连接支撑，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵由图可知要计算鲁班锁的体积，可将其分解为求三个长方体的体积左右两个长方体的长宽高分别为，中间的长方体长宽高为∴零件的体积为故选C5. 椭圆：的焦点为，，若点在上且满足，则中最大角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵椭圆∴焦点∵点在上∴∵∴，∵∴中最大角为∴∴故选A点睛：本题考查椭圆的简单的性质的应用，根据三边求最大角，先求出最大边，根据“大边对大角”可以判断最大角，再利用余弦定理求出余弦值即可得角.6. “”是“方程表示双曲线”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若方程为双曲线，则∴是方程表示双曲线的充分必要条件故选C7. 已知两条直线，两个平面，下面说法正确的是A. B.C. D.【答案】D【解析】对于，，则两条直线可以平行，可以相交，故错误；对于，，则两条直线可以相交，故错误；对于，若，直线与平面可以平行，或者相交，故错误；对于，若，则平面内任意一条直线平行于，因为，所以，故正确故选D点睛：本题主要考查线面平行的判定与性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等.8. 在正方体的中，点是的中点，点为线段（与不重合）上一动点.给出如下四个推断：①对任意的点，平面；②存在点，使得；③对任意的点，则上面推断中所有正确．．的为A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】D【解析】对于①，∵由题可知平面∥平面∴平面内任意一条直线平行于平面∵∴∥平面，故①正确对于②，作的中点，由题可知∥当且仅当点位于与的交点时∥，故②正确对于③，∵四方体为正方体∴平面∵平面∴同理可证得∵与相交于点∴平面∵点为线段（与不重合）上一动点∴对任意的点，，故③正确故选D二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
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2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（3，2，1），则线段AB的中点的坐标是（）A．（1，1，1）B．（2，1，1）C．（1，1，2）D．（1，2，3）3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A．32 B．34 C．36 D．405．（4分）已知平面α，β，直线m，n，下列命题中假命题是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∥β，n⊂β，则m∥n6．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）A．90°B．105°C．120° D．150°7．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）平面α，β，γ两两互相垂直，在平面α内有一个点A到平面β，平面γ的距离都等于1．则在平面α内与点A，平面β，平面γ距离都相等的点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为．10．（4分）直线被圆x2+y2=1所截得的弦长为．11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是．（只需写出一组）12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，0），B（x，3，﹣1），C（4，y，2），若A，B，C三点共线，则x+y=．13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．14．（4分）曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2①请写出曲线W的两条对称轴方程；②请写出曲线W上的两个点的坐标；③曲线W上的点到原点的距离的取值范围是．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面PAD．17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．（Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；（Ⅱ）求二面角O﹣EG﹣F的余弦值；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．18．（12分）已知抛物线W：y2=4x，直线x=4与抛物线W交于A，B两点．点P （x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，直线PA，PB分别与x轴交于M，N．（Ⅰ）若△PAB的面积为4，求点P的坐标；（Ⅱ）当直线PA⊥PB时，求线段PA的长；（Ⅲ）若△PMN与△PAB面积相等，求△PMN的面积．2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．1【解答】解：直线2x+y﹣1=0化为：y=﹣2x+1，则在y轴上的截距为1．故选：D．2．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（3，2，1），则线段AB的中点的坐标是（）A．（1，1，1）B．（2，1，1）C．（1，1，2）D．（1，2，3）【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点A（1，0，1），B（3，2，1），∴线段AB的中点的坐标是（2，1，1）．故选：B．3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．【解答】解：∵圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，∴0+0﹣0+m+1=0，则实数m=﹣1，故选：B．4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A．32 B．34 C．36 D．40【解答】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为10，宽为2，高为2的长方体的上面的中间部分去掉一个长为2，宽为2，高为2的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V=10×2×2﹣2×2×1=36．故选：C．5．（4分）已知平面α，β，直线m，n，下列命题中假命题是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∥β，n⊂β，则m∥n【解答】解：由平面α，β，直线m，n，知：在A中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判断定理得α∥β，故A正确；在B中，若m∥n，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故B正确；在C中，若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m∥α，α∥β，n⊂β，则m与n平行或异面，故D错误．故选：D．6．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）A．90°B．105°C．120° D．150°【解答】解：椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，|MF1|+|MF2|=8，所以|MF1|=5，|MF2|=3，|F1F2|=4，则△F1MF2中最大角为：∠F1F2M=90°．故选：A．7．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：方程x2+my2=m表示双曲线，+y2=1⇔m＜0．∴“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的充要条件．故选：C．8．（4分）平面α，β，γ两两互相垂直，在平面α内有一个点A到平面β，平面γ的距离都等于1．则在平面α内与点A，平面β，平面γ距离都相等的点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图1所示，∠OCB=45°，令∠OAB=22.5°，∴AC=BC，点C满足题意；如图2所示，∠OAN=45°，令∠OMN=22.5°，则AN=AM，点M满足题意；综上，满足条件的点的个数是2个．故选：B．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为135°，经过点（1，1）且与直线l 平行的直线方程为x+y﹣2=0．【解答】解：直线l：x+y﹣1=0的斜率为k=﹣1，倾斜角为α=135°，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故答案为：135°，x+y﹣2=0．10．（4分）直线被圆x2+y2=1所截得的弦长为．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径r=1，圆心O（0，0）到直线的距离：d==，∴直线被圆x2+y2=1所截得的弦长为：|AB|=2=2=．故答案为：．11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是A1、A、C、D．（只需写出一组）【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥平面ADD1A1，∴A1D⊥CD，AD⊥CD，AA1⊥CD，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥AD，AA1⊥AC，∴从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点A1、A、C、D，构成一个三棱锥A1﹣ACD，这个三棱锥的4个面都是直角三角形．故答案为：A1、A、C、D．12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，0），B（x，3，﹣1），C（4，y，2），若A，B，C三点共线，则x+y=﹣．【解答】解：=（x﹣1，1，﹣1），=（3，y﹣2，2），∵A，B，C三点共线，∴存在实数k使得：=k，∴，解得k=﹣，x=﹣，y=0．∴x+y=﹣．故答案为：﹣．13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴图标中点（0，）是椭圆上的点，则（4，﹣2），（，﹣）是双曲线上的两点．设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则，解得．∴，．则e=．故答案为：．14．（4分）曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2①请写出曲线W的两条对称轴方程x=0，y=0；②请写出曲线W上的两个点的坐标（0，0）、（1，1）；③曲线W上的点到原点的距离的取值范围是[0，] ．【解答】解：①，曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2，分析可得，有[x2+（﹣y）2]3=8x2（﹣y）2，其图象关于x轴对称，又由有[（﹣x）2+y2]3=8（﹣x）2y2，其图象关于y轴对称，则曲线W的两条对称轴方程为x=0，y=0；②，曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2，有（02+02）3=8×02×02，（12+12）3=8×12×12，点（0，0）与（1，1）都在曲线上，则曲线W上的两个点的坐标为（0，0），（1，1）；③，曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2，设（x，y）是曲线W上的点，其到原点的距离为t，则t=，（t≥0）又由x2y2≤（）2，则有（x2+y2）3≤（）2，即有t6≤，变形可得：0≤t≤，即曲线W上的点到原点的距离的取值范围为[0，]．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设C（a，a），a≥0，∵．∴=a，则a=2，即圆心C（2，2），．则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1．（Ⅱ）若直线斜率不存在，则直线方程为x=1，圆心到直线x=1的距离d=2﹣1=1=r，此时满足直线和圆相切，若直线斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∵直线和圆相切，∴圆心到直线的距离d===1，即|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，即k=，此时直线方程为x﹣y﹣=0，即3x﹣4y﹣3=0，则对应的切线方程为x=1或3x﹣4y﹣3=0．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面PAD．【解答】证明：（Ⅰ）∵点D，E分别是BC，PB的中点．∴DE∥PC，∵DE⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC．（Ⅱ）∵三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D是BC，∴PD⊥BC，AD⊥BC，∵PD∩AD=D，∴BC⊥平面PAD，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAD．17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．（Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；（Ⅱ）求二面角O﹣EG﹣F的余弦值；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）F，D为所求的点．证明如下：∵四边形ABCF是等腰梯形，点O是FC的中点，点G是AB的中点，∴OG⊥FC，又平面ABCF⊥平面FCDE，平面ABCF∩平面FCDE=FC，∴OG⊥平面FCDE，同理，取DE中点M，由OM⊥平面ABCF，分别以OG、OC、OM为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，由AB=2，得G（，0，0），D（0，1，），E（0，﹣1，），F（0，﹣2，0），则=（0，3，），=（，0，0），=（0，﹣1，），∵=0，=0，∴FD⊥OG，FD⊥OE，∵EO∩OG=0，∴FD⊥平面ECO．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面EGO的一个法向量为=（0，3，），设平面EFG的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（﹣2，，﹣1），∴cos＜，＞==，∵二面角O﹣EG﹣F的平面角为钝角，∴二面角O﹣EG﹣F的余弦值为﹣．（Ⅲ）假设存在点H，使得BH∥平面EGO，设=，∴，∴=0，∵B（，1，0），C（0，2，0），=（0，3，），=（﹣，0，）+（0，﹣λ，）=（﹣，﹣λ，），=0﹣3λ+3+3λ=3，这与=0矛盾，∴在线段CD上不存在点，使得BH∥平面EGO．18．（12分）已知抛物线W：y2=4x，直线x=4与抛物线W交于A，B两点．点P （x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，直线PA，PB分别与x轴交于M，N．（Ⅰ）若△PAB的面积为4，求点P的坐标；（Ⅱ）当直线PA⊥PB时，求线段PA的长；（Ⅲ）若△PMN与△PAB面积相等，求△PMN的面积．【解答】解：（Ⅰ）由，解得，或，不妨设A（4，4），B（4，﹣4），则|AB|=4+4=8，∵点P（x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，∴点P到直线x=4的距离d为4﹣x0，∴S=|AB|•d=×8×（4﹣x0）=4，△PAB解得x0=3，当x0=3时，y0=2，∴点P的坐标为（3，2）；（Ⅱ）∵点P（x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，∴P点的坐标（y02，y0），∴=（4﹣y02，4﹣y0），=（4﹣y02，﹣4﹣y0），∵PA⊥PB，∴•=（4﹣y02）2﹣（4﹣y0）（4+y0）=0，解得y0=0或y0=4，∴点P的坐标为（0，0）或（4，4），舍去．∴|PA|=4，（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，P点的坐标（y02，y0），∵A（4，4），B（4，﹣4），则直线AP的方程为y﹣4=（x﹣4）=（x﹣4），直线BP的方程为y+4=（x﹣4）=（x﹣4），∵直线AP，BP分别与直线x轴交于点M，N，∴令y=0，得x M=﹣y0，x N=﹣y0，∴△PMN的面积S=•|x M﹣x N|•y0=y02，△PMN=|4﹣x0|×8=16﹣y02，∵△PAB的面积S△PAB∴16﹣y02=y02，解得y02=8，∴S=8．△PMN。