【小初高学习]2017年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词导学案1(无答案)
高中数学第一章常用逻辑用语全称量词与存在量词导学案2北师大版
高中数学第一章常用逻辑用语全称量词与存在量词导学案2北师大版全称量词与存在量词学习目标1．通过实例，理解全称量词与存在量词的意义．学习重点和难点1.重点：理解全名量词和存在量词的含义；2.难点：全名命题和特殊名称命题的真假判断。
学习过程I.课前自主学习。
教材辅助阅读（1）什么是全称量词？全称命题？（2）全称命题的真假判定方法什么？（3）什么是存在量词？特称命题？（4）特称命题的真假判定方法什么？2．预习自测（1）判断下列命题是否正确①每个指数函数都是单调函数．②?x?r，x2?0．③?x0?r，x20？0④ 至少有一个绝对值小于零的整数。
3.我的怀疑二、探究合作展示※学习探究【调查1】判断以下全名命题是否正确1．所有的素数都是奇数．（）2．? 十、r、 x2？3.3．（）【探究二】判断下列特称命题的真假．1.有一个实数x0，所以X20？x0？2.0．（）（）（）（））一（2．? x0？{x | x是无理数}，x？1是一个有理数。
（）三、我的收获学习评估※课堂测试：1．下列语句中是全称命题的是（）a、在{2,2.5,3}中，一个元素是整数b.明天的降水概率为20%c、在掷骰子的实验中，上述数字为1、2、3、4、5和6的概率为16d，但没有一个出现。
2.判断下列命题的真实性（1）所有菱形的四条边都相等．（）（2）有的实数是无限不循环小数．（）※课后作业：1.以下陈述中的特殊命题是（）a.所有的矩形都是菱形b.每一个棱柱都是多面体c.奇数不能被2整除d、有一个没有算术平方根的实数。
2.判断下列命题是否正确（1）任何实数都有算术平方根．（）（2）?x?{x|x是无理数}，x2是无理数．（）（3）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．（）（4）?x0?{x|x是无理数}，x20是无理数．（）二。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 全称量词与存在量词导学案2 北师大版选修1-1
全称量词与存在量词学习目标1．通过实例，理解全称量词与存在量词的意义． 学习重点和难点1．重点：理解全称量词与存在量词的意义； 2．难点：全称命题和特称命题的真假判定． 学习过程 一、课前自主学习 1．教材助读（1）什么是全称量词？全称命题？ （2）全称命题的真假判定方法什么？ （3）什么是存在量词？特称命题？ （4）特称命题的真假判定方法什么？ 2．预习自测（1）判断下列命题的真假．①每个指数函数都是单调函数． （ ）②∀x R ∈，20x >． （ ）③∃0x R ∈，200x ≤． （ ） ④至少有一个整数 ，它的绝对值小于零． （ ）3．我的疑惑二、探究·合作·展示 ※ 学习探究【探究一】判断下列全称命题的真假．1．所有的素数都是奇数． （ ）2．∀x R ∈，233x +≥． （ ）【探究二】判断下列特称命题的真假．1．有一个实数0x ，使20020x x +-=． （ ）2．∃0{|x x x ∈是无理数}，1x -是有理数． （ ） 三、我的收获 学习评价 ※ 当堂检测：1．下列语句中是全称命题的是（ ）A. 在{2，2.5中，有一个元素是整数B. 明天的降水概率为20%C. 在抛掷骰子的实验中，上面的数字为1、2、3、4、5、6的概率都是16D. 全部没来 2．判断下列命题的真假（1）所有菱形的四条边都相等． （ ） （2）有的实数是无限不循环小数． （ ） ※ 课后作业：1．下列语句中是特称命题的是（ ）A. 所有的矩形都是菱形B. 每一个棱柱都是多面体C. 奇数不能被2整除D. 有一个实数没有算数平方根2．判断下列命题的真假（1）任何实数都有算术平方根． （ ） （2）{|x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数． （ ） （3）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数． （ ） （4）0{|x x x ∃∈是无理数}，20x 是无理数． （ ）精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词1.4.1_1.4.2全称量词、存在量词学案(含解析)
§1.4全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词学习目标 1.理解全称量词、全称命题的定义.2.理解存在量词、特称命题的定义.3.会判断一个命题是全称命题还是特称命题，并会判断它们的真假．知识点一全称量词与全称命题思考观察下列命题：(1)所有偶函数的图象都关于y轴对称；(2)每一个四边形都有外接圆；(3)任意实数x，x2≥0.以上三个命题有什么共同特征？答案都使用了表示“全部”的量词，如“所有”、“每一个”、“任意”．梳理知识点二存在量词与特称命题思考观察下列命题：(1)有些矩形是正方形；(2)存在实数x，使x>5；(3)至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.以上三个命题有什么共同特征？答案都使用了表示“存在”的量词，如“有些”、“存在”、“至少有一个”．梳理1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( ×)2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( √)3．全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词．( ×)类型一全称命题与特称命题的辨析例1 判断下列语句是全称命题，还是特称命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．考点全称量词及全称命题的真假判断题点识别全称命题解(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．反思与感悟判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．跟踪训练1 将下列命题用“∀”或“∃”表示．(1)实数的平方是非负数；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根；(3)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.考点全称量词及全称命题的真假判断题点 全称命题的符号表示 解 (1)∀x ∈R ，x 2≥0.(2)∃x 0<0，ax 20＋2x 0＋1＝0(a <0)． (3)若∀a ⊂α，l ⊥a ，则l ⊥α. 类型二 全称命题与特称命题的真假判断 例2 判断下列命题的真假．(1)∃α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β； (2)存在一个函数既是偶函数又是奇函数； (3)每一条线段的长度都能用正有理数表示； (4)存在一个实数x 0，使等式x 20＋x 0＋8＝0成立． 考点 存在量词与特称命题的真假判断 题点 特称命题真假的判断 解 (1)真命题，例如α＝π4，β＝π2，符合题意． (2)真命题，函数f (x )＝0既是偶函数又是奇函数．(3)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长度就不是有理数． (4)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解．反思与感悟 要判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )都成立；如果在集合M 中找到一个元素x 0，使得p (x 0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．要判定特称命题“∃x 0∈M ，p (x 0)”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使p (x 0)成立即可；如果在集合M 中，使p (x )成立的元素x 不存在，那么这个特称命题就是假命题． 跟踪训练2 判断下列命题的真假： (1)有一些奇函数的图象过原点； (2)∃x 0∈R,2x 20＋x 0＋1<0； (3)∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤ 2. 考点 存在量词与特称命题的真假判断 题点 特称命题真假的判断解 (1)该命题中含有“有一些”，是特称命题．如y ＝x 是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．(2)该命题是特称命题．∵2x 20＋x 0＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋142＋78≥78>0，∴不存在x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1<0.故该命题是假命题． (3)该命题是全称命题．∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2恒成立，∴对任意实数x ，sin x ＋cos x ≤2都成立，故该命题是真命题． 类型三 由含量词的命题求参数例3 对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围． 考点 全称量词及全称命题的真假判断 题点 恒成立求参数的范围 解 令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，则y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]，因为∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立， 所以只要m <－2即可．所以所求m 的取值范围是(－∞，－2)． 引申探究若本例条件变为：“存在实数x 0，使不等式sin x 0＋cos x 0>m 有解”，求实数m 的取值范围． 解 令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，因为y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]． 又因为∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0>m 有解， 所以只要m <2即可，所以所求m 的取值范围是(－∞，2)．反思与感悟 求解含有量词的命题中参数的范围的策略(1)对于全称命题“∀x ∈M ，a >f (x )(或a <f (x ))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f (x )的最大值(或最小值)，即a >f (x )max (或a <f (x )min )．(2)对于特称命题“∃x 0∈M ，a >f (x 0)(或a <f (x 0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f (x )的最小值(或最大值)，即a >f (x )min (或a <f (x )max )． 跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由； (2)若至少存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围． 考点 存在量词与特称命题的真假判断 题点 存在性问题求参数的范围解 方法一 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.(2)不等式m－f(x0)>0，可化为m>f(x0)，若至少存在一个实数x0使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，所以m>4.所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．方法二(1)要使不等式m＋f(x)>0对∀x∈R恒成立，即x2－2x＋5＋m>0对∀x∈R恒成立，所以Δ＝(－2)2－4(5＋m)<0，解得m>－4，所以当m>－4时，m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立．(2)若至少存在一个实数x0，使m－f(x0)>0成立，即x20－2x0＋5－m<0成立．只需Δ＝(－2)2－4(5－m)>0即可，解得m>4.所以实数m的取值范围是(4，＋∞).1．下列命题中，是正确的全称命题的是( )A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∃x0，x20＝x0D．对数函数在定义域上是单调函数考点全称量词及全称命题的真假判断题点识别全称命题答案 D2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tanαB．存在实数x0，使sin x0＝π2C．对一切α，sin(180°－α)＝sinαD．对任意α，β，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ考点存在量词与特称命题的真假判断题点特称命题真假的判断答案 A3．下列命题正确的是( )A．∀x∈Z，x4≥1B．∃x0∈Q，x20＝3C．∀x∈R，x2－2x－1>0D．∃x0∈N，|x0|≤0考点存在量词与特称命题的真假判断题点特称命题真假的判断答案 D解析对于A，如x＝0，不合题意；对于B，x＝±3，错误；对于C，如x＝0时，－1<0，错误．故选D.4．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为_____________．考点存在量词与特称命题的真假判断题点特称命题的符号表示答案∃x0<0，(1＋x0)(1－9x0)>05．命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围．考点全称量词及全称命题的真假判断题点恒成立求参数的范围解“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；当m>0，且Δ＝m2－12m<0，即0<m<12时，3mx2＋mx＋1>0恒成立，所以0<m<12满足题意．综上所述，实数m的取值范围是0≤m<12.1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.一、选择题1．给出下列命题：①存在实数x0>1，使x20>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．其中特称命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4考点存在量词与特称命题的真假判断题点识别特称命题答案 C解析由存在量词及特称命题的定义知①③④为特称命题．2．下列全称命题中真命题的个数为( )①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A．1B．2C．3D．4考点全称量词及全称命题的真假判断题点全称命题真假的判断答案 C解析①②③为真命题．3．给出以下命题：①∀x∈R，有x4>x2；②∃α∈R，使得sin3α＝3sinα；③∃a∈R，对∀x∈R，使得x2＋2x＋a<0.其中真命题的个数为( )A．0B．1C．2D．3考点存在量词与特称命题的真假判断题点 特称命题真假的判断 答案 B解析 ①中，当x ＝0时，x 4＝x 2，故为假命题；②中，当α＝k π(k ∈Z )时，sin3α＝3sin α成立，故为真命题；③中，由于函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 的图象开口向上，一定存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋a ≥0，故为假命题．故选B.4．有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0；③∃x 0∈N ，x 20≤x 0；④∃x 0∈N *，x 0为29的约数，其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 全称命题与特称命题的真假判断 题点 全称命题与特称命题的真假判断 答案 C解析 ①中，2x 2－3x ＋4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋238>0，故①正确；②中，当x ＝－1时，2x ＋1<0，故②不正确； ③中，当x 0＝0或1时，x 20≤x 0，故③正确； ④中，∃29∈N *,29为29的约数，④正确． ∴真命题的个数为3.5．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋1<2x 0；命题q ：不等式x 2－2x －1>0恒成立，那么( ) A ．“綈p ”是假命题 B ．q 是真命题 C ．“p ∨q ”是假命题 D ．“p ∧q ”是真命题考点 “p ∨q ”形式的命题 题点 判断“p ∨q ”形式命题的真假 答案 C解析 根据基本不等式，x 2＋1≥2x ，所以命题p 是假命题． 因为当x ＝0时，x 2－2x －1＝－1<0，所以命题q 是假命题．所以綈p 是真命题，“p ∨q ”是假命题，“p ∧q ”是假命题，所以C 正确．6．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 1满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列命题中为假命题的是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤f (x 1) B ．∃x 0∈R ，f (x 0)≥f (x 1) C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 1) D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 1)题点 全称命题真假的判断 答案 C解析 ∵x 1是方程2ax ＋b ＝0的解， ∴x 1＝－b2a ，又∵a >0，∴f (x 1)是y ＝f (x )的最小值， ∴f (x )≥f (x 1)恒成立．7．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≤5D ．a ≥5考点 全称量词及全称命题的真假判断 题点 恒成立求参数的范围 答案 D解析 当该命题是真命题时，只需a ≥(x 2)max ，x ∈[1,2]． 又y ＝x 2在[1,2]上的最大值是4，所以a ≥4. 因为a ≥4⇏a ≥5，a ≥5⇒a ≥4，故选D.8．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意x 成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12考点 全称量词及全称命题的应用 题点 求参数的范围 答案 C解析 应用新定义运算可得(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )·[1－(x ＋a )] ＝－x 2＋x －a ＋a 2<1恒成立， 即x 2－x ＋a －a 2＋1>0恒成立，a 2－a <x 2－x ＋1对∀x ∈R 恒成立，而x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a <34，即－12<a <32.二、填空题9．命题“末位是0的整数可以被5整除”________全称命题．(填“是”或“不是”)题点 识别全称命题 答案 是解析 原命题可写为“所有末位为0的整数都可以被5整除”． 10．下列命题：①存在x 0<0，x 20－2x 0－3＝0； ②对于一切实数x <0，都有|x |>x ；③已知a n ＝2n ，b m ＝3m ，对于任意n ，m ∈N *，a n ≠b m . 其中，所有真命题的序号为________． 考点 全称量词及全称命题的真假判断 题点 全称命题真假的判断 答案 ①②解析 因为x 2－2x －3＝0的根为x ＝－1或3，所以存在x 0＝－1<0，使x 20－2x 0－3＝0，故①为真命题； ②显然为真命题；③当n ＝3，m ＝2时，a 3＝b 2，故③为假命题．11．若“∀∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．考点 全称量词及全称命题的真假判断 题点 恒成立求参数的范围 答案 1解析 ∵∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴tan x ≤1，∴m ≥1，故实数m 的最小值为1. 三、解答题12．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假． (1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解； (3)存在实数x 0，使得1x 2－x 0＋1＝2.考点 全称量词及全称命题的真假判断 题点 全称命题真假的判断解 (1)是特称命题，用符号表示为“∃直线l 0，l 0的斜率不存在”，是真命题． (2)是全称命题，用符号表示为“∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解”，是假命题． (3)是特称命题，用符号表示为“∃x 0∈R ，1x 20－x 0＋1＝2”，是假命题．13．已知命题p ：“∃x 0∈R ，sin x 0<m ”，命题q ：“∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立”，若p ∧q 是真命题，求实数m 的取值范围．考点 全称量词及全称命题的应用题点 求参数的范围解 由于p ∧q 是真命题，则p ，q 都是真命题．因为“∃x 0∈R ，sin x 0<m ”是真命题，所以m >－1.又因为“∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立”是真命题，所以Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.综上所述，实数m 的取值范围是(－1,2)．四、探究与拓展14．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2；p 2：∃(x 0，y 0)∈D ，x 0＋2y 0≥2；p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3；p 4：∃(x 0，y 0)∈D ，x 0＋2y 0≤－1.其中真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 4C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3考点 全称量词及全称命题的真假判断题点 全称命题真假的判断答案 C解析 画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y 经过可行域内的点A (2，－1)时取得最小值0，故x ＋2y ≥0，因此p 1，p 2是真命题，选C.15．若命题“∃a ∈[1,3]，使ax 2＋(a －2)x －2>0”是真命题，则实数x 的取值范围是________．考点 存在量词与特称命题的真假判断题点 存在性问题求参数的范围答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 解析 令f (a )＝ax 2＋(a －2)x －2＝(x 2＋x )a －2x －2，是关于a 的一次函数， 由题意，得(x 2＋x )－2x －2>0或(x 2＋x )·3－2x －2>0，即x 2－x －2>0或3x 2＋x －2>0，解得x <－1或x >23.。
高中数学第一章常用逻辑用语1.3.13.2全称量词与全称命题存在量词与特称命题121数学
①任意 φ∈R，f(x＋2π)＝f(x)；
②存在 φ∈R，f(x＋1)＝f(x)；
③任意 φ∈R，f(x)都不是偶函数；
④存在 φ∈R，使 f(x)是奇函数．
其中假命题的序号是( A )
A．①③
B．①④
C．②④
D．②③
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解析：对于命题①，若 f(x＋2π)＝sin(φx＋2πφ＋φ)＝sin(φx ＋φ)成立，φ必须是整数，所以命题①是假命题；对于函数
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含全称量词或存在(cúnzài)量词命题的应用
(1)“任意 x∈R，x2－ax＋9>0”为真命题，则实数 a 的取值范围是___(－__6_，__6_) _______． (2)若“存在 x∈R，x2＋2x＋2＝m”是真命题，则实数 m 的 取值范围是__[_1_，_＋__∞__)_______．
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由于函数 a(t)在－1≤t≤12上是减少的，在12＜t≤1 上是增加的， 所以当 t＝12时，取最小值 a＝－32；当 t＝－1 时，取最大值 a ＝3. 所以－32≤a≤3. 故当－32≤a≤3 时满足条件，所以 a 的取值范围是[－32，3]．
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(gèbié)
量词．
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(2)特称命题 含有___存__在__(_cú_nz_à_i)量__词___的命题，叫作特称命题． 类似全称命题，同一个特称命题，可以有下列五种不同的表 述方法： ①存在 x∈A，使 p(x)成立； ②至少有一个 x∈A，使 p(x)成立； ③对有些 x∈A，使 p(x)成立； ④对某个 x∈A，使 p(x)成立； ⑤有一个 x∈A，使 p(x)成立．
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词学案(含解析)2-1
1.4 全称量词与存在量词全称量词和全称命题［提出问题］观察下列语句：(1)2x是偶数；（2）对于任意一个x∈Z,2x都是偶数．(3）所有的三角函数都是周期函数．问题1：以上语句是命题吗?提示:（1)不是命题，(2)（3)是命题．问题2：上述命题中强调的是什么？提示：(2）强调“任意一个x∈Z”，（3）强调“所有的三角形”．[导入新知］全称量词和全称命题全称量词所有的、任给、每一个、对一切符号∀全称命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x,有p（x)成立"，可用符号简记为∀x∈M，p(x）[化解疑难]全称命题是强调命题的一般性，是对于某一个给定集合的所有元素是否具有某种性质来说的。
存在量词与特称命题［提出问题观察下列语句:（1）存在一个x0∈R，使2x0＋2＝10;（2)至少有一个x0∈R，使x0能被5和8整除．问题1：以上语句是命题吗？提示：都是命题．问题2:上述命题有什么特点？提示：两命题中变量x0取值有限制，即“存在一个x0∈R”,“至少有一个x0∈R"．[导入新知]存在量词和特称命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些符号表示∃特称命题含有存在量词的命题形式“存在M中的元素x0，使p(x0)成立"，可用符号简记为∃x0∈M，p（x0)[化解疑难］特称命题是强调命题的存在性，是对于某一个给定集合的某些元素是否具有某种性质来说的．含有一个量词的命题的否定［提出问题]观察下列命题：(1)有的函数是偶函数;（2)三角形都有外接圆．问题1:上述命题是全称命题还是特称命题？提示：(1)是特称命题，（2)是全称命题．问题2：上述命题的量词各是什么？其量词的“反面”是什么?提示：有的；所有的．所有的；存在一个．[导入新知]含有一个量词的命题的否定[化解疑难］一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p（x）的同时，改变量词的属性,即全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词．全称命题与特称命题［例1] 判断下列语句是全称命题，还是特称命题．（1）凸多边形的外角和等于360°；(2）有的向量方向不定;（3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的对角线不相等；(5）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解] （1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．（2）含有存在量词“有的”,故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”,故是全称命题．(4）可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．［类题通法］判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．[活学活用]用全称量词或存在量词表示下列语句：(1）不等式x2＋x＋1＞0恒成立；(2）当x为有理数时，错误!x2＋错误!x＋1也是有理数；（3)等式sin（α＋β）＝sin α＋sin β对有些角α，β成立；(4）方程3x－2y＝10有整数解．解：（1）对任意实数x，不等式x2＋x＋1＞0成立．（2）对任意有理数x，错误!x2＋错误!x＋1是有理数．（3)存在角α,β，使sin(α＋β）＝sin α＋sin β成立．（4)存在一对整数x，y,使3x－2y＝10成立。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词(含解析)1数学教案
全称量词与存在量词预习课本P21～25，思考并完成以下问题1．全称量词、全称命题的定义是什么？2．存在量词、特称命题的定义是什么？3．全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？[新知初探]1．全称量词与全称命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号__∀__全称命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示__∃__特称命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”知识点原命题命题的否定全称命题p：∀x∈M，p(x)綈p：∃x0∈M，綈p(x0)的否定特称命题p：∃x0∈M，p(x0)綈p：∀x∈M，綈p(x)的否定[(1)全称命题的否定全称命题的否定是一个特称命题，否定全称命题时关键是找出全称量词，明确命题所提供的性质．(2)特称命题的否定特称命题的否定是一个全称命题，否定特称命题时关键是找出存在量词，明确命题所提供的性质．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略( )(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题( )(3)“三角形内角和是180°”是全称命题( )答案：(1)×(2)√(3)√2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0答案：C3．下列全称命题为真命题的是( )A．所有的质数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5答案：B4．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：______________.答案：特称命题假∀x∈R，x2＋2x＋5≥0全称命题与特称命题的判断[典例](1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路[注意] 全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略． [活学活用]用全称量词或存在量词表示下列语句： (1)不等式x 2＋x ＋1>0恒成立；(2)当x 为有理数时，13x 2＋12x ＋1也是有理数；(3)等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立； (4)方程3x －2y ＝10有整数解．解：(1)对任意实数x ，不等式x 2＋x ＋1>0成立． (2)对任意有理数x ，13x 2＋12x ＋1是有理数．(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)存在一对整数x ，y ，使3x －2y ＝10成立.全称命题、特称命题的真假判断[典例] A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0D ．∀x ∈R ，e x>0(2)下列命题中的真命题是( )A ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数B ．∃α0，β0∈R ，使cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0C ．向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,0)，则a 在b 方向上的投影为2D ．“|x |≤1”是“x ≤1”的既不充分又不必要条件 [解析] (1)对于A ，x ＝1时，lg x ＝0； 对于B ，x ＝k π＋π4(k ∈Z)时，tan x ＝1；对于C ，当x ＝0时，x 2＝0，所以C 中命题为假命题； 对于D ，e x>0恒成立．(2)对于A ，当φ＝π2时，f (x )＝cos 2x ，为偶函数，故A 为假命题；对于B ，令α0＝π4，β0＝－π2，则cos(α0＋β0)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝22，cos α0＋cos β0＝22＋0＝22，cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0成立，故B 为真命题； 对于C ，向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,0)，则a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－2＋01＝－2，故C 为假命题；对于D ，|x |≤1，即－1≤x ≤1，故充分性成立，若x ≤1，则|x |≤1不一定成立，所以“|x |≤1”为“x ≤1”的充分不必要条件，故D 为假命题．[答案] (1)C (2)B指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假． (1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0. (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2. (3)存在两个相交平面垂直于同一条直线． (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1<0. 解：(1)是全称命题．∵a x>0(a >0，且a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题． (2)是全称命题．存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π， ∴命题(2)是假命题． (3)是特称命题．由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的， ∴命题(3)是假命题． (4)是特称命题．对任意x ∈R ，x 2＋1>0，∴命题(4)是假命题.全称命题与特称命题的否定[典例] p n n2n pA．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n(2)(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2[解析] (1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．[答案] (1)C (2)D全称命题与特称命题的否定的思路(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．判断下列命题的真假，并写出它们的否定．(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)三角形的内角和为180°，是全称命题，是真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，其内角和不等于180°.(2)每个二次函数的图象都开口向下，是全称命题，是假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)存在一个四边形不是平行四边形，是特称命题，是真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形.利用全称命题与特称命题求参数[典例] 若命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”是真命题，求实数a 的取值范围．[解] 法一：由题意，∀x ∈[－1，＋∞)， 令f (x )＝x 2－2ax ＋2≥a 恒成立，所以f (x )＝(x －a )2＋2－a 2≥a 可转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ≥a 恒成立， 而∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2，a ≥－1，1＋a 2＋2－a 2，a <－1.由f (x )的最小值f (x )min ≥a ，知a ∈[－3,1]． 法二：x 2－2ax ＋2≥a ， 即x 2－2ax ＋2－a ≥0， 令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，所以全称命题转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )≥0恒成立，所以Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－42－a >0，a <－1，f －1≥0，即－2≤a ≤1或－3≤a <－2.所以－3≤a ≤1. 综上，所求实数a 的取值范围是[－3,1]．利用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．1．命题p ：∃x 0∈[0，π]，使sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π3<a ，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由0≤x ≤π，得π3≤x ＋π3≤4π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1. 而命题p ：∃x 0∈[0，π]，使sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π3<a ，因为p 为真命题，所以a >－32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 2．已知命题p ：∃x 0∈R ，使x 20－mx 0＋1＝0，命题q ：∀x ∈R ，有x 2－2x ＋m >0.若命题q ∨(p ∧q )为真，綈p 为真，求实数m 的取值范围．解：由于綈p 为真，所以p 为假，则p ∧q 为假． 又q ∨(p ∧q )为真，故q 为真，即p 假、q 真．命题p 为假，即关于x 的方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，则m 2－4<0，解得－2<m <2； 命题q 为真，则4－4m <0，解得m >1. 故实数m 的取值范围是(1,2)．层级一 学业水平达标1．已知命题p ：∀x >0，总有e x>1，则綈p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得e x 0≤1 B ．∃x 0>0，使得e x 0≤1 C ．∀x >0，总有e x≤1D ．∀x ≤0，总有e x<1解析：选B 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p 的否定綈p 为∃x 0>0，使得e x 0≤1.故选B.2．下列四个命题中的真命题为( ) A ．若sin A ＝sin B ，则A ＝B B ．∀x ∈R ，都有x 2＋1>0 C ．若lg x 2＝0，则x ＝1 D ．∃x 0∈Z ，使1<4x 0<3解析：选B A 中，若sin A ＝sin B ，不一定有A ＝B ，故A 为假命题，B 显然是真命题；C 中，若lg x 2＝0，则x 2＝1，解得x ＝±1，故C 为假命题；D 中，解1<4x <3得14<x <34，故不存在这样的x ∈Z ，故D 为假命题．3．命题“∃x 0∈R,2x 0<12或x 20>x 0”的否定是( )A ．∃x 0∈R,2x 0≥12或x 20≤x 0B ．∀x ∈R,2x ≥12或x 2≤xC ．∀x ∈R,2x ≥12且x 2≤xD ．∃x 0∈R,2x 0≥12且x 20≤x 0解析：选C 原命题为特称命题，其否定为全称命题，应选C. 4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2解析：选B A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x<0，所以D 是假命题．5．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：选D 当a ＝0时，不等式恒成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，0≤a ≤4，则命题p ：0≤a ≤4， 所以綈p ：a <0或a >4.6．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号) ①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．答案：①②③ ④7．命题“至少有一个正实数x 满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0”的否定是________． 解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定． 答案：所有正实数x 都不满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝08．已知命题“∃x 0∈R,2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：原命题等价于“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0”是真命题，即Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定． (1)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (2)∃x 0，y 0∈Z,3x 0－4y 0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (4)正数的绝对值是它本身．解：(1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：∃α0，β0∈R ，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.(2)真命题．命题的否定为：∀x ，y ∈Z,3x －4y ≠20.(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身．10．已知命题p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋π3的周期不大于4π.(1)写出綈p ；(2)当綈p 是假命题时，求实数b 的最大值． 解：(1)綈p ：∃a 0∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a 0＋π3的周期大于4π. (2)因为綈p 是假命题，所以p 是真命题， 所以∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4π恒成立，解得a ≤2，所以b ≤2，所以实数b 的最大值是2.层级二 应试能力达标1．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0 解析：选D 由正弦函数的图象，知∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x <x ，又3<π，∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，3sin x <πx ，即∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0恒成立，∴p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，∴綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0. 2．已知命题p ：∀x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝ 2.则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．p ，q 都是假命题D ．綈q 是假命题解析：选D p ：2x 2＋2x ＋12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x ＋14＝2x ＋122≥0，∴p 为假命题，綈p 为真命题．q ：sin x 0－cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－π4，∴x 0＝34π时成立．故q 为真，而綈q 为假命题． 3．已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋12x ＋34>0.给出下列结论：①命题p 是真命题； ②命题q 是假命题； ③命题(綈p )∧q 是真命题； ④命题p ∨(綈q )是假命题． 其中正确的是( ) A ．②④ B ．②③ C ．③④D ．①②③解析：选C 对于命题p ，因为函数y ＝sin x 的值域为[－1,1]，所以命题p 为假命题； 对于命题q ，因为函数y ＝x 2＋12x ＋34的图象开口向上，最小值在x ＝－14处取得，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝1116>0，所以命题q 为真命题． 由命题p 为假命题和命题q 为真命题可得：命题(綈p )∧q 是真命题，命题p ∨(綈q )是假命题．故③④正确．4．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0解析：选D 写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．5．有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0； ②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0； ③∃x 0∈N ，x 20≤x 0；④∃x 0∈N *，x 0为29的约数． 其中真命题有________个．解析：易知①③④正确．当x ＝－1时，2x ＋1<0，故②错误． 答案：36．已知命题p ：∃c >0，y ＝(3－c )x在R 上为减函数，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋2c －3>0.若p ∧q 为真命题，则实数c 的取值范围为________．解析：由于p ∧q 为真命题，所以p ，q 都是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<3－c <1，2c －3>0，解得2<c <3.故实数c 的取值范围为(2,3)．答案：(2,3)7．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．解：法一：由题意知，x 2＋2ax ＋2－a >0在[1,2]上有解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则只需f (1)>0或f (2)>0，即1＋2a ＋2－a >0，或4＋4a ＋2－a >0.整理得a >－3或a >－2.即a >－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)． 法二：綈p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a >0无解， 令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ， 则⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0.解得a ≤－3.故命题p 中，a >－3. 即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．8．已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，若命题“对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立”为真命题，求实数x 的取值范围．解：易知f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. 由题意，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4＝(x －2)m ＋(x －2)2，则g (m )>0对∀m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，g 3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －2＋x －22>0，3x －2＋x －22>0，解得x >2或x <－1.故实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选B 根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．2．设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由x >y 推不出x >|y |，由x >|y |能推出x >y ，所以“x >y ”是“x >|y |”的必要不充分条件．3．已知命题①若a >b ，则1a <1b，②若－2≤x ≤0，则(x ＋2)(x －3)≤0，则下列说法正确的是( )A ．①的逆命题为真B ．②的逆命题为真C ．①的逆否命题为真D ．②的逆否命题为真解析：选D ①的逆命题为1a <1b则，a >b ，若a ＝－2，b ＝3，则不成立．故A 错；②的逆命题为若(x ＋2)(x －3)≤0，则－2≤x ≤0是假命题，故B 错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C 错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D 正确．4．已知命题p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( ) A ．命题綈p 是真命题B ．命题p 是特称命题C ．命题p 是全称命题D ．命题p 既不是全称命题也不是特称命题解析：选C 命题p ：实数的平方是非负数，是全称命题，且是真命题，故綈p 是假命题．5．下列命题中，真命题是( ) A ．命题“若|a |>b ，则a >b ”B ．命题“若“a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆命题C ．命题“当x ＝2时，x 2－5x ＋6＝0”的否命题 D ．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”解析：选D 原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等”，是真命题，故选D.6．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 3＋y 3＝0，则x ，y 互为相反数；命题q ：若a >b >0，则1a <1b.下列命题p ∧q ，p ∨q ，綈p ，綈q 中，真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 易知命题p ，q 都是真命题，则p ∧q ，p ∨q 都是真命题，綈p ，綈q 是假命题．7．已知f (x )＝e x＋x －1，命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，则( ) A ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)<0 B ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0 C ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)<0 D ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0解析：选B 由于函数y ＝e x 和y ＝x －1在R 上均是增函数，则f (x )＝e x＋x －1在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，所以p 为真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0，故选B.8．下列关于函数f (x )＝x 2与函数g (x )＝2x的描述，正确的是( ) A ．∃a 0∈R ，当x >a 0时，总有f (x )<g (x ) B ．∀x ∈R ，f (x )<g (x ) C ．∀x <0，f (x )≠g (x )D．方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)内有且只有一个实数解解析：选A 在同一坐标系内作出两函数的大致图象，两交点为(2,4)，(4,16)．当x>4时，由图象知f(x)<g(x)，其余三命题均错误．9．已知p：x≥k，q：3x＋1<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(2，＋∞)C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1)解析：选B3x＋1<1⇔x<－1或x>2.又p是q的充分不必要条件，则k>2，故选B.10．下列判断正确的是( )A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N*，x3>x2”的否定是“∃x0∈N*，x30<x20”C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的必要不充分条件D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件解析：选D 选项A是全称命题，不正确；选项B应该是∃x0∈N*，x30≤x20，不正确；对于选项C，f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，周期T＝2π2a＝πa，当a＝1时，周期是π，当周期是π时，a＝1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的充要条件；选项D正确，故选D.11．设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要不充分条件是( )A．x<0 B．x<0或x>4C．|x－1|>1 D．|x－2|>3解析：选C 由f(x)＝x2－4x>0，得x<0或x>4.由|x－1|>1，得x<0或x>2.由|x－2|>3，得x<－1或x>5，所以只有C是必要不充分条件．故选C.12．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①④解析：选C ①的逆命题为“若x >0且y >0，则x ＋y >0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为，若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1. ∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0， 即m >1.∴③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．命题“若a ∉A ，则b ∈B ”的逆否命题是________． 解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序． 答案：若b ∉B ，则a ∈A14．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的为________．解析：p 为假命题，q 为真命题，故p ∨q 为真命题，綈p 为真命题． 答案：p ∨q ，綈p15．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3. 由綈p 是綈q 的充分条件可知，q 是p 的充分条件，即q ⇒p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.答案：[－1,6]16．已知在实数a ，b 满足某一前提条件时，命题“若a >b ，则1a <1b”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题，则实数a ，b 应满足的前提条件是________．解析：由题意，知ab ≠0，当ab >0时，1a <1b ⇔ab ·1a <1b·ab ⇔b <a ，所以四种命题都是正确的．当ab <0时，若a >b ，则必有a >0>b ，故1a>0>1b ，所以原命题是假命题；若1a <1b，则必有1a<0<1b，故a <0<b ，所以原命题的逆命题也是假命题．由命题的等价性，可知四种命题都是假命题，故填ab <0.答案：ab <0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x>2；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.解：(1)命题中隐含了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，且为真命题． (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为假命题． (4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，且为真命题．18．(本小题满分12分)把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假． (1)能被6整除的数一定是偶数；(2)当a －1＋|b ＋2|＝0时，a ＝1，b ＝－2； (3)已知x ，y 为正整数，当y ＝x 2时，y ＝1，x ＝1.解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题． (2)若a －1＋|b ＋2|＝0，则a ＝1且b ＝－2，真命题． (3)已知x ，y 为正整数，若y ＝x 2，则y ＝1且x ＝1，假命题．19．(本小题满分12分)已知c >0，设命题p ：y ＝c x为减函数，命题q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围． 解：由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可．若p 真，由y ＝c x为减函数，得0<c <1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知， f (x )＝x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最小值为2.若q 真，则1c <2，即c >12.若p 真q 假，则0<c <1，c ≤12，所以0<c ≤12；若p 假q 真，则c ≥1，c >12，所以c ≥1.综上可得，c ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)． 20．(本小题满分12分)已知k ∈R 且k ≠1，直线l 1：y ＝k 2x ＋1和l 2：y ＝1k －1x －k .(1)求直线l 1∥l 2的充要条件；(2)当x ∈[－1,2]时，直线l 1恒在x 轴上方，求k 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝1k －1，k －1≠0，－k ≠1，解得k ＝2.当k ＝2时，l 1：y ＝x ＋1，l 2：y ＝x －2，此时l 1∥l 2. ∴直线l 1∥l 2的充要条件为k ＝2.(2)设f (x )＝k2x ＋1.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f－1>0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧k2×－1＋1>0，k 2×2＋1>0，解得－1<k <2.∴k 的取值范围是(－1,2)．21．(本小题满分12分)已知“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意，知m ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14.由－1<x <1，得m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2，故M ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2. (2)由x ∈N 是x ∈M 的必要条件，知M ⊆N . ①当a >2－a ，即a >1时，N ＝(2－a ，a )，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，a >1，解得a >94.②当a <2－a ，即a <1时，N ＝(a,2－a )，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.③当a ＝2－a ，即a ＝1时，N ＝∅，不满足M ⊆N . 综上可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫94，＋∞. 22．(本小题满分12分)已知命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x －3a )(x －a －2)<0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题，得x 2－x －m <0在－1≤x ≤1时恒成立，∴m >(x 2－x )max ，得m >2， 即B ＝{m |m >2}．(2)不等式(x －3a )(x －a －2)<0，①当3a >2＋a ，即a >1时，解集A ＝{x |2＋a <x <3a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B ，∴2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)；②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立；③当3a <2＋a ，即a <1时，解集A ＝{x |3a <x <2＋a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立，∴3a ≥2，此时a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1.综上①②③可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。
2017_2018版高中数学第一章经常使用逻辑用语3_1全称量词与全称命题3_2存在量词与特称命题学
3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题学习目标 1.明白得全称量词与存在量词的含义.2.明白得并把握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并把握其判定方式.知识点一全称量词、全称命题试探观看下面的两个语句，试探以下问题：P：m≤5；Q：对所有的m∈R，m≤5.(1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个).梳理(1)概念短语“______”“每一个”“任何”“__________”“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全数的含义，如此的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作__________.(2)全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成当即可.知识点二存在量词、特称命题试探观看下面的两个语句，试探以下问题：P：m>5；Q：存在一个m∈Z，m>5.(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)梳理(1)概念短语“________”“__________”“有一个”“存在”都有表示个别或一部份的含义，如此的词叫作存在量词，含有存在量词的命题，叫作__________.(2)特称命题真假判定要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使p (x 0)成当即可，不然这一特称命题确实是假命题.类型一 全称命题与特称命题的判定命题角度1 全称命题与特称命题的不同表述例1 设p (x )：2x 是偶数，试用不同的表述方式写出以下命题：(1)全称命题：任意x ∈N ，p (x )；(2)特称命题：存在x ∈N ，p (x ).反思与感悟 全称命题或特称命题的表述形式尽管很多，可是具体到一个问题时最为适当的却只有一个，解题时注意明白得.跟踪训练1 “有些整数是自然数”这一命题为________命题.(填“全称”或“特称”)命题角度2 全称命题与特称命题的识别例2 判定以下命题是全称命题，仍是特称命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.反思与感悟 判定一个命题是全称命题仍是特称命题的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略，因此要依照命题表达的意义判定，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.跟踪训练2 判定以下命题是全称命题仍是特称命题.(1)自然数的平方大于或等于零；(2)圆x 2＋y 2＝1上存在一个点到直线y ＝x ＋1的距离等于圆的半径；(3)有的函数既是奇函数又是增函数；(4)关于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1，总存在正整数n ，使得a n 与1之差的绝对值小于0.01.类型二全称命题与特称命题的真假的判定例3 判定以下命题的真假.(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(4)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；(5)任意x∈R，x2－3x＋2＝0；(6)存在x∈R，x2－3x＋2＝0.反思与感悟要判定全称命题“任意x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每一个元素x，证明p(x)都成立；若是在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么那个全称命题确实是假命题.要判定特称命题“存在x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成当即可；若是在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么那个特称命题确实是假命题.跟踪训练3 判定以下命题的真假：(1)有一些奇函数的图像过原点；(2)存在x∈R,2x2＋x＋1<0；(3)任意x∈R，sin x＋cos x≤ 2.类型三利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围例4 已知以下命题p(x)为真命题，求x的取值范围.(1)命题p(x)：x＋1>x；(2)命题p(x)：x2－5x＋6>0；(3)命题p(x)：sin x>cos x.反思与感悟已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，必然要辨清参数，恰被选取主元，合理确信解题思路.解决此类问题的关键是依照含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题进程中要注意变量取值范围的限制.跟踪训练4 假设方程x 2＋ax ＋1＝0，x 2＋2ax ＋2＝0，x 2－ax ＋4＝0中至少有一个方程有实根，求a 的取值范围.1.以下命题中，不是全称命题的是( )A.任何一个实数乘以0都等于0B.自然数都是正整数C.每一个向量都有大小D.必然存在没有最大值的二次函数2.命题p ：存在x ∈N ，x 3<x 2；命题q ：任意a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图像过点(2,0)，那么( )A.p 假q 真B.p 真q 假C.p 假q 假D.p 真q 真 3.已知函数f (x )＝|2x －1|，假设命题“存在x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，使得f (x 1)>f (x 2)”为真命题，那么以下结论必然成立的是( )A.a ≥0B.a <0C.b ≤0D.b >14.以下命题中，既是真命题又是特称命题的是( )A.存在一个α，使tan(90°－α)＝tan αB.存在实数x ，使sin x ＝π2C.对一切α，sin(180°－α)＝sin αD.对一切α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β5.特称命题“存在x 0∈R ，|x 0|＋2≤0”是________命题.(填“真”或“假”)1.判定全称命题的关键：一是先判定是不是命题；二是看是不是含有全称量词.2判定全称命题的真假的方式：概念法：对给定的集合的每一个元素x ，p (x )都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x 0，使p (x 0)为假，那么全称命题为假.3.判定特称命题真假的方式：代入法，在给定的集合中找到一个元素x 0，使命题p (x 0)为真，不然命题为假. 提示：完成作业 第一章 §3 3.1～3.2答案精析问题导学知识点一试探(1)语句P无法判定真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，能够判定真假，是命题.语句P是命题Q中的一部份.(2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等.梳理(1)所有任意一条全称命题知识点二试探(1)语句P无法判定真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，能够判定真假，是命题.语句P是命题Q中的一部份.(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.梳理(1)有些至少有一个特称命题题型探讨例1 解(1)全称命题：①对所有的自然数x,2x是偶数；②对一切的自然数x,2x是偶数；③对每一个自然数x,2x是偶数；④任选一个自然数x,2x是偶数；⑤凡自然数x，都有2x是偶数.(2)特称命题：①存在一个自然数x，使得2x是偶数；②至少有一个自然数x，使得2x是偶数；③对有些自然数x，使得2x是偶数；④对某个自然数x，使得2x是偶数；⑤有一个自然数x，使得2x是偶数.跟踪训练1 特称例2 解(1)能够改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题.(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题.(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题.跟踪训练2 解(1)全称命题. (2)特称命题. (3)特称命题. (4)特称命题.例3 解(1)真命题.(2)真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数.(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2，2就不能用正有理数表示.(4)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解.(5)假命题，只有x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立.(6)真命题，x ＝2或1，都能使等式x 2－3x ＋2＝0成立.跟踪训练3 解 (1)该命题中含有“有一些”，是特称命题.如y ＝x 是奇函数，其图像过原点，故该命题是真命题.(2)该命题是特称命题.∵2x 2＋x ＋1＝2(x ＋14)2＋78≥78>0， ∴不存在x ∈R ，使2x 2＋x ＋1<0.故该命题是假命题.(3)该命题是全称命题.∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立， ∴对任意实数x ，sin x ＋cos x ≤2都成立，故该命题是真命题.例4 解 (1)∵x ＋1>x ，∴1>0(此式恒成立)，∴x ∈R .(2)∵x 2－5x ＋6>0，∴(x －2)(x －3)>0，∴x >3或x <2.(3)∵sin x >cos x ，∴2k π＋π4<x <2k π＋5π4(k ∈Z ). 跟踪训练4 解 由方程x 2＋ax ＋1＝0无实根，可知a 2－4<0，即a 2<4，即－2<a <2；由方程x 2＋2ax ＋2＝0无实根，可知a 2－2<0，即a 2<2，即－2<a <2；由方程x 2－ax ＋4＝0无实根，可知a 2－16<0，即a 2<16，即－4<a <4，∴当a 2<2，即－2<a <2时，三个方程均无实根.∴当a ≤－2或a ≥2时，三个方程中至少有一个方程有实根.故a 的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞).当堂训练1.D2.A3.B4.A5.假。
2017_2018版高中数学第一章经常使用逻辑用语3_1全称量词与全称命题3_2存在量词与特称命题学
3．1 全称量词与全称命题3．2 存在量词与特称命题学习目标 1.明白得全称量词与存在量词的含义.2.明白得并把握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并把握其判定方式．知识点一全称量词与全称命题试探观看以下命题：(1)每一个三角形都有内切圆；(2)所有实数都有算术平方根；(3)对一切有理数x,5x＋2仍是有理数．以上三个命题中别离利用了什么量词？依照命题的实际含义可否判定命题的真假．梳理全称量词“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”全称命题p 含有__________的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为________________素x，证明p(x)成立；要判定它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“存在x∈M，p(x)不成立”．知识点二存在量词与特称命题试探观看以下命题：(1)有些矩形是正方形；(2)存在实数x，使x>5.(3)至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.以上三个命题别离利用了什么量词？依照命题的实际含义可否判定命题的真假．梳理 存在量词“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的” 特称命题含有__________的命题 形式“存在M 中的一个x ，使p (x )成立”可用符号简记为________________判定特称命题真假性的方式：要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ，使p (x )成当即可，不然，这一特称命题是假命题．类型一 识别全称命题与特称命题例1 判定以下语句是全称命题，仍是特称命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有些实数a ，b 能使|a －b |＝|a |＋|b |；(3)对任意a ，b ∈R ，假设a >b ，那么1a <1b； (4)有一个函数，既是奇函数，又是偶函数．反思与感悟 判定一个命题是全称命题仍是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，因此要依照命题表达的意义判定，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．跟踪训练1 以下命题不是特称命题的是( )A ．有些实数的平方能够等于零B ．存在x <0，使x 2<0C ．至少有一个三角函数的周期是2πD ．二次函数的图像都是抛物线类型二 全称命题与特称命题的真假的判定例2 判定以下命题的真假．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )都对应一点；(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(3)对任意实数x 1，x 2，假设x 1<x 2，那么tan x 1<tan x 2；(4)存在一个函数，既是偶函数，又是奇函数．引申探讨例2假设将题中(2)(3)(4)改成①对所有的实数，它的绝对值均不是正数；②存在实数x1，x2，假设x1<x2，那么tan x1<tan x2；③任意一个函数，都既是偶函数又是奇函数，判定其真假．反思与感悟(1)判定全称命题真假的方式①要判定一个全称命题为真，必需对在给定集合的每一个元素x，均使命题p(x)为真．②要判定一个全称命题为假时，即否定一个全称命题能够通过“举反例”来讲明，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．(2)判定特称命题真假的方式①要判定一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题q(x)为真．②要判定一个特称命题为假，必需对在给定集合的每一个元素x，均使命题q(x)为假．因此说，全称命题与特称命题之间有可能转化，它们之间并非是对立的关系．跟踪训练2 判定以下命题是全称命题，仍是特称命题，并判定其真假．(1)对任意x∈N,2x＋1是奇数．(2)每一个平行四边形的对角线都相互平分．(3)存在一个x∈R，使1x－1＝0.(4)存在一组m，n的值，使m－n＝1.(5)至少有一个集合A，知足A{1,2,3}．类型三全称命题、特称命题的应用例3 (1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；(2)令p(x)：ax2＋2x＋1>0，假设对任意x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．反思与感悟有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别．跟踪训练3 (1)关于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立，求实数m的取值范围；(2)存在实数x，不等式sin x＋cos x>m有解，求实数m的取值范围．1．以下命题中特称命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④关于任意x∈R，总有|sin x|≤1. A．0 B．1 C．2 D．32．以下命题中，不是全称命题的是( )A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．必然存在没有最大值的二次函数3．以下含有量词的命题为真命题的是( )A．所有四边形都有外接圆B．有的等比数列的项为零C．存在实数没有偶次方根D．任何实数的平方都大于零4．对任意的x ∈[0，π4]，tan x ≤m 是真命题，那么实数m 的最小值为________． 5．将以下命题改写为含有量词的命题，使其为真命题．(1)相等的角是对顶角；(2)sin x ＋cos x <3.1．判定命题是全称命题仍是特称命题，主若是看命题中是不是含有全称量词和存在量词，有些全称命题尽管不含全称量词，能够依照命题涉及的意义去判定．2．要确信一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；假设能举出一个反例说明命题不成立，那么该全称命题是假命题．3．要确信一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成当即可；假设通过逻辑推理取得命题对所有的元素都不成立，那么该特称命题是假命题．答案精析问题导学知识点一试探 命题(1)(2)(3)别离利用量词“每一个”“所有”“一切”．命题(1)(3)是真命题，命题(2)是假命题，三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全数、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题(2)为假命题．梳理 全称量词 任意x ∈M ，p (x )知识点二试探 命题(1)(2)(3)别离利用了量词“有些”“存在”“至少有一个”．命题(1)(2)是真命题，命题(3)是假命题．三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可．因此命题(1)(2)是真命题，而任意实数x ，x 2－2x ＋2都大于0，因此命题(3)为假命题．梳理 存在量词 存在x ∈M ，p (x )题型探讨例1 解 (1)能够改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，是全称命题．(2)含有存在量词“有些”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)含有存在量词“有一个”，是特称命题．跟踪训练1 D例 2 解 (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，故该命题是真命题．(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，故该命题是真命题．(3)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，故该命题是假命题．(4)存在一个函数f (x )＝0，它既是偶函数，又是奇函数，故该命题是真命题．引申探讨 解 ①存在实数1，它的绝对值是正数，故该命题是假命题． ②因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，函数y ＝tan x 是增加的，故存在x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，假设x 1<x 2，那么tan x 1<tan x 2，故该命题是真命题．③如函数y ＝x 2＋1，它是偶函数，但不是奇函数，故该命题是假命题．跟踪训练2 解 (1)是全称命题．因为对任意x ∈N,2x ＋1都是奇数，因此全称命题：“对任意x ∈N,2x ＋1是奇数”是真命题．(2)是全称命题．由平行四边形的性质可知此命题是真命题．(3)是特称命题．不存在x ∈R ，使1x －1＝0成立，因此该命题是假命题． (4)是特称命题．当m ＝4，n ＝3时，m －n ＝1成立，因此该命题是真命题．(5)是特称命题．存在A ＝{3}，使A {1,2,3}成立，因此该命题是真命题． 例3 解 (1)关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空， ∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74， ∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞. (2)∵对任意x ∈R ，p (x )是真命题．∴对任意x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0恒成立，当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0不恒成立，当a ≠0时，假设不等式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝4－4a ＜0，∴a >1.即a 的取值范围是(1，＋∞)．跟踪训练3 解 (1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2， 又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立，∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．(2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[]－2，2， 又存在x ∈R ，sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <2即可，∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．当堂训练1．B 2.D 3.C 4.15．解 (1)存在相等的两个角是对顶角．(2)对任意x ∈R ，sin x ＋cos x <3.。
2017届高三一轮数学复习课件：第一章 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
列命题为真命题的是( D )
而 p∧q 为假，綈 p∧綈 q 为假，
A．p∧q
B．綈 p∧綈 q
綈 p∧q 为假，p∧綈 q 为真，
C．綈 p∧q D．p∧綈 q
故选 D.
第四页，编辑于星期六：点 五十七分。
考点一
解析
自主探究 师生互动
2．(2016·太原模拟)若 p，q 是两个
简单命题，且“p∨q”的否定是真 由题意知，綈(p∨q)为真，故 p
1．判定全称命题的真假的方法 (1)定义法：对给定的集合中的每一个元素 x，p(x)都为真，则 全称命题为真． (2)特值法：在给定的集合内找到一个 x0，使 p(x0)为假，则全 称命题为假． 2．判定特称命题真假的方法 特值法：在给定的集合中找到一个 x0，使 p(x0)为真，则特称命 题为真，否则命题为假．
(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是 命题的否定是全称命题．
(A ) A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1
“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝ x0－1”的否定应为“∀x∈ (0，＋∞)，ln x≠x－1”，
C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1 故选 A.
则 Δ＝(a－1)2－4×2×12＜0， 则－2＜a－1＜2，则－1＜a＜3. 故选 B.
第二十四页，编辑于星期六：点 五十七分。
考点四
师生互动
解析
当 p 为真命题时，对任意实数 x 都有 ax2＋ax＋1＞0
2．(2016·济南模拟)给定命 题 p：对任意实数 x 都有 ax2
成立⇔a＝0 或aΔ＞＜00，，
D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
第二十页，编辑于星期六：点 五十七分。
高中数学第一章常用逻辑用语1.4.1全称量词1.4.2存在量词导学案新人教A版选修1_1
1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词学习目标：1.1.通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义．并会判断全称命题和特称命题的真假．2．能够用符号表示全称命题、特称命题．教学重点：全称量词和存在量词的意义．教学难点：全称命题和特称命题的真假的判定．方法：自主学习合作探究师生互动知识点1：全称命题新知导学1．短语“__________”、“____________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“_______”表示，含有全称量词的命题，叫做__________．2．全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：______________．3．常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示______________的含义．牛刀小试1．观察下列语句：(1)2x是偶数；(2)对于任意一个x∈Z,2x都是偶数．(3)所有的三角函数都是周期函数．问题1：以上语句是命题吗？问题2：上述命题中强调的是什么？知识点2：特称命题4．短语“__________”、“_____________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示，含有存在量词的命题，叫做__________．5．特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，_______________．6．存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示________________的含义．牛刀小试2．观察下列语句：(1)存在一个x0∈R，使2x0＋2＝10；(2)至少有一个x0∈R，使x0能被5和8整除．课堂随笔:问题1：以上语句是命题吗？问题2：上述命题有什么特点？3．下列命题：①有一个实数不能作除数；②棱柱是多面体；③所有方程都有实数解；④有些三角形是锐角三角形．其中是特称命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4典例分析：题型1：全称命题、特称命题的判定例1:判断下列命题是全称命题还是特称命题？(1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)负数的平方是正数；(4)有的实数是无限不循环小数；(5)有些三角形不是等腰三角形；(6)每个二次函数的图象都与x轴相交．跟踪训练1：判断下列语句是全称命题，还是特称命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)有些素数的和仍是素数；(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．题型2：量词符号的应用例2：用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)实数都能写成小数形式；(2)对于所有的实数x，都有x2≥0；(3)存在一个x0∈R，使x＋x0＋1＝0；(4)至少有一个x0∈{x|x是无理数}，x是无理数．跟踪训练2:将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示．(1)整数中1最小；(2)方程ax2＋2x ＋1＝0(a<1)至少存在一个负根； (3)对于某些实数x ，有2x ＋1>0； (4)若l ⊥α，则直线l 垂直于平面α内任一直线．题型3：全称命题和特称命题真假的判断 例3：给出下列四个命题： ①∀x ∈R ，x 2＋2>0； ②∀x ∈N ，x 4≥1； ③∃x 0∈Z ，x 30<1; ④∃x 0∈Q ，x 20＝3.其中是真命题的是__________(把所有真命题的序号都填上)． 跟踪训练3：判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假： (1)有一个实数α，使得tan α无意义； (2)任意的x ∈{3,5,7},3x ＋1是偶数； (3)存在x ∈R,2x ＝－12. 课后作业1．下列命题中，全称命题的个数为( )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A ．0B ．1C ．2D ．32．下列特称命题中真命题的个数是( )①∃x ∈R ，x ≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x ∈{x |x 是整数}，x 2是整数．A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个后记与感悟:4．下列命题：①至少有一个x 使x 2＋2x ＋1＝0成立②对任意的x 都有x 2＋2x ＋1＝0成立③对任意的x 都有x 2＋2x ＋1＝0不成立④存在x 使得x 2＋2x ＋1＝0成立其中是全称命题的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个5．下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )A ．存在一个角α，使得tan(90°－α)＝tan αB ．存在实数x 0，使得sin x 0＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β7．(2015·北京四中质量检测)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是__________ ________.8．下列命题中真命题为__________ ________，假命题为__________ ________.①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有些三角形不是等腰三角形；⑤所有的菱形都是正方形9.判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)对任意实数α，有sin 2α＋cos 2α＝1；(2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数a 、b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解；(4)存在实数x 0，使得1x 20－x 0＋1＝2.。
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全称量词与存在量词
【学习目标】1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义；2.能
准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容
【重点难点】理解全称量词与存在量词的意义.
【知识链接】德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题“任意取一个奇数，可以把
它写成三个质数之和，比如77，：77=53+17+7”，同年欧拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正
确，并且认为：每一个偶数都是两个质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的，
但是还需要证明。这也就是当今人们称之为哥德巴赫猜想，并誉为数学皇冠上的明珠。
200多年来我国著名数学家陈景润才证明了“1+2”即：凡是比某一个正整数大的任何偶
数，都能表示成一个质数加上两个质数相乘，或者表示成一个质数加上一个质数，从陈
景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥。它是一个迄今为止仍然是一个没有得到正面
证明也没有被推翻的命题.
【学习过程】
一、自学质疑：
在我们的日常生活中，我们常常遇到这样的命题:
（1）所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护；
（2）对任意实数x，都有02x；
（3）存在有理数x，使022x.
问题1：上述命题中有那些关键的量词?
1.全称量词与存在量词：
全称量词定义： ；
表示形式： ；
符号表示：____________________________________________；
读作：________________________________________________.
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存在量词定义：________________________________________；
表示形式:_____________________________________________；
符号表示：_____________________________________________；
读作：___________________________________________________.
如：“对任意实数x，都有02x”可表示为 ；
“存在有理数x，使022x” 可表示为 .
2. 全称命题与存在性命题
全称命题定义： ,一般形式 ；
存在性命题定义： ，一般形式 .
二、精讲点拨：
例1.判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并找出其中的量词.
（1）任意实数的平方都是正数__________\__________；
（2）0乘以任何数都等于0______________\____________；
（3）任何一个实数都有相反数___________\______________；
（4）⊿ABC的内角中有小于600的角___________\___________；
（5）有人既能写小说，也能搞发明创造____________\__________；
问题2：如何判定一个存在性命题，全称命题的真假？
例2.判断下列命题的真假：
（1）xxRx2, ； （2）xxRx2,；
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（3）08,2xQx ； （4）02,2xRx；
（5）01,2xxRx； （6）01,2xxRx.
总结：存在性命题)(,xpMx为真，只要在给定的集合M中找出一个元素x，使命题
)(xp为真，否则为假；全称命题)(,xpMx
为真，必须对给定的集合的每一个元素x,
)(xp
为真，但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个0x，使)(0xp为
假.
三、矫正反馈：
1.下列全称命题中，真命题的是___________.
A．末位是偶数的整数总能被2整除； B．角平分线上的点到这个角两边距离相等；
C．正三棱锥的任意两个面所成的二面角相等.
2.下列存在性命题中，真命题的是____________.
A．0,xRx B．至少有一个整数，它既不是质数也不是合数
C．x是无理数，2x是无理数 D．x是无理数，2x是有理数
3.下列全称命题中真命题的个数是 .
①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③
正四面体中两侧面所成的二面角相等.
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4.下列存在命题中假命题的个数是 .
①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形.
5.下列存在命题中真命题的个数是 .
①0xR,x；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③
是无理数是无理数｝，│｛2xxxx
.
四、迁移应用：
1.下列全称命题中假命题的个数是 .
①2x+1是整数（x∈R）；②对所有的x∈R ，x>3；③对任意一个x∈z，2x2+1为奇数.
2.下列命题为存在命题的是 （ ） .
A.偶函数的图象关于y轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线是平行直线 D.存在实数大于等于3
3.命题“原函数与反函数的图象关于y=x对称”的否定是 （ ） .
A.原函数与反函数的图象关于y=-x对称
B.原函数不与反函数的图象关于y=x对称
C.存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x对称
D.存在原函数与反函数的图象关于y=x对称
4.命题“03x-xR,x2”的否定是______________.
5.命题“01xR,x2”的否定是______________.
6.把下列命题改成含有量词的命题：
（1）余弦定理
（2）正弦定理
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7.用符号“”与“”表示含有量词的命题：
（1）实数的平方大于等于0；
（2）存在一对实数，使0332yx成立；
（3）勾股定理.
8.写出下列命题的否定：
（1）所有自然数的平方是正数；
（2）任何实数x都是方程5x-12＝0的根；
（3）对于任意实数x，存在实数y，使0yx；
（4）有些质数是奇数.