几种常见的不定方程的求解

几种常见的不定方程的求解

摘要：本文重点介绍二元一次不定方程、勾股数以及一些特殊的非一次型不定方程的常见解法。

关键词：二元一次不定方程；辗转相除法；整数分离法；勾股数；特殊的非一次型不定方程

不定方程，即未知数个数多于方程个数且其解受一定限制（如解为整数，正整数等）的方程或方程组。不定方程又叫丢番图方程，它是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富。我国对不定方程的研究已延续了数千年。“百钱买百鸡”、“物不知其数”等堪称中外驰名，一直流传至今。学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能。中国古代数学家张丘建曾解答了下面的问题：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”设x，y，z分别代表鸡翁、鸡母、鸡雏的数目，就得x+y+z=1005x+3y+■z=100：消去z，得7x+4y=100。我们要解决这个问题，就要求出上述方程的非负整数解，这个方程仅仅是二元一次不定方程的一个具体例子。本文主要介绍一些基本类型的不定方程有整数解的条件及其解法。

1.二元一次不定方程及其求解。最简单的不定方程就是

二元一次不定方程，下面我们考虑它有整数解的条件。

定理[1]二元一次不定方程ax+by=c…①有整数解的充分必要条件是d|c，d=（a，b），（其中a，b，c是整数，且a，b都不是0）。证必要性，如果方程①有整数解x=x0，y=y0则ax0+by0=c。有d|ad|b，所以d|（ax0+by0）即d|c。充分性，因为d|c所以c=dq由于存在两个整数x0，y0使ax0+by0=d。在上式两边同时乘以q，得ax0q+by0q=dq。即ax0q+by0q=c 因此方程①有整数解x=x0q，y=y0q。对于二元一次不定方程，我们介绍求x0，y0的三种常用方法：

（1）观察法。例1 求不定方程3x+4y=23的非负整数解。解：通过观察x=1，y=5是一个特解。因此不定方程的通解为x=1+4ty=5-3t这里t为任意整数；解不等式组1+4t≥05-3t≥0得：-■≤t≤■因此t=0，1 当t=0时，x=1，y=5，当t=1时，x=5，y=2。因此不定方程的全部非负整数解为：x=1y=5 x=5y=2 （2）辗转相除法。方程ax+by=（a，b）与■x+■y=1的解完全相同，又因为求ax+by=1的解即可求出|a|x+|b|y=1

的解，因此我们只需讨论求ax+by=1…③的一个整数解的方法，其中（a，b）=1，设a≥b＞1，由③式必存在整数M，N，使aM+bN=1…④。且M=（-1）n-1Qn，N=（-1）nPn，在④式两边同乘以c，得acM+bcN=c。因此不定方程（1）的一个整数解是：x0=（-1）n-1QnC，y0=（-1）nPnC。其中，P0=1，P1=q1，PK=qKPk-1+Pk-2，Q0=0，Q1=1，Qk=qKQk-1+

qk-2，k=2，…，n。

（3）降低系数法。降低系数法是普通中学教科书中二

元一次不定方程解法的理论依据。例2[1]求107x+37x=25的

一切整数解。解：由原方程得：y=■=-2x+■。令y'=■，则

y'应该是整数，故得一新的不定方程37y'+33x=25。又x=■

=-y'+■。仿前令x'=■，又得到33x'+4y'=25。又y'=■=6-8x'+■取x'=1，得y'=-2 所以x=-（-2）+■=3，y=（-2）×3+■=-8。所以原方程的一切解是：x=3-37t，y=-8+107t （t=0，±1，

±2，…）。本文开头的张丘建的百钱买百鸡的问题，实际上是求不定方程的非负整数解的问题

2.勾股数。在平面几何里，我们已经学过直角三角形斜

边与直角边关系的勾股定理：斜边长的平方等于两直角边长的平方之和，即x2+y2=z2…①。如果正整数x，y，z能满足

不定方程x2+y2=z2，那么x，y，z叫做一组勾股数，简称勾

股数。我国古代数学书《周髀算经》曾提到“勾广三，股修四，经隅五”，这是三边都是正整数的直角三角形。由此可

见当时的数学家已经求出了不定方程①的一组正整数解：x=3，y=4，z=5。在公元263年时，我国数学家刘徽在评注《九章算术》时，载有下面几组等式：32+42=52 52+122=132

72+242=252 82+152=172 202+212=292。这些事实说明，我国古代数学家已经得到了许多勾股数，即方程①的许多正整数解。那么我们有没有办法可以求出方程①的一切正整数解呢？

为了解决这个问题我们证明：引理[1]不定方程uv=w2，w＞0，u＞0，v＞0（u，v）=1…②的一切正整数解可以写成公式：u=a2，v=b2，w=ab，a＞0，b＞0，（a，b）=1…③。证（1）设u，v，w是②的一解。令u=a2u1，v=b2v1，a＞0，b＞0，其中u1，v1不再被任何数的平方整除，则a2|w2，b2|w2，因此a|w，b|w，又（u，v）=1，故（a2，b2）=1，因而，（a，b）=1，由此即得ab|w，设w=w1ab，代入②即得u1v1=w12，若w12≠1，则有一质数P，满足P2|w12，但由u1，v1的定义及（u1，v1）=1，可知P2不整除u1，v1。故w12=1，u1v1=1，但w1，u1,v1都是正数，故w1=u1=v1=1。因此u=a2，v=b2，w=ab，a＞0，b＞0，（a，b）=1。2）反之，③式中的u，v，w显然满足②式。

3.特殊的非一次型不定方程

（1）因式分解法。对某些非一次型不定方程，往往可以对不定方程中的代数式进行因式分解，同时再通过对方程中的常数项分解质因数，得出常数项的约数，根据约数与因式分解情况，并结合考虑求方程整数解的具体要求，列出某些方程组，从而求出原不定方程的整数解。例3[3]求不定方程3x2-xy+9=0的正整数解。解由原方程得x（y-3x）=9，当x，y是整数时，y-3x是整数，且x，y-3x都是9的约数。所以

x=1y-3x=9 x=3y-3x=3 x=9y-3x=1

解之得：x=1y=12 x=3y=12 x=9y=28。

（2）整数分离法。这种方法是通过对不定方程的变形，使一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，如果这个代数式是分式，那么用整数分离法，将分式变形成“整数+■”的形式，这时m为常数，P是关于另一个未知数的多项式，然后对■运用约数分析法，求出原不定方程的解。

例4 求满足方程■-■=■，且使y最大的正整数解（x，y）。

解：分离变量，得y=■=-12+■，则（12-x）|144，且为使y最大，又必须12-x为最小的正整数，则x=11，因此y=132，所以满足要求的正整数解为（11，132）。

（3）估计法。例5[3]求不定方程x+y=x2-xy+y2的整数解。解：原方程变形为关于x的一元二次方程x2-（y+1）x+（y2-y）=0，若有整数x，y使上式成立。则Δ=（y+1）2-4（y2-y）≥0，也就是3y2-6y-1≤0，解得1-■≤y≤1+■。从而y=0，1，2 可相应求出x的值。

综上可知原方程有整数解：（0，0），（1，0），（0，1），（2，1），（2，2）。

（4）奇偶分析法。例6[3]求方程x（x+y）=z+120的质数解。解①若z为偶数，则z=2，于是z+120=122=2×61为偶数，所以x（x+y）也为偶数，又因为x，y为质数，x+y＞x。所以x=2x+y=61，即x=2y=59，故原方程的一个质数解为（2，59，2）。

②若z为奇数，则z+120为奇数，所以x（x+y）为奇数，即x，x+y都为奇数，则y为偶质数，故y=2，那么原方程变为x（x+2）=z+120，即x2+2x-120=z，则（x+12）（x-10）=z 因为z为质数，x-10＜x+12，所以x-10=1x+12=z，即x=11z=23故原方程的又一个质数解为（11，2，23）。像这些特殊的非一次型不定方程的例题很多，解决的方法也很灵活多样，归纳起来常见的有下列几种：（1）代数式的恒等变形，特别是代数式的因式分解；（2）估计法，特别是利用不等式的性质；（3）奇偶分析法；（4）换元法；（5）无穷递降法；（6）整除性质；（7）其他某些不定方程的求解，可能仅利用其中一种方法，但很多题目往往需要几种方法混合使用，要视具体情况具体分析，灵活的解决问题。

综上所述，不定方程有着各种类型，也有着各种不同的解法，不定方程问题富有趣味，耐人寻味，具有优美的技巧。不定方程应用广泛，一些排列组合数问题和某些物理问题都可用不定方程解决，许多中小学竞赛题也因不定方程解法巧妙而引入不定方程问题。因此不论是现实生活还是理论上，不定方程都有着不可替代的作用。

参考文献：

[1]闵嗣鹤，严士健.初等数论[M].高等教育出版社，1982.

[2]陈肇曾.数论初步[M].高等教育出版社，1996.

[3]王元.初等数论[M].人民教育出版社，2003.

[4]曹珍富.数论中的问题及结果[M].1996.

[5]阎满富，王朝霞.初等数论及其应用[M].中国铁道出版社，1999.

[6]冯克勤.初等数论及应用[M].北京师范大学出版社，2003.

[7]张君达.数论基础[M].北京科学技术出版社，2002.

[8]郑克明.数论基础[M].西南师范大学出版社，1993.

[9]潘承洞，潘承彪.初等数论[M].北京大学出版社，2003

[10]R.K.盖伊.数论中未解决的问题[M].科学出版社，2004.

[11]晏能中.初等数论[M].电子科技大学出版社，1992.

[12]丢番图和不定方程[J].2002，（1）.