非齐次线性微分方程的基本解组与通解
常微分课后答案第四章
第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论习题4．11．设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：若在区间[]b a ,上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．（提示：用反证法） 证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关，则存在不全为0的常数21,c c 使得0)()(21≡+t y c t x c ，[]b a t ,∈，若)0(,021≠≠c c 或得12)()(c c t y t x -≡（或21)()(c c t x t y -≡）[]b a t ,∈∀成立。
与假设矛盾，故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．2．证明非齐次线性方程的叠加原理：设)(1t x ，)(2t x 分别是非齐次线性方程)()()(1111t f x t a dt xd t a dt x d n n n n n =+++-- （1） )()()(2111t f x t a dtxd t a dt x d n n n nn =+++-- （2） 的解，则)()(21t x t x +是方程)()()()(21111t f t f x t a dtxd t a dt x d n n n n n +=+++-- （3） 的解．证明 因为)(1t x ，)(2t x 分别是方程（1）、（2）的解，所以)()()(1111111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- ， )()()(2212112t f x t a dtx d t a dt x d n n n nn =+++-- ， 二式相加得，)()())(()()()(21211211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ，即)()(21t x t x +是方程（3）的解．3.（1）．试验证022=-x dt x d 的基本解组为tt e e -,，并求方程t x dtx d cos 22=-的通解。
常微分方程标准答案-一二章
习题1.24. 给定一阶微分方程2dyx dx=， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解； (3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件102ydx =⎰的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。
解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈；(2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+；(3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223y x cy x ⎧=+⎨=+⎩只有唯一解，即223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是24y x =+；(4). 把2y x c =+代入12ydx =⎰即得5c =，故满足条件12ydx =⎰的解是253y x =+；(5). 图形如下：-1.5-1-0.500.51 1.512345675. 求下列两个微分方程的公共解：242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++--解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得()()222210y x xy -++=所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。
6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。
解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得2200010k b k xk kx b k b k b k k -=⎧+--=⇒⇒====⎨-=⎩或所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。
8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。
用分部积分法求解常系数高阶非齐次线性常微分方程
提供ｒ求解常系数非齐线性常微分方程初值问题的一种降阶法．重复应用这一降阶法，最终也就得到１仁
齐次线性力＋程对应初值问题的解．了解算子法的读者会清楚．这一降阶法本质上与算子法的分解性质足 相同的（见［１，Ｐ１９７］的性质２）．但是，这里引出这一降阶法的优点在于：只要知道分部积分公式，就可以 求解（不需耍引入其它方法、概念及它们的性质．）
ｖ（』）一ｌ－厂（ｒ）ｓｌｎ（ｒ—ｒ）ｄｒ．
伊０ ２求解仞值问题
ｆｙ“ ３）－’＋２、ｙ一，（．ｒ）．
１ｙ（ｏ）一１，／（ｏ）一２． 解（１１）的方科对应的特征方程为
＾２—３＾＋２—０．
其特征值为＾．一】。＾：一２．
在（１１）的方程两边同乘以ｅ一并从ｏ｛｜｝｛分至ｎ得
』‘ｅ ７ｙ”ｃ－ｒ，ｄ丁一。』：ｅ。＿７ ｃｚ，ｄ丁＋ｚ』．：ｃ ７ｙ ｃ。，ｄ丁＝』：ｅ ７Ｌ厂ｃ。，ｄ。
天学数学
第１８卷
Ａ ｖ一６．
（１８）
这里，ｊ阶方阵Ａ一（“．，（，））…，．”维列向萤，一（ｙ；√’，…．』１７’”）。．６一（６·（』Ｊ）－仉ｆ』）．…，＾。（ｒ））‘·其中，
“．（·），６．（』）…，一ｌ，２＋…川为上的已知函数；
第三步求解线性方程组（１８）．Ｊ的第一分量就是埘应初值问题的解． 为ｒ汪叫这·方法的町行性。只需验证第二步．即取（ｊ）巾的每一个幽数乘以方程（１）的两边，两边 自初始时刻。积分至』．左端各项反复用分部积分公式，能够化成ｙ．，．…．∥””的线性式．（我们注意 到系统（１）的初值问题解是存在唯一的．故它必然是（１８）的解．）现在，我们假设ｐ∈｛＾。．＾。，…，＾）是一个
引证文献(4条)
1.邢春峰.袁安锋.王朝旺 求二阶线性常系数非齐次微分方程通解的一种新方法[期刊论文]-北京联合大学学报（自
微分方程组的基解矩阵_理论说明
微分方程组的基解矩阵理论说明1. 引言1.1 概述微分方程组是数学中研究自然现象和物理现象的重要工具，它描述了变量之间的变化率以及它们与时间或空间的关系。
在科学和工程领域，微分方程组被广泛应用于预测、建模和优化等问题的求解中。
其中，微分方程组的基解矩阵作为一个核心概念，扮演着重要的角色。
1.2 文章结构本文将对微分方程组的基解矩阵进行深入探讨，并介绍其性质、求解方法以及应用及意义等方面的内容。
具体结构如下：第2部分：微分方程组的基本概念该部分将介绍微分方程组的定义，以及基本解和通解这两个重要概念，并引入基解矩阵这一主题。
第3部分：基解矩阵的性质与求解方法在此部分中，我们将讨论基解矩阵存在性与唯一性的问题，并探究基解矩阵与常系数微分方程组之间的关系。
同时，我们也会介绍一些求解基解矩阵的常见方法和步骤。
第4部分：微分方程组基解矩阵的应用及意义该部分将探讨基解矩阵在初始值问题求解方法和非齐次线性微分方程组中的特殊情况下的应用。
同时，我们也会对理论说明与实际应用之间的联系和差异进行讨论。
第5部分：结论与展望最后一部分将总结本文主要观点和发现，并对未来研究的方向和前景进行展望。
1.3 目的本文旨在全面深入地介绍微分方程组的基解矩阵，明确其定义以及相关概念，并深入探讨其性质、求解方法以及应用及意义。
通过本文的阐述，读者可以更好地理解微分方程组中基解矩阵这一重要概念的作用和应用，为进一步开展相关研究提供有益指导。
2. 微分方程组的基本概念：2.1 微分方程组的定义：微分方程组是由多个未知函数及其导数构成的一组方程。
通常形式为：\[ \begin{cases}F_1(x, y_1, y_2, ..., y_n, y_{n+1}) = 0 \\F_2(x, y_1, y_2, ..., y_n, y_{n+1}) = 0 \\... \\F_n(x, y_1, y_2, ..., y_n, y_{n+1}) = 0\end{cases}\]其中，\( x \) 是自变量，\(y_1, y_2, ..., y_n\) 是未知函数，\(y_{n+1}\) 是关于\(x\) 的已知函数。
4.2常系数线性微分方程的解法
(3) 求方程(4.19)通解的步骤
第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2,, k ,
第二步: 计算方程(4.19)相应的解
(a) 对每一个实单根 k , 方程有解 ekt ; (b) 对每一个 m 1重实根k ,方程有m个解;
ekt , tekt , t 2ekt ,, t m1ekt ;
(
A(2) 0
A1(2)t
A t )e (2) k2 1 2t k2 1
(
A(m) 0
A1(m)t
A t )e (m) km 1 mt km 1
0
P1(t)e1t P2 (t)e2t Pm (t)emt 0
(4.27)
假定多项式 Pm (t) 至少有一个系数不为零，则 Pm (t)
不恒为零，
dnx
d n1x
d k1 x
dt n a1 dt n1 ank1 dt k1 0
显然 1, t, t 2 ,, t k11 是方程的 k1 个线性无关的解，
方程(4.19)有 k1 重零特征根
方程恰有 k1 个线性无关的解 1, t, t 2 ,, t k11
II. 设 1 0 是 k1 重特征根
L[e(1)t ] L[e te1t ]
e1t L1[e t ] e(1)tG( )
F( 1) G()
F ( j) (1) 0, j 1,2,, k1 1 F (k1) (1) 0,
dF
j ( d
j
1 )
dG j () d j
,
j 1,2,, k1
(4.19)的 k1重特征根 1
k1, k2 ,, km 重数 k1 k2 km n, ki 1
I. 设 1 0 是 k1 重特征根
微分方程复习题(1)
常微分方程复习题、填空题1．微分方程 (dy )n dyy 2 x 20的阶数是 _______________ dx dx答：12． 形如 _的方程称为齐次方程答： d dyx g( x y) dx x 3．方程 y 4y 0 的基本解组是答： cos 2 x, sin 2 x .1. 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x), y 2(x) 为方程的基本解组充分必要条件 是．答： 线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等于零)2. 方程 y 2y y 0 的基本解组是3. 若 (t)和 (t)都是 X A(t)X 的基解矩阵，则 (t)和 (t) 具有的关系4.一阶微分方程 M(x,y)dx N(x,y)dy 0 是全微分方程的充分必 要条件5. 方 程 M(x,y)dx N(x, y)dy 0 有 只 含 x 的 积 分 因 子 的 充 要 条件 是 。
有只含 y 的积分因子的充要条件是 。
6. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点 x,y 处 的切线斜率为 2x y ，则曲线方程 为。
7.称为 n 阶齐线性微分方程。
8. 常系数非齐线性方程 y (n)a 1y (n 1)a n 1y a n y e xP m (x)(其中 P m (x) 是 m 次多项式 )中，则方程有形如 的特解。
9. 二阶常系数线性微分方程 y 3y 2y e x有一个形如的特解。
答：xxe , xe10. 微分方程y 4y 21y 0的一般解为。
9. 微分方程xy 2y 3y4 0 的阶数为。
10. 若x i (t)(i 0,1,2, ,n)为齐次线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为.11. 设x(t) 为非齐次线性方程的一个特解, x i (t)(i 0,1,2, ,n)是其对应的齐次线性方程的一个基本解组, 则非齐线性方程的所有解可表为.12. 若x i(t)(i 0,1,2, , n)是齐次线性方程y(n) a1(x) y( n 1) a n 1(x)ya(x)y 0 的n个解，w(t) 为其朗斯基行列式，则w(t) 满足一阶线性方程。
考研微分方程解叠加原理
考研微分方程解叠加原理一、引言微分方程是数学的重要分支，应用广泛，常用于描述自然界中的变化规律。
在考研数学中，微分方程也是一个非常重要的考点之一。
而解微分方程的方法繁多，其中叠加原理是一种常见而有效的解法。
本文将介绍考研微分方程解叠加原理的相关概念、理论和应用。
二、叠加原理的基本概念2.1叠加原理的定义叠加原理是指对于一个齐次线性微分方程的解的任意线性组合也是该微分方程的解。
换句话说，在给定的初始条件下，齐次线性微分方程的解是线性空间。
这一原理在解非齐次线性微分方程时具有重要意义。
2.2齐次线性微分方程的解齐次线性微分方程是指形如$y'+P(x)y=0$的微分方程，其中$P(x)$为已知函数，解的形式为$y=C e^{-\in tP(x)d x}$，其中$C$为常数。
2.3非齐次线性微分方程的解非齐次线性微分方程是指形如$y'+P(x)y=Q(x)$的微分方程，其中$P(x)$、$Q(x)$为已知函数，解的形式为$y=e^{-\i nt P(x)dx}\le ft(\in tQ(x)e^{\i ntP(x)dx}d x+C\ri ght)$，其中$C$为常数。
三、叠加原理的应用3.1利用叠加原理求解齐次线性微分方程对于给定的齐次线性微分方程，我们可以通过叠加原理求解。
具体步骤如下：1.将齐次线性微分方程表示为$y'+P(x)y=0$的形式。
2.求解该齐次线性微分方程，得到基本解组$y_1,y_2,\l d ot s,y_n$。
3.将基本解组线性组合，得到该齐次线性微分方程的通解$y=\su m_{i=1}^nC_i y_i$，其中$C_i$为常数。
3.2利用叠加原理求解非齐次线性微分方程对于给定的非齐次线性微分方程，我们同样可以通过叠加原理求解。
具体步骤如下：1.将非齐次线性微分方程表示为$y'+P(x)y=Q(x)$的形式。
2.求解对应的齐次线性微分方程$y'+P(x)y=0$，得到基本解组$y_1,y_2,\ld ot s,y_n$。
常数变易法求解一类四阶常系数非齐次线性微分方程
的 解法进 行 了讨论 ，但 该 解法 对 四阶及 四阶 以上 的微 分方 程并 不具 有通 用性 ，以下 对一 类具有实特征根的四阶常 系数非 齐次线性 微分
＜ ＞当 ２ 为复根 时 ，不妨 设
：ａ±ｈ ， ｂ∈Ｒ， ｉａ， ６≠０ ，
方程 ’ ｑ ＋ ： Ｊ＋ Ｊ ／ 进行详细 ＋ ｎ ＋ ， 吼 一． Ｙ ）
＝
若 为特 征方程 ，＋ Ｉ ａ ＋ ａ ＋ ２ ＋ Ｐ ｄ‘
０ 的一 实根 ，３ ０为方 程 ０ ＋ 。 ｂ ） ＝ ３ ６ ＋２ ＋ ０ ｏ ＝ ｒ＋ ４
的 实根 ， 为 ＋（ （ ２＋２ Ｏ的 （ ＋ ｎ＋ ‘＋ ｂ＝ ３ ｏ ３ ｍ ） ｏ
因 为 为 特征 方 程 （ ）的一 个根 ，所 ５ 以 ，＋ Ｉ ＋ ： Ｈ ａ ： ． ａ・ “ ＋ ， ， ４ ０从而有
ｔａ ｓｏｍ ｒ ｎ ｆ ｒ ｍｅ ｈ ｄ。 ｈ ｔ ｐｃ ｌ ｔ ｏ ｆ ｒ ｏｖｎ ｔ ｏ ｔ ｅ ｙ ｉ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｓ ｌｉ ａ ｇ ｄ ｒｎ ｉ ｅ ｕ ｔ ｎ ｆ ｏｄ ｒ ｏ ｅ ｉ ｕｅ ｉ ｏｖ ｇ ｉ ｅ ｔ ｌ ｑ ａ ｉ ｓ ｏ ｒｅ ｎ ． ｓ ｓｄ ｎ ｌｉ 什ｅ ａ ｏ ｓ ｎ
例验 证 公 式 的适 用性 。
其特征 方程为
ｒ ＋ Ｉ ＋ ？ （ ＋ ４ ａ （， ＋ ａ ：０ （） ， ： ５
则方程的 通解为 ＜１ 为实根 时 ， ＞当
－
设 为特 征方程 （） ５的一 实根 ，则 Ｊ ｅ — “ 是 （４） 一 个 解 ， 这 是 可 设 （ 的 ３）的 解 为 ＝ （） ，将 其带 人 （ ） ，可 得 ｃ ３中
：
（３） ２，ｒ ｋ＋［ ＋ ｐ
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非齐次线性微分方程的基本解组与通
解
非齐次线性微分方程是学习微积分的基础之一，是理解复杂物理系统的基本理论。
非齐次线性微分方程指的是一种未知函数和未知常数之间的函数关系，即像y'' + py' + qy = f(x)这样的微分方程，其中x和y分别为
变量和函数，p和q为常数，f（x）为右端函数。
非齐次线性微分方程的解法是以求解含有常数的方程的一种方法，它的通解是一般解的线性组合。
为了求解非齐次线性微分方程，我们需要寻找基本解组，这个基本解组就是一组有限个基本解，这些基本解能够完全确定该方程的通解，其中每一个基本解都有它自己的特征。
首先，我们可以使用幂级数法来求出基本解组，即将原始方程展开成多项式，然后令这些多项式各项系数归零，一元七次或更高阶的方程有其他方法，比如拉格朗日法，特征值分解法等。
然后，将求得的基本解组的各个解带回原方程，看是否又完全确定该方程的解。
如果此时得到的解成立，则基本解组就求出了，最后使
用线性组合，将这些基本解组的各个解组合起来，就可以得到关于非齐次线性方程的通解。
总之，非齐次线性微分方程是一个很重要的数学模型，它的求解需要经过许多复杂的步骤，首先，需要求出基本解组，然后使用线性组合，将这些基本解组的各个解进行组合，就可以得出该方程的通解，并在此基础上进行分析和应用。