高阶常系数线性非齐次常微分方程的解法
高阶常系数非齐次线性微分方程的新解法
用w
n- k 1
R 2 ( t) ・( t - w 1 ) = tn + ( - Q1 - w 1 ) tn- 1+ …+ ( - Q k + w 1Q k- 1 ) tn- k + … + ( - Qn- 1 + w 1Q n- 2) t + w 1 Qn- 1 ,
86 所以由定理 1 知, R 2( t ) ・ ( t- w 1) = R 1 ( t) . 定理 3 的证明 使用数学归纳法 . 1. 当 n= 1 时, 定理显然成立; 2. 假设 n = k 时 , 该定理成立; 3. 当 n= k + 1 时 , 由定理 1 知
∑∑C
t ≠t
0
ktj
e
ut x 0
j= 0
∫
x e
j ( u t - ut ) x
0
k t0
- 1
dx + e
ut x 0
・ ∑ C kt 0 j x dx + C k+ 1 e
j j= 0
∫
ut x 0
,
利用 x j e x d x = e x ・
高阶常系数非齐次线性微分方程
高阶常系数非齐次线性微分方程在工程、物理、金融等领域都有广泛应用。
它是一个非齐次方程，其中存在一个常系数，其次数为高阶的微分方程，求解这个微分方程是理解和应用这些领域的重要基础。
一、概述在微积分的学习过程中，学生们常常会遇到求解常系数非齐次线性微分方程的问题。
它也被称为高阶非齐次微分方程。
其中的“常系数”指的是微分方程中所有的系数都是常数，而“非齐次”则表示方程中存在非零项。
假设我们有一个高阶常系数非齐次微分方程：$$\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_1\frac{dy}{dx}+a_0y=f(x)$$其中 $a_0,a_1,...,a_{n-1}$ 是常数，$f(x)$ 是一个已知函数。
为了解决该微分方程，我们需要找到一个解 $y(x)$。
二、齐次微分方程的求解首先，我们需要解决由齐次微分方程所得到的通解。
齐次微分方程是指 $f(x)$ 的项为 $0$，即$$\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_1\frac{dy}{dx}+a_0y=0$$这个微分方程可以通过假设 $y(x)=e^{\lambda x}$ 为通解进行求解，得到特征值方程：$$\lambda ^n+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+...+a_1\lambda+a_0=0$$特征值方程的解称为特征根$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$，它们也称为系统的固有值。
特征根决定了系统的动态性质。
找到特征根后，我们可以得到齐次微分方程的通解：$$y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2x}+...+c_ne^{\lambda_n x}$$其中 $c_1, c_2,...,c_n$ 是常数。
三、非齐次微分方程的求解在解决了齐次微分方程的通解后，我们可以将非齐次微分方程转化为齐次微分方程。
常系数非齐次线性常微分方程解法之一pdf
常系数线性微分方程复习一、常系数线性微分方程的形式和名词解释1. n 阶常系数线性微分方程的标准形式为：)(1)1(1)(t f y a y a y a y n n n n =+′+++−−L其中 a 1，a 2，L ，a n 是常数，f (t )为连续函数2. n 阶微分方程的含有n 个独立的任意常数的解，叫做一般解（通解）。
3. 微分方程不含任意常数的解，叫做特解。
4. 把微分方程与初始条件合在一起叫做微分方程的初值问题。
初值问题的解是即满足微分方程又满足初始条件的特解。
二、常系数线性齐次微分方程的解法01)1(1)(=+′+++−−y a y a y a y n n n n L其中a 1，a 2，L ，a n 是常数，等号右端自由项为零1. 求齐次线性微分方程的特征方程（只要将齐次线性微分方程式中的 y (k )换写成 λk ，k = 0，1，L ，n ，即得其特征方程）。
0111=++++−−n n n n a a a λλλL2. 求特征方程的根（称为微分方程的特征根）。
3. 求得了方程的 n 个特征根，就可得到微分方程的n 个线性无关的一般解（根的形式不同，解的形式也不同）。
(1) 特征方程有n 个互异的实根 λ1， λ2 ，L ，λn 。
方程的通解为 t n t tc c c y n 21e e e21λλλ+++=L例 求齐次微分方程032=−′−′′y y y 的通解特征方程0322=−−λλ 求出特征方程的根3121=−=λλ方程的通解 t tc c y −+=e e231(2) 特征方程有n 个实根，但存在重根（设λ0是方程的k 重根）。
方程的通解为t n t k t k k c c t c t c c y k n 10e e )e (1121λλλ++++++=++−L L例 求齐次微分方程043=−′′+′′′y y y 的通解特征方程04323=−+λλ 求出特征方程的根21321−===λλλ方程的通解为 t tt t c c c y 23221e ee −−++=(3) n 个特征根中存在复数根的情况（举例说明）a. 存在1对不重复的复数根 a ± j β ，n -2个互异的实根。
高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法
高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法
高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法是一种特殊的数值解法，用于求解高阶常系数非齐次线性微分方程。
它利用算子方法（operator method）来求解这类方程，即将微分方程转化为
一个算子方程，然后再使用数值方法求解算子方程。
首先，将高阶常系数非齐次线性微分方程转化为算子方程，即：
$\mathcal{L}y=f$
其中，$\mathcal{L}$是一个算子，$y$是待求解的函数，$f$是
方程的右端项。
接下来，使用数值方法求解算子方程。
常用的方法有有限差分法（finite difference method）和有限元法（finite element method）等。
有限差分法是将算子方程转化为一组线性方程组，然后使用数值解法（如Gauss-Seidel法）求解。
有限元法是将空间上的算子方程转化为一组有限元方程，然后使用数值解法（如Galerkin法）求解。
最后，根据求解的结果，得到算子方程的解，即高阶常系数非齐次线性微分方程的解。
高阶线性微分方程
知 u 0, 取 u t t ,
得齐次方程的通解为
则 x2 te1t ,
x t C1 C2t e1t ;
17
情形3 有一对共轭复根 ( 0) 特征根为
o
x x
为物体自由振动的微分方程。
2
若受到铅直干扰力 F H sin pt ,
d2x dx 2 2 n k x h sin pt 2 为强迫振动的方程 dt 2 dt d uc duc Em 2 Lc 2 2 0 uc sin t dt dt LC 为串联电路的振荡方程
可以证明: 若方程(1)中的系数
(2)
P1 t , P2 t , Pn t
以及F t 均在区间 a, b 连续，则方程（1）存在惟一的满 足初始条件（2）的解 x t , t a, b .
4
二、 线性微分方程解的结构
x
n
t Pn t x t F t (3) t P1 t x n1 t Pn1 t x
得齐次方程的通解为
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x t C1e1t C2e2t ;
16
x a1x a2 x 0
情形2 有两个相等的实根
( 0)
a1 1 2 , 特征根为 一特解为 2 设另一特解为 x2 u t e1t ,
x1 e1t ,
，x2 代入原方程并化简， 将 x2 ，x2
可利用微分算子的线性性质证得。
问题： 以上解的线性组合是否是方程的通解？
6
常系数非齐次线性微分方程组的特解定理
1 1
2
1 1
＝0，
积分得 c1(t)＝ c1 ，c2(t)＝- e t + c2 ， c3(t)＝ et + c3 ，
t x c1 (t ) c2 (t )et c3 (t )e t c1 (t ) c (t )e t 2 2 (t )e c3 (t ) (t )e t 1 ； 令 y c1 (t ) c3 (t )e t ，代入原方程组得： c1 c3 z c (t ) c (t )e t 2c (t )e t c (t ) c (t )et 2c (t )e t 3 1 2 3 2 3 1 t t (t ) ＝0， c (t ) ＝ e ， 求得 c1 2 (t ) ＝ e ， c3
常系数非齐次线性微分方程组的特解定理
dX ＝AX-B 中，若 A、B 为常数阵，且 A≠O，[AB]与 A 同秩， dt
定理 在常系数非齐次线性微分方程组
则线性方程组 AX＝B 的解就是该微分方程组的一个特解 X；并且当 A 满秩时，常数解 X 唯一. 证明 当 A、X、 a dt
dx dt 2 x y z 2 dy 求常系数非齐次线性微分方程组（*） x z 1 的通解 dt dz 3x y 2 z 3 dt
例
解
解得特征根为 ＝0， 1， -1. 求得对应的特征向量为 1 ＝c1(1,1,-1)， 2 ＝c2(1,0,-1)， 3 ＝c3(1,1,-2)，
一般地，再由常数变易法求原方程组（*）的解.
x c1 c2 e t c3e t 原方程组（*）的通解为： y c1 c3e t 1 . z c c e t 2c e t 1 1 2 3 2 x y z 2 y x 1 z 1 ，求得 但若根据定理，直接解对应的线性方程组 x ，取 x＝0，可以得到一个 z x 1 3 x y 2 z 3
高阶常系数线性微分方程
特征方程为 r 2 4r 4 0， r1 r2 2，
则通解为 y (C1 C2 x)e2x .
9
Ⅲ 有一对共轭复根 ( 0)
设特征根为 r1 i , r2 i ,
4
10-5 高阶常系数线性微分方程
定义 在n阶线性方程y(n) P1( x) y(n1) Pn1( x) y Pn( x) y f ( x)中,
如果未知函数y及其各阶导数y, y, , y(n)的系数全都是常数时,
则称该方程为常系数线性微分方程. 一般形式 : y(n) p1 y(n1) p2 y(n2) pn1 y pn y f ( x),
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其 通解的方法称为特征方程法.
11
例1 求方程 y 2 y y 0的通解.
解 特征方程为 r 2 2r 1 0 ,
解得 r1 r2 1 ,
故所求通解为 y (C1 C2 x)e x .
例2 求方程 y 2 y 5 y 0的通解.
Ⅱ 有两个相等的实根 ( 0)
特征根为 r1 r2
设另一特解为： y
p,
2 u2( x
)e
一特解为
, r1 x
将 y2 ，y2 ，y2代入原方程并化简得
y1 [
y2
e r1x , u( x)]
y1
u (2r1
p)u
(
r2 1
pr1
q)u
0,
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xer1x ,
常系数非齐次微分方程的特解怎么设
常系数非齐次微分方程的特解怎么设【原创版】目录一、常系数非齐次线性微分方程的特解概念二、特解的设定方法1.依据非齐次项的形式设2.常数变易法三、特解的求解步骤1.判断微分方程类型2.找到相关参量3.列出特征方程4.根据特征根的关系判断特解的设法5.求解特解四、特解的具体形式1.Ay""By"Cyemx 特解 yC(x)emx2.Ay""By"Cya sinx bcosx ymsinxnsinx3.Ay""By"Cy mxn yax五、基于格林函数求解常系数非齐次线性微分方程某一特解的具体使用方法说明正文一、常系数非齐次线性微分方程的特解概念常系数非齐次线性微分方程是指具有如下形式的微分方程：a_n*y^(n)(x) + a_{n-1}*y^(n-1)(x) +...+ a_1*y"(x) + a_0*y(x) = f(x)，其中 a_n, a_{n-1},..., a_1, a_0 均为常数，f(x) 为已知函数。
特解是指微分方程的解中，除了齐次微分方程的通解之外的解。
二、特解的设定方法1.依据非齐次项的形式设：特解的形式通常与非齐次项的形式有关。
例如，如果非齐次项是 e^x 或 sin(x)，那么特解的形式也可能是 e^x 或 sin(x)。
2.常数变易法：先解对应的齐次微分方程，其解必定含有一个任意常数 C。
把常数 C 看作是个变量，并假定就是非齐次常系数线性微分方程的一个特解。
将其代入非齐次常系数线性微分方程，再次确定 C(x)。
三、特解的求解步骤1.判断微分方程类型：首先要判断微分方程的类型，例如二阶、三阶等。
2.找到相关参量：根据微分方程的类型，找到相关的参量，如特征根、特征方程等。
3.列出特征方程：根据微分方程的类型，列出特征方程。
4.根据特征根的关系判断特解的设法：根据特征根的关系，判断特解的设法，如一一映射、二一映射等。
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高阶常系数线性非齐次常微分方程的解法
作者：耿丽芳
来源：《数学学习与研究》2019年第02期
【摘要】在高等数学教学过程中，高阶常系数非齐次常微分方程解法只有几种.比如，在解决齐次线性方程的时候所利用的特征代数方程，在本文当中提出了常系数线性非齐次常微分方程的其他解法，在非齐项是任意连续函数的时候，通过第二类特征代数方法的求解过程，得到求特解的公式，并且通过实例对解法进行了系统分析.
【关键词】常系数;特征方程;非齐次常微分方程
一、高阶常系数线性非齐次常微分方程解法
常系数线性非齐次常微分方程的形式如下所示.
x（n）+p1x（n-1）+p2x（n-2）+…+pnx=f（t）. （1）
（一）常数变易法
可以将方程的特解设为：
x（t）=c1（t）x1（t）+c2（t）x2（t）+…+cn（t）xn（t），（2）
c，i均为常数，将其代入到（1）当中，可以得到方程组：
x1c1′（t）+x2c2′（t）+…+xncn′（t）=0，x1′c1′（t）+x2′c2′（t）+…+xn′cn′（t）=0，x （n-2）1c1′（t）+x（n-2）2c2′（t）+…+x（n-2）ncn′（t）=0，x（n-1）1c1′（t）+x（n-1）
2c2′（t）+…+x（n-1）ncn′（t）=f（t）.
通过解方程组，最终得到关于c1′（t），c2′（t），…，cn′（t）的方程式，将它们积分处理，从而获得c与i的值，并将它们代入到（2）当中，能够得到方程1的特解.
这种方法不会限制f（t）的形式，因此，具有比较广的使用范围，可是在求解过程中，工作量相对较大.
（二）比较系数法
常系数线性非齐次方程，我们通常是会用比较系数法，它能够将微分方程转变为代数问题，自由项是
f（t）=pm（t）eλt
或者是f（t）=[pn（t）cosβt+ps（t）sinβt]eθt，
pm（t），pn（t），ps（t）是m次、n次以及s次多项式.当λ，α，β都是常数的时候，特解x ～ =tkQm（t）eλt，Qm（t）是待定多项式.或者x ～ =tk[Q（1）m（t）cosβt+Q（2）m （t）sinβt]eαt，m=max[n，s].Q（1）m（t），Q（2）m（t）是两个待定的m次项式，而k则是方程含根α±βt次数.
将其代入到方程（1）当中，并且比较两边t同次幂的系数，从而确定待定系数的多项式.按照线性微分方程解结构定理能够求出方程通解.
（三）创新解法
dny dxn +a1 dn-1y dxn-1 +…+an-2 d2y dx2 +an-1 dy dx +any=Am（x）eλx，; a
其中，ai∈ R （i=1，2，…，n），λ∈C，Am（x）是实变量x次数m的实系数多项式.在对a进行求解的时候，通常是按照与之相对应的齐次线性方程特征方程特征根和Am（x）eλx 特征使用特定待定系数法加以解决，该方法存在的问题在于运算量非常大，从而影响计算过程，本文所使用的齐次线性方程特征方程、特征多项式、特征根和Am（x）eλx特征，使用这个公式能够比较容易地计算出方程a的特解.
假设和方程a所对应的齐次线性方程特征多项式是
F（r）=rn+a1rn-1+…+an-2r2+an-1r+an. b
此时，特征方程F（r）=0当中的r=λ，便是b的特征根.
主要结果和证明
引理1; b对r的l阶导数是
F（l）（r）=（l！）∑ n-l k=0 ak∪ l n-k rn-l-k， c
∪ i n （i=0，1，2，…，n）为组合数，在r=λ的时候，存在
F（l）（r）=（l！）∑ n-l k=0 ak∪ l n-k λn-l-k.
引理2; 方程a特解
y（l）（x）=∑ l s=0 ∪ s l λsQ（l-s）（x）eλx
=∑ l s=0 ∪ s l λl-sQ（s）（x）eλx. d
Uin代表了组合数，Q（x）是实变量x次数在m以下的实系数多项式，s表示s阶导数.
引理3;;; ∑ n l=0 ∑ l s=0 an-1Uslλl-sQ（s）（x）eλx
=∑ n l=0 ∑ n-l k=0 akUln-kλn-k-lQ（l）（x）eλx.
Uin代表了组合数，Q（x）是实变量x次数在m以下的实系数多项式.
定理1; 方程a的特解为y=Q（x）eλx的充分必要条件为
1 l！∑ n k=0 F（l）（r）Q（l）（x）=Am（x）. e
二、实例分析
解方程 d2y dx2 +2 dy dx +3y=（x+1）e3x.
解; 特征多项式是F（r）=r2+2r-3，令F（r）=0，根是r=-3，r=1，λ=3不是特征根，所以可以设特解是（Ax+B）e3x，此时Q（x）=Ax+B，Q′（x）=A，Q′（x）=0，同时，F（3）
=12，F′（3）=8，F′（3）=2，将其代入到e当中，存在F（3）Q（x）+F′（3）Q′（x）+ 1 2！F′（3）Q′（x）=x+1，也就是12（Ax+B）+8A=x+1，方程的解为A= 1 12 ，B= 1 36 ，因此，特解是 1 36 （3x+1）e3x.
三、结语
本文主要介绍了常数变易法、比较系数法等高阶常系数线性非齐次常微分方程基本的求解方法，同时，对求解方法进行了适当创新，推出了创新解法，并以此为基础，列举了实例进行系统分析，希望能够对实际应用产生一定的推动作用.
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