一类常系数非齐次线性微分方程组的几种解法
一阶线性非齐次微分方程求解方法归类
一阶线性非齐次微分方程求解方法归类$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$其中，$P(x)$和$Q(x)$是给定函数。
下面我们将对一阶线性非齐次微分方程的求解方法进行分类。
1. 齐次线性微分方程求解：当$Q(x)=0$时，微分方程可以化简为一阶齐次线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = 0$。
这类微分方程可以直接求解，通常使用分离变量法将方程分离并积分。
2.直接求解法：当$P(x)$和$Q(x)$是已知函数时，可以直接求解一阶线性非齐次微分方程。
可以通过求解齐次线性微分方程得到其通解，然后使用常数变易法得到非齐次微分方程的特解。
3. 变量分离法：对于一些特殊的一阶线性非齐次微分方程，可以通过变量变化或分离变量法将方程化为可直接积分的形式。
例如，当$Q(x)$是$y$的函数时，可以使用分离变量法将方程化为$\frac{{dy}}{{Q(y) - P(x)y}} = dx$，然后积分得到解。
4. 求导数法：对于一些特殊的一阶线性非齐次微分方程，可以通过求导数的方式求解。
例如，当方程可以写成$\frac{{dy}}{{dx}} = f(ax + by + c)$的形式时，可以通过求导数来化简方程，并使用变量分离法进行求解。
5.积分因子法：当$P(x)$是一个可导函数时，可以使用积分因子法来求解一阶线性非齐次微分方程。
积分因子是一个乘法因子，可以使得原方程变成一个恰当微分方程，从而可以直接进行积分得到解。
积分因子的计算可以通过乘以一个合适的因子来使得原方程的左边满足恰当微分方程的条件。
综上所述，一阶线性非齐次微分方程的求解方法主要有齐次线性微分方程求解、直接求解法、变量分离法、求导数法和积分因子法等方法。
根据具体的微分方程形式和条件，选择合适的方法进行求解。
特别是对于一些特殊的一阶线性非齐次微分方程，如可线性化的方程和恰当方程，还可以使用对应的特殊方法进行求解。
一类非齐次线性微分方程的求解方法
＋ ｋ 一 一 Ｐ，
七 一 ｑ ．
和 Ｙ ｚ是
方 程 （ ）的 共 轭 复 函数 解 ， 以取 １ 所
Ｙ 一 ÷（ ＋Ｙ） １ ２
是方程 （ ）的实 函数 解． １
设 积分 因子 为 ‘
（ ｚ）＝ ｅｈ ， —
下 面通 过实 例来 加 以说 明． 例 １ 求方 程
第 ｌ ４卷 第 ３期 ２ ＯＵ 年 ５ 月
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ Ｎ ＥＳ ｌ Ｃ０Ｌ ＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
Ｖｏ１ ４． ．１ ＮＯ． ３ Ｍａ ｖ．２ Ｏｌｌ
一
类 非 齐次 线 性 微 分 方 程 的 求解 方 法
邱 镜 亮
（ 京 信 息科 技 大 学 理 学 院 ，北 京 １ ０ ９ ） 北 ０ １２
解 特 征方 程是
＋ ３ｒ＋ ２ ： Ｏ．
它 的特 征根 是
收 稿 日期 ：０ ９—０ ２０ ６一 １ Ｉ 改 日期 ；Ｏ Ｏ ０ — ０ ． ０修 ２ ｌ 一 ４ ８
＝ 一
作 者 简 介 ： 亮 （９ ９－） 男 ， 东 高 州 人 ， 士 。 师 ， 要 从 事 积 邱镜 １５ － ， 广 硕 讲 主
Ｚ Ｘ
积分 因子降 阶方法 还 可 以解决变 系数非 齐次线
性 微 分 方 程 的 通 解 问题 ． 不妨设
设二 阶变 系数非 齐次线 性 微分 方 程
・
）一
，
＋ ｐ ｘ ｙ ＋ ｑ ｘ ｙ＝ 厂（ ， （ ） （ ） ＝ ） ＝
（） ３
其 中 ｐ ）ｑ ｚ ， （ （ ， （ ） 厂 ）都 是 连 续 的 实 函 数 ．并 且
微分方程的常用解法
微分方程的常用解法微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。
它描述了变量之间的关系，通过求解微分方程，我们可以得到系统的行为规律。
本文将介绍微分方程的常用解法，包括分离变量法、齐次方程法、常系数线性齐次方程法以及一阶线性非齐次方程法。
一、分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法。
它的基本思想是将微分方程中的变量分离，使得方程两边可以分别关于不同的变量积分。
具体步骤如下：1. 将微分方程中的变量分离，将含有未知函数及其导数的项移到方程的一边，将不含未知函数的项移到方程的另一边。
2. 对两边同时积分，得到一个含有未知函数的表达式。
3. 求解该表达式，得到未知函数的解。
二、齐次方程法齐次方程是指微分方程中只包含未知函数及其导数的项，不包含未知函数的项。
对于这类方程，可以使用齐次方程法进行求解。
具体步骤如下：1. 将齐次方程中的未知函数及其导数替换为新的变量，令y = ux，其中u是一个新的函数。
2. 将原方程中的未知函数及其导数用新的变量表示，得到一个关于u和x的方程。
3. 求解该方程，得到u的解。
4. 将u的解代入y = ux，得到未知函数y的解。
三、常系数线性齐次方程法常系数线性齐次方程是指微分方程中未知函数及其导数的系数都是常数的方程。
对于这类方程，可以使用常系数线性齐次方程法进行求解。
具体步骤如下：1. 假设未知函数的解为y = e^(kx)，其中k是一个待定的常数。
2. 将该解代入原方程，得到一个关于k的代数方程。
3. 求解该代数方程，得到k的值。
4. 将k的值代入y = e^(kx)，得到未知函数y的解。
四、一阶线性非齐次方程法一阶线性非齐次方程是指微分方程中未知函数及其导数的系数是常数，但方程中还存在一个非零的常数项的方程。
对于这类方程，可以使用一阶线性非齐次方程法进行求解。
具体步骤如下：1. 首先求解对应的齐次方程，得到齐次方程的通解。
2. 假设非齐次方程的特解为y = u(x)，其中u(x)是一个待定的函数。
微分方程通解求法
微分方程通解求法
微分方程通解求法是求微分方程通解的方法，分为分离变量法、
齐次方程法、一阶线性微分方程法、常系数齐次线性微分方程法和非
齐次线性微分方程法等多种方法。
其中，分离变量法适用于一些只含有自变量和因变量的函数和常
数进行变量分离的微分方程，通过将自变量和因变量分离开来，再两
边同时对两个变量积分，最终求得微分方程的通解。
齐次方程法适用于齐次线性微分方程，其特点是方程右端为0，解法是设原方程通解为y=kx，然后代入原微分方程，通过求解方程中k
的值，得到微分方程的通解。
一阶线性微分方程法适用于形如y'+p(x)y=q（x）的微分方程，先求出齐次解，再利用待定系数法求出非齐次线性微分方程的特殊解，
最终解出微分方程的通解。
常系数齐次线性微分方程法适用于形如y''+ay'+by=0的微分方程，通过求解方程的特征方程得到常系数齐次线性微分方程的通解。
非齐次线性微分方程法适用于形如y''+f(x)y'+g(x)y=h(x)的微分方程，在齐次方程解的基础上，通过求解非齐次线性微分方程的特殊解，最终得到微分方程的通解。
总之，微分方程通解求法根据不同的微分方程性质和形式，选择
不同的解法，求出微分方程的通解。
一些常系数非齐次线性微分方程的复数解法
一些常系数非齐次线性微分方程的复数解法一些常系数非齐次线性微分方程的复数解法的研究和应用1.研究(1)经典复数解法复数解法是指将非齐次线性微分方程转化为一般形式的复数解法，可以使用经典复数解法求解，例如：常系数非齐次线性微分方程可以转化为复数解法：$$y''+py'+qy=0$$其中，p和q是常数，y是函数。
可以将其转化为：$$\frac{d^2y}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=0$$可以转化为：$$\lambda^2+p\lambda+q=0$$其中，$\lambda$是复数解的形式，可以求出：$$\lambda=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$$则原微分方程的通解为：$$y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}$$其中，$c_1$和$c_2$为任意常数，$\lambda_1$和$\lambda_2$分别为$\lambda$的两个根。
(2)拉普拉斯变换复数解法拉普拉斯变换复数解法是指将非齐次线性微分方程转化为拉普拉斯变换形式的复数解法，可以使用拉普拉斯变换复数解法求解，例如：常系数非齐次线性微分方程可以转化为拉普拉斯变换复数解法：$$y''+py'+qy=0$$其中，p和q是常数，y是函数。
可以将其转化为：$$\frac{d^2y}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=0$$ 可以转化为：$$s^2+ps+q=0$$其中，$s$是拉普拉斯变换的形式，可以求出： $$s=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$$则原微分方程的通解为：$$y=c_1e^{s_1t}+c_2e^{s_2t}$$。
非齐次线性微分方程的解法和常数变易法
非齐次线性微分方程的解法和常数变易法微积分学中的微分方程是常见的数学对象之一，它的研究在数学、物理、工程等多个领域中有着广泛的应用。
本文主要讨论非齐次线性微分方程的解法和常数变易法。
一、非齐次线性微分方程首先，我们需要了解什么是非齐次线性微分方程。
一般地，称形如 $y'' + py' + qy = f(x)$ 的微分方程为非齐次线性微分方程，其中 $p$ 和 $q$ 是常数，$f(x)$ 是已知的函数。
它与齐次线性微分方程 $y'' + py' + qy = 0$ 的区别在于右端的 $f(x)$ 不为空。
二、常数变易法对于非齐次线性微分方程，我们使用常数变易法求解。
该方法的基本思想是通过设定特解的形式，然后解出它的系数，将特解与对应的齐次解相加，得到非齐次微分方程的通解。
设非齐次线性微分方程的一个特解为 $y_1(x)$，则它的形式为$y_1(x) = u_1(x)e^{kx}$，其中 $u_1(x)$ 是常数系数函数。
为了解出 $u_1(x)$ 和 $k$，我们需将 $y_1(x)$ 代回原方程，得到：$$(k^2 + pk + q)u_1(x)e^{kx} = f(x)$$注意到 $e^{kx}$ 在定义域内无零点，因此可除以 $e^{kx}$，得到：$$u_1(x) = \frac{1}{k^2+pk+q}f(x)e^{-kx}$$于是我们得到了方程的一个特解，即 $y_1(x) =\frac{1}{k^2+pk+q}f(x)e^{kx}$。
它是一个线性非齐次微分方程$y'' + py' + qy = f(x)$ 的特解。
接下来，我们用常数变易法求出该非齐次微分方程的通解。
如果我们能得到这个方程的两个特解 $y_1$ 和 $y_2$，则该方程的通解为 $y = c_1y_1 + c_2y_2$，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 为常数。
常系数非齐线性微分方程的解法
目录
• 引言 • 分离变量法 • 积分因子法 • 参数法 • 幂级数法
01 引言
微分方程的定义与重要性
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的数学工具，广泛应用于物 理、工程、经济等领域。
解决微分方程是理解和预测复杂系统 行为的关键，对于解决实际问题具有 重要意义。
03 积分因子法
积分因子法的原理
积分因子法的基本思想是通过引入一个积分因子，将非齐线性微分方程转化为齐线性微分方程，从而 简化求解过程。
积分因子是一个非零的函数，乘以原方程的每一项后，能够使新方程的每一项都含有未知函数的一次导 数项。
通过求解新方程，可以得到原方程的解。
积分因子法的应用步骤
1
确定原方程的形式，并求出其积分因子。
2
根据积分因子的定义，将原方程转化为齐线性微 分方程。
3
利用已知的求解方法，求解新方程，得到原方程 的解。
积分因子法的实例分析
01
考虑常系数非齐线性微分方程 $y'' + p(t)y' + q(t)y = f(t)$，其中 $p(t)$、$q(t)$ 和 $f(t)$ 是已知函数。
02
首先求出该方程的积分因子 $M(y, t) = e^{int p(t) dt}$。
确定幂级数解的形式
根据微分方程的特征，选择适当的幂级数形 式作为解的表达式。
建立递推关系式
将微分方程转化为递推关系式，以便求解幂 级数的系数。
求解递推关系式
通过求解递推关系式，得到幂级数的系数， 进而得到微分方程的解。
验证解的正确性
将得到的解代入原微分方程进行验证，确保 解的正确性。
一类常系数非齐次线性微分方程通解和特解的直接解法
第１５卷第２期（２ｏｍ）
甘啸高坪 拒
Ｖｏ１． １５ Ｎｏ．２（２０１０）
一 类 常系数非齐次线性微分方程通解和 特解 的直接解 法
温大伟 陈 莉 王红芳 魏 瑾
例 ３ 求 方 程 一５＇， ＋４ｙ＝ｅ 的特解 ． 解 方 程 对 应 齐 次 方 程 的 特 征 方 程 为
Ａ２－５Ａ＋４＝０，可 知 Ａ＝３不 是 特 征 根 ，Ｐｍ（ ）＝１，则 令 Ｑｍ＋２（ ）＝（６ ＋ｂｌｘ＋ｂ２）ｅｋ代人方程 ，消去 ｅ 比较
的 同次 幂 系数 得 ｂｏ＝０，ｂｌ＝Ｄ，ｂ 一 ，因此 方 程 的特
０１．１ ｌ ！：
则原方 程 的特解 直接 为
＋ 盎 ＋．一
（其 中 ｂｍ＝０）． （３）当 Ａ不 是特征根 时 ，２Ｘ＋ｐ≠０，Ｘ２＋ｐｈ．＋ｑ≠０
代 人方 程组 （２）可 知
６。＝ Ｏ，ｂｌ＝Ｏ，ｂｚ＝
＝
… ：
ｎｍ－６ｍ＿６ ｌ（２Ｘ＋ｐ）
Ａ２＋ｐＡ＋ｑ
’
则 原方 程 的特解 直接 为
（１）
Ｊ（ｍ＋２）ｂｏ（２Ａ ）＋６ Ｊ（ｈｚ＋ｐＡ＋ｑ）－０
｛（ｍ＋２）（ｍ＋１）ｂｏ＋６ｌ（ｍ＋１）（２Ａ＋ｐ）＋６２（Ｘ２＋ｐＡ＋ｇ）
｛（ｍ＋１）ｍｂｌ＋６２ｍ（２Ａ＋ｐ）＋ｂ３（ｋ２＋ｐＡ＋ｑ）＝ａｌ
ｆ ｌ
…·
６ｂ ＋２ｂ （２Ａ＋ｐ）＋６ ｍ＋ｌ（ ２＋ｐＡ＋ｑ）： 一ｌ
＋ｏ ｍ＋ｌ（２ａ＋ｐ）＋ｂｍ＋２（入 Ａ＋ｑ）： （２）
众所周知 ，ｎ阶常系数非齐次线性微分方程 的 上式 两端 比较 的 同次幂 系数得
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一类常系数非齐次线性微分方程组的几种解法[摘要] 微分方程的解法是学习微分方程最基本的问题，但是它的解法种类
繁多，求解过程复杂，一般教材只是介绍常数变易法和可积组合法。
本文归纳了解非齐次线性微分方程组的各种方法，从介绍常系数齐次线性方程组的解法入手，进而讨论、研究、比较求解常系数非齐次线性方程组的特解的几种方法的异同。
[关键词] 齐次线性方程组非齐次线性方程组通解特解
微分方程的解法是学习微分方程最基本的问题，但是它的解法种类繁多，求解过程复杂，一般教材只是介绍常数变易法和可积组合法。
本文归纳了解非齐次线性微分方程组的各种方法，从介绍常系数齐次线性方程组的解法入手，进而讨论、研究、比较求解常系数非齐次线性方程组的特解的几种方法的异同。
下面，我们首先研究常系数齐次线性微分方程组的解法。
对于常系数非齐次线性方程组
（1）
的求解问题，可以先求出它对应的齐次方程组
（2）
的通解，再求出它本身的任何一个特解，叠加起来就是它的通解。
我们记得阶线性非齐次微分方程组为
（1）
它所对应的齐次方程组为
（2）
其中是维向量，A是矩阵，在某个区间上连续.当A是常矩阵时，称为常系数线性微分方程组。
1.常系数齐次线性方程组
我们通常采用以下三种方法来解答常系数齐次线性微分方程组：待定系数法、消元法和拉氏变换法。
1.1待定系数法
待定系数法又称欧拉法，是解常系数齐次线性微分方程组的常用方法.其具体步骤是：
（1）写出特征方程，算出特征根及重数，是互不相同的特征根，重数分别为；
（2）对每一特征根作形式解
代入方程组（2），比较t的同次幂的系数，得的代数方程组，解之可（比例地）确定它们，从而得到个线性无关解，若A是实数矩阵，是虚根时，所得的解要转换为实解；
（3）对一切，我们共得个线性无关解，它们构成（2）的基本解组，线性组合之，即得（2）的通解。
1.2消元法
消元法的基本思想是先设法消去方程组中的某些变元，得到只含一个变元的一个方程（在这里是一个高阶常系数齐次线性微分方程），求出这个方程的解，再回原方程组，求出变元的解。
以二阶组为例，说明具体步骤.
设方程组为
引进算子记号，则方程组可写为
且记，则显然满足高阶常系数线性方程
解出第一个高阶方程得，代入原方程组中第一个方程求得；或解出第二个高阶方程得，代入原方程组中第二个方程求得；或同时从两个高阶方程解出.代入原方程组决定任意常数间关系，均可得到原方程组的通解。
1.3拉氏变换法
拉氏变换法对解常系数线性系统的初值问题特别有效，它不必经过通解，而直接求得满足初始条件的特解。
求解思路是：
同样，以二阶组为例，说明具体步骤，
设方程组为，
满足初始条件
则对方程取拉氏变换，得：
（3）
故（3）为象原函数满足的代数方程组，再由（3），代入初值可解出象函数，并对进行有理分式分解.最后，反查拉氏表，得初值问题解。
以上是本文的常系数齐次线性方程组的介绍,接下来，我们将进入对常系数非齐次线性方程组的研究,考察求常系数非齐次线性方程的特解的方法。
2、常系数非齐次线性方程组
求常系数非齐次线性方程组的特解,一般有五种方法，它们分别是：待定系数法、算子法、拉氏变换法、常数变易法和可积组合法。
2.1待定系数法
用待定系数法解常系数非齐次线性方程组时，右端函数必须具有特定形状，即必须是多项式、指数函数、三角函数，这几类函数的乘积以及它们的系数线性组合，当方程组（1）的右端函数具形式：
其中是实常数，分别是次多项式，且个这种形式函数（每个函数的可以不同）的和时，可按下表立即写出它的特解的待定形式，用以代入方程组（1）得系数方程组，解之就能确定它。
（如表1所示）
例1：
用待定系数法求方程组的特解
解：特征方程为
有特征根，它们分别对应特征向量.故得齐次线性方程组的基本解矩阵为
再求一个非齐的特解，因是单重特征根，故令特解形式为
代入原方程组，约去公因子，得到
比较t的同次幂系数，得
取，则.由此得特解
故原方程组的通解为
2.2算子法
算子法与1.2的消元法有点类似.下面我们也以二阶组为例，说明算子法的具体步骤，设方程组为
（5）
用算子法来求（5）的一个特解，可先将方程组写成形式
然后把算子多项式看成系数，用克莱姆法则，可形式地解出，最后，进行算子的正运算与逆运算，即可求得特解。
例2：
用算子法求方程组的一个特解.
解：方程组可写成形式
由克莱姆法则，有
再进行算子的正运算与逆运算，可得
即得特解：
注：由于逆算子运算的不唯一性导致当右端函数具体形式，而又是特征方程的根时，单纯形式使用克莱姆法则不一定得到真正的解，所以，用这种解法解出结果后，需要代入方程验算，而经检验，可知例2中求得的特解的确是原方程的解。
2.3拉氏变换法
用拉氏变换法解常系数非齐次线性方程组的步骤与解常系数齐次线性方程组的步骤基本相同，稍有不同的地方,本文通过下面的例子指出。
例3：
用拉氏变换法求方程组，满足的解。
解：取拉氏变换
即有
故得
反查拉氏表，即得满足初始条件的特解
2.4常数变易法
现以解如下三阶常系数非齐线性方程组为例，说明解题步骤：2.4.1
第一步，求出相应齐次方程组的通解
2.4.2
这里是任意常数。
第二步，设2.4.1有解
2.4.3
其中是待定函数.
把2.4.3代入2.4.1，利用2.4.2可得关于的代数线性方程组2.4.4
从2.4.4解出后再积分之，可得
.
第三步，把求得的代回2.4.3即可写出原方程组2.4.1的解.
例4：用常数变易法解方程组
2.4.5
解：先解相应的齐方程组
2.4.6
用消元法，由2.4.6的第一个方程得
把此式代入2.4.6的第二个方程得
2.4.6的通解是
再设2.4.5的解为 2.4.7
其中待定，把2.4.7代入2.4.5得
解得
2.4.8
这里是任意常数，把2.4.8代入2.4.7，得原方程组的通解为
2.5可积组合法
现以解二阶线性方程组为例介绍可积组合法，考虑
2.5.1
以入乘2.5.1中的第二个方程后，与第一个方程相加，得
2.5.2
选入使 2.5.3
则2.5.2便是关于的一阶线性方程
积分这个方程得
2.5.4
假设方程级两个互导实根，那么由2.5.4式便可得到2.5.1的两个独立首次积分，2.5.1求解问题即告完成.
例5：解方程组 2.5.5
解令,则
原方程组化成了
2.5.6
现用可积组合法来解2.5.6
2.5.6的第二个方程乘以后与第一个方程相加，得
2.5.7
选使即，当选时，由2.5.7得即得2.5.8
当选时，仿上可得
由2.5.8解出，即得方程组2.5.6的通解
通过分析、比较求常系数非齐次线性方程组的特解的五种解法，我们可以发现，一般来说，常数变易法的计算是最繁的，尤其是对三阶以上的方程组，当有复特征根时更是如此，这种时候我们应该尽量避免采用此法；其次，待定系数法中解代数方程组的计算量也很大。
相比之下，算子法、拉氏变换法和可积组合法在多数情况下，计算量较小一些，但算子法和拉氏变换法要求运用公式娴熟，对有理分式分解的技巧也要熟练，故我们在解题过程中，应首先分析题目，再根据题目的特点恰当地选用解题方法，使解题过程顺利进行。