高中数学选修2-2课后习题答案[人教版].doc

高中数学选修 2-2 课后习题答案

第一章 导数及其应用

变化率与导数

练习（ P6）

在第大约以

3 h 和 5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为 1和 1 ℃／ h 的速度下降；在第 5 h 时，原油温度大约以 3.

它说明在第 3 h 附近，原油温度

3 ℃／ h 的速率上升 . 练习（

P8）

函数

h(t ) 在 t

t 3 附近单调递增， 在 t

t 4 附近单调递增

.

并且，函数 h(t ) 在 t 4 附近比在

t 3 附近

增加得慢 .

说明：体会“以直代曲”的思想 .

练习（ P9）

函数 r (V )

3

3V 的图象为

(0 V 5)

4

根据图象，估算出 r (0.6) 0.3， r (1.2) 0.2 .

说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数 .

习题 A 组（ P10）

1、在 t 0 处，虽然 W 1(t 0 ) W 2 (t 0 ) ，然而

W 1(t 0 )

W 1 (t 0

t) W 2 (t 0 ) W 2 (t 0

t ) .

所以，企业甲比企业乙治理的效率高 .

t

t

说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.

2、 h h(1 t ) h(1) 4.9 t 3.3 ，所以， h (1) 3.3 .

t t

这说明运动员在 t 1s 附近以 m ／ s 的速度下降 . 3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数 s(t ) 在 t

5 时的导数 .

s s(5

t ) s(5) t 10 ，所以， s (5) 10 .

t

t

1

因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为 10 m ／s ，它在第 5 s 的动能 E k

3 10 2 150 J.

2

4、设车轮转动的角度为

，时间为 t ，则

kt 2 (t 0) .

由题意可知，当 t 0.8 时，

2 . 所以 k 25 ，于是

25 t 2 .

8

8

车轮转动开始后第 s 时的瞬时角速度就是函数

(t ) 在 t 3.2 时的导数 .

(3.2 t)

(3.2)

25

(3.2)

20 .

t

t

t 20 ，所以

8

因此，车轮在开始转动后第s 时的瞬时角速度为20s 1 .

说明：第 2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.

5、由图可知，函数 f ( x) 在x 5 处切线的斜率大于零，所以函数在 x 5 附近单调递增.同理可得，函数 f (x) 在x 4 ， 2 ，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调

递减 .

说明：“以直代曲”思想的应用.

6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数 f (x) 的图象如图（ 1）所示；第二个函数的导数 f ( x) 恒大于零，并且随着x 的增加， f ( x) 的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时， f ( x) 小于零，当 x 大于零时， f ( x) 大于零，并且随着x 的增加， f ( x) 的值也在增加 .以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.

说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.

习题B组（P11）

1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是

速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.

2、

说明：由给出的v(t ) 的信息获得 s(t ) 的相关信息，并据此画出s(t ) 的图象的大致形状.这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.

3、由（ 1）的题意可知，函数 f ( x) 的图象在点 (1, 5) 处的切线斜率为1，所以此点附近曲

线呈下降趋势 .首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象.同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状.下面是一种参考答案.

说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思

想的领悟 . 本题的答案不唯一 .

导数的计算

练习（ P18）

1、 f (x) 2x 7 ，所以， f (2) 3， f (6) 5.

2、（1） y 1 ；（ 2） y 2e x；

xln 2

（3） y 10 x4 6x ；（4） y 3sin x 4cos x ；

（5） y 1 sin x

；（6） y

2

1 .

3 3 x 1 习题A组（P18）

1、

S S( r r ) S(r )

r r 2 r r ，所以，S (r ) lim(2 rr ) 2 r .

r 0

2、 h (t) 9.8t 6.5 .

3、

r (V ) 1 3 3

3 4 V 2

.

4、（1） y

（3） y 3x21 ；（2） y nx n 1e x x n e x；

x ln 2

3x2 sin x x3 cos x cos x ；（ 4） y 99( x 1)98；

sin 2 x

（5） y 2e x ；（6） y 2sin(2 x 5) 4xcos(2 x 5) .

5、 f ( x) 8 2 2 x .由 f ( x0 ) 4 有4 8 2 2x0，解得 x0 3 2 .

6、（1） y ln x 1 ；（2） y x 1.

7、 y x

1.

8、（1）氨气的散发速度 A (t ) 500 ln 0.834 0.834t .

（2） A (7) 25.5 ，它表示氨气在第 7 天左右时，以克／天的速率减少 .

习题B组（P19）

1、（1）

（2）当h越来越小时， y sin( x h) sin x

就越来越逼近函数 y cos x .

h

（3） y sin x 的导数为y cos x .

2、当 y 0 时， x 0 . 所以函数图象与 x 轴交于点 P(0,0) .

y e x，所以y x 0 1.

所以，曲线在点 P 处的切线的方程为yx .

2、 d (t ) 4sin t . 所以，上午 6:00 时潮水的速度为 0.42m／h；上午9:00时潮水的速度

为0.63 m／h；中午12:00 时潮水的速度为0.83 m／h；下午6:00时潮水的速度为 1.24m／h.

导数在研究函数中的应用

练习（ P26）

1、（1）因为 f ( x) x2 2x 4 ，所以 f ( x) 2x 2 .

当 f (x) 0 ，即x 1 时，函数 f ( x) x2 2x 4 单调递增；

当 f (x) 0 ，即x 1 时，函数 f ( x) x2 2x 4 单调递减 .

（2）因为 f ( x) e x x ，所以 f (x) e x 1 .

当 f (x) 0 ，即 x 0 时，函数 f ( x) e x x 单调递增；

当 f (x) 0 ，即 x 0 时，函数 f ( x) e x x 单调递减 .

（3）因为 f ( x) 3x x3，所以 f ( x) 3 3x2 .

当 f (x) 0 ，即 1 x 1时，函数 f (x) 3x x3单调递增；

当 f (x) 0 ，即 x 1或 x 1 时，函数 f (x) 3x x3单调递减 .

（4）因为 f ( x) x3 x2 x ，所以 f ( x) 3x2 2x 1.

当 f (x) 0 ，即 x 1

或 x 1 时，函数 f ( x) x3 x2 x 单调递增；3

当 f (x) 0 ，即 1 x 1时，函数 f ( x) x3 x2 x 单调递减 . 2、

3

3、因为 f (x) ax2 bx c(a 0) ，所以 f ( x) 2ax b .

（ 1）当a 0 时，

注：图象形状不唯一 .

f (x) 0 ，即 x b 时，函数 f ( x) ax2 bx c(a 0) 单调递增；

2a

f (x) 0 ，即 x b 时，函数 f (x) ax2 bx c(a 0) 单调递减 . （ 2）当a 0 时，

2a

f (x) 0 ，即 x b 时，函数 f (x) ax2 bx c(a 0) 单调递增；

2a

f (x) 0 ，即 x b 时，函数 f ( x) ax2 bx c(a 0) 单调递减 .

2a

4、证明：因为 f ( x) 2x3 6x2 7 ，所以 f (x) 6x2 12 x .

当 x (0,2) 时， f ( x) 6x2 12x 0 ，

因此函数 f ( x) 2x3 6x2 7 在 (0, 2) 内是减函数 .

练习（ P29）

1、 x 2 , x 4 是函数 y f ( x) 的极值点，

其中 x x 2 是函数 y f ( x) 的极大值点， x x 4 是函数 y

f ( x) 的极小值点 .

2、（1）因为 f ( x) 6x 2 x 2 ，所以 f ( x) 12x

1 .

令 f (x) 12 x

1 0 ，得 x 1 .

1

时， f

12

1

当 x

(x) 0， f (x) 单调递增；当 x

时， f ( x)

0 ， f (x) 单调递减 .

12

12

所以，当 x

1

时， f (x) 有极小值， 并且极小值为 f ( 1 ) 6 ( 1

) 21

2

49 .

12 12

12 12

24

（2）因为 f ( x) x 3 27x ，所以 f ( x) 3x 2

27 .

令 f (x) 3x 2

27 0 ，得 x

3 .

下面分两种情况讨论：

①当 f ( x)

0 ，即 x

3 或 x 3 时；②当 f (x)

0 ，即 3

x 3 时 .

当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：

x

( , 3)

3

( 3,3) 3

(3,

)

f (x) ＋

－

＋

f ( x)

单调递增 54

单调递减 54 单调递增

因此，当 x

3 时， f (x) 有极大值，并且极大值为

54；

当 x 3时， f (x) 有极小值，并且极小值为

54 .

（3）因为 f ( x) 6 12x x 3 ，所以 f ( x) 12 3x 2 .

令 f

(x) 12 3x 2

0 ，得 x

2 .

下面分两种情况讨论：

①当 f ( x)

0 ，即 2 x

2 时；②当 f ( x) 0 ，即 x 2 或 x 2 时.

当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：

x ( , 2) 2

( 2,2) 2 (2, ) f (x) － 0

＋ 0 －

f ( x)

单调递减

10

单调递增

22

单调递减

因此，当 x 2 时， f (x) 有极小值，并且极小值为 10 ；

当 x 2时， f ( x) 有极大值，并且极大值为

22

（4）因为 f ( x) 3x x 3 ，所以 f ( x) 3 3x 2 .

令 f (x) 3

3x 2

0 ，得 x 1 .

下面分两种情况讨论：

①当 f ( x)

0 ，即 1 x 1 时；②当 f ( x) 0 ，即 x 1或 x 1 时 .

当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：

x ( , 1) 1

( 1,1) 1 (1, ) f (x) － 0

＋ 0 － f ( x)

单调递减

2

单调递增

2

单调递减

因此，当 x

1 时， f (x) 有极小值，并且极小值为

2 ；

当 x 1 时， f (x) 有极大值，并且极大值为

2

练习（ P31）

（ 1）在 [0,2] 上，当 x

1

时， f ( x)

6x

2

x 2 有极小值，并且极小值为

f ( 1

) 49 .

12

12

24

又由于 f (0)

2 ， f (2) 20 .

因此，函数 f ( x)

6x 2 x 2 在 [0,2] 上的最大值是 20、最小值是 49 .

24

（ 2）在 [ 4,4] 上，当 x

3 时， f (x)

x 3 27x 有极大值，并且极大值为 f ( 3) 54 ；

当 x 3时， f (x)

x 3 27 x 有极小值，并且极小值为 f (3)

54 ；

又由于 f ( 4) 44 ， f (4) 44 .

因此，函数 f ( x) x 3 27 x 在 [ 4,4] 上的最大值是 54、最小值是 54.

（ 3）在 [ 1

,3] 上，当 x

2 时， f ( x)

6 12x x 3 有极大值，并且极大值为 f (2)

22 .

3

1

55

又由于 f ( ) ， f (3) 15 .

3 27 1

,3] 上的最大值是 22、最小值是

55

.

因此，函数 f ( x)

6 12 x x 3 在 [

3 27

（ 4）在 [2,3] 上，函数 f (x) 3x

x 3 无极值 .

因为 f (2) 2 ， f (3) 18 .

因此，函数 f ( x) 3x x3 在 [2,3] 上的最大值是 2 、最小值是 18 .

习题 A 组（ P31）

1、（1）因为 f ( x) 2x 1 ，所以 f ( x) 2 0 .

因此，函数 f ( x) 2x 1 是单调递减函数 .

（2）因为 f ( x) x cos x ， x (0, ) ，所以 f (x) 1 sin x 0 ， x (0, ) .

2 2

因此，函数 f ( x) x cos x 在 (0, ) 上是单调递增函数 .

2

（3）因为 f ( x) 2x 4，所以 f (x) 2 0 .

因此，函数 f ( x) 2x 4 是单调递减函数 .

（4）因为 f ( x) 2x3 4x ，所以 f ( x) 6x2 4 0 .

因此，函数 f ( x) 2x3 4x 是单调递增函数 .

2、（1）因为 f ( x) x2 2 x 4 ，所以 f ( x) 2x 2 .

当 f (x) 0 ，即x 1 时，函数 f ( x) x2 2 x 4 单调递增 .

当 f (x) 0 ，即x 1 时，函数 f (x) x2 2x 4 单调递减 .

（2）因为 f ( x) 2x2 3x 3 ，所以 f ( x) 4x 3 .

当 f (x) 0 ，即 x 3

时，函数 f ( x) 2x2 3x 3 单调递增 . 4

当 f (x) 0 ，即 x 3

时，函数 f ( x) 2x2 3x 3 单调递减 . 4

（3）因为 f ( x) 3x x3，所以 f ( x) 3 3x2 0 .

因此，函数 f ( x) 3x x3是单调递增函数 .

（4）因为 f ( x) x3 x2 x ，所以 f ( x) 3x2 2x 1.

当 f (x) 0 ，即 x 1或

x

1

时，函数 f ( x) x3 x2 x 单调递增 .

3

当 f (x) 0 ，即 1 x 1

时，函数 f (x) x3 x2 x 单调递减 . 3

3、（1）图略 . （ 2）加速度等于 0.

4、（1）在 x x2处，导函数 y f ( x) 有极大值；

（2）在 x

x 1 和 x x 4 处，导函数 y f (x) 有极小值；

（ 3）在 x x 3 处，函数 y f (x) 有极大值；

（ 4）在 x x 5 处，函数 y f (x) 有极小值 .

5、（1）因为 f ( x) 6x 2

x 2 ，所以 f ( x) 12 x 1 .

令 f (x) 12 x 1

0 ，得 x

1 .

1

12

当 x

时， f ( x)

， f ( x) 单调递增；

12

当 x

1 时， f ( x) 0 ， f ( x) 单调递减 .

12 1

所 以 ， x

时 ， f ( x) 有 极 小 值 ， 并 且 极 小 值 为

12

f (

1

) 6 (

1 )

2 1 2

49 . 12

12

12 24

（2）因为 f ( x)

x 3 12x ，所以 f ( x) 3x 2

12 .

令 f (x)

3x 2

12 0 ，得 x

2 .

下面分两种情况讨论：

①当 f ( x) 0 ，即 x

2 或 x 2 时；②当 f ( x) 0 ，即 2 x 2 时.

当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：

x ( , 2) 2

( 2,2) 2 (2, ) f (x) ＋ 0 － 0

＋ f ( x)

单调递增

16

单调递减

16

单调递增

因此，当 x

2 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 16；

当 x 2时， f ( x) 有极小值，并且极小值为

16.

（3）因为 f ( x) 6 12x x 3 ，所以 f ( x)12 3x 2 .

令 f (x)

12 3x 2

0 ，得 x

2 .

下面分两种情况讨论：

①当 f ( x) 0

，即 x 2 或 x 2 时；②当 f ( x) 0 ，即 2 x 2 时.

当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：

x ( , 2) 2

( 2,2) 2 (2, ) f (x) ＋ 0 － 0

＋ f ( x)

单调递增

22

单调递减

10

单调递增

因此，当 x

2 时， f (x) 有极大值，并且极大值为

22；

当 x 2时， f ( x) 有极小值，并且极小值为

10.

（4）因为 f ( x) 48 x x 3 ，所以 f ( x) 48 3x 2 .

令 f (x) 48 3x 2

0 ，得 x 4 .

下面分两种情况讨论：

①当 f ( x) 0 ，即 x

2 或 x 2 时；②当 f ( x)

0 ，即 2 x

2 时.

当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：

x (

, 4) 4

( 4,4) 4 (4, )

f (x) － 0

＋ 0 －

f ( x) 单调递减

128 单调递增

128

单调递减

因此，当 x

4 时， f (x) 有极小值，并且极小值为 128 ；

当 x 4时， f ( x) 有极大值，并且极大值为 128.

6、（1）在 [ 1,1]上，当 x

1 时，函数 f (x) 6x 2

x 2 有极小值，并且极小值为 47 .

12

24

由于 f ( 1) 7 ， f (1) 9 ，

所以，函数 f ( x)

6x 2

x 2 在 [ 1,1]上的最大值和最小值分别为

9， 47 .

24

（2）在 [ 3,3] 上，当 x 2 时，函数 f ( x) x 3 12 x 有极大值，并且极大值为 16；

当 x 2 时，函数 f ( x) x 3

12x 有极小值，并且极小值为

16.

由于 f ( 3) 9 ， f (3) 9 ，

所以，函数 f ( x)

x 3 12 x 在 [ 3,3] 上的最大值和最小值分别为 16， 16 .

（3）在 [ 1

,1] 上，函数 f ( x)

6 12x x 3

在 [ 1

,1] 上无极值 .

3

3

由于 f ( 1 )

269

， f (1)

5 ，

3

27

1

269 ，

所以，函数 f ( x)

6 12 x x 3 在 [ ,1] 上的最大值和最小值分别为 5 .

3 27

（4）当 x 4 时， f (x) 有极大值，并且极大值为

128..

由于 f ( 3)

117 ， f (5)

115 ，

所以，函数 f ( x)

48 x x 3 在 [ 3,5] 上的最大值和最小值分别为

128， 117 .

习题 B 组（ P32）

1、（1）证明：设 f ( x) sin x x ， x (0, ) .

因为 f ( x) cos x 1 0 ， x (0, )

所以 f ( x) sin x x 在 (0, ) 内单调递减

因此 f ( x)

sin x x f (0) 0 ， x (0, ) ，即 sin x x ， x (0, ) . 图略

（2）证明：设 f (x)

x x 2 ， x

(0,1) .

因为 f ( x) 1 2x ， x (0,1)

所以，当 x

(0, 1

) 时， f (x) 1 2x

0 ， f (x) 单调递增，

2

f ( x) x x 2 f (0) 0 ；

当 x

1

时， f ( x) 1 2x 0 ， f (x) 单调递减，

( ,1)

2

f ( x) x x 2

f (1) 0 ；

又 f ( 1

) 1 0 . 因此， x

x 2

0 ， x (0,1) .

图略

2 4 （3）证明：设 f ( x)

e x 1 x ， x 0 .

因为 f ( )

e x

1

， x 0

x

所以，当 x

0 时， f ( x) e x

1 0 ， f (x) 单调递增，

f ( x) e x 1 x

f (0) 0 ；

当 x 0 时， f ( x) e

x

1 0 ， f (x) 单调递减，

f ( x) e x 1 x

f (0) 0 ；

综上， e x 1 x ， x 0 .

图略

（4）证明：设 f ( x) ln x x ，x 0 .

因为 f ( x)

1

， x 0

1

x

1

所以，当 0 x 1时，f (x) 1 0，f (x)单调递增，x

f ( x) ln x x f (1) 1 0 ；

当 x 1 时， f ( x) 1 1 0 ， f (x) 单调递减，

x

f ( x) ln x x f (1) 1 0 ；

当 x 1 时，显然 ln1 1 . 因此， ln x x .

由（ 3）可知， e x x 1 x ，x 0 .

. 综上， ln x x e x，x 0 图略

2、（ 1）函数 f ( x) ax3 bx2 cx d 的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状 .

若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间 .

（2）因为 f ( x) ax 3 bx 2 cx d ，所以 f ( x) 3ax 2 2bx c .

下面分类讨论：

当 a 0 时，分 a 0 和 a 0 两种情形：

①当 a 0 ，且b2 3ac 0 时，

设方程 f ( x) 3ax2 2bx c 0 的两根分别为 x1, x2，且 x1 x2，

当 f (x) 3ax 2 2bx c 0 ，即 x x1或 x x2时，函数 f (x) ax3 bx 2 cx d 单调递增；

当 f (x) 3ax 2 2bx c 0 ，即 x1 x x2时，函数 f ( x) ax 3 bx 2 cx d 单调递减 .

当 a 0 ，且b2 3ac 0 时，

此时 f ( x) 3ax2 2bx c 0 ，函数 f ( x) ax3 bx2 cx d 单调递增 .

②当 a 0 ，且b2 3ac 0 时，

设方程 f ( x) 3ax2 2bx c 0 的两根分别为 x1, x2，且 x1 x2，

当 f (x) 3ax 2 2bx c 0 ，即 x1 x x2时，函数 f ( x) ax 3 bx 2 cx d 单调递增；

当 f (x) 3ax 2 2bx c 0 ，即 x x1或 x x2时，函数 f (x) ax3 bx 2 cx d 单调递减 .

当 a 0 ，且b2 3ac 0 时，

此时 f ( x)

3ax 2 2bx c 0 ，函数 f ( x) ax 3 bx 2 cx d 单调递减

生活中的优化问题举例

习题 A 组（ P37）

1、设两段铁丝的长度分别为 x ， l x ，则这两个正方形的边长分别为 x ， l

x

，两个正方

4 4

形的面积和为 S f (x)

( x )2

(

l

x )2

1

(2 x 2 2lx

l 2 ) ， 0 x l .

4

4

16

令 f ( x)

0 ，即 4x 2l

0， x

l .

当 x (0, l ) 时， f 2 ( l

(x) 0 ；当 x , l ) 时， f ( x)

0 .

2 2

因此， x

l

是函数 f ( x) 的极小值点，也是最小值点 .

2

所以，当两段铁丝的长度分别是

l

时，两个正方形的面积和最小 .

2

2、如图所示，由于在边长为 a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为 x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无

盖方盒的底面为正方形，且边长为

a 2x ，高为 x .

（ 1）无盖方盒的容积 V ( x) (a 2x)2 x ， 0 x

a .

2

（ 2）因为 V (x) 4x 3 4ax 2 a 2 x ，

所以 V ( x) 12x 2 8ax a 2 .

令 V ( x) 0 ，得 x

a

（舍去），或 x a .

2

6 当 x (0, a

) 时， V (x)

0 ；当 x ( a , a

) 时， V ( x) 0 .

6

6 2

因此， x

a

是函数 V ( x) 的极大值点，也是最大值点 .

6

所以，当 x

a

时，无盖方盒的容积最大 . 6 h ，底半径为 R ，

3、如图，设圆柱的高为

（第 2 题）

则表面积 S 2 Rh 2 R 2

由 V

R 2

h ，得 h

V 2 .

R

因此， S(R)

2 R V

2 R 22V

2 R 2 ， R 0 .

R 2 R

令 S (R)

2V 4 R 0 ，解得 R 3

V

R

.

2

（第 3 题）

当 R (0, 3V

) 时， S ( R) 0 ；2

当 R ( 3V

, ) 时， S ( R) 0 . 2

因此， R 3

V 是函数

S(R) 的极小值点，也是最小值点. 此时， h V 2 3

V

2R .

2 R2 2 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.

4、证明：由于 f ( x) 1 n ( x a i )2 ，所以 f (x) 2 n ( x a i ) .

n i 1 n i 1

令 f (x) 0，得 x 1 n

a i，n i 1

可以得到，x 1 n

a i是函数 f ( x) 的极小值点，也是最小值点 . n i 1

这个结果说明，用 n 个数据的平均值1

n

a i 表示这个物体的长度是合理的，n i 1

这就是最小二乘法的基本原理 .

5、设矩形的底宽为 x m，则半圆的半径为x

m，半圆的面积为x2 m 2，2 8

矩形的面积为 a x2 m2，矩形的另一边长为(a x

) m

8 x 8

因此铁丝的长为 l (x) x x 2a x (1 ) x 2a ，0 x 8a

2 x 4 4 x

令 l ( x) 1 2a 0 ，得 x 8a （负值舍去） .

x2 4

4

当 x (0, 8a ) 时， l ( x) 0 ；当 x ( 8a , 8a ) 时， l ( x) 0 .

4 4

因此， x

8a

是函数 l (x) 的极小值点，也是最小值点 . 4

所以，当底宽为8a m时，所用材料最省 .

4

6、利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘单价 .

由此可得出利润L 与产量 q 的函数关系式，再用导数求最大利润.

收入 R q p q(25 1 q) 25q 1 q 2 ，

8 8

利润 L R C (25q 1 q 2 ) (100 4q) 1 q 2 21q 100 ， 0 q 200 .

1 q 8

8

求导得 L 21

4 令 L

0，即 1 q

21 0 ， q 84 .

4

当 q (0,84) 时， L 0

；当 q (84,200) 时， L 0 ；

因此， q 84 是函数 L 的极大值点，也是最大值点 .

所以，产量为 84 时，利润 L 最大 , 习题 B 组（ P37）

1、设每个房间每天的定价为

x 元，

那么宾馆利润 L (x)

(50 x 180 )( x 20)

1 x 2

70 x 1360 ， 180 x 680 .

1

10

10

令 L (x)

70

0 ，解得 x

350 .

x

5

当 x (180,350) 时， L (x) 0 ；当 x (350,680) 时， L ( x)

0 .

因此， x 350 是函数 L( x) 的极大值点，也是最大值点 .

所以，当每个房间每天的定价为

350 元时，宾馆利润最大 .

2、设销售价为 x 元／件时，

利润 L (x) ( x a)(c

c b x

4) c(x

a)(5 4 x) ， a x

5b .

b

b

4

令 L (x)

8c x 4ac 5bc

0 ，解得 x 4a 5b .

b b

8

当 x (a,

4a 5b ) 时， L (x) 0 ；当 x

( 4a

5b , 5b

) 时， L ( x) 0 .

8

8

4

当 x

4a

5b

是函数 L(x) 的极大值点，也是最大值点 .

8

所以，销售价为

4a

5b

元／件时，可获得最大利润 .

8

定积分的概念

练习（ P42）

8 .

3

说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想

.

练习（ P45）

1、 s i

s i

v( i

) t [ ( i

) 2

2]

1

( i ) 2 1

2 ， i 1,2,L , n .

n

n

n

n n

n

n n n

于是s s i s i

i 1i 1i 1

i

v( ) t

n

( i )2 1 2]

[

i 1 n n n

( 1)2 1 L ( n 1)2 1 ( n)2 1 2

n n n n n n

1

3 [1 22 L n2 ] 2

n

1 n(n 1)(

2 n 1)

2

n3 6

1 1 1

2

(1 )(1 )

3 n 2n

取极值，得

n s lim

n

i 1 1 i n 1 1 1 5

lim [

[ v( )] (1 )(1 ) 2]

n n n 3 n 2n 3

i 1

说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.

2、22

km. 3

说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法

和步骤 .

练习（ P48）

2

4 . 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义 .

x3dx

从几何上看，表示由曲线 y x3与直线x 0，x 2， y 0 所围成的曲边梯形的面积S 4 .

习题 A 组（ P50）

1、（1）( x 1)dx 100 i 1) 1] 1 0.495 ；

2

1

i 1 100 100

（2）

2 500

i 1) 1

( x 1)dx [(1 1] 0.499 ；

1

i 1 500 500

（3） 2

1000 i 1 1

0.4995 .

1)dx [(1 ) 1]

( x

1000 1000

1

i 1

说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.

2、距离的不足近似值为：18 1 12 1 7 1 3 1 0 1 40 （m）；

距离的过剩近似值为： 27 1 18 1 12 1 7 1 3 1 67 （m）.

3、证明：令 f ( x) 1. 用分点 a x0 x1 L x i 1 x i L x n b

将区间 [a, b] 等分成n 个小区间，在每个小区间[ x i 1 , x i ] 上任取一点i (i 1,2,L , n)

n

n

作和式

f ( i ) x

i 1

i

1

b a b a ，

n

b

n

从而

1dx lim

a

n

i 1

b a b a ，

n 说明：进一步熟悉定积分的概念 .

4、根据定积分的几何意义，

1

0 ，x 1 ， y

0 以及曲线 y

1 x 2

1 x 2

dx 表示由直线 x

1 x 2

dx

. 所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此

1

4

1 .

5、（1） x 3 dx

1

4

由于在区间 [ 1,0] 上 x 3

0 0

， x 1 ， y 0和曲

线

，所以定积分

x 3 dx 表示由直线 x

1

y x 3 所围成的曲边梯形的面积的相反数 .

（2）根据定积分的性质，得

1

1

3dx

1 1 0.

x 3dx

x 3dx

x

1 1

4 4

由于在区间 [ 1,0] 上 x

3

0 ，在区间 [0,1] 上 x

3

0 ，所以定积分 1

x 3 dx 等于位于 x 轴上方的

1

曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积 .

（3）根据定积分的性质，得

2

2 1 4 15 x 3dx

x 3dx

x 3

dx

1 1

4 4

由于在区间 [ 1,0] 上 x

3

0 ，在区间 [0,2] 上 x

3

0 ，所以定积分 2

x 3 dx 等于位于 x 轴上方的

1

曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积 .

说明：在（ 3）中，由于 x 3 在区间 [ 1,0] 上是非正的，在区间 [0,2] 上是非负的，如果直接利 用定义把区间 [ 1,2] 分成 n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵 挡一些项，求和会非常麻烦 . 利用性质 3 可以将定积分

2

2 x 3dx 化为

x 3dx x 3dx ，这样， x 3

1

1 0

在区间 [ 1,0] 和区间 [0,2]

上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出

x 3 dx ，

1

2 2

x 3dx ，进而得到定积分

x 3dx 的值 . 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算 .

1

在（ 2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义 .

习题 B 组（ P50）

1、该物体在 t 0 到 t 6 （单位： s ）之间走过的路程大约为 145 m.

说明：根据定积分的几何意义， 通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程 .

2、（1） v 9.81t .

8

9.81

i

1 9.81

1

8 9

（2）过剩近似值：

88.29 （ m ）； i 1

2 2

4 2

8

i

1 1

1 8 7 68.67 （m ）

不足近似 ：

9.81 9.81

i 1

2 2 4 2

（3）

4 4

78.48 （ m ） .

9.81tdt ；

9.81tdt

3、（1）分割

在区 [0, l ] 上等 隔地插入

n 1 个分点，将它分成 n 个小区 ：

[0, l ] ， [ l

, 2l ] ，??， [ (n 2)l ,l ] ，

n n n

n 第 i 个区 [

(i

1)l , il

] （ i 1,2,L n ），其 度

n n

il

(i 1)l

l .

x

n

n n

把 棒在小段 [0, l ] ， [ l ,

2l

] ，??， [ (n 2)l ,l ] 上 量分 作：

n n n n m 1, m 2 ,L , m n ，

n

m i . 棒的 量 m

i 1

（2）近似代替

当 n 很大，即

x 很小 ，在小区 [

(i

1)l , il

] 上，可以 密度

( x)

x 2 的

n n

[ (i

1)l , il

] 的函数 化很小，近似地等于一个常数，不妨 它近似地等于任意一点

i

n

n ( i ) i

2

. 于是， 棒在小段 [

(i

1)l , il

] 上 量 m i

( i ) x

i 2

l

（ i

1,2,L n ）.

（3）求和

n

n

n

n

n

n

2 l

. 得 棒的 量

m

m i

( i ) x

i 1

i 1

i 1

i

n

（4）取极限

n

l

l

m lim

，所以 m 棒的 量

i 2 x 2

dx ..

n

i 1

n 0

微积分基本定理

练习（ P55）

（ 1） 50；

（2）

50

； （ 3）

4 2 5

； （4）24；

3

3

3

（ 5）

3

ln 2 ；

（6） 1

；

（ 7） 0；

（8） 2 .

2 2

明：本 利用微 分基本定理和定 分的性 算定 分

.

习题 A 组（ P55）

1、（1）

40

；

（2）

1 3ln

2 ； （3）

9

ln 3 ln 2 ；

3

2

2

（4）

17

；

（5）

3

2

1；

（ 6） e 2 e 2ln 2 .

6

8

说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 3

cosx]0

3

2 . 2、 sin xdx [

它表示位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积与 x 轴下方的曲边梯形的面积之差 . 或表述为：位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与 x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和 .

习题 B 组（ P55）

1、（1）原式＝ [

1

e 2 x ]10

e 2

1 ；

（ 2）原式＝ [ 1

sin 2x] 4 1

3 ；

2

2 2 2

6 2

4

（3）原式＝

2x

3 6

[

ln 2 ]1 ln 2 .

2、（1） sin mxdx

[ cosmx ]

1

[cos m cos( m )] 0

；

m

m

（2）

cos mxdx

sin mx 1

sin( m )] 0 ；

m

[sin m

m

（3）

sin 2

mxdx

1 cos 2mx dx [ x

sin 2mx ]

；

2 2 4m

（4）

cos 2

mxdx

1 cos2mx dx [ x

sin 2mx ] .

2 2 4m

3、（1） s(t) t g (1 e kt

) dt g t g e kt t g g e kt g 49t 245e

0.2t

245 .

0 k [ 2 ]0 t k 2 k 2

k k k （2）由题意得 49t 245e 0.2 t 245 5000 .

这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计

t 的取值范围 .

根据指数函数的性质，当 t

0 时， 0 e 0.2 t 1 ，从而 5000

49t 5245 ，

因此， 5000

t 5245 .

49

49

0.2 5000

7

0.2 5245

7

因此 245e 49

3.36 10 ， 245e 49

1.24 10 ，

所以， 1.24

10 7 245e 0.2 t 3.36 10 7 .

从而，在解方程 49t

245e 0.2 t 245 5000 时， 245e

0.2 t

可以忽略不计 .

因此， . 49t 245 5000 ，解之得 t

5245 （ s ） .

49

说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分， 可视学生的具体情况选做，不要求掌握 .

定积分的简单应用

练习（ P58）

（ 1）

32

； （2）1.

3

说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程

.

练习（ P59）

5

2 3t] 35 22 （ m ）.

1、 s (2t 3)dt [t

3

2、 W

4

3 x 2

4x]04

40 （J ）.

(3x 4)dx [

2

习题 A 组（ P60）

1、（1）2； （2） 9

.

q

2

q

q

q 2、 W

b

b

k . k 2 dr [ k ] a

k

a r

r

a

b

3、令 v(t) 0 ，即 40

10t 0 . 解得 t 4 . 即第 4s 时物体达到最大高度 .

最大高度为 h

4

(40 10t)dt [40 t 5t 2 ]04 80 （m ）.

4、设 t s 后两物体相遇，则

t 2

1)dt t

(3t 10tdt 5 ，

解之得 t 5 . 即 A, B 两物体 5s 后相遇 .

此时，物体 A 离出发地的距离为 5

1)dt [ t 3 t ]05 130 （m ） .

(3t

2

5、由 F

kl ，得 10 0.01k . 解之得 k 1000 .

0.1

2 0.1

5 （J ）.

所做的功为 W

1000ldl

500l

6、（1）令 v(t ) 5 t

55

0 ，解之得 t 10 . 因此，火车经过

10s 后完全停止 . 1 t （2） s

(5 t [5t 1 t 2 55ln(1 t )]100 55ln11 （m ）.

55

)dt

10

1 t

2

习题 B 组（ P60）

1、（1） a

a 2 x 2 dx 表示圆 x 2

y 2 a 2 与 x 轴所围成的上

a

a

a

2

x 2

dx

a 2

半圆的面积，因此

a

2

（2） 1

1 (x 1)

2

x]dx 表示圆 ( x 1)

2

y

2

1 与直线

[ 0

y x 所围成的图形（如图所示）的面积，

（第 1（ 2）题）

因此， [ 1 ( x 1)2

x]dx

2

1 1 1

1 .

1

1

4 2 4 2

2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的