考研数学历年真题(1987-1997)年数学二

1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

（1）已知()()==?????=≠=-a x x a x xosx x f x 处连续，则，在，

，000

2

_____________.

（2）设则,11ln

2

x

x

y +-==''=0x y _____________.

（3）

()

=-?

x x dx

4_____________.

（4）设

=++?

+∞

28

4x x dx

_____________.

（5）已知向量组)2,5,4,0(,0,0,21,12,132,1--==-=

ααα），（），（t 的秩为2，则t =_____________. 二、选择题 1.设n x x

x e e x 与时，-→tan ,0是同阶无穷小，则n 为（ ）

（A ）1

（B ）2

（C ）3

（D ）4

(2)设在区间[,]a b 上()0,()0,()0.f x f x f x '''><>记1231

(),()(),[()()](),

2

b a S f x dx S f b b a S f a f b b a ==-=+-?则（ ） (A)123S S S << (B) 231S S S << (C)312S S S <<

(D)213S S S <<

(3)已知函数()x f y =对一切x 满足()()()()则若,00,1][3002≠='-='+''-x x f e x f x x f x x

（ ）

(A)()()的极大值是x f x f 0 (B)()()的极小值是x f x f 0

(C)()）的拐点（是，x f y x f x =)(00

(D)()()()()的拐点也不是曲线的极值，

不是x f y x f x x f x f =)(,000 (4)设2sin ()e sin ,x t x

F x tdt π

+=

?

则()F x （ ）

(A)为正常数

(B)为负常数

(C)恒为零

(D)不为常数

（5）.设()()()为则][,0,0,,0

,20

,22x f g x x x x x f x x x x x g ????

????≥-<=>+≤-=（ ） （A ）?<+0

,22x x

（B ）?<-0,22x x

（C ）???≥-<-0,20

,22x x x x

（D ）???≥+<+0

,20,22x x x x

三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分） （1）求极限.sin 1

14lim

2

2x

x x x x x +++-+-∞

→

（2）设()??

?=+-==5

2arctan 2t

e ty y t x x y y 由所确定，求.dx dy

（3）计算.)1(tan 22dx x e x +?

（4）求微分方程(

)(

)

02232

2

2=-+-+dy xy x dx y xy x 的通解。

（5）已知x

x x x x x x e e xe y e xe y e xe y ---+=+=+=23221,,是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。

（6）已知E E AB A A 其中，且,1110110012

=-????

??????--=是三阶单位矩阵，求矩阵.B

四、（本题满分8分）

λ取何值时，方程组???

??-=-+=+-=-+1

554212321

321321x x x x x x x x x λλ无解，有惟一解或由无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解。

五、（本题满分8分）

设曲线L 的极坐方程为()()L r M r r 为θθ,,=上的任一点，()L M 为，

020上一定点，若极径L OM OM 与曲线、0所围成的曲边扇形面积值等于M M L ,0上两点间弧长值的一半，求曲线L 的方程。

六、（本题满分8分）

设函数()x f 在闭区间[0,1]上连续，在开区间（0,1）内大于零，并满足()()()，为常数a x a x f x f x 2

2

3+

='又曲线()0,1===y x x f y 与所围成的图形S 的面积值为2，求函数()x f y =，并问a 为何值时，图形x S 绕轴旋转一周所得

的旋转体的体积最小。

七、（本题满分8分）

已知函数()x f 连续，且()()()()()x x dt xt f x x

x f x ???''==?→并讨论求，设,,2lim

100的连续性 八、（本题满分8分）

就k 的不同取值情况，确定方程k x x =-

sin π

在开区间），（0π内根的个数，并证明你的结论。

1996 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

（1）设

='+==-

0x 3

22y ,)(则x e x y _____________.

（2）=-+?

-dx x x 2

1

121）（_____________.

（3）微分方程的052=+'+''y y y 通解为_____________.

（4）=??

???

?

+-+∞→)11ln(sin )3

1ln(sin lim x x x x _____________.

（5）由曲线22,1

==+=y x x

x y 及所围图形的面积=S _____________. 二、选择题

1.设2

2

)1(0x bx ax e x x

是比时，++-→高阶的无穷小，则（ ）

（A ）1,21

==

b a （B ）1,1==b a （C ）1,2

1

-=-=b a

（D ）1,1=-=b a

(2)设函数()x f 在区间），（δδ-内有定义，若当),(δδ-∈x 时，恒有()0,2=≤x x x f 则必是()x f 的（ ） (A)间断点

(B)连续而不可导的点 (C)可导的点，且0)0(='f

(D)可导的点，且()00≠'f

(3)设)(x f 处处可导，则（ ）

(A)()()-∞='-∞=-∞

→-∞

→x f x f x x lim ,lim 必有当

(B)()()-∞=-∞='-∞

→-∞

→x f x f x x lim ,lim 必有当

(C)()()+∞='+∞=-∞

→-∞

→x f x f x x lim ,lim 必有当

(D)()()+∞=+∞='-∞

→-∞

→x f x f x x lim ,lim 必有当

(4)在区间

0cos 2

141=-+∞+∞-x x x ）内，方程，（（ ） (A)无实根 (B)有且仅有一个实根 (C)有且仅有两个实根

(D)有无穷多个实根

（5）.设),()()()(],[)(),(x g y m m x f x g b a x g x f =<<，由曲线为常数上连续，且在区间b x a x x f y ===及),(所围平面图形绕直线m y =旋转体体积为（ ） （A ）?-+-b

a

dx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π

（B ）?---b

a

dx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π

（C ）

?

-+-b

dx x g x f x g x f m )]()()][()([π

（D ）

?---b

dx x g x f x g x f m )]()()][()([π

（1）计算.12

10

2dx e n x ?

--

（2）求

.sin 1?+x dx

（3）设?????==?,)]([,

)(2202t f y du u f x t

其中)(u f 具有二阶导数，且.,0)(22dx y d u f 求≠

（4）求函数011)(=+-=x x

x

x f 在点处带拉格朗日型余项n 阶泰勒展开式。

（5）求微分方程2

x y y ='+''的通解。

（6）设有一正椭圆柱体，其地面的长、短轴分别为b a 22、，用过此柱体底面的短轴与底面成）

角（2

0π

αα<<的平面截此柱体，得以锲形体（如图），求此锲形体的体积.V

四、（本题满分8分） 计算不定积分

.)1(arctan 22dx x x x ?+

五、（本题满分8分）

设函数.2,1,1,1612,

,21)(3

2>≤≤--

???--=x x x x x x x x f （1）写出)(x f 的反函数)(x g 的表达式；

（2）)(x g 是否由间断点、不可导点，若有，指出这些点。

六、（本题满分8分）

设函数)(x y y =由方程12222

2

3

=-+-x xy y y 所确定，试求)(x y y =的驻点，并判别它是否为极值点。

七、（本题满分8分）

设)(x f 在区间],[b a 上具有二阶导数，且,0)()(,0)()(>''==b f a f b f a f 试证明：

存在.0)(0)(,,=''=∈∈

ηξηξf f b a b a 及），使（）和（

八、（本题满分8分） 设)(x f 为连续函数，

（1）求初值问题为正的常数；

其中的解a x y y x f ay y x ),(0),

(0?

??==+'=

（2）若).1()(0)()(ax e a

k

x y x k k x f --≤≥≤时，有，证明：当为常数

1995 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

（1）设

='=y x

x y 则,1

sin )cos(2

2_____________.

（2）微分方程的通解为x y y 2-=+''_____________.

（3）曲线213

2

-=???=+=t

y t x 处的切线方程为_____________. （4）=+++++++++∞

→)2211(

lim 2

22n

n n n

L n n n n n _____________. （5）由曲线2

2x e x y -=的渐近方程为_____________. 二、选择题

1.设)()(x f x x f ）内有定义，，

）在（（和∞+∞-?为连续函数，且)(,0)(x x f ?≠有间断点，则（ ） （A ）必有间断点)]([x f ? （B ）必有间断点2

)]([x ? （C ）必有间断点)]([x f ?

（D ）

必有间断点）

（)

(x f x ?

(2)曲线x x x x y 与)2)(1(--=轴所围图形的面积可表示为（ ） (A)?

---2

0)2)(1(dx x x x

(B)

??

-----2

1

1

)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x

(C)?

?--+---

21

1

)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x

(D)

?

--2

)2)(1(dx x x x

(3)设)(x f 在），（∞+∞-内可导，且对任意则时，都有当),()(,,212121x f x f x x x x >>（ ） (A)0)(,>'x f x 对任意 (B)0)(,≤-'x f x 对任意

(C)单调增加函数)(x f -

(D)单调增加函数)(x f --

(4)设函数)1()0()0()1()0()1(,0)(]1,0[)(f f f f f f x f x f --''>''或、、则上在的大小顺序是（ ） (A))0()1()0()1(f f f f ->'>' (B))0()0()1()1(f f f f '>->' (C))0()1()0()1(f f f f '>'>-

(D))0()1()0()1(f f f f '->>'

（5）.设处可导，则必有在若使）

（可导，0)(|),sin |1)(()(=+=x x F x x f x F x f （ ） （A ）0)0(=f （B ）0)0(='f

三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分） （1）求.)

cos 1(1lim 0

x x xosx

x --+

→

（2）设函数)(x y y =由方程y

y f e xe

=)

(确定，其中f 具有二阶导数，且.122dx

y

d f ，求≠'

（3）设?-=-.)()],([,2

ln )1(2

2

2

dx x x f x x x f ??求且 （4）设?????

=≠=,0,

0,

0,1arctan )(2x x x

x x f 试讨论)(x f '在0=x 处的连续性。 （5）求摆线.20sin cos 1）的弧长一拱（π≤≤??

?-=-=t t

t y t

x

（6）设单位质点在水平面内作直线运动，初速度,00v v t ==已知阻力与速度成正比（比例常数为1），问t 为多少时此质点的速度为

3

v ？并求到此时刻该质点所经过的路程。

四、（本题满分8分） 求函数dt e t x f t x -?

-=

2

)2()(的最大值和最小值。

五、（本题满分8分）

设x y x p y x e y x

=+'=)(是微分方程的一个解，求此微分方程满足条件02

1==n x y 的特解。

六、（本题满分8分）

如图，设曲线L 的方程为MP MT y x f y ,,0),(又且>''=分别为该曲线在点）（00,y x M 处的切线和法线，已知线段

MP 的长度为

))(),((100000

2

320

x y y x y y y y ''='''=''''+其中）（试推导出点），（ηξP 的坐标表达式。

七、（本题满分8分）

设??

-=

ππ00

.)(,sin )(dx x f dt t

t

x f x

计算

八、（本题满分8分） 设.)(,)(,1)

(lim 0

x x f x f x

x f x ≥>''=→证明且

1994 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

（1）若=∞+∞-?????=≠-+=a x a x x

e x x

f ax ）上连续，则，在（0,

,0,12sin )(2_____________.

（2）设函数)(x y y =由参数方程=???+=+-=222

3),1(1dx y d t

t y t n t x 所确定，则_____________.

（3）=????

???x

dt t f dx d 3cos 0)(_____________.

（4）=?

dx e x x 2

3_____________.

（5）微分方程0)4(2

=-+dy x x ydx 的通解为_____________. 二、选择题

1.设2)

()1ln(lim 220=+-+→x

bx ax x x 则（ ） （A ）25

,1-

==b a （B ）2,0-==b a （C ）2

5

,0-==b a

（D ）2,1-==b a

(2)设处的在点则1)(,1

,1

,32)(23

=?????>≤=x x f x x x x x f （ ） (A)左、右导数都存在

(B))左导数存在，但右导数不存在 (C)左导数不存在，但右导数存在

(D) )左、右导数都不存在

(3)设)(x f y =是满足微分方程在则的解，且)(,0)(00sin x f x f e

y y x

='=-'+''（ ） (A)的某个领域内单调增加0x (B)的某个领域内单调减少0x

(C)出取得极小值0x

(D)处取得极大值0x

(4)曲线)

2)(1(1

arctan 22

1

+-++=x x x x e y x 的渐近线有（ ）

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

（5）.设???---=+=+=22

43222224342,)cos sin (,)cos (sin ,cos 1sin π

ππ

πππdx x x x P dx x x N xdx x x M 则有（ ） M P N <

三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分）

（1）设.1

),(22dx

y d f y x f y ，求阶导数不等于具有二阶导数，且其一其中+= （2）计算

.)

1(1

2

34dx x x ?-

（3）计算).24(

tan lim n

n

n +∞→π

（4）计算.sin 22sin ?+x

x dx

（5）如图，设曲线方程为2

1

2

+

=x y ，梯形OABC 的面积为D ，曲边梯形OABC 的面积为1D ，为A 的坐标为 .2

3,00,1<>D D a a 证明

），（

四、（本题满分9分） 设0>x 当时，方程11

2=+x

kx 有且仅有一个解，求k 的取值范围

五、（本题满分9分）

设,4

2

3x

x y += （1）求函数的增减区间及极值；

（3）求其渐近线；

（4）作出其图形。

六、（本题满分9分）

求微分方程x y a y sin 2

=+''的通解，其中常数.0>a

七、（本题满分9分）

设?

?

≥<<λ

λ

λ0

1

.)()(10]1,0[)(dx x f dx x f x f 时，当上连续且递减，证明：在

八、（本题满分8分）

求曲线3|1|32

=--=y x x y 线轴围成的封闭图形绕直与旋转所得的旋转体体积。

1993 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) （1）

=+

→x x x ln lim 0_____________.

（2）函数)(x y y =由方程==-++dx

dy

xy e y x x

所确定，则0)sin(2

2

2

_____________.

（3）设)(),0()1

2()(1

x F x dt t

x F x

则函数>-

=

?

的单调减少区间是_____________. （4）

=?

dx x

x

cos tan _____________. （5）已知曲线）

，过点（2

1

0)(-=x f y ，且其上任一点）（y x ,处的切线斜率为=+)(),1(2

x f x xin 则_____________. 二、选择题

1.当是时，变量

x

x x 1sin 102→则（ ） （A ）无穷小

（B ）无穷大

（C ）有界的，但不是无穷小

（D ）有界的，但不是无穷大

(2)设)(1,1,

2,1,1

|1|)(2x f x x x x x x f 处函数则在点=?????=≠--=（ ）

(A)不连续

(B))连续，但不可导 (C)可导，但导数不连续

(D) )可导，且导数连续

(3)已知）为（则）（设x F x dt t f x F x x x x f x ,)20()(,21,1,

10,)(12?≤≤=?

??≤≤<≤=（ ）

(A)?????≤≤≤≤21,10,313

x x x x

(B)?????≤≤≤≤-21,10,31

313x x x x

(C)?????≤≤-<≤2

1,110,313

x x x x

(D)?????≤≤-<≤-2

1,110,31

313x x x x (4)设常数），在（函数∞++-=>0ln )(,0k e

x

x x f k 内零点个数为（ ） (A)3

(B)2

(C)1

(D)0

（5）.设）内，在（则）内，

在（0)(,0)(,0)(0),()(∞->''>'∞+--=x f x f x f x f x f 则有（ ） （A ）0)(,0)(<''<'x f x f （B ）0)(,0)(>''<'x f x f （C ）0)(,0)(<''>'x f x f

（D ）0)(,0)(>''>'x f x f

（1）设.)],(sin[2

22

dx y

d f x f y 具有二阶导数，求其中= （2）求).100(lim 2

x x x x ++-∞

→

（3）求

.2cos 140

dx x x

?+π

（4）求

()

.10

3

dx x x

?

+∞

+ （5）求微分方程

0)cos 2(12

=-+-dx x xy dy x ）（满足初始条件求.00

的特解==x y

四、（本题满分9分）

设二阶常数系数线性微分方程求x e y y a y γβ=+'+''的一个特解为求,)1(2x x

e x e y ++=试确定常数，，，γβα并

求该方程的通解。

五、（本题满分9分）

设平面图形A 由求体积。旋转一周所得旋转体的绕直线所确定，求图形与222

2=≥≤+x A x y x y x

六、（本题满分9分）

作半径为求r 的球外切正圆锥，问此圆锥的高求h 为何值时，其体积求V 最小，并求出该最小值。

七、（本题满分6分）

设.,,0x

a a

a x a e a x +<+>>）证明（常数

八、（本题满分8分）

设求.)(m ax ,2)(,0)0(],0[)(02

0x f M Ma dx x f f a x f a

x a

'=≤='≤≤?其中证明：上连续，且在