中学自主招生考试数学试卷
2018年成都石室中学自主招生考试数学试卷
一、选择题：（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）
1、石室中学正筹划建校 2160 周年校庆系列庆典活动，若准备搭建体积为 2160 的正方形“水立方”
展览馆，则此展览馆的棱长在（ ）
A.11.5 到 12.5 之间
B.12.5 到 13.5 之间
C.13.5 到 14.5 之间
D.14.5 到 15.5 之间
2、将正多边形 ABCDEF 放入直角坐标系中，顶点 B ，D ，E 的坐标分别为（n ，m ），（-n ，m ），
（a ，b ），则点A 的坐标可以为（ ）
A.（-m ，-n ）
B.（m ，-n ）
C.（-a ，b ）
D.（-b ，-a ）
3、有的含二次根式的式子可以运用完全平方公式写成另外一个二次根式的平分，如 3+22=12+（2）2+22=（1+2）2，则式子 。（ ）
A.被开方数小于 0，无意义
B.有意义，化简后为7-2
C.有意义，但这个式子不能类比题目中的例子化简
D.有意义，化简后为2-7
4、如图，求边长 AB=2,BC=1 的矩形 ABCD 沿 CD 折叠后与圆心角为 90°的扇形重合部分的面积
为（ ）
A.
B. C.
2π D.3π+1
5、将以 B 为圆心，a 为半径，圆心角为 的扇形 ABC 的弧 AC 保持长度不变，拉直后与 AB ，
BC 构成等腰三角形 ABC ，则△ABC 的面积与扇形 ABC 面积比较（ ）
A.不发生改变，S △ABC=21πa 2
B.发生改变，S △ABC=π
90a 2 C.不发生改变，S △ABC= πa 2 D.发生改变，
6、已知关于 x ，y 的方程组 有无数多组解，则在待定系数 b ，k ，n ，m 表
示的 4 个数中任意取两数相乘，其乘积的最小值为（ ）
A.12
B.16
C.20
D.24
7、大小完全相同两等腰三角形如图放置，其中∠B=∠E=90°，AB=BC=DE=EF ，DE 与 AC 交于 AC
中点 N ，DF 过点 C ， ，BD=6，求点 D 到直线 BC 的距离为（ ）
A.211
B.712
C.33
D.7
1110
8、如图所示，已知关于 x 的二次函数y=ax 2+bx+c 图像经过（-1，0），下列结论：
①abc>0；②9a+3b+c<0；③4ac-b2<-4a ；④-52
C.①③④
D.③④⑤
9、如图，直线y 1=ax+2 与y 2=bx+4 交于点 N （1，a+2），将直线 向下平移后得到y 3=ax-5，求能使
得y 3 A.1,2,3 B.2,3 C.2,3,4 D.3,4,5 10、如图，已知☉O 上的两条弦 AC 和 BC 互相垂直于点 C ，点 D 在弦 BC 上，点 E 在弦 AC 上，且 BD=AE ，连接 AD 和 BE ，点 P 为 BE 中点，点 Q 为 AD 中点，射线 QP 与线段 BC 交于点 N ，若∠A=30°，NQ=3，则DQ 的长为（ ） A. 2 5B.5 C.6 D.2 7 二、填空题：（本题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分） 11、方程4x3-9x=0的解为 。 12、在△ABC 中，AB=8，BC=6，AC 边上的高 BD=4，E,F 分别为线段 AB ，BC 中点，连接 EF ， 则 EF 的长为 。 13、如图，A,B,C 为同一直线上的顺次三点，DA ⊥AC 于点 A ，EC ⊥AC 于点 C ，DB ⊥BE 于点 B ， EC+EB=AC=10.则△ABD 的周长为 。 14、已知将(x+y)n 展开，按 x 降幂排列后的多项式各项系数可以如图对应。如:(x+y)3=x 3+3x 2y+3xy 2+y 3， 各项系数分别为 1，3，3，1，则(x+ )2021的系数为 。 15、矩形ABCD 的相邻两边长AB=7,BC=10，在同一平面内，以顶点A 为圆心，以5 为半径作⊙A， 在BC边上取一点E，使得BE=2，以点E为圆心，r 为半径作圆⊙E，求使⊙E 与⊙A 有公共点，且点 B 在⊙☉E 内， 点 D 在⊙E 外的r 的取值范围。 16、要研究使x，y 满足x+1-y≥0的范围问题时，我们可以借助观察y=x+1 的图像解决。如图，阴 影部分为满足x+1-y≥0的区域，若x，y 满足条件，令M=2x-5y，则M 的取值范围为。 17、（每空3 分）如图Rt△ABC 中，点C 为直角顶点，∠CAB=30°，BC=3，将△ABC 沿直角 边AC 翻折后得到△ADC，将△ADC 绕点 C 进行任意角度旋转得到△A’D’C’（旋转后两三角形不重合），直线DD’与直线AA’交于点P，连接BP。求在旋转过程中线段BP的最大值为，最小值为。 三、解答题（共58 分，请将解题过程及结论写在答题卡的相应位置） 18、（6 分）已知关于x 的方程4x2+4(k-1)x+k2有两个实根为x1,x2。 （1）若x1,x2都是正根，求k 的取值范围； （2）求当x12,x22=12时，k 的值。 19、(10 分)地震是人类一直研究并试图战胜的自然灾害，四川是地震频发区，为更好的研究地震破 坏性，石室中学创新基地班同学做了如下模拟监测实验。如图为地面(AB)以下至地震波反射面(MN)的横截面示意图。其中，O 为震源，A 为震中，B 为观测站，OA⊥AB，AB∥MN。从0 会同时发出两种地震波：直达波(路径为OB)和反射波(路径为OCB),它们的传播速度相同.已知震源深度h=14km,震中至观测站距离AB=48km。 (1)求直达波传播的距离OB； (2)已知反射波(路径0CB)满足∠OCM=∠BCN，地震波的传播速度为5km/s，观测站收到两种地 震波的时间差为2s，求地面与反射面的距离H. 20、(10 分)学完正弦、余弦、正切的定义后，同学们对有一个锐角为60°的三角形的边角关系进行了 进一步研究。若三角形三个内角分别为ɑ=60°，β和γ ，将ɑ所对的边与β 所对的边之比定义为Rzcβ，将ɑ所对的边与γ 所对的边之比定义为Rymβ，称Rzcβ与Rymβ互为β的“姐弟”函数，已知△ABC 中，∠C=60°。 (1)若∠A=75°，分别求RzcA 和RymA 的值； (2)若RzcA=3，求∠A 的度数； (3)若AC2+BC2=4AB2-2AC·BC，探究RzcA与RymA的数量关系。 21、（10 分）如图，过点 A 作 AD ∥BC 交∠ABC 的平分线于D ，连接 AC ，BD ，AC ⊥BD 于点 O 。若 BC=5，BD AC =2 1，在射线BC 上任取异于点B 的一点N ，连接AN 与BD 交于点M,连接MC 。 （1）当 N 在线段 BC 上时，使 BN=x ，S △MNC=y ，试用含x 的代数式表示y ； （2）若△MNC 为直角三角形，求 BN 的长。 22、（10 分）（1）如图 1，M ，N 分别为△ABC 中 AB ，AC 边中点，连接 BN ，CM ，BN ⊥CM 于点 O ，求证:AB 2+AC 2=5BC 2。 （2）如图 2，AB ∥CD ，AD 与 BC 互相垂直平分于点 G ，AB=CD=2，分别取线段 AG ，BG 的中点 M ，N ，交于点 O 的射线 CM 和射线 DN 分别与 AB 交于点 E ，F ，求OE 2+OF 2的值。 23、（12 分）已知二次函数y=x2+2x-3的图像与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C，抛物线对称轴为直线l，顶点为M，点P 为直线l 上一动点。 （1）抛物线上的一点N 为点 C 关于直线l 的对称点，直线BN 交y 轴于点E，交直线l 于点K，试在x 轴上找一点Q，使得C，E，Q，P 四点围成的四边形周长最小，求出点P，Q 的坐标以及这个周长的最小值； （2）通过初中的学习，我们把点到直线的连线段中最短的垂线段的长度称为点到直线的距离，一般而言，我们通常把点到一个图形上所有点的线段中最短的一条的长度定义为这个点到这个图形的距离，①求顶点M 到直线BN 的距离h；②请找出直线l 上所有到直线BN 的距离等于 h 的点坐标；③动点P 到此抛物线的距离为 3，求出符合条件的所有点P 的坐标