无穷小与无穷大
1.4 无穷小与无穷大
1.4.1 无穷小
1．无穷小量的定义
定义：如果x → x 0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x ) 的极限为零 ,那么把f (x ) 叫做当x → x 0（或x → ∞ ）时的无穷小量，简称无穷小。
例如：因为0)1(lim 1
=-→x x ，所以函数x-1是x →1时的无穷小。 因为01lim =∞
→x x ，所以函数x 1是当x →1时的无穷小。 因为011lim =--∞→x
x ，所以函数x -11是当x →－∞时的无穷小。 以零为极限的数列｛x n ｝，称为当n →∞时的无穷小，n 1，n 3
2 都是n →∞时的无穷小。
注：⑴不能笼统的说某函数是无穷小，说一个函数f(x)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。
⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在x →x 0（或x →∞）时，极限仍为常数本身，并不是零。
⑶常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在x →x 0（或x →∞）时，极限是零。
2.无穷小的性质
在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质：
⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小（无穷多个无穷小之和不一定是无穷小）。 ⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。
⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。（常数与无穷小的乘积仍是无穷小）。 ⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。
例1．求x x x sin lim ∞
→
解：∵1sin ≤x ，是有界函数， 而01lim =∞→x
x ∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。 ∴x x x sin lim ∞
→＝0 3．函数极限与无穷小的关系
定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是该函数的极限。
4．无穷小的比较
例：当x →0时，x, 3x ， x 2, sinx, x
x 1sin 2都是无穷小。 观察各极限：
032
0lim =→x
x x x 2比3x 要快得多 1sin lim 0
=→x x x sinx 与x 大致相同 ∞=?=→→x x x
x x x x sin 1sin lim lim 020 sinx 比x 2慢的多 x x x x x x 1sin 1sin lim lim 0
220→→= 不存在 不可比
极限不同，反映了无穷小趋于0的“速度”是多样的。
得到以下结论：设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小 ⑴如果α
βlim
＝0，则称β是比α高阶的无穷小 ⑵如果α
βlim ＝∞，则称β是比α低阶的无穷小 ⑶如果αβlim ＝k （k ≠0），则称β与α是同阶的无穷小
⑷如果α
βlim ＝1，则称β与α是等价无穷小，记为α～β。 例2．比较当x →0时，无穷小
x x ---111与x 2阶数的高低。 解：因为
111)1()1()1)(1(1111lim lim lim lim 02202020=-=---+-=---→→→→x
x x x x x x x x x x x x x x 所以 x x
---111～x 2
例3．当x →1时，无穷小1－x 与1-x 3是否同阶，是否等价？ 解：31)
1)(1(1112131lim lim =++--=--→→x x x x x x x x 故同阶但不等价。
常用的等价无穷小：
当x →0时，sinx ～ x ； arcsinx ～x ； tanx ～x ；arctanx ～ x ； 1-cosx ～22
1x ，ln(1+x)～x ; e x -1～x ；(1+x)a ～1-ax 1.4.2无穷大
1．无穷大量的定义
如果当x → x 0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x ) 的绝对值无限增大,那么函数f (x ) 叫做当x → x 0（或x → ∞ ）时的无穷大量，简称无穷大。
注：⑴说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋向。如函数x
1是当x → 0 时的无穷大，当x → ∞时，它就不是无穷大，而是无穷小了。
⑵不要把绝对值很大的常数说成是无穷大，因为常数在x →x 0(或x →∞)时极限为常数本身，并不是无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系
定理：在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则)
(1x f 为无穷小；反之，若
f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则)
(1x f 为无穷大。 例4．求453221
lim +--→x x x x 解：当x →1时，分母x 2-5x+4→0，因此不能直接使用商的极限法则，但f(x)的倒数
的极限
03245)(121
1lim lim =-+-=→→x x x x f x x 由无穷大与无穷小的关系可得∞=→)(lim 1
x f x
1．5函数的连续性
1.5.1函数连续性的概念
1．函数的增量
定义：在函数y=f (x )中，当x 由x 0（初值）变化到x 1（终值）时，终值与初值之差x 1-x 0叫做自变量的增量（或改变量），记为Δx= x 1-x 0.
相应的，函数终值f (x )与初值 f (x 0)之差Δy ，叫做函数的增量。
注意：增量Δx 可正、可负；增量Δy 可正、可负或为零。
2．函数y=f (x ) 在x 0的连续性
先观察两个函数的图像的特点
当Δx →0时，Δy →0。 当Δx →0时，Δy 不趋向于零。
定义：设函数y=f(x)在点x 0及其近旁有定义，如果当自变量x 在点x 0处的增量Δx 趋
近于零时，函数y=f(x)相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?也趋近于零，那么就叫做函数y=f(x)在点x 0连续。用极限表示，就是
0lim 0
=?→?y x
或[]0)()(000lim =-?+→?x f x x
f x
定义2：设函数y=f(x)在点x 0及其左右近旁有定义，如果函数y=f(x)当x 1→x 0时的极限存在，且等于它在x 0处的函数值f(x 0),即
)()(0
lim 0x f x f x x =→
那么就称函数f(x)在点x 0处连续。
函数f(x)在点x 0处连续必须满足三个条件：
⑴函数f(x)在点x 0及其左右近旁有定义；
⑵
)(lim 0x f x x →存在； ⑶)()(0
lim 0x f x f x x =→
例5 试证函数?
??=≠=0,1
sin 0,0)(x x x x x f ，在x ＝0处连续。
证明：函数)(x f 在x ＝0及其左右近旁有定义 ∵01sin
lim 0=→x x x f(0)=0 )0()(lim 0
f x f x =→
∴函数)(x f 在x ＝0处连续。
3．函数y=f(x)在区间(a,b)的连续
设函数)(x f 在区间(a ，b]有定义，如果左极限)(lim x f b x -
→存在且等于)(b f ，即
)(lim x f b x -
→＝)(b f ，就说函数)(x f 在点b 左连续。
设函数)(x f 在区间[a ，b ）有定义，如果左极限)(lim x f a x +
→存在且等于)(a f ，
即)(lim x f a x +
→＝)(a f ，就说函数)(x f 在点a 右连续。
定理：函数)(x f 在点x 0处连续?)(x f 在点x 0处既左连续又右连续?)()()(000x f x f x f ==-
+
在区间(a,b)任一点都连续的函数叫做在该区间的连续函数，区间(a,b)叫做函数的连续区间。连续函数的图像是一条连续不断的曲线。
4．复合函数的连续性
设函数)(u f y =在点0u 处连续，函数)(x u ?=在点0x 处连续，且)(00x u ?=，则复合函数()[]x f y ?=在点0x 处连续，即 ()[]()[]()???????
?==→→x x x x x f x f x f ???lim lim 000 例6 求()x x a x +→1log lim 0
解：原式＝()x a x x 101log lim +→＝a
a e e a ln 1ln ln log ==
可以推出：当0→x 时，()x a +1log ～
a
x ln 1．5．2函数的间断点 函数)(x f 在0x 点连续必须满足三个条件，如果这三个条件有一个不满足，则称)(x f 在0x 点不连续（或间断），并称0x 点为)(x f 的不连续点或者间断点。
间断点的分类：
第一类间断点：⑴()()+-=00
x f x f ，但()()()000x f x f x f ≠=+-，或者()0x f 无意义。
⑵()()+
-≠0
0x f x f
不是第一类间断点的其他间断点都称为第二类间断点。
1.5.3 闭区间上连续函数的性质
性质1 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。
注意：⑴若区间是开区间，定理不一定成立。
⑵若区间有间断点，定理不一定成立。
推论：在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界。
性质2 如果函数)(x f 在[]b a ,上连续，且())(b f a f ?＜0，那么至少存在一点ξ∈(a,b)，使得()0=ξf 。
对于方程)(x f ＝0，若满足性质2中的条件，则方程在(a,b)至少存在一个实根ξ，ξ又称为函数)(x f 的零点。
例7 证明方程0142
3=+-x x 在区间（0，1）至少有一个根。
证明：设)(x f ＝1423+-x x ，)(x f 在[]1,0上是连续的，又因为 )0(f ＝1＞0 )1(f ＝－2＜0
根据性质2，至少存在一点ξ∈（0，1），使()0=ξf
即 01423=+-ξξ
从而证得方程01423=+-x x 在区间（0，1）至少有一个根。
判断命题是否正确：如果函数)(x f 在[]b a ,上有定义，在(a,b)连续，且())(b f a f ?＜0，那么 )(x f 在(a,b)必有零点。
解答：不正确。例如函数
)(x f 在（0，1）连续，)0(f ·)1(f ＝－2e ＜0，但)(x f 在（0，1）无零点。 ,01()2,0
e x
f x x <≤?=?-=?