无穷小与无穷大
1.4 无穷小与无穷大1.4.1 无穷小1．无穷小量的定义定义：如果x → x 0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x ) 的极限为零 ,那么把f (x ) 叫做当x → x 0（或x → ∞ ）时的无穷小量，简称无穷小。
例如：因为0)1(lim 1=-→x x ，所以函数x-1是x →1时的无穷小。
因为01lim =∞→x x ，所以函数x 1是当x →1时的无穷小。
因为011lim =--∞→xx ，所以函数x -11是当x →－∞时的无穷小。
以零为极限的数列｛x n ｝，称为当n →∞时的无穷小，n 1，n 32 都是n →∞时的无穷小。
注：⑴不能笼统的说某函数是无穷小，说一个函数f(x)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。
⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在x →x 0（或x →∞）时，极限仍为常数本身，并不是零。
⑶常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在x →x 0（或x →∞）时，极限是零。
2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质：⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小（无穷多个无穷小之和不一定是无穷小）。
⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。
⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
（常数与无穷小的乘积仍是无穷小）。
⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。
例1．求x x x sin lim ∞→解：∵1sin ≤x ，是有界函数， 而01lim =∞→xx ∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
∴x x x sin lim ∞→＝0 3．函数极限与无穷小的关系定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是该函数的极限。
4．无穷小的比较例：当x →0时，x, 3x ， x 2, sinx, xx 1sin 2都是无穷小。
观察各极限：0320lim =→xx x x 2比3x 要快得多 1sin lim 0=→x x x sinx 与x 大致相同 ∞=⋅=→→x x xx x x x sin 1sin lim lim 020 sinx 比x 2慢的多 x x x x x x 1sin 1sin lim lim 0220→→= 不存在 不可比极限不同，反映了无穷小趋于0的“速度”是多样的。
得到以下结论：设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小 ⑴如果αβlim＝0，则称β是比α高阶的无穷小 ⑵如果αβlim ＝∞，则称β是比α低阶的无穷小 ⑶如果αβlim ＝k （k ≠0），则称β与α是同阶的无穷小⑷如果αβlim ＝1，则称β与α是等价无穷小，记为α～β。
例2．比较当x →0时，无穷小x x ---111与x 2阶数的高低。
解：因为111)1()1()1)(1(1111lim lim lim lim 02202020=-=---+-=---→→→→xx x x x x x x x x x x x x x 所以 x x---111～x 2例3．当x →1时，无穷小1－x 与1-x 3是否同阶，是否等价？ 解：31)1)(1(1112131lim lim =++--=--→→x x x x x x x x 故同阶但不等价。
常用的等价无穷小：当x →0时，sinx ～ x ； arcsinx ～x ； tanx ～x ；arctanx ～ x ； 1-cosx ～221x ，ln(1+x)～x ; e x -1～x ；(1+x)a ～1-ax 1.4.2无穷大1．无穷大量的定义如果当x → x 0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x ) 的绝对值无限增大,那么函数f (x ) 叫做当x → x 0（或x → ∞ ）时的无穷大量，简称无穷大。
注：⑴说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋向。
如函数x1是当x → 0 时的无穷大，当x → ∞时，它就不是无穷大，而是无穷小了。
⑵不要把绝对值很大的常数说成是无穷大，因为常数在x →x 0(或x →∞)时极限为常数本身，并不是无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系定理：在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则)(1x f 为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则)(1x f 为无穷大。
例4．求453221lim +--→x x x x 解：当x →1时，分母x 2-5x+4→0，因此不能直接使用商的极限法则，但f(x)的倒数的极限03245)(1211lim lim =-+-=→→x x x x f x x 由无穷大与无穷小的关系可得∞=→)(lim 1x f x1．5函数的连续性1.5.1函数连续性的概念1．函数的增量定义：在函数y=f (x )中，当x 由x 0（初值）变化到x 1（终值）时，终值与初值之差x 1-x 0叫做自变量的增量（或改变量），记为Δx= x 1-x 0.相应的，函数终值f (x )与初值 f (x 0)之差Δy ，叫做函数的增量。
注意：增量Δx 可正、可负；增量Δy 可正、可负或为零。
2．函数y=f (x ) 在x 0的连续性先观察两个函数的图像的特点当Δx →0时，Δy →0。
当Δx →0时，Δy 不趋向于零。
定义：设函数y=f(x)在点x 0及其近旁有定义，如果当自变量x 在点x 0处的增量Δx 趋近于零时，函数y=f(x)相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆也趋近于零，那么就叫做函数y=f(x)在点x 0连续。
用极限表示，就是0lim 0=∆→∆y x或[]0)()(000lim =-∆+→∆x f x xf x定义2：设函数y=f(x)在点x 0及其左右近旁有定义，如果函数y=f(x)当x 1→x 0时的极限存在，且等于它在x 0处的函数值f(x 0),即)()(0lim 0x f x f x x =→那么就称函数f(x)在点x 0处连续。
函数f(x)在点x 0处连续必须满足三个条件：⑴函数f(x)在点x 0及其左右近旁有定义；⑵)(lim 0x f x x →存在； ⑶)()(0lim 0x f x f x x =→例5 试证函数⎩⎨⎧=≠=0,1sin 0,0)(x x x x x f ，在x ＝0处连续。
证明：函数)(x f 在x ＝0及其左右近旁有定义 ∵01sinlim 0=→x x x f(0)=0 )0()(lim 0f x f x =→∴函数)(x f 在x ＝0处连续。
3．函数y=f(x)在区间(a,b)的连续设函数)(x f 在区间(a ，b]有定义，如果左极限)(lim x f b x -→存在且等于)(b f ，即)(lim x f b x -→＝)(b f ，就说函数)(x f 在点b 左连续。
设函数)(x f 在区间[a ，b ）有定义，如果左极限)(lim x f a x +→存在且等于)(a f ，即)(lim x f a x +→＝)(a f ，就说函数)(x f 在点a 右连续。
定理：函数)(x f 在点x 0处连续⇔)(x f 在点x 0处既左连续又右连续⇔)()()(000x f x f x f ==-+在区间(a,b)任一点都连续的函数叫做在该区间的连续函数，区间(a,b)叫做函数的连续区间。
连续函数的图像是一条连续不断的曲线。
4．复合函数的连续性设函数)(u f y =在点0u 处连续，函数)(x u ϕ=在点0x 处连续，且)(00x u ϕ=，则复合函数()[]x f y ϕ=在点0x 处连续，即 ()[]()[]()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==→→x x x x x f x f x f ϕϕϕlim lim 000 例6 求()x x a x +→1log lim 0解：原式＝()x a x x 101log lim +→＝aa e e a ln 1ln ln log ==可以推出：当0→x 时，()x a +1log ～ax ln 1．5．2函数的间断点 函数)(x f 在0x 点连续必须满足三个条件，如果这三个条件有一个不满足，则称)(x f 在0x 点不连续（或间断），并称0x 点为)(x f 的不连续点或者间断点。
间断点的分类：第一类间断点：⑴()()+-=00x f x f ，但()()()000x f x f x f ≠=+-，或者()0x f 无意义。
⑵()()+-≠00x f x f不是第一类间断点的其他间断点都称为第二类间断点。
1.5.3 闭区间上连续函数的性质性质1 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。
注意：⑴若区间是开区间，定理不一定成立。
⑵若区间有间断点，定理不一定成立。
推论：在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界。
性质2 如果函数)(x f 在[]b a ,上连续，且())(b f a f ⋅＜0，那么至少存在一点ξ∈(a,b)，使得()0=ξf 。
对于方程)(x f ＝0，若满足性质2中的条件，则方程在(a,b)至少存在一个实根ξ，ξ又称为函数)(x f 的零点。
例7 证明方程01423=+-x x 在区间（0，1）至少有一个根。
证明：设)(x f ＝1423+-x x ，)(x f 在[]1,0上是连续的，又因为 )0(f ＝1＞0 )1(f ＝－2＜0根据性质2，至少存在一点ξ∈（0，1），使()0=ξf即 01423=+-ξξ从而证得方程01423=+-x x 在区间（0，1）至少有一个根。
判断命题是否正确：如果函数)(x f 在[]b a ,上有定义，在(a,b)连续，且())(b f a f ⋅＜0，那么 )(x f 在(a,b)必有零点。
解答：不正确。
例如函数)(x f 在（0，1）连续，)0(f ·)1(f ＝－2e ＜0，但)(x f 在（0，1）无零点。
,01()2,0e xf x x <≤⎧=⎨-=⎩。
第三节 无穷大与无穷小
无穷大与无穷小无穷大与无穷小的定义：（用→x ＊表示某一极限变化过程）()0lim =→x f x ＊，则称()x f 是→x ＊下的无穷小量。
()()()lim (lim;lim)x x x fx fx fx →→→=∞=+∞=-∞＊＊＊，则称()x f 是→x ＊下的无穷大量。
无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大，则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
注：1.无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
2.无穷大与无界的区别。
无穷小与极限在自变量的同一变化过程0x x →（或∞→x ）中，()()lim x x f x a f x a β→=⇔=+0，β是该变化过程中的无穷小量. 无穷小的运算1.有限个无穷小的和也是无穷小。
2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。
推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
注：1.无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。
2.无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。
例如，当∞→n 时，n1是无穷小，n2个这种无穷小之和的极限显然为2。
3.无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。
4.无穷多个无穷小量之积也未必是无穷小量。
极限的运算在给定极限过程中，()lim f x 和()lim g x 都存，且()A x f =lim ，()B x g =lim 。
则有如下运算法则成立：（1）()()[]()()B A x g x f x g x f +=±=±lim lim lim （2）()()CA x f C x Cf ==lim lim（3）()()()()AB x g x f x g x f =⋅=lim lim lim ()[]()[]n nnA x f x f ==lim lim（4）()()()()()0lim lim lim≠==B BA x g x f x g x f注意：1.上面运算法则是在()lim f x 和()lim g x 都存在的情况下成立的；2. ()lim f x 、()lim g x 、()()lim f x g x +⎡⎤⎣⎦、()()lim f x g x -⎡⎤⎣⎦这四个极限中：（1）任何两个存在都能得到另两个存在；（2）如果其中一个存在，一个不存在，则另两个必不存在。
无穷小与无穷大
无穷小。
2）如果函数 为无f (穷x)小，且
则
为无f 1(穷x)大。
1
为f (x)
f (x) 0
1.4 具有极限的函数与无穷小的关系
定理8 在自变量的同一变化过程中， 1）具有极限的函数等于极限值与一
个无穷小的和。
2）如果函数可表为常数与无穷小之 和，则该常数就是函数的极限值。
即若函数 f (x)在x x（0 或x ）时的极限 为A，则 f (x) A (x) 或简记为 y A 。其 中 (x) 为 x x0（或 x ）时的无穷
数学
无穷小与无穷大
1.1 无穷小
当 x x（0 或x ）时，函数 f (x) 的极限为
零，则称函数 f (x)当x x（0 或 x ）时为无穷小。
定义7如果对于任意给定的 0 总存在 0 （或 M>0 ），使得对于适合不等式 0 x x0 （或 x M）的一切x，对应的函数值f (x) 都满足
例
试证当
x
1
时，f (x)
1 x 1
是无穷大量。
证明对任意给定的正数M，要使
x
1 1
M
只须 x 1 1 M
所以取值
1 M
则对于
适合 0
x 1
的一切x，有
1 M x 1
。
这就证明了
lim 1 x1 x 1
。
1.3无穷小与无穷大之间的关系
定理7 在自变量同一变化过程中，
1）如果函数 为无f (穷x)大，则
3）因为
Lim csc x cot x Lim 1 cos x Lim
sin 2 x 2
sin x Lim 2
1
1 1
x0
2.3无穷小与无穷大
lim 则 lim [ f ( x ) − A] = x → x α ( x ) = 0.
于是，对 ∀ε > 0, ∃δ > 0,当 | x − x0 |< δ 时， 于是， | f ( x ) − A − 0 |=| f ( x ) − A |< ε .
x → x0 →
0
∴ lim f ( x ) = A.
第三节 无穷小与无穷大 要 点
无穷小量与无穷大量概念 无穷小与无穷大性质关系
无穷小量 ( infinitesimal ) 例
1 x → 0, sin x → 0, x sin → 0, x 当 x→1, ln x → 0 , ( x − 1)3 → 0 , →
2
当 x→0 →
当 x→∞ , →∞ 1 − x2 →0, e →0, x 1 当 n→∞ → 0. n
0
图形的垂直渐近线 图形的垂直渐近线. 垂直渐近线
注意
无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 极限存在； 不可认为 lim f ( x ) = ∞ 极限存在； x→ • 无穷大是一种特殊的无界变量, 无穷大是一种特殊的无界变量, 但 是无界变量未必是无穷大. 是无界变量未必是无穷大.
1 f ( x) < , 于是 ⇒ M
1 由于 f ( x ) ≠ 0, ∴ x → x0 , 是无穷大量. 是无穷大量 f ( x)
关于无穷大的讨论, 意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关 于无穷小的讨论. 于无穷小的讨论.
例
研究 x→0 时， 函数 是否为无穷小. 是否为无穷小
1+ e 1+ e
1 1 , 取δ= , 只要 x − 1 < M M 1 1 当0 < x − 1 < δ = 时 , 就有 > M. M x −1 1 ∴ lim = ∞. x →1 x − 1
无穷小量与无穷大量
2
lim ( x + 3 x)
2
0 正解：∵ lim 正解 = = =0 ， x→2 x 2 + 3 x lim ( x 2 + 3 x) 10
x →2 x →2
x−2
lim ( x − 2)
x + 3x ∴ lim =∞ 。 x→2 x − 2
2
例.求下列极限
3x − 4 x + 2 ∞ （1） lim ( 型 ) 3 x→∞ 7 x + 5 x − 3 ∞ 3 4 2 − + 2 x x 2 x3 3x − 4 x + 2 解：※ 若 a0 ⋅b0 ≠ 0 ， m, n∈N + ，则 = 0 ； lim = lim 5 3 x→∞ 7 x 3 + 5 x − 3 x→∞ 7+ − 2 3 x ax 0 3 b , 当 m = n, 7 x + 5 x n−1 ∞ −3 （2） lim x n + a x +L型 0 ( + a) a0 2 1 x→ lim ∞ 3x − 4 xm−1 ∞ n = ∞, 当 m < n, +2 m x →∞ b x + b x +L+ bm 0 1 0, 当 m > n. 3 7 x +5x −3 解： lim =∞ 。 2 x→∞ 3 x − 4 x + 2
无穷小量和无穷大量
1.无穷小量 1.无穷小量
定义 1
若 lim X = 0 ，则称 X 为该极限过程中的
无穷小量，简称无穷小。
例如：当 x → 0 时， sin x 和 tan x 是无穷小量；
当 x → xo 时， x− xo 是无穷小量；
无穷小与无穷大,极限运算法则
例如, n 时, 1 是无穷小， n
但n个 1 之和为1不是无穷小. n
2019/10/13
13
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如,当x 0时, x sin 1 , x2 arctan 1 都是无穷小
lim x 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
2019/10/13
22
例4
求
lim
x
3x2 2x 1 x3 3x 5
(
型
)
无穷小因子分出法
解 x 时,分子,分母的极限均为无穷大.
方 法 先用 x 3去除分子分母, 分出无穷小,
再求极限.
lim
如果对于任意给定的正数m不论它多么大总存在正数使得对于满足不等式的一切x对应的函数值注意1无穷大是变量不能与很大的数混淆
第四节 无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
2019/10/13
1
一、无穷小
1. 定义 (无穷小): 如果函数 f (x)当 xx0 (或x ) 时的极限为零, 则称函数 f (x) 当 xx0 (或 x)时 为无穷小.
是由函数 y f (u) 与函数 u g( x) 复合而成, f [g( x)]
在点 x0 的某去心邻域内有定义,
若
lim
x x0
g(
x)
u0，
o
lim
uu0
f (u) A，且存在0 0,
当 x U ( x0 , 0 ) 时,
高数无穷大无穷小
2
4
6
-5
-10
2．无穷大量的性质
(1)若limX A，limY ,则lim(X Y)
(2)若limX A 0，limY ,则lim(X Y) (3)若limX ，limY ,则lim(X Y) (4)若limX ，X Y,则limY (5)若limX ，则lim（ X ) (6)若limX ，则lim 1 0;
注意 ① 无穷小量是以0为极限旳变量；
② 无穷小量不一定是零，零作为函数来讲是 无穷小量；
③ 讲一种函数是无穷小量，必须指出自变量 旳变化趋向；
④ 任何非零常数，不论其绝对值怎样小，都 不是无穷小量。
2.无穷小量的性质
性质 1：若 X , Y 都是无穷小量，则X Y, X Y 也是无穷小量；
注意：无限个无穷小量的和与积不一定是无穷小量。
（2） lim ( 3 1 ) . x1 1 x3 1 x
3
lim
x1
( 1
x
3
1 1
) x
lim
x1
3 1 x3
lim
x1
1 1
x
0
。错解
正解：
xlim1(13x3
1 1
x
)
lim
x1
2x 1
x2 x3
xlim1(1(1x)x(1)(2xxx)2 ) xlim112xxx2 1.
无穷小量旳比较
例3．求下列极限：
（1）求 lim x0
tan x sin x x2 arctan x
；
tan sin x
tan x(1 cos x)
解：
lim
x0
x2
arctan
x
大学一年级 1(4)无穷小与无穷大
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x) 0. x x
1 M 0, 此时对 , 0, 使得当 M 1 0 x x0 时, 有 f ( x ) , 由于 f ( x ) 0, M 1 从而 M. f ( x) 1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
类似可证明 x 的情形.
0
11
无穷小与无穷大
例 x 2时,函数3 x 1可表为
3x 1 5 ( 3 x 6)
(其中 x 6是x 2时的无穷小 3 ,即
lim( 3 x 6) 0)
x2
故得 lim( 3 x 1) 5.
x2
12
无穷小与无穷大
x
注 1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆; “无穷小量”并不是表达量的大小,而是表 达它的变化状态的. “无限制变小的量”
2) 零是可以作为无穷小的唯一的数.
4
无穷小与无穷大
二、无穷小的性质
性质1 x 是无穷小 x 是无穷小。 性质2 （比较性质） 若 x 是无穷小，且
四、无穷大的概念
绝对值无限增大的变量称为 无穷大.
1 如, 当x 0时, 函 数 , cot x 是无穷大; x
当x 时,函数x 2 , x 3 是无穷大.
13
无穷小与无穷大
定义3 M 0(不论它多么大 0 (或X 0), ),
使得当0 | x x0 | (或 | x | X ),恒 有
证 设 lim f ( x )
x x0
1 此时对 M , 0, 使得当 0,
0 x x0 时,有 f ( x ) M ,即 1 . f ( x)
物理学中的无穷大与小
物理学中的无穷大与小在物理学中，我们经常会听到无穷大和无穷小这两个概念。
那么，它们究竟是什么呢？在这篇文章里，我们将深入探讨这两个古老而又神秘的概念。
一、无穷大无穷大是指一个数可以趋近于正无穷或负无穷，但是永远无法达到。
在物理学中，我们常常会使用这个概念来描述极端的情况，比如我们经常听到“速度趋近于无穷大”或者“质量趋近于无穷大”。
在物理学中，无穷大的概念通常与粒子物理、宇宙学和黑洞等领域相关。
例如，在粒子物理中，描述微观粒子的电荷、质量和能量时，我们常常需要使用无穷大这个概念。
另外，在描述黑洞的质量和半径时，我们也常常使用无穷大。
虽然无穷大在物理学中可以非常有用，但是也存在着一些问题。
例如，在一些情况下，无穷大的概念可能与现实世界中的物理实际不符。
因此，我们需要在使用无穷大时谨慎地考虑其适用性。
二、无穷小与无穷大不同，无穷小是指一个数可以趋近于零，但永远不会等于零。
在物理学中，无穷小常常用于描述一些极端的物理现象，例如微小颗粒的运动和量子力学中的粒子。
在这些情况下，我们经常需要使用无穷小来对微观粒子的运动进行描述。
另外，无穷小在物理学中也有着广泛的应用。
例如，在描述物体的加速度和速度变化时，我们常常使用无穷小。
又如，在描述量子力学中的粒子波动时，我们也会使用无穷小这个概念。
虽然无穷小在物理学中有着广泛的应用，但是也存在着一些问题。
例如，在某些情况下，无穷小的概念可能与现实世界中的物理实际不符。
因此，我们需要在使用无穷小时谨慎地考虑其适用性。
三、结论在本文中，我们详细探讨了物理学中的无穷大和无穷小的概念。
尽管它们在物理学中经常被使用，我们也深刻理解到了它们的局限性和适用性。
在以后的学习中，我们需要谨慎地应用这些概念，以便更好地理解物理世界。
无穷小与无穷大概述
无穷小与无穷大概述分布图示★ 无穷小★ 无穷小与函数极限的关系 ★ 例1 ★ 无穷小的运算性质 ★ 例2 ★ 无穷大★ 例3 ★ 例4★ 无穷小与无穷大的关系★ 例5 ★ 例6★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1- 6内容要点一、无穷小的概念二、无穷小的运算性质有限个无穷小的代数和仍是无穷小 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.三、无穷大的概念四、无穷小与无穷大的关系例题选讲概念与无穷小的运算性质例1 根据定义证明: xx y 1sin 2=当0→x 时为无穷小. 证 ,0>∀ε要使,1sin 01sin222ε<≤=-x xx x x 只须,ε<x 取,εδ=则当δ<-<00x 时，恒有ε<-01sin 2xx ∴.01sinlim 20=→xx x 证毕 .例2 (E01) 求 xxx sin lim ∞→.解 因为x xx x x x sin 1lim sin lim ⋅=∞→∞→，而当∞→x 时,x1是无穷小量,x sin 是有界量),1sin (≤x 所以, .0sin lim =∞→x xx例3 (E02) 证明 ∞=-→11lim1x x .证 ,0>M ∀要使,11M >-x 只要,11M <-x 取,1M =δ则当 M=<-<110δx 时， 就有.11M >-x 所以 .11lim 1∞=-→x x例4 证明 ).1()1(lim >+∞=-+∞→a a xx证 ,0>M ∀取),1(log +M =X a 当X >x 时，有1)1(log +M ==>+M X a a a a x从而+∞=-+∞→)1(lim x x a ，即当+∞→x 时, )1(-x a 是无穷大 .无穷大的概念例5 (E03) 当0→x 时, xx y 1sin 1=是一个无界变量, 但不是无穷大. 证 取0→x 的两个子列：,2211ππ+=k x k ).,2,1(,212==k k x k π则),(01∞→→k x k ),(02∞→→k x k 且,22)(1ππ+=k x y k 故,0>M ∀,0>K ∃使,)(1M >k x y 即y是无界的；但02sin 2)(2==ππk k x y k),,1,0( =k 所以xx y 1sin 1=不是无穷大.无穷小与无穷大的关系例6 (E04) 求 5lim 34+∞→x x x .解 因为0)51(lim 5lim 443=+=+∞→∞→xx x x x x ，根据无穷小与无穷大的关系有.5lim 34∞=+∞→x x x。
无穷小与无穷大
x
x
1 1 − 1 1 千万注意： 不是因子不能用等价无穷小量替换。 如 lim n n + 1 = 1 ， 显然不能用 替 n→∞ 1 n +1 n 2 n
对于无穷大量同样可以进行阶的比较，留给同学们练习。 最后给出一个很有用的表达式：
f ( x) ∽ g ( x) ( x → a) 即 lim
解：原式 = lim x(
x →∞
从而 a = lim(
x →∞
⇒ b = lim(
x →∞
−x x2 − x) = lim = −1 x → ∞ x +1 x +1
#
故取 δ = min{ , 由定义立即可得
Th3
若 f ( x) 为 x → a 时的无穷小，且 f ( x) ≠ 0 ，则
1 为 x → a 时的无穷大；若 f ( x)
f ( x) 为 x → a 时的无穷大，则
1 为 x → a 时的无穷小。 f ( x)
因此，无穷大量的研究完全可以归结为无穷小量的研究。
2、 一般书上 u ( x) = O (v( x)) 表示 |
u ( x) |≤ L v( x)
在求某些函数乘积的极限时，往往可以用等价无穷小量来代替。
Th5 若 F ( x) ∽ f ( x) ， G ( x) ∽ g ( x) ( x → a) 且 lim
F ( x) = A （或 ∞ ） x →a G ( x)
§1.7
无穷小与无穷大
考虑函数趋于极限的快慢程度。 f ( x) 以 b 为极限等价于 f ( x) − b 以零为极限，故可归 结为以 0 为极限的变量趋于 0 的速度。 一、无穷小（量） 定义 1、 lim f ( x) = 0 ，则称 f ( x) 为当 x → a 时的无穷小量，简称为无穷小。