2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1

绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1 ?答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2 ?作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3?非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求

作答无效。

4?考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

已知集合A={x|x<1}, B={x| 3x：：：1}，则

A. A B 二{x|x ：：0}

B. A B = R

如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图?正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方

形的中心成中心对称?在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

1.

2.

C. A B = {x | x >1}

D. A B =

3.

1

A.-

4

B.

设有下面四个命题

1 _

P1 :若复数z满足—

z

C.丄

2 D.

P2 :若复数z满足

P3:若复数乙，Z2满足乙z2 ? R，贝U乙二Z2 ；P4 :若复数

其中的真命题为

A. P1, P3

B. P1, P4

C. P2, P3

D. P2 , P4

4.记S n为等差数列｛a n｝的前n项和.若a4a^ - 24 , S6 - 48，则｛a n｝的公差为

A. 1

B. 2

C. 4

D. 8

2

2

5

?函数f (x)在

(-；=)单调递减，且为奇函数?若

f(1)=-1，则满足-仁f(x-2)<1的x 的取值范

围是 A . [一2,2]

B . [-1,1]

C [0,4]

D [1,3]

1

6. (^ —)(1

x)6展开式中x 2的系数为

x

A . 15

B . 20

C. 30

D. 35

7 ?某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长 为2,俯视图

为等腰直角三角形 .该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

&右面程序框图是为了求出满足 3n -2n >1000的最小偶数n,那么在

和=两个空白框中，可以分别填入

A. A >1 000 和 n =n +1 B . A >1 000 和 n =n +2 C. A< 1 000 和 n =n +1 D. A< 1 000 和 n =n +2

2 n

x +2 n )，则下面结论正确的是

3

到曲线C 2

到曲线C 2

A . 10

B . 12 C. 14 D. 16

9.已知曲线 C : y =cos x , C 2: y =sin (2

A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的

2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

丄个单位长度，得 6

B .把

C 上各点的横坐标伸长到原来的

2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

卫个单位长度,

12

C.把C 上各点的横坐标缩短到原来的

1

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

n

个单位长度，得

6

1 n

D.把G上各点的横坐标缩短到原来的丄倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移上个单位长度,

212得到曲线G

10.已知F为抛物线C:2

y =4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线I1, I2,直线l 1与C交于A、B两点,

直线丨2与C交于D E两点，贝U

|AB+|

DE的最小值为

A. 16

B. 14

C. 12

D. 10

11 .设xyz为正数，且2x =3y =5z，则

A. 2x<3y<5z

B. 5z<2x<3y

C. 3y<5z<2x

D. 3y<2x<5z

12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解

数学题获取软件激活码”的活动?这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1 , 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1 , 2, 4, 8, 16,,,其中第一项是2°,接下来的两项是2°, 21,再接下来的三项是20, 21, 22，依此类推。求满足如下条件的最小整数N N>100且该数列的前N项和为2的整数幕。那么该款软件的激活码是

A. 440

B. 330

C. 220

D. 110

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量a, b 的夹角为60°, | a|=2 , | b|=1，则| a +2 b |=.

x 2y _1

14. 设x, y满足约束条件2x，y〕：：T，则z=3x-2y的最小值为?

x -y 三0

2 2

15. 已知双曲线C：笃一爲=1 （a>0, b>0）的右顶点为A,以A为圆心，b为半径做圆A,圆A与双曲线

a b

C的一条渐近线交于M N两点。若/ MAN600,贝U C的离心率为___________ 。

16?如图，圆形纸片的圆心为0,半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为Q D E、F为圆O 上的点，△ DBC^ ECA △ FAB分别是以BC CA AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC CA AB为折痕折起△ DBC △ ECA △ FAB使得D E、F重合，得到三棱锥。当△ ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______________________ 。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17~21题为必考题，每个试题考（一）必考题：共60分。

(1 )求 sin B sin C ;

(2)若 6cos B cos C =1, a =3,

(2)若 PA=PD=AB=DC , Z APD =90 :求二面角 APBC 的余弦值.

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 其尺寸(单位：cm ).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分 布 N(W).

(1)假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 -3匚，?一 3匚)之外的零件

数，求P(X _1)及X 的数学期望；

(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 (」-3匚，」之外的零件，就认为这条生产线在这一 天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

(i) 试说明上述监控生产过程方法的合理性；

(ii)

下面是检验员在一天内抽取的 16个零件的尺寸：

的第i 个零件的尺寸，i J 2， (16)

用样本平均数X 作为，的估计值？，用样本标准差s 作为二的估计值 夕，利用估计值判断是否需对 当天的生产过程进行检查？剔除

(4-3；?,申3；?)之外的数据，用剩下的数据估计 亠和二(精确到0.01 ).

附：若随机变量 Z 服从正态分布 N (巴坊2)，贝V P(?—3^ vZ v?+3b ) = 0.997 4 ,

0.997 416 二 0.959 2 , 一 0.008 : 0.09 .

20. (12 分)

x 2

2

^^3

^^3

已知椭圆 C ：笃 +每=1 (a >b >0),四点

P 1 (1,1 ), F 2 (0,1 ), P 3 ( - 1,——),F 4

(1,——)中恰有

a b

2 2

17. (12分)△ ABC 的内角A , B, C 的对边分别为a , b , c ,已知△ ABC 的面积为

2

a

3sin A

18. (12 分)

(1)证明：平面PABL 平面

PAD

19. (12 分)

16个零件，并测量

9.95

10.12 9.96 9.96 10.26

9.91

10.13

10.02

10.01 9.92 9.98 10.04 9.22

10.04 10.05

9.95

16

1 16 _

2 ■ 1 16

经计算得 X = 1

X i =9.97 , s=、1 7 (X j -x)2 =」1 r x 2 -16x 2)2、0.212,其中为为抽取

16 i^ \16i^ .16 y

如图，在四棱锥P-ABCD 中,

三点在椭圆C上.

(1 )求C的方程；

(2)设直线I不经过P2点且与C相交于A B两点。若直线P2A与直线F2B的斜率的和为-1,证明：I 过定点.

21. ( 12 分)

已知函数((X)二a e^+y- 2) e x-x.

(1)讨论f (x)的单调性;

(2)若f(x)有两个零点, a的取值范围

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. ［选修4—4:坐标系与参数方程］(10分)

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为［x-3cos￡,( &为参数)，直线|的参数方程为

』=si

"x =a +4t

x a 4t( t为参数).

y =1 -t,

(1)若a=-1，求C与I的交点坐标；

(2)若C上的点到l的距离的最大值为.17，求a.

23. ［选修4 —5:不等式选讲］(10分)

已知函数f (x) = - x +ax+4, g(x)= | x+1 | + | x - 1 | .

(1)当a=1时，求不等式f (x)> g (x )的解集；

(2)若不等式f (x)> g (x)的解集包含［-1,1］，求a的取值范围.

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理科数学参考答案

、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。

1. A

2. B

3. B

4. C

5. D

6. C

7. B

8. D

9. D

10. A 11. D

12. A

二、填空题: 本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。

13. 2 3

14

.-5 15.

2、3

16. 115cm 3

3

三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60分。

2

17. (12分)△ ABC 的内角A , B, C 的对边分别为 a , b , c ,已知△ ABQ 的面积为

一

3sin A

(1 )求 sin B sin C ;

(2)若 6cos B cos C =1 , 8=3,求厶 ABC 的周长. 解: (1)

由题意可得

bcs

in 2

2

a

3sin A

化简可得 2a 2 =3bcsin 2A ,

一 2 根据正弦定理化简可得： 2sin 2A=3sin BsinCsin 2A= sin BsinC -。

3

(2)

2

sin BsinC =—

I

3

严 1 cos B cosC =- I. 6 cos A 二-cos A B 二 sin

1

BsinC-cosBcosC 二-=■

2

n 因此可得B =「C ,

2

将之代入sinBsinC

中可得:

3

二

\ 3 1 2

sin ------ C sinC sinCcosC sin C = 0 , 3 2 2

化简可得 tanC 二

，即 n 2 -

.2

2

利用正弦定理可得b = —in B = 3

—決1 =、3 ,

si nA

73 2

2

同理可得c = . 3 故而三角形的周长为 3 ^3。

18. （ 12 分）

如图，在四棱锥 P-ABCD 中, AB//CD ，且 ￡ BAP /CDP =90

(1) 证明：平面 PABL 平面PAD

(2) 若 PA =PD=AB=DC Z APD =90 :求二面角 APBC 的余弦值. (1) 证明:

AB//CD,CD _ PD. AB _ PD ,

又.AB _ PA, PA 一 PD = P , PA PD 都在平面 PAD 内, 故而可得AB _ PAD 。

又AB 在平面PAB 内，故而平面 PABL 平面PAD (2) 解：

不妨设 PA 二 PD 二 AB 二 CD = 2a ,

以AD 中点O 为原点，OA 为x 轴，OP 为z 轴建立平面直角坐标系。 故而可得各点坐标： P 0,0,、、2a , A . 2a,0,0 ,B .2a,2a,0 ,C r2a,2a,0 , 因此可得 PA 二.2a,0, - .2a ,PB

二.2a,2a,-、、2a , PC 二-、、2a,2a,- .2a ,

假设平面PAB 的法向量q=(x,y,1),平面

PBC 的法向量n 2=(m, n,1).

PA = 2ax -、、2a = 0 = x = 1 □ PB - 2ax -2ay -、、2a =0= y = 0

n 2 卩C -

、2am 2an -

、2a = 0=

故而可得

同理可得

，即n 1 0,E

n2卩B 二.2am 2an「eU a =0= n

，即n2 -

.2

2

很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为

3

19. （ 12 分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取

16个零件，并测量

其尺寸（单位：cm ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分 布 N

（ W ）.

（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 e - 3二3二）之外的零件 数，求P （X _1）及X 的数学期望；

（2） 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 （二-3] 氏）之外的零件，就认为这条生产线在这一 天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

（i ） 试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ii ） 下面是检验员在一天内抽取的 16个零件的尺寸：

X i =9.97 , s F ■... (X j -x)2 L x 2-

经计算得 x

16x 2)2、0.212,其

中 X i 为抽取

的第i 个零件的尺寸，i =1,2， (16)

用样本平均数x 作为，的估计值?，用样本标准差s 作为二的估计值 去，利用估计值判断是否需对 当天的生产过程进行检查？剔除

（申-3；?,申3；?）之外的数据，用剩下的数据估计’和二（精确到0.01 ）.

附：若随机变量 Z 服从正态分布 N （巴坊2），贝V P （卩—

0.997 416 二 0.959 2 , 0.008 : 0.09 ?

解：(1) P X -1 =1—P X =0

—0.997416 =1 —0.9592 =0.0408

由题意可得，X 满足二项分布 X ~ B 16,0.0016 , 因此可得 EX 16,0.0016 =16 0.0016 =0.0256

（2）

。由（1）可得P X -1 =0.0408 ：：： 5%，属于小概率事件, 故而如果出现（” 一3= " 3二）的零件，需要进行检查。

因此法向量的夹角余弦值:

9.95

10.12 9.96 9.96 10.26

9.91

10.13

10.02

10.01 9.92 9.98 10.04 9.22

10.04 10.05

9.95

16 , 16 16 7 \ 16y

；16 y

囤由题意可得」=9.97匸=0.212= 1 -3；丁= 9.334/ 3；丁= 10.606 ,

—8k 1 ?4k 假设 A x n y 1 ， B X 2, y 2 此时可得:

2

工

工

2、

8(1+k ) 1—4(1+k )

2

i

2

0 k +1 4k +1

,B

2 , 2 ，

(4(1 +k ) +1 4(1 +k ) +1 丿

故而在9.334,10.606范围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。

2

故而可得椭圆的标准方程为：

— y 2 = 1 0 4

由题意可得直线 F 2A 与直线F 2B 的斜率一定存在,

不妨设直线 P 2A 为：y=kx ，1,P 2B 为：y=1-kxT .

x 2 2 = 4k 2 1 x 2 8kx =0，

7 y

可

此时…=x 」9

7

16

亠22

=10.02，

15

15

—Z (x —x )吒0.09。 15 i 4

20. ( 12 分)

已知椭圆

C 7 b 2=1 （a >b >0），四点 P1（" ），”0,1 ），”1，扌），P4（ 1，捋）中恰有

三点在椭圆C 上.

（1 ）求C 的方程;

（2）设直线I 不经过P z 点且与C 相交于 A B 两点。若直线 PA 与直线F 2B 的斜率的和为-1,证明：I 过定点. 解:（ 1）

根据椭圆对称性可得，P （ 1,1）P 4（ 1J 3）不可能同时在椭圆上,

2

P 3 (- 1，虫),P 4 ( 1,

3

2

）一定同时在椭圆上,

2

因此可得椭圆经过

R （0,1）,甘-

1,

），P4（ 1，丰

），

代入椭圆方程可得:

b =1丄 3 =1二

a 2 4

(2) 联立

仁 0 a < 1 ,

要使得函数有两个零点，亦即极小值小于

0,

1

1 故而可得 In a 1 ：： 0 a 0，令 g a = In a 1 , a a

」 “ 1 又 g 1 ；=0 , g a = In a

-一 a

因此可得函数有两个零点的范围为 a^[0,1 。此时可求得直线的斜率为:

k AB=g

x 2 7

1_4(1+k f 1 -4k 2

------------------ 2

2~

4(1 +k ) +1 4k +1 81k -8k

------------------ 2

2~

4(1 +k )+1 4k +1

化简可得k AB 二

_ 2

(1+2k )

，此时满足k

21. ( 12 分)

已知函数

f(x)

解:

1 时 2

AB 两点重合，不合题意。

直线方程为:

2

4k 4k -1 x

2

1 2k

y = ------------- 2 x 2 5— (1+2k $( 4k 2+1 丿 4k 2+1

当x = 2时，y - 一1，因此直线恒过定点

2,-1。

2x

x

+(a — 2) e - x .

(1)讨论f (x)的单调性;

(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.

(1) 对函数进行求导可得 f' x 二2ae

2x

a 「2 e x 「1 二 ae x 「1 e x 1。

(2) CD 当a 减，在 -0时，f' x i ；h[ae x -1 e x 1 - 0恒成立，故而函数恒递减

0 时，f' x = ae x -1 e x

1 0= x

吒上单调递增。

函数有两个零点，故而可得

a 0，此时函数有极小值

l n 1，故而可得函数在

a

|n — I 上单调递

I ' a 丿

f ln 丄 I a 丿

对函数进行求导即可得到 g' a 二 a 1

a 2

-0，故而函数恒递增,

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. ［选修4—4:坐标系与参数方程］（10分）

爲:（t 为参数.

x - 3cos —i 1 1

点y*n J 到直线y 「x 1 丁的距离为d =

即：3cosT+4sinB+a-4 <17 ,

化简可得 -17 - a -4 岂3cosv 4sin v ：：17 - a - 4 , 根据辅助角公式可得

-13 - a 乞5sin <亠'：「. 21 - a ,

又 -5 _5sin v ■’ ":: 5，解得 a - -8 或者 a =16。

23. ［选修4 — 5:不等式选讲］(10分)

已知函数 f (x ) = - x +ax +4, g (x )= | x +1 | +| x - 1 | . (1) 当a =1时，求不等式f (x )> g (x )的解集；

(2) 若不等式f (x )> g (x )的解集包含［-1,1］，求a 的取值范围 解：

：2x x>1

将函数g (x )= x +1| +|x T 化简可得g (x )=<2 T 兰x 兰1

_

2x x ：： T

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为

x =3cos',

（0为参数），直线I 的参数方程为

y =si

(1) 若a 二1，求C 与I 的交点坐标;

(2) 若C 上的点到I 的距离的最大值为 17，求 a .

解:

将曲线C 的参数方程化为直角方程为

2

X 一

+ 9 y 2=1，直线化为直角方程为 y =-!x ? 1-」a

4 4

(1)

1

3

当a =1时，代入可得直线为

y x - 4 4

，联立曲线方程可得: 1 3

y = _ x r 4 4, x 2 9y 2 二 9

解得

21

x =

25 24 y =

25

或X 一 3

，故而交点为

一 y =0

21 .25

24 或30

(2) 3cos J 4sin v a 「4

J 17

(1) 当a =1时，作出函数图像可得f x _g x的范围在F和G点中间,

联立［八勺可得点j,因此可得解集为

y = _x+x +4 I 2 丿

即f x _g x在丨-1,1 ］内恒成立，故而可得-X2? ax ? 4 _2= x2

根据图像可得：函数y=ax必须在11,12之间，故而可得-1Ea兰1。

(2) - 2岂ax恒成立,