两自由度非线性振动系统周期运动及其稳定性研究
非线性振动系统的动力学行为研究
非线性振动系统的动力学行为研究随着科学技术的发展和人类对自然规律的不断探索，非线性振动系统的研究日益受到重视。
非线性振动系统是指受到外界激励时，系统的响应不遵循线性关系的一类特殊振动系统。
非线性振动系统的动力学行为研究涉及到许多重要的概念和理论，对于深入理解和掌握非线性振动现象具有重要意义。
一、简介非线性振动系统非线性振动系统包括包括单自由度、多自由度和连续系统。
在非线性振动系统的研究中，常常使用数学模型来描述其中的动力学行为。
典型的非线性振动系统包括摆钟、双摆、自激振子等。
二、非线性振动系统的动力学方程非线性振动系统的动力学方程是研究其动力学行为的基础。
通过将非线性振动系统的运动方程推导为一阶或二阶非线性微分方程的形式，可以对系统的运动进行描述和分析。
例如，通过对单摆的运动进行建模，可以得到如下的动力学方程：$$\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}} + \frac{g}{l} \sin \theta = 0$$其中 $\theta$ 表示摆角，$g$ 表示重力加速度，$l$ 表示摆长。
这一方程是非线性的，无法用简单的解析方法求解，需要借助数值模拟和数学工具进行研究。
三、非线性振动系统的动力学行为非线性振动系统的动力学行为包括周期解、混沌现象等。
周期解是指振动系统在一定的激励下呈现周期性的运动状态，可以用具体的数学方法求解。
通过对非线性振动系统进行合适的近似和变换，可以得到周期解的解析表达式。
例如，对于单摆系统，可以通过正弦级数的方法得到近似的解析解。
除了周期解，非线性振动系统还具有复杂的动力学行为，其中最常见的就是混沌现象。
混沌现象是指振动系统的运动变得极其复杂，难以预测和描述。
混沌现象是非线性振动系统的重要特征之一，也是非线性动力学研究的热点之一。
在混沌现象的研究中，常常采用相图、Lyapunov指数等工具进行分析。
四、非线性振动系统的控制非线性振动系统的控制是指通过合适的方法和手段对系统的振动行为进行调控和稳定。
第三章 两自由度系统的振动
解：取小车的绝对位移u1和圆柱体的绝对位移u2为广义坐标。
根据圆柱体对圆心的转动惯量 I0 可以 写出系统的动能和势能：
m2r2 2
和纯滚动的转角 u2-u1
r
T
1 2
m 1u12
1 2
m 2u22
1 2
I02
1 2
m 1u12
1 2
m 2u22
1 4
m2 (u2 - u1)2
U1 2
K 1u12
)
L qj
0
( j 1, 2,, n)
m1l 21 (m1gl Ka2 )1 Ka22 0 m2l 22 Ka21 (m2gl Ka2 )2 0
d
dt
d
dt
L
1
L
2
L
1
L
2
第一阶主振动：x1(1) A1(1) sin( n1t 1) x2(1) A2(1) sin( n1t 1) 1A1(1) sin( n1t 1)
第二阶主振动：x1(2) A1(2) sin( n2t 2 ) x2(2) A2(2) sin( n2t 2 ) 2 A1(2) sin( n2t 2 )
其中A1(1)、A1(
2)、1、
四个常数由系统初始条件决定。
2
设t 0时 ：x1 x10 x1 x10
x2 x20 x2 x20
两自由度与单自由度系统振动特性与分析方法的不同：
①两自由度振动系统具有两阶固有频率； ②两自由度振动系统引入主振型的概念，与系统的固
有频率一样，是系统本身的物理特性与固有特性， 与其初始条件无关。 ③一般情况下系统的振动是两种主振动的叠加，是一 种复杂的非周期运动。当满足一定条件时，系统才 作主振动。
一类两自由度碰撞振动系统的周期运动与稳定性
一类两自由度碰撞振动系统的周期运动与稳定性
罗冠炜;谢建华;孙训方
【期刊名称】《兰州交通大学学报》
【年(卷),期】1999(018)002
【摘要】提出了研究两自由度碰撞振动系统的周期运动及其稳定性的判别方法，计算了此碰撞振动系统的动态呼应，数值算便了该方法的有效性。
【总页数】8页(P47-54)
【作者】罗冠炜;谢建华;孙训方
【作者单位】兰州铁道学院机械系;西南交通大学应用力学与工程系
【正文语种】中文
【中图分类】TH113.1
【相关文献】
1.一类两自由度碰撞振动系统的周期运动稳定性与分岔
2.两自由度塑性碰撞振动系统的周期运动与稳定性
3.一类两自由度含间隙碰撞振动系统的动力学特性
4.一类碰撞振动系统的概周期运动及混沌形成过程
5.一类碰撞振动系统周期运动的全局稳定性
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非线性振动现象的分析与控制
非线性振动现象的分析与控制引言：振动是物体在受到外界力的作用下产生的周期性运动。
在很多实际应用中，振动现象是无法避免的。
传统的振动理论常常以线性振动为研究对象，但在实际工程中，由于材料的非线性特性或者复杂的系统结构等因素的影响，一些系统的振动往往表现出非线性特征，这给振动控制带来了挑战。
本文将从非线性振动的基本原理、分析方法和控制策略等方面进行介绍。
1. 非线性振动的基本原理非线性振动的基本原理是指在振动系统中，系统的运动方程中存在非线性项。
非线性项可能来自于系统的非线性弹簧，非线性摩擦力以及非线性扰动等。
这些非线性项会使得系统的运动不再满足叠加原理，产生新的现象。
在非线性振动中，振幅的大小和振动频率之间存在复杂的关系，如倍频现象、相位共振等。
2. 分析非线性振动的方法为了分析非线性振动系统，常常需要采用数值模拟方法。
其中，一种常用的方法是时域分析，即通过求解系统的运动方程，得到系统的时域响应。
另一种方法是频域分析，即通过将时域信号转换到频域，分析系统的频谱特性。
此外，还可以通过相平面分析方法来研究非线性系统的稳定性、受激振动和共振现象等。
3. 非线性振动的控制策略在实际应用中，为了控制非线性振动系统，常常需要采取相应的控制策略。
其中，一种常见的方法是使用非线性控制器，通过引入非线性反馈来补偿系统的非线性特性。
另一种方法是使用自适应控制策略，根据系统的变化实时调整控制参数。
此外，还可以通过参数识别和模型预测控制等方法来实现对非线性振动的控制。
4. 实际应用中的非线性振动现象非线性振动现象在实际应用中普遍存在。
例如在建筑结构中，由于地震或风荷载等外力的作用，结构会发生非线性振动，给结构的安全性和稳定性带来威胁。
在机械系统中，由于轴承的非线性摩擦力或者悬挂系统的非线性特性，机械系统会出现非线性振动，影响其性能和寿命。
因此，对于非线性振动的分析和控制具有重要的理论和实际意义。
结论：非线性振动现象是实际工程中普遍存在的重要问题。
冷轧机垂向辊系非线性振动建模与稳定性分析
摘要
考虑 轧制 界面 的非 线性阻尼和辊 系一 机架间 的非线性 刚度影响 ， 建立冷板 带轧机两 自由度垂 向系统非线性
自激 振 动 模 型 。 利 用 奇 异 值 理 论 讨 论 不 同 参数 条件 下 系 统 的稳 定 性 ， 并 通 过 平 均 法求 解 垂 向振 动 系 统 一 次 近 似 解 ， 得 到系 统 的振 幅 、 相 位微 分特 性方 程 。分 析 了刚 度 、 阻 尼 等 非 线 性 参 数 变 化 对 系统 稳 定 性 及 振 动 特 性 的 影 响 ， 并 采 用 数 值 仿 真 方 法 验 证 了理 论 推 导 结 果 的 正 确 性 ， 为 抑 制 冷 轧 机 垂 向 辊 系 系 统 振 动 提供 了一 定 的理 论 指 导 。
第３ ３ 卷 第 ２期
２ ０ １ ３年 ４月
ห้องสมุดไป่ตู้
振动 、 测 试 与诊 断
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｖｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ， Ｍｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｍｅ ｎ ｔ＆ Ｄｉ ａ ｇ ｎ ｏ ｓ ｉ ｓ
Ｖｏ １ ． ３ ３ Ｎｏ ． ２ Ａｐ ｒ ．２ ０ １ ３
多 变量 、 旋 转运 动体 系统 ， 其 运行 过程 中普遍 存在振
在的， 以上垂 振模 型无法 解 释这 类 较 为复 杂 的振 动 形式 ， 如 系 统 内部 参数 激励 导 致 的振 动 现象 ； 因此 ，
不 可将 轧 机 垂 向系 统 作 为一 个 简 单 的线 性 系 统 来
研究 。
不 同轧 制速 度下辊 系振动 的稳态 域 。 此外， 在辊缝 润 滑 状 态 变化 导致 的连 轧机 振 动特 性 分 析 ［ ８ ］ 、 轧 制 过 程 模 型 的非线 性简 化［ ９ ］ 、 液 压一 辊 系耦 合模 型 的建 模 及 其 振 动 机 理Ｅ ｌ Ｏ ］ 以及 轧 机 垂 扭耦 合 振 动 特 性 分 析
非线性振动系统的分析和应用
非线性振动系统的分析和应用非线性振动系统是指其中至少包含一个非线性元件的振动系统。
非线性元件能够使得系统的振动特性发生较大的改变，如产生新的共振频率、引起失稳现象等。
因此，非线性振动系统的研究具有重要的理论和实际意义。
一、非线性振动系统的形式化描述非线性振动系统的数学模型通常可以表示为：$$\ddot{x}+f(x)\dot{x}+g(x)=0$$其中，$x$是系统的位移或角位移，$\dot{x}$是$x$的一阶导数，$\ddot{x}$是$x$的二阶导数。
函数$f(x)$和$g(x)$分别表示阻尼和弹性的非线性作用。
通常采用微分方程的数值解法，如欧拉法、龙格-库塔法等来进行求解。
二、非线性振动系统的稳定性及分析方法对于非线性振动系统，通常需要考虑系统的稳定性。
由线性振动系统的经验可知，系统的随机性通常较小，因此通常采用非线性分析方法来进行稳定性的分析。
主要的分析方法有：1.浅层非线性方法：包括哈摩因方法、平均法、福克方法等，能够快速地预测系统稳定性。
但是，这些方法通常需要对系统的非线性特性有一定的了解，且适用于一类特定的非线性系统。
2.深层非线性方法：包括留数方法、行波展开法、多尺度方法等，能够精确地分析具有较强非线性特性的系统。
但是，这些方法相对复杂，对数学知识和物理背景要求较高。
3.数值仿真方法：主要包括有限元法、有限差分法等，能够直接计算非线性振动系统的响应。
这些方法通常适用于求解较大、较复杂的非线性振动系统。
三、非线性振动系统的应用非线性振动系统的研究在物理、工程、数学等领域均有广泛应用。
以下列举部分应用领域：1.结构振动分析：对于大跨度、高层建筑、大型膜结构等复杂结构，通常需要考虑结构的非线性特性。
非线性振动系统的研究能够提高结构的安全性、经济性和绿色性。
2.摆钟：摆钟是一种常见的非线性振动系统，其运动特点由复杂的非线性微分方程描述。
摆钟系统的研究不仅有助于物理原理的深入理解，同时还能够应用于时间标准、导航、地震监测等领域。
04-1 两自由度系统的振动
主振型向量或模态向量： (1) 1 A 1 A( 2 ) 1 2 振型图：以横坐标表示系统中各点的静平衡位置，以纵坐标表示各 点在振动过程中振幅比的大小，由此所画出的图形。
主振型向量 或模态向量
主振动
燕山大学
Yanshan University
主振动：系统按某一阶固有频率和相应主振型所作的振动。
第一阶主振动：
x1(1) A1(1) sin( n1t 1 )
(1) x2
(1) (1) A2 sin( n1t 1 ) 1 A1 sin( n1t 1 )
整理得系统运动微分方程：
燕山大学
Yanshan University
引入符号：
K1 K 2 a , m1 K2 b , m1 K2 c , m2
1 ( K1 K 2 ) x1 K 2 x2 0 m1 x 2 K 2 x1 ( K 2 K 3 ) x2 0 m2 x
第二阶主振动：
x1( 2 ) A1( 2) sin( n 2 t 2 )
( 2) x2
( 2) ( 2) A2 sin( n 2 t 2 ) 2 A1 sin( n 2 t 2 )
结论：系统作主振动时，各点同时经过平衡位置、同时达到最 大极限位置，并以相同的频率和确定的振型作简谐振动。
2 K 5K m 2m 0.5 K m
燕山大学
Yanshan University
第二阶主振型 第一阶主振型
4.1.3 无阻尼自由振动的通解 由上述分析可见：
燕山大学
Yanshan University
第二章_两自由度系统振动
k1
k2
c
m1 2
k2
c
c k1 k2 m12
c
k2
k2
c k2 m2 2
c
c c1 F0
k2
c2
0
k2
c m22
dd12
0
0
d2
c[(k1 m12)(k2 m22) k2m22] k2c[(k1 m12) m22] [(k1 m12)(k2 m22) k2m22]2 [c((k1 m12) m22)]2
F0
d1
k2[(k1 m12 )(k2 m22 ) k2m22 ] c[cm23 c(k1 m12 )] [(k1 m12 )(k2 m22 ) k2m22 ]2 [cm23 c(k1 m12 )]2
F0
c1
k1
F0
m12
m2 2 k1 m12
d1
c2
m2 2 k1 m12
两自由度系统振动
1 无阻尼自由振动
1.1 基本概念
两自由度系统（TDOF）： 如果确定一个振动系统位置的独立参数，
需要两个且两个就足够，则称这样的系统为 两自由度系统。 多自由度系统（MDOF）：
需要两个或两个以上独立参数才能确定 振动系统几何位置，则称这样的系统为多自 由度系统
1.2 两自由度系统力学模型
1.3 无阻尼自由振动分析
m1&x&1 k1x1 k2 x1 x2
m2&x&2 k2 x2 x1
&x&1 ax1 bx2 0
&x&2
cx1
cx2
0
a k1 k2 m1
b k2 m1
c k2 m2
第5讲 两自由度系统的振动
(4)
，式中常数u1和u2起振幅的作用。 请
将方程(4)代入方程(3)，得
m1u1 f(t)+ (k11u1 + k12u2 ) f (t ) = 0 m2u2 f (t)+ (k21u1 + k22u2 ) f (t ) = 0
2015/3/24 机械系统动力学-多自由度系统的振动
现在关心的问题是，在初值条件下，如何求解 这个方程。这里，有两个问题需要确定： 1、坐标x1和x2是否有相同的随时间的变化规律 2、x1和x2是否是简谐函数
2015/3/24
机械系统动力学-多自由度系统的振动
14
有趣的“同步化” 现象
最早观察到同步化现象的科学家是
课 件荷兰的物理学家克里斯蒂安 · 惠更斯 仅 供(Christian Huygens 1629-1695)。根据 学 习伽利略(Galileo Galilei 1564-1642)发现 复 习 的钟摆的等时性原理，他于1656年把单 之 用 ，摆引入了机械钟，研制成第一个摆钟。 请
勿标，它们能够完全描述了系统在任何时刻的运动：x1和 它 用x2不仅表示出质量m1和m2的运动，而且也描述了
弹簧
。 曹k 、k 和k 的运动。因此，该系统是一个两自由度系统。 1 2 3
2015/3/24 机械系统动力学-多自由度系统的振动 8
两自由度系统的自由振动（微分方程）
f1 f2
课 件 仅 供 x1 x2 学 k2 (x2 − x1 ) 习 k1 x1 m1 m2 k3 x2 复 习 f1 f2 之 用 设运动x1和x2是微幅的，振动系统是线性的。由牛 ，顿定律建立运动微分方程 ：
引言
2015/3/24
机械系统动力学-多自由度系统的振动
0727第三章 两自由度系统振动(讲)
第三章两自由度系统振动§3-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。
在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。
从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。
研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。
例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。
只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。
以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。
此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。
这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。
取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。
这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。
(工程实际中两自由度振动系统) [工程实例演示]§3-2 两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程（①汽车动力学模型）②以图3.2的双弹簧质量系统为例。
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ａｕｏ ｐ ｎ ｖ函数 方 法 ， 系 统 （ ） 期 解 的 存 在 唯 一 性 及 其 稳 定 性 进 行 了研 究 ， 到 了存 在 唯 一 渐 对 １周 得 近稳 定 的周 期 解 的 充 分 条 件 ．
・
收 稿 日期 ： ２ ０ —２２ ；修 订 日期 ： ２ ０ —４ ０ ０ １ ．７ ０ ０ ２０ — １
摘 要 ： 运 用 Ｌａｕ ｏ ｉｐｎ ｖ函 数 方 法 ， 一 类 两 自 由 度 非 线 性 振 动 系 统 周 期 运 动 及 其 稳 定 性 进 行 了 研 对 究 ， 到 了存 在 唯一 渐 近稳 定 的周期 解 的 充分 条件 ． 得
关
键
词 ： 非 线 性 振 动 ； 周 期 运 动 ； Ｌａｕ ｏ ｉｐｎ ｖ函数 ； 周 期 解
基 金 项 目 ： 云 南 省 教 育 厅 应 用 基 础 研 究 基 金 资 助 课 题 （０ ２ ２ ） ０ １２６ 作 者 简 介 ： 刘 俊 （９ ３ ） 男 ， 明 人 ， 教 授 ， 士 ． １６ 一 ， 昆 副 硕
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文 章 编 号 ：０ ００ ８ （０ ２ １．０ ３０ １０ －８７ ２ ０ ）０１９ ．８
两 自 由 度 非 线 性 振 动 系 统 周 期 运 动 及 其 稳 定 性 研 究
刘 俊
（ 靖 师 范 学 院 数 学 系 ， 南 曲 靖 ６ ５０ ） 曲 云 ５０ ０
（ 继彬推荐 ） 李
刘 俊
１ 预 备 知 识
在 证 明 结 果 之 前 ， 必 要 介 绍 一 下 定 理证 明 过 程 中引 用 的结 论 ． 为 叙 述 方便 ， 虑微 分 方 有 考 程 系统
譬 ：Ｆ ｆ ） （， ，
其 中 ：Ｆ（ ， ｔ ）∈ Ｃ （ ×Ｒ” 一 Ｒ” Ｒ ） ，Ｆ（ ｔ＋ｏ ， Ｊ ）＝ Ｆ（ ， ｔ ）（ ＞ ０是 周 期 ） ． 引 理 １ ］ 如果 存 在 一 个 Ｌａｕ ｏ ［ ｉ ｎ ｖ函数 Ｖ ｔ ）在 乘 积 空 间 ｐ （，
本 文 研 究 一 类 两 自 由度 非 线 性 振 动 系 统 的周 期 运 动 及 其 稳 定 性 ， 一 模 型 是 由两 个 互 耦 这
的 二 阶非 线 性 微 分 方 程 组 表 达 ， 模 型 的一 般 形式 是 ： 此
ｆ ＋ Ｐ（ ， ， ， 夕 重＋ Ｑ（ ， ，， ＝ｆ ， ） ｏ ｗ ， ｔ 露 Ｙ， ） ｔ ） ） （ Ｙ ｃ ｓ ｔ ，、 ，
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应 用数学 和力 学 ， ２ 第 ３卷 第 １ ０期 （０ ２年 １ ２０ ０月 ）
Ａｐ ｉｄ Ｍ ａ ｈ ｍａｉ ｓ ａ ｄ Ｍ ｅ ｈ ｎｃ ｐｌ ｔ ｅ ｔ ｎ ｃ ａ ｉｓ ｅ ｃ
应 用 数 学 和 力 学 编 委 会 编 重 庆 出 版 社 出 版
（） ２
ｎ： （ Ｉ ０≤ ｔ＜＋ ∞）Ｘ Ｅ （１ ｌ Ｒ ｌ ｌ≥ Ｒ， ＞ ０ Ｒ ）
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文献 标识 码 ： Ａ
中 图 分 类 号 ： ０ ２ ；０ ７ ．４ ３ ２ １５ １
引
言
在 非 线 性 振 动 系 统 中 ， 期 运 动 具 有 头 等 的重 要 性 ， 周 期 解 的存 在 性 是 一 个 很 困难 的 问 周 但 题 ， 在 实 际 物 理 系统 中 往 往 存 在 着 某 种 形 式 的周 期 解 ， 此 ， 常 都 是 在 周 期 解 存 在 的 前 提 好 因 通
（ ） 泛 存 在 于 动 力 机 械 、 性 结 构 的 动 力 屈 曲 、 舶 在 海 洋 中 的 航 行 、 空 航 天 设 备 （ 箭 或 １广 弹 船 航 火 绳 系 卫 星 ） 流 固 耦 合 系统 等工 程 实 际 问题 中 Ｅ ， 究 这 类 系统 对 于 解 决 工 程 实 际 问题 具 有 重 、 ２ 研 ］ 要 的 意 义 ．在 通 常 情 况 下 ， 是 针 对 特 殊 系 统 采 用 数 值 计 算 求 近 似 周 期 解 ＿ ］ 本 文 利 用 Ｋ近 似 计 算 分 析 和 应 用 ， 计 算 工 作 量 大 、 度 又 不 高 ． 如 文 献 ［ ］ 出 的 对 但 精 １提 Ｌｎ ｓ ｄ Ｐ ｉｃｒ 法 、 均 法 、 尺 度 法 等 ， ｉｄｔ ．ｏｎ ａ６ ｅ 平 多 这些 方 法 对 分 析 单 自由 度 系 统 弱 非 线 性 问 题 一 般 行