北京市北师大附中高三数学上学期开学测试试卷 理【会员独享】
北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷
北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________个数最少的集合A．e a x <<时，()0f x ¢>，()f x 在[],e a 上单调递增，故()min ()(1)2f x f a f a =<=-，不符合题意；当e a ³时，()0f x ¢<，()f x 在[]1,e 上单调递减，故()min (e)(1)2f x f f a =<=-，不符合题意；综上，可知a 的取值范围为(1],-¥.【点睛】方法点睛：第三问根据函数的最小值求解参数范围，求出导数后，要分类讨论，讨论a 与区间[]1,e 的位置关系，从而确定最值，求得参数范围.21．（1）{}()()0,1,2,3,4S A T A ==；（2）见解析；（3）{}1,5,8【分析】（1）根据定义直接进行计算即可（2）根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行证明 （3）首先证明：1A ∈，然后根据条件分别判断A 中元素情况即可得到结论．【详解】（1）若集合A ={0，1，2}，则S （A ）=T （A ）={0，1，2，3，4}． （2）令{}12,,n A x x x =L ．不妨设12n x x x <<<L ．充分性：设{}k x 是公差为()d d ¹0的等差数列．则111(1)(1)2(2),(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-££且22i j n +……．所以i j x x +共有2n -1个不同的值．即d （S （A ））=2n -1．必要性：若d （S （A ））=2n -1．因为1122,(1,2,,1)i i i i x x x x j n ++<+<=-L ．所以S （A ）中有2n -1个不同的元素：12122312,2,,2,,,,n n n x x x x x x x x x -¼++¼+ 任意i j x x +（1≤i ，j ≤n ） 的值都与上述某一项相等．2a ，21+2a ．此时23，24，25，26不能全在T （T （A ））．中，不满足题意．（ii ）若A ={1，2a ，8}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，8，9，22a ，8+2a ，16∈T （A ），则有16+9=25∈T （T （A ）），若26∈T （T （A ）），则16+22a =26或16+（8+2a ）=26，解得2a =5或2a =2．当A ={1，2，8}时，15，21，23∉T （T （A ））．不满足题意．当A ={1，2，8}时，T （T （A ））={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32}，满足题意．故元素个数最少的集合A 为{1，5，8}【点睛】本题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用，综合性强，难度比较大．不太好理解．。
2023届北京师范大学附属中学高三上学期数学大单元测试题(解析版)
2023届北京师范大学附属中学高三上学期数学大单元测试题一、单选题1．已知集合{}2,0,2A =-，{}0B x x =≥，则A B =（ ） A ．{}0,2 B ．{}2 C ．{}2,2- D ．2,0,2【答案】A【分析】利用交集的定义可求得结果. 【详解】由已知可得{}0,2A B =. 故选：A. 2．设3i12iz -=+，则z =A ．2 BC D ．1【答案】C【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ．【详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==故选C ．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．3．设a ，b ∈R ，且0a b <<，则（ ）A ．11a b< B ．b a a b> C ．2a b+>D ．2b aa b+>【答案】D【解析】由0a b <<，可得11a b>，A 错；利用作差法判断B 错；由02a b +<，0>，可得C 错；利用基本不等式可得D 正确． 【详解】0a b <<，11a b∴>，故A 错；0a b <<，22a b ∴>，即220,0b a ab -<>，可得220b a b a a b ab --=<，b a a b∴<，故B 错；0a b <<，02a b +∴<0，则2a b+C 错；0a b <<，0,0b a a b ∴>>，2b a a b +>=，等号取不到，故D 正确；故选：D4．已知3log 2a =，0.12b =，13c =，则（ ）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．a b c <<【答案】A【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出结论.【详解】0.103311221log 3log 2log 23b ac =>==>=>>=，即b a c >>. 故选：A.5．下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x =D ．y x x =【答案】D【分析】根据指对函数的性质判断A 、B ，由正弦函数性质判断C ，对于D 有22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，即可判断奇偶性和()0,+∞单调性.【详解】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足. 故选：D6．在△ABC 中，cos 23B a b ==,,，则A ∠=（ ） A ．6π B ．3π C ．56π D ．6π或56π 【答案】A【分析】先求出sin B ，再借助正弦定理求解即可.【详解】由7cos 4B =得273sin 144B ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理得sin sin a b A B =，233sin 4A =，解得1sin 2A =，又a c <，故A C ∠<∠，6A π∠=.故选：A.7．已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为. A 33B 53C ．112D ．132【答案】D【详解】133313(cos sin )(43)()3322OB OA i i i ππ=⋅+=⋅=，即点B 的纵坐标为132【解析】复数几何意义8．在无穷正项等差数列{}n a 中，公差为d ，则“{}nS 是等差数列”是“存在*k ∈N ，使得1d ka =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】(),n S xn y x y =+∈R ，利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式，结合数列{}n a 为等差数列可求得0y =，求出d 关于1a 的关系式，再利用充分条件和必要条件的定义判断可得出合适的选项. 【详解】若{}nS (),n S xn y x y +∈R ，则2222n S x n xyn y =++，当1n =时，2212a x xy y =++，当2n ≥时，()()()22222212121n n n a S S x n xyn y x n xy n y -⎡⎤=-=++--+-+⎣⎦2222x n xy x =+-，因为数列{}n a 为等差数列，则2212a x xy y =++满足2222n a x n xy x =+-，即2222222x xy y x xy x ++=+-，可得0y =，故222n a x n x =-，且()21122N n n d a a x a n *+=-==∈，所以，“12d a =”⇒“存在*k ∈N ，使得1d ka =”， 但“12d a =”⇐/“存在*k ∈N ，使得1d ka =”， 因此，“{}nS 是等差数列”是“存在*k ∈N ，使得1d ka =”的充分而不必要条件.故选：A.9．函数()cos cos2f x x x =+是（ ） A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最小值为98-C ．奇函数，且最小值为98-D ．偶函数，且最大值为98【答案】B【分析】利用函数奇偶性的定义可判断出函数()f x 的奇偶性，利用二次函数的基本性质可求得函数()f x 的最值.【详解】函数()f x 的定义域为R ，()()()()cos cos 2cos cos2f x x x x x f x -=-+-=+=， 故函数()f x 为偶函数，因为1cos 1x -≤≤，则()22192cos cos 12cos 48f x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，所以，()min 98f x =-，()max 2112f x =+-=.故选：B.10．斐波拉契数列{}n a 满足：11a =，21a =，()*21N n n n a a a n ++=+∈．该数列与如图所示的美丽曲线有深刻联系，设12n n S a a a =+++，22212n n T a a a =+++，给出以下三个命题：（ ）①22213n n n n a a a a +++-=⋅；②21n n S a +=-；③2111n n n n T a a a +++=+⋅．其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【分析】由321n n n a a a +++=+且21n n n a a a ++=-即可判断①的正误；利用21n n n a a a ++=-，应用累加法判断②的正误；由21121n n n n n a a a a a ++++=-，应用累加法判断③的正误.【详解】由()*21N n n n a a a n ++=+∈，则321n n n a a a +++=+且21n n n a a a ++=-，所以22213n n n n a a a a +++-=⋅，故①正确；由32432112222))...1((()n n n n n n S a a a a a a a a a a a a ++++=--++-=-==++++-，故②正确；由12n n n a a a ++=-，则21121n n n n n a a a a a ++++=-，又11a =，21a =，所以2121a a a =，223221a a a a a =-，234332a a a a a =-，…，21121n n n n n a a a a a ++++=-，则22221121211111()n n n n n n n n n n T a a a a a a a a a a a ++++++++==+=+=+++⋅，故③正确.故选：D二、填空题11．已知,a b 均为实数.若()i i i b a +=+，则a b +=_________． 【答案】0【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可. 【详解】()i i i i 1b a a ==++-，故1,1a b ==-，0a b +=. 故答案为：0.12．设角θ的终边过点()2,3，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭____．【答案】150.2【分析】利用三角函数的定义求出tan θ的值，再利用两角差的正切公式可求得所求代数式的值.【详解】由三角函数的定义可知3tan 2θ=，所以，π3tan tan1π142tan π3451tan tan 142θθθ--⎛⎫-=== ⎪⎝⎭++. 故答案为：15.13．记函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕ=+><<π的最小正周期为T ，若()f T =，π12x =为()f x 的零点，则ω的最小值为_______． 【答案】4 【分析】由()f T =ϕ的取值范围可求得ϕ的值，再由π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得出ω的表达式，即可求得ω的最小值. 【详解】由题意可知2πT ω=，所以，()()cos 2πcos f T ϕϕ=+==因为0πϕ<<，则π6ϕ=，所以，()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意可知πππcos 012126f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()ππππZ 1262k k ω+=+∈， 所以，()412Z k k ω=+∈，0ω>，故ω的最小值为4. 故答案为：4.14．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为m ，则m 的取值范围为_______． 【答案】[0,2]【分析】先对函数化简变形())f x x θ+，则由题意可得m m 的取值范围.【详解】()sin()cos f x x x ϕ=++ sin cos cos sin cos x x x ϕϕ=++ sin cos (sin 1)cos x x ϕϕ=++)x θ+（其中cos θ=，sin θ），所以当sin()1x θ+=时，()f x取得最大值，即max ()f x =所以m = 因为1sin 1ϕ-≤≤，所以22sin 2ϕ-≤≤，所以02sin 24ϕ≤+≤，所以02， 所以02m ≤≤，即m 的取值范围为[0,2]， 故答案为：[0,2]15．()111,P x y 、()222,P x y 、()333,P x y 是函数()f x 的图象上不重合的三点，若函数()f x 满足：当1230x x x ++=时，总有1P 、2P 、3P 三点共线，则称函数()f x 是“零和共线函数”．下列命题正确的是_______． ①一次函数都是“零和共线函数”； ②二次函数都不是“零和共线函数”；③存在0>ω，使得sin y x ω=是“零和共线函数”； ④对任意a ∈R ，3y x ax =+都是“零和共线函数”． 【答案】①②④【分析】利用“零和共线函数”的定义可判断①②④的正误；取1x k =，22x k =，()330x k k =-≠，根据三角恒等变换化简可得出sin 0k ω=或cos 1k ω=，即可得出结论.【详解】对于①，若()f x 为一次函数，且当1230x x x ++=时，1P 、2P 、3P 三点共线，①对；对于②，设()()20f x ax bx c a =++≠，当直线12PP x ⊥轴时，直线12PP 与函数()f x 的图象只有一个交点， 当直线12PP 的斜率存在时，设直线12PP 的方程为y kx m =+，联立2y ax bx c y kx m⎧=++⎨=+⎩可得()20ax b k x c m +-+-=，而方程()20ax b k x c m +-+-=至多有两个根，综上所述，二次函数不是“零和共线函数”，②对； 对于③，若存在0>ω，使得sin y x ω=是“零和共线函数”， 当1230x x x ++=时，不妨取1x k =，22x k =，()330x k k =-≠， 因为1P 、2P 、3P 三点共线，则()sin sin 3sin 2sin 23k k k k k k k kωωωω---=-+，可得4sin 25sin sin3k k k ωωω=+，即8sin cos 5sin sin cos2cos sin 2k k k k k k k ωωωωωωω=++，所以，()2sin 4cos 8cos 40k k k ωωω-+=，所以，sin 0k ω=或cos 1k ω=，因为0k ≠，故不存在0>ω，使得对任意的非零实数k 满足sin 0k ω=或cos 1k ω=成立， 故不存在0>ω，使得sin y x ω=是“零和共线函数”，③错；对于④，当直线12PP x ⊥轴时，直线12PP 与函数()f x 的图象只有一个交点， 所以，直线12PP 的斜率存在，()1233112222112212P P x ax x ax k x x x x a x x +-+==+++-，()()131322222211331112121122PP PP k x x x x a x x x x x x a x x x x a k =+++=-++++=+++=， 即1P 、2P 、3P 三点共线，故对任意a ∈R ，3y x ax =+都是“零和共线函数”，④对. 故答案为：①②④.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义“零点共和函数”，解题的关键在于抓住三点共线这一条件，利用相关知识进行求解.16．某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示，线段AB 表示角楼的高，C ，D ，E 为三个可供选择的测量点，点B ，C 在同一水平面内，CD 与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六组几何量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为________.（只需写出一种方案）①C ，D 两点间的距离； ②C ，E 两点间的距离； ③由点C 观察点A 的仰角α； ④由点D 观察点A 的仰角β；⑤ACE ∠和AEC ∠； ⑥ADE ∠和AED ∠. 【答案】①③④或②③⑤【分析】若要求角楼的高即AB 长，必要知道一边长，若知C ，D 两点间的距离CD 长，在梯形ABCD 中解ACD 和ABC 即可，此时可选①③④；若知C ，E 两点间的距离即CE 长，则解ACE △和ABC 即可得解，此时可选②③⑤.【详解】经分析可知，若选①③④，在ACD 中，2ACD πα∠=-，2ADC πβ∠=+，CAD αβ∠=-，所以sin()sin()2ACCDπαββ=-+ ，所以cos sin()AC CD βαβ=⋅-，所以cos sin sin sin()AB AC CD βαααβ=⋅=⋅-，其中各个量均已知；若选②③⑤，已知ACE ∠和AEC ∠，则CAE ACE AEC π∠=-∠-∠， 由sin sin sin()AC CE CEAEC CAE ACE AEC ==∠∠∠+∠，所以sin sin()AECAC CE ACE AEC ∠=⋅∠+∠，所以sin sin sin sin()AEC AB AC CE ACE AEC αα∠⋅==⋅∠+∠ 其中各个量均已知.其他选择方案均不可求得AB 长. 故答案为：①③④或②③⑤三、解答题17．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【答案】（1）725-；（2）211-【详解】分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan2α，再利用两角差的正切公式得结果. 详解：解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈．又因为()cos αβ+=()sin αβ+==因此()tan 2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--，因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+． 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.18．设函数()2sin cos cos2()f x x x A x A =+∈R .已知存在A 使得()f x 同时满足下列三个条件中的两个：条件①：(0)0f =；条件②：()f x ③：π8x =是()f x 图象的一条对称轴.(1)请写出()f x 满足的两个条件，并说明理由；(2)若()f x 在区间(0,)m 上有且只有一个零点，求m 的取值范围. 【答案】(1)②③，理由见解析 (2)37,88ππ⎛⎤⎥⎝⎦【分析】（1）首先分析①②可得0,1,1A =-，逐个验证条件③即可得结果；（2）由（1）得函数的解析式，通过x 的范围求出24x π+的范围，结合正弦函数的性质列出关于m 的不等式即可得解.【详解】(1)函数()()2sin cos cos 2sin 2cos 22f x x x A x x A x x ϕ=+=+=+， 其中tan ,,22A ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 对于条件①：若(0)0f =，则0A =，对于条件②：()f x 1A =±，①②不能同时成立，当0A =时，18f π⎛⎫=≠± ⎪⎝⎭，即不满足条件③；当1A =时，()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭③；当1A =-时，()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，08f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即不满足条件③； 综上可得，存在1A =满足条件②③.(2)由（1）得()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 当0x m <<时，22444x m πππ<+<+，由于()f x 在区间(0,)m 上有且只有一个零点， 则224m πππ<+≤，解得3788m ππ<≤， 即m 的取值范围是37,88ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦.19．在ABC 中，sin :sin :sin 2:A B C =(1)求C ∠；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：5a b +=；条件②：c ；条件③：ABC ． 【答案】(1)3C π=(2)选条件①，BC ②，三角形形状不确定；选条件③，BC【分析】（1）由正弦定理将已知条件化为::2:a b c =2a m =，3b m =，(>0)c m ，然后利用余弦定理可求出C ∠，（2）若选①，则可得=2a ，=3b ，设D 为BC 的中点，1CD =，在ACD △中利用余弦定理可求得结果，若选②，不能确定边长，无解，若选③，由三角形的面积可求得6ab =，从而可得=2a ，=3b ，设D 为BC 的中点，1CD =，在ACD △中利用余弦定理可求得结果.【详解】(1)在ABC △中，sin :sin :sin 2:A B C =． 由正弦定理可得::2:a b c =设2a m =，3b m =，(>0)c m ， 则2224971cos 2232m m m C m m +-==⨯⨯， 0<<C π，3C π∴=．(2)选条件①：由（1）得:2:3a b =．又5a b +=；2a ∴=，=3b ，设D 为BC 的中点，1CD =，在ACD △中，22212cos 9123172AD AC CD AC CD C =+-⨯=+-⨯⨯⨯=，所以AD =BC选条件②：c ；与（1）的:b c =定．选条件③：∵ABC △．∴1sin 2ab C =6ab ∴=．2a ∴=，=3b ，c =D 为BC 的中点，1CD =，在ACD △中，22212cos 9123172AD AC CD AC CD C =+-⨯=+-⨯⨯⨯=，所以AD =BC20．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，.（Ⅰ）求111101,,b b b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和.【答案】（Ⅰ）1111010,1, 2.b b b ===（Ⅱ）1893.【详解】试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项n a ，再根据已知条件求111101b b b ，，；（Ⅱ）用分段函数表示n b ，再由等差数列的前n 项和公式求数列{}n b 的前1 000项和． 试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d =所以{}n a 的通项公式为.n a n =111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======（Ⅱ）因为0,110,1,10100,{2,1001000,3,1000.n n n b n n ≤<≤<=≤<= 所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.⨯+⨯+⨯=【解析】等差数列的通项公式、前n 项和公式，对数的运算【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.21．函数()e sin 2x x x f a x =-+.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当0a ≥时，求函数()f x 在0,1上的最小值；(3)直接写出a 的一个值，使()f x a ≤恒成立，并证明.【答案】(1)()1y a x a =++(2)a(3)1a =-，证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解；（2）利用导数研究函数的单调性，进而求得最小值；（3）取1a =-，构造函数()sin 21x g x e x x =+--，即证()0g x ≥恒成立，利用导数研究函数的单调性及最值即可证得结论.【详解】(1)由()e sin 2x x x f a x =-+，知()0f a =，切点为()0,a求导()e cos 2x f a x x =-+'，则切线斜率()0121a f a k =-+='+=所以切线方程为：()1y a a x -=+，即()1y a x a =++(2)求导()e cos 2x f a x x =-+'，[]0,1x ∈0a ≥，[]cos 1,1x ∈-，0f x ，所以函数()f x 在0,1上单调递增， ()()min 0f x f a ∴==，即函数()f x 在0,1上的最小值为a .(3)取1a =-，下面证明e sin 21x x x --+≤-恒成立，即证e sin 210x x x +--≥恒成立， 令()sin 21x g x e x x =+--，即证()0g x ≥恒成立求导()cos 2x g x e x '=+-，（i ）当0x ≤时，e 1x ≤，[]cos 1,1x ∈-，此时()0g x '≤所以函数()g x 在(],0-∞上单调递减，()(0)0g x g ∴≥=，即()0g x ≥成立（ii ）当0x >时，令()()e cos 2,0x p x g x x x '==+->，()e sin x p x x -'=，因为e 1x >，[]sin 1,1x ∈-，所以()0p x '>，所以函数()g x '在()0,+∞上单调递增， ()(0)0g x g ''∴>=，所以函数()g x 在()0,+∞上单调递增，()(0)0g x g ∴>=， 综上可知，()0g x ≥恒成立，即()f x a ≤恒成立22．已知集合{12}S n =,,,(3n ≥且*n ∈N ），12{}m A a a a =,,,，且A S ⊆．若对任意i j a A a A ∈∈,（1i j m ≤≤≤），当i j a a n +≤时，存在k a A ∈(1k m ≤≤)，使得i j k a a a +=，则称A 是S 的m 元完美子集．(1)判断下列集合是否是{12345}S =,,,,的3元完美子集，并说明理由； ①1{124}A =,,； ②2{245}A =,,．(2)若123{}A a a a =,,是{127}S =,,,的3元完美子集，求123a a a ++的最小值；(3)若12{}m A a a a =,,,是{12}S n =,,,（3n ≥且*n ∈N ）的m 元完美子集，求证：12(+1)2m m n a a a +++≥，并指出等号成立的条件． 【答案】(1)1A 不是S 的3元完美子集；2A 是S 的3元完美子集；理由见解析(2)12(3)证明见解析；等号成立的条件是11N 1n a m +=∈+*且(1)(2)1i n i a i m m +=+≤≤【分析】（1）根据m 元完美子集的定义判断可得结论；（2）不妨设123a a a <<．由11a =，12a =，13a ≥分别由定义可求得123a a a ++的最小值；（3）不妨设12m a a a <<<，有121i i i i m i a a a a a a a n +-<+<+<<+≤．121i i i m i a a a a a a +-+++,,,是A 中1m i +-个不同的元素，且均属于集合12{}i i m a a a ++,,,，此时该集合恰有m i -个不同的元素，显然矛盾．因此对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥，由此可得证.【详解】(1)解：（1）①因为1235+=≤，又13A ∉，所以1A 不是S 的3元完美子集． ②因为2245+=≤，且24A ∈，而55454425245+>+>+>+>+>， 所以2A 是S 的3元完美子集．(2)解：不妨设123a a a <<．若11a =，则112a a A +=∈，123A +=∈，134A +=∈，与3元完美子集矛盾；若12a =，则114a a A +=∈，246A +=∈，而267+>，符合题意，此时12312a a a ++=．若13a ≥，则116a a +≥，于是24a ≥，36a ≥，所以123+13a a a +≥． 综上，123a a a ++的最小值是12．(3)证明：不妨设12m a a a <<<．对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥，否则，存在某个(1)i i m ≤≤，使得1i m i a a n +-+≤． 由12m a a a <<<，得121i i i i m i a a a a a a a n +-<+<+<<+≤． 所以121i i i m i a a a a a a +-+++,,,是A 中1m i +-个不同的元素，且均属于集合12{}i i m a a a ++,,,，该集合恰有m i -个不同的元素，显然矛盾．所以对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥．于是1211211212()()()()()(1)m m m m m m a a a a a a a a a a a a m n ---++++=+++++++++≥． 即12(1)2m m n a a a ++++≥． 等号成立的条件是11N 1n a m +=∈+*且(1)(2)1i n i a i m m +=+≤≤．。
2024学年北京师大附中高三数学上学期12月考试卷及答案解析
北京师大附中2024-2025学年（上）高三数学月考试卷班级______ 姓名______ 学号______考生须知：1.本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分.2.考生务必将答案填写在答题纸（共8页）上，在试卷上作答无效.3.考试结束后，考生应将答题纸交回.一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 在复平面内，复数z 满足21i z =+，则复数z 对应的点的坐标是（ ）A. ()1,1- B. ()1,1- C. ()1,1-- D. ()1,1【答案】A 【解析】【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，然后根据z 的实虚部可知z 对应的点的坐标.【详解】因为()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，所以z 对应的点的坐标是()1,1-，故选：A.2. 已知集合{}{}0,1,2,A B x x c ==>.若{}1,2A B = ，则c 的最小值是（ ）A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】根据交集的运算可得01c ≤<求解.【详解】根据A ={0,1,2},B ={x |x >c }.若{}1,2⋂=A B ，可得01c ≤<，故c 的最小值为0，故选：B3. 抛物线24x y =的准线方程为（ ）A. 1x = B. 1x =- C. 1y = D. 1y =-【答案】D【分析】计算出p 的值，由此可知准线方程.【详解】因为抛物线2242x y x py =⇔=，所以2p =，因为准线方程为2py =-，所以准线方程为1y =-，故选：D.4. 下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）A. ln y x = B. 2y x= C. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. cos y x=【答案】C 【解析】【分析】根据函数奇偶性定义以及函数单调性判断可得结论.【详解】对于A ，易知ln y x =的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，不是偶函数，即A 错误；对于B ，易知2y x =为偶函数，但在()0,∞+上为单调递增，即B 错误；对于C ，易知12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为偶函数，且在()0,∞+上为单调递减，即C 正确；对于D ，易知cos y x =为偶函数，但在()0,∞+上不单调，即D 错误.故选：C5. 若双曲线2222:1x y C a b -=的一条渐近线方程为y x =，则双曲线C 的离心率为（ ）A.12B.23C.32D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据渐近线方程求出b a 的值，再根据e =可求结果.【详解】因为渐近线方程为y x =，所以b a =，所以32c e a =====，6. 已知0.20.3ln0.3,3,0.2a b c ===则（ ）A. c a b << B. a b c<< C. a c b<< D. b c a<<【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较即可.【详解】由指数函数单调性可知，0.2000.33310.20.20>==>>，由对数函数单调性可知，ln 0.3ln10<=，所以0.30.2ln0.30.23<<，所以a c b <<，故选：C.7. 已知函数()1,0,2,0x x f x x a x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A. 0a <B. 0a >C. 1a ≤D. 1a ≥【答案】D 【解析】【分析】首先求函数在0x <时函数的值域，再根据函数的值域为R ，确定0x ≥时函数的单调性和端点值的范围，求实数a 的取值范围即可.【详解】0x <时，10y x=<，又()f x 的值域为R ，则0x ≥时，()2xf x a =-的值域包含[)0,∞+，又函数()2xf x a =-在[)0,∞+上单调递增，所以10a -≤，解得1a ≥.故选：D8. 在ABC V 中，()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，则C ∠=（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】根据正弦定理角化边可得222a b c ab +-=，即可由余弦定理求解.【详解】由正弦定理可得()()()a c a c b a b +-=-，即222a b c ab +-=，故2221cos 22a b c C ab +-==，由于()0,πC ∈，故π3C =，故选：B9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，则“10a d <<”是“n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据“10a d <<”与“n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列”的互相推出情况判断属于什么条件.【详解】因为()11n a a n d +-=，所以()111n a n d a a d d n n n+--==+；当10a d <<时，10a d -<，此时()1a df n d n-=+显然单调递增，所以10a d <<可以推出n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列；当n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列时，不妨取11,1a d =-=，此时21n a n n =-+为递增数列，但10a d <<不满足，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列不能推出10a d <<，所以“10a d <<”是“n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列”的充分不必要条件，故选：A.10. 已知{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和为123,3,2n S a S ==.若对任意正整数n ，都有(1)0--⋅>n n S A ，则A 的取值范围是（ ）A. ()3,1-B. [)2,1- C. 33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 32,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】先根据条件求解出n S ，然后对n 分奇偶讨论可得min 1212n A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦和max1212n A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫>-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合函数的单调性可求结果.【详解】设{}n a 的公比为q ，因为12133,22a S a ==≠，所以1q ≠，所以()()223133112q S q q -==+=-，所以12q =-，所以131********n n n S ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭==-- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭，因为()10nn S A --⋅>对任意正整数n 恒成立，所以()121102n nA ⎛⎫⎛⎫----⋅> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意正整数n 恒成立；当n 是偶数时，12102n A ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意正整数n 恒成立，则min 1212n A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为()()1212*N n f n n ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎭⎭∈⎝⎝在()0,∞+上单调递增，所以()()min 1322142f n f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以32A <，当n 是奇数时，12102n A ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意正整数n 恒成立，则max 1212n A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫>-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为()()1212*N n g n n ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎭∈⎝⎝在()0,∞+上单调递增，所以n →+∞时，12122n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+→-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2A ≥-，综上所述，A 的取值范围是32,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，故选：D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数()()1ln 12f x x x =-+-的定义域是______.【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】根据对数以及分式的性质即可列不等式求解.【详解】()()1ln 12f x x x =-+-的定义域满足10120x x x ->⎧⇒>⎨-≠⎩且2x ≠，故定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12. 已知{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若221233,S a a a ==，则2a =______；4S =______.【答案】 ①. 2 ②. 15【解析】【分析】根据等比数列通项公式求首项和公比，再由等比数列通项公式和求和公式求解即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，因为221233,S a a a ==，所以22212111113,a a a qa a a q a q +=+==，解得11,2a q ==，所以()4121411162,15112a q a a q S q--=====--．故答案为：2，1513. 若向量()(),1,1,a x b y ==-满足2a b += 的最小值是______.【答案】22【解析】【分析】先分析出(),x y 的轨迹，然后将问题转化为圆内点到圆上点距离的最小值，由此可计算出结果.【详解】因为()1,1a b x y +=-+且2a b += 2=，所以()()22114x y -++=，所以点(),x y 的轨迹是圆心在()1,1-，半径为2的圆，表示(),x y 与()0,0的距离，且()()2201014-++<，即()0,0在圆内，的最小值为22=故答案为：2.14. 已知函数f (x )=sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<y =与曲线y =f (x )的两个交点,A B 如图所示.若π4AB =，且()f x 在区间5π11π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω=______；ϕ=______.【答案】 ①. 2 ②. π3-【解析】【分析】根据()f x =和π4AB =，可构造方程求得ω，并确定5π11π,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭为半个周期，根据正弦函数单调性可构造方程组求得ϕ.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，由()f x =得：12π2π43π2π4x k x k ωϕωϕ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩()Z k ∈，()21π2x x ω∴-=，又21π4AB x x =-=，ππ42ω∴=，解得2ω=.此时()f x 的小正周期2πT πω==，11π5ππT 121222-==，()f x 在区间5π11π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，5π12x ∴=和11π12x ∴=分别为()f x 单调递减区间的起点和终点，当5π11π,1212x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，5π11π2,66x ϕϕϕ⎛⎫+∈++⎪⎝⎭，5ππ2π6211π3π2π62k k ϕϕ⎧+=+⎪⎪∴⎨⎪+=+⎪⎩()Z k ∈，()π2πZ 3k k ϕ∴=-+∈，又π2ϕ<，π3ϕ∴=-，综上所述：2ω=，π3ϕ=-.故答案为：2，π3-.15. 已知函数()211f x kx b x=--+，给出下列四个结论：①存在实数k 和b ，使函数()f x 没有零点；②存在实数k ，对任意实数b ，函数()f x 恰有1个零点；③存在实数b ，对任意实数k ，函数()f x 不会恰有2个零点；④对任意实数k 和b ，函数()f x 不会恰有3个零点.其中所有正确结论的序号是______.【答案】① ② ③【解析】【分析】根据21:1y C x =+图象的对称性，求导得切线斜率的最大值，由数形结合，结合选项即可判断.【详解】()211f x kx b x =--+的零点个数即是直线:y kx b l =+和曲线21:1y Cx =+的交点个数，对于①,由于21:1y C x=+为偶函数，故图象关于y 轴对称，且(]0,1y ∈，当0,0k b =≤或1b >时，此时直线l 和曲线C 没有交点；故①正确 ；对于②，()22212,11x y y x x -='=++，当0x <时，()()()()22322262,11xx g x g x xx --==++'，所以当<x <0,g ′(x )<0,x <g ′(x )>0，故当0,x <<y '单调递减，当x < y ' 单调递增，故当x =y '故()21:01C y x x =<+当k >时，此时直线l 和曲线C 恰有1个交点；故②正确， 对于③，当0b =时，当0k =时，直线:y kx l =与21:1y C x =+无交点，对任意的k 不是0,直线:y kx l =过原点，此时直线与21:1y C x =+只有一个交点，存在实数b ，对任意实数k ，函数()f x 不会恰有2个零点，故③正确，对于④，当直线:y kx b l =+与曲线上21:1y C x =+某一点处，且在切点之上的位置时，此时直线与曲线有3个交点，故④错误.故答案为：①②③.【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知函数()πsin2cos 26f x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，且π142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求a 的值和()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间.的【答案】（1）1a =，πT =（2）π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据π142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入求出a ，再利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得；（2）由正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】因为π()2sin cos cos 26f x a x x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，且π142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以πππππ112sin cos cos 224444622f a a ⎛⎫⎛⎫=+⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1a =，所以π()2sin cos cos 26f x x x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭ππsin2cos2cos sin2sin 66x x x =+-11πsin 2sin2sin2sin 2223x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，即()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2π=π2T =；【小问2详解】由πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，Z k ∈，解得5ππππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣++⎦-，Z k ∈，当0k =时()f x 的单调递增区间为,12125ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当1k =时()f x 的单调递增区间为7π13π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在[0,π]上的单调递增区间为π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.17. 在ABC V 中，sin 2sin cos a B b A B =.（1）求B ∠的大小；（2）若8a =，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在，求ABC V 的面积.条件①：BC ；条件②：2cos 3A =-；条件③：7b =.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）π3B ∠= （2）答案见解析【解析】【分析】（1）借助正弦定理计算即可得；（2）选条件①或③：借助余弦定理与面积公式计算即可得；不可选条件②，不存在这样的ABC .【小问1详解】由sin 2sin cos a B b A B =，在ABC V 中，由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A B A B B =，因为sin 0,sin 0A B >>，所以1cos 2B =，又0πB <∠<，所以π3B ∠=；【小问2详解】选条件①：BC ：设BC 边中点为M ，连接AM ，则4AM BM ==，在ABM 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM AB BM B =+-⋅⋅，即2π21168cos3AB AB =+-⋅，整理得2450AB AB --=，解得5AB =或1AB =-（舍），所以ABC V 的面积为11πsin 58sin 223ABC S AB BC B =⋅⋅=⨯⨯= ，选条件③：7b =：在ABC V 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即222π7816cos 3c c =+-⋅，整理得28150c c -+=，解得3c =或5c =，当3c =时，ABC V的面积为11πsin 83sin 223ABC S ac B ==⨯⨯= ．当5c =时，ABC V的面积为11πsin 85sin 223ABC S ac B ==⨯⨯=△．不可选条件②，理由如下：若2cos 3A =-，故A为钝角，则sin A ==，则sin sin a Bb A===224325b a =>，即b a >，其与A 为钝角矛盾，故不存在这样的ABC V .18. 某医学小组为了比较白鼠注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验．将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A ，第2组注射药物B ．试验结果如下表所示．疱疹面积（单位：2mm ）[)30,40[)40,50[)50,60[)60,70[)70,80第1组（只）34120第2组（只）13231（1）现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于260mm 的概率；（2）从两组皮肤疱疹面积在[)60,80区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数X 的分布列和数学期望()E X ；（3）用“0k ξ=”表示第k 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[)30,50区间内，“1k ξ=”表示第k 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[)50,80区间内（1,2k =），写出方差()1D ξ，()2D ξ的大小关系．（结论不要求证明）【答案】（1）1225（2）分布列见解析，()2E X = （3）()()12D D ξξ<【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式及相互独立事件的概率公式计算可得；（2）依题意X 的可能取值为1、2、3，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；（3）分别求出()10P ξ=，()11P ξ=，()20P ξ=，()21P ξ=，从而求出1D ξ、2D ξ，即可比较.【小问1详解】记被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于260mm 为事件C ，其中从第1组中选出的1只白鼠皮肤疱疹面积小于260mm 的概率为810，从第2组中选出的1只白鼠皮肤疱疹面积小于260mm 的概率为610，所以()8612101025P C =⨯=.【小问2详解】依题意X 的可能取值为1、2、3，且()212436C C 11C 5P X ===，()122436C C 32C 5P X ===，()032436C C 13C 5P X ===，所以X 的分布列为：X123P153515所以()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】依题意可得()17010P ξ==，()13110P ξ==，所以()173301101010E ξ=⨯+⨯=，所以()221373321001101010101000D ξ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()24010P ξ==，()26110P ξ==，所以()246601101010E ξ=⨯+⨯=，所以()2226466240210011010101010001000D ξ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()12D D ξξ<.19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左顶点为A ，上、下顶点分别为12,B B ，直线1AB的方程为0x -=.（1）求椭圆E 的方程及离心率；（2）P 是椭圆上一点，且在第一象限内，M 是点P 关于x 轴的对称点.过P 作垂直于y 轴的直线交直线1AB 于点Q ，再过Q 作垂直于x 轴的直线交直线2PB 于点N .证明：直线MN 的斜率为定值.【答案】（1）E 的方程2213x y +=；离心率为e =； （2）证明见解析；【解析】【分析】（1）根据顶点坐标以及直线方程可得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得椭圆E 的方程及离心率；（2）设出点P (x 0,y 0)，利用对称性并根据直线交点坐标得出,M N 坐标，由椭圆方程化简即可得直线MN【小问1详解】易知()()()12,0,0,,0,A a B b B b --，又直线1AB的方程为0x +=，可得0a ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则c ==；所以椭圆E 的方程为2213x y +=，离心率为c e a ===.【小问2详解】依题意可设()0000,,0,0P x y x y >>，则由对称性可知()00,M x y -，如下图所示：易知,P Q 两点纵坐标相同，可得()0,Q Q x y ，又Q点在直线0x +=上，解得0Q x =)00Qy -；又,Q N两点横坐标相同，可得)0N Ny -；因为N 点在直线2PB 上，所以22NB PB k k =001y x =+，解得1N y =；又点P (x 0,y 0)在椭圆上可得220013x y +=，因此220013x y -=-，所以11N y =-=-；即01N ⎫-⎪⎪⎭所以直线MN的斜率为MNk ====，即可得直线MN 的斜率MN k =.20 已知函数()()221ln ,f x x a x a x a =-++∈R .（1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程.（2）若()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的极值.（3）若()fx 在[]1,e 上的最小值为2a -，求a 的取值范围..【答案】（1）340x y --= （2）极大值15ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，极小值()12f =-； （3）(1],-∞【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）根据()f x 在1x =处取得极值，求出a 的值，从而判断函数的单调性，求得极值；（3）分类讨论，讨论a 与区间[]1,e 的位置关系，确定函数单调性，结合函数的最值，即可确定a 的取值范围.【小问1详解】若0a =，则()2=-f x x x ，则()21f x x '=-，故()()22,23f f '==，故曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程为23(2)y x -=-，即340x y --=；【小问2详解】()()221ln ,f x x a x a x a =-++∈R 定义域为(0),+∞，则()()221af x x a x'=-++，由于()f x 1x =处取得极值，故()()12210,1f a a a '=-++=∴=，则()()()2211123123x x x x f x x x x x---+'=-+==，令()0f x '>，则102x <<或1x >，函数()f x 在10(1)2,,,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上均单调递增，令()0f x '<，则112x <<，函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故当12x =时，()f x 取到极大值11315ln ln 224224f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，当1x =时，()f x 取到极小值()1132f =-=-；【小问3详解】在由于()()()()[],1,e 21221x x a a f x x a x x x--'=-++=∈，当1a ≤时，()0f x '≥，仅在1,1a x ==时等号取得，()f x 在[]1,e 上单调递增，则()min (1)2f x f a ==-，符合题意；当1e a <<时，则1x a <<时，()0f x '<，()f x 在[]1,a 上单调递减，e a x <<时，()0f x '>，()f x 在[],e a 上单调递增，故()min ()(1)2f x f a f a =<=-，不符合题意；当e a ≥时，()0f x '<，()f x 在[]1,e 上单调递减，故()min (e)(1)2f x f f a =<=-，不符合题意；综上，可知a 的取值范围为(1],-∞.【点睛】方法点睛：第三问根据函数的最小值求解参数范围，求出导数后，要分类讨论，讨论a 与区间[]1,e 的位置关系，从而确定最值，求得参数范围.21. 对于由有限个自然数组成的集合A ，定义集合S （A ）={a+b|a ∈A ，b ∈A}，记集合S （A ）的元素个数为d （S （A ））．定义变换T ，变换T 将集合A 变换为集合T （A ）=A ∪S （A ）．（1）若A={0，1，2}，求S （A ），T （A ）；（2）若集合A 有n 个元素，证明：“d （S （A ））=2n-1”的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；（3）若A ⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T （T （A ）），求元素个数最少的集合A ．【答案】（1）{}()()0,1,2,3,4S A T A ==；（2）见解析；（3）{}1,5,8【解析】【分析】（1）根据定义直接进行计算即可（2）根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行证明 （3）首先证明：1∈A ，然后根据条件分别判断A 中元素情况即可得到结论．【详解】（1）若集合A={0，1，2}，则S （A ）=T （A ）={0，1，2，3，4}． （2）令{}12,,n A x x x = ．不妨设12n x x x <<< ．充分性：设{}k x 是公差为()d d ≠0的等差数列．则111(1)(1)2(2),(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤ 且22i j n +……．所以i j x x +共有2n-1个不同的值．即d （S （A ））=2n-1．必要性：若d （S （A ））=2n-1．因为1122,(1,2,,1)i i i i x x x x j n ++<+<=- ．所以S （A ）中有2n-1个不同元素：12122312,2,,2,,,,n n n x x x x x x x x x -⋯++⋯+ 任意i j x x +（1≤i ，j≤n ） 的值都与上述某一项相等．又1212i i i i i i x x x x x x ++++++<+<，且11122,(1,2,,2)i i i i i x x x x x j n ++++++<<=- ．所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0．（3）首先证明：1∈A ．假设1∉A ，A 中的元素均大于1，从而1∉S （A ），因此1∉T （A ），1∉S （T （A ）），故1∉T （T （A ）），与{1，2，3，…，25，26}⊆T （T （A ））矛盾，因此1∈A ．设A 的元素个数为n ，S （A ）的元素个数至多为C 2n +n ，从而T （A ）的元素个数至多为C 2n +n+n=()32n n +．若n=2，则T （A ）元素个数至多为5，从而T （T （A ））的元素个数至多为582⨯=20，而T （T （A ））中元素至少为26，因此n≥3．假设A 有三个元素，设{}231,,A a a =，且2318a a <<…，则1，2，3223,1,,1a a a a ++，32232,,2()a a a a T A +∈，从而1，2，3，4∈T （T （A ））．若25a >，T （T （A ））中比4大的最小数为2a ，则5∉T （T （A ）），与题意矛盾，故2a ≤5．集合T （T （A ））．中最大数为34a ，由于26∈T （T （A ）），故34a ≥26，从而3a ≥7，（i ）若A={1，a 2，7}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，7，8，22a ，7+2a ，14∈T （A ），则有8+14=22，2×14=28∈T （T （A ）），在22与28之间可能数为14+22a ，21+2a ．此时23，24，25，26不能全在T （T （A ））．中，不满足题意．（ii ）若A={1，2a ，8}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，8，9，22a ，8+2a ，16∈T （A ），则有的的16+9=25∈T（T（A）），若26∈T（T（A）），则16+22a=26或16+（8+2a）=26，解得2a=5或2a=2．当A={1，2，8}时，15，21，23∉T（T（A））．不满足题意．当A={1，2，8}时，T（T（A））={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32}，满足题意．故元素个数最少的集合A为{1，5，8}【点睛】本题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用，综合性强，难度比较大．不太好理解．。
2024北京北师大附中高三(上)期中数学(教师版)
2024北京北师大附中高三（上）期中数 学班级：________姓名：________学号：________考生须知1．本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分. 2．考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 3．考试结束后，考生应将答题卡交回.一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=−<∣∣，则M N =（ ）A. {21}x x −≤<∣B. {21}x x −<≤∣C. {2}xx ≥−∣ D. {1}xx <∣ 2. 设ln 2a =，cos 2b =，0.22c =，则（ ） A. b c a << B. c b a << C. b a c <<D. a b c <<3. 设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 将y =cos 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ） A. sin 2y x = B. cos 2y x =C. cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D. cos 26y x π⎛⎫=−⎪⎝⎭5. 已知函数()21x f x =−，则不等式()f x x ≤的解集为（ ）A. (],2−∞B. []0,1C. [)1,+∞D. []1,26. 设函数()e ln x f x x =−的极值点为0x ，且0x M ∈，则M 可以是（ ） A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,2D. ()2,47. 在ABC 中，90,4,3C AC BC =︒==，点P 是AB 的中点，则CB CP ⋅=（ ）A.94 B. 4C.92D. 68. 已知{}n a 是递增的等比数列，其前n 项和为*(N )n S n ∈，满足26a =，326S =，若2024n n S a +>，则n 的最小值是（ ）A. 6B. 7C. 9D. 109. 设R c ∈，函数(),0,22,0.xx c x f x c x −≥⎧=⎨−<⎩若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. {}[)01,+∞C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. {}10,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10. 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式．如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab 个小球，第二层有(1)(1)a b ++个小球，第三层有(2)(2)a b ++个小球……依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为[(2)(2)()]6n b d a d b c c a ++++−．若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数4i1iz =−，则复数z 的模z =________． 12. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若16a =，260a a +=，则8S =________．13. 在ABC 中，222a c b +=．则B ∠的值是________；cos y A C =+的最大值是________．14. 设函数()()()11,1,lg 1.x a x x f x x a x ⎧−++<=⎨−≥⎩①当0a =时，((10))f f =________；②若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是________．15. 已知函数()222f x x x t =−+，()e xg x t =−.给出下列四个结论：①当0t =时，函数()()y f x g x =有最小值；②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增； ③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2. 其中所有正确结论的序号是___________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 如图，在ABC 中，2π3A ∠=，AC =，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，CD =（1）求ADC ∠的值； （2）求BC 的长度； （3）求BCD △的面积．17. 已知函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π．（1）若2A =，(0)1f =，求ϕ的值；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定()f x 的解析式，并求函数()()2cos 2h x f x x =−的单调递增区间．条件①：()f x 的最大值为2； 条件②：()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；条件③：()f x 的图象经过点π12⎛⎝． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．18. 为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了20152023−年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．记20152023−年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为b ．定义产销率为“100%=⨯销量产销率产量”． （1）从20152023−年中随机取1年，求工业机器人的产销率大于100%的概率；（2）从20202318−年这6年中随机取2年，这2年中有X 年工业机器人的产量不小于a ，有Y 年工业机器人的销量不小于b ．记Z X Y =+，求Z 的分布列和数学期望()E Z ；（3）从哪年开始的连续5年中随机取1年，工业机器人的产销率超过70%的概率最小．结论不要求证明19. 已知椭圆2222:1x y E a b+=过点()2,1P −和()Q .（1）求椭圆E 的方程；（2）过点()0,2G 作直线l 交椭圆E 于不同的两点,A B ，直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交y 轴于点N .若2GM GN ⋅=，求直线l 的方程.20. 已知函数()ln ()x a f x x−=．（1）若1a =，求函数()f x 的零点：（2）若1a =−，证明：函数()f x 是(0,+∞)上的减函数；（3）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y −=平行，求a 的值． 21. 已知()12:,,,4n n A a a a n ≥为有穷数列．若对任意的{}0,1,,1i n ∈−,都有11i i a a +−≤（规定0n a a =）,则称n A 具有性质P ．设()(){},1,22,1,2,,n ijT i j a aj i n i j n =−≤≤−≤−=．（1）判断数列45:1,0.1, 1.2,0.5,:1,2,2.5,1.5,2A A −−是否具有性质P ？若具有性质P ,写出对应的集合n T ;（2）若4A 具有性质P ,证明:4T ≠∅;（3）给定正整数n ,对所有具有性质P 的数列n A ,求n T 中元素个数的最小值．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】A【分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥−∣，{10}{|1}N x x x x =−<=<∣， 根据交集的运算可知，{|21}M N x x =−≤<.故选：A 2. 【答案】C【分析】利用“0,1分段法”来确定正确答案.【详解】ln1ln 2ln e,01a <<<<，0.20221c =>=，π2π,cos 202b <<=<， 所以b ac <<. 故选：C 3. 【答案】A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为22sin cos 1x x +=可得： 当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立； 当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立；所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A. 4. 【答案】D【分析】利用三角函数平移变换结论求解. 【详解】将cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到cos 2cos 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−+=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故选：D ． 5. 【答案】B【分析】将不等式()f x x ≤转化为两个函数12y y ，，在同一坐标系下作出两个函数的图象，由图像可得结果.【详解】因为()21xf x =−，所以()f x x ≤，即21x x ≤+，令122,1xy y x ==+，且均为增函数，则不等式为12y y ≤，在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示， 又当0x =时01221,011y y ===+=， 当1x =时，11222,112y y ===+=， 所以由图像可知：12y y ≤的解集为：[0,1]， 故选：B.6. 【答案】B【分析】利用导数以及零点存在性定理来判断出正确答案. 【详解】()f x 的定义域是(0,+∞)，()1e xf x x='−，f ′(x )在区间(0,+∞)上单调递增， ()120,1e 102f f ⎛⎫=''=− ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 使得()00f x '=，且在区间(00,x 上()()0,f x f x '<在()00,x 单调递减，在区间()0,x ∞+上()()0,f x f x '>在()0,x +∞单调递增，所以0x 是()f x 的极小值点， 所以1,12M ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选：B 7. 【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算计算可得；【详解】解：如图建立平面直角坐标系，则()4,0A ，()0,3B ，()0,0C ，32,2P ⎛⎫⎪⎝⎭所以()0,3CB =，32,2CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3902322CB CP ⋅=⨯+⨯= 故选：C8. 【答案】B【分析】求得等比数列{}n a 的首项和公比，由此化简2024n n S a +>并求得正确答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，12111626a q a a q a q =⎧⎨++=⎩，123a q =⎧⎨=⎩或11813a q =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）， 所以()121323,3113n n n na S −−=⋅==−−.由1123123024531nn n n n S a −−+>=−+⋅=⋅−，13405n −>，5632434057293=<<=，所以n 的最小值为7.故选：B 9. 【答案】D【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将(),02,0xx x g x x ≥⎧=⎨<⎩图象平移，以及对参数c 进行分类讨论即可得出其取值范围.【详解】画出函数(),02,0x x x g x x ≥⎧=⎨<⎩的图象如下图所示：函数,0,()22,0.x x c x f x c x −≥⎧=⎨−<⎩可由,0,()2,0.xx x g x x ≥⎧=⎨<⎩分段平移得到， 易知当0c =时，函数()f x 恰有一个零点，满足题意； 当0c <时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当0c >时，图象往下平移，当021c <<时，函数有两个零点； 当21c ≥时，()f x 恰有一个零点，满足题意，即12c ≥； 综上可得c 的取值范围是{}10,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：D 10. 【答案】A【分析】转化题给条件为27725ab a b ++=，再由,a b 皆为正整数分类讨论即可求解.【详解】由题意知，8n =，于是得最底层小球的数量为(7)(7)cd a b =++，即7c a =+，7d b =+. 从而有8[(27)(214)(7)7]2406b b a b b a ⋅+++++++=，整理得(27)(214)(7)7180b b a b b a +++++++=，(37)(314)(7)173b a b a ++++=，373142198173ab a ab a b +++++=， 6212175ab a b ++=，27725ab a b ++=，由于,a b 皆为正整数，所以（i ）当1,1a b ==时，21171711625⋅⋅+⋅+⋅=<， 当1,2a b ==时，212717225⋅⋅+⋅+⋅=，（iii ）当1,3a b ==时，21371733425⋅⋅+⋅+⋅=>， （iv ）当2,2a b ==时，22272723625⋅⋅+⋅+⋅=> 只有1,2a b ==符合题意，即ab 的值为2. 故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要考查新文化背景下的数列问题，确定27725ab a b ++=是解决本题的关键. 分类讨论与验证的严谨性：在分类讨论中，每一个可能的a 值都需要进行仔细的验证，确保没有遗漏任何符合条件的解.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 【答案】【分析】根据复数运算求得正确答案. 【详解】()()()()4i 1i 4i 2i 1i 22i 1i 1i 1i z +===+=−+−−+，z ==故答案为： 12.【答案】8−【分析】求得等差数列{}n a 的公差，进而求得8S . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则261261260,2a a a d d d +=+=+==−， 所以8182848568S a d =+=−=−. 故答案为：8− 13. 【答案】 ①.π4##45︒ ②. 1 【分析】利用余弦定理求得cos B，从而求得B ；利用三角恒等变换的知识求得cos y A C =+的最大值.【详解】由222a cb +=+，得222cos 22a cb B ac +−==，所以B 为锐角，且π4B =.πcos cos 4y A C A A ⎛⎫=+=−+ ⎪⎝⎭πcos sin 224A A A ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 3π04A <<，πππ44A <+<，所以当ππ42A +=，即π4A =时，cos y A C =+取得最大值为1.故答案为：π4；1 14. 【答案】 ①. 0 ②. (][),02,−∞⋃+∞【分析】①根据函数解析式求得((10))f f .②对a 进行分类讨论，根据()f x 零点的个数求得a 的取值范围.【详解】①，0a =时，()()21,1lg ,1x x f x x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，所以()10lg101f ==， 所以()((10))1lg10f f f ===.②，令()0f x =，可得:当1x <时，()()110x a x −++=， 所以1x =−或1x a =−，当0a =或2a ≥时，方程()()110x a x −++=在(),1−∞上有唯一解1x =−，当0a <或02a <<时，方程()()110x a x −++=在(),1−∞上的解为1x =−或1x a =−， 当1x ≥时，lg 0x a −=， 所以当0a ≥时，10a x =，当0a <时，方程lg 0x a −=在[)1+∞，上无解， 综上，当0a <时，函数()f x 有两个零点1,1a −−， 当0a =时，函数()f x 有两个零点1,1−，当02a <<时，函数()f x 有三个零点1,1,10a a −−， 当2a ≥时，函数()f x 有两个零点1,10a −， 因为()f x 恰有2个零点，所以2a ≥或0a ≤， 所以a 的取值范围是(][),02,−∞⋃+∞. 故答案为：0；(][),02,−∞⋃+∞ 15. 【答案】①②④【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断②的正误；取1t =−，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误. 【详解】对于①，当0t =时，()()()22e xy f x g x x x ==−，则()22e xy x '=−，由0'<y可得x <<，由0y >'可得x <或x >，此时，函数()22e xy x x =−的增区间为(,−∞、)+∞，减区间为(，当0x <或2x >时，()22e 0xy x x =−>，当02x <<时，()22e 0xy x x =−<， 故函数()22e xy x x =−在x =处取得最小值，①对；对于②，()()()()()2222e 22e 2e 2e 1xxxxy x t x x t x t x '=−−+−+=−+−+，令()e 1xh x x =−+，其中1x ≥，则()e 10xh x '=−>，所以，函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，所以，()()e 11e 0xh x x h =−+≥=>，则e 1e 0x x −≤−<，由()()22e 2e 10xxy x t x '=−+−+≥可得()22e2e 1xxx t x −≥−+，构造函数()()22e e 1x x x p x x −=−+，其中1x ≥，则()()()()23224e 42e 442e e e 1e 1x x x xx x x x x x x x p x x x ⎛⎫−+− ⎪−+−⎝⎭'==−+−+， 令()2442e x q x x x =−+−，其中1x ≥，则()()242e 0x q x x x'=−−<， 所以，函数()q x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x ≥时，()()112e 0q x q ≤=−<，则()0p x '<，即()p x 在[)1,+∞上单调递减， ()()max 11p x p ∴==，则21≥t ，解得12t ≥，②对； 对于③，()()22e x y f x g x x x t =+=−++，22e x y x '=−+，因为函数22e x y x '=−+在R 上单调递增，010x y ==−'<，1e 0x y ='=>，所以，存在()00,1x ∈，使得0y '=，当0x x <时，0'<y ，此时函数22e x y x x t =−++单调递减，当0x x >时，0y >'，此时函数22e x y x x t =−++单调递增，所以，对任意的实数t ，函数22e x y x x t =−++有最小值，③错；对于④， 令()22e xu x x x =−++()010u t =+=，即取1t =−， 由③可知，函数()22e 1xu x x x =−+−在()0,x −∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 因为()00,1x ∈，则()()000u x u <=，()22e 10u =−>， 所以，存在()10,2x x ∈，使得()10u x =，此时函数()u x 的零点之和为1102x x +=<，④对.故答案为：①②④.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）π4（2（3）1)4【分析】（1）在ADC △中，利用正弦定理即可得解； （2）由（1）可求出ACD BCD ∠=∠，判断出ABC 为等腰三角形，进而求得BC . （3）根据三角形的面积公式即可得解.【小问1详解】在ADC △中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC A=∠∠，所以2πsin sin2AC A ADC CD⋅∠∠===， 因为π03ADC ∠<<， 所以π4ADC ∠=； 【小问2详解】 由（1）得2ππππ3412ACD BCD ∠=∠=−−=， 由题设，π6B ACB ∠=∠=，即ABC 为等腰三角形，所以π2cos6BC AC =⨯⨯=. 【小问3详解】ππ1sin 3422224⎛⎫−=⨯−⨯= ⎪⎝⎭，所以BCD △的面积11π1)sin 22124BCD SBC CD BCD −=⋅⋅∠==. 17. 【答案】（1）π6ϕ= （2）()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，单调递增区间πππ,π63k k ⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 【分析】（1）根据条件，代入()2,01A f ==，即可求解；（2）根据三角函数的性质，选择条件，代入后，即可求解函数的解析式，利用三角恒等变换，代入函数单调递增区间，即可求解.【小问1详解】因为2A =，()01f =，则12sin 1,sin 2ϕϕ==，且π02ϕ<<，则π6ϕ=. 【小问2详解】因为函数()f x 的最小正周期为π，则2ω=，若选①②，则2A =，且5π5π2sin 0126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且π02ϕ<<，则5π5π4π663ϕ<+<，则5ππ6ϕ+=，则π6ϕ=， 所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；若选择①③，则2A =，且ππ2sin 126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 62ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， π02ϕ<<，则ππ2π663ϕ<+<，则ππ63ϕ+=，则π6ϕ=， 所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 若选择②③，由②可知，π6ϕ=，由③可知，πππsin 12662f A A ⎛⎫⎛⎫=+=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2A =， 所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. ()π2sin 22cos 22cos 26h x x x x x ⎛⎫=+−=− ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭， 令πππ2π22π262k x k −+≤−≤+，k ∈Z ， 得ππππ63k x k −+≤≤+，k ∈Z ， 所以函数ℎ(x )的单调递增区间是πππ,π63k k ⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 18. 【答案】（1）49（2）分布列见解析；()103E Z =（3）2018年和2019年【分析】（1）按古典概型的概率计算求解.（2）先根据中位数的概念确定a ，b 的值，在确定X ，Y 的所有可能值，进一步得Z 的所有可能的取值，再求Z 的分布列.（3）计算产销率，可直接得到结论.【小问1详解】记事件A 为“工业机器人的产销率大于100%”．由表中数据，工业机器人的产销率大于100%的年份为2015年，2016年，2017年，2018年，共4年． 所以()49P A =． 【小问2详解】因为18.7a =，15.4b =，所以X 的所有可能的取值为1,2；Y 的所有可能的取值为1,2．所以Z 的所有可能的取值为234,,．2226C 1(2)C 15===P Z ，112426C C 8(3)C 15===P Z ，2426C 2(4)C 5===P Z ． 所以Z 的分布列为：故Z 的数学期望()210234151553E Z =⨯+⨯+⨯=． 【小问3详解】2018年和2019年． 19. 【答案】（1）22182x y += （2）2y x =+或0x =【分析】（1）两个点()()2,1,P Q −代入解方程即可.(2)斜率不存在单独算出2GM GN ⋅=是否成立；斜率存在时把l 设出来与椭圆联立，韦达定理求出两根之和与两根之积用斜率k 来表示，然后GM GN ⋅用两个根表示，化简求值即可.【小问1详解】 将点()()2,1,P Q −坐标代入椭圆E 的方程，得222411,81,a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得228,2a b ==,所以椭圆E 的方程为：22182x y += 【小问2详解】若直线l 的斜率不存在，即直线l 为0x =时，A 和M 重合，B 和N点重合，分别为椭圆的上下顶点(0,，此时((222GM GN ⋅=⨯=，符合题意.若直线l 斜率存在，设直线AB 的方程为2y kx =+，()()(11221,,2A x y B x y x ≠−且)22x ≠−，联立方程222182y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()22411680k x kx +++=，()()()2222116324132410,,4k k k k ∆=−+=−>∴>即12k >或12k <− 11212221216841411PA y k x x x x k k k x −−+=⋅==+++，所以直线PA 的方程为()111212y y x x −=+++，取0x =得()11210,12y M x −⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，同理可得()22210,12y N x ⎛⎫−+ ⎪+⎝⎭由2GM GN ⋅=得()()121221*********y y x x −−+−⋅+−=++，即()()1212212111222y y x x −−−⋅−=++，所以()2121221222x x k x x −⋅=++，即()()212121221224x x k x x x x −=+++，即()222284121283244141k k k k k +−=−++++ 即()22211483k k k −=−+，因为12k >，所以得21123k k −=−，即1k =，经检验符合题意，此时直线l 为2y x =+综上所述，直线l 的方程为2y x =+或0x =.20. 【答案】（1）2 （2）证明见解析.（3）0.【分析】（1）直接解方程即可求出零点；（2）利用导数证明函数的单调性；（3）先由()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y −=平行，得到()ln 11a a a−=−，用图像法求出a =0.【小问1详解】当1a =时，()ln 1()x f x x−=. 令()ln 1()0x f x x−==，解得：x =2. 即函数()f x 的零点是2.【小问2详解】当1a =−时，()ln 1()x f x x +=定义域为()()1,00,−+∞.所以()()()21ln 1()1x x x f x x x −++'=+.令()()()1ln 1g x x x x =−++，则()()ln 1g x x '=−+当x ∈(0,+∞)时，()0g x '<恒成立，所以()g x 在x ∈(0,+∞)上单调递减，所以当0x >时，都有()()00g x g <=.所以()0f x '<在x ∈(0,+∞)上恒成立，所以函数()f x 是(0,+∞)上的减函数.【小问3详解】()()()2ln ()x x a x a f x x x a −−−'=−.所以()()11ln 1(1)1a a k f a−−−'==−. 因为()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y −=平行，所以()()11ln 1(1)11a a k f a −−−'===−. 即()ln 11a a a−=−. 记()()()ln 111a h a a a a=−−<−，则()()21a h a a '=−. 当0a <时，()()201a h a a '=<−，所以()h a 单调递减；当01a <<时，()0h a '>，所以()h a 单调递增.而()0ln100h =−=，所以a =0是方程()ln 11a a a−=−的唯一解. 故a =0.21. 【答案】（1）4A 不具有性质P ,5A 具有性质P ,()()()(){}51,4,2,4,2,5,3,5T = （2）证明见解析 （3）3n −【分析】(1)根据性质P 的定义,观察到32 1.31a a −=>,可得4A 不具有性质P ,根据5:1,2,2.5,1.5,2A ,可以发现5A 中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故5A 具有性质P ,根据5T 定义代入求值,即可得出5T ;(2) “4T ≠∅”等价于“证明()()1,3,2,4两个元素至少有一个在4T 中”,利用反证法假设()()1,3,2,4两个元素都不在4T 中,通过范围推出矛盾即可.(3) 设n T 中元素个数最小值为n d ,根据新定义可得11n n d d −≥+,以此类推可得44n d d n ≥+−,由(2)中的结论可得41d ≥,即可得3n d n ≥−,再进行验证即可.【小问1详解】解:由题知4:1,0.1, 1.2,0.5A −−,即12341,0.1, 1.2,0.5,a a a a ===−=− 因为32 1.31a a −=>,所以4A 不具有性质P ,由于5:1,2,2.5,1.5,2A ,即123451,2, 2.5, 1.5,2,a a a a a ===== 因为21324311,0.51,11,a a a a a a −=≤−=≤−=≤54510.51,11,a a a a −=≤−=≤故5A 具有性质P , 因为41420.51,0.51,a a a a −=≤−=≤523501,0.51,a a a a −=≤−=≤故()()()(){}51,4,2,4,2,5,3,5T =;【小问2详解】“4T ≠∅”等价于“证明()()1,3,2,4两个元素至少有一个在4T 中”,假设()()1,3,2,4两个元素均不在4T 中, 则有31421,1,a a a a −>−>不妨设12a a ≤,若23a a >,则由()()313221a a a a a a −=−+−,可得3111a a −≤−<, 与311a a −>矛盾,故23a a ≤,同理34a a ≤,从而1234a a a a ≤≤≤, 所以()()01414221421a a a a a a a a a a −=−=−+−≥−>,与4A 具有性质P 矛盾,所以假设不成立,即4T ≠∅;【小问3详解】设{}()123min ,,,,21,k n a a a a a k n =≤≤−规定1k =时,1k n a a −=, k n =时,11k a a +=,则[]11,,1k k k k a a a a −+∈+, 所以111k k a a +−−≤,考虑数列311:,,k k k B a a a −+,112311:,,,,,,,n k k n C a a a a a a −−+,由题设可知,他们均具有性质P ,设n T 中元素个数最小值为n d ,所以11n n d d −≥+,所以124124n n n d d d d n −−≥+≥+≥≥+−, 由(2)知41d ≥,从而3n d n ≥−,当21n m =+时,令()()31,2,,,1,2,,12i m i a i i m a m i i m +===+−=+, 当2n m =时,令()()11,2,,,1,2,,2i m i a i i m a m i i m +===+−=,此时均有3n d n =−,所以n T 中元素个数的最小值为3n −.【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题的思路有:(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思;(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言;(3)将已知条件代入新定义的要素中;(4)结合数学知识进行解答.。
北京师范大学附属实验中学高三数学上学期期中试题 理
北京师范大学附属实验中学2015届高三数学上学期期中试题 理第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|}M x x a =≤，{|20}N x x =-<<，若M N φ=I ，则a 的取值范围为 A.0a > B. 0a ≥ C.2a ≤- D. 2a <- 2．下列函数中，在定义域内是减函数的是A ．1()f x x=-B．()f x =C ．()2xf x -=D ．()tan f x x =3.已知点P 是函数()sin()6f x x πω=+的图像C 的一个对称中心，若点P 到图像C 的对称轴距离的最小值为4π，则)(x f 的最小正周期是 A ．2π B. π C.2π D. 4π 4．已知向量1(3,1),(2,),2a b ==-r r 则下列向量可以与2a b +r r 垂直的是A. (1,2)-B. (2,1)-C. (4,2)D. (4,2)-5．“1t >”是“1t t<”成立的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)nn a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7.数列{}n a 中，112a =，111n n n a a a ++=-（其中*n ∈N ），则使得12372n a a a a ++++≥L 成立的n 的最小值为A. 236B. 238C. 240D. 2428．已知集合12{,,,}(2)n A a a a n L =>，令{},1A ijT x x a a i j n ==+??，card()A T 表示集合A T 中元素的个数.关于card()A T 有下列四个命题 ①card()A T 的最大值为212n ； ②card()A T 的最大值为1(1)2n n -；③card()A T 的最小值为2n ； ④card()A T 的最小值为23n -. 其中，正确的是（ ）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.在ABC D 中，若tan 2A =-，则cos()B C += .10．设0.5a e =，log 2b π=，cos2c =，则,,a b c 从大到小．．．．的顺序为 . 11．已知函数()2sin f x x x =-，则函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为 ；在(0,)π上的单调递增区间为 .12.若函数(1)0()()0ax x x f x x a x x +≥⎧=⎨-<⎩为奇函数，则a 的值为 ，满足(1)(2)f t f t -<的实数t 的取值范围是 .13．如图，线段2AB =，点,A B 分别在x 轴和y 轴的非负半轴上运 动．以AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =．设O 为原点，则OC OD ⋅u u u r u u u r的取值范围是______.14.对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P.（1）下列函数中具有性质P 的有 .①()222f x x =-+ ②()sin f x x =([0,2])x π∈ ③1()f x x x=+，((0,))x ∈+∞ ④()ln(1)f x x =+ （2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.设0c >.命题:log c P y x =是减函数；命题:120Q x x c --+>对任意x R ∈恒成立.若或P Q 为真，且P Q 为假，试求c 的取值范围.16.如图，已知点(10,0)A ，直线(010)x t t =<<与函数21x y e +=的图象交于点P ，与x 轴交于点H ，记APH ∆的面积为()f t . （I ）求函数()f t 的解析式； （II ）求函数()f t 的最大值.17．在△ABC 中，已知34C π=，21cos 2sin 2B A =+． （Ⅰ）求tan B ；（Ⅱ）若2BC =，求△ABC 的面积．18.已知函数()ln(1)()f x x ax a R =+-∈.（Ⅰ）若1a =，求证：当0x >时，()0f x <； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）求证：e n<+++)211()411)(211(Λ.19.已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为32. （Ⅰ）求抛物线C 的方程;（Ⅱ）设点()00,P x y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q .（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点Q 的直线m 交抛物线C 于,A B 两点，过点,A B 分别作抛物线C 的切线12,l l ，求12,l l 交点M 满足的轨迹方程.20.已知数列{}n a 的首项1,a a =其中*a ∈N ，*1*,3,,31,3,.nn n nn a a l l a a a l l +⎧=∈⎪=⎨⎪+≠∈⎩N N 令集合*{|,}n A x x a n ==∈N .（Ⅰ）若4a 是数列{}n a 中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项； （Ⅱ）求证：{1,2,3}A ⊆；（Ⅲ）当2014a ≤时，求集合A 中元素个数()Card A 的最大值.密 封 线 内 不 要 答 题北京师范大学附属实验中学2014—2015学年度第一学期期中高三年级 考试答题纸理科数学一、选择题请将选择题的答案填涂在机读卡上 二、填空题9. . 10． ． 11． ； .12. ； 13． ． 14. ； .三、解答题 15.（本题13分）16.（本题13分）班级 姓名 学号-17.（本题13分）18.（本题14分）北京师范大学附属实验中学2014—2015学年度第一学期期中高三年级考试答题纸理科数学（本题14分）20.（本题13分）北京师范大学附属实验中学2014—2015学年度第一学期高三年级数学（理）期中试卷答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.9.5． a b c >> 11． y x =-， (,)3ππ 12. 1，1t >- 13. [1,3] 14． （1） ①②④，（2）0a a e >≤-或 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. P 真：01c << Q 真：12c >1(0,][1,)2c ∈+∞U16.解：（I ）由已知2110,t AH t PH e +=-= 所以APH ∆的面积为211()(10),0102t f t t e t +=-<<.（II ）解： 21212111'()(10)2(192)22t t t f t e t e e t +++=-+⨯-⨯=-由'()0f t =得9.5t =， 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况下表：所以当9.5t =时，函数()f t 取得最大值2014t e =.17．（Ⅰ）解：由34C π=，得 2111cos 2sin ()[1cos(2)]24222B B B ππ=+-=+--． 所以 2112sin 1sin 21sin cos 2B B B B -=-=-，即 22sin sin cos B B B =．因为 04B π<<，所以sin 0B >， 所以 1tan 2B =．（Ⅱ）解：由04B π<<，1tan 2B =，得 sin B =，cos B =.所以 sin sin()sin cos cos sin 444A B B B πππ=-=-=由正弦定理得sin sin AC BCB A =， 所以 AC =所以 △ABC 的面积1sin 22S AC BC C =⋅=.18.（Ⅰ）易证（Ⅱ）当0a ≤时，()f x 在(1,)-+∞单调递增；当0a >时，()f x 在1(1,1)a --+单调递增，在1(1,)a-++∞单调递减 （Ⅲ）要证e n <+++)211()411)(211(Λ，两边取以e 为底的对数，即只需证明 1)211ln()411ln()211ln(<+++++n Λ由（Ⅰ）可知，ln(1)(0)x x x +<>，分别取111,,,242n x =L ，得到111111ln(1),ln(1),,ln(1)224422n n +<+<+<L将上述n 个不等式相加，得n n 214121)211ln()411ln()211ln(+++<+++++ΛΛ1211<-=n .从而结论成立.19.（Ⅰ）24x y =（Ⅱ）直线AB ：00220x x y y --= 定点(2,2)Q （Ⅲ）点M 满足的轨迹方程：20x y --=20.解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3.（II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+；若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++；若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+；所以3123k k a a +≤+，所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=-所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”. 因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）若3m a =,则121,2m m a a ++==；若2m a =,则123,1m m a a ++==,若1m a =,则122,3m m a a ++==,由递推关系易得{1,2,3}A ⊆. （III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21.由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：当{1,2,3}m a ∈时，总有3n n a a +=成立，其中,1,2,n m m m =++L . 下面考虑当12014a a =≤时，数列{}n a 中大于3的各项： 按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b =或9， 由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足：3n n b b +>，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b +-最小，需使2112n n n b b b ++=-=-，所以，满足3n n b b +-最小的数列{}n b 中，34b =或7，且33332k k b b +=-，所以33(1)13(1)k k b b +-=-，所以数列3{1}k b -是首项为41-或71-的公比为3的等比数列，所以131(41)3k k b --=-⨯或131(71)3k k b --=-⨯，即331k k b =+或3231k k b =⨯+， 因为67320143<<，所以，当2014a ≤时，k 的最大值是6，所以118a b ，所以集合A 重元素个数()Card A 的最大值为21.。
2024北京清华附中高三(上)开学考数学试题及答案
2024北京清华附中高三（上）开学考数 学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}1,0,1A =−，集合2{|20}B x Z x x =∈−≤，那么A B 等于（ ）A. {}1−B. {}01，C. {}0,1,2D. {}1,0,1,2−2. 设复数z 满足()22i z i −=+，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设R a b c ∈,,，且b c >，下列不等式恒成立的是（ ） A. 22a b a c +>+ B. 22a b a c +>+ C. 22ab ac >D. 22a b a c >4. 下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. ()ln f x x =− B. 1()2xf x =C. 1()f x x=−D. |1|()3x f x −=5. 若圆22860x x y y m ++−+=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A. (],9−∞B. (],16−∞C. [)9,25D. [)16,256. 已知抛物线24x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，6AF =，则线段AF 的中点的纵坐标为（ ） A.52 B.72C. 3D. 47. 在ABC 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +−=−，则C ∠=（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π68. 已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI 算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行155104⨯次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行1282次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数据：lg 20.301≈，0.43110 2.698≈）（ ） A. 222.69810⨯秒B. 232.69810⨯秒C. 242.69810⨯秒D. 252.69810⨯秒10. 一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ） A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.11. 已知双曲线C 的焦点为(2,0)−和(2,0)C 的方程为____________． 12. 已知平面内四个不同的点,,,A B C O 满足.AO BO CO ==，若()12AO AB AC =+，则,AB AC =______.13. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍[chúméng]”的五面体（如下图），四边形ABCD 为矩形，棱//EF AB .若此几何体中，6,2AB EF ==，ADE 和BCF 都是边长为4的等边三角形，则此几何体的体积为______.14. 已知函数1,()22,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩， ①当0a =时，()f x 的值域为______；②若关于x 的方程()()f x f x −=恰有5个不同的实根，则a 的取值范围是______. 15. 已知数列{}n a 满足()2111,21,2,3,2n n a a a a n +==+=，则①当1a =−时，存在*k ∈N ，使得2k a =： ②当1a =时，{}n a 为递增数列，且2n a <恒成立； ③存在a ∈R ，使得{}n a 中既有最大值，又有最小值； ④对任意的a ∈R ，存在*0n ∈N ，当0n n >时，122024n a −<恒成立. 其中，所有正确结论的序号为______.三、解答题共6道小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16. 已知函数2πs )in(22sin 2π())(6f x x x λωω=−+−，其中,0λω∈>R .请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个．．作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定，并解答下列问题. 条件①：1(0)2f =；条件②：()f x 1−；条件③：()f x 在区间[],a b 上单调，且b a −最大值为π2； （1）求函数()f x 的对称中心； （2）若方程1()2f x =在区间()0,m 内有且仅有1个实根，求m 的取值范围. 17. 在四棱锥P ABCD −中，,E F 分别为,AC PB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，BC PC ⊥.（1）若//DE 平面PBC ，求证：AD DC =；（2）若2AC BC ==，直线BC 与平面AFC 所成的角为45︒，求PA 的长.18. 某学校为提升学生的科学素养，所有学生在学年中完成规定的科普学习任务，并通过科普测试获得相应科普过程性积分.现从该校随机抽取60名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：（1）从该校全体学生中随机抽取一名学生，估计这名学生科普过程性积分不低于2分的概率； （2）从该校全体学生中随机抽取三名学生，估计这三名学生的科普过程性积分之和恰好为6分的概率； （3）从该校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不超过1的概率估计值记为1p ，这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不低于1的概率估计值记为2p ，试判断1p 和2p 的大小（结论不要求证明）.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，左、右顶点分别为12,A A .上、下顶点分别为12,B B ，且112A B B 面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上一点（不与顶点重合），直线1B P 与x 轴交于点M ，直线1A P 、1B P 分别与直线22A B 交于点N 、D ，求证：1A DN 与2B DM △的面积相等.20. 设函数()()e xf x x a =−，l 为曲线():C y f x =在1x =−处的切线.（1）求l 的方程； （2）求()f x 的极值；（3）若曲线C 除了切点之外都在直线l 的上方，求实数a 的取值范围.21. 设*,m n ∈N ，且,m n 都是奇数，m 行n 列的数表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足.对任意的{}{}1,2,,,1,2,,i m j n ∈⋯∈⋯，都有{}1,1ij a ∈−.记1212,i i i in j j j mj S a a a T a a a =+++=+++，若0i S >，则称第i 行为“正行”，若0j T <，则称第j 列为“负列”，记A 中正行与负列的数目之和为()G A .（1）设1211111111111,1111111111111A A −−−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−=−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−⎝⎭⎝⎭，直接写出()()12,G A G A 的值： （2）求证：()1G A ≥； （3）求()G A 的最大值.参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】D【分析】先解不等式化简集合B ，再由并集的概念，即可得出结果.【详解】∵集合{}1,0,1A =−，集合{}{}{}220020,1,2B x Z x x x Z x =∈−≤=∈≤≤=，∴{}1,0,1,2A B ⋃=−. 故选：D. 2. 【答案】A【分析】利用复数的乘除法运算法则化简，根据几何意义确定z 在复平面内对应的点所在象限． 【详解】由()()()()2223434222555i i i i i i i z i ++++====+−−+， 则z 在复平面内所对应的点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限． 故选：A ． 3. 【答案】B【分析】选项A ，B ，C ，通过取特殊值，即可判断出正误；选项B ，利用不等式的性质，结合条件，即可判断出正误.【详解】对于选项A ，取1,2b c =−，显然满足b c >，但2214a a a c b a =+<+=++，所以选项A 错误，对于选项B ，因为b c >，由不等式的性质知22a b a c +>+，所以选项B 正确，对于选项C ，取1,1,2a b c ===−，显然满足b c >，但221,4ab ac ==，此时22ab ac <，所以选项C 错误，对于选项D ，取0,1,2a b c ===−，显然满足b c >，此时22a b a c =，所以选项D 错误， 故选B. 4. 【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可. 【详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =−在()0,∞+上单调递减， 所以()ln f x x =−在()0,∞+上单调递减，故A 错误； 对于B ，因为2xy =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减， 所以()12xf x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =−在()0,∞+上单调递减， 所以()1f x x=−在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f −⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f −−=====，显然()13x f x −=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C. 5. 【答案】A【分析】利用圆的一般方程满足的条件得到25m <，再分别令0,0y x ==，利用0∆≥，即可求出结果. 【详解】因为22860x x y y m ++−+=表示圆，所以643640m +−>，得到25m <， 令0y =，得到280x x m ++=，则6440m ∆=−≥，得到16m ≤， 令0x =，得到260y y m −+=，则3640m ∆=−≥，得到9m ≤， 所以9m ≤， 故选：A. 6. 【答案】C【分析】根据抛物线定义求得点A 的纵坐标，再求AF 中点纵坐标即可.【详解】抛物线24x y =的焦点()0,1F ，又16A AF y =+=，解得5A y =，故线段AF 的中点的纵坐标为1532+. 故选：C. 7. 【答案】B【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +−=−，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +−=−，即222a c ab b −=−，则222a b c ab +−=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +−===，又0πC <<，所以π3C =. 故选：B. 8. 【答案】A【分析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件，再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解. 【详解】,R αβ∈，sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++−=+−−⇔2cos()sin()0αβαβ+−=，则sin()0αβ−=或cos()0αβ+=，由sin()0αβ−=得,k k k Z αβπαβπ−=⇔=+∈， 由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=−+∈，显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒，sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈，所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断：p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集. 9. 【答案】B【分析】设所需时间为t 秒，则1512851024t ⋅⨯=，然后两边取对数化简计算即可【详解】设所需时间为t 秒，则1512851024t ⋅⨯=，lg lg 52lg 215128lg 2t +−+=，∴lg 131lg 216t =−，lg 1310.3011623.431t ≈⨯−=，∴23.4310.4312323101010 2.69810t ≈=⨯=⨯∴秒， 故选：B. 10. 【答案】B【分析】考虑前7个人，分别每相邻的3人取成一组与每相邻的5人取成一组，从而推出矛盾，再考虑人数为6的情况，由此得解.【详解】如果人数大于6，考虑前7个人：ABCDEFG ， 每相邻的3人取成一组，则有,,,,ABC BCD CDE DEF EFG 5组，因为任意相邻的3人中都至少有2名男生，所以这5个组里至少有10名男生， 即ABBCCCDDDEEEFFG 这15人中至少有10名男生； 每相邻的5人取成一组，则有,,ABCDE BCDEF CDEFG 3组，因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这3个组里至多有9名男生， 即ABBCCCDDDEEEFFG 这15人中至多有9名男生； 显然矛盾，故人数不可能大于6，当人数为6时，用1表示男生，0表示女生，则可以101101. 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到矛盾的分界人数，利用条件推出矛盾，从而得解.二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.11.【答案】22122x y −=【分析】根据给定条件，求出双曲线C 的实半轴、虚半轴长，再写出C 的方程作答.【详解】令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ，显然双曲线C 的中心为原点，焦点在x 轴上，其半焦距2c =，由双曲线C ，得ca=a =b == 所以双曲线C 的方程为22122x y −=.故答案为：22122x y −=12. 【答案】π2【分析】利用()12AO AB AC =+，得到O 为BC 的中点，再利用AO BO CO ==，得π2BAC ∠=，即可求解.【详解】因为()12AO AB AC =+，所以O 为BC 的中点，又AO BO CO ==， 所以,OBA OAB OCA OAC ∠=∠∠=∠，又2πOBA OAB OCA OAC AOB AOC ∠+∠+∠+∠+∠+∠=， 而πAOB AOC ∠+∠=，所以π2OBA OCA ∠+∠=，故π2BAC ∠=，所以π,2AB AC =，故答案：π2.13. 【答案】3【分析】过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取BC 的中点P ，连结PF ，过F 作FQ AB ⊥，垂足为Q ，连结OQ ，延长QO 交CD 于点G ，连接FG .把此“刍甍”分为两侧各一个四棱锥，中间一个三棱柱.再分别求出四棱锥和三棱柱的体积得解.【详解】过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取BC 的中点P ，连结PF ，过F 作FQ AB ⊥，垂足为Q ，连结OQ ，延长QO 交CD 于点G ，连接FG . 因为ADE 和BCF 都是边长为2的等边三角形，所以11()2,222OP AB EF PF OQ BC =−====， 因为FO ⊥平面ABCD ，OP ⊂平面ABCD , 所以FO OP ⊥,OF ∴===如图，把此“刍甍”分为两侧各一个四棱锥，中间一个三棱柱. 因为FQ AB ⊥，FO AB ⊥,,FQ FO ⊂平面,FGQ FQ FO F =,所以AB ⊥平面,FGQ 因为GQ ⊂平面,FGQ 所以AB GQ ⊥,所以四边形BCGQ 是矩形.1124242323V =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=.故答案为：3. 14. 【答案】 ①. (0),+∞ ②. [)1,1−【分析】①当0a =时，分别判断两段的值域，取并集得()f x 的值域；②方程()()f x f x −=恰有5个不同的实根，作出12,2,,22xx y x y x y y ⎛⎫==−== ⎪⎝⎭的图象，结合函数图象判断出a 的取值范围.【详解】①当0a =时，f(x)={(12)x,x ≤02x,x >0，当0x ≤时，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数单调递减，01()12f x ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭， 当0x >时，()2f x x =，函数单调递增，()0f x >， 所以()f x 的值域为(0),+∞；②函数1,()22,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩， 在同一坐标系中，分别作出函数12,2,,22xx y x y x y y ⎛⎫==−== ⎪⎝⎭的图象， 其中函数2y x =与2xy =的图象相交于点()1,2和()2,4，函数2y x =−与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象相交于点()1,2−和()2,4−， 函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2xy =的图象相交于(0,1)，函数2y x =与2y x =−的图象交于()00，，又关于x 的方程()()f x f x −=恰有5个不同的实根，当1a ≥时，(),()y f x y f x =−=在同一坐标系中的图象如图1，由图知，不合题意，当01a ≤<时，(),()y f x y f x =−=在同一坐标系中的图象如图2，结合图象可知方程()()f x f x −=恰有5个不同的实根， 为2x =−，1x =−，0x =，1x =和2x =，满足题意， 当10a −≤<时，(),()y f x y f x =−=在同一坐标系中的图象如图3，结合图象可知方程()()f x f x −=恰有5个不同的实根， 为2x =−，1x =−，0x =，1x =和2x =，满足题意，当1a <−时，(),()y f x y f x =−=在同一坐标系中的图象如图4，由图知，不合题意，综上所述，a 的取值范围为[)1,1−. 故答案为：(0),+∞；[)1,1−. 15. 【答案】②③④【分析】对于①②，根据数列递推式，求出121432n na −⎛⎫=−⨯ ⎪⎝⎭，结合题意，即可判断；对于③，举出特例，即可判断；对于④，分12a =±和12a ≠±情况讨论，结合数列的项的变化情况，即可判断.【详解】对于①，由于()2111,21,2,3,2n n a a a a n +==+=，故10,1n a n +>≥，则221122n n a a +=+，则()2211442n n a a +−=−，结合1a =−， 则{}24n a −是以2143a −=−为首项，公比为12的等比数列， 则1122,11434322n n n n a a −−⎛⎫⎛⎫−=−⨯=−⨯ ⎪⎪⎝⎭∴⎝⎭，令1224143n na −⎛⎫=−⨯ ⎝⎭=⎪，则10132n −⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=−，n 不存在，故不存在*k ∈N ，使得2k a =，①错误；对于②，当1a =时，由①知，{}24n a −是以2143a −=−为首项，公比为12的等比数列， 则1122,11434322n n nna a −−⎛⎫⎛⎫−=−⨯=−⨯ ⎪ ⎪⎝⎭∴⎝⎭，则1221111434330222nn nn naa −+⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−⨯−+⨯=⨯> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得221n n a a +>，故{}n a 为递增数列，而1214342n na −⎛⎫=−⨯< ⎪⎝⎭，故2n a <恒成立，②正确； 对于③，当12a =−时，当1n ≥时，12n a +==， 此时{}n a 中有最大值2，有最小值为-2，即存在a ∈R ，使得{}n a 中既有最大值，又有最小值，③正确；对于④，由①知，()2211442n n aa +−=−， 当12a =±时，当1n ≥时，12n a +==，符合题意； 当12a ≠±时，()1221442n na a −⎛⎫=−⨯+ ⎪⎝⎭，随着n →+∞，24n a →，又10,1n a n +>≥，则2n a →，则必存在*0n ∈N ，当0n n >时，122024n a −<恒成立 综合以上对任意的a ∈R ，存在*0n ∈N ，当0n n >时，122024n a −<恒成立，④正确， 故选：②③④三、解答题共6道小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16. 【答案】（1）ππ(,1)(Z)62k k −+−∈； （2）ππ6m <≤. 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式化简函数()f x ，选②求得两个λ值，对应两个不同函数，不符合题意，由条件①③求出函数式，再借助正弦函数性质求出对称中心. （2）确定函数()f x 相位的范围，由零点情况列式求出m 范围. 【小问1详解】依题意，π1()(2)1()221cos 2cos c 2os 3x x x x f x ωλωωωλ=+−−=++−，若选②，max ()11f x ==，解得1λ=或2λ=−，当1λ=时，π())13f x x ω=+−，当2λ=−时，π())13f x x ω=−−，因此选②，可以求得两个不同函数，不符合题意，即条件②不可选；于是选条件①③，由①知，11(0)22f λ=−=，解得1λ=，π())13f x x ω=+−，由③知，函数()f x 的最小正周期为π，即2ππ2ω=，解得1ω=，π())13f x x =+−，函数()f x 唯一确定， 由π2π,Z 3x k k +=∈，得ππ,Z 62k x k =−+∈， 所以函数()f x 的对称中心为ππ(,1)(Z)62k k −+−∈. 【小问2详解】由（1）知，π())13f x x =+−，由1()2f x =，得πsin(2)3x +=，当(0,)x m ∈时，πππ2(,2)333x m +∈+，依题意，πsin(2)32x +=在()0,m 内有且仅有1个实根， 则2ππ7π2333m <+≤，解得ππ6m <≤， 所以m 的取值范围是ππ6m <≤. 17. 【答案】（1）证明见解析 （2）2【分析】（1）根据条件得到BC AC ⊥，利用线面平行的性质得到//DE BC ，即可证明结果；（2）过B 作BH ⊥面AFC 于H ，连接HC ，则BCH ∠为直线BC 与平面AFC 所成的角，从而有π4BCH ∠=，得到HC HB ==，设PA a =，根据条件得到AFCS =法，即可求解. 【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，又⊂BC 面ABCD ，所以PA BC ⊥， 又BC PC ⊥，=PAPC P ，,PA PC ⊂面PAC ，所以⊥BC 面PAC ，又AC ⊂面PAC ， 所以BC AC ⊥，又//DE 平面PBC ，DE ⊂面ABCD ，面ABCD 面PBC BC =，所以//DE BC ，故DE AC ⊥，又E 是AC 的中点， 所以AD DC =. 【小问2详解】过B 作BH ⊥面AFC 于H ，连接HC ，则BCH ∠为直线BC 与平面AFC 所成的角，所以π4BCH ∠=，又2AC BC ==，所以HC HB ==设PA a =，由（1）知BC AC ⊥，所以AB ==，又PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，所以PA AB ⊥，又F 为PB 中点，所以12AF PB ==BC PC ⊥，所以12CF PB ==，得到FE AC ⊥，又2AC =，所以EF ==122AFCS=⨯= 又12222ACBS=⨯⨯=，由F ABC B AFC V V −−=，得到112323a ⨯⨯=24a =， 所以2a =.18. 【答案】（1）12（2）37108（3）21p p <【分析】（1）利用图表及古典概型计算即可；（2）分类讨论结合相互独立事件的乘法公式计算即可； （3）依次分类讨论计算12,p p 并比大小即可. 【小问1详解】由图表可知从样本空间中随机抽取一名学生， 科普过程性积分不低于2分的人数的频率为20101602+=， 所以估计全校学生中随机抽取一人，该生科普过程性积分不低于2分的概率为12； 【小问2详解】随机抽取三人，得分为6分的可能有： 情况1：1人0分，2人3分；情况2：1人1分，1人2分，1人3分； 情况3：3人都是2分，结合图表知得0分，1分，2分，3分的概率分别为151151101201,,,604604606603p p p p ''''''========， 所以随机抽取3人得6分的概率为2311133211111137C C C 434636108p ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 【小问3详解】根据题意从样本中科普过程性积分不低于1分的学生中抽取1人，得1分、2分、3分的频率依次为124,,399，所以从全校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取1名学生其积分，为1分、2分、3分的概率估计依次为124,,399， 则任意取2名同学，其积分之差的绝对值不超过1的可能有：{1分，1分}；{1分，2分}；{2分，2分}；{2分，3分}；{3分，3分}五种可能， 即111122224445722333999999981p =⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=， 任意取2名同学，其积分之差的绝对值不低于1的可能有：{1分，2分}；{1分，3分}；{2分，3分}三种可能， 即21214245222239399981p =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 显然21p p <.19. 【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析【分析】（1）由题意列出关于,,a b c 的方程组，求出,a b 即可得解；（2）由题意引入参数k 表示1B P 的斜率，进一步表示出,,,M D P N 的坐标（含参），结合弦长公式、点到直线的距离公式表示两个三角形的面积即可得证. 【小问1详解】由题意可得2221222a b c ca ab ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩，注意到0a b >>，0c >，解得2,1,a b c ===2214x y +=； 【小问2详解】由题意()()()()12122,0,2,0,0,1,0,1A A B B −−，因为点P 不与椭圆顶点重合，所以直线1B P 斜率存在且不为0，且不等于12±，所以设11:1,0,2B P y kx k k ⎛⎫=+≠≠±⎪⎝⎭， 联立()22221148014y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，显然2640k ∆=>， 由韦达定理可知28014P P k x x k −+==+，从而2222814111414P P k k y kx k k−−=+=+=++， 所以222814,1414k k P k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，在1y kx =+中令0y =，得1x k =−，所以1,0M k ⎛⎫− ⎪⎝⎭， 易知221:12A B y x =−，联立41112212112x y x kk y kx y k ⎧=⎧⎪=−⎪⎪−⇒⎨⎨+⎪⎪=+=⎩⎪−⎩，所以412,1212k D k k +⎛⎫ ⎪−−⎝⎭，注意到直线1A P 的斜率为()()()()()122222214121214121482122144212214A Pk k k k k k k k k k k k k−−+−++====−−−+−++， 所以()()112:2212kA P y x k +=+−，联立()()1112121212122y x x kk y x y k k ⎧⎧=−=−⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪=+=−−−⎪⎪⎩⎩，所以11,12N k k ⎛⎫−−− ⎪⎝⎭， 记点1A 到DN 的距离、点2B 到DM 的距离依次为12,A DN B DM d d −−，则()11111122212A DNA DN kSd DN k k k −+=⋅==−，同理()22111122212B DMB DM kSd DM k k k −+=⋅=+=−， 综上所述，1A DN 与2B DM △的面积相等，命题得证. 20. 【答案】（1）e 120ax y a +++= （2）极小值为1e a −−，无极大值 （3）(],0−∞【分析】（1）求导得()()1e xf x x a =−+'，结合导数的几何意义得切线斜率，利用点斜式写出切线方程即可；（2）利用导数研究极值的方法计算即可；（3）将问题转化为()f x 与切线方程的差函数恒大于等于零，根据1x =−处的相应函数值及零点存在性定理含参分类讨论即可. 【小问1详解】易知()()1e xf x x a =−+'，所以()1eaf '−=−， 又()11eaf +−=−， 所以l 的方程为：()1121e e e ea a a ay x x ++=−+−=−−； 即为e 120ax y a +++=. 【小问2详解】由上知()0f x '=有1x a =−，当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：所以当1x a =−时，函数f x 有极小值，极小值为1e a −−，无极大值； 【小问3详解】若曲线C 除了切点之外都在直线l 的上方，即()()1212e 0ee e e xa a a a f x x x a x ++⎛⎫−−−=−++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1x =−时取得等号， 令()()12e e exa a g x x a x +=−++，则()()1e e xa g x x a =−++'，令()()1e xh x x a =−+，则()()2e xh x x a =−+'， 令()0h x '=有2=−x a ，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表：所以当2=−x a 时，函数h x 有极小值，极小值为2e a −−，也是最小值， 显然当2x a <−时，()0h x <，且x →−∞时，()h x 无限趋向于零， 又()10h a −=，作出其大致图象如下：若0a ≤，则()g x '可由()h x 向下平移ea−个单位得到，又()10g '−=， 此时在(),1∞−−上()g x 单调递减，()1,∞−+上()g x 单调递增， 所以()()10g x g ≥−=，符合题意；；若0a >，则()g x '可由()h x 向上平移ea个单位得到， 此时令()()e 1e 1xxm x x m x =−−⇒=−'，不难得出0x >时，()0m x '>，即()m x 此时单调递增，0x <时，()0m x '<，即()m x 此时单调递减，即()()00m x m ≥=，所以e 1x x ≥+恒成立， 则()()111min e e e20e e e ea a a a a a g x g a −−−>⇒>⇒=−=−+'<'，由于且x →−∞时，()h x 无限趋向于零，所以当()h x 向上平移时，在(),2a ∞−−之间必有一个零点， 而1x a >−时，()0h x >，所以()2,1a a −−之间也必有一个零点，不妨设两个零点依次为()1212,x x x x <，故在()()12,,,x x ∞∞−+上()0g x '>，即()g x 单调递增，在()12,x x 上()0g x '<，即()g x 单调递减，x →−∞时，()()121e 0,20e e e ex a a a x a x x +−<+=++<，即此时有()0g x <，不符题意；综上0a ≤，所以实数a 的取值范围为(],0−∞. 【点睛】关键点点睛：第三问，问题转化为()120e ea af x x +++≥恒成立求参数范围，再构造函数并讨论参数研究恒成立.21. 【答案】（1）()123,()3G A G A == （2）证明见解析 （3）答案见解析【分析】（1）分别计算数表中各行之和与各列之和，根据“正行”与“负列”条件判断即可； （2）用反证法，从行与列两个角度求数表总和则可推出矛盾；（3）用反证法证明()2G A m n ≤+−，从行列两个角度分析1,1−的个数可推出矛盾，再举出()2G A m n =+−的数表A 即可.【小问1详解】数表1111111111A −−⎛⎫⎪=−− ⎪ ⎪−⎝⎭，由题意可得11S =−，231,1S S =−=，故只有第3行是“正行”；1231,1,1T T T ==−=−，故第2,3列是“负列”，第1列不是“负列”.故()1123G A =+=；数表2111111111111111A −−−⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭，由题意可得11S =−，231,1S S ==−， 故只有第2行是“正行”；123451,1,1,3,1T T T T T ===−=−=，故第3,4列是“负列”，第1,2,5列不是“负列”.故()2123G A =+=.综上所述，()123,()3G A G A ==.【小问2详解】用反证法证明()1G A ≥.由数目之和()G A ∈N ，假设()0G A =，即数表A 没有“正行”，也没有“负列”.即任意1i m ≤≤，0i S ≤，则数表中所有数和10m i i S=≤∑；且任意1j n ≤≤，0j T ≥，则数表中所有数的和10n jj T =≥∑； 故数表中所有数的和为0， 由题意任意的{}{}1,2,,,1,2,,i m j n ∈⋯∈⋯，{}1,1ij a ∈−，即数表中1的个数与1−的个数相同.所以数表中必有偶数个数，但由于,m n 均为奇数，数表中共有mn 个数，mn 为奇数，这与数表中必有偶数个数矛盾.故假设错误，()0G A =不成立.故()1G A ≥成立.【小问3详解】当1n =时，数表为m 行1列数，若()1G A m =+，则各行都为1，则这1列数这和0m >，不可能为“负列”；由数表111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()G A m =. 故当1n =时，()G A 最大为m ；同理可知当1m =时，()G A 最大为n .当3,3m n ≥≥时，()2G A m n ≤+−.下面用反证法证明.假设()1G A m n ≥+−，则满足条件的数表分三类：()G A m n =+，即m 行都是“正行”且n 列都是“负列”；或()1G A m n =+−，其中m 行都是“正行”，1n −列是“负列”；或()1G A m n =+−，其中1m −行是“正行”，n 列都是“负列”.①若()G A m n =+，m 行都是“正行”且n 列都是“负列”：即任意1i m ≤≤，0i S >，则数表中所有数和10m i i S=>∑；且任意1j n ≤≤，0j T <，则数表中所有数的和10n jj T =<∑； 故产生矛盾，此类情况不可能； ②若()1G A m n =+−，m 行都是“正行”且1n −列是“负列”：由m 行都是“正行”，由题意可知，每行各数之和都为正数，由题意任意的{}{}1,2,,,1,2,,i m j n ∈⋯∈⋯，{}1,1ij a ∈−，则每行n 个数中1的个数必大于1−的个数，即至少有12n +个1， 故数表中所有数中至少有(1)2m n +个1； 由1n −列是“负列”，由题意可知这1n −列中每列各数之和都为负数， 则每列m 个数中1−的个数必大于1的个数，即至少有12+m 个1−， 故数表中所有数中至少有(1)(1)2n m −+个1−，则至多有(1)(1)122n m mn m n mn −++−+−=个1； 又(1)110222m n mn m n n ++−+−−=>， 故产生矛盾，此类情况也不可能；③若()1G A m n =+−，其中1m −n 列都是“负列”.由n 列都是“负列”，由题意可知，每列各数之和都为负数，由题意任意的{}{}1,2,,,1,2,,i m j n ∈⋯∈⋯，{}1,1ij a ∈−，则每列m 个数中1−的个数必大于1的个数，即至少有12+m 个1−， 故数表中所有数中至少有(1)2n m +个1−； 由1m −行是“正行”，由题意可知这1m −行中每行各数之和都为正数， 则每行n 个数中1的个数必大于1−的个数，即至少有12n +个1， 故数表中所有数中至少有(1)(1)2m n −+个1，则至多有(1)(1)122m n mn m n mn −+−++−=个1−； 又(1)110222n m mn m n m +−++−−=>， 故产生矛盾，此类情况也不可能；综上所述，假设()1G A m n ≥+−错误，故()2G A m n ≤+−.如下图给出()2G A m n =+−的数表A ：如上图，各行除第12+m 行外，其余都是“正行”；各列除第12n +列外，其余都是“负列”； 故正行与负列的数目之和为()112G A m n m n =−+−=+−.故当3m ≥，且3n ≥时，()G A 的最大值为2m n +−.综上所述，当1n =时，()G A 最大值为m ；当1m =时，()G A 最大值为n ；当3m ≥，且3n ≥时，()G A 的最大值为2m n +−.【点睛】关键点点睛：该题目属于新定义题型，根据对定义的理解，从行与列两个角度的分析求解是解题的关键，如定义中行数m 与列数n 均为奇数的应用；再如第（2）问中从每行与每列各数之和两个角度分别求解总和，从而推出矛盾；又如第三问中从各行与各列两个角度分别探讨1−与1的个数从而推出矛盾，也是从行与列1−与1的个数入手，构造了满足()2G A m n =+−的数表A .。
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用心 爱心 专心
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北京市师大附中2012届上学期高三年级开学测试数学试卷（理科）
（本试卷满分100分，考试时间120分钟）
卷I
一、选择题
1. 已知集合032|2xxxA，12|1xxB，则BA=（ ）
A. 1x|x B. 3x|x C.3x1|x D. 3x-1|x
2. 命题“Rx，使得1x”的否定是（ ）
A. xR,都有1x B. xR,都有1x或1x
C. xR，都有1x D. xR，都有1x
3. 已知向量)2,(xa，)1,3(b，若（a+b）//（a-2b），则实数x的值为（ ）
A. -3 B. 2 C. 4 D. -6
4. 函数y=||xxax(0 5. 设3,2,1,21,31,21,1,2，则使xy为奇函数且在（0，+）上单调递减的 ABCA A. 25 B. 24 C. -25 D. -24 7. 已知31coscos，则22sincos的值为（ ） A. 32 B. 31 C. 31 D. -32 在1,0上是增函数；④)(xf在2,1上为减函数；⑤)0()2(ff，正确命题的个数是（ ） 二、填空题 10. 曲线)230(cosxxy与坐标轴所围成的面积是 。 11. 在平行四边形ABCD中1eAB，2eAC，ACNC41，MCBM21，则 12. 根据表格中的数据，可以判定方程02xex的一个零点所在的区间为 x -1 0 1 2 3 13. 函数)2,0,0()sin()(AkxAxf的图象如下图所示，则)(xf的表 14. 若m76sin，则7cos 。 18. 已知函数cbxaxxxf23)(，点))1(,1(fP在函数)(xfy的图象上，过P点 （3）若1b，证明对任意Nn，不等式nkkf13331211)1(…31n都成立。 【试题答案】 二、填空题 12. 1； 13. 1)32sin(23x； 14. 222m 三、解答题 ∵53sin,0,54cosAAA. ∵1022353sinsin,sinsinccaAcCCcAa. 16. 解：（1）由条件得aab331231，解得：4,1ba. 解得31m.∵31,1mm. 又,0cos,0cosBA故),0(2,2),2,0(,BABA 323ba 故542)(23xxxxf 由0443)(2'xxxf得函数的两个极值点是32,2xx. 函数的两个极值为2795)32(,13)2(ff 只需2795m，不等式mxf)(恒成立。此时m的最大值为2795. 故函数)(xf的减区间是（-1，1），增区间是（1，+）. （2）∵12212)(2'xbxxxbxxf，又函数)(xf在定义域是单调函数， 若0)('xf，022,012bxxx在),1(上恒成立， 即21)21(2)22(22xxxb恒成立，由此得21b； 综上所知，实数b的取值范围是,21. 则1)1(31123)(232'xxxxxxxh， 又32)1ln(,0)0()(,,0,0)0(xxxhxhxh即时当恒成立。 故.)(3xxf∵),,0(1,kNk取31)1(,1kkfkx， 11)1
值的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知平面上三个点A、B、C满足CABCAB,4,3则,5BCAB+CABC+
的值等于（ ）
8. 定义在),(上的偶函数)(xf满足)()1(xfxf，且)(xf在0,1上是增函
数，下面五个关于)(xf的命题中：①)(xf是周期函数；②)(xf图象关于1x对称；③
)(xf
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 函数xxxxf)1()(的定义域是 。
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MN
。（用21,ee表示）
))(1,(Nkkk
，则k的值为 。
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x+2 1 2 3 4 5
达式是)(xf 。
三、解答题
15. 在ABC中，角CBA,,的对边分别为,,,cba已知cbA5,54cos.
（1）求Csin的值；
（2）若6a,求ABC的面积S的值。
16. 设函数)0(3)2()(2axbaxxf，若不等式0)(xf的解集为（-1，3）。
（1）求ba,的值；
（2）若函数1,)(mxxf在上的最小值为1，求实数m的值。
17. ABC中，角CBA,,的对边分别为cba,,，且0coslgcoslglglgABba.
（1）判断ABC的形状；
（2）设向量),3,(),,2(banbam且,14)()(,nmnmnm求cba,,.
的切线方程为13xy.
（1）若)(xfy在2x时有极值，求)(xf的解析式；
（2）在（1）的条件下是否存在实数m，使得不等式)(xfm在区间1,2上恒成立，若
存在，试求出m的最大值，若不存在，试说明理由。
19. 设函数)1ln()(2xbxxf.
（1）若4b，求函数)(xf的单调区间；
（2）若函数)(xf在定义域上是单调函数，求b的取值范围；
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一、选择题
1. C 2. B 3. D 4. D 5. A 6. C 7. B 8. C
9. 01|xxx或； 10. 3； 11. 2112532ee；
15. 解：（1）∵22222218541026cos2cccAbccba，
ca23
.
（2）由（1）2,6,23caca
∵3sin21.25,5AbcSbcb.
（2）32)(2xxxf，对称轴方程为1x，)(xf在1,mx上单调递增，
mx
时132)(2minmmxf，
17. 解：（1）由题,coslglgcoslglgBbAa故BbAacoscos，
由正弦定理BBAAcossincossin，即BA2sin2sin.
因,BAba故BA22.
即2BA，故ABC为直角三角形.
（2）由于nm，所以03222ba ①
且14)()(22mnnmnm，即143822ab ②
联立①②解得,4,622ba故在直角ABC中，10,2,6cba
18. 解：（1）∵2x是方程023)(2'baxxxf的根,
0414ba
又切线的斜率，即)('xf在1x时的值，
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点P既在函数)(xfy的图象上，又在切线13xy上，
cbaf14)1(，解得,5,4,2cba
（2）在（1）的条件下，542)(23xxxxf
函数在区间的两个端点值分别为4)1(,13)2(ff.
比较极值与端点的函数值，知在区间1,2上，函数)(xf的最小值为2795.
19. 解（1）1)2)(1(2142)('xxxxxxf，定义域1|xx
11x当
时，;0)('xf当0)(,1'xfx时.
),1(0)(,0)(''在或xfxf
上恒成立。
若,0)('xf∵,022,012bxxx即)22(2xxb恒成立，
因)22(2xx在),1(没有最小值，不存在实数b使0)('xf恒成立。
（3）当1b时，函数)1ln()(2xxxf，令函数3)()(xxfxh
32
)1ln(xxx
,
当,0x时，0)('xh，
函数)(xh在,0上单调递减，
nkkf1
33
312
(
…31n，故结论成立。