一次函数之存在性问题

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中考数学一次函数综合类问题四大类

大类一、一次函数与几何综合班级：__________ 姓名：__________【知识点睛】1.一次函数表达式：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）①k是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM即为竖直高度，uj7BM即为水平宽度，则=AMkBM，②b是截距，表示直线与y轴交点的纵坐标．2.设直线l1：y1=k1x+b1，直线l2：y2=k2x+b2，其中k1，k2≠0．①若k1=k2，且b1≠b2，则直线l1∥l2；②若k1·k2=-1，则直线l1⊥l2．3.一次函数与几何综合解题思路从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交点．通过点的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合起来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题．【精讲精练】1.如图，点B，C分别在直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上的两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为______．MA B第1题图第2题图第3题图2. 如图，直线l 1交x 轴、y 轴于A ，B 两点，OA =m ，OB =n ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△COD ．CD 所在直线l 2与直线l 1交于点E ，则l 1____l 2；若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2=_________．3. 如图，直线483y x =-+交x 轴、y 轴于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点D ，则点C 的坐标为4. 如图，在平面直角坐标系中，函数y =x 的图象l 是第一、三象限的角平分线．探索：若点A 的坐标为(3，1)，则它关于直线l 的对称点A'的坐标为____________；猜想：若坐标平面内任一点P 的坐标为(m ，n )，则它关于直线l 的对称点P ′的坐标为____________；应用：已知两点B (-2，-5)，C (-1，-3)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到B ，C 两点的距离之和最小，则此时点Q 的坐标为____________． 5. 如图，已知直线l ：y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 沿直线l 折叠，点O 落在点C 处，则直线CA 的表达式为__________________．第5题图第6题图第7题图6. 如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，E 是AB 上的一点，且BE :EA =5:3，EC=BCE 沿折痕EC 向上翻折，点B 恰好落在AD 边上的点F 处．若以点A 为原点，以直线AD 为x 轴，以直线BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则直线FC 的表达式为__________________．7. 如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点与原点O 重合，AB =2，AD =1，过定点Q (0，2)和动点P (a ，0)的直线与矩形ABCD 的边有公共点．（1）a 的取值范围是________________；（2）若设直线PQ 为y =kx +2（k ≠0），则此时k 的取值范围是____________8. 如图，已知正方形ABCD 的顶点A (1，1)，B (3，1)，直线y =2x +b 交边AB 于点E ，交边CD 于点F ，则直线y =2x +b 在y 轴上的截距b 的变化范围是____________．第9题图9. 如图，已知直线l 1：2833y x =+与直线l 2：y =-2x +16相交于点C ，直线l 1，l 2分别交x 轴于A ，B 两点，矩形DEFG 的顶点D ，E 分别在l 1，l 2上，顶点F ，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG :S △ABC =_________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A (4，0)，B (0，-4)，P 为y 轴上B点下方一点，PB=m（m>0），以点P为直角顶点，AP为腰在第四象限内作等腰Rt△APM．（1）求直线AB的解析式；（2）用含m的代数式表示点M的坐标；（3）若直线MB与x轴交于点Q，求点Q的坐标．大类二、一次函数之存在性问题班级：__________ 姓名：__________【知识点睛】存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.一次函数背景下解决存在性问题的思考方向： 1. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息； 2. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；3. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题．【精讲精练】 1.如图，直线y =+x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，已知点P 是第一象限内的点，由点P ，O ，B 组成了一个含60°角的直角三角形，则点P 的坐标为_____________．2. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且43OC OB =. （1）求点B 的坐标和k 的值．（2）若点A 是第一象限内直线y =kx -4上的一个动点，则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=点C的坐标为(-9，0)．（1）求点B的坐标．（2）若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式．（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4.点C 是直线y =kx +3上与A ，B 不重合的动点．过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于点D ，是否存在点C 使△BCD 与△AOB 全等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．5. 如图，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为(-3，0)，P (x ，y )是直线122y x=+上的一个动点（点P不与点A重合）．（1）在点P的运动过程中，试写出△OPC的面积S与x之间的函数关系式．？求出此时（2）当点P运动到什么位置时，△OPC的面积为278点P的坐标．（3）过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E，F两点，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？若Array存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．大类三、一次函数之动点问题班级：__________ 姓名：__________【知识点睛】动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程．1.一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息；②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围；③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案．2.解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s=vt直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．【精讲精练】1. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 的运动时间为t 秒．（1）求OA ，OB 的长．（2）过点P 与直线AB 垂直的直线与y 轴交于点E ，在点P 的运动过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．3.如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A(8，0)，B(8，11)，C(0，5)，点D为线段BC的中点．动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA—AB—BD的路线运动，至点D停止，设运动时间为t秒．（1）求直线BC的解析式．（2）若动点P在线段OA上运动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的14？（3）在动点P的运动过程中，设△OPD的面积为S，求S与t4.如图，直线y =+与x 轴交于点A，与直线y =交于点P ．（1）求点P 的坐标．（2）求△OP A 的面积．（3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OA 方向向终点A 运动，过点E 作EF ⊥x 轴交线段OP 或线段P A 于点F ，FB ⊥y 轴于点B ．设运动时间为t 秒，矩形OEFB 与△OP A 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．5.如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别交于A，B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别交于M，N两点，设运动时间为t秒（0< t <4）．（1）求A，B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重叠部分的面积为S2，试探究S2与t之间的函数关系式．大类四、一次函数之面积问题班级：_________ 姓名：__________【知识点睛】1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线，通常有以下三种思路： ①公式法（规则图形）；②割补法（分割求和、补形作差）； ③转化法（例：同底等高）． 2. 坐标系中面积问题的处理方法举例 ① 割补求面积（铅垂法）：12△APB S ah = 12△APB S ah= ②转化求面积：l 1l 2如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上．二、精讲精练1. 如右图，在平面直角坐标系中，已知A (-1，3)，B (3，-2)，则△AOB 的面积为___________．2. 如图，直线y =-x +4与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，点P 的坐标为(-2，2)，则S △PAB =___________．第2题图第3题图3. 如图，直线AB ：y =x +1与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，直线CD ：y =kx -2与x 轴、y 轴分别交于点C ，点D ，直线AB 与直线CD 交于点P ．若S △APD =4.5，则k =__________．4. 如图，直线112y x =+经过点A (1，m )，B (4，n )，点C 的坐标为(2，5)，求△ABC 的面积．5. 如图，在平面直角坐标系中，已知A (2，4)，B (6，6)，C (8，2)，求四边形OABC 的面积．6. 如图，直线112y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，C (1，2)，坐标轴上是否存在点P ，使S △ABP =S △ABC ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7. 如图，已知直线m 的解析式为112y x =-+，与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，且∠BAC =90°，点P 为直线x =1上的动点，且△ABP的面积与△ABC的面积相等．（1）求△ABC的面积；（2）求点P的坐标．8.如图，直线P A：y=x+2与x轴、y轴分别交于A，Q两点，直线PB：y=-2x+8与x轴交于点B．（1）求四边形PQOB的面积．（2）直线P A上是否存在点M，使得△PBM的面积等于四边形PQOB的面积？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分类一参考答案】二、精讲精练1．232．⊥，-1 3．7(0)3-， 4．(1，3)；(n ，m )；1313()55--， 5．y =+ 6．4163y x =-+ 7．（1）-2≤a ≤2；（2）k ≥1或k ≤-1 8．-3≤b ≤-1 9．8:9 10．（1）y =x -4；（2）M (m +4，-m -8)；（3）Q (-4，0)【分类二参考答案】二、精讲精练1．333(4444或(或，或(，) 2．（1）B (3，0)，43k =（2）A (6，4) （3）123413(120)03P P P P 或(-)或，或(，)3．（1）B (-3，6) （2）y =-x +3（3）123433(30)(22P P P P +，或或或(，) 4．1261224()(46)5555--，或(，)或，5．（1）33(4)433(4)4x x S x x ⎧--<-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩（2）1217919()2424P P --，或(，) （3）12412124()5555P P ，或(-，) 【分类三参考答案】1．（1）OA =4，OB =3；（2）t =1或t =7 2．（1）y =+（2）22(04)(48)t S t <=⎨⎪+<<⎪⎩≤（3）123(08)(08)(0M M M -或或，4(0M 或3．（1）354y x =+（2）32t =（3）4(08)248(819)248(1924)t t S t t t t <⎧⎪=-+<⎨⎪-+<<⎩≤≤4．（1）(3P （2）（3）22(03)(34)t S t <=⎨⎪+-<<⎪⎩≤第21页/共21页 5．（1）(40)(04)A B ，,，（2）2112S t =.（3）2221(02)2388(24)2t tS t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤ 【分类四参考答案】二、精讲精练1．72 2．8 3．52 4．925．24 6．123451(0)(50)(0)(10)22P P P P --，或，或，或，7．（1）52；（2）12(13)(12)P P -，或，8．（1）10；（2）12162242()()3333M M -，或，。

一次函数综合类问题四大类

y
B
O
A
x
5. 如图，直线 y 1 x 2 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 的坐标为 2
(-3，0)，P(x，y)是直线 y 1 x 2 上的一个动点 2
（点 P 不与点 A 重合）．（1）在点 P 的运动过程中，试写出△OPC 的面积 S 与 x 之间的函数关系式．
（2）当点 P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为 27 ？求出此时点 P 的坐 8
轴交点的纵坐标．
A
2. 设直线 l1：y1=k1x+b1，直线 l2：y2=k2x+b2，其中
k1，k2≠0． ①若 k1=k2，且 b1≠b2，则直线 l1∥l2；
B M
②若 k1·k2=-1，则直线 l1⊥l2．
3. 一次函数与几何综合解题思路
从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交
y
P
B
F
O
E
A
x
5. 如图，直线 l 的解析式为 y=-x+4，它与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，平行于直线 l 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴的正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，它与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点，设运动时间为 t 秒（0< t <4）．（1）求 A，B 两点的坐标；（2）用含 t 的代数式表示△MON 的面积 S1；（3）以 MN 为对角线作矩形 OMPN，记△MPN 和△OAB 重叠部分的面积为 S2，试探究 S2 与 t 之间的函数关系式．
A
O
x
线 l 上确定一点 Q，使点 Q 到 B，C 两点的距
离之和最小，则此时点 Q 的坐标为

一次函数背景下等腰三角形存在性问题分析与策略

解题技巧与方法JIETI JIQIAO YU FANGFA员猿源数学学习与研究 2022.12◎肖杜1 罗丽2∗ (1.重庆市南开两江中学校,重庆 401135;2.西南大学银翔实验中学,重庆 401533)【摘要】等腰三角形的存在性问题一直是中学数学的重点、难点,对学生的数学能力要求很高,又往往出现在压轴题中,让许多学生望而却步.本文从等腰三角形产生的原理上归类分析,先从常规的两圆一线说起,再到平移、旋转.特别是旋转过程中产生的等腰三角形,利用圆这个工具,能有效解决找不到、找不全的问题.【关键词】等腰三角形;存在性;两圆一线;平移;旋转在中考数学的压轴题中,等腰三角形的存在性问题是一个热门考点,也一直是教学中的重点、难点内容,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,让许多学生望而却步.本文从等腰三角形产生的原理上进行归类分析,谈谈解决此类问题的常用方法和策略.类型一两圆一线产生等腰三角形1.如图1-1,点A 的坐标为(1,1),点B 的坐标为(4,3),在x 轴上存在一点C ,使△ABC 是等腰三角形,求出点C 的坐标.解析分三种情况讨论△ABC :①AB =AC ②BA =BC ③CA =CB图1-1①当AB =AC 时,即以点A 为圆心,AB 长为半径画圆,与x 轴的交点即为此时的C 点(如图1-2),由图可知,此时的C 点有两个,分别记为C 1,C 2.过点A 作AH ⊥x 轴于点H ,AB =13,所以AC 1=AC 2=13,图1-2所以H (1,0),HC 1=HC 2=23,所以C 1(1-23,0),C 2(1+23,0).②当BA =BC 时,即以点B 为圆心,AB 长为半径画圆,与x 轴的交点即为此时的C 点(如图1-3),由图可知,此时的C 点有两个,分别记为C 3,C 4.图1-3过点B 作BH ⊥x 轴于点H ,所以BC 3=BC 4=AB =13,H (4,0),所以HC 3=HC 4=2,所以C 3(2,0),C 4(6,0).③当CA =CB 时,此时点C在AB 的垂直平分线上,所以AB 的垂直平分线与x 轴的交点即为此时的C 点(如图1-4),记为C 5.设点C 5的坐标为(x ,0),图1-4所以C 5A =(x -1)2+1,C 5B =(x -4)2+9,则(x -1)2+1=(x -4)2+9解得x =236,所以C 5236,0().综上,点C 的坐标为(1-23,0)或(1+23,0)或(2,0)或(6,0)或236,0().类型二平移变换中的等腰三角形2.如图2-1,直线AB :y =-33x -1交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,将直线AB 沿x 轴翻折交y 轴于点C.将直线BA 沿射线AC 平移分别交AC 于点H ,交x 轴于点K ,当△OKH 为等腰三角形时,请写出OK 的长,并说明理由.图2-1解析由题中给出的直线AB 的解析式可知,∠CAO =∠BAO =30°,从这个特殊的角度出发,通过平移、讨论,大致确定K ,H 的位置,通过几何计算,解决问题.JIETI JIQIAO YU FANGFA解题技巧与方法员猿缘数学学习与研究 2022.12①当KO =KH 时,根据平移,先大致确定两个位置,如图2-2,2-3所示,在图2-2中,过点H 作HM ⊥x 轴于点M ,因为∠HAK =∠HKA =30°,图2-2所以HA =HK ,AK =2MK =23HM ,KO =KH =2HM ,所以AO =23+2HM =3所以OK =2HM =3-32.在图2-3中,过点H 作HM ⊥x 轴于点M ,因为∠HAK =∠HKA =30°,图2-3所以HA =KH =KO ,AK =2MK =23HM.因为AK =AO +KO =AO +HK =3+2HM ,所以23=3+2HM ,所以HM =3+34,所以OK =2HM =3+32.②当OK =OH 时,如图2-4所示,过点H 作HM ⊥x 轴于点M ,图2-4因为∠HAK =∠HKA =30°,所以HA =HK =2HM ,OH =OK =2OM ,AM =KM =3OM ,所以AO =4OM =3,所以OM =34,所以OK =32.综上,OK 的长为3-32或3+32或32.为什么没有讨论HO =HK 呢?实际上若HO =HK ,则∠HOK =∠HKO =30°,而∠HAO =30°,显然矛盾,因此舍去了.类型三旋转变换中的等腰三角形3.如图3-1,在平面直角坐标y =-2x -2与x轴交于点A ,与y 轴交于点C ,直线y -2与x 轴交于点B ,点E 是点A 关于y 轴的对称点,连接CE ,将△BCE 绕点E 旋转,旋转后点B ,C 的对应点分别为点B′,C′,在旋转过程中,直线B′C′与x 轴交于点M 、与直线BC 交于点N.当△BMN 是以MN 为腰的等腰三角形时,求BM 的长度.图3-1解析在直线BC 绕点E 旋转的过程中,点E 到直线BC 的距离保持不变,过点E 作EH ⊥BC 于点H ,以点E 为圆心,EH 的长为半径作圆,记r =EH =3-12,则直线B′C′始终保持与☉E 相切,而∠MBN =30°不变.在旋转过程中,利用∠MNB 与∠NMB 的变化趋势确定所在位置.利用这个方法,不容易漏掉某些存在的情况,能帮助我们找出所有的解.①如图3-2,记此时的M ,N 为M 1,N 1,∠M 1N 1B =∠M 1BN 1=30°,所以∠EM 1N 1=60°,图3-2所以r EM 1=32,EM 1=2-33,所以BM 1=231-2-33=733-3.②如图3-3,记此时的M ,N 为M 2,N 2,∠M 2N 2B =∠M 2BN 2=30°,图3-3解题技巧与方法JIETI JIQIAO YU FANGFA员猿远数学学习与研究 2022.12所以r EM 2=32,EM 2=2-33,所以BM 2=23-1+2-33=533+1.③如图3-4,记此时的M ,N 为M 3,N 3,∠N 3M 3B =∠M 3BN 3=30°,图3-4所以EM 3=2r =23-1,所以BM 3=23-1+23-1=43-2.综上,BM 的长为733-3或533+1或43-2.4.如图4-1,四边形OABC 是边长为6的正方形,点P为OA 边上任意一点(与点O ,A 不重合),连接CP ,若OP =23,把△OCP 绕点O 顺时针旋转一周的过程中,设旋转后的三角形为△OC′P′,直线C′P′与直线OB 的交点为Q ,当△OP′Q 为等腰三角形时,写出点Q 的坐标,并说明理由.图4-1解析由题可知,∠PCO =30°,∠COP =90°,在Rt △OCP 旋转的过程中,角度和边长均不发生变化,又OP =23,OC =6,从而点O 到线段CP 的距离不变,设点O 到线段CP 的距离为r ,则r =3.以点O 为圆心,r 为半径作圆,则在旋转过程中,CP 始终与☉O 相切,利用旋转过程中OQ 的长度变化趋势以及Q 点位置变化确定Q 点大致位置,再利用△OP′Q 为等腰三角形及∠AOB =45°,计算出Q 点的坐标.①如图4-2,记此时的P′,C′,Q 为P′1,C′1,Q 1,因为OP′1=OQ 1=23,∠AOB =45°,所以x Q1=y Q 1=232=6,所以Q 1(6,6).图4-2②如图4-3,记此时的P′,C′,Q 为P′2,C′2,Q 2,因为∠OP′2C′2=60°,所以∠Q 2P′2O =120°.图4-3又P′2O =P′2Q 2=23,所以OQ 2=OC′2=23×3=6,x Q 2=y Q 2=-62=-32,所以Q 2(-32,-32.③如图4-4,记此时的P′,C′,Q 为P′3,C′3,Q 3,因为OP′3=OQ 3=23∠Q 3P′3O =60°,所以此时的△Q 3P′3O 为等边三角形,当然,不难算出x Q 3=y Q3=-232=-6,所以Q 3(-6,-6).图4-4图4-5④如图4-5,记此时的P′,C′,Q 为P′4,C′4,Q 4,因为∠OP′4C′4=60°,所以∠Q 4P′4O =120°.又P′4O =P′4Q 4=23,所以OQ 4=OC′4=23×3=6,x Q 4=y Q 4=62=32,所以Q 4(32,32).综上,点Q 的坐标为(6,6)或(-32,-32)或(-6,-6)或(32,32).通过上面的例题,我们总结经验,发现等腰三角形的存在性问题找对、找全并不是太难,关键在于找到其中不变的量以及变化的量的变化趋势,同时要有克服困难的勇气,不断尝试突破,找到一些规律,也就慢慢熟练解题了.【参考文献】[1]刘正荣,董建功.关于等腰三角形存在性问题的解题策略初探[J ].中小学数学(初中版),2012(5):34-36.[2]于芸.等腰三角形存在性问题的解题策略[J ].中学数学研究(华南师范大学版),2013(20):34-35.[3]左效平.例析一次函数图像截出的等腰三角形问题[J ].初中数学教与学,2016(15):33-35.。

一次函数与等腰直角三角形的存在性问题第七讲

一次函数与等腰直角三角形的存在性问题第七讲一、直角三角形存在性问题攻略：1.若要画出直角三角形则有以下画法：以顶点分类（1）已知定点处直角画角三角形用直尺直接画直角找动点（2）已知动点处为直角画直角三角形用圆规以直角三角形的斜边为直径画圆找动点；2.直角三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快；3.几何法一般分三步：分类、画图、计算；4.代数法一般也分三步：罗列三边长、借助直角三角形性质建等式、解方程并检.二、（1）例题精讲---直角三角形的存在性问题例1：点A(0，3)，B(8，3)，点C 在x 轴上，若△ABC 是直角三角形，请求出所以满足条件的C 的坐标.xxx变式：如图，已知点A （0，1），B （4，3）在直线上，P 是x 轴上一点，若△ABP 是直角三角形，则点P 的坐标为多少？（2）强化练习1、在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，0），B （2，0），若点C 在一次函数y=﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则点C 的坐标为 .2、如图，已知A （1，0），B （0，3），P 是直线x=2上一点，若△ABP 是直角三角形，则点P 的坐标为 .xx的坐标为（5,2m），连接.4、如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了t秒(0＜t＜4)时，在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的3个顶点分别是点A(3，0)，B(3，4)，C(0，4).若点P 在线段OA 上，从点O 向点A 以1个单位长度/s 的速度运动；同时，点Q 在线段AC 上，从点A 向点C 以2个单位长度/s 速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动.设点P 的运动时间为t ，当t 为何值时，△PAQ 为直角三角形？6、如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的两邻边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，顶点B 的坐标为（5，2），D 是点A 右侧的x 轴上一点，E 是y 轴负半轴上一点，且OE=2AD=2t ．连接BD ，BE ，DE ，当△BDE 是直角三角形时，求t 的值.三、（1）例题精讲---等腰三角形的存在性问题攻略： 1.若要画出直角等腰三角形则有以下画法：先确定直角在利用等腰列式子：确定直角时以顶点分类（1）已知定点处直角画角三角形用直尺直接画直角找动点；（2）已知动点处为直角画直角三角形用圆规以直角三角形的斜边为直径画圆找动点；2.直角等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快；3.几何法一般分三步：分类、画图、计算；4.代数法一般也分三步：罗列三边长、表达线段长，借助等腰直角三角形性质建等式、解方程并检验.例2：如图，直线233+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是x 轴上的动点，若使△ABP 为等腰三角形，则点P 的坐标是 .变式：如图，直线343-+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是线段AB 上的动点，若使△OAP 为等腰三角形，则点P 的坐标是 .（2）强化练习1、如图，直线y=x+3与y 轴交于点A ，与直线x=1交于点B ，点P 是直线x=1上的动点，若使△ABP 为等腰三角形，则点P的坐标是 .2、如图，直线l：y=x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，1：y=﹣x+b经过点C，且与直点C为x轴上任意一点，直线l2交于点D，与y轴交于点E，连结AE．线l（1）当点C的坐标为（2，0）时，的函数表达式；①求直线l2②求证：AE平分∠BAC；（2）问：是否存在点C，使△ACE是以CE为一腰的等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．四、（1）例题精讲---等腰直角三角形的存在性问题例3：如图，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，在第一象限是否存在点P ，使以A ，B ，P 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．变式：直线131+=x y 与x 轴，y 轴分别交于A,B 两点，C 是第二象限点，则使△ABC 是等腰直角三角形的C 点坐标是 .xxx（2）强化练习1、（2012秋•中山区期末）已知，如图，在平面直角坐标系中，A、B两点坐标分别为A（4，0），B（0，8），直线y=2与直线AB交于点C，与y轴交于点D；（1）求直线AB的解析式；（2）点E是直线AB上的一个动点，问：在y轴上是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点E及对应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2014秋•长兴县期末）如图，在平面平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴与点B，点C是AB的中点，过点C作直线CD⊥x轴于点D，点P是直线CD上的动点．（1）填空：线段OA的长为；线段OB的长为；（2）求点C的坐标；（3）是否存在这样的点P，使△POB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。

09 专题九：一次函数与平行四边形存在性问题(方法专题)

1、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，-2），B（4，0），若C是坐标平面内一点，且以A，B，C，O为顶点的平行四边形是_______________________。

【答案】（-2,-2），（6，-2）或（2,2）。

2、已知M（1，1）是AB的中点，若点A的坐标为（3，2）则点B的坐标为_________。

【答案】（-1,0）。

1.线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则线段AB的中点坐标为1212,22x x y y++⎛⎫⎪⎝⎭。

2.平行四边形顶点坐标公式ABCD的顶点坐标分别为A（x A，y A）、B（x B，y B）、C（x C，y C）、D（x D，y D），则：x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D。

即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等。

解法点睛专题导入一次函数与平行四边形存在性问题3.一个基本事实，确定动点位置如图，已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内另找一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形.答案有三种：以AB 为对角线的ACBD 1，以AC 为对角线的ABCD 2，以BC 为对角线的ABD 3C 。

例1、已知：在平面直角坐标系中，点(1,0)A ，点(4,0)B ，点C 在y 轴正半轴上，且2OB OC =．（1）试确定直线BC 的解析式；（2）在平面内确定点M ，使得以点M 、A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标．【答案】解：（1）(4,0)B ，4OB ∴=，又2OB OC =，C 在y 轴正半轴上，(0,2)C ∴．设直线BC 的解析式为(0)y kx b k =+≠．过点(4,0)B ，(0,2)C ，∴402k b b +=⎧⎨=⎩，解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为122y x =-+．专题精析（2）如图，①当BC 为对角线时，易求1(3,2)M ；②当AC 为对角线时，//CM AB ，且CM AB =．所以2(3,2)M -；③当AB 为对角线时，//AC BM ，且AC BM =．则||2y M OC ==，||5x M OB OA =+=，所以3(5,2)M -．综上所述，符合条件的点M 的坐标是1(3,2)M ，2(3,2)M -，3(5,2)M -．【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，直线4y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线3y kx =-经过点A ，且与y 轴交于点C ，若点M 在直线AB 上运动，点N 在直线AC 上运动，且以O ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，则点M 的坐标 ______ ．【答案】解：把0x =代入4y x =-+得：4y =，即点B 的坐标为：(0,4)，线段OB 的长度为：4，把0y =代入4y x =-+得：40x -+=，解得：4x =，即点A 的坐标为：(4,0)，把点(4,0)A 代入直线3y kx =-的：430k -=，解得：34k =，即直线AC 的解析式为：334y x =-，设点M 的横坐标为m ，则M 的坐标为：(,4)m m -+，根据题意得：点N 的坐标为：3(,3)4m m -当04m <<时，3(4)(3)44m m -+--=，解得：127m =，即点M 的坐标为：12(7，16)7，当4m >时， 3(3)(4)44m m ---+=，解得：447m =，即点M 的坐标为：44(7，16)7-，综上，点M 的坐标为：12(7，16)7或44(7，16)7-，如下图所示：故答案为：12(7，16)7或44(7，16)7-．2．如图在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，且OA、OB 的长满足|2|0OA -．（1）求AB 的长；（2）若直线y kx b =+与线段AB 交于点E ，与坐标轴分别交于C 、D 两点，且点3(0,)2D ，(1,2)E ，求点C 的坐标；（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存点P ，使以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：|2|0OA -，2OA ∴=，4OB =，在RtAOB ∆中，根据勾股定理得，AB（2）将点3(0,)2D ，(1,2)E 代入直线y kx b =+中得，232k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线CD 是解析式为1322y x =+，令0y =，则13022x +=，3x ∴=-， ∴点C 的坐标(3,0)-；（3）如图，连接BC ，由（1）知，2OA =，4OB =，点A 在x轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，(2,0)A∴，(0,4)B，由（2）知，(3,0)C-，5AC∴=，以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，①当AC为边时，//BP AC，5BP AC==，(5,4)P∴-或(5,4)；②当AC为对角线时，点B向下平移4个单位，再向右平移2个单位，∴点C向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到点P的坐标(32,04)-+-，(1,4)P∴--，即：点P的坐标为(5,4)-或(5,4)或(1,4)--．例2、如图，在已建立直角坐标系的44⨯正方形方格纸中，若每个小正方形的边长为1，将ABC∆绕点B顺时针旋转90︒到DBE∆（1）求线段BC扫过的面积；（2）平移线段DE后的像为GF，在正方形格点上是否存在点F，G，使得以D，E，F，G为顶点的四边形是菱形，求线段FG所在的直线解析式．【答案】解：（1）2902360Sππ==；（2）当(2,2)F ，(0,3)G 时，D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是菱形，设直线FG 的解析式为y kx b =+，223k b b +=⎧⎨=⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，132FG y x =-+；当(4,2)F ，(2,3)G 时，D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是菱形，设直线FG 的解析式为y mx n =+，4223m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得124m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，142FG y x =-+．【举一反三】如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线21y x =-+与坐标轴分别交于A ，B 两点，与直线y x a =+交于点D ，点B 绕点A 顺时针旋转90︒的对应点C 恰好落在直线y x a =+上．（1）求直线CD 的表达式；（2）若点E 在y 轴上，且CDE ∆的周长最小，求点E 的坐标；（3）点F 是直线21y x =-+上的动点，G 为平面内的点，若以点C ，D ，F，G 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】解：（1）如图1中，连接AC ，作CE x ⊥轴于E ．90BAC ∠=︒，90ABO BAO ∴∠+∠=︒，90BAO CAE ∠+∠=︒，ABO CAE ∴∠=∠，AB OC =，90AOB CEA ∠=∠=︒，ABO CAE ∴∆≅∆，12CE OA ∴==，1AE OB ==， 3(2C ∴，1)2，把3(2C ，1)2代入y x a =+，得到1322a =+， 1a ∴=-，∴直线CD 的解析式为1y x =-．（2）如图2中，作D 关于y 轴的对称点D '，连接CD '交y 轴于E ，此时CDE ∆的周长最小．由121y x y x =-⎧⎨=-+⎩解得2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 2(3D ∴，1)3-，2(3D '-，1)3-， ∴直线CD '的解析式为511313y x =-，1(0,)13E ∴-．（3）如图3中，①如图3中，当DF 为菱形对角线时，四边形DCFG 是菱形，C ∴、G 关于AB 对称，易求直线CG 的解析式为1124y x =-，由112421y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩，解得120x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，G ∴与C 关于1(2，0)对称，可得1(2G -，1)2-．②如图4中，当AC 为菱形的对角线时，F 、G 关于CD 对称，求出线段CD 的垂直平分线，同法可得7(3G ，7)6-． ③如图5中，当CF为菱形的对角线时，可得3(2G，12或32+，12．综上所述，满足条件的点G 坐标为1(2-，1)2-或7(3，7)6-或3(2，12+或32+，12．1．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，在格点ABC ∆中，点A 的坐标为(2,3)（1）若以A 、B 、C 及点D 为顶点的四边形是矩形，直接写出点D 的坐标： (0,4) ；（2）若以A 、B 、C 及点E 为顶点的四边形是平行四边形，请画出所有点E 的位置．【答案】解：（1）如图1所示：四边形ADBC是矩形，5CD AB ∴=，1OD =，4OD ∴=，(0,4)D ∴，故答案为：(0,4)；专题过关（2）如图2所示：2．如图，直线2y =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在y 轴上，且12OA AC =，直线CD AB ⊥于点P ，交x 轴于点D （1）求点P 的坐标（2）坐标系内是否存在点M ，使以点B ，P ，D ，M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）对于直线2y +，令0x =得到2y =，令0y =得到-(0,2)A ∴，(B -0)，2AC AO =，4AC ∴=，(0,6)C ∴，CD AB ⊥，∴直线CD 的解析式为6y =+，由26y x y ⎧+⎪⎨⎪=+⎩，解得3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P ∴，3)．（2）存在，P 点坐标3)，(23D，0)，(B -0)， BD ∴=，当1PM BD是平形四边形，则1BD PM ==1(M ∴-3)，当2PBDM 是平形四边形，则2BD PM ==2M ∴，3)，P 到x 轴距离等于3M 到x 轴距离，故3M 的纵坐标为3-，BE DF BD DE ==-=FO ∴3M ∴的横坐标为 3M ∴的坐标为(3)-；综上所述M 点的坐标为：1(M -3)，2M3)，3(M ，3)-．3．如图，在平面直角坐标系xOy ，直线1y x =+与24y x =-+交于点A ，两直线与x 轴分别交于点B 和点C ，D 是直线AC 上的一个动点，直线AB 上是否存在点E ，使得以E ，D ，O ，A 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：①如下图：当//OE AD 时，//OE AC ，所以直线OE 的解析式为2y x =-，联立OE 、AB ，得12y x y x =+⎧⎨=-⎩①②，解得1323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即11(3E -，2)3；②如下图：当//DE OA 时，//OD AB 时，//OD AB ，∴直线OD 的解析式为y x =，联立OD 、AC ，得24y xy x =⎧⎨=-+⎩，解得4343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，4(3D ，4)3．联立AB 、AC 得241y x y x =-+⎧⎨=+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ．OA 的解析式为2y x =， //DE OA ，∴设直线DE 的解析式为2y x b =+，将点D 的坐标代入直线的解析式得：42y x =-联立DE 、AB 得4231y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，解得73103x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，27(3E ，10)3． ③当OA 为对角线时，(1,2)A ，OA ∴的中点坐标为1(2，1)，点D 在直线24y x =-+上，∴设(,24)D m m -+，点E 在直线1y x =+上，∴设(,1)E n n +，DE ∴的中点坐标为(2m n +，241)2m n -+++， ∴122m n +=，24112m n -+++=， 43m ∴=，13n =-，1(3E ∴-，2)3综上所述：11(3E -，2)3，27(3E ，10)3．4．如图，四边形OABC 为矩形，A 点在x 轴上，C 点在y 轴上，矩形一角经过翻折后，顶点B 落在OA边的点G 处，折痕为EF ，F 点的坐标是(4,1)，30FGA ∠=︒．（1）求B 点坐标．（2）求直线EF 解析式．（3）若点M 在y 轴上，直线EF 上是否存在点N ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求N 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）F点的坐标是(4,1)，1FA∴=，4OA=，30 FGA∠=︒，GA∴=，2FG=，由折叠的性质知2BF FG==，3AB∴=，四边形OABC为矩形，4CB OA∴==，B∴点坐标为(4,3)；（2）903060AFG∠=︒-︒=︒，由折叠的性质知1(18060)602EFB EFG∠=∠=︒-︒=︒，BE∴=4CE∴=-(4E∴-3)，设直线EF的解析式是y kx b=+，∴41(44k bk b+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得1kb⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴直线EF的解析式是1y=++（3）①如图1中，当四边形MNGF是平行四边形时，易知点N的横坐标为点N在直线EF上，(N ∴2．②如图2中，当四边形MNFG 是平行四边形时，易知点N 点N 在直线EF 上，N ∴．③如图3中，当四边形MFNG 是平行四边形时，易知点N 的横坐标为8(8N ∴2)．5．平面直角坐标系中，直线132y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线(0)y kx k =≠交于点(2,)C m ．（1）求k 的值；（2）求OBC ∆的面积；（3）点M 为直线132y x =-+上一动点，过M 作/MN x 轴交直线y kx =于点N ，作MP x ⊥轴于点P ，过N作NQ x ⊥轴于点Q ，当以M ，N ，Q ，P 为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M 的坐标．【答案】解：（1）(2,)C m 在直线132y x =-+上2m ∴=(2,2)C ∴将(2,2)C 代入(0)y kx k =≠中得：1k =（2）直线132y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，(6,0)A ∴，(0,3)B (2,2)COBC ∴∆的面积为：13232⨯⨯= （3）MP x ⊥轴，NQ x ⊥轴//MP NQ ∴，90MPQ ∠=︒/MN x 轴，即/MN PQ∴以M ，N ，Q ，P 为顶点的四边形是矩形当以M ，N ，Q ，P 为顶点的四边形是正方形时，即四边形MNQP 为正方形∴当满足MN NQ =时，必有以M ，N ，Q ，P 为顶点的四边形是正方形设(,)N a a ，则(62,)M a a -|63|MN a ∴=-，||NQ a =|63|||a a ∴-=3a ∴=或32(0,3)M ∴或3(3,)26．已知，如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线1:3l y x =+分别交x 轴、y 轴于点A 、B 两点，直线2:3l y x =-过原点且与直线1l 相交于C ，点P 为y 轴上一动点．（1）求点C 的坐标；（2）在平面坐标系中是否存在点M ，使以A 、O 、C 、M 为顶点的四边形为平行四边形．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当PA PC +的值最小时，求此时点P 的坐标，并求PA PC +的最小值．【答案】解：（1）直线1:3l y x =+①与直线2:3l y x =-②相交于C ，联立①②解得，34x =-，94y =，3(4C ∴-，9)4；（2）直线3y x =+交x 轴于点A ，(3,0)A ∴-，由（1）知，3(4C -，9)4，以A 、O 、C 、M 为顶点的四边形为平行四边形，设(,)M m n 如图1，∴①当AC 是对角线时，131(3)242m --=，191(0)242n +=，154m ∴=-，94n =， 15(4M ∴-，9)4， ②当OC 是对角线时，131(0)(3)242m -=-+，191(0)(0)242n +=+，94m ∴=，94n =，19(4M ，9)4， ③当OA 为对角线时，113(03)()224m -=-，119(00)()224m +=+，94m ∴=-，94n =-．29(4M -，9)4，（3）如图2，作点(3,0)A -关于y 轴的对称点(3,0)A '，连接CA '交y 轴于点P ，此时，PC PA +最小，最小值为CA '= 由（1）知，3(4C -，9)4，(3,0)A '，∴直线A C '的解析式为3955y x =-+， 9(0,)5P ∴．。

10 专题十：一次函数与全等三角形存在性问题(方法专题)

1．如图，点E，F在线段BC上，ABF∆与DCE∆全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE 交于点M，则(DCE∠=)A．ABF∠B．BAF∠C．EMF∠D．AFB∠【答案】A．2．如图，ABC∆的顶点分别为(0,3)A，(4,0)B-，(2,0)C，且BCD∆与ABC∆全等，则点D坐标可以是( )A．(2,3)--B．(2,3)-C．(2,3)D．(0,3)【答案】A．3．如图，直线1:33y x=-+与x轴、y轴分别相交于点A、B，AOB∆与ACB∆关于直线l对称，则点C的坐标为．【答案】3(2，3)．专题导入一次函数与全等存在性全等三角形存在性问题的处理流程：分析不变特征：从顶点入手，分析定点、动点，在两个三角形中逐层分析确定的角、边长，把公共边作为对应边. 分析形成因素：根据分析得到的不变特征，结合两个三角形全等的判定，同时考虑两个三角形出现的对应关系，综合在一起分析.画图求解：根据上面的分析，画出符合题意的图形，结合图形特征，设计方案.结果验证：回归点的运动范围进行验证；估算数值，结合图形进行验证.例1、如图，ABC ∆的顶点分别为(0,3)A ，(4,0)B -，(2,0)C ，且BCD ∆与ABC ∆全等，则点D 坐标可以是______________．【答案】解：如图所示，BCD ∆与ABC ∆全等，点D 坐标可以是(2,3)-或(2,3)--或(0,3)-．故答案为：(2,3)-或(2,3)--或(0,3)-．专题精析解法点睛【举一反三】1．线段AB 的两端点的坐标为(0,3)A ，(2,0)B -，现请你在坐标系中（不能在坐标轴上）找一个格点P ，使得以P 为顶点且与AOB ∆共一边的三角形与AOB ∆全等，则满足条件的P 点的坐标是 ________ （写出所有情况）【答案】解：如图所示：1(2,3)P-，2(2,3)P ，3(2,3)P --，故答案为：(2,3)-、(2,3)、(2,3)--．2．如图，直线24y x =-+分别与x 轴、y 轴相交于点A 和点B ，如果线段CD 两端点在坐标轴上滑动(C 点在y 轴上，D 点在x 轴上），且CD AB =．（1）当COD ∆和AOB ∆全等时，求C 、D 两点的坐标；（2）是否存在经过第一、二、三象限的直线CD ，使CD AB ⊥？如果存在，请求出直线CD 的解析式；如果不存在，请说明理由．【答案】解：（1）由题意，得(2,0)A ，(0,4)B ，即2AO =，4OB =．①当线段CD 在第一象限时，点(0,4)C ，(2,0)D 或(0,2)C ，(4,0)D ．②当线段CD 在第二象限时，点(0,4)C ，(2,0)D -或(0,2)C ，(4,0)D -．③当线段CD 在第三象限时，点(0,4)C -，(2,0)D -或(0,2)C -，(4,0)D -．④当线段CD 在第四象限时，点(0,4)C -，(2,0)D 或(0,2)C -，(4,0)D（2）(0,2)C ，(4,0)D -．直线CD 的解析式为122y x =+．例2、在平面直角坐标系中，点A 的坐标(0,4)，点C 的坐标(6,0)，点P 是x 轴上的一个动点，从点C 出发，沿x 轴的负半轴方向运动，速度为2个单位/秒，运动时间为t 秒，点B 在x 轴的负半轴上，且3AOC AOB S S ∆∆=．（1）求点B 的坐标；（2）若点D 在y 轴上，是否存在点P ，使以P 、D 、O 为顶点的三角形与AOB ∆全等？若存在，直接写出点D 坐标；若不存在，请说明理由（3）点Q 是y 轴上的一个动点，从点A 出发，向y 轴的负半轴运动，速度为2个单位/秒．若P 、Q 分别从C 、A 两点同时出发，求：t 为何值时，以P 、Q 、O 三点构成的三角形与AOB ∆全等．【答案】解：（1）点A 的坐标(0,4)，点C 的坐标(6,0)，4OA ∴=，6OC =，11641222AOC S OC OA ∆∴==⨯⨯=， 3AOC AOB S S ∆∆=．4AOB S ∆=，设(,0)B x ，点B 在x 轴的负半轴上，OB x ∴=-，11()4422AOB S OB OA x ∆∴==⨯-⨯=， 2x ∴=-，(2,0)B ∴-；（2）P 在x 轴上，D 在y 轴，90POD AOB ∴∠=∠=︒，以P 、D 、O 为顶点的三角形与AOB ∆全等，∴①POD AOB ∆≅∆，2OD OB ∴==，(0,2)D ∴或(0,2)-②DOP AOB ∆≅∆，4OD OA ∴==，(0,4)D ∴或(0,4)-，即：满足条件的D 的坐标为(0,4)，(0,4)-，(0,2)，(0,2)-．（3）P 在x 轴上，Q 在y 轴，90POQ AOB ∴∠=∠=︒，由运动知，2CP t =，2AQ t =，|26|OP t ∴=-，|24|OQ t =-，当02t <<时，62OP t =-，42OQ t =-，以P 、Q 、O 为顶点的三角形与AOB ∆全等，1t ∴=462OP OA t ===-，1t ∴=，∴满足条件，即：1t s =②QOP AOB ∆≅∆，442OQ OA t ∴===-，0t ∴=，262OP OB t ===-，2t ∴=，∴不满足条件，舍去；当23t <<时，62OP t =-，24OQ t =-，以P 、Q 、O 为顶点的三角形与AOB ∆全等，∴①POQ AOB ∆≅∆，224OQ OB t ∴===-，3t ∴=，462OP OA t ===-，1t ∴=，∴不满足条件，舍去；②QOP AOB ∆≅∆，424OQ OA t ∴===-，4t ∴=，262OP OB t ===-，2t ∴=，∴不满足条件，舍去；当3t >时，26OP t =-，24OQ t =-，以P 、Q 、O 为顶点的三角形与AOB ∆全等，3t ∴=426OP OA t ===-，5t ∴=，∴不满足条件，舍去；，②QOP AOB ∆≅∆，424OQ OA t ∴===-，4t ∴=，226OP OB t ===-，4t ∴=，∴满足条件，即：4t s =即：满足条件的时间1t s =或4s ．13．直线1l 与x 轴的交点A 的坐标为(2,0)-，与y 轴的交点B 的坐标为(0,1)．（1）求这条直线的表达式．（2）直线2l 经过第二、三、四象限，且与x 轴、y 轴分别交于点C ，点D ，如果COD ∆和AOB ∆全等，求直线2l 的表达式．【答案】解：（1）设1l 一次函数表达式为y kx b =+，直线1l 与x 轴的交点A 的坐标为(2,0)-，与y 轴的交点B 的坐标为(0,1)．代入可得201k b b -+=⎧⎨=⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，1l ∴一次函数表达式为112y x =+；（2）点A 的坐标为(2,0)-，点B 的坐标为(0,1)．2OA ∴=，1OB =，专题过关COD ∆和AOB ∆全等， 2OC ∴=或1，1OD =或2，(2,0)C ∴-，(0,1)D -或(1,0)C -，(0,2)D -，设2l 一次函数表达式为y mx n =+，∴201m n n -+=⎧⎨=-⎩或02m n n -+=⎧⎨=-⎩ 解得121m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或22m n =-⎧⎨=-⎩∴直线2l 的表达式为112y x =--或22y x =--． 2．已知直线25y x =-与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ，点(1,)C n 在直线AB 上，点D 在y 轴的负半轴上，且CD =（1）求点C 、点D 的坐标．（2）若点M 为x 轴上一动点（点M 不与点O 重合），N 为直线25y x =-上一动点，是否存在点M 、N ，使得AMN ∆与AOB ∆全等？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）如图1中，点(1,)C n 在直线25y x =-上，3n ∴=-，(1,3)C ∴-，作CF y ⊥轴于F ，10CD =，1CF =，在Rt CDF ∆中，3DF ，(0,6)D ∴-或(0,0)（舍弃）(0,6)D ∴-．（2）如图2中，①当AMN AOB ∆≅∆时， 2.5AM OA ==，5NM OB ==5OM ∴=，(5,5)N ∴．②当△AN M AOB ''≅∆时，52AN OA '==，可得N '，． ③当△AN M AOB ''''≅∆时，52AN OA ''==，可得N ''，．综上所述，满足条件的点N 坐标：(5,5)或或 3 3．直线(0)y x b b =+>与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，点A 的坐标为(6,0)-，过点B 的另一直线交x 轴正半轴于点C ，且13OC OB =．（1）求点B 的坐标及直线BC 的解析式；（2）在线段OB 上存在点P ，使点P 到点B ，C 的距离相等，求出点P 坐标；（3）在x 轴上方存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与ABC ∆全等，画出ABD ∆并请直接写出点D 的坐标．【答案】解：（1）把A 的坐标为(6,0)-代入y x b =+中，得到6b =， (0,6)B ∴，13OC OB =，2OC ∴=，(2,0)C ∴，设直线BC 的解析式为y kx b =+，则有620b k b =⎧⎨+=⎩，解得36k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为36y x =-+．（2）如图1中，由题意PB PC =，设PB PC x ==．在Rt POC ∆中，6OP x =-，PC x =，2OC =，222(6)2x x ∴=-+，103x ∴=，108633OP ∴=-=，8(0,)3P ∴．（3）如图2中，设点C 关于直线AB 的对称点为D ，则ABD ABC ∆≅∆，直线AB 的解析式为6y x =+，∴直线CD 的解析式为2y x =-+，由62y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得24x y =-⎧⎨=⎩，(2,4)H ∴-，DH HC =，(6,8)D ∴-，根据对称性点D 关于直线y x =-的对称点(8,6)D '-也满足条件．综上所述，满足条件的点D 的坐标为(6,8)-或(8,6)-．4．如图，直线124:5l y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，直线2:2l y x b =-+与x 轴、y 轴、直线1l 分别相交于点C 、D 、P ．已知点A 的坐标为(6,0)，点D 的坐标为(0,6)，点M 是x 轴上的动点．（1）求k ，b 的值及点P 的坐标；（2）当POM ∆为等腰三角形时，求点M 的坐标；（3）是否存在以点M 、O 、D 为顶点的三角形与AOB ∆全等？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）直线124:5l y kx =+与x 轴相交于(6,0)A ， 24605k ∴+=，45k ∴=-， ∴直线1424:55l y x =-+① 直线2:2l y x b =-+与y 轴相交于点(0,6)D ，6b ∴=，∴直线2:26l y x =-+②，联立①②解得，14x y =⎧⎨=⎩，(1,4)P ∴；（2）点M 是x 轴上的动点，∴设(,0)M m ，(1,4)P ，OP ∴=||OM m =，MP =POM ∆为等腰三角形，∴当OM OP =时，∴||m =，m ∴=(M ∴0)或0)当OM MP =时，||m ∴=172m ∴=，17(2M ∴，0)，当OP MP =时，∴，0m ∴=（舍)或2m =，(2,0)M ∴，即：点M 的坐标为(0)或0)或17(2，0)或(2,0)；（3）点A 的坐标为(6,0)，点D 的坐标为(0,6)，6OA OD ∴==，点M 在x 轴上，90AOB DOM ∴∠=∠=︒，以点M 、O 、D 为顶点的三角形与AOB ∆全等，AOB DOM ∴∆≅∆， OM OB ∴=，直线1424:55l y x =-+与y 轴相交于B ， 24(0,)5B ∴，245OB ∴=，245OM ∴=， 24(5M ∴，0)或24(5-，0)．5．已知直线443y x =-+与x 轴和y 轴分别交与A 、B 两点，另一直线过点A 和点(7,3)C ．（1）求直线AC 对应的函数关系式；（2）求证：AB AC ⊥；（3）若点P 是直线AC 上的一个动点，点Q 是x 轴上的一个动点，且以P 、Q 、A 为顶点的三角形与AOB ∆全等，求点Q 的坐标．【答案】解：（1）在443y x =-+中，令0y =，则4043x =-+，3x ∴=，(3,0)A ∴，设直线AC 对应的函数关系式为y kx b =+，∴0337k b k b =+⎧⎨=+⎩，∴3494k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线AC 对应的函数关系式为3944y x =-，（2）在直线443ABy x =-+中，143k =-，在直线3944ACy x =-中，234k =， 121k k ∴=-，AB AC ∴⊥；（3）在443y x =-+中，令0x =，则4y =，3OA ∴=，4OB =，由勾股定理得5AB =，①当90AQP ∠=︒时，如图1，AOB AQP ∆≅∆，4AQ OB ∴==，1(7,0)Q ∴，2(1,0)Q -，②当90APQ ∠=︒时，如图2，AOB AQP ∆≅∆，5AQ AB ∴==，3(8,0)Q ∴，4(2,0)Q -．③当90PAQ ∠=︒时，这种情况不存在，综上所述：点Q 的坐标为：(7，0)(8，0)(1-，0)(2-，0)．6．如图，直线:3l y kx =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，34OB OA =，OM AB ⊥，垂足为点M ，点P 为直线l 上的一个动点（不与A 、B 重合）．（1）求直线3y kx =+的解析式；（2）当点P 运动到什么位置时BOP ∆的面积是6；（3）在y 轴上是否存在点Q ，使得以O ，P ，Q 为顶点的三角形与OMP ∆全等，若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）直线:3l y kx =+与y 轴交于点B(0,3)B ∴，3OB =34OB OA =，4OA ∴=，即(4,0)A点A 在直线l 上，430k ∴+= 解得：34k =-∴直线l 的解析式为334y x =-+（2）过P 作PC y ⊥轴于C ，如图1，162BOP S OB PC ∆∴==4PC ∴=∴点P 的横坐标为4或4-点P 为直线l 上的一个动点且不与A 、B 重合∴横坐标不为4，纵坐标为：3(4)364-⨯-+=∴点P 坐标为(4,6)-时，BOP ∆的面积是6；（3）存在满足条件的P 、QOM AB ⊥，5AB ==90OMP ∴∠=︒ 125OA OB OM AB ==∴以O ，P ，Q 为顶点的三角形与OMP ∆全等时，斜边OP 为对应边，90OQP ∠=︒， ①OMP PQO ∆≅∆125PQ OM ∴==，即P 点横坐标为125-或125，如图2和图3，31224()3455-⨯-+=，31263455-⨯+= ∴点12(5P -，24)5或12(5，65）②OMP OQP ∆≅∆125OQ OM ∴==，即点P 、点Q 纵坐标为125-或125，如图4和图5，312345x -+=- 解得：365x =312345x -+= 解得：45x = ∴点36(5P ，12)5-或4(5，12)5 综上所述，符合条件的点P 的坐标为12(5-，24)5，12(5，6)5，36(5，12)5-，4(5，12)5。

专题01 一次函数压轴题(十大题型)(原卷版)

(1)OC 的长为______，OD 的长为______；(2)如图，点()1,M a -是线段CD 上一点，连接OM ，作ON 并判断MON △的形状；(3)如备用图，若点()1,E b 为直线AB 上的点，点P 为y 轴上的点，是以点E 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时(1)求直线CD 的函数表达式和点D 的坐标；(2)点P 为线段DE 上的一个动点，连接BP ．①若直线BP 将ACD 的面积分为7:9两部分，试求点②点P 是否存在某个位置，将BPD △沿着直线BP 翻折，使得点在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．题型2：取值范围问题(1)求点A 的坐标；(2)若点C 在第二象限，ACD ①求点C 的坐标；②直接写出不等式组4x kx +>③将CAD 沿x 轴平移，点C(1)求点C 的坐标及直线BC 的表达式；(2)在点E 运动的过程中，若△DEF 的面积为5，求此时点(3)设点E 的坐标为（0，m ）；①用m 表示点F 的坐标；②在点E 运动的过程中，若△DEF 始终在△ABC 的内部（包括边界）题型3：最值问题5．已知一次函数()134502y kx k k =++≠．的坐标为(),a a ，求CM MP +的最小值．6．如图1，在平面直角坐标系xoy 中，直线1:1l y x =+与x 轴交于点A ，直线2:33l y x =-与x 轴交于点B ，与1l 相交于C 点，过x 轴上动点(),0E t 作直线3l x ⊥轴分别与直线1l 、2l 交于P 、Q 两点．(1)①请直接写出点A ，点B ，点C 的坐标：A ______，B ______，C ______．②若2PQ =，求t 的值；(2)如图2，若E 为线段AB 上动点，过点P 作直线PF PQ ⊥交直线2l 于点F ，求当t 为何值时，PQ PF -最大，并求这个最大值．题型4：旋转问题7．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象交y 轴于点()0,1A -，交x 轴交于点B ，且2OB OC OA ==，过点C 作y 轴的垂线，交直线AB 于点D ．(1)求点D 的坐标；(2)点E 是线段CD 上一动点，直线BE 与y 轴交于点F ．①若BDF V 的面积为8，求点F 的坐标；②如图2，当点F 在y 轴正半轴上时，将直线BF 绕点B 顺时针旋转45︒后的直线与线段CD 交于点M ，连接FM ，若1OF MF =+，求线段MF 的长．备用图(1)求直线1l 的表达式；(2)过M 作y 轴的平行线，分别交直线1l ，直线2l 于点D ，E ，连接DE ，①当3m =时，求DE 的长；(1)求n 的值及直线2l 的表达式；(2)在直线2l 上是否存在点E ，使BO ABE A S S =△△若存在，则求出点(3)如图2，点P 为线段AD 上的一个动点，一动点H(1)求直线AB 的表达式；(2)由图象直接写出关于x 的不等式102x kx b <<+的解集；(3)如图②所示，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt BPM 直线MA 交y 轴于点Q ．当点P 在x 轴上运动时，线段OQ 的长度是否发生变化？若不变，求出线段长度；若变化，求线段OQ 的取值范围．题型6：定值问题11．如图1所示，直线l ：10y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于(1)若点D坐标为(12，3)．①求直线BC的函数关系式；②若Q为RS中点，求点P坐标．(2)在点P运动的过程中，PQCR的值是否变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．题型7：新定义题型13．函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，表是探究过程中的部分信息：x…2-1-01232y x=-…4a2-14(1)a的值为______；(2)在图中画出该函数的图象；(3)结合函数的图象，解决下列问题：①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项）A．函数图像关于x轴对称x=时，函数有最小值，最小值为B．当0x>时，y随x的增大而增大C．当0③若12x -≤≤，则y 的取值范围为【拓展提升】18．对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的数”．例如：对于函数12y x =和231y x =-，则函数1y ，2y 的“和函数”3y =(1)已知函数1y x =和2=y ①写出3y 的表达式，并求出当②函数1y ，2y 的图象如图①所示，则．．．．(2)已知函数4y x =和5y =，这两个函数的“和函数”记为6y ．按照上图的速度步行前往学校，记录下小东10天到达学校所用的时间，如表．上学日期4号5号6号7号8号11号到达学校所用时间（单位：min）2524.825.324.925.124.8某天早上7：20，小东按照上表的速度步行上学．t（0＜t≤10）分钟后，小明骑自行车以从小区出发，沿着相同的路线上学．骑行7分钟后，自行车因零件损坏无法继续骑行，小明只好将自行车停在路边非机动车停靠点（停车时间忽略不计），改用步行前往学校．为了赶时间，小明的步行速度不小于。

一次函数与四边形存在性问题

一次函数与四边形存在性问题1、如图，在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，2，点C的坐标为（－18,0）。

（1）求点B的坐标;（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D,交y轴于点E,且OE=4,OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2)中直线DE上的一个动点,在坐标平面内是否存在点Q,使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

2、如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B 点坐标是(3,4)，矩形ABCD沿直线EF折叠,点A落在BC边上的G处,E、F分别在AD、AB上,且F点的坐标是（2，4）．（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；(3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M,使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在,请说明理由．3、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根（OA〈0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q运动的时间为t秒．（1）求A、B两点的坐标。

(2)求当t为何值时,△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．(3）当t=2时,在坐标平面内,是否存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图,在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为4，点B是线段OA上的一个动点．过点B作直线MN平行于x轴,设MN分别交射线OA与X•轴所形成的两个角的平分线于点E、F．（1）求证:EB=BF；(2)当OBOA为何值时，四边形AEOF是矩形?并证明你的结论；（3）是否存在点A、B，使四边形AEOF为正方形．若存在，求点A与点B的坐标；• 若不存在,请说明理由．5、如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，3CAO=30°，将Rt△OAC•折叠，•使OC 边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．（1）求折痕CE所在直线的解析式；（2)求点D的坐标;（3)设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线,交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由．。

函数恒成立存在性问题

函数恒成立存在性问题f X 恒成立af X max ；af x恒成立af x mnf X能成立af X m in ；a f x 能成立a f x max另一转化方法：W x D,f(x) A 在D 上恰成立，等价于 f(x)在D 上的最小值f m in (x) x D, f(x) B 在D 上恰成立，则等价于 f(x)在D 上的最大值f max (x) B .5、设函数 f x 、g x ,对任意的 x 1a ,b ,存在 x 2c ,d ,使得 f x i g x 2 ,则 f max x g max x6、设函数 f x 、g x ,存在 x i a , b ,存在 x 2 c, d ,使得 f x i g x 2 ,则 f max x g min x7、设函数 f x 、g x ,存在 x ia ,b ,存在 x 2c, d ,使得f x ig x 2 ,则 f min x g max x 8、若不等式f x g x 在区间D 上包成立，则等价于在区间 D 上函数y f x 和图象在函数 y g x 图象上方； 9、若不等式f x g x 在区间D 上包成立，则等价于在区间D 上函数yf x 和图象在函数y g x 图象下方；例题讲解：题型一 I 、常见方法i 、已知函数 f (x) x 2 2ax i , g(x)-,其中 a 0 , x 0 . xi )对任意x [i,2],都有f (x) g(x)恒成立，求实数a 的取值范围；2 )对任意x i [i,2],x 2 [2,4],都有f(x i ) g(x 2)恒成立，求实数a 的取值范围；a . i ..一 i2、设函数h(x) — x b,对任意a [―,2],都有h(x) io 在x [—,i]恒成立，求实数b 的取值范围.x 2 4xi3、已知两函数f(x) x , g(x) - m,对任息x i0,2 ,存在x 2 i,2 ,使得f(x i ) g x 2，则实数m 的取值范围为 _____________题型二、十参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)... (2)_i 、对于满足 p 2的所有头数p,求使不等式x px i p 2x 恒成立的x 的取值范围。

第六章一次函数(动点、全等、三角形存在性问题压轴)(原卷版)

第六章一次函数（压轴题专练）一、动点函数问题1．如图，在长方形ABCD 中，动点P 从A 出发，以一定的速度，沿A B C D A ®®®®方向运动到点A 处停止（提示：当点P 在AB 上运动时，点P 到DC 的距离始终等于AD 和BC ）．设点P 运动的路程为x ，PCD V 的面积为y ，如果y 与x 之间的关系如图所示，那么长方形ABCD 的面积为（）A ．6B ．9C ．15D ．182．已知动点H 以每秒x 厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A B C D E F -----的路径匀速运动，相应的HAF △的面积 ()2cm S 关于时间(s)t 的关系图象如图2，已知8cm AF =，则下列说法正确的有几个（）①动点H 的速度是2cm/s ；②BC 的长度为3cm ；③b 的值为14；④在运动过程中，当HAF △的面积是230cm 时，点H 的运动时间是3.75s 和1025s .．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图1，四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，AB CD ∥，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿路线A -B-C -D 运动.设P 点的运动时间为ts ，PAD V 的面积为S ，当P 运动到BC 的中点时，PAD V 的面积为A ．7B ．7.5C ．84．如图，在长为形ABCD 中，5cm 16cm AB AD ==，，点3cm 4cm AM AE ==，，连线CE ，动点P 从点B 出发，以运动到点A 即停止运动，连接MP ，设点P 运动的时间为(1)如图1，线段CE = cm ；当10t =时，线段EP = cm ；(2)如图1，点P 在线段BC 上运动的过程中，连接EM EP ，，当EMP V 是以EM 为直角边的直角三角形时，请求出对应的时间的值；(1)求线段OC的长；(2)若点E是点C关于y轴的对称点，求(3)已知y轴上有一点P，若以点标．(1)求n和b的值；△是直角三角形，求点P的坐标；(2)若ACP∠=∠，求点P的坐标．(3)当PBE BAC(1)求点D的坐标；(2)点E是线段CD上一动点，直线BE与x轴交于点i）若BDFV的面积为8，求点F的坐标；ii）如图2，当点F在x轴正半轴上时，将直线接FM，若1OF MF=+，求线段MF的长．(1)求直线AB的解析式；(2)已知点D为直线BC上第三象限的一点，连接AD，设点D的横坐标为t 间的函数关系式（不要求写出变量t的取值范围）；(3)在（2）的条件下，256S=，点D关于y轴的对称点为点E，点F在第一象限直线。

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一次函数之存在性问题
1. 如图，直线323yx与坐标轴分别交于A，B两点，点C在y轴上，且12OAAC，直线CD⊥AB于点P，
交x轴于点D．
（1）求点P的坐标；
（2）坐标系内是否存在点M，使以点B，P，D，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐
标；若不存在，请说明理由．

2. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，
∠BCO=45°，BC=62，点C的坐标为（-9，0）．
（1）求点B的坐标．
（2）如图，直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式．
（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角
形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

P
O
DCBAyx

ODC
BA
y
x
ODC

BA
y
x
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3. 如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且43OCOB．
（1）求B点的坐标和k的值．
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-4上的一个动点,则当点A运动到什么位置时，△
AOB
的面积是6？
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．

4. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，OA=6，OB=12，点C是直线y=2x与直线AB的交
点，点D在线段OC上，OD=25．
（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；
（2）求直线AD的解析式；
（3）P是直线AD上的一个动点，在平面内是否存在点Q，使以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形？若
存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

O
D
C
B

A
y

x
O

D
C
B
A
y

O
C
BAyx

xyBCOxyB

C
O
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5. 如图，直线122yx与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为（-3,0），P（x，y）是直线
1
22yx

上的一个动点（点P不与点A重合）．
（1）在P点运动过程中，试写出△OPC的面积S与x的函数关系式；

（2）当P运动到什么位置时，△OPC的面积为278，求出此时点P的坐标；
（3）过P作AB的垂线分别交x轴、y轴于E，F两点，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？若存在，
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

一次函数之存在性问题
1. 如图，在直角坐标系中，一次函数y=323x的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）已知OC⊥AB于C，求C点坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说
明理由．

C
B

A
O

x
2. 如图，一次函数y=33x的函数图象与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第

OCBAyx
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一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．
（1）求△ABC的面积；

（2）如果在第二象限内有一点P（m，32），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△
ABC
面积相等时m的值；
（3）在坐标轴上是否存在一点Q，使△QAB是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q所有可能的坐标；若
不存在，请说明理由．

30°
y

xPCBA
O
3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y=-34x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直
线AC上的一个动点．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出
点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

xODCB
A

4. 如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，CB∥OA，∠OCB＝90°，CB＝1，AB＝5，直
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线112yx过A点，且与y轴交于D点．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）试说明：AD⊥BO；
（3）若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O，B，M，N为顶点的四边形
是平行四边形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由．

x
O

E
D

C
B

5. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=162x分别与x轴、y轴交于点B，C，且与直线l2:y=
1
2
x

交于点A．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边
形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

x
C

BAO