排列组合典型例题+详解
典型例题一
例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？
典型例题二
例2三个女生和五个男生排成一排
（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
典型例题三
例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
典型例题四
例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法．
典型例题五
例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？
典型例题六
例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？
典型例题七
例5 7名同学排队照相．
(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？
(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？
(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？
(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，
女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 典型例题八
例8 从65432、、、、五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和．
典型例题九
例9 计算下列各题：
(1) 215A ； (2) 66
A ； (3) 1111------⋅n n m n m n m n A A A ； (4) !!33!22!1n n ⋅++⋅+⋅+ (5) !
1!43!32!21n n -++++ 典型例题十
例10 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队，限定a 要排在b 的前面（a 与b 可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法．对这个题目，A 、B 、C 、D 四位同学各自给出了一种算式：A 的算式是662
1A ；B 的算式是441514131211)(A A A A A A ⋅++++；C 的算式是46A ； D 的算式是4426A C ⋅．上面四个算式是否正确，正确的加以解释，不正确的说明理由．
典型例题十一
例11 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？
典型例题十二
例12 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有（ ）．
A ．5544A A ⋅
B ．554433A A A ⋅⋅
C ．554413A A C ⋅⋅
D ．554422A A A ⋅⋅
典型例题十三
例13 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（ ）．
A ．210
B ．300
C ．464
D ．600
典型例题十四
例14 用5,4,3,2,1，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）．
A ．24个
B ．30个
C ．40个
D ．60个
典型例题十五
例15 (1)计算88332211832A A A A ++++ ．
(2)求!!3!2!1n S n ++++= (10≥n )的个位数字．
典型例题十六
例16 用543210、、、、、共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个
无重复数字的3位偶数？(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数？
典型例题十七
例17 一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻空位不相邻，共有几种坐法？
典型例题分析
1、分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、
2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下： 如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．
如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．
如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．
解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有3
9A 个；
当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一
个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ⋅⋅（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有
2296179250428181439=+=⋅⋅+A A A A 个．
解法2：当个位数上排“0”时，同解一有3
9A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：)(283914A A A -⋅个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有
22961792504)(28391439=+=-⋅+A A A A 个．
解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有
281515A A A ⋅⋅个
干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有
281414A A A ⋅⋅个
∴ 没有重复数字的四位偶数有
2296281414281515=⋅⋅+⋅⋅A A A A A A 个．
解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数．
没有重复数字的四位数有39410A A -个．
其中四位奇数有)(283915A A A -个
∴ 没有重复数字的四位偶数有
28393939283915394105510)(A A A A A A A A A +--⨯=---
283954A A +=
2828536A A +=
2841A =
2296=个
说明：这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用．
2、解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有6
6A 种不同排法．对于其中的每一种
排法，三个女生之间又都有33A 对种不同的排法，因此共有43203366=⋅A A 种不同的排法． （2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有5
5A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位
置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有144003655=⋅A A 种不同的排法． （3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有6
6A 种排法，所以共有
144006625=⋅A A 种不同的排法． 解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有8
8A 种不同的排法，从中扣除女生
排在首位的7713A A ⋅种排法和女生排在末位的7713A A ⋅种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以
还需加一次回来，由于两端都是女生有6623A A ⋅种不同的排法，所以共有
1440026623771388=+-A A A A A 种不同的排法．
解法3：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有3
6A 种不同
的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有55A 种不同的排法，所以共有
144005536=⋅A A 种不同的排法，
（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受
条件限制了，这样可有7715A A ⋅种不同的排法；如果首位排女生，有13A 种排法，这时末位就
只能排男生，有15A 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有6
6A 种不同的排法，
这样可有661513A A A ⋅⋅种不同排法．因此共有360006615137715=⋅⋅+⋅A A A A A 种不同的排法．
解法2：3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中扣去两端都是女生排法6623A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数．
因此共有36000662388=⋅-A A A 种不同的排法．
说明：解决排列、组合（下面将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法．
若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件．
若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素．
间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快． 捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用．
3、解：（1）先排歌唱节目有5
5
A 种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有46A 中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：55A 46A ＝43200.
（2）先排舞蹈节目有4
4A 中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5
个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：44A 55A ＝2880种方法。 说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。如本题（2）中，若先排歌唱节目有55A ，再排舞蹈节目有4
6A ，这样排完之后，其中含有歌唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求。
4、分析与解法1：6六门课总的排法是6
6
A ，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有55A 种排法，如图中Ⅰ；数学排在最后一节有55A 种排法，如图中Ⅱ；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中Ⅲ，这种情况有4
4A 种排法，因此符合条件的排法应是：
5042445566=+-A A A （种）．
分析与解法2：根据要求，课程表安排可分为4种情况：
（1）体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，这种排法有4424A A ⋅种；
（2）数学排在第一节但体育不排在最后一节，有排法4414A A ⋅种；
（3）体育排在最后一节但数学不排在第一节，有排法4414A A ⋅种；
（4）数学排在第一节，体育排在最后一节，有排法4
4A
这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有：
504441444144424=⋅+⋅+⋅A A A A A A （种）．
分析与解法3：根据要求，课表安排还可分下述4种情况：
（1）体育，数学既不在最后也不在开头一节，有1224=A 种排法；
（2）数学排在第一节，体育不排在最后一节，有4种排法；
（3）体育在最后一书，数学木在第一节有4种排法；
（4）数学在第一节，体育在最后一节有1种排法．
上述 21种排法确定以后，仅剩余下四门课程排法是种44A ，故总排法数为5042144=A （种）．
下面再提出一个问题，请予解答．
问题：有6个人排队，甲不在排头，乙不在排尾，问并肩多少种不同的排法． 请读者完成此题．
说明：解答排列、组合问题要注意一题多解的练习，不仅能提高解题能力，而且是检验所解答问题正确与否的行之有效的方法．
5、分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：，然后把3名司机和3名售票员分别填入．因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题．
解：分两步完成．第一步，把3名司机安排到3辆车中，有633=A 种安排方法；第二步
把3名售票员安排到3辆车中，有633=A 种安排方法．故搭配方案共有
363333=⋅A A 种．
说明：许多复杂的排列问题，不可能一步就能完成．而应分解开来考虑：即经适当地分类成分或分步之后，应用分类计数原理、分步计数原理原理去解决．在分类或分步时，要尽量把整个事件的安排过程考虑清楚，防止分类或分步的混乱．
6、分析：填写学校时是有顺序的，因为这涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的问题；同一学校的两个专业也有顺序，要区分出第一专业和第二专业．因此这是一个排列问题．
解：填表过程可分两步．第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学校中选出3所并加排列，共有3
4A 种不同的排法；第二步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其
顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有232323A A A ⋅⋅种．综合以上两步，由分步计数
原理得不同的填表方法有：518423232334=⋅⋅⋅A A A A 种． 说明：要完成的事件与元素的排列顺序是否有关，有时题中并未直接点明，需要根据实际情景自己判断，特别是学习了后面的“组合”之后这一点尤其重要．“选而且排”（元素之间有顺序要求）的是排列，“选而不排”（元素之间无顺序要求）的是组合．另外，较复杂的事件应分解开考虑．
7、分析：(1)可分两步完成：第一步，从7人中选出3人排在前排，有3
7
A 种排法；第二步，剩下的4人排在后排，有44A 种排法，故一共有774437A A A =⋅种排法．事实上排两
排与排成一排一样，只不过把第7~4个位子看成第二排而已，排法总数都是7
7A ，相当于7个人的全排列．(2)优先安排甲、乙．(3)用“捆绑法”．(4)用“插空法”．
解：(1) 5040774437==⋅A A A 种． (2)第一步安排甲，有13A 种排法；第二步安排乙，有1
4A 种排法；第三步余下的5人排在
剩下的5个位置上，有55A 种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有
1440551413=⋅⋅A A A 种． (3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余4个元素排成一排，即看成5个元素的全排列问题，有55A 种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有3
3A 种排法．由分步计
数原理得，共有7203355=⋅A A 种排法． (4)第一步，4名男生全排列，有4
4A 种排法；第二步，女生插空，即将3名女生插入4名男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，易知有35A 种插入方法．由分步计数原理得，
符合条件的排法共有：14403544=⋅A A 种． 说明：(1)相邻问题用“捆绑法”，即把若干个相邻的特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，与其他普通元素全排列；最后再“松绑”，将这些特殊元素进行全排列．(2)不相邻问题用“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．
8、分析：可以从每个数字出现的次数来分析，例如“2”，当它位于个位时，即形如的数共有24A 个（从6543、、、四个数中选两个填入前面的两个空）
，当这些数相加时，由“2”所产生的和是224⋅A ．当2位于十位时，即形如
的数也有24A ，那么当这些数相加时，由“2”产生的和应是10224⋅⋅A ．当2位于面位时，可同理分析．然后再依次分
析6543、、、的情况．
解：形如
的数共有24A 个，当这些数相加时，由“2”产生的和是224⋅A ；形如的数也有24A 个，当这些数相加时，由“2”产生的和是10224⋅⋅A ；形如
的数也有24A 个，当这些数相加时，由“2”产生的和应是100224⋅⋅A ．这样在所有三位数的和中，由“2”
产生的和是111224⋅⋅A ．同理由6543、、、产生的和分别是111324⋅⋅A ，11142
4⋅⋅A ，
111524⋅⋅A ，111624⋅⋅A ，因此所有三位数的和是26640)65432(11124=++++⋅⋅A ． 说明：类似于这种求“数字之和”的问题都可以用分析数字出现次数的办法来解决．如“由x ,5,4,1四个数字组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，求数x ”．本题的特殊性在于，由于是全排列，每个数字都要选用，故每个数字均出现了244
4=A 次，故有288)541(24=+++⨯x ，得2=x ．
9、解：(1) 2101415215=⨯=A
； (2) 720123456!666=⨯⨯⨯⨯⨯==A ; (3)原式!
)1(1!)(]!)1(1[!)1(-⋅-⋅----=n m n m n n 1!)1(1!)(!)(!)1(=-⋅-⋅--=
n m n m n n ； (4)原式]!!)1[()!3!4()!2!3()1!2(n n -+++-+-+-=
1!)1(-+=n ；
(5)∵!
1!)1(1!1n n n n --=-，
∴!
1!43!32!21n n -++++ !
11!1!)1(1!41!31!31!21!21!11n n n -=--++-+-+-= ． 说明：准确掌握好排列公式是顺利进行计算的关键．
本题计算中灵活地用到下列各式：
!)1(!-=n n n ；!!)1(!n n nn -+=；
!
1!)1(1!1n n n n --=-；使问题解得简单、快捷． 10、解：A 中很显然，“a 在b 前的六人纵队”的排队数目与“b 在a 前的六人纵队”排队数目相等，而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和．这表明：A 的算式正确．
B 中把六人排队这件事划分为a 占位，b 占位，其他四人占位这样三个阶段，然后用乘法求出总数，注意到a 占位的状况决定了b 占位的方法数，第一阶段，当a 占据第一个位置时，b 占位方法数是15A ；当a 占据第2个位置时，b 占位的方法数是14A ；……；当a 占据第5个位置时，b 占位的方法数是11A ，当a ，b 占位后，再排其他四人，他们有4
4A 种排法，可见B 的算式是正确的． C 中46A 可理解为从6个位置中选4个位置让f e d c ,,,占据，这时，剩下的两个位置依前后顺序应是b a ,的．因此C 的算式也正确．
D 中把6个位置先圈定两个位置的方法数26C ，
这两个位置让b a ,占据，显然，b a ,占据这两个圈定的位置的方法只有一种（a 要在b 的前面），这时，再排其余四人，又有4
4A 种排法，可见D 的算式是对的．
说明：下一节组合学完后，可回过头来学习D 的解法．
11、解法1：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况．应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法： 6408551424551224=⋅⋅+⋅⋅A A A A A A (种)．
解法2：采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法．把“甲坐在第一排的八人坐法数”看成“总方法数”，这个数目是7714A A ⋅．在这种前提下，不合题意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐两排的八人坐法．”这个数目是5514131214A A A C A ⋅⋅⋅⋅．其中第一个因数
14A 表示甲坐在第一排的方法数，12C 表示从乙、丙中任选出一人的办法数，13A 表示把选出
的这个人安排在第一排的方法数，下一个1
4A 则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排的方法数，55A 就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为
640855141312147714=⋅⋅⋅⋅-⋅A A A C A A A (种)． 说明：解法2可在学完组合后回过头来学习．
12、解：将同一品种的画“捆”在一起，注意到水彩画不放在两端，共有2
2
A 种排列．但4幅油画、5幅国画本身还有排列顺序要求．所以共有554422A A A ⋅⋅种陈列方式．
∴应选D ．
说明：关于“若干个元素相邻”的排列问题，一般使用“捆绑”法，也就是将相邻的若干个元素“捆绑”在一起，看作一个大元素，与其他的元素进行全排列；然后，再“松绑”，将被“捆绑”的若干元素，内部进行全排列．本例题就是一个典型的用“捆绑”法来解答的问题．
13、解法1：（直接法）：分别用5,4,3,2,1作十万位的排列数，共有5
5
5A ⋅种，所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有30052
155=⋅⋅A 个． 解法2：（间接法）：取5,,1,0 个数字排列有66A ，而0作为十万位的排列有55A ，所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有300)(2
15566=-A A (个)． ∴应选B ．
说明：(1)直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法，何时使用直接法或间接法要视问题而定，有的问题如果使用直接法解决比较困难或者比较麻烦，这时应考虑能否用间接法来解．
(2)“个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”具有对称性，这两类的六位数个数一样多，即各占全部六位数的一半，同类问题还有6个人排队照像时，甲必须站在乙的左侧，共有多少种排法．
14、分析：本题是带有附加条件的排列问题，可以有多种思考方法，可分类，可分步，可利用概率，也可利用本题所提供的选择项分析判断．
解法1：分类计算．
将符合条件的偶数分为两类．一类是2作个位数，共有2
4A 个，另一类是4作个位数，
也有24A 个．因此符合条件的偶数共有242424=+A A 个．
解法2：分步计算．
先排个位数字，有12A 种排法，再排十位和百位数字，有24A 种排法，根据分步计数原理，三位偶数应有242
412=⋅A A 个．
解法3：按概率算．
用51-这5个数字可以组成没有重复数字的三位数共有6035=A 个，其中偶点其中的52．因此三位偶数共有245
260=⨯个． 解法4：利用选择项判断．
用51-这5个数字可以组成没有重复数字的三位数共有6035=A 个．其中偶数少于奇
数，因此偶数的个数应少于30个，四个选择项所提供的答案中，只有A 符合条件． ∴应选A ．
15、分析：本题如果直接用排列数公式计算，在运算上比较困难，现在我们可以从和式中项的特点以及排列数公式的特点两方面考虑．在(1)中，项可抽象为n n n n n n n n n n n n A A nA A n A n nA -=-+=-+=++11)1()11(，(2)中，项为123)2)(1(!⋅⋅--= n n n n ，当5≥n 时，乘积中出现5和2，积的个位数为0，在加法运算中可不考虑．
解：(1)由!!)1(n n nA n n -+=
∴原式362879!1!9!8!9!2!3!1!2=-=-++-+-= ．
(2)当5≥n 时，123)2)(1(!⋅⋅--= n n n n 的个位数为0，
∴!!3!2!1n S n ++++= (10≥n )的个位数字与!4!3!2!1+++的个位数字相同． 而33!4!3!2!1=+++，∴n S 的个位数字为3．
说明：对排列数公式特点的分析是我们解决此类问题的关键，比如：求证：
!
)1(11!)1(!43!32!21+-=+++++n n n ，我们首先可抓等式右边的 !
)1(1!1!)1(1!)1(1!)1(11!)1(+-=+-++=+-+=+n n n n n n n n n ， ∴左边=+-=+-++-+-=!
)1(11!)1(1!1!31!21!211n n n 右边．
16、分析：3位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是0，由于个位用或者不用数字0，对确定首位数字有影响，所以需要就个位数字用0或者用42、进行分类．一个自然数能被3整除的条件是所有数字之和是3的倍数，本题可以先确定用哪三个数字，然后进行排列，但要注意就用与不用数字0进行分类．
解：(1)就个位用0还是用42、分成两类，个位用0，其它两位从4321、、、
中任取两数排列，共有122
4=A (个)，个位用2或4，再确定首位，最后确定十位，共有32442=⨯⨯(个)，所有3位偶数的总数为：443212=+(个)．
(2)从543210、、、、、中取出和为3的倍数的三个数，分别有下列取法：)210(、)510(、)420(、)540(、)321(、)531(、)432(、)543(，前四组中有0，后四组中没有0，用它们排成三位数，如果用前4组，共有16242
2=⨯⨯A (个)，如果用后
四组，共有24433=⨯A (个)，所有被3整除的三位数的总数为402416=+(个)．
17、分析：对于空位，我们可以当成特殊元素对待，设空座梯形依次编号为7654321、、、、、、．先选定两个空位，可以在21、号位，也可以在32、号位…共有六种
可能，再安排另一空位，此时需看到，如果空位在21、
号，则另一空位可以在7654、、、号位，有4种可能，相邻空位在76、号位，亦如此．如果相邻空位在32、号位，另一空位可以在765、、号位，只有3种可能，相邻空位在43、号，54、号，65、号亦如此，所以必须就两相邻空位的位置进行分类．本题的另一考虑是，对于两相邻空位可以用合并法看成一个元素与另一空位插入已坐人的4个座位之间，用插空法处理它们的不相邻．
解答一：就两相邻空位的位置分类：
若两相邻空位在21、或76、，共有1924244=⨯⨯A (种)坐法．
若两相邻空位在32、，43、，54、或65、，共有288344
4=⨯⨯A (种)不同坐法，所以所有坐法总数为480288192=+(种)．
解答二：先排好4个人，然后把两空位与另一空位插入坐好的4人之间，共有4802544=⋅A A (种)不同坐法． 解答三：本题还可采用间接法，逆向考虑在所有坐法中去掉3个空位全不相邻或全部相邻的情况，4个人任意坐到7个座位上，共有4
7A 种坐法，三个空位全相邻可以用合并法，
直接将三个空位看成一个元素与其它座位一起排列，共有55A 种不同方法．三个空位全不相邻仍用插空法，但三个空位不须排列，直接插入4个人的5个间隔中，有104
4⨯A 种不同方
法，所以，所有满足条件的不同坐法种数为48010445547=--A A A (种)．
排列组合典型题大全含答案
排列组合典型题大全 一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重 复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”， 则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策 略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数 【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法 （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果 （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法 【解析】：（1）43（2）34（3）34 【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案. 【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38B、83C、38A D、 3 C 8 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。所以选A 1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法 2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况 3、4个同学参加3项不同的比赛 （1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果 （2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果 4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少又他们争夺这4项比
排列组合经典题型及解析
排列组合经典题型及解析 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ） A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4 424A =种，答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为5 5A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种， 选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. ` 例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ） A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即 5 51602 A =种，选 B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选 1人承担丙项任务，不同的选法共有211 10872520C C C =种， … 选C . （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、 4441284 C C C 种 B 、444 1284 3C C C 种 C 、4431283C C A 种 D 、4441284 33C C C A 种 答案：A . 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种 解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有3 3A 种，故共有234336C A =种方法. 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 ，
排列组合问题经典题型与通用方法
排列组合问题经典题型与通用方法 解析版 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有 （） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 解析：把,A B视为一人，且B固定在A的右边， 则本题相当于4人的全排列，4 424 A 种， 答案：D. 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为5 5 A种，再用甲乙去插6个空位有2 6 A种，不同的排法
种数是5 25 6 3600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ） A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即55 1602 A =种，选 B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3
排列组合典型例题详解
排列组合典型例题详解 典型例题一 例1 用0到9这10 个数字?可组成多少个没有重复数字的四位偶数， 典型例题二 例2 三个女生和五个男生排成一排 1如果女生必须全排在一起?可有多少种不同的排法， 2如果女生必须全分开?可有多少种不同的排法， 3如果两端都不能排女生?可有多少种不同的排法， 4如果两端不能都排女生?可有多少种不同的排法， 典型例题三 例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 1任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种， 2歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种， 典型例题四 例4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课?如果第一节不排体育?最后一节不排数学?那么共有多少种不同的排课程表的方法? 典型例题五 11例5 现有3辆公交车、3位司机和3位售票员?每辆车上需配位司机和位售票员?问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种，典型例题六 4例6 下是表是高考第一批录取的一份志愿表?如果有所重点院校?每所院校有3个专业是你较为满意的选择?若表格填满且规定学校没有重复?同一学校的专业也没有重复的话?你将有多少种不同的填表方法，学校专业 1 1 2 2 1 2
3 1 2 1 / 14 jiangshan整理 1/14页 典型例题七 例5 名同学排队照相? 7 (1)若分成两排照?前排人?后排人?有多少种不同的排法， 43 (2)若排成两排照?前排人?后排人?但其中甲必须在前排?乙必须在后排?有多少43 种不同的排法， (3)若排成一排照?甲、乙、丙三人必须相邻?有多少种不同的排法， (4)若排成一排照?人中有名男生?名女生?女生不能相邻?有多少种不面的排法， 437 典型例题八 2、3、4、5、6例8 从五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数?求所有三位数 的和? 典型例题九 例9 计算下列各题( m；1n；mAA！26n；1n；m(1) ) (2) ) (3) ) AA156n；1An；1 123n；11!;2！2!;3！3!;;;n！n!;;;;;(4) (5) 2!3!4!n! 典型例题十 a,b,c,d,e,f例10 六人排一列纵队?限定要排在的前面?与可以相邻?bbaa ABD也可以不相邻??求共有几种排法?对这个题目?、、C、四位同学各自给出了一 111111446AB种算式(的算式是)的算式是(A;A;A;A;A)！A)C的算式是A) A661234542 24D的算式是C！A上面四个算式是否正确?正确的加以解释?不正确的说明理由? 64 典型例题十一
排列组合典型例题(带详细答案)
例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 例2三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法． 例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？ 例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？ 学校专业 1 1 2 2 1 2 3 1 2 例77名同学排队照相． (1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？
(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？ (3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ (4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 例8计算下列各题： (1) 215 A ； (2) 66 A ； (3) 1 1 11------⋅n n m n m n m n A A A ； 例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队，限定a 要排在b 的前面（a 与b 可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法． 例10 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？ 例11 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有 例12 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（ ）． 例13 用5,4,3,2,1，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）． 例14 用543210、、、、、共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个无重 复数字的3位偶数？(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数？
排列组合典型例题(带详细答案)
例1用O到9这10个数字•可组成多少个没有重复数字的四位偶数? 例2三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法? （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 例3排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法. 例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车 辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种? 例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表•如果有4所重点院校，每所院校有3个专业 是你较为满意的选择•若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？ 例7 7名同学排队照相.
（1）若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法?
（2）若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？ （3）若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ （4）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 例8计算下列各题: (1) A15 ；⑵A6； 例9 a,b,c,d,e,f六人排一列纵队，限定a要排在b的前面（a与b可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法. 例10八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有 多少种安排办法？ 例11计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有 例12由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数 共有（）• 例13用1,2,3,4,5 ,这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）• 例14用0、1、2、3、4、5共六个数字，组成无重复数字的自然数，（1）可以组成多少个无重 复数字的3位偶数？（2）可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数？ 1、解法1当个位数上排“ O”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有A个；当个位上在“ 2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有
排列组合典型例题(带详细答案)
例1 用0到9这10 个数字．可组成几多个没有重复数字的四位偶数？之阿布丰王创作 例2三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必需全排在一起,可有几多种分歧的排法？ （2）如果女生必需全分开,可有几多种分歧的排法？ （3）如果两端都不能排女生,可有几多种分歧的排法？ （4）如果两端不能都排女生,可有几多种分歧的排法？ 例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单. （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有几多种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有几多种？ 例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有几多种分歧的排课程表的方法． 例5 , 例6 校, 学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有几多种分歧的填表方法？ 例 (1)若分成两排照,,,有几多种分歧的排法？
(2)若排成两排照, ,,但其中甲必需在前排,乙必需在后排,有几多种分歧的排法？ (3)若排成一排照,甲、乙、丙三人必需相邻,有几多种分歧的排法？ (4) 若排成一排照 ,女生不能相邻,有几多种不面的排法？ 例8计算下列各题： 例 , 可以相邻,也可以不相邻）,求共有几种排法． 例10 八个人分两排坐,每排四人,限定甲必需坐在前排,乙、丙必需坐在同一排,共有几多种安插法子？ 例11 计划在某画廊展出10幅分歧的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画, 排成一行摆设,要求同一品种的画必需连在一起,而且不彩画不放在两端,那么分歧摆设方式有 例12 ,其中个位数字小于十位数的个数共有（ ）． 例13这五个数字 ,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有（ ）． 例14 ,组成无重复数字的自然数,(1)(2)可以组成几多个无重
排列组合典型例题(带详细答案)
1、解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个 来排列，故有39A 个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个 非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ⋅⋅（个）．∴ 没有重复数字的四位偶数有2296179250428181439=+=⋅⋅+A A A A 2、解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样 同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有66A 种不同排法．对于其中的每一种排法，三 个女生之间又都有33A 对种不同的排法，因此共有43203366=⋅A A 种不同的排法． （2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相 邻．由于五个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中 选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有144003655=⋅A A 种不同的排法． （3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个， 有25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有144006625=⋅A A 种不同的排法． （4）3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中扣去两端都是女生排法66 23A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有36000662388=⋅-A A A 种不同的排法． 3、解：（1）先排歌唱节目有55A 种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入 舞蹈节目，共有46A 中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：55A 46A ＝43200. （2）先排舞蹈节目有4 4A 中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱 节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：44A 55A ＝2880种方法。 4、5042445566=+-A A A （种）．5、363 333=⋅A A 种． 6、解：填表过程可分两步．第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学校中选出3所并加排列，共有34A 种不同的排法；第二步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有232323A A A ⋅⋅种．综合以上两步，由分步计数原理得不同的填表方法有：518423232334=⋅⋅⋅A A A A 种．
排列组合例题详解
排列组合例题详解 1、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3种不同颜色来写，现有5种不同颜色的笔，问共有多少钟不同的写法？ 分析：从5个元素中取3个的排列：P（5、3）=5×4×3=60 2、从数字0、1、2、 3、 4、5中任意挑选5个组成能被5除尽且各位数字互异的五位数，那么共可以组成多少个不同的五位数？ 分析：个位数字是0：P（5、4）=120；个位数字是5：P（5、4）－P（4、3）=120－24=96，（扣除0在首位的排列）合计120＋96=216 另：此题乘法原理、加法原理结合用也是很好的方法。 3、用2、 4、 5、7这4个不同数字可以组成24个互不相同的四位数，将它们从小到大排列，那么7254是第多少个数？ 分析：由已知得每个数字开头的各有24÷4=6个，从小到大排列7开头的从第6×3＋1=19个开始，易知第19个是7245，第20个7254。 4、有些四位数由4个不为零且互不相同的数字组成，并且这4个数字的和等于12，将所有这样的四位数从小到大依次排列，第24个这样的四位数是多少？ 分析：首位是1：剩下3个数的和是11有以下几种情况：⑴2＋3＋6=11，共有P（3、3）=6个；⑵2＋4＋5=11，共有P（3、3）=6个； 首位是2：剩下3个数的和是10有以下几种情况：⑴1＋3＋6=10，共有P（3、3）=6个；⑵1＋4＋5=10，共有P（3、3）=6个；以上正好24个，最大的易知是2631。 5、用0、1、2、3、4这5个数字，组成各位数字互不相同的四位数，例如1023、2341等，求全体这样的四位数之和。 分析：这样的四位数共有P（4、1）×P（4、3）=96个 1、2、3、4在首位各有96÷4=24次，和为（1＋2＋3＋4）
排列组合的主要题型及解答方法
一、相邻问题捆绑法 例1 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )种 A. 720 B. 360 C. 240 D. 120 解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有种排法;甲、乙两人之间有种排法。由分步计数原理可知，共有=240种不同排法，选C。 评注：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。 二、相离问题插空法 例2 要排一有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法?(只要求写出式子，不必计算) 解：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为种;这6个歌唱节目的空隙与两端共7个位置中再排4个舞蹈节目，有种排法。由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种。 评注：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开。此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙与两端位置，故称插空法。 三、定序问题缩倍法 例3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是________(用数字作答)。 解：5面旗全排列有种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是=10(种)。
评法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。 四、标号排位问题分步法 例4 同室4人各写一贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一别人送来的贺年卡，则四贺年卡的分配方式有( )种 A. 6种 B. 9种 C. 11种 D. 23种 解：此题可以看成是将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将1填入2至4号的3个方格里有种填法;第二步把被填入方格的对应数字，填入其它3个方格，又有种填法;第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有1种填法。故共有3×3×1=9种填法，而选B。 评注：把元素排在指定的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。 五、有序分配问题逐分法 例5 有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承当，乙、丙各需由1人承当，从10人中选派4人承当这三项任务，不同的选法共有( )种 A. 1260 B. 2025 C. 2520 D. 5040 解：先从10人中选出2人承当甲项任务，再从剩下8人中选1人承当乙项任务，最后从剩下7人中选1人承当丙项任务。根据分步计数原理可知，不同的选法共有=2520种，应选C。 评注：有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，常采用逐步下量分组法求解。 六、多元问题分类法 例6 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有( )
排列组合典型例题 详解
典型例题一 例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 典型例题二 例2三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 典型例题三 例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 典型例题四 例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法． 典型例题五 例5 现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？ 典型例题六 例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？
典型例题七 例5 7名同学排队照相． (1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？ (2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？ (3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ (4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 典型例题八 例8 从65432、、、、 五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和． 典型例题九 例9 计算下列各题： (1) 215A ； (2) 66 A ； (3) 1111 ------⋅n n m n m n m n A A A ； (4) !!33!22!1n n ⋅++⋅+⋅+ (5) ! 1!43!32!21n n -++++ 典型例题十 例10 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队，限定a 要排在b 的前面（a 与b 可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法．对这个题目，A 、B 、C 、D 四位同学各自给出了一种算式：A 的算式是662 1A ；B 的算式是441514131211)(A A A A A A ⋅++++；C 的算式是46A ； D 的算式是44 26A C ⋅．上面四个算式是否正确，正确的加以解释，不正确的说明理由． 典型例题十一 例11 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？ 典型例题十二
排列组合的21种经典题型及解法
排列组合的21种经典题型及解法 1. 单选题：单选题要求考生从给定的选项中选出一个最佳答案。解法：根据题目的问题和 给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案。 2. 多选题：多选题要求考生从给定的选项中选出多个最佳答案。解法：根据题目的问题和 给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案，并判断是否有多个最佳答案。 3. 判断题：判断题要求考生根据题目的问题和给定的信息，判断给出的答案是正确还是错误。解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，判断出正确答案。 4. 填空题：填空题要求考生根据题目的问题和给定的信息，填入正确的答案。解法：根据 题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，填入正确的答案。 5. 问答题：问答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出详细的答案。解法：根据 题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出详细的答案。 6. 排序题：排序题要求考生根据题目的问题和给定的信息，按照要求的顺序进行排列。解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，按照要求的顺序进行排列。 7. 计算题：计算题要求考生根据题目的问题和给定的信息，运用数学计算得出答案。解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，运用数学计算得出答案。 8. 简答题：简答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出简短的答案。解法：根据 题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出简短的答案。 9. 完形填空：完形填空要求考生根据文章的内容，从文中空缺处填入正确的单词或词组。 解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，从文中空缺处填入正确的单词或词组。 10. 阅读理解：阅读理解要求考生根据文章的内容，回答问题或做出判断。解法：根据文 章的内容，仔细分析，排除干扰，回答问题或做出判断。 11. 词汇题：词汇题要求考生根据题目的问题和给定的单词，找出正确的答案。解法：根 据题目的问题和给定的单词，仔细分析，排除干扰，找出正确的答案。 12. 语法题：语法题要求考生根据题目的问题和给定的句子，选择正确的语法形式。解法：根据题目的问题和给定的句子，仔细分析，排除干扰，选择正确的语法形式。
排列组合问题经典题型解析含答案
排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，则不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制*几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）则不同的排法有（） A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把*个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（） A、 444 1284 C C C种B、444 1284 3C C C种C、443 1283 C C A种D、 444 1284 3 3 C C C A种 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（） A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.*高校从*系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到**，乙不到**，共有多少种不同派遣方案？ 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种B、300种C、464种D、600种 （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？ 10.交叉问题集合法：*些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()() n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂ 例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？ 11.定位问题优先法：*个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。 例11.现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。 例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，则不同的排法种数是（）
经典排列组合问题100题配超详细解析版
1．n N 且n 55,则乘积(55 n)(56 n)L (69 n) 等于 A．55 n A B ． 69 n 15 A C． 55 n 15 A D ． 69 n 14 A 69 n 【答案】 C 【分析】依据摆列数的定义 可知，(55 n)(56 n)L (69 n) 中最大的数为69-n, 最小的数为55-n ，那么可知下标的值为69-n, 共有69-n- （55-n ）+1=15 个数，所以选择C 2．某企业新招聘8 名职工，均匀分派给部下的甲、乙两个部门，此中两名英语翻译人员不 能分在同一部门 ，此外三名电 脑编 程人员 也不可以全分在同一部门 ，则 不一样的分派方案共有 （） A. 24 种 B. 36 种 C. 38 种 D. 108 种 【答案】 B 【分析】因为均匀分派给 部下的甲、乙两个部门 ，此中两名英语 翻译 人员 不可以分在同一部门 ， 此外三名电 脑编 程人员 也不可以全分在同一部门 ，那么特别元素优 先考虑 ，分步来达成可知所 有的分派方案有36 种，选 B * 3．n∈N，则（20-n ）(21-n) ⋯⋯(100-n) 等于（） A．80 A B． 100 n 20 A 100 n n C．81 A D． 100 n 81 A 20 n 【答案】 C * 【分析】因为依据摆列数公式可知n∈N，则 （20-n ）(21-n) ⋯⋯(100-n) 等于 81 A ，选C 100 n 4．从0,4,6 中选两个数字, 从中选两个数字,构成无重复数字的四位数. 此中偶数的个 数为() B. 96 C. 36 【答案】 B 【分析】因为第一确立末端数为 偶数，那么要分为 两种状况来解，第一种，末端是0，那么 3 其余的有 A 5=60，第二种状况是末端是4，或许6，首位从 4 个人选 一个，其余的再选 2个摆列即可 4 3 3，共有96 种 5．从6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不一样的工作，若此中甲、 乙两名志愿者不可以从事翻译 工作，则 选派方案共有（） A. 280 种 B. 240 种 C. 180 种 D. 96 种 【答案】B 【解析】依据题 意，由摆列可得，从 6 名志愿者中选 出 4 人分别 从事四项 不一样工作，有 4 A6 360 种不一样的状况，此中包含甲从事翻译工作有 3 A5 60 种，乙从事翻译工作的有 3 A5 60 种，若此中甲、乙两名增援者都不可以从事翻译工作，则选派方案共有360-60-60=240 种． 6．如图，在∠AOB的两边上分别有A1、A2、A3、A4 和B1、B2、B3、B4、B5 共9 个点，连接线段 A i B j（1≤i ≤4,1 ≤j ≤5），假如此中两条线段不订交，则称之为一对“友善线”，则图中共有
经典排列组合问题100题配超详细解析
1．n N ∈且55n <,那么乘积(55)(56)(69)n n n ---等于 A ．5569n n A -- B ．15 55n A - C ．15 69n A - D ．14 69n A - 【答案】C 【解析】根据排列数的定义可知，(55)(56)(69)n n n ---中最大的数为69-n,最小的数 为55-n ，那么可知下标的值为69-n,共有69-n-〔55-n 〕+1=15个数，因此选择C 2．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，那么不同的分配方案共有〔 〕 A. 24种 B. 36种 C. 38种 D. 108种 【答案】B 【解析】因为平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，那么特殊元素优先考虑，分步来完成可知所有的分配方案有36种，选B 3．n ∈N * ，那么〔20-n 〕(21-n)……(100-n)等于〔 〕 A ．80 100n A - B ．n n A --20100 C ．81 100n A - D ．81 20n A - 【答案】C 【解析】因为根据排列数公式可知n ∈N * ，那么〔20-n 〕(21-n)……(100-n)等于81 100n A -，选 C 4．从0,4,6中选两个数字,从3.5.7中选两个数字,组成无重复数字的四位数.其中偶数的个数为 ( ) A.56 B. 96 C. 36 D.360 【答案】B 【解析】因为首先确定末尾数为偶数，那么要分为两种情况来解，第一种，末尾是0，那么 其余的有A 3 5=60，第二种情况是末尾是4，或者6，首位从4个人选一个，其余的再选2个排列即可 433⨯⨯，共有96种 5．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，假设其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，那么选派方案共有 〔 〕 A. 280种 B. 240种 C. 180种 D. 96种 【答案】B 【解析】根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有 46360A =种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作有3 560A =种，乙从事翻译工作的有3560A =种，假设其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，那么选派方案共有 360-60-60=240种． 6．如图，在∠AOB 的两边上分别有A 1、A 2、A 3、A 4和B 1、B 2、B 3、B 4、B 5共9个点，连结线段
排列组合问题经典题型解析含答案
排列组合问题经典题型解析含答案
排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A 的右边，则不同的排法有（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种D、120种
西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种 B、300种 C、464种D、600种 （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？ 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()() ⋃=+-⋂ n A B n A n B n A B 例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？