八年级下册第四章因式分解讲义及中考题
八年级下册第四章因式分解
一、因式分解
知识点一因式分解的概念：
把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这种变形叫做因式分解。
掌握因式分解的概念注意：
1、因式分解必须是针对多项式而言，单项式不能进行因式分解
2、因式分解的结果必须是整式
3、因式分解要一直分解到不能再分解为止
知识点二、因式分解与整式乘法的关系：
因式分解特点是：由和差形（多项式）转化成整式的积的形式；整式乘法特点是：由整式积的形式转化成和差形式(多项式)。因式分解与整式乘法正好相反，是互逆运算。
二、提公因式法
知识点一、公因式
定义：把多项式各项都含有的相同因式叫做这个多项式的公因式
公因式可以是代数式中的常数项、单项式、多项式
确定公因式的方法：
1、找系数：取多项式中各项系数的最大公约数
2、找字母：取各项都含有的字母，并取相同字母的最低次幂
3、它们的积即为公因式
注意：若多项式的第一项的系数是负的，提取的公因式将负号一并提出
知识点二、用提公因式法因式分解
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m 和(a+b+c)的乘积了，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。
注意：1、若多项式的第一项的系数是负的，提取的公因式将负号一并提出2、当多项式的某一项与公因式相同，在提取公因式后应补上1
3、注意一些隐含的公因式存在
三、公式法
利用()()b
a
b
a
b
a-
+
=
-2
2和()2
2
22b
a
b
ab
a±
=
+
±乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法就称为公式法
【巩固训练】
1、判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解？（1）()()y
x
y
x
y
x2
2
42
2+
-
=
-（2）()xy
x
y
x
x6
2
3
22-
=
-
（3）()1
10
25
1
52
2+
-
=
-a
a
a（4）()2
22
4
4+
=
+
+x
x
x
（5）（a＋3）（a－3）=2a－9 （6）()()2
2
4
2-
+
=
-m
m
m
2．（2013江西南昌）下列因式分解正确的是（）．A．)
(
2y
x
x
x
xy
x-
=
+
-
B．2
2
2
3)
(
2b
a
a
ab
b
a
a-
=
+
-
C．3
)1
(
4
22
2+
-
=
+
-x
x
x
D．)3
)(
3
(
9
2-
+
=
-x
x
a
ax
3．（2013河北省）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是
A．a(x－y)＝ax－ay B．x2+2x+1＝x(x+2)+1
C．(x+1)(x+3)＝x2+4x+3D．x3－x＝x(x+1)(x －1)
4．（2013年佛山市）分解因式a
a-
3的结果是( ) A．)1
(2-
a
a B．2)1
(-
a
a
C．)1
)(
1
(-
+a
a
a D．)1
)(
(2-
+a
a
a
5. （2012青海西宁）下列分解因式正确的是( )
A ．3x 2－6x ＝x(3x －6)
B ．－a 2＋b 2
＝(b ＋a)(b －a)
C ．4x 2－y 2＝(4x ＋y)(4x －y)
D ．4x 2－2xy ＋y 2＝(2x －y)2
6 （2012内蒙古呼和浩特）下列各因式分解正确的是( )
A ．﹣x 2+（﹣2）2=（x ﹣2）（x+2）
B ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣
1）2
C ．4x 2﹣4x+1=（2x ﹣1）
2
D ．x 2
﹣4x=x （x+2）
（x ﹣2）
7、 （2012陕西省）分解因式：3223x y 2x y +xy =- ． 8．（2013广东广州）分解因式：xy x +2
=_______________. 9. （2012广东广州）分解因式：a 3﹣8a= ．
10、（2012浙江温州）把多项式a²－4a 分解因式，结果正确的是( )
A.a (a-4)
B. (a+2)(a-2)
C. a(a+2)( a-2)
D. (a －2 ) ²－4
11、2013湖南益阳）因式分解：24xy x -= ． 12、（2013四川南充分）分解因式：24(1)x x --= ． 13、(湖南株洲)把多项式52++mx x 因式分解得()()n x x ++5，则=m ，=n .14、（2013湖北黄冈）分解因式：ab 2－4a ＝ ． 15、（2013贵州安顺）分解因式：2a 3－8a 2+8a= . 16、（2013山东临沂）分解因式：4x －x 3＝_________________． 17．（2013四川凉山州）已知(221)(37)(37)(13)x x x x -----可分解因式为(3)()x a x b ++，其中a 、b 均为整数，则
3a b += , a b = 。[中~#^ 18.（2013四川绵阳）因式分解：2442x y x y -=
19、（2013黑龙江省哈尔滨）把多项式224ax ay -分解因式的结果是 ．
20、（2012江苏无锡）分解因式（x ﹣1）2﹣2（x ﹣1）+1的结果是( )
A ． （x ﹣1）（x ﹣2）
B ． x 2 C
．
（x+1）2
D ． （x ﹣2）2
21、 （2012湖北恩施）a 4b ﹣6a 3b+9a 2b 分解因式得正确结果为( )
A ．a 2b （a 2﹣6a+9）
B ．a 2b （a ﹣3）（a+3）
C ．b （a 2﹣3）2
D ．a 2b （a ﹣3）2
22（2012四川凉山）下列多项式能分解因式的是( ) A ．22x y + B ．22x y -- C ．22x 2xy y -+- D ． 22x xy y -+
北师大版八年级下册 第4章 因式分解 单元练习卷 含解析
第4章因式分解 一．选择题（共5小题） 1．若多项式x2+bx+c因式分解后的一个因式是（x+1），则b﹣c的值是（）A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣2 2．把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（） A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2） C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣4 3．下列式子中，属于2x3+x2﹣13x+6的因式是（） A．x+2 B．x﹣3 C．2x﹣1 D．2x+1 4．下多项式中，在实数范围内能分解因式的是（） A．x2﹣x+1 B．x2﹣2x+2 C．x2﹣3x+3 D．x2﹣5x+5． 5．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（）A．﹣1 B．﹣1或﹣11 C．1 D．1或11 二．填空题（共5小题） 6．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣3，则3m﹣n的值为． 7．若对于一切实数x，等式x2﹣px+q＝（x+1）（x﹣2）均成立，则p2﹣4q的值是．8．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝． 9．定义一种运算：?a，b?＝ab+2a+3b，例如：?﹣2，1?＝﹣2﹣4+3＝﹣3．则?a，b?+6要进行因式分解的结果为；如果x，y都是整数，且?x，y?＝1，那么x+y的值为．10．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x ＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是（写出一个即可）． 三．解答题（共7小题） 11．把下列各式因式分解： （1）8x2yz﹣4xy
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：因式分解
专题14.3因式分解 1.因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个式子因式分解. 2.因式分解方法 (1)提公因式法：找岀最大公因式. (2)公式法： ①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 3.分解因式的一般步骤 若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法(平方差公式：孑一歹=(a+b)(a-2>),完全平方公式: /±2曰b+F=(a±bF)或英它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止. 【例题1】因式分解：ab-a= __________ ? 【例题2］把多项式4子-1分解因式，结果正确的是( ) A. (4M1) (4a-1) B?(2M1) (2”1) C. (2a- 1) 2D?(2亦1) 2 【例题3］分解因式3/ - 27/= __________ . 【例题4】分解因式：xf - 2xy^x= _________ . 【例题5】因式分解：/-9= _________ . 【例题6】分解因式：_________________ ? 一.选择题 1.a'b - 6a'bTa：b分解因式得正确结果为( )
A. a"b (a* - 6a+9) B? a-b (a - 3) (a+3) C? b (a" - 3) D? a"b (a - 3) 2.把多项式x2 - 6x+9分解因式，结果正确的是() A?(x - 3 ) 2 B?(x - 9)= C?(x+3) ( x - 3 ) D?(x+9) ( x - 9) 3.多项式77x: - 13x - 3 0可因式分解成(7 x+a ) ( bx+c儿其中a > b、c均为整数，求a+b + c 之值为何？( ) A. 0 B? 10 C? 12 D? 22 4.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为 X3- 4,乙与丙相乘为x=+15x - 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( ) A. 2x+19 B? 2x - 19 C? 2x+15 D? 2x - 15 5.把8a'-8a：+2a进行因式分解，结果正确的是( ) A. 2a ( 4a: - 4a+l) B? 8a: ( a - 1) C. 2a ( 2a - 1) 2 D? 2a (2a+l) 2 6.多项式77x" - 13x - 30可因式分解成(7x-ra ) ( bx+c )，其中a. b c均为整数，求a+b + c 之值为何？( ) A. 0 B? 10 C? 12 D? 22 7.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且英一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为 x c- 4,乙与丙相乘为x=+15x - 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( ) A. 2x+19 B. 2x - 19 C ? 2x+15 D. 2x? 15 8.把多项式亍+ax+b分懈因式，得(x+1) (x-3)则a, b的值分别是( ) A. a=2t b=3 B? a= - 2, b二?3 C? a= - 2, b=3 D? a=2, b= - 3 9.分解因式：16-丘二( ) A. (4 - x) (4+x) B?(x - 4) (x+4) C. (8+x) (8 - x) D. (4 - x): 10.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是( ) A. a" - 1 B? a"+a C? a"+a - 2 D?(a+2) " - 2 (a+2) +1 二、填空题 11.分解因式：1-￥= _________ .
八年级下册第四章因式分解讲义及中考题
八年级下册第四章因式分解 一、因式分解 知识点一因式分解的概念： 把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这种变形叫做因式分解。 掌握因式分解的概念注意： 1、因式分解必须是针对多项式而言，单项式不能进行因式分解 2、因式分解的结果必须是整式 3、因式分解要一直分解到不能再分解为止 知识点二、因式分解与整式乘法的关系： 因式分解特点是：由和差形（多项式）转化成整式的积的形式；整式乘法特点是：由整式积的形式转化成和差形式(多项式)。因式分解与整式乘法正好相反，是互逆运算。 二、提公因式法 知识点一、公因式 定义：把多项式各项都含有的相同因式叫做这个多项式的公因式 公因式可以是代数式中的常数项、单项式、多项式 确定公因式的方法： 1、找系数：取多项式中各项系数的最大公约数 2、找字母：取各项都含有的字母，并取相同字母的最低次幂 3、它们的积即为公因式 注意：若多项式的第一项的系数是负的，提取的公因式将负号一并提出 知识点二、用提公因式法因式分解 把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m 和(a+b+c)的乘积了，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。 注意：1、若多项式的第一项的系数是负的，提取的公因式将负号一并提出2、当多项式的某一项与公因式相同，在提取公因式后应补上1 3、注意一些隐含的公因式存在 三、公式法 利用()()b a b a b a- + = -2 2和()2 2 22b a b ab a± = + ±乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法就称为公式法 【巩固训练】 1、判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解？（1）()()y x y x y x2 2 42 2+ - = -（2）()xy x y x x6 2 3 22- = - （3）()1 10 25 1 52 2+ - = -a a a（4）()2 22 4 4+ = + +x x x （5）（a＋3）（a－3）=2a－9 （6）()()2 2 4 2- + = -m m m 2．（2013江西南昌）下列因式分解正确的是（）．A．) ( 2y x x x xy x- = + - B．2 2 2 3) ( 2b a a ab b a a- = + - C．3 )1 ( 4 22 2+ - = + -x x x D．)3 )( 3 ( 9 2- + = -x x a ax 3．（2013河北省）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 A．a(x－y)＝ax－ay B．x2+2x+1＝x(x+2)+1 C．(x+1)(x+3)＝x2+4x+3D．x3－x＝x(x+1)(x －1) 4．（2013年佛山市）分解因式a a- 3的结果是( ) A．)1 (2- a a B．2)1 (- a a C．)1 )( 1 (- +a a a D．)1 )( (2- +a a a 5. （2012青海西宁）下列分解因式正确的是( )
北师大版八年级数学下册第四章-分解因式-(基础+提高)
第四章分解因式 考点一：分解因式的概念 1、下列变形中，从左向右是因式分解的是（） A．x2﹣9+6x=（x+3）（x﹣3）+6x B．x2﹣8x+16=(x﹣4）2 C．（x﹣1)2=x2﹣2x+1 D．x2+1=x（x+） 考点二:因式分解 1、下列分解因式中，正确的个数为（） x2+2xy+x=x(x2+2y)；x2+4x+4=（x+2）2；—x2+y2=（x+y）（x—y) A．3个B．2个C．1个D．0个 2、下列多项式中,能运用公式法进行因式分解的是（） A．a2+b2B．x2+9 C．m2﹣n2D．x2+2xy+4y2 3、小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y,x+y，a+b，x2﹣y2,a2﹣b2分别对应下列六个字:昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是( ） A．我爱美B．宜晶游C．爱我宜昌D．美我宜昌 4、若分解因式x2＋mx－24＝（x＋3)(x＋n)，则m的值为。 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），另一个因式为。 5、甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b,分解结果为（x+2）(x+4）；乙看错了a,分解结果为（x+1）(x+9），则a+b=_______ 6、因式分解 9a2（x－y）＋4b2(y－x) x2＋2xy＋y2－4 (m+1）（m﹣9)+8m．
x2+4xy﹣5y2 4x2+4xy+y2﹣4x﹣2y﹣3． 考点三：利用因式分解计算 1、2016×2016﹣2016×2015﹣2015×2014+2015×2015的值为（)。 A．1 B．﹣1 C．4032 D．4031 2、3（4+1）（42+1）（44+1）+1 3、 考点四：利用因式分解化简求值 1、已知xy=8,x﹣y=2，求代数式x3y﹣x2y2+xy3的值为． 2、a+1+a(a+1）+a（a+1)2+……+a（a+1)2014= ． 3、已知a2+b2+4a﹣2b+5=0，则的值为（） A．3 B．C．﹣3 D． 4、已知x2+x-1=0，则代数式x3+2x2+2014= . 5、化简求值：（2x－1）2（3x＋2）＋（2x－1)（3x＋2）2－x（1－2x)(3x＋2)，其中x＝1.
初二数学：整式的乘法与因式分解知识点总结及压轴题练习(附答案解析)
初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题 知识点： 1.基本运算： ⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= ⑵幂的乘方：()n m mn a a = ⑶积的乘方：()n n n ab a b = 2.整式的乘法： ⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加. ⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3.计算公式： ⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=- ⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+ 4.整式的除法： ⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷= ⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加. ⑷多项式÷多项式：用竖式. 5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解. 6.因式分解方法： ⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法： ①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=± ③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法 常考题： 一．选择题（共12小题） 1．下列运算中，结果正确的是（ ）
八年级下因式分解习题及答案
因式分解练习专题练习+全国中考因式分解 1. 利用乘法公式,展开下列各式： 2. 1 9x – 5 2 =__________________; 3. 2 2x + 7 7 – 2x =__________________; 4. 化简 – 2 x 2 + 3x – 5 + 4x 2 – 7x + 5 =__________________; 5. 2 展开 – 2x + 3 4x – 5 =______; 6. B 为两多项式,已知A = x 2 + 4x – 3,且A + B = 2x 2 + 4x – 2,求B =______; 7. 已知x + 3 =0,则 x 2 + 4x + 3 =__________________; 8. 化简下列各式： 9. 1 4x 2 + 3x + 5 + 2x 2 + 5x – 3 =__________________; 10.2 – 4x 2 + x – 3 – – 6x 2 – 2x – 4 =__________________; 11.因式分解a 2 – 2a + 1– ba – 1=__________________; 12.因式分解6a 2 – b 2–a + b=__________________; 13. x 2 – 3x + 5 – ax 2 + bx + c =3x 2 – 4x + 5,则a + b + c =______; 14.在下面空格中填入适当的式子; 15.1 –7x 2 – 8x + 6 + ___ ___ = 0; 16.2 ___ ___ + 4x 2 – 7x + 4 = –x 2 + 8x – 3; 17.设xy – x + y = 5,求 x + 1 y – 1 之值 =______; 18.若 x 2 +312 1 x –6A = 0,则A =______; 19.若x =13,则 x – 2 x + 2 之值为______; 20.若一元二次式B = –x + 3x 2 + 5,则 21.1 x 2项系数为______;2 x 项系数为______;3 常数项为______; 22.展开下列各式：
中考数学专题复习第4讲因式分解(含详细答案)
第四讲 因式分解 【基础知识回顾】 一、因式分解的定义： 1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。 2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积 【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。】 二、因式分解常用方法： 1、提公因式法： 公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。 提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。 【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。】 2、运用公式法： 将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。①平方差公式：a 2-b 2= , ②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。 【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点， 找准里面的a 与b 。如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12 就不符合该公式的形式。】 三、因式分解的一般步骤 1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。 2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。 3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。 【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】 【重点考点例析】 考点一：因式分解的概念 例1 （•株洲）多项式x 2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n ），则m= ，n= ． 思路分析：将（x+5）（x+n ）展开，得到，使得x 2+（n+5）x+5n 与x 2+mx+5的系数对应相等即可． 解：∵（x+5）（x+n ）=x 2+（n+5）x+5n ，∴x 2+mx+5=x 2+（n+5）x+5n ∴555n m n +=⎧⎨=⎩，∴16n m =⎧⎨=⎩， 故答案为6，1． 点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可． 对应训练 1．（•河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） （ ） （ ）
八年级下第四章《因式分解》
第四章《因式分解》 1. 因式分解： 考点：因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式。 例 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. 6)2)(3(2-+=-+x x x x B.1)(1--=--y x a ay ax C.3232428b a b a •= D.)2)(2(42-+=-x x x 2.提公因式法 考点一：公因式的确定 多项式各项都含有相同因式，叫做这个多项式各项的公因式 例1 多项式m mx -2与多项式122+-x x 的公因式是（ ） A. 1-x B.1+x C.12-x D.()21-x 考点二：用提公因式法分解因式 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做题公因式法。 提公因式法分解因式的一般步骤是： （1）找出公因式。（2）提出公因式并确定另一个因式。 提取公因式时，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提出公因式后剩下的另一个因式。
例2 把下列各式因式分解： （1）)()(y x ay y x ax +-+ （2）)2(2)2(3)2(43223y x m y x m y x m -+--- （3）)2(3)2(2a y a x -+- （4）()()()()y x a b y x b a -----2233 例3 利用因式分解计算 （1）6.2988.16.2984.66.2984.5⨯-⨯+⨯ （2）已知0442=-+x x ，求代数式51232-+x x 的值。 3.公式法 考点一：逆用平方差公式因式分解 把乘法公式中的平方差公式()()22b a b a b a -=-+反过来，就得到因式分解的一个公式：()()b a b a b a -+=-22，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，这里的两个数是指a 和b ，不是2a 和2b 。 例1 把下列各式分解因式 （1）()()2222b a b a +-+ （2）b ab b a 442+- 例2 利用因式分解计算 （1）433.1922.122⨯-⨯ （2）⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-⨯•••⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-2221011311211
北师大版八年级下册数学第四章 因式分解含答案(必刷题)
北师大版八年级下册数学第四章因式 分解含答案 一、单选题(共15题，共计45分) 1、把多项式－8a2b3c＋16a2b2c2－24a3bc3分解因式，应提的公因式是 ( )， A.-8a 2bc B.2a 2b 2c 3 C.－4abc D.24a 3b 3c 3 2、下列从左边到右边的变形正确的是（） A.8a 2b-4ab-12ab 2=4ab（2a-3b） B.x 2-x+ =（x- ）2 C. + = D. + =1 3、下列因式分解正确的是（） A.x 3﹣x＝x（x 2﹣1） B.x 2+y 2＝（x+y）（x﹣y） C.（a+4）（a ﹣4）＝a 2﹣16 D.m 2+4m+4＝（m+2）2 4、将下列多项式因式分解，结果中不含因式x－1的是（） A.x 2－1 B.x 2＋2x＋1 C.x 2－2x＋1 D.x（x－2）＋（2－x） 5、把代数式2x2﹣8分解因式，结果正确的是（） A.2（x2﹣4） B.2（x﹣2）2 C.2（x+4）（x﹣4） D.2（x+2）（x﹣2） 6、多项式3x3﹣12x2的公因式是（） A.x B.x 2 C.3x D.3x 2 7、多项式15a3b2（a+b）c+10a2b（a+b）的公因式是（） A.5a 3b 2（a+b） B.a 2b（a+b） C.5ab（a+b） D.5a 2b （a+b） 8、下列因式分解正确的是（）
A. B. C. D. 9、下列式子不能因式分解的是( ) A.x 2-1 B.2x 2+x C.－x 2－9 D.x 2-4x+4 10、下列多项式能进行因式分解的是（） A.x 2﹣y B.x 2+1 C.x 2﹣6x D.x 2+y+y 2 11、下列多项式中，不能因式分解的是（） A.a 2+1 B.a 2﹣6a+9 C.a 2+5a D.a 2﹣1 12、若实数ab=2满足a+b=3，计算：a b+ab的值是( ) A.5 B.6 C.9 D.1 13、下列因式分解正确的是（） A. B. C. D. 14、下列多项式中能用提公因式法分解的是（） A.x 2+y 2 B.x 2﹣y 2 C.x 2+2x+1 D.x 2+2x 15、把2x -4x分解因式，结果正确的是( ) A.( x+2)( x-2) B.2 x( x-2) C.2( x -2 x) D. x(2 x-4) 二、填空题(共10题，共计30分) 16、因式分解：4m2n-n=________． 17、分解因式：m3﹣4m2+4m=________ ． 18、分解因式： 3x2- 3 ＝________． 19、将多项式2mx2﹣8mx+8m分解因式的结果是________．
(八下)因式分解提高训练(讲义)
个性化教学辅导教案 学科：数学任课教师：授课时间： 姓名年级八性别女教学课题因式分解提高训练 教学目标引导学生探究换元法、双十字相乘法、待定系数法进行因式分解，提高学生计算能力。结合中考、奥数对因式分解进行提高训练，培养学生解题能力。 重点难点重点：因式分解的方法，典型题练习。 难点：双十字相乘法、换元法、待定系数法分解因式。 课前检查作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________ 课堂教学过程一、分解因式要点回顾：把一个多项式分解成几个整式之积的形式叫做多项式的因式分解。因式分解是多项式乘法的逆向变形。步骤：一、提二、套三、十字四、分组五、查 分解因式过程中应注意的几个问题： （1）分解因式总是在指定的数集中进行，不作特别的说明，一般指实数范围内进行；（2）分解因式的结果是几个整式积的形式，而每一个因式都应分解到不能分解为止；（3）在提取公因式时，要防止出现提取不尽、提取全项后，得该项为零、提取系数为负的因式疏忽变号等错误； （4）运用公式法应当注意，当平方项不是一个字母或数时，可用“换元法”进行分解因式。 常用公式： ；2 2 2) ( 2b a b ab a± = + ±； ；2 2 2 2) ( 2 2 2c b a ca bc ab c b a+ + = + + + + +； ) )( ( 32 2 2 3 3 3ca bc ab c b a c b a abc c b a- - - + + + + = - + +； = +n n b a 二、基础练习： 1.将下列各式分解因式： （1）ax-3by-3ay+bx；（2）10 13 32- +x x；（3）3 2 2 39 2 3 16 1 ab b a b a+ -； （4）6 6y x-；（5）2 22 2+ - + - -y xy x y x；（6）6 11 3 5 22 2- + + - -b a b ab a; (7)3 4 2 4 42 2- - - + +y x y xy x。 2.已知x=y+1,求多项式2 3 3 22 2+ + - + -y x y xy x的值。 3.求证：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。 4.求证：21 235 5-能被120整除。 5 、计算：（1）) 13 1 1 )( 12 1 1 )( 11 1 1( 2 2 2 - - -；
北师大版数学八年级下册 第四章 因式分解 单元测试卷(含答案)
第四章因式分解单元测试卷 一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列从左到右的变形中，是因式分解的是() A．x2－9＝(x－3)2B．x2－x＋4＝x(x－1)＋4 C．(x＋2)2＝x2＋4x＋4 D．x2＋2x＝x(x＋2) 2．用提公因式法分解因式2x2－x时，应提取的公因式是() A．x B．2x C．x2D．2 3．下列多项式中，可以用平方差公式进行因式分解的是() A．x2＋4y2B．－9x2－y2 C．4x＋y2D．－16x2＋25y2 4．下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是() A．a2－2a＋4 B．a2＋2a－1 C．a2＋a－1 D．a2－4a＋4 5．若多项式x2＋kx－6可以因式分解为(x－2)(x＋3)，则k的值为() A．1 B．－1 C．－2 D．2 6．利用因式分解计算11×1022－11×982的结果是() A．44 B．800 C．2 200 D．8 800 7．如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为12，则a2b＋ab2的值为() A．28 B．96 C．192 D．200 8．已知x3＋x2＋x＋1＝0，则x2 023＋x2 022＋x2 021＋…＋x＋1的值是() A．0 B．1 C．－1 D．2 9．若多项式2x2＋ax－6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为2x －3，则a的值为() A．1 B．5 C．－1 D．－5 10．216－1可以被10～20之间的两个整数整除，则这两个整数是()
A．13和15 B．12和16 C．14和17 D．15和17 二、填空题(每题3分，共15分) 11．因式分解：2ax2－2a＝____________________． 12．已知x＝y＋3，则代数式x2－2xy＋y2－20的值为________． 13．若2 0242－4＝2 022m，则m＝________． 14．若关于x的二次三项式x2＋2(m－3)x＋16可用完全平方公式分解因式，则m 的值为________． 15．设M＝2n＋28＋1，若M为某个有理数的平方，则n的值为____________．三、解答题(一)(每题8分，共24分) 16．因式分解： (1)4a2－25； (2)2x2－8xy＋8y2. 17．给出三个多项式：1 2x 3＋2x2－x， 1 2x 3＋4x2＋x， 1 2x 3－2x2，请选择你喜欢的两 个多项式进行加法运算，再把结果因式分解．
【精选】北师大版八年级下册数学第四章《因式分解》测试卷(含答案)
【精选】北师大版八年级下册数学 第四章《因式分解》测试卷（含答案） 一、选择题(每题3分，共30分) 1．【教材P 94习题T 2改编】【2021·兴安盟】下列等式从左到右变形，属于因式分解的是( ) A ．(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2 B ．x 2－2x ＋1＝(x －1)2 C ．2a －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a D ．x 2＋6x ＋8＝x (x ＋6)＋8 2．下列四个多项式中，能因式分解的是( ) A ．a －1 B ．a 2＋1 C ．x 2－4y D ．x 2－4x ＋4 3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( ) A ．x 2＋x ＋1 B ．x 2＋2x －1 C ．x 2－1 D ．x 2－10x ＋25 4．分解因式－2m (n －p )2＋6m 2(p －n )时，应提取的公因式为( ) A ．－2m 2(n －p )2 B ．2m (n －p )2 C ．－2m (n －p ) D ．－2m 5．一次课堂练习，小红同学做了如下4道因式分解题，你认为小红做得不够完整的一题是 ( ) A ．a 3－a ＝a (a 2－1) B ．m 2－2mn ＋n 2＝(m －n )2 C ．x 2y －xy 2＝xy (x －y ) D ．x 2－y 2＝(x －y )(x ＋y ) 6．下列因式分解正确的是( ) A ．3ax 2－6ax ＝3(ax 2－2ax ) B ．x 2＋y 2＝(－x ＋y )(－x －y ) C ．a 2＋2ab －4b 2＝(a ＋2b )2 D ．－ax 2＋2ax －a ＝－a (x －1)2 7．如果x －2是多项式x 2－6x ＋m 的一个因式，那么m 的值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 8．【2023·绵阳南山双语学校模拟】从边长为a 的正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形，如图①所示，然后拼成一个平行四边形，如图②所示，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的为( )
八年级数学下册第四章因式分解检测题北师大版
第四章检测题 （时间：120分钟满分：120分） 一、选择题(每小题3分,共30分) 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是(C） A．(3－x)(3＋x)＝9－x2 B．(y＋1)（y－3）＝－(3－y）(y＋1） C．m4－n4＝(m2＋n2)（m＋n）(m－n) D．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z 2．下列各组多项式中，没有公因式的是（D) A．(a－b）3与(a－b）2B．3m(x－y)与n（y－x） C．2(a－3)2与－a＋3 D．ax2＋by2与ax＋by 3．下列各式中，能用公式法分解因式的有(B） ①－x2－y2;②－错误!a2b2＋1;③a2＋ab＋b2；④－x2＋2xy－y2； ⑤错误!－mn＋m2n2. A．2个B．3个C．4个D．5个 4．（安徽中考）下列分解因式正确的是(C) A．－x2＋4x＝－x(x＋4） B．x2＋xy＋x＝x(x＋y） C．x（x－y)＋y(y－x）＝（x－y)2 D．x2－4x＋4＝(x＋2）(x－2） 5．一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是(B）
A．4x2－4x＋1＝（2x－1）2B．x3－x＝x(x2－1） C．x2y－xy2＝xy(x－y）D．x2－y2＝(x＋y)(x－y) 6．小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是(D) A．x2＋2x＝x（x＋2）B．x2－2x＋1＝（x－1)2 C．x2＋2x＋1＝(x＋1）2D．x2＋3x＋2＝（x＋2)（x＋1）7．已知多项式2x2＋bx＋c因式分解后为2（x－3）（x＋1)，则b,c的值为(D） A．b＝3，c＝－1 B．b＝－6,c＝2 C．b＝－6，c＝－4 D．b＝－4，c＝－6 8．计算（－2）99＋（－2）100的结果为（A） A．299B．2100C．－299D．－2 9．对于任何整数m，多项式（4m＋5）2－9都能（A) A．被8整除B．被m整除 C．被（m－1)整除D．被(2m－1）整除 10．若三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2b－a2c ＋b2c－b3＝0，则这个三角形是（A） A．等腰三角形B．直角三角形 C．等边三角形D．三角形的形状不确定 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．(潍坊中考)因式分解:（x＋2)x－x－2＝（x＋2）（x－1)．
2021初中数学八年级下册同步讲练专题4.1-3因式分解(原卷版)
专题4.1-3因式分解 一、知识点 1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解；（也叫做把这个多项式分解 因式）； 2、公因式：多项式的各项都有的一个公共因式； 3、因式分解的方法： 提公因式法：关键在于找出最大公因式 因式分解： 平方差公式：a² -b² =(a + b)(a - b) 公式法 完全平方公式：(a + b)² = a² + 2ab +b² (a - b)² = a² + 2ab +b² 二、考点点拨与训练 考点1：判定是否是因式分解 典例：（2021·山东烟台市·八年级期末）下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ ） A ．211m m m m ⎛⎫ +=+ ⎪⎝⎭ B ．()22211x x x ++=- C ．()()22m n m n m n -=+- D ．()24343x x x x -+=-+ 方法或规律点拨 本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 巩固练习 1．（2021·沙坪坝区·重庆八中八年级期末）下列各式，从左到右变形是因式分解的是（ ） A ．a （a+2b ）＝a 2+2ab B ．x ﹣1＝x （1﹣1 x ） C ．x 2+5x+4＝x （x+5）+4 D ．4﹣m 2＝（2+m ）（2﹣m ） 2．（2021·北京九年级专题练习）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．x （x ﹣2）＝x 2﹣2x B ．（x +1）2＝x 2+2x +1 C ．x 2﹣4＝（x +2）（x ﹣2） D ．x +2＝x （1+2 x ） 3．（2020·浙江七年级期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A ．22()()x y x y x y -=-+ B ．3(3)xy x x y +=+
2020春北师大版八下数学第4章因式分解同步练习及答案
2020春北师大版八下数学第4章因式分解同步练习及答案 4.1因式分解 一、选择题 1． 下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）. A ．a （a －b ）＝a 2－ab ； B ．a 2－2a ＋1＝a （a －2）＋1 C ．x 2－x ＝x （x －1）； D ．x 2－y y 1＝（x ＋y 1）（x －y 1） 2．把下列各式分解因式正确的是（ ） A ．x y 2－x 2y ＝x （y 2－xy ）； B ．9xyz －6 x 2y 2＝3xyz （3－2xy ） C ．3 a 2x －6bx ＋3x ＝3x （a 2－2b ）； D ． 21x y 2＋21x 2y ＝2 1xy （x ＋y ） 3．（－2）2001＋（－2）2002等于（ ） A ．－22001 B ．－22002 C ．22001 D ．－2 4．－6x n －3x 2n 分解因式正确的是（ ） A ．3（－2x n －x 2n ） B ．－3x n （2－x n ） C ．－3（2x n ＋x 2n ） D ．－3x n （x n ＋2） 二、填空题 5．分解因式与整式乘法的关系是__________. 6．计算93－92－8×92的结果是__________. 7．如果a ＋b ＝10，ab ＝21，则a 2b ＋ab 2的值为_________. 三、解答题： 8．连一连： 9x 2－4y 2 a （a ＋1）2 4a 2－8ab ＋4 b 2 －3a （a ＋2） －3 a 2－6a 4（a －b ）2 a 3＋2 a 2＋a （3x ＋2y ）（3x －2y ）
9．利用简便方法计算： （1）23×2.718+59×2.718+18×2.718；（2）57.6×1. 6+57.6×18.4+57.6×（－20）10．32020－4×32019＋10×32018能被7整除吗？试说明理由. 参考答案： 1．C 2．D 3．C 4．D 5．互逆的过程6．0 7．210 8．略 9．（1）原式＝2.718×（23+59+18）＝271.8 （2）原式＝57.6×（1.6+18.4-20）＝0 10.能.因为原式＝32018（32－4×3＋10）＝32018×7，显然它能被7整除. 4.2提公因式法 一、选择题 1．下列各式公因式是a的是（） A. ax＋ay＋5 B．3ma－6ma2C．4a2＋10ab D．a2－2a＋ma 2．－6xyz＋3xy2－9x2y的公因式是（） A.－3x B．3xz C．3yz D．－3xy 3．把多项式（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）（8b－7a）分解因式的结果是（）A．8（7a－8b）（a－b）;B．2（7a－8b）2 ;C．8（7a－8b）（b－a）;D．－2（7a－8b）4．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（） A．（x－y）（x－y－1） B．（y－x）（x－y－1） C．（y－x）（y－x－1） D．（y－x）（y－x＋1） 5．下列各个分解因式中正确的是（） A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c） B．（a－b）3－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1） C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）
初中数学北师大版八年级下册第四章 因式分解3.公式法-章节测试习题(3)
章节测试题 1.【答题】把x2y－y分解因式，正确的是（） A. y（x2－1） B. y（x+1） C. y（x－1） D. y（x+1）（x－1） 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式. 【解答】解：原式 选D. 2.【答题】已知a-b=3，则的值是（） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C
【分析】先分解因式，再代入求值即可. 【解答】∵a-b=3， ∴ =(a+b)(a-b)-6b =(a+b)(a-b)-6b =3(a+b) -6b =3a+3b-6b =3(a-b) =3×3 =9. 选C. 3.【答题】下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（） A. -x2-2x-1 B. x2-2x-1 C. x2+xy+y2 D. x2+4 【答案】A
【分析】能用完全平方公式分解因式的式子的特点是：有三项，其中两个平方项的符号必须相同，第三项为两平方项底数乘积的2倍． 【解答】解：A、－x2－2x－1＝－(x2＋2x＋1)＝－(x＋1)2，能用完全平方公式分解因式，故此选项正确； B、x2－2x－1不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特点，故此选项错误； C、x2＋xy＋y2不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特点，故此选项错误； D、x2＋4不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特点，故此选项错误． 选A. 4.【答题】下列多项式中，在有理数范围内能够分解因式的是（） A. ﹣5 B. +5x+3 C. 0.25﹣16 D. +9 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.
(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第四单元《因式分解》测试题(含答案解析)(4)
一、选择题 1．下列各式中，从左到右变形是因式分解的是（ ） A ．()()22224a b a b a b +--= B ．()()2 633m m m -=+- C ．()22542x x x x ++=++ D ．()()2933a a a -=+- 2．下列因式分解正确的是 A ．4m 2-4m +1=4m （m -1） B ．a 3b 2-a 2b +a 2=a 2（ab 2-b ） C ．x 2-7x -10=（x -2）（x -5） D ．10x 2y -5xy 2=5xy （2x -y ） 3．若x -y +3=0，则x （x -4y ）+y （2x +y ）的值为（ ） A ．9 B ．－9 C ．3 D ．－3 4．已知x -y = 12，xy =43，则xy 2-x 2y 的值是 A ．1 B ．-23 C ．116 D ．23 5．多项式x 2+mx ﹣21因式分解的结果为（x +3）（x ﹣7），则m 的值是（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．10 D ．﹣10 6．已知三角形的三边a ，b ，c 满足2223()()b a b c ba a -+=-，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形或直角 三角形 7．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是( ) A ．()210x 5x 5x 2x 1-=- B ．()()2222a b c a b a b c --=-+- C ．()a m n am an +=+ D ．()()2x 166x x 4x 46x -+=+-+ 8．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．12a 2b 2＝3a •4ab 2 B ．（x +4）（x ﹣4）＝x 2﹣16 C ．am +an ＝a （m +n ） D ．x ﹣1＝x （1﹣1x ） 9．下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（ ） A ．2()()()(1)a b b a a b a b ---=--+ B ．2(2)(3)56x x x x ++=++ C ．2249(49)(49)a b a b a b -=-+ D ．222()()2m n m n m n -+=+-+ 10．下列因式分解错误的是( ) A ．a 2﹣a +1=a (a ﹣1)+1 B ．a 2﹣b 2=(a +b )(a ﹣b )
2021-2022学年北师大版八年级数学下册第四章因式分解难点解析试题(无超纲)
北师大版八年级数学下册第四章因式分解难点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意： 1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟 2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上 3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。 第I 卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、下列因式分解正确的是（ ） A ．x 2－4x ＋4＝x （x －4）＋4 B ．9－6（m －n ）＋（n －m ）2＝（3－m ＋n ）2 C ．4x 2＋2x ＋1＝（2x ＋1）2 D ．x 4－y 4＝（x 2＋y 2）（x 2－y 2） 2、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A ．()m x y mx my -=- B ．22()()a b a b a b -=+- C ．221(2)1x x x x ++=++ D ．2(3)(1)43x x x x ++=++ 3、下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．()()2224m m m +-=- B ．()23232m m m m ++=++ C ．()22442m m m ++=+ D ．()233m m m m -=- 4、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．2a 2﹣2a +1＝2a （a ﹣1）+1 B ．（x +y ）（x ﹣y ）＝x 2﹣y 2
C ．x 2﹣4xy +4y 2＝（x ﹣2y ）2 D ．x 2+1＝x （x +1 x ） 5、在实数范围内因式分解2x 2﹣3xy ﹣y 2，下列四个答案中正确的是（ ） A ．（x y ）（x ） B ．（x y ）（x ） C ．2（x y ）（x ） D ．2（x y ）（x ） 6、下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（ ） A ．2214x xy y -+ B ．222x xy y ++ C ．22x y -+ D ．22x xy y ++ 7、若a 、b 、c 为一个三角形的三边长，则式子()2 2a c b --的值（ ） A ．一定为正数 B ．一定为负数 C ．可能是正数，也可能是负数 D ．可能为0 8、已知m ＝1﹣n ，则m 3+m 2n +2mn +n 2的值为（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．1 D ．2 9、下列多项式中有因式x ﹣1的是（ ） ①x 2+x ﹣2；②x 2+3x +2；③x 2﹣x ﹣2；④x 2﹣3x +2 A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①④ 10、下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ） A ．a （x +y ）＝ax +ay B ．10x 2﹣5x ＝5x （2x ﹣1） C ．x 2﹣4x +4＝（x ﹣4）2 D ．x 2﹣16+3x ＝（x +4）（x ﹣4）+3x 第Ⅱ卷（非选择题 70分）