浙教版七年级上2.2 有理数的乘法(2)3
专题2.2 有理数的乘除【十大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题2.2 有理数的乘除【十大题型】【浙教版】【题型1 根据有理数的乘法法则判断不等关系】 (1)【题型2 巧用分配律简化运算】 (3)【题型3 有理数的乘法与相反数、倒数、绝对值等知识的综合】 (6)【题型4 关于有理数乘法的新定义问题】 (8)【题型5 利用有理数的乘法解决实际问题】 (12)【题型6 巧用分配律进行有理数的四则混合运算】 (16)【题型7 利用有理数的四则混合运算解决实际问题】 (18)【题型8 巧用倒数解有关有理数除法的问题】 (22)【题型9 运用有理数的除法化简分数】 (24)【题型10 与有理数的混合运算有关的分类讨论问题】 (26)【知识点1有理数乘法的法则】①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同零相乘，都得0．③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．.乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数；若a≠0，则a的倒数是1a【题型1根据有理数的乘法法则判断不等关系】【例1】（2023春·广东广州·七年级统考期末）如果a+b=|a|−|b|>0，ab<0，那么（）.A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b>0D．a<0，b<0【答案】B【分析】根据有理数加法法则和绝对值的性质得到|a|>|b|，根据有理数乘法法则得到a与b异号，即可得出a是正数，b是负数．【详解】解：∵a+b=|a|−|b|>0，ab<0，∴a与b异号，且|a|>|b|，∴a>0，b<0，故选：B．【点睛】此题考查了有理数乘法法则，加法法则绝对值的性质，能熟记有理数的加法法则和乘法法则是解题的关键．【变式1-1】（2023春·重庆江津·七年级校考阶段练习）已知a>b>c，且a+b+c=0，那么乘积ac的值一定是（ ）A．正数B．负数C．0D．不能确定【答案】B【分析】根据题意，判断出a、c的正负，即可求解．【详解】解：∵a>b>c，且a+b+c=0，∴a>0，c<0，即a与c异号，则ac的值一定是负数．故选：B．【点睛】此题考查了有理数乘法以及加法运算，解题的关键是正确判断出a、c的正负．【变式1-2】（2023春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）若a+b<0，且ab>0，那么a、b应满足的条件是（）A．a>0、b>0B．a<0，b<0C．a、b同号D．a、b异号，且负数的绝对值较大【答案】B【分析】直接利用有理数的乘法运算法则结合加法运算法则分析得出答案．【详解】解：∵a+b<0，且ab>0，∴a<0，b<0，故选：B．【点睛】此题主要考查了有理数的乘法运算以及加法运算，正确掌握运算法则是解题关键．【变式1-3】（2023春·河北邢台·七年级校考阶段练习）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列式子成立的是（）A．ab>0B．a+b>0C ．(a−1)(b +1)<0D ．(a +1)(b−1)>0【答案】B 【分析】先根据数轴确定a ，b 的取值范围，再逐一判定即可解答．【详解】解：由数轴可得：−1<b <0<1<a ，∴ab <0，a +b >0，(a−1)(b +1)>0，(a +1)(b−1)<0，故选：B ．【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是根据数轴确定a ，b 的取值范围．【题型2 巧用分配律简化运算】【例2】（2023春·河南焦作·七年级焦作市实验中学校考期中）用简便方法计算：(1)4×(−198)×(−0.25)×199(2)−76+34×(24)(3)−5×−7+7×−7(−12)×−7(4)997172×(−36)【答案】(1)2(2)−12(3)0(4)−359912【分析】（1）利用乘法的交换律求解即可；（2）利用乘法分配律求解即可；（3）利用乘法分配律的逆运算求解即可；（4）把原式变形为×(−36)，然后利用乘法分配律求解即可；【详解】（1）解：原式=[4×(−0.25)]×−198=−1×(−2)=2；（2）解：原式=−76×24+34×24−112×24=−28+18−2=−12；（3）解：原式=(−5+7+12)×−7=0×−7=0；（4）解：原式=100−×(−36)=100×(−36)−172×(−36)=−3600+12=−359912．【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数乘法运算律是解题的关键．【变式2-1】（2023春·山西晋中·七年级统考期末）计算(−0.125)×20×(−8)×(−0.8)=[(−0.125)×(−8)]×[20×(−0.8)]=−16，运算中运用的运算律为（ ）．A ．乘法交换律B ．乘法分配律C ．乘法结合律D ．乘法交换律和乘法结合律【答案】D【分析】解答时，运用了乘法交换律和乘法结合律．【详解】∵运用的运算律为乘法交换律和乘法结合律，故选D ．【点睛】本题考查了用运算律进行有理运算，熟练掌握运算律的使用规律是解题的关键．【变式2-2】（2023春·七年级单元测试）用简便方法计算：(1)91315×(−30)；(2)(−5)×(−3611)+(−7)×(−3611)+12×(−3611)．【答案】(1)−296(2)0【分析】（1）先将带分数拆成整数部分与分数部分的和的形式，然后按照乘法分配律运算法则计算即可；（2）先提公因数−3【详解】（1）解：91315×(−30)=9×(−30)=9×(−30)+1315×(−30)=−270−26=−296（2）解：(−5)×(−3611)+(−7)×(−3611)+12×(−3611)=(−5−7+12)×−3=0×=0【点睛】本题考查了有理数乘法运算、乘法分配律逆运算，采用合适的运算方法可以使计算简便，熟练掌握有理数的乘法分配律是解题关键．【变式2-3】（2023春·湖南张家界·七年级统考期中）简便计算：(1)−24×(−12+34−13)(2)(−65)×(−|−23|)+(+173)×(−65)−65【答案】(1)2(2)−365【详解】（1）解：−24×(−12+34−13)=−24×−(−24)×34−(−24)×13 =12−18+8=2（2）(−65)×(−|−23|)+(+173)×(−65)−65=65×23−173×65−65=65×173−1 =65×(−6)=−365【点睛】本题考查的是乘法运算律的应用，掌握利用乘法的分配律进行简便运算是解本题的关键．【题型3 有理数的乘法与相反数、倒数、绝对值等知识的综合】【例3】（2023春·海南省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是2，求|a +b|+4m−3cd 的值．【答案】当m =2时，原式=5，当m =−2时，原式=−11【分析】先根据相反数性质、倒数的定义及绝对值的性质得出a +b =0，cd =1，m =2或−2，然后再分别代入计算即可．【详解】解：根据题意知a +b =0，cd =1，m =2或−2，当m =2时，原式=4×2−3=5，当m =−2时，原式=4×(−2)−3=−11．综上，当m =2时，原式=5，当m =−2时，原式=−11．【点睛】本题主要考查了相反数性质、倒数的定义、绝对值的性质等知识点，根据m 进行分类讨论是解答本题的关键．【变式3-1】（2023春·重庆万州·七年级校联考阶段练习）若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，|x−4|=3，求cd2x +(a +b )x−2|x |的值．【答案】−131314或者−32【分析】根据a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，可得a +b =0，cd =1，即原式可以化简为：12x −2|x |，根据|x−4|=3，可得x =7，或者x =1，再代入即可求值．【详解】∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，∴a +b =0，cd =1，即：cd 2x +(a +b )x−2|x |=12x −2|x |∵|x−4|=3，∴x−4=±3，∴x =7，或者x =1，当x =7时，12x −2|x |=12×7−2×|7|=−131314，当x =1时，12x −2|x |=12×1−2×|1|=−32，即值为：−131314或者−32．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握相反数，倒数，绝对值等概念和有理数相关运算的法则．【变式3-2】（2023春·吉林白城·七年级统考期中）已知a ，b 互为相反数，且a ≠0，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是最小的正整数，求m 2−a b +2021(a b )2022−cd 的值．【答案】1【分析】根据a 、b 互为相反数且a ≠0，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是最小的正整数，得到a +b =0，cd =1，|m |=1，a ≠0，即有b =−a ，m 2=1，代入即可求解．【详解】解：∵a 、b 互为相反数且a ≠0，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是最小的正整数，∴a +b =0，cd =1，|m |=1，a ≠0，∴b =−a ，m 2=1，将a +b =0，cd =1，a =−b ，m 2=1代入到m 2−a b +2021(a b )2022−cd 中，∴m 2−a b +2021(a b )2022−cd =1−(−1)+0−1=1+1−1=1．【点睛】本题考查了相反数，倒数，绝对值的意义，代数式求值等知识，解此题的关键是根据题意得出a +b =0，cd =1，m 2=1．【变式3-3】（2023春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2.(1)求a ＋b ，cd ，m 的值；(2)求m +2cd−(a +b )的值．【答案】（1）a+b=0，cd=1，m=±2；（2）4,0.【分析】（1）根据互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，即可解答；（2）分两种情况讨论，即可解答．【详解】(1)∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，∴a+b=0，cd=1，m=±2.(2)当m=2时, m+2cd−(a+b)=2+2-0=4；当m=−2时, m+2cd−(a+b)=−2+2-0=0.故答案为4,0.【点睛】此题考查相反数，绝对值，倒数，解题关键在于掌握各性质定义.【题型4关于有理数乘法的新定义问题】【例4】（2023春·江苏宿迁·七年级泗阳致远中学校考阶段练习）定义一种新运算“※”，对于任意的两个有理数a，b，a※b=−3ab．(1)若m与−2互为倒数，n与5互为相反数，求m※n的值；(2)求(−3)※[6※(−4)]的值．【答案】(1)−152(2)648【分析】（1）由题意得：−2m=1，n+5=0，从而可求得m，n的值，再代入运算即可；（2）根据新定义的运算，再相应的值代入求解即可．【详解】（1）解：∵m与−2互为倒数，n与5互为相反数，∴−2m=1，n+5=0，解得：m=−12，n=−5，∴m※n=(−12)※(−5)=−3×(−12)×(−5)=−152；（2）解：(−3)※[6※(−4)] =(−3)※[−3×6×(−4)] =(−3)※72=−3×(−3)×72=648．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【变式4-1】（2023春·重庆石柱·七年级重庆市石柱中学校校考阶段练习）a，b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”：定义a⊕b＝a×b﹣2×（b﹣a）﹣5，例如：2⊕3＝2×3﹣2（3﹣2）﹣5＝6﹣2﹣5＝﹣1．请根据“⊕”的定义计算：(1)﹣2⊕4；(2)（﹣1⊕1）⊕（﹣7）．【答案】(1)﹣25(2)59【分析】（1）根据题目中的定义计算即可；（2）根据题目中的定义和运算顺序计算即可．【详解】（1）解：﹣2⊕4＝（﹣2）×4﹣2×[4﹣（﹣2）]﹣5＝（﹣8）﹣2×（4+2）﹣5＝（﹣8）﹣2×6﹣5＝（﹣8）﹣12﹣5＝﹣25．（2）解：（﹣1⊕1）⊕（﹣7）＝{（﹣1）×1﹣2×[1﹣（﹣1）]﹣5}⊕（﹣7）＝[（﹣1）﹣2×（1+1）﹣5]⊕（﹣7）＝[（﹣1）﹣4﹣5]⊕（﹣7）＝（﹣10）⊕（﹣7）＝（﹣10）×（﹣7）﹣2×[（﹣7）﹣（﹣10）]﹣5＝70﹣2×（﹣7+10）﹣5＝70﹣2×3﹣5＝70﹣6﹣5＝59．【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是能够用运算法则求新定义．【变式4-2】（2023春·全国·七年级期末）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．对有理数a、b、c，在乘法运算中满足①交换律：ab=ba；②对加法的分配律：c(a+b)=ca+cb．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b=a×b+2×a．(1)求2⊕(−1)的值；(2)求−3⊕−4(3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程．【答案】(1)2(2)24(3)不具有交换律，见解析【分析】（1）根据题目的新运算进行求解即可；（2）根据题意先算括号内新运算，再进行求解即可；（3）根据题意可举例出一个例子即可求解．【详解】（1）解：2⊕(−1)=2×(−1)+2×2=−2+4=2；（2）解：−3⊕−4⊕=−3⊕(−2−8)=−3⊕(−10)=(−3)×(−10)+2×(−3)=30−6=24；（3）不具有交换律，例如：2⊕(−1)=2×(−1)+2×2=−2+4(−1)⊕2=(−1)×2+2×(−1)=−2−2=−4，∴2⊕(−1)≠(−1)⊕2，∴不具有交换律．【点睛】本题考查了新定义下的运算，解决本题的关键是掌握有理数的混合运算．【变式4-3】（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）对于有理数a、b，定义运算：a⊗b＝a×b+|a|﹣b．(1)计算（﹣5）⊗4的值；(2)求[2⊗（﹣3）]⊗4的值；(3)填空：3⊗（﹣2）______（﹣2）⊗3（填“＞”或“＝”或“＜”）．【答案】(1)﹣19(2)﹣7(3)＞【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（3）两式利用题中的新定义计算得到结果，比较即可．【详解】（1）解：（﹣5）⊗4＝﹣5×4+|﹣5|﹣4＝﹣20+5﹣4＝﹣19；（2）解：[2⊗（﹣3）]⊗4=[2×（-3）+|2|-（-3）] ⊗4＝（﹣6+2+3）⊗4＝（﹣1）⊗4=（﹣1）×4+|-1|-4＝﹣4+1﹣4（3）解：3⊗（﹣2）=3×（-2）+|3|-（-2）＝﹣6+3+2＝﹣1；（﹣2）⊗3=（-2）×3+|-2|-3＝﹣6+2﹣3＝﹣7，所以3⊗（﹣2）＞（﹣2）⊗3．故答案为：＞．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．【题型5利用有理数的乘法解决实际问题】【例5】（2023春·广东深圳·七年级深圳市罗湖区翠园东晓中学校考期中）某出租车沿人民路东西方向行驶，如果把人民公园站台记为0，向东行驶记为正，向西行驶记为负，这辆车从人民公园站台出发以后行驶的路程如下表（单位：km）序号1234567路程+5−3+10−8−6+12−10(1)这辆车离开出发点最远是千米；(2)这辆车在上述过程中一共行驶了多少路程？(3)若汽车耗油量为4升/千米，共耗油多少升？【答案】(1)12；(2)54km；(3)共耗油216升【分析】（1）分别求出每一次出发点的距离，比较大小即可；（2）将所给的数的绝对值求和，即为总路程；（3）用总路程乘以每公里耗油量，即可求耗油总量．【详解】（1）解：第一次与出发点的距离为5km，第二次与出发点的距离为|(+5)+(−3)|=2km，第三次与出发点的距离为|(+5)+(−3)+(+10)|=12km，第四次与出发点的距离为|(+5)+(−3)+(+10)+(−8)|=4km|，第五次与出发点的距离为|(+5)+(−3)+(+10)+(−8)+(−6)|=−2km|，第六次与出发点的距离为|(+5)+(−3)+(+10)+(−8)+(−6)+(+12)|=10km，第七次与出发点的距离为|(+5)+(−3)+(+10)+(−8)+(−6)+(+12)+(−10)|=0km，∴这辆车离开出发点最远是12km，故答案为：12；（2）解：|+5|+|−3|+|+10|+|−8|+|−6|+|+12|+|−10|=54km，∴这辆车在上述过程中一共行驶了54km；（3）解：∵54×4=216（升），∴汽车耗油量为3升/千米，共耗油216升．【点睛】本题考查正数与负数，有理数的乘法，能根据具体情境问题，灵活处理正数与负数的运算是解题的关键．【变式5-1】（2023·全国·七年级假期作业）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：星期一二三四五六日增减+5−2−4+13−10+16−9(1)根据记录可知前四天共生产 辆；(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆；(3)该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【答案】(1)412(2)26(3)42675【分析】（1）前四个数据的和加上原计划每天生产的数量乘以4，即可得解；（2）表格中数据最大的数减去最小的数即可得解；（3）先求出生产自行车的总数量，再根据题意，列出算式进行计算即可．【详解】（1）解：100×4+(5−2−4+13)=412（辆）；故答案为：412；（2）解：产量最多的一天比产量最少的一天多生产16−(−10)=26（辆），故答案为：26．（3）解：根据图表信息，本周生产的车辆共计：100×7+(5−2−4+13−10+16−9)=709．709×60+(709−700)×15=42675（元）．答：该厂工人这一周的工资总额是42675元．【点睛】本题考查正负数的意义，有理数运算的实际应用．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键．【变式5-2】（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表：与标准重量偏差（单位：千克）−2−10123袋数5103156(1)这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差多少千克？(2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？(3)大米的单价是每千克5.5元，食堂购进大米总共花了多少钱？【答案】(1)5千克(2)9千克(3)8299.5元【分析】（1）根据表中的数据及题意列式计算，即可求解；（2）根据表中的数据及题意列式计算，即可求解；（3）首先求得大米的总重量，再乘以单价，即可求解【详解】（1）解：3−(−2)=5（千克），答：这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差5千克（2）解：(−2)×5+(−1)×10+0×3+1×1+2×5+3×6=9（千克），答：这30袋大米的总重量比标准总重量多了9千克（3）解：这30袋大米的总重量为50×30+9=1509（千克），食堂购进大米总共花了1509×5.5=8299.5（元）．答：食堂购进大米总共花了8299.5元．【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意，准确列出算式是解决本题的关键．【变式5-3】（2023·浙江·七年级假期作业）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况：星期一二三四五六日每斤价格相对于标准价格（元）+1−2+3−1+2+5−4售出斤数2035103015550(1)第一周超市售出的百香果单价最高的是星期___________，最高单价是___________元；(2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）？(3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折；方式二：每斤售价10元；为了给小明酿百香果蜜，张阿姨决定买35斤百香果，通过计算说明哪种方式购买更省钱．【答案】(1)六；15(2)这一周超市出售此种百香果盈利135元(3)选择方式一购买更省钱【分析】（1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可直接得结论；（2）计算总进价和总售价，比较即可；（3）计算两种购买方式，比较得结论．【详解】（1）解：这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最高单价是10+5=15（元）．故答案为：六；15．（2）解：1×20−2×35+3×10−1×30+2×15+5×5−4×50=−195（元），(10−8)×(20+35+10+30+15+5+50)=2×165=330（元），−195+330=135（元）；答：这一周超市出售此种百香果盈利135元．（3）解：方式一：(35−5)×12×0.8+12×5=348（元），方式二：35×10=350（元），∵348<350，∴选择方式一购买更省钱．【点睛】本题主要考查了正负数的应用及有理数的计算．计算本题的关键是看懂图表，理解图表．盈利就是总售价大于总进价，亏损就是总售价小于总进价．【知识点 有理数除法的法则】①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．【题型6 巧用分配律进行有理数的四则混合运算】【例6】（2013秋·七年级单元测试）用简便方法计算：99989÷(−119)；【答案】−899910【详解】试题分析：先化99989=1000−19，同时把除化乘，再根据乘法分配律计算即可得到结果.解：原式=（1000−19）×（−109）=1000×（−109）−19×（−109）=899910.考点：有理数的混合运算【变式6-1】（2023春·湖南郴州·七年级校考期中）简便运算：−16+34−÷148．【答案】24【分析】现将除法化为乘法，再利用乘法分配律进行计算即可．【详解】解：−16+34÷148=−16+34×48=−16×48+34×48−112×48=−8+36−4=24．【点睛】本题考查有理数的四则混合运算，解答的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序，会利用乘法分配律进行简便运算．【变式6-2】（2023春·七年级课时练习）用简便方法计算：(1)(-81)÷214-94 ÷（-16）;(2)1÷{(-1111)×(-156)-(-3.9)÷［1-34+(-0.7)］}.【答案】(1)−353536;(2)−320.【详解】试题分析：（1）根据除法法则把有理数的除法转化为乘法，然后计算即可；（2）根据除法法则把有理数的除法转化为乘法，然后根据有理数的运算法则依次计算即可.试题解析：（1）原式=-81×49+49×116=-36+136=-353536;（2）原式=1÷［1211×116+3.9÷（-0.45）］=1÷(2-263)=-320.点睛：本题考查了有理数的混合运算，正确运用有理数的混合运算法则是解题的关键.【变式6-3】（2023春·全国·七年级专题练习）小刚在课外书中看到这样一道有理数的混合运算题：计算：136÷112−718−++112−718÷136她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题．（1）前后两部分之间存在着什么关系？（2）先计算哪步分比较简便？并请计算比较简便的那部分．（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果．（4）根据以上分析，求出原式的结果．【答案】(1)前后两部分互为倒数；(2)先计算后部分比较简单；-3；(3)-13；(4)-313【分析】(1)根据被除数和除数之间的关系得出互为倒数；(2)根据乘法分配律进行计算得出答案；(3)根据倒数的性质得出答案；(4)根据有理数的加法计算法则得出答案.【详解】(1) 前后两部分互为倒数； (2) 先计算后部分比较简便112−718÷136=+112−718×36=9+3−14−1=−3(3)136÷112−718=−13(4)原式=−13+（-3）=-313【题型7 利用有理数的四则混合运算解决实际问题】【例7】（2023·浙江·七年级假期作业）有一个水库某天8:00的水位为−0.1米（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：0.5，−0.8，0，−0.2，−0.3，0.4．(1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？(2)现在由于下暴雨，水库水位以0.1米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现在水库匀速泄水，可使静态水位按0.2米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间．【答案】(1)未超过(2)5小时【分析】（1）求得上述各数的和，然后根据结果与0的大小关系即可作出判断；（2）根据题意列式求解．【详解】（1）解：−0.1+0.5−0.8+0−0.2−0.3+0.4=−0.5，答：水库的水位未超过警戒线．（2）[−1−(−0.5)]÷(−0.2+0.1)=5（小时），答：水库需放水5小时．【点睛】本题考查了有理数的混合运算及正负数在实际生活中的应用，根据题意列出算式是解题的关键．【变式7-1】（2023·浙江·七年级假期作业）明屹加油站周年庆，开展了加油每满10L 立返现金5元（不足10L 不返现金）的活动，出租车司机李师傅只在东西走向的路上开车接送乘客，他7:00从甲地出发（向东行驶的里程数记作正数），到8:00为止，他所行驶的里程记录如下（单位：公里）+4；−3；−6；+13；−10；−4；+5．(1)计算到8:00时，李师傅在甲地的哪个方向，距甲地多远？(2)求从7:00开始到8:00为止，李师傅距甲地的最远距离．(3)若李师傅当日工作至17:00为止，每小时行驶的里程相同，该车每百公里耗油8L ，每升油7元，若李师傅今天出车时油箱是满的，中间没有加油，收工时想加满油箱，则李师傅当日在该加油站加油共花费多少元？【答案】(1)李师傅在甲地的西边1公里位置；(2)李师傅距甲地的最远距离是8公里；(3)李师傅当日在该加油站加油共花费237元．【分析】（1）将记录的数字相加得到结果，根据正负即可得到结果；（2）根据几次的绝对值进行比较即可；（3）将记录数字绝对值相加，乘以10，得出行驶的公里数，用结果除以100乘8得出耗油的升数，再用升数乘7减3乘5即可得到结果．【详解】（1）解：4−3−6+13−10−4+5=−1（公里），∴李师傅在甲地的西边1公里位置；（2）解：第一站离甲地是4公里；第二站离甲地是5−3=1；第三站离甲地是1−6=−5；第四站离甲地是−5+13=8；第五站离甲地是8−10=−2；第六站离甲地是−2−4=−6；第七站离甲地是−6+5=−1；取绝对值可以看出最远是8公里；（3）解：当日工作至17:00为止，共工作10小时，10×(4+3+6+13+10+4+5)=450（公里），450÷100×8=36（L），36×7−3×5=237（元）．答：李师傅当日在该加油站加油共花费237元．【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确理解本题中正数和负数的意义是解答本题的关键．【变式7-2】（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）2022年国庆节期间，若顺德长鹿农庄在9月30日的游客人数为3万人，下表为7天假期中每天接待游客的人数与前一天相比的变化情况(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数)：日期1日2日3日4日5日6日7日人数变化/万人+1.7+0.6+0.3−0.3−0.6+0.2−1.1(1)请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？(2)与9月30日相比，10月7日客流量是上升了还是下降了？变化了多少？(3)求这7天每天平均人数是多少万人？【答案】(1)游客人数最多的为3日，最少的为7日，这两天的游客人数相差1.4万人(2)与9月30日相比，10月7日客流量是上升了，上升了0.8万人(3)这7天每天平均人数4.9万人【分析】（1）由表知，从10月4日旅游的人数比前一天少，所以10月3日人数最多；10月7日人数最少；10月3日人数减去10月7日人数可得它们相差的人数；（2）由（1）的结论，根据正负数的意义即可求解；（3）分别计算这7天增加的人数，相加，再加上每天的3万人，可得总人数．【详解】（1）解：10月1日至7日每天游客与9月30日相比的变化情况是：1日：+1.7（万人）2日：1.7+0.6=2.3（万人）3日：2.3+0.3=2.6（万人）4日：2.6−0.3=2.3（万人）5日：2.3−0.6=1.7（万人）6日：1.7+0.2=1.9（万人）7日：1.9−1.1=0.8（万人）所以游客人数最多的为3日，最少的为7日，这两天的游客人数相差2.6−0.8=1.4（万人）.（2）解：由（1）可知，与9月30日相比，10月7日客流量是上升了，上升了0.8万人（3）这7天的游客总人数是3×7+(1.7+2.3+2.6+2.3+1.7+1.9+0.8)=21+13.3=34.3（万人）这7天每天平均人数：34.3÷7=4.9（万人）【点睛】本题考查了正数和负数，有理数加减混合运算的应用，注意正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，根据题意列出算式是解题的关键．【变式7-3】（2023·浙江·七年级假期作业）为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在20吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取，超过20吨且不超过30吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取，超过30吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的1.8倍收取．为节约用水，小高记录了1~7月份他家每月1号的水表读数．（注：相邻两个月同一天的水表读数之差为上一个月的用水量）1月2月3月4月5月6月7月水表读数（吨）433450468485500514535(1)填空：小高家1月份的用水量_______吨，1~6月平均每月用水量为_______吨．(2)已知小高家2月份的水费为36元，试求他家6月份需缴纳水费多少元？(3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比6月份多用水14吨，试求小高家7月份需缴纳水费多少元？【答案】(1)17；17(2)6月份需缴纳水费为43元(3)7月份需缴纳水费88元【分析】（1）根据题意，用2月的水表读数减去1月的水表读数得出1月份的用水量，用7月份的水表读数减去1月份的水表读数除以6即可求得1~6月平均每月用水量；（2）根据题意，2月份的水费按一级用水价格收取，根据题意求得一级用水的价格与二级用水的价格，进而根据表格求得6月份用水量，即可求解；（3）根据题意得出7月份的用水超过30吨，则按照一、二、三级的水费进行计算即可求解．【详解】（1）解：小高家1月份的用水量450−433=17吨；1~6月平均每月用水量为(535−433)÷6=17吨；故答案为：17；17．（2）解：∵小高家2月份用水量为：468−450=18<20，∴一级用水的价格为36÷18=2元/吨；二级用水的价格为1.5×2=3元/吨；∴他家6月份用水量为：535−514=21吨，∵21>20，∴6月份需缴纳水费为20×2+1×3=43元．（3）解：根据题意：三级用水的价格为2×1.8=3.6元/吨，7月用水：21+14=35（吨）20×2+10×3+5×3.6=88（元）∴7月份需缴纳水费88元．【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键．【题型8 巧用倒数解有关有理数除法的问题】【例8】（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：计算50÷(13−14+112)．解法一：原式＝50÷13−50÷14+50÷112=50×3−50×4+50×12＝550．解法二：原式＝50÷(412−312+112)＝50÷212＝50×6＝300．解法三：原式的倒数为(13−14+112)÷50＝(13−14+112)×150=13×150−14×150+112×150=1300．故原式＝300．上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题：计算：(−142)÷(16−314+23−27)．【答案】一；−114【分析】根据有理数的除法，可转化成有理数的乘法，可得答案；根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得答案．【详解】解：没有除法分配律，故解法一错误；故答案为：一．原式＝−÷＝×3＝−114．【点睛】本题考查了有理数的除法，先算括号里面的，再算有理数的除法，注意没有除法分配律．【变式8-1】（2023·江苏·七年级假期作业）阅读下题的计算方法：计算：−÷34+分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．34÷−=34×(−24)=−16+18−21=−19所以原式=−119根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：−÷−14−25+910−【答案】125．【分析】根据阅读材料先计算所求式子的倒数，从而得出原式的结果．【详解】解：−14−25+910÷−=−14−25+910×(−20)=5+8−18+30=25，所以，原式=125．【点睛】本题是阅读材料问题，考查了有理数的混合运算和对阅读材料问题的运用，掌握运算顺序，正确判定符号计算是关键．【变式8-2】（2023春·辽宁鞍山·七年级阶段练习）阅读下列材料，并解答问题：材料一：乘积为1的两个数互为倒数，如ab 和ba ，即若设a:b=x ，则b ÷a =1x ；材料二：分配律：(a+b)c=ac+bc ；利用上述材料，请用简便方法计算：(−160)÷(13−14+112).【答案】-110【分析】根据所给材料，先算(13−14+112)÷(−160)的值，再根据倒数的定义即可求解．【详解】先计算原式的倒数：(13−14+112)÷(−160)=(13−14+112)×(−60)=-20+15-5=-10，。
2.3.1 有理数的乘法 浙教版数学七年级上册课件
教学目标
理解数的范围扩充了负数后乘法法则规定的合理性．
教学难点
掌握有理数乘法法则的运算步骤．
合作探究
• 思考1 观察下面的乘法算式,你能发现什么规律吗?
3×3＝9 3×2＝6 3×1＝3 3×0＝0 上述算式有什么规律?
随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减3．
• 要使这个规律在引入负数后仍成立,那么应有 3×(－1)＝－3 3×(－2)＝－6 3×(－3)＝－9
负数乘正数，积为负数；积的绝对值等于各乘数绝 对值的积．
• 思考3 利用上面归纳的结论计算下面的算式,你发现什么 规律? (－3)×3＝－9 (－3)×2＝－6 (－3)×1＝－3 (－3)×0＝0 上述算式有什么规律? 随着后一乘数逐次递减1，积逐次增加3．
• 利用上面归纳的结论计算下面的算式,你发现什么 规律? (－3)×(－1)＝3 (－3)×(－2)＝6 (－3)×(－3)＝9
巩固练习
1．确定下列两数积的符号: （1）6×(－9)；
（2）4×5；
（3）(－7)×(－9)； （4）(－12)×3．
2．填写下表：
被乘数 乘数 积的符号 绝对值 结果
－5
7
15
6
－30 －6
4
－25
3. 计算
(1) (3) 9
(2) 8 (1)
(3)Biblioteka 1 2(2)一个数同1 相乘，结果是原数，一个数同－1
归纳结论:负数乘负数，积为正数，乘积的 绝对值等于各乘数绝对值的积．
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负， 并把绝对值相乘．
任何数同0相乘，都得0.
思考：通过上题，你认为：非零两数相乘， 关键是什么？
最新浙教版七上数学重难点分析
是□否□计算题
★★
10%
（1）专业知识限制2.3有理数的乘法
2、传统文化对大学生饰品消费的影响选择题
营销环境信息收集索引填空题
计算题
★★
10%
2.4有理数的除法
（二）大学生对DIY手工艺品消费态度分析选择题
（一）DIY手工艺品的“多样化”填空题
（3）个性体现计算题
★★
10%
2.5有理数的乘方
选择题
填空题
计算题
★★
10%
2.6有理数的混合运算
选择题
填空题
计算题
★★
10%
2.7近似数
选择题
★
2%
第三章实数
小节
题型
难易程度
占比
重点
3.1平方根
选择题
填空题
计算题
★★
8%
a.对平方根、算术平方根概念的理解
b.平方根与算术平方根的计算的运用
c.实数含义的理解
3.2实数
选择题
填空题
计算题
★★
8%
3.3立方根
选择题
填空题
计算题
★★
8%
3.4实数的运算
选择题
填空题
计算题
★★
15%
第四章代数式
小节
题型
难易程度
占比
重点
4.1用字母表示数
选择题
计算题
★
2%
a.等式性质的理解及运用
b.解方程
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第1章 有理数
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1.1数轴
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1.2绝对值
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1.3从自然数到有理数
最新浙教版七年级数学上册全册 教学课件目录
0002页 0044页 0090页 0145页 0185页 0201页 0203页 0205页 0239页 0282页 0412页 0487页 0571页 0585页 0596页 0649页 0703页
第1章 有理数 1.2绝对值 第2章 有理数的运算 2.2有理数的减法 2.4有理数的除法 2.6有理数的混合运算 3.1立方根 3.3立方根 第4章 代数式 4.2代数式 4.4整式 4.6整式的加减 5.1一元一次方程 5.3一元一次方程的解法 第6章 图形的初步认识 6.2线段\射线和直线 6.4线段的和差
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第2章 有理数的运算
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2.1有理数的加法
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2.2有理数的减法
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2.4有理数的除法
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新浙教版 七年级 上 目录
七年级上册目录
一、有理数
1.1 从自然数到有理数1.2 数轴
1.3 绝对值
1.4 有理数的大小比较
二、有理数的运算
2.1 有理数的加法
2.2 有理数的减法
2.3 有理数的乘法
2.4 有理数的除法
2.5 有理数的乘方
2.6 有理数的混合运算2.7 近似数
三、实数
3.1 平方根
3.2 实数
3.3 立方根
3.4 实数的运算
四、代数式
4.1 用字母表示数
4.2 代数式
4.3 代数式的值
4.4 整式
4.5 合并同类项
4.6 整式的加减
五、一元一次方程
5.1 一元一次方程
5.2 等式的基本性质
5.3 一元一次方程的解法5.4 一元一次方程的应用六、图形的初步知识
6.1 几何图形
6.2 线段、射线和直线6.3 线段的长短比较6.4 线段的和差
6.5 角与角的度量
6.6 角的大小比较
6.7 角的和差
6.8 余角和补角
6.9 直线的相交。
浙教版初中七年级数学目录
浙教版初中七年级数学教材完整目录七年级上册第1章有理数1.1 从自然数到有理数阅读材料中国古代在数的发展方面的贡献1.2 数轴1.3 绝对值1.4 有理数的大小比较第2章有理数的运算2.1 有理数的加法2.2 有理数的减法2.3 有理数的乘法2.4 有理数的除法2.5 有理数的乘方2.6 有理数的混合运算2.7 近似数和计算器的使用第3章实数3.1 平方根3.2 实数阅读材料神奇的π3.3 立方根3.4 实数的运算第4章代数式4.1 用字母表示数4.2 代数式4.3 代数式的值阅读材料数学中的符号4.4 整式4.5 合并同类项4.6 整式的加减第5章一元一次方程5.1 一元一次方程5.2 等式的基本性质5.3 一元一次方程的解法5.4 一元一次方程的应用阅读材料丢番图课题学习问题解决的基本步骤第6章图形的初步知识6.1 几何图形6.2 线段、射线和直线6.3 线段的大小比较6.4 线段的和差6.5 角与角的度量6.6 角的大小比较6.7 角的和差6.8 余角和补角6.9 相交直线阅读材料初识“几何画板”_____________________________________七年级下册第1章平行线1.1 平行线1.2 同位角、内错角、同旁内角1.3 平行线的判定1.4 平行线的性质阅读材料地球有多大1.5 图形的平移第2章二元一次方程组2.1 二元一次方程2.2 二元一次方程组2.3 解二元一次方程组2.4 二元一次方程组的简单应用2.5 三元一次方程组及其解法选学阅读材料九章算术中的“方程”第3章整式的乘除3.1 同底数幂的乘法3.2 单项式的乘法3.3 多项式的乘法3.4 乘法公式3.5 整式的化简3.6 同底数幂的除法3.7 整式的除法阅读材料杨辉三角与两数和的乘方第4章因式分解4.1 因式分解4.2 提取公因式法4.3 用乘法公式分解因式第5章分式5.1 分式5.2 分式的基本性质5.3 分式的乘除5.4 分式的加减5.5 分式方程阅读材料实验与归纳推理第6章数据与统计图表6.1 数据的收集与整理6.2 条形统计图和折线统计表6.3 扇形统计图6.4 频数与频率6.5 频数分布直方图综合与实践关于“初中生最喜爱看的电视节目”的调查。
浙教版七年级数学上册分层训练：2.3 有理数的乘法(第2课时)
浙教版七年级数学上册分层训练：2．3 有理数的乘法(第2课时)2．在计算(112－78＋12)×(－48)时，可以避免通分的运算律是( )A ．加法交换律B ．乘法交换律C ．乘法分配律D ．加法结合律3．下列计算中，错误的是( )A ．－6×(－5)×(－3)×(－2)＝180B ．(－36)×(16－19－13)＝－6＋4＋12＝10 C ．(－15)×(－4)×(＋15)×(－12)＝6 D ．－3×(＋5)－3×(－1)－(－3)×2＝－3×(5－1－2)＝－64．下列说法不正确的是( )A ．一对相反数的积可能为0B ．多个有理数相乘的积不为0C ．绝对值和倒数都等于它本身的数只有1D ．多个不为0的有理数相乘，积的符号取决于负因数的个数5．在算式 1.25×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－34×(－8)＝1.25×(－8)×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－34＝[1.25×(－8)]×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34中，应用了( ) A ．分配律 B ．乘法结合律 C ．乘法交换律和结合律 D ．乘法交换律6．说出下面每一步所运用的运算律． (－4)×(＋8)×(－2.5)×(－125)＝(－4)×(－ 2.5)×(＋8)×(－125)( )＝[(－4)×(－ 2.5)]×[(＋8)×(－125)]( )＝10×(－1000)＝－100007．(1)绝对值不大于4.5的所有整数的和为____________，积为____________；(2)绝对值不大于5的所有负整数的积是____________．8．计算：(1)(－4)×5×(－0.25)＝____________；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－38×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－318－38×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－478＝____________；(3)⎝⎛⎭⎪⎪⎫13＋14－16×(－24)＝____________. 9．若5个有理数的积为负数，则这5个数中，负因数的个数是____________．10．计算：(1)(－0.125)×3.1×(－8)；(2)105×(13－57－25)； (3)(－99715)×30； (4)3.14×138＋0.314×614－31.4×0.2； 11．已知甲数为－113，乙数为52，丙数与甲、乙两数的和的6倍的和为10，求丙数．12．一本书共420页，小明第一天看了13，第二天看了14，第三天看了27，问还有多少页没有看？B 组 自主提高13．(1)互不相等的四个整数之积等于9，则这四个数的绝对值的和是____________．(2)观察下列等式(式子中的”！”是一种数学运算符号)：1！＝1，2！＝2×1，3！＝3×2×1，4！＝4×3×2×1…计算：2016！2017！＝____________. 14．数学活动课上，王老师在6张卡片上写了6个不同的数字： －3 ＋2 ＋1 0 ＋5 －8如果从中任意抽取3张．(1)使这3张卡片上的数字之积最小，应如何抽取？最小的积为多少？(2)使这3张卡片上的数字之积最大，应如何抽取？最大的积为多少？C 组 综合运用15．(1)某同学把7×⎝ ⎛⎭⎪⎫ －3错抄为7× －3，若正确答案为x ，错抄后算得的答案为y ，则x －y 的值是____________．(2)某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第一位同学报⎝⎛⎭⎪⎪⎫11＋1，第二位同学报⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋1，第三位同学报⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＋1…这样得到的20个数的积为____________．参考答案2．3 有理数的乘法(第2课时) 【课堂笔记】1．(1)a ×b ＝b ×a (2)(a ×b)×c ＝a ×(b ×c)(3)a ×(b ＋c)＝a ×b ＋a ×c 2.偶数个 奇数个 负【分层训练】1．C 2.C 3.C 4.B 5.C6．乘法交换律 乘法结合律7．(1)0 0 (2)－1208．(1)5 (2)3 (3)－109．1个，3个或5个10．(1)3.1 (2)－82 (3)－2984 (4)011．10－6×(－113＋52)＝3.12．420×(1－13－14－27)＝55页． 13．(1)8 (2)1201714．(1)积最小的是(＋2)×(＋5)×(－8)＝－80；(2)积最大的是(－3)×(＋5)×(－8)＝120.15．(1)－18 (2)21 【解析】(1)∵x ＝7× －21，y ＝7× －3，∴x －y ＝7× －21－⎝ ⎛⎭⎪⎫7× －3＝7× －21－7× ＋3＝－18.(2)由题意，得到的20个数分别为：2，32，43，…，2120，∴这样得到的20个数的积为：2×32×43×…×2019×2120＝21.。
第六讲 有理数的乘除法2021年新七年级数学暑假课程(浙教版)(解析版)
第六讲有理数的乘除法2.3-2.4 有理数的乘法有理数的除法【学习目标】1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；2.理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；【基础知识】一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3. 有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c ＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．二、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是12-，-2和12-是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2. 有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即1(0)a b a b b÷=≠. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．【考点剖析】例1．下列计算正确的有（ ）①(-3)(-4)-12⨯=；②(-2)5-10⨯=；③(-41)(-1)41⨯=；④0(-5)-5⨯=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】根据有理数的乘法法则进行计算，可得正确答案．①(-3)(-4)12⨯=，故此项不符合题意；②(-2)5-10⨯=，故此项符合题意；③(-41)(-1)41⨯=，故此项符合题意；④0(-5)0⨯=，故此项不符合题意；所以正确的有②，③故选：B ．【点睛】此题主要考查了有理数的计算，关键是掌握乘法计算的计算法则．例2．下列运算过程中，有错误的是（ ）A ．（3﹣412）×2＝3﹣412×2 B ．﹣4×（﹣7）×（﹣125）＝﹣（4×125×7）C．91819×16＝（10﹣119）×16＝160﹣1619D．[3×（﹣25）]×（﹣2）＝3×[（﹣25）×（﹣2）]【答案】A【解析】各式计算得到结果，即可作出判断．解：A、原式＝3×2﹣92×2＝6﹣9＝﹣3，符合题意；B、原式＝﹣（4×125×7），不符合题意；C、原式＝（10﹣119）×16＝160﹣1619，不符合题意；D、原式＝3×[（﹣25）×（﹣2）]，不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．例3．下列说法正确的是（）A．零除以任何数都得0B．几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定C．绝对值相等的两个数相等D．两个数互为倒数，则它们的相同次幂仍互为倒数【答案】D【解析】A、任何数包括0，0除0无意义；B、几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定；C、绝对值相等的两个数的关系应有两种情况；D、根据倒数及乘方的运算性质作答．解：A、零除以任何不等于0的数都得0，故错误；B、几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，故错误；C、绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故错误；D、两个数互为倒数，则它们的相同次幂仍互为倒数，故正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了绝对值、倒数的概念和性质及有理数的乘除法、乘方的运算法则．要特别注意数字0的特殊性．例4．2021-的倒数是（ ）A ．2021-B ．12021-C ．12021D ．2021 【答案】B【解析】根据倒数的定义即可解决．解：∵()1202112021⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭， ∴-2021的倒数是12021-． ∴A 、C 、D 选项都是错误的，只有B 选项正确．故选：B【点睛】本题考查了倒数的知识点，熟知倒数的定义是解题的关键．例5．计算：32÷（﹣4）×14的结果是（ ）A ．﹣16B ．16C ．﹣2D ．﹣12 【答案】C【解析】根据有理数乘除法的运算法则计算可求解．【详解】解：原式=﹣8×14=﹣2．故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的乘除，解题关键是熟练掌握有理数乘除法的法则，准确运用法则进行计算．例6．在下列各题中，结论正确的是（ ）A ．若0,0a b ><，则0b a >B ．若a b >，则0a b ->C ．若0,0a b <<，则0;<abD ．若,0a b a >>，则0b a< 【答案】B【解析】 根据两数的符号或大小判断相应的式子是否成立即可．解：A 、两数相除，异号得负，故选项错误；B 、大数减小数，一定大于0，故选项正确；C 、两数相乘，同号得正，故选项错误；D 、若,0a b a >>，则b a 可正可负，故选项错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了有理数减法、乘除法运算，不确定符号的数在计算时的结果的符号也不确定． 例7．下列计算中正确的是（ ）A ．()11151351353⎛⎫-⨯--=-++= ⎪⎝⎭B ．()1115135152353⎛⎫-⨯--=---=- ⎪⎝⎭ C ．()()()11112224622323⎛⎫⎛⎫-÷-+=-÷-+-÷=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．235532-⨯⨯-=- 【答案】D【解析】利用乘法的分配律计算,A B 选项，可判断,A B ，由于除法没有分配律，所以先计算括号内的运算，再计算除法，可判断C ，先求绝对值，再利用乘法的结合律计算D 选项，从而可判断.D解：()()()()111115115151515353⎛⎫-⨯--=-⨯--⨯--⨯ ⎪⎝⎭351517=-++=，故A ，B 错误；()11223⎛⎫-÷-+ ⎪⎝⎭()()32122666⎛⎫⎛⎫=-÷-+=-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2612=-⨯-=，故C 错误；23235553232⎛⎫-⨯⨯-=-⨯⨯=-⎪⎝⎭，故D 正确； 故选：.D【点睛】本题考查的是乘法的结合律与分配律，有理数的除法运算，绝对值的运算，有理数的混合运算，掌握以上知识是解题的关键．例8．已知||4x =，1||2=y ，且0xy <，则x y 的值等于（ ） A ．8-B ．2-C ．8-或8D ．2-或2 【答案】A【解析】根据||4x =，1||2=y ，可以求出x ，y 的值，再根据0xy <确定x y 的值即可． ||4x =，1||2=y ， ∴4x =±，12y =±， 0xy <，∴x ，y 异号，∴当4x =，12y 时，4812x y ==--， 当4x =-，12y =时，4812x y -==-， 综上所述：x y的值为8-． 故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的除法，绝对值，有理数的乘法，解题的关键是明确同号得正，异号得负的意义．例9．如果四个不同的正整数m ，n ，p ，q 满足(4)(4)(4)(4)9m n p q ----=，则m n p q +++等于（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】C【解析】由题意确定出m ，n ，p ，q 的值，代入原式计算即可求出值．解：∵四个互不相同的正整数m ，n ，p ，q ，满足（4-m ）（4-n ）（4-p ）（4-q ）=9，∴满足题意可能为：4-m =1，4-n =-1，4-p =3，4-q =-3，解得：m =3，n =5，p =1，q =7，则m +n +p +q =16．故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【过关检测】一、单选题1．计算（5164--）×（﹣12）的结果为（ ） A ．﹣7B ．7C ．﹣13D ．13【答案】D【解析】根据乘法的分配律、两个负数相乘解题,注意：负负得正．【详解】 51()(12)1031364--⨯-=+= 故选：D ．【点睛】本题考查有理数乘法的运算律，熟练掌握两个负数相乘得正及乘法的分配律是解题关键．2．已知两个有理数，如果两数之积小于0，两数之和大于0，那么（）A．两数同时大于0 B．两数互为相反数C．两数同号D．两数异号，且正数的绝对值较大【答案】D【解析】根据两数相乘，同号得正，异号得负，可知：两数之积小于0，则两数为异号；同号两数相加为大于0，则正数的绝对值较大．【详解】由已知两数之积小于0，说明两数为异号；若两个数之和大于0，说明正数的绝对值较大；故选：D．【点睛】本题考查了有理数的加法和乘法，比较简单，熟练掌握两个法则是关键，3．-45×（10-114+0.05）=-8+1-0.04，这个运算应用了（）A．加法结合律B．乘法结合律C．乘法交换律D．分配律【答案】D【解析】根据分配律特点即可求解．【详解】-45×（10-114+0.05）=-45×10-45×（-114）-45×0.05=-8+1-0.04故应用了分配律，故选D．【点睛】此题主要考查运算律的识别，解题的关键是熟知分配律的特点．4．计算﹣100÷5×15，结果正确的是（）A．4 B．﹣4 C．﹣100 D．100【答案】B【解析】先确定符号，按顺序计算，注意：除法转化为乘法，所有除数都要转化为其倒数. 【详解】原式＝﹣100×15×15＝﹣4，故选B．【点睛】本题考查了有理数的乘除法，掌握运算法则是正确解答本题的关键.特别注意符号. 5．下列计算不正确的是()A．5×(-7)×(-8)=280B．(-18)×2 1 3⎛⎫-⎪⎝⎭×2=60 C．0×(-2)×(-3)×(-4)=0D．123235⎛⎫--⎪⎝⎭×(-60)=12×(-60)＋23×(-60)＋35×(-60)=-30-40-36=-106【答案】D【解析】根据有理数混合运算的法则和顺序分别计算即可判断正误．【详解】A、5×(-7)×(-8)=280，正确，不符合题意；B、(-18)×2 1 3⎛⎫-⎪⎝⎭×2=60，正确，不符合题意；C、0×(-2)×(-3)×(-4)=0，正确，不符合题意；D、123235⎛⎫--⎪⎝⎭×(-60)123(60)(60)(60)235=⨯--⨯--⨯-304036=-++46=，不正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算．熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．6．下列四个算式中，误用分配律的是（）A．12×11 236⎛⎫-+⎪⎝⎭＝12×2－12×13＋12×16B．11236⎛⎫-+⎪⎝⎭×12＝2×12－13×12＋16×12C．12÷11 236⎛⎫-+⎪⎝⎭＝12÷2－12÷13＋12÷16D．11236⎛⎫-+⎪⎝⎭÷12＝2÷12－13÷12＋16÷12【答案】C【解析】根据乘法分配律的特点即可求解．【详解】当除数是一项时，可以用分配律；当除数是多项时，12÷11 236⎛⎫-+⎪⎝⎭不能用分配律．故选C．【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知乘法分配律的特点．7．王小天有若干张10元、5元的纸币，这两种纸币的张数相同，那么王小天可能有( )元钱．A．50 B．51 C．75 D．100【答案】C【解析】【解析】先求出1张10元和5元的共有多少钱，再从选项中找出这个数的倍数即可．【详解】10+5=15（元）；A，50÷15=3…5，50不是15的倍数，不符合要求；B，51÷15=3…6，51不是15的倍数，不符合要求；C，75÷15=5，75是15的倍数，符合要求；D ，100÷15=6…10，100不是15的倍数，不符合要求； 故选C ． 【点睛】本题先求出各一张的总钱数，只要是这个钱数的整数倍的数就符合要求． 8．互不相等的四个整数的积等于4，则这四个数的绝对值的和为( ) A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】B 【解析】根据题意可得出这四个数的值，继而可以确定这四个数的绝对值的的和． 【详解】∵四个互不相等的整数的积等于4， ∴这四个数分别为 1，-1，2，-2, ∴绝对值之和为1+-1+2+-2=6， 故选：B ． 【点睛】本题考查有理数的乘法运算，关键在于根据题意判断四个数的值，注意审清题意，把这四个数限定在很小的范围．9．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则•a bm m cd m+-+值为（ ） A ．3- B ．3C ．5-D ．3或5-【答案】B 【解析】根据题意可得，a+b=0，cd=1，m=±2，代入求解即可． 【详解】 原式=4-1+0=3 故选：B 【点睛】本题考查了代数式求值，解答本题的关键是根据题意得出a+b=0，cd=1，m=±2． 10．下列结论：①若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0；②若a÷b ＜0，则a ＞0，b ＜0；③若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0；④若a ＜0，b ＜0，则a÷b ＞0，其中，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B 【解析】 【解析】根据有理数的乘法法则和除法法则逐一进行判断即可． 【详解】若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0或a ＜0，b ＜0，①错误； 若a÷b ＜0，则a ＞0，b ＜0或a ＜0，b ＞0，②错误； 若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0，③正确； 若a ＜0，b ＜0，则a÷b ＞0，④正确， 故选B ． 【点睛】本题考查了有理数的乘法、有理数的除法，掌握有理数乘法法则、有理数除法法则是解题的关键.两数相乘（除），同号得正，异号得负. 11．若1＜x ＜2，则|2||1|||21x x x x x x---+--的值是（ ） A ．﹣3 B ．﹣1C ．2D ．1【答案】D 【解析】在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号． 【详解】 解：12x <<，20x ∴-<，10x ->，0x >，∴原式1111=-++=，故选：D ． 【点睛】本题主要考查了绝对值，代数式的化简求值问题．解此题的关键是在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号．12．下列等式或不等式中：①0a b +=；②0ab <；③a b a b -=+；④()00,0a b a b ab+=≠≠，表示a 、b 异号的个数有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【解析】根据有理数的加法、乘法、绝对值运算、除法逐个判断即可得． 【详解】 ①当0ab 时，0a b +=，但,a b 同号；②0ab <，则,a b 异号； ③当0ab时，0a b a b -=+=，但,a b 同号；④因为0,0a b ≠≠， 所以分以下四种情况： 当0,0a b >>时，112a a b b ba a b++==+=， 当0,0a b ><时，1(1)0a a b b a a b b==+-++=-， 当0,0a b <>时，110b b b a a b a a -++==-+=， 当0,0a b <<时，1(1)2b b b a a b a a ==-+---+=-+， 则只有当,a b 异号时，0a ba b+=； 综上，表示,a b 异号的个数有2个， 故选：C ． 【点睛】本题考查了有理数的加法、乘法、绝对值运算、除法，较难的是题④，正确分四种情况讨论是解题关键．二、填空题 13．计算：（1）(－4)×15×(－35)=_____（2）(－45)×12×47×(－358)=_____【答案】36 1 【解析】（1）原式=（-60）×（-35）=36；（2）原式=（-45×12）×（-358×47）=（-25）×（-208）=1.故答案为(1) 36，(2) 1.点睛：计算分数的乘积时，可以将分子分母相同或成倍数的两项结合起来计算，便于约分. 14．指出下列变化中所运用的运算律：（1）3×(-2)=-2×3_____；（2）3×(-2)×(-5)=3×[(-2)×(-5)]_____；（3）68×(524-216)=68×524-68×216．________．【答案】乘法交换律乘法结合律乘法分配律【解析】利用乘法运算律判断即可得到结果．【详解】解：（1）3×(-2)=-2×3，乘法交换律；（2）3×(-2)×(-5)=3×[(-2)×(-5)]，乘法结合律；（3）68×(524-216)=68×524-68×216，乘法分配律．故答案为：（1）乘法交换律；（2）乘法结合律；（3）乘法分配律．【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算律是解本题的关键．15．如果两个数在数轴上对应的两个点在原点同侧，则这两个数的积是________．【答案】正数【解析】根据数轴的特点即可求解．【详解】如果两个数在数轴上对应的两个点在原点同侧，则两数同号，乘积为正故答案为：正数．【点睛】此题主要考查数轴的性质，解题的关键是熟知有理数的运算法则．16．用字母表示有理数乘法的符号法则：（1）若a＞0，b＞0，则ab____0，若a＞0，b＜0，则ab____0；（2）若a＜0，b＞0，则ab____0，若a＜0，b＜0，则ab____0；（3）若a≠0，b＝0，则ab____0．【答案】＞＜＜＞=【解析】根据乘法法则“两个数相乘，同号得正，异号得负，任何数同0相乘得0”解答即可．【详解】（1）∵a＞0，b＞0，∴ab＞0，∵a＞0，b＜0，∴ab＜0；（2）∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，∵a＜0，b＜0，∴ab＞0；（3）∵a≠0，b=0，∴ab=0；故答案为：＞，＜，＜，＞，=．【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，解此题的关键是熟记法则：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正．17．填空：（1）（－2）×（－2）×2×（－2）的积的符号是____；（2）47⎛⎫-⎪⎝⎭×35⎛⎫- ⎪⎝⎭×23⎛⎫- ⎪⎝⎭×12⎛⎫-⎪⎝⎭的积的符号是___．【答案】－+【解析】（1）根据两数相乘，同号得正，异号得负即可解决；（2）根据两数相乘，同号得正，异号得负即可解决．【详解】（1）（－2）×（－2）×2×（－2）中有3个乘数为负，积的符号是－；（2）47⎛⎫-⎪⎝⎭×35⎛⎫- ⎪⎝⎭×23⎛⎫- ⎪⎝⎭×12⎛⎫-⎪⎝⎭中有4个乘数为负，积的符号是+．故答案为：－；+．【点睛】本题考查了有理数乘法及应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．18．被除数是－312，除数比被除数小112，则商为________．【答案】0.7【解析】分析：先确定除数，再根据商=被除数÷除数，即可求解．详解：∵被除数是﹣312，除数比被除数小112，∴除数为﹣312﹣112=﹣5，∴商为﹣312÷（﹣5）=0.7．故答案为0.7．点睛：本题考查了有理数的除法，解决此题的关键是利用在除法里，商=被除数÷除数．19．若m+1与﹣2互为倒数，则m的值为_____．【答案】-3 2【解析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1可解．【详解】解：根据题意得：（m+1）×（-2）=1，解得m＝−32．故答案为：−32．【点睛】此题考查倒数，解题关键在于掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．20．在-2 、-3 、4、5 中选取2个数相除，则商的最小值是________.【答案】5 2 -【解析】根据同号两数相除为正数，异号两数相除为负数，将每两个异号的数相除，选出商的最小值. 【详解】 解：∵1242，422，2255，5522， 3344，4433，3355，5533， ∴商的最小值为52-. 故答案为：52-. 【点睛】本题考查有理数的除法，掌握除法法则是解答此题的关键.21．若0a <，则aa=______ ． 【答案】-1 【解析】根据绝对值的性质和有理数的除法法则判断即可． 【详解】解：当0a <时，||a a =-，所以，1aa a a -==-． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查化简绝对值和有理数的除法．需理解负数的绝对值是它的相反数和互为相反数的两个数（这两个数不能为0）商为-1．22．若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，且这两个数的积为负数，则在这两个数中，用大数除以小数所得的商是________. 【答案】 -2或-12【详解】试题分析：这两个数的积为负数，则这两个数一正一负，又因一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，则这两个数可能是8和-4，或4和-8.所以大数除以小数所得的商是-2或-12. 试题解析：设|a |=8，|b |=4，则a =8或a =-8，b =4或b =-4. 因为ab <0，所以当a =8时，b =-4，则8-4=-2； 当a =-8时，b =4，则4-8=-12.23．若“！”是一种数学运算符号，1!1=，2!21=⨯，3!321=⨯⨯，4!4321=⨯⨯⨯，…，则 2016!2015!的值为________． 【答案】2016 【解析】根据1!=1，2！=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1…得出规律，就是n!=n×（n-1）×（n-2）×…×1，根据这一规律即可得出答案． 【详解】解：∵1!1=，2!21=⨯，3!321=⨯⨯，4!4321=⨯⨯⨯，…， ∴2016!201620152014120162015!201520141⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯. 故答案为2016. 【点睛】此题考查了有理数的乘除法，解题的关键是根据题意，找出之间的规律，列出式子． 24．一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a 1＝﹣1，a 2＝111a -，a 3＝211a -，…，a n ＝111n a --，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2020＝_____． 【答案】20172【解析】根据题意，可以写出这列数的前几个数，然后即可发现数字的变化特点，从而可以求得所求式子的值． 【详解】 解：由题意可得，11a =-，211112a a ==-， 32121a a ==-， 41a =-，…故上面的数据以1-，12，2为一个循环，依次出现， 131222-++=，202036731÷=⋅⋅⋅， 1232020a a a a ∴+++⋯+111(12)(12)(12)(1)222=-+++-+++⋯+-+++- 3673(1)2=⨯+- 20172=故答案为：20172． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．三、解答题 25．计算（1）(3)(4)(11)(19)-+--+--； （2）523()(12)1234+-⨯-． 【答案】（1）1；（2）－4． 【解析】（1）利用有理数加减混合运算的计算方法计算即可； （2）利用乘法分配律进行简便运算，计算后即可得出结果． 【详解】解：（1）(3)(4)(11)(19)-+--+--(3)(4)(11)19=-+-+-+1819=-+ 1=；（2）523()(12)1234+-⨯- 523(12)(12)(12)1234=⨯-+⨯--⨯- 589=--+ 4=-．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的运算顺序及相关运算法则是解题的关键． 26．用简便方法计算．(1) (114－16－12)÷(－136)； (2) (－191819)×19．【答案】(1) －21；(2)－379 【解析】（1）先将带分数转化为假分数，将除法转化为乘法，再运用乘法分配率分别计算即可； （2）先将181919⎛⎫- ⎪⎝⎭分为12019⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再运用乘法分配率计算即可．【详解】 解：（1）1111146236⎛⎫⎛⎫--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()511=36462⎛⎫--⨯- ⎪⎝⎭()()()511=363636462⨯--⨯--⨯- =45618-++=21-（2）18191919⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭1=201919⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭ 1=20191919-⨯+⨯ =3801-+=379-【点睛】本题考查了有理数乘除运算，熟练掌握乘法运算律是解题的关键．27．计算：（1）1111324⎛⎫-÷÷ ⎪⎝⎭ 110 （2）()374485212⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭ 【答案】（1）43-；（2）19. 【解析】（1）先把括号内通分，先计算括号内的减法，同时把除法转化为乘法，再利用乘法的结合律先计算后两个数的乘法，从而可得答案；（2）利用乘法的分配律把原式化为：()()()3752424244128⎛⎫-⨯-+⨯--⨯- ⎪⎝⎭，再先计算乘法，最后计算加减即可得到答案．【详解】解：（1）1111132410⎛⎫-÷÷ ⎪⎝⎭ 23410665⎛⎫=-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 186⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭4.3=- （2）()374485212⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭()()()3752424244128⎛⎫=-⨯-+⨯--⨯- ⎪⎝⎭()181415=+-+19.=【点睛】本题考查的是有理数的加减乘除的混合运算，同时考查乘法的分配律，掌握利用运算的先后顺序及乘法的分配律是解题的关键．28．某粮店进了一批大米，第一天卖出了13，第二天卖出了1.5吨，已卖的大米占这批大米的一半．这批大米有多少吨？【答案】这批大米有9吨【解析】先求出第二天占整体的部分，然后应用有理数除法法则即可．【详解】 第二天卖出大米占整体的比例：111236-= ∴11.5 1.5696÷=⨯=（吨） 故答案为9吨．【点睛】本题考查了有理数的除法和减法，先求出部分占整体的比例是本题的关键．29．已知a ，b 互为相反数，m ，n 互为倒数，x 绝对值为1，求2a b mn x m n+-+--值． 【答案】3-或1-【解析】根据相反数、倒数的定义，可知a ＋b ＝0，mn ＝1，将它们代入，即可求出结果．【详解】∵a 、b 互为相反数，∴a ＋b ＝0；∵m 、n 互为倒数，∴mn ＝1；∵x 的绝对值为1，∴x ＝±1．①当x ＝1时，原式＝−2＋0−1＝−3；②当x ＝−1时，原式＝−2＋0＋1＝-1．【点睛】本题主要考查相反数、倒数及绝对值的计算，掌握互为相反数的两数的和为0、互为倒数的两数积为1是解题的关键．30．某粮库一周前存有粮食100吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）（1）通过计算，说明本周内哪天粮库剩下的粮食最多？（2）若运进的粮食为购进的，购买价为4000元/吨，运出的粮食为卖出的，卖出价为4600元/吨，则这一周的利润为多少？（3）若每周平均进出的粮食数量大致相同，问：再过几周粮库存粮食达到200吨？【答案】（1）本周星期一的剩下的粮食最多，为135吨；（2）14000元；（3）9周．【解析】（1）理解“+”表示进库“-”表示出库，求出每天的情况即可求解，（2）这一周的利润=卖出的钱数-购买的钱数，依此列式计算即可求解；（3）由200吨减去本周的粮食数量110吨，再根据每周的进出粮食的数量为+10吨，列式计算即可求解．【详解】解：（1）星期一：()100++35=135，星期二：()135+20115,-=星期三：()115+3085,-=星期四：()85++25=110，星期五：()110+2486,-=星期六：()8640126,++=星期天：()126+16110,-=所以本周星期一的剩下的粮食最多，为135吨．（2）由题意得：购进的粮食有：35+25+40=100（吨），卖出的粮食有：2030241690+++=（吨），所以：这一周的利润：460090400010014000⨯-⨯=（元）．（3）由题意得：()()200110100909,-÷-=所以再过9周粮库存粮食达到200吨．【点睛】本题考查的是正负数的实际应用，同时考查了有理数的加减运算，有理数的乘除运算，掌握以上知识是解题的关键．31．观察下列等式112⨯＝1﹣12，123⨯＝12﹣13，134⨯＝13﹣14，将以上三个等式两边分别相加得112⨯+123⨯+134⨯＝1﹣12+12﹣13+13﹣14＝1﹣14＝34． （1）猜想并写出1(1)n n =+ ； （2）112⨯+123⨯+134⨯+…+120162017⨯＝ ； （3）探究并计算：111124466820162018++++⨯⨯⨯⨯； （4）计算：11111111141224406084112144180++++++++． 【答案】（1）111n n -+；（2）20162017；（3）2521009；（4）920． 【解析】（1）观察已知等式，进行归纳类推即可得；（2）根据（1）中的猜想进行计算即可得；（3）先根据乘法分配律提取14，再参照（2）进行计算即可得； （4）先根据乘法分配律提取12，再参照（2）进行计算即可得． 【详解】（1）111122=-⨯， 1112323=-⨯， 1113434=-⨯， 归纳类推得：111(1)1n n n n =-++， 故答案为：111n n -+； （2）111112233420162017， 111111112233420162017=-+-+-++-， 112017=-， 20162017=， 故答案为：20162017； （3）111124466820162018++++⨯⨯⨯⨯， 11111412233410081009⎛⎫=⨯+++⋯+ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭， 11111111223143410081009-+-+-+⎛⎫=⨯ ⎪⎝+-⎭， 11141009⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭， 1100841009=⨯， 2521009=； （4）11111111141224406084112144180++++++++， 111111111203012261245292607⎛⎫++++++++ ⎪⎝⨯⎭=，111112122334910⎛⎫=⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭， 111111112223490131-+-+-⎛++⎫=⨯ ⎪⎝-⎭， 111210⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭， 19210=⨯， 920=． 【点睛】本题考查了有理数乘法与加减法的规律性问题，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 32．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”.（提出问题）两个有理数a 、b 满足ab ＞0，求a a b b+ （解答问题）解：由题意得：a ，b 两个有理数都为正数或两个有理数都为负数①a ，b 两个都是正数，即a ＞0，b ＞0，时，则 a a b b +=a b a b +=1+1=2 ②当a ，b 两个都是负数，即a ＜0，b ＜0，时a a b b +=(1)(1)2a b a b --+=-+-=-，所以a a b b + =2或-2 （探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）两个有理数a ，b 满足ab ＜0，求a a b b+ （2）已知|a|=3，|b|=1，且a ＜b ，求a+b 的值．【答案】（1）0；（2）-2或-4【解析】（1）根据题意因为ab ＜0，可分两种情况，①当a ＞0，b ＜0；②当b ＞0，a ＜0，进而得出答案；（2）根据绝对值的意义，先计算出a=±3，b=±1，根据条件a ＜b 求解即可得出答案． 【详解】解：∵ab＜0，∴ a、b异号，①当a＞0，b＜0时，则||||110;+=-= a ba b②当b＞0，a＜0，则||||-1+10;+== a ba b∴aabb+的值为0（2）∵|a|=3，|b|=1，∴a=±3，b=±1，又∵a＜b，∴①a=-3，b=1，则a+b=-3+1=-2，②a=-3，b=-1，则a+b=-3+（-1）=-4，∴a+b的值为：-2或-4【点睛】本题主要考查了绝对值的意义及有理数加减乘除运算，正确分类讨论是解题关键．。
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2.3 有理数的乘法(二)
一、教学目标
1、经历探索有理数乘法的运算律的过程，发展学生观察、归纳等能力。
2、理解并掌握有理数乘法的运算律：乘法交换律、乘法结合律、分配律。
3、能运用乘法运算律简化计算，进一步提高学生的运算能力。
二、教学重点、难点
重点：乘法的运算律
难点：灵活运用乘法的运算律简化运算。.
三、教学过程
（一）回顾复习，引入课题
1、计算：6561 5113212 (3)(－4)×7×0 2161.031104
你能说出各题的解答根据吗？叙述有理数的乘法运算的法则是什么？多个不为0的有
理数相乘，积的符号怎样确定？
有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与0相乘，积
为0。
几个不等于0的因数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积的符
号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正。只要有一个因数为0，积就为0。
2、学生练习：简便计算,并回答根据什么？
（1）125×0.05×8×40（小学数学乘法的交换律和结合律.）
(2)361276595321（小学数学的分配律）
3、上题变为（1）（－0.125）×（－0.05）×8×（－40）
(2)361276595321
能否简便计算？也就是小学数学的乘法交换律和结合律、分配律在有理数范围内能否使
用？
[引出课题：有理数的乘法(二)]
（二）交流对话，探索新知
4、多媒体显示：学生练习：计算下列各题：
（1）（－5）×2；
（2）2×（－5）；
（3）[2×（－3）]×（－4）；
（4）2×[（－3）×（－4）]
（5）3123；
（6）31323
在进行加、减、乘的混合运算时，应注意：有括号时，要先算括号里面的数，没有括号
时，先算乘法，后算加减。
比较的结果.：(1)与(2)；(3)与(4)；(5)与(6)的计算结果一样.
计算结果一样，说明了什么？
生：说明算式相等。即：（1）（－5）×2=2×（－5）；
（2）[2×（－3）]×（－4）=2×[（－3）×（－4）]；
（3）3123=31323
由(1)，我们可以得到乘法交换律；由(2)，可以得到乘法结合律；由(3)，可以得到分配律。
师：乘法的运算律在有理数范围内还成立吗？大家每人写一些不同的数据来试一试。（学生活
动。）
乘法的运算律在有理数范围内成立。
5、这节课我们探讨的乘法运算律在有理数运算中的应用。我们首先要知道乘法运算律有哪几
条？能用文字叙述吗？
乘法运算律有：乘法的交换律、乘法的结合律、分配律等三条.
多媒体显示：乘法的交换律.：两个数相乘，交换因数的位置，积不变；
乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积
不变；
分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两数相乘，再把积
相加。
乘法的交换律和结合律仅涉及一种运算，分配律要涉及两种运算。
你能用字母表示乘法的交换律、结合律，分配律吗？
如果a、b、c分别表示任一有理数，那么：
乘法的交换律：a×b=b×a.
乘法的结合律：(a×b)×c=a×(b×c)
分配律:a×(b+c)=a×b+a×c
练习：多媒体显示 下列各式中用了哪条运算律？如何用字母表示？
（1）（－5）×3＝3×（－5）
(2)［－325+736］+(－729)=(－325)+［736+(－729)］
(3)(－6)×［32+(－21)］=(－6)×32+(－6)×(－21)
（4）［29×(－65)］×(－12)=29×［(－65)×(－12)］
（5）（－8）+(－9)=(－9)+(－8) （ 答案多媒体显示，略）
运算律在计算中起到了简化运算的作用.那我们看刚才做的5个题中，计算等号右边比
较简便还是计算等号左边比较简便？（略）
6、新知应用 乘法的运算律在有理数运算中的应用
例1、简便计算（1）（－0.125）×（－0.05）×8×（－40）
(2) 361276595321
师生共析（1）题先确定符号，再算绝对值；先用乘法的交换律，然后用结合律进行计算。
(2)题用分配律。运用运算律，有时可使运算简便。
解：（1）（－0.125）×（－0.05）×8×（－40）
=－0.125×0.05×8×40
=－0.125×8×0.05×8×40 (乘法的交换律)
=－(0.125×8)×(0.05×40 ) (乘法的结合律)
=－1×2=—2
(2) 361276595321
=36127366536953633621 （分配律）
=－18+108+20-30+21
=149－48=101
例2、计算
（1）653712 311.01062
543221303
1299.44
分析：（1）（2）用乘法的交换、结合律；（3）（4）用分配律，4.99写成5－0.01
学生板书完成，并说明根据什么？略
例3、某校体育器材室共有60个篮球。一天课外活动，有3个班级分别计划借篮球总数的21，
3
1
和41。请你算一算，这60个篮球够借吗？如果够了，还多几个篮球？如果不够，还缺几个？
解：
416031602
1
60160413121160
=60－30－20－15 =－5
答：不够借，还缺5个篮球。
练习巩固：第41页1、2、
7、探究活动 （1）如果2个数的积为负数，那么这2个数中有几个负数？如果3个数的积为
负数，那么这3个数中有几个负数？4个数呢？5个数呢？6个数呢？有什么规律？
（2）逆用分配律 第42页 5、用简便方法计算
（三）课堂小结
通过本节课的学习，大家学会了什么？
本节课我们探讨了有理数乘法的运算律及其应用.
乘法的运算律有：乘法交换律：a×b=b×a；乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c);
分配律：a×(b+c)=a×b+a×c.
在有理数的运算中，灵活运用运算律可以简化运算.
（四）作业：课本42页作业题
乐成二中 陈也已