第三节确定应力强度因子叠加法及组合法(计)-2008

第三章确定应力强度因子叠加法及组合法
第1节概述
1、应力强度因子求解的重要性
应力强度因子是线弹性条件下计算带裂纹结构剩余强度和裂纹扩展寿命必不可少的基本控制参量。

由于应力强度因子在裂纹体分析中的中心地位，它的求解自断裂力学问世以来就受到了高度的重视，迄今为止，已经产生了众多的方法。

应力强度因子与裂纹几何和荷载形式有关，两者的组合可以派生出许多种情况，从而使应力强度因子的求解变得很复杂。

2、常用应力强度因子求解方法
常用的应力强度因子计算方法有两大类：
一)理论计算方法
1）解析法
复变函数法、保角变换法等
特点：计算精确，但适用范围窄
2)数值法
有限元素法、边界元法、无网格法等
特点：适用范围宽，但计算效率较差
3)半解析—半数值方法
边界配置法等
特点：适用范围比解析法宽，计算效率比数值法高
二) 实验方法
电阻应变片法、光弹性法、全息干涉法、散斑干涉法等
3、应力强度因子一般描述形式
应力强度因子可以描述为：
K a
=βσπ3-1-1
I
式中, σ是远离裂纹处的名义应力, a是裂纹尺寸。

因子β是裂纹几何形状、结构几何形状载荷形式以及边界条件等的函数, β是无量纲的。

对于无限大板, 中心穿透裂纹, 远处均匀受拉（单向或双向），应力强度因子为:
=σπ3-1-2
K a
I
其中a为半裂纹长度。

即在此情况下, β=1, 从而, 可以将β看作是一修正系数, 它使实际应力强度因子与无限大板的中心裂纹有关。

第2节叠加法
1、叠加原理
由于线弹性断裂力学方法建立在弹性基础上, 故可用线性累加每种类型载荷所产生的应力强度因子来确定一种以上的载荷对裂纹尖端应力场的影响。

在相同几何形状的情况下, 累加应力强度因子解的过程称为叠加原理。

造成同一开裂方式的应力强度因子求和过程的唯一限制是应力强度因子必须以相同的几何形状(包括裂纹几何形状)为前提。

——如果结构在几种或者特殊荷载作用下，产生了复合裂纹，则各型应力强度因子是在将荷载分解后各型裂纹问题的应力强度因子本身的叠加。

例3-2-1:
=+
组合载荷 = 轴向载荷 + 弯曲载荷
K = K
+ K M
P
图3-2-1 叠加法示意
例3-2-2:
=
+
-
图3-2-2 叠加法示意图
A D K K =
()C B A K K K +=
2
1
例3-2-3:
=
=
+
图3-2-3 叠加法示意图
图3-2-3中结构元件B与结构元件A完全相同; 裂纹闭合应力恰好抵消沿该线的远处应力的影响, 因此结构元件B仍然始终承受均匀拉伸。

结构元件B可进一步分解成结构元件C和D。

注意到结构A为无裂纹体, 有
K
A =0, 即K K
C D
+=0, K K
D C
=-, 这里元件D上所示的裂纹加载应力是裂纹
闭合应力, 因此得到的应力强度因子是远处加载情况下应力强度因子的负值。

图3-2-4 叠加法示意图
如将图D中作用在裂纹面的分布载荷改变方向图3-2-4所示, 则有
K K
E C
=。

2、应力场叠加原理
如图3-2-5所示，在复杂外力作用下, 裂纹尖端的K I 等于没有外力作用, 但在裂纹表面上反向作用着无裂纹时外力在裂纹所在处产生的内应力所导致的K I 。

=
+
图3-2-5 应力场叠加法示意图
C A K K
例
3-2-4:
=
+
图3-2-6 叠加法示意图
这里, ()x
σ为P载荷下无裂纹结构假想裂纹处的应力分布, 则
=
K K
A C
在应用叠加原理求解应力强度因子时, 下列两点是值得注意的:
(1) 只允许对同一开裂类型, 同一含裂纹几何体的K作叠加;
(2) 负值的应力强度因子只有在它能抵消正值的应力强度因子这点上才有意义。

第3节 Green 函数法
1、点载荷作用下的基本解
图3-3-1所示,无限大板,中心裂纹, 裂纹面上一对集中载荷作用, 其应力强度因子解为:
b
a b
a a
B P K I -+=
π1
图3-3-1 Green 函数法示意图
2、裂纹面分布应力作用的应力强度因子
根据应力强度因子的可叠加性, 且基于裂纹问题的点载荷解, 单位厚度点载荷()B P /可用应力()()x σ与其作用的距离()dx 的乘积来代替。

可见这个
解可用来求裂纹面分布应力的应力强度因子。

作用在图3-3-2所示裂纹上分布应力的应力强度因子为:
x
图3-3-2 Green 函数法示意图
()⎰--+=a
a
x a x
a a
dx x K πσ (3-3-1) 一般形式:
()()dx a x G x a
K a
,1
⋅=
⎰σπ (3-3-2)
例3-3-1: 图3-3-2情况, 已知()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++++-+=222221411)(L x L k k k L x PL x πσ, 求K I 。

k =
-+31ν
ν
（平面应力） =-34ν （平面应变） 解:
()dx x x a x a x a x a a K a
I ⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+-+=01σπ 2
3
22
221131-
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=
a L a L k k a
P π
第4节组合法
1、问题的提出
组合法适用于复杂几何边界情况的裂纹问题的应力强度因子的求解。

组合法是将复杂几何边界情况的裂纹体裂尖应力强度因子分解为各个简单几何边界的问题，这些简单的问题可以从应力强度因子手册或其它文献中获得解答。

工程中常用的有两种形式的组合法，即加法式组合及乘法式组合。

2 基本思路
乘法式组合法的基本思路是：对于承受某种载荷（简单或复杂）的复杂边界情况的问题，可以把它分解成承受相同载荷的数个简单几何边界情况的解的组合，各种边界情况之间的偶合效应用相乘的形式表现出来。

这种方法通常也称为连乘式组合法。

连乘式组合法在工程上的应用更为方便和广泛。

——对各种几何条件在给定载荷下的修正系数, 可以以乘积的形式组合, 以便增大或减小应力强度因子。

3、求解步骤
例3-4-2
图3-4-1所示的结构为中央有一个孔边穿透裂纹的有限宽无限长板条，板两端承受弯矩M。

求裂尖应力强度因子。

解分析这里有两个因素影响应力强度因子，即有限宽度及圆孔，用组合法求解应力强度因子分两步完成。

第一步是进行图3-4-2所示的分解，其中含中心裂纹的无限大板在无限远处承受弯矩M及集中力P以及含孔边裂纹的有限宽板条承受集中力P的应力强度因子均有已知解。

第二步如图3-4-3所示由类比分解求得该结构的应力强度因子。

M
图3-4-1 乘法式组合示意图
M M
≈
图3-4-2乘法式组合示意图
M M
≈/
A B C D
图3-4-3乘法式组合示意图
A——有限宽，孔边单裂纹，受弯（待求）
B——有限宽，孔边单裂纹，受拉（已知）
C——无限宽，中心裂纹，受弯（已知）
D——无限宽，中心裂纹，受拉（已知）
C
D
B
A
K
K
K
K⋅
==C K⋅β(β体现孔及宽度的修正)
更一般情况：
第一步：
E——无限宽，孔边单裂纹，受弯（待求）
F——无限宽，孔边单裂纹，受拉（已知）
G——无限宽，中心裂纹，受弯（已知）
H——无限宽，中心裂纹，受拉（已知）
H
F
G
E
K
K
K
K
=
G G H
F E K K K K K 1β=⋅= (1β体现孔边界影响) 第二步：
A ——有限宽，孔边单裂纹，受弯（待求）
K ——有限宽，孔边单裂纹，受拉（已知）
L ——无限宽，孔边单裂纹，受弯（已知）
M ——无限宽，孔边单裂纹，受拉（已知）
M
K L A K K K K = L L M
K A K K K K K ⋅==2β(2β体现宽度修正) G E K K 212βββ==
组合法为克服复杂边界应力强度因子求解困难提供了一种工程近似解法，它利用已知的较简单的几何形体的应力强度因子解，通过合理的组合，求解复杂几何形体的裂纹应力强度因子，这种方法简单易行，求解迅速，在大多数情况下，这种解法的误差在工程可接受的范围内。

注意: 组合主要考虑的是不同边界影响, 未考虑不同载荷等因素。