点的运动轨迹
描述运动轨迹
描述运动轨迹1. 引言运动轨迹是指物体在运动过程中所经过的路径。
描述运动轨迹是物理学中的一个重要内容，通过对物体运动轨迹的观察和分析，可以揭示物体的运动规律和性质。
本文将从运动轨迹的定义、描述方法、实例分析等方面进行详细阐述。
2. 运动轨迹的定义运动轨迹是指物体在运动过程中所经过的路径。
它可以是一条直线、曲线，也可以是一个封闭的曲线或者一个点。
运动轨迹的形状和特点与物体的运动方式密切相关，不同的运动方式会呈现出不同的运动轨迹。
3. 运动轨迹的描述方法3.1 几何描述法几何描述法是最直观、常用的一种描述运动轨迹的方法。
它通过绘制物体在不同时刻所处位置的矢量图或者示意图来描述运动轨迹。
在二维空间中，可以使用坐标系来表示物体的位置，通过将物体的位置连接起来，就可以得到物体的运动轨迹。
在三维空间中，可以使用三维坐标系来描述物体的位置和运动轨迹。
3.2 数学描述法数学描述法是一种更精确、更抽象的描述运动轨迹的方法。
它通过数学方程或者参数方程来描述物体的位置和运动轨迹。
对于直线运动，可以使用一次函数来描述运动轨迹；对于曲线运动，可以使用二次函数、三次函数或者更高次的函数来描述运动轨迹。
数学描述法可以更准确地揭示物体的运动规律和性质，但需要一定的数学基础。
3.3 实验测量法实验测量法是一种通过实验来测量和描述运动轨迹的方法。
它通过使用测量仪器和设备来记录物体在不同时刻的位置和运动轨迹。
常用的实验测量方法包括使用摄像机记录物体的运动、使用传感器测量物体的位置等。
实验测量法可以获得较为准确的运动轨迹数据，但需要一定的实验设备和技术支持。
4. 运动轨迹的实例分析4.1 直线运动轨迹直线运动是最简单的一种运动方式，它的运动轨迹是一条直线。
例如，一个小球从斜面上滚下来的运动轨迹就是一条直线。
在几何描述法中，可以通过在坐标系中标出小球在不同时刻的位置来描述运动轨迹；在数学描述法中，可以使用一次函数来描述小球的位置随时间的变化关系。
工程力学-弧坐标系中研究点的运动
y
O
v
an
O1
a
M at
M0
B x
at v s 2R2 Asin t
an
v2
4R2 2 A2
R
cos2 t
4R 2 A2
cos2 t
v 2RAcostet
a at an
12
例1.4 半径r的车轮在直线轨道上纯滚动(滚而不滑)， 已知轮心A的速度为常矢量 u ，求轮缘上一点M
的轨迹、速度、加速度、轨迹曲率半径。
y
Au
根据纯滚动的条件： 轮心A的坐标：
M
xA=OC= MC=ut
O
C
x 轮子转过的角度：
= MC/r = ut / r= xA/ r 即 xA r
选择 为广义坐标（也可选xA）。
点M运
xM
OC r sin
ut r sin ut r
动方程
yM
AC r cos
vB ——B点的速度
38
rB
O
B
vBA
B
rrABvAvABAvABvA以B BvvB为vvABA基A关以(点3A于)两为((21v基)点)指Bv点ABv速A向(BBA的的度与相方大关对向的小系于：转：式A垂向的vvB直一BA速=于致度vAA。)A B应B连v注B线A意，中：
vBA表示以A为基点时B点相对于
(1.15)
et
eb
en
en
lim
S0 S
d dS
(1.17)
可视为副法线 eb 绕切线 et 的转角
5
已知对单位矢量 a ：
da d a
对自然轴系的活动标架，有：
理论力学 第一章 点的运动学
已知速度的投影求速度
大小
v v v v
2 x 2 y
2 z
方向由方向余弦确定
cosv , i v x v cosv , j v y v cosv , k v z v
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§ 1.1点的运动矢量分析方法
加
速
度
t 瞬时: 速度 v(t) t＋ t 瞬时:速度 v(t ＋ t ) 或v
t 时间间隔内速度的改变量
v ( t ) ＝ v ( t ＋ t ) － v( t )
点在 t 瞬时的加速度
§ 1.2 点的运动的直角坐标法
加速度
a ax i a y j az k
dv x d 2 x ax 2 dt dt dv y d 2 y ay 2 dt dt dv z d 2 z az 2 dt dt
dv y dv x dv z d2 y d2x d2z a i j k 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt dt dt
方 cosa, i a x a, 向 cosa, j a y a, 余 弦 cosa, k a z a
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§1.3 点的运动的自然坐标法
在点的运动轨迹已知的情况下，可建立弧
坐标和自然轴系来描述该点的运动，这种方
点的切线所组成的 平面，称为P点的密 切面。
P P
lim a1 a
理论力学第5章(点的运动)
(2) 运动学: 研究点与刚体运动的几何性质。
包括位移、轨迹、速度、加速度。 (与力无关、也是变形体运动基础)
A B
F
C
B
刚体运动
C
变形(包含刚体位移和相对位移)
(3) 动力学: 研究物体所受力与运动间的关系。
包括质点系、刚体，变形体的动力效应。
第五章 点的运动学
§5-1 运动学的基本概念
速度
已知： OC AC BC l , MC a , t。 求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
x l a cost ax v x 2 a y vy y l a sin t
2
加速度
a a a
F ( x, y) 0
二、点的速度v
又
r = xi + yj + zk
式中 v x 所以得
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt v = vx i + vy j + vz k
、v y
、v z
vx
dx dt
v
表明：“动点的速度在坐标轴上的投影，等于动点对应的位置 坐标对时间 t 的一阶导数”。 则速度的大小和方向余弦为
弧坐标的运动方程sf切向加速度表示速度大小的变化三点的加速度法向加速度表示速度方向的变化匀速运动v常数常数常数匀变速直线运动匀速圆周运动匀速直线运动或静止直线运动匀速运动圆周运动匀速运动直线运动匀速曲线运动匀变速曲线运动点作曲线运动画出下列情况下点的加速度方向
(1) 静力学: 研究物体所受力系的简化、平衡规律及其应用。
△r称为在△t时间内动点M的位移。
间间隔△t内的平均速度。以 v*表示。则： Δr v Δt 平均速度表示动点在△t内平均运动的快慢和运动方向。
初中数学动点问题归纳
初中数学动点问题归纳动点问题是数学中常见的问题类型之一，它涉及到点在一定规律下的运动轨迹及相关的计算。
在初中数学学习过程中，学生们大多会接触到动点问题，并掌握解决此类问题的方法和技巧。
本文将对初中数学动点问题进行归纳总结，帮助初中学生更好地理解和解决这类问题。
1. 直线运动问题直线运动问题是最基本的动点问题之一。
在这类问题中，点按照直线路径运动，常涉及到时间、距离和速度的关系。
解决直线运动问题时，可以使用速度等于位移除以时间的公式来计算，即 v = s/t。
例子1：小明从家里骑自行车到学校，全程15公里，用时1小时。
求小明的平均速度。
解析：根据公式，平均速度 v = s/t = 15/1 = 15 km/h例子2：小红开车从A市到B市，全程200公里，平均时速60km/h。
求小红从A市到B市的行驶时间。
解析：根据公式，时间 t = s/v = 200/60 = 3.33 小时≈ 3小时20分2. 圆周运动问题圆周运动问题中，点按照圆形轨迹运动。
这类问题通常涉及到半径、圆周长和角度的计算与关系。
解决圆周运动问题时，需要掌握圆周长的计算公式，即 c = 2πr，其中 r 为半径。
例子1：一个半径为5米的圆，它的周长是多少？解析：根据公式，周长c = 2πr = 2 × 3.14 × 5 ≈ 31.4米例子2：一辆汽车在圆形赛道上行驶，赛道半径为100米，驾驶员开车一圈需要用时50秒。
求汽车的平均速度。
解析：首先计算圆周长c = 2πr = 2 × 3.14 × 100 = 628米然后计算平均速度v = c/t = 628/50 ≈ 12.56 m/s3. 直角三角形运动问题直角三角形运动问题是指点在直角三角形内运动，涉及到时间、速度和直角三角形边长的关系。
解决直角三角形运动问题时，可以利用勾股定理或三角函数来计算相关的未知量。
例子1：一个直角三角形的两条边长分别为3米和4米，角度为90度。
理论力学-点的运动学
7
三. 点的加速度
a dv dvx i dvy j dvz k dt dt dt dt
d2 x i
dt2
d2 y dt2
j
d2 z k
dt2
axi
ay
j
azk
a ax2 ay2 az2
cos(a, i
)
ax
,
a
[注] 这里的 x、y、z 都是时间单位连续函数。
x f1(t)
11
加速度的大小为
a
a
2 x
a
2 y
2
(l a)2 cos2 t (l a)2 sin2 t
2 l2 a2 2al cos 2t
加速度的方向余弦为
cos(a，i) ax a
cos(a，j) ay a
（l a）cost l2 a2 2al cos 2t
（l a）sint l2 a2 2al cos 2t
dt dt
dt
dt dt2
dt
① 切向加速度 a
——表示速度大小的变化
a
dv τ dt
d2 dt
s
2
τ
② 法向加速度 an ——表示速度方向的变化
an
vdτ dt
v lim Δ τ Δt0 Δ t
v lim (Δ τ Δt0 Δ s
Δ s) Δt
v2 lim Δ τ Δt0 Δ s
(lim Δ s d s v) Δt0 Δ t d t
1
即an
v2 n，
a a2 an2 ,
a
a arctg
2
an |a | an
dv dt
τ
v2
n
16
点的运动教案
a 成正比 方向指向轴心
M
36
§6–3转动刚体内各点的速度和加速度
一 转动刚体内各点的速度和加速度的计算
2 加速度计算逆运算
at
dv dt
d dt
(R)
R
d
dt
R
an
v2
( R ) 2
R
R 2
A
加速转动的刚体，已知其上
一点A的切向加速度
O
判断 角加速度的转向 计算角加速度的大小
❖ 2 在车轮上观察得到的点的运动轨迹? P147例5-6
❖
运动的相对性
24
习题 P 153-154 5-4 注意：1 坐标原点选在固定的点
2 动点选在一般位置
25
§ 5-3 自然法
应用的场合以及如何应用？ 1 运动方程 ？速度如何计算？ 2 加速度如何计算？ 一 弧坐标
O (+)
s
M (-)
s f (t)
dt dt
d
dt
vA 各点速度的大小与该点
vD D
A 到轴心的距离成正比
vB 速度的方向垂直于该点到
O
轴心的连线，指向图形
B 转动的一方。
34
§7–3转动刚体内各点的速度和加速度
一 转动刚体内各点的速度和加速度的计算 速度计算的逆运算
v ds R d R
dt dt
vB OB
vB
8 刚体绕定轴转动时，其上各点的加速度大小 与点到轴心的距离成正比例关系。
A
B
O
66
判断题 9 平面直角折杆绕定轴转动，其中OA=L AB=a 则B点的速度与AB垂直 大小等于角速度与AB长 度的乘积
怎么理解点动成线,线动成面,面动成体
怎么理解点动成线，线动成面，面动成体本文主要介绍了点动成线，线动成面，面动成体的概念及其在几何学中的应用。
下面是本店铺为大家精心编写的5篇《怎么理解点动成线，线动成面，面动成体》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《怎么理解点动成线，线动成面，面动成体》篇1在几何学中，点、线、面、体是最基本的概念。
它们之间的关系可以用“点动成线，线动成面，面动成体”来概括。
点动成线。
一个点在空间中移动，留下的轨迹是一条线。
这条线可以看做是由无数个点组成的，每个点都和它相邻的点连接起来，形成了一条连续的曲线。
因此，我们可以说，点通过运动成为了一条线。
线动成面。
一条线在空间中移动，留下的轨迹是一个平面。
这个平面可以看做是由无数个线段组成的，每个线段都和它相邻的线段连接起来，形成了一个连续的曲面。
因此，我们可以说，线通过运动成为了一个面。
面动成体。
一个平面在空间中移动，留下的轨迹是一个立体。
这个立体可以看做是由无数个平面组成的，每个平面都和它相邻的平面连接起来，形成了一个连续的立体。
因此，我们可以说，面通过运动成为了一个体。
点动成线，线动成面，面动成体是几何学中最基本的运动规律。
在实际应用中，这些规律可以用来描述很多物理现象，比如流体力学、材料科学、机器人学等等。
《怎么理解点动成线，线动成面，面动成体》篇2"点动成线，线动成面，面动成体"是一种描述物体几何形态演变的规律，它表达了从点、线、面到体的递进关系。
这个规律在几何学、物理学、计算机图形学等领域都有应用。
具体来说，"点动成线"指的是一个点在空间中运动，留下的轨迹是一条线。
线可以看作是一维的图形，由无数个点组成，可以延伸无限远。
线分为射线、线段和直线三种，其中射线和直线都是无限延伸的，而线段则只有有限的长度。
"线动成面"指的是一条线在空间中运动，留下的轨迹是一个平面。
面可以看作是二维的图形，由无数个线组成，可以延伸无限远。
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点的运动轨迹
在日常生活中，我们经常看到各种不同的点在空间中运动，它们的运动轨迹各不相同，引起了我们的好奇心。
本文将以点的运动轨迹为题，介绍几种常见的运动轨迹。
一、直线运动
直线运动是最简单的一种运动轨迹，也是我们最常见的一种运动形式。
当一个点沿着一条直线运动时，它的轨迹就是一条直线。
比如我们在马路上看到的汽车行驶的轨迹，就是一条直线。
此外，我们还可以通过绘制两点之间的连线来模拟点的直线运动轨迹。
二、圆周运动
圆周运动是另一种常见的运动轨迹。
当一个点围绕着一个固定的中心点做匀速圆周运动时，它的轨迹就是一个圆。
比如地球绕太阳运动的轨迹就是一个近似的圆。
此外，我们还可以通过绘制一系列等距离的点来模拟点的圆周运动轨迹。
三、抛物线运动
抛物线运动是一种曲线运动，它的轨迹形状像一个抛物线。
当一个点在重力的作用下，以一个初始速度在水平方向上做抛体运动时，它的轨迹就是一个抛物线。
比如我们在体育课上投掷实验中看到的抛物线运动，就是一个典型的例子。
此外，我们还可以通过绘制一
系列位置随时间变化的点来模拟点的抛物线运动轨迹。
四、椭圆运动
椭圆运动是一种更加复杂的曲线运动，它的轨迹形状像一个椭圆。
当一个点围绕着两个焦点之间的直线做匀速运动时，它的轨迹就是一个椭圆。
比如地球绕太阳运动的轨迹就是一个近似的椭圆。
此外，我们还可以通过绘制一系列位置随时间变化的点来模拟点的椭圆运动轨迹。
五、螺旋运动
螺旋运动是一种非常有趣的运动形式，它的轨迹形状像一个螺旋。
当一个点同时绕着一个中心点做圆周运动，并且沿着轴向移动时，它的轨迹就是一个螺旋。
比如我们在螺旋桨上看到的螺旋运动，就是一个典型的例子。
此外，我们还可以通过绘制一系列位置随时间变化的点来模拟点的螺旋运动轨迹。
六、随机运动
除了以上几种规则的运动轨迹外，我们还可以遇到一些无规则的运动轨迹，这种运动被称为随机运动。
当一个点在空间中没有任何规律地运动时，它的轨迹就是一个随机的路径。
比如我们看到的飞蛾在夜晚灯光下的飞行轨迹，就是一个典型的随机运动。
此外，我们还可以通过模拟随机数的生成来模拟点的随机运动轨迹。
总结起来，点的运动轨迹有直线运动、圆周运动、抛物线运动、椭圆运动、螺旋运动和随机运动等几种形式。
这些运动轨迹在物理学、数学以及日常生活中都有广泛的应用，对我们理解运动的规律和现象具有重要意义。
通过研究和模拟这些运动轨迹，我们可以更好地理解和利用运动的规律，为科学研究和工程应用提供重要的基础。