北师大版九年级数学下册课件：3.3垂径定理(共17张PPT)
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九年级数学下册(北师大版)课件 3.3 垂径定理
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北师大版九年级下册数学《垂径定理》圆PPT课件
则DC的长为（ D）
A．5cm B．2.5cm C．2cm D．1cm
O
D
A
B
C
3.9 弧长及扇形的面积
复习旧知
1.已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？
C=2πR
S=π
2.什么叫圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角
情境导入
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm. （1）转动轮转一周，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
20πcm
A
（2）转动轮转1°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
cm
新知讲解
（3）转动轮转n°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米? A
归纳总结
O n°
2πR
πR
1°的圆心角所对的弧长是_3_6__0___,即_1_8__0__．
弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l=
nπR 180
新知讲解
注意：(1)用弧长公式l= 进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆 心角的倍数，它是不带单位的. (2)区分弧、弧的度数、弧长三个概念．度数相等的弧，弧长不一定相等， 弧长相等的弧也不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．
①CD是直径 ②CD⊥AB
可推得
③AM=BM, ④AC=BC, ⑤AD=BD,
新知探究
理 由： 连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
新知探究
2 . 如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过 点M.并且AM=BM.
3.3+垂径定理++课件++2023—2024学年北师大版数学九年级下册
弦，观察一下，还有与刚才类似的结论吗？
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求 证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢？ 斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂 线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求 证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢？ 斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂 线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
垂径定理课件北师大版九年级下册数学
预习导学
2.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所
对的另一条弧.
3.圆的两条平行弦所夹的弧相等.
预习导学
1.如图，AB是☉O的弦，OC⊥AB于C.若AB＝8，OC＝3，则
半径OB的长为( C )
A.3
B.4
C.5
D.10
预习导学
2.如图，☉O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，则
第三章 圆
3 *垂径定理
素养目标
1.会运用圆的对称性探究垂径定理，并会运用垂径定理解决
相应问题.
2.知道垂径定理的逆定理并会运用它解决问题.
◎重点:知道垂径定理和逆定理及其应用.
预习导学
你知道赵州桥吗？它修建于隋朝，距今已有1360多年的历
史.这座石拱桥是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆
合作探究
解:OC＝OD.理由如下:如图，过点O作OE⊥AB于E，则AE
＝BE，
又∵AC＝BD，∴CE＝DE.∴OE是CD的中垂线，∴OC＝
OD.
合作探究
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为
更换管道，需确定管道的半径，如图，这是水平放置的破裂管
道有水部分的截面.维修人员测得这个输水管道有水部分的水面
(1)条件中的“弦”可以是直径.(2)结论中的“平分弧”指
平分弦所对的劣弧、优弧.
预习导学
垂径定理的逆定理
阅读教材本课时“想一想”及其后面的内容，并回答问题.
平分弦(不是直径)的直径 垂直于弦 ，并且
平分 弦
所及垂径定理还有如下结
论:
1.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
求的点.
合作探究
3.3 垂径定理 课件 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册
*3.3 垂径定理
续表
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线（线段），其 本质是“过圆心”； 特别提醒 （2）“平分弦所对的两条弧”是指既平分弦所对的优弧（如图中的
），又平分弦所对的劣弧（如图中的 ）
-2-
*3.3 垂径定理
2. 垂径定理的推论
文字描述 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 如图，直径 CD 与非直径的弦 AB
的是 （ ）
A. CM=DM B.
C. ∠ACD=∠ADC D. OM=MB
（第 1 题图）
（第 2 题图）
2. 如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，
则 ON= （ ）
A． 5
B． 7
C． 9
D． 11
-1-
*3.3 垂径定理
3.（教材 P76，习题 T2 变式）如图，AE 是⊙O 的直径，半径 OD 垂直于 弦 AB，垂足为 C，AB=8 cm，CD=2 cm，求 BE 的长．
∴AN= AB=12， 在 Rt△AON 中， ∵AO=13，∴ON=
=5．
3. 解：∵ 半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C， AB=8 cm，∴AC= AB=4 cm，
设 CO=x cm，则 AO=DO=（x+2）cm，在 Rt△AOC 中，AO2=CO2+AC2， ∴（x+2）2=x2+42，解得 x=3，即 CO=3 cm. ∵AO=EO，AC=CB，OC 为△ABE 的中位线，∴BE=2CO=6 cm． 4. D 提示：一条直线经过圆心，平分弦所对的劣弧，根据垂径定理及其推论可 知，它垂直平分这条弦，并且平分弦所对的优弧． 5. 120 提示：∵ 弦 AC 与半径 OB 互相平分，∴OA=AB，∵OA=OB，∴△OAB 是 等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=2∠AOB=120°.
北师大版数学九年级下册3.3垂径定理课件
如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD=20，CM=4，求AB.
在1400年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥是圆弧形,它的跨度为37.
某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面AB宽度为7.
自学检测2：(12分钟)
在圆柱形油槽内装有一些油.
垂径定理及其推论的应用
如图,⊙O的半径是5cm,P是⊙O外一
C
E
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆
与AB交于点D，则AD的长为
.
7.如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2, EB=6, ∠DEB=30°,求弦CD长
自学指导2: (4分钟)
如图，AB是圆O的弦（不是直径）,作一条平分
AB的直径CD，交AB于点M
如图, ⊙O的直径AB=12, CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1：5，则CD的长为
.
如图,AB是⊙O的一条弦,点C为弦AB的中点,OC=3,AB=8,求OA的长.
垂经定理逆定理: 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的弧
4=14 ,34.
思考：以下五个条件需要已知几个就能得出其他几个也成立
4.高速公路的隧道和桥梁最多.如图是一个隧道的
横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，
路面AB=10米,净高CD=7米,则此圆的半径 如图为直径是52cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB= cm.
经测量,桥拱下的水面距拱顶6m时,水面宽34.
OA= . 即 R²=300²+(R-90)²
∴ AB =2AM=16
变式：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即 图中弧CD,点0是弧CD的圆心），其中 CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD， 垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.
在1400年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥是圆弧形,它的跨度为37.
某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面AB宽度为7.
自学检测2：(12分钟)
在圆柱形油槽内装有一些油.
垂径定理及其推论的应用
如图,⊙O的半径是5cm,P是⊙O外一
C
E
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆
与AB交于点D，则AD的长为
.
7.如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2, EB=6, ∠DEB=30°,求弦CD长
自学指导2: (4分钟)
如图，AB是圆O的弦（不是直径）,作一条平分
AB的直径CD，交AB于点M
如图, ⊙O的直径AB=12, CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1：5，则CD的长为
.
如图,AB是⊙O的一条弦,点C为弦AB的中点,OC=3,AB=8,求OA的长.
垂经定理逆定理: 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的弧
4=14 ,34.
思考：以下五个条件需要已知几个就能得出其他几个也成立
4.高速公路的隧道和桥梁最多.如图是一个隧道的
横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，
路面AB=10米,净高CD=7米,则此圆的半径 如图为直径是52cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB= cm.
经测量,桥拱下的水面距拱顶6m时,水面宽34.
OA= . 即 R²=300²+(R-90)²
∴ AB =2AM=16
变式：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即 图中弧CD,点0是弧CD的圆心），其中 CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD， 垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.
北师大版数学九年级下册课件 垂径定理 (共15张PPT)
垂径定理的逆定理
• 如图,在下列五个条件中:
⌒=BC ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC ,
⑤
⌒ ⌒ AD=BD.
C
A
M└
●
B O
只要具备其中两个条件,就 可推出其余三个结论.
D
C
垂径定理及逆定理
条件
①② ①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤
A
M└
●
B O
结论
命题
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧. ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
●
O
用旋转的方法即可解决这个 问题.
引入新知
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
（1）下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什 么? （2）你能发现图中有哪些等量关系?说一 说你的理由.
C
A
M└
●
B O
小明发现图中有: 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
③④
③⑤ ④⑤
①②⑤
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧. ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
例题解析
课内练习
• 1、判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对 的两条弧. （ ） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧. （ ） ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ） ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
垂径定理 (共17张ppt)九年级下学期数学北师大版
10 O
16
A
C
B
例2、如图，一条公路的转弯处是一段弧(即图中CD，点O是CD 所在圆的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足 为F，EF=90m，求这段弯路的半径。
解：连接 OC .
设弯路的半径为 R m，则 OF =（R – 90）m .
∵ OE⊥CD
∴ CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
在Rt△OCF 中 ， OC2 = CF2 + OF2
即 R2 = 3002 +（R – 90）2.
解得 R = 545.
答，这段弯路的半径为 545 m.
CE FD
O
练一练
3.已知⊙0的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则
圆心到弦AB的距离为( D )
A. 8cm B. 5cm C. 9cm D. 12cm
求证：AB⊥CD， AC= BC，AD= BD。
证明：连接OA、OB， 则OA=OB
D
∵CD平分AB, ∴AM=BM， 在△OAM和△OBM中
OA=OB， AM=BM，
O
AM B C
OM=OM
∴AB⊥CD，
∴△OAM≌△OBM
∴AC= BC
∴∠AMO=∠BMO =90°
AD= BD
新知归纳
垂径定理的逆定理：
证明：连接OA、OB，则OA=OB
在Rt△OAM和Rt△OBM中 ∵OA=OB，OM=OM ∴Rt△OAM≌Rt△OBM ∴AM=BM， ∠AOC=∠BOC
└
D
O
AM B C
∴AC= BC ∵∠AOD=180°-∠AOC ∴∠AOD=∠BOD