案例——中点四边形
各种四边形各边中点形成什么图形
《各种四边形各边中点形成什么图形》专项练习中点四边形定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形解决办法：连接对角线，利用三角形中位线定理证明一、顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形已知：四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：连接AC）利用三角形中位线证明，两组对边分别平行的四边形是平行四边形二、顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形已知：平行四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：连接AC）利用三角形中位线证明，一组对边培训且相等的四边形是平行四边形三、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形已知：矩形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是菱形（提示：连接AC、BD）利用矩形对角线相等、中位线性质可得四边相等的四边形是菱形四、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形已知：菱形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是矩形（提示：连接AC、BD）利用菱形对角线垂直、中位线性质可得四个角是直角的四边形是矩形五、顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形已知：正方形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是正方形利用正方形对角线垂直相等、中位线性质可得四边相等又有一直角的四边形是正方形六、顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形已知：梯形ABCD中，AD//BC AB=DC, 点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是菱形（提示：连接AC，BD）利用梯形对角线相等、中位线性质可得四边相等的四边形是菱形。
回归教材分析,探究中点四边形的面积计算
与点 ０， 其中 Ｓ ， Ｓ ： ， Ｓ ， ， Ｓ ４ 分 别表
示 四 个 小 四 边 形 的 面 积 ，且
Ｓ 四 边 形 Ａ Ｂ ｃ Ｄ ＝２ ０ ． 求： Ｓ １ ＋Ｓ ３ ．
图３ （ 下转 １ ５ ８页 ）
数 学 学 习与 研 究
２ ０ １ ６ ． ２ ４
●
．
．
● 鼯
・． － Ｉ ， １ ．
●
沿 Ｆ 方 向 为 ） ， 轴 的 正 方 向 ） ， 以 轴 与 。 夹 角 小 于 詈 的 一
方 为 轴 的正 方 向 （ 图４ ） ．
方向为 Ｙ 轴正 方向 ； 以垂直于 Ｙ轴 的直 线为 轴 ， 将 与 呈锐角的方 向定为 轴 正方向 ， 如 图 ５所示．
立项课题“ 基 于教 材 分 析 的 初 中数 学 校 际 教 研 的 实 践 研 究” 立项批准号 ： Ｆ Ｊ Ｊ Ｋ Ｘ Ｂ １ ６— ０ ２ ３ ．
调 动 和 运 用 已有 的知 识 、 经 验 和 方 法 应 用 于 问 题 的解 决 ． 得
到结论 ： “ 中点 四边形” 的面积 等于原四边形面积 的一半． 二、 借助“ 中点 四边形” 面积 ， 求对 角线互 相垂直 的原四
接这四个中点 ， 可得四边形
１
是矩形， 且Ｅ Ｆ： ÷Ａ Ｃ＝
二
３ 。 Ｆ Ｇ＝÷ Ｂ Ｄ＝ ４，
二
ＡＡ Ｅ Ｈ￣ ＡＡ Ｂ Ｄ， 相似 比 ． ｊ ｝ ＝ ２，
・
．
易得 ， Ｓ 矩 形 脚 ＝Ｅ Ｆ・ Ｆ Ｇ＝３× ４＝１ ２ ，
中点四边形教学设计(王晓敏)
《中点四边形》教学设计永年区第一实验学校 王晓敏教学目标：（一）知识与技能 1、学生能利用三角形中位线定理判断中点四边形的形状；在此过程中培养学生观察、归纳、猜想、概括的能力．2、感受中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置与长短；培养学生一些基本的数学思想方法如“化归思想”、“类比推理”“逆向思维”等思想方法。
3、通过图形变换使学生掌握简单添加辅助线的方法。
（二）过程和方法1、通过对图形既相互变化，又相互联系的内在规律。
培养学生观察、发现、分析、探索知识的能力及创造性思维和归纳总结能力；2、通过命题探索过程认识到事物的发展都从感性到理性，有特殊到一般再到特殊的过程，只要弄清它的内在变化规律，就能使所学知识拓展引伸. （三）情感、态度与价值观要求1、通过学生亲自参与、发现和证明，培养学生的参与意识及合作精神，激发学生探索数学的兴趣，体验数学学习的过程与探索成功后的喜悦。
2．让学生感受到数学既来源于生活实际，又是解决生活中许多问题的工具. 从而促使学生热爱数学.教学重点：中点四边形形状判定和证明教学难点：探究各类四边形的中点四边形的形状与原四边形的对角线关系 教学方法：合作探究学习法教学用具：各种特殊四边形图片，几何画板及PPT 课件 教学过程：一．知识回顾： 1.三角形中位线如图，在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点. DE 就是△ABC 的一条中位线.那么DE 与BC 有什么样的数量与位置关系呢？设计意图：为本节内容作理论基础与准备，并体现“低起点”的策略。
二、猜想验证，探索新知2．已知：点D 、E 、F 分别是⊿ABC 边BC 、AC 、AB 的中点，则 ABC DEF ∆∆和的形状及面积有何关系?DBCBA DCE“猜一猜”：实物演示：教师带领学生利用不同形状的四边形卡纸现场折叠构造中点四边形。
师提问：我们刚才通过折得到的新四边形形状一样吗？是什么四边形？学生猜想并回答。
中点四边形典型例题
经典题型1
例题1：如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H是边AB、BC、CD、DA的中点.
（1）请问四边形EFGH是什么形状的四边形？并证明；
（2）若四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是什么形状的四边形？并证明；
（3）若四边形ABCD是菱形，四边形EFGH是什么形状的四边形？并证明.
思路分析：准确画出图形，通过观察就可以得到（1）四边形EFGH是平行四边形；（2）四边形EFGH是菱形；（3）四边形EFGH是矩形。
证明思路可以有多种——条件中有四个中点，显然在考查中位线的知识，而中位线的结论中有“中位线与第三边”的位置关系与数量关系，所以可以从“边”的角度来判定四边形是平行四边形。
经典题型2
例题2：如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H是边AB、BC、CD、DA的中点.
（1）请问四边形EFGH是什么形状的四边形？并证明；
（2）要使四边形EFGH是矩形，需要原四边形对角线满足怎样的条件？并证明；（3）要使四边形EFGH是矩形，需要原四边形对角线满足怎样的条件？并证明.
思路分析：由例题1，我们就知道四边形EFGH是平行四边形；
（2）四边形EFGH中，图形中就没有给出对角线，说明判定它是矩形，应该用“……的平行四边形中是矩形”，故只能用“一个角是直角的平行四边形是矩形”了，从而应该添加条件“AC⊥BD”即可。
（3）四边形EFGH中，图形中就没有给出对角线，说明判定它是菱形，应该用“……的平行四边形中是菱形”，故只能用“一组邻边相等的平行四边形是矩形”了，从而应该添加条件“AC=BD”即可。
中点四边形模型(4种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(北师大版)(解析版)
重难点专项突破：中点四边形模型（4种题型）【知识梳理】【考点剖析】题型一、利用中点求长度例1.如图，某花木场有一块四边形ABCD的空地，其各边的中点为E、F、G、H，测得对角线AC＝11米，BD＝9米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（）A．20米B．11米C．10米D．9米【答案】A【解析】∵E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 各边的中点，∴EF 、FG 、GH 、HE 分别为△ABC 、△BCD 、△CDA 、△ABD 的中位线， ∴EF ＝12AC ＝112（米），FG ＝12BD ＝92（米），HG ＝12AC ＝112（米）， HE ＝12BD ＝92（米），∴四边形EFGH 总长度＝EF +FG +GH +HE ＝20（米）， 故选：A ．【变式1】在四边形ABCD 中，8AC BD ==，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则22EG FH +的值为（ ）A ．18B ．36C ．48D ．64【答案】D【解析】连接EF 、FG 、GH 、EH ，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点， ∴11//,//,,22EF AC HG AC EF AC FG BD ==，∴//EF HG ，同理//EH FG ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，∵AC BD =，∴EF FG =，∴平行四边形 EFGH 为菱形， ∴EG FH ⊥，2EG OG =，2FH OH =，()2222222221(2)(2)4448642EG FH OE OH OE OH EH BD ⎛⎫+=+=+==⨯== ⎪⎝⎭故选：D ．【变式2】如图，已知矩形ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，连结矩形各边中点E 、F 、G 、H 得四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长为（ ）cm ．A ．20B ．C ．D ．25【答案】A 【解析】连接BD ，∵H 、G 是AD 与CD 的中点，∴HG 是△ACD 的中位线， ∴HG=12AC=5cm ，同理EF=5cm ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴根据矩形的对角线相等，即BD=AC=10cm ， ∵H 、E 是AD 与AB 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线， ∴EH=12BD=5cm ，同理FG=5cm ，∴四边形EFGH 的周长为20cm ． 故选A ．【变式3】如图，点O 为四边形ABCD 内任意一点，E ，F ，G ，H 分别为OA ，OB ，OC ，OD 的中点，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．不能确定【答案】C【解析】∵E ，F 分别为OA ，OB 的中点，∴EF 是△AOB 的中位线，∴EF=12AB=3， 同理可得：FG=12BC=5，HG=12DC=6，EH=12AD=4，∴四边形EFGH 的周长为=3+5+6+4=18， 故选C ．题型二、利用中点求面积例2.如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，若△EFG 的面积为4，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．18【答案】C【解析】记△BEF ,△DGH ,△CFG ,△AEH 的面积分别为1234,,,S S S S ，四边形ABCD 的面积为S .连接AC .∵BF =CF ，BE =AE ，CG =DG ，AH =DH ，∴EF ∥AC ,1,2EF AC =GH ∥AC ,12GH AC =，∴EF ∥GH ，EF =GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴S 平行四边形EFGH =2S △EFG =8，∵△BEF ∽△BAC ，∴11,4S S ABC =同理可得214S S ACD ，= ∴1211()44ABC ACD S S S S S +=+=， 同法可得3414S S S +=，∴123412S S S S S ，+++= ∴S 四边形EFGH =12S ， ∴S =2S 四边形EFGH =16.故选C.【变式1】定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点作为和美四边形的中心．（1）写出一种你学过的和美四边形______；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是（ ） A ．矩形 B ，菱形 C ．正方形 D ．无法确定（3）如图1，点O 是和美四边形ABCD 的中心，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点，连接OE OF OG 、、OH 、，记四边形AEOH BEOF CGOF DHOG 、、、的面积为1234S S S S 、、、，用等式表示1234S S S S 、、、的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形ABCD 是和美四边形，若4,2,5AB BC CD ===,求AD 的长．【答案】（1）正方形；（2）A ；（3）S 1+S 3=S 2+S 4；（4 【解析】（1）正方形是学过的和美四边形，故答案为：正方形； （2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形， 如图，四边形ACBD 中，对角线AB ⊥CD ，即为“和美四边形”， 点E 、F 、G 、H 分别是AC 、AD 、BD 、BC 的中点， ∴EF ∥CD ∥HG ，且EF=HG=12CD ，EH ∥FG ∥AB ，且EH=FG=12AB ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，∵AB ⊥CD ，∴EF ⊥EH ，∴平行四边形EFGH 是矩形；故选：A ．（3）连接AC 和BD ，由和美四边形的定义可知，AC ⊥BD ，则∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°， 又E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴△AOE 的面积=△BOE 的面积，△BOF 的面积=△COF 的面积，△COG 的面积=△DOG 的面积，△DOH 的面积=△AOH 的面积，∴S 1+S 3=△AOE 的面积+△COF 的面积+△COG 的面积+△AOH 的面积=S 2+S 4；（4）如图，连接AC 、BD 交于点O ，则AC ⊥BD ， ∵在Rt △AOB 中，AO 2=AB 2-BO 2，Rt △DOC 中，DO 2=DC 2-CO 2，AB=4，BC=2，CD=5，∴可得AD 2=AO 2+DO 2=AB 2-BO 2+DC 2-CO 2=AB 2+DC 2-BC 2=42+52-22=37，即可得AD =．【变式2】如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，6BD =，E ，F ，G ，H 分别是四边的中点，则四边形EFGH 的面积为__________．【答案】12【解析】∵点E 、F 分别为边AB 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF=12AC ， ∵AC=8，∴EF=4，同理，HE ∥BD ，HE=1BD 32=， ∴四边形EFGH 是平行四边形， ∵EH ∥BD ，AC ⊥BD ，∴EH ⊥AC ，∵EF ∥AC ，∴EF ⊥HE ，∴四边形EFGH 是矩形， ∴矩形EFGH 的面积=HE ×EF=12． 故答案为：12．题型三、找规律问题例3.如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A 、1B 、1C 、1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ，再取各边中点2A 、2B 、2C 、2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ，……，依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为（ ）A ．162n−B ．182n − C ．412n −−D ．不确定【答案】B【解析】∵四边形A 1B 1C 1D 1的四个顶点A 1、B 1、C 1、D 1分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴A 1B 1∥AC ，A 1B 112=AC ，∴△BA 1B 1∽△BAC ．∴△BA 1B 1和△BAC 的面积比是相似比的平方，即14． 即1114BA B S=S △ABC ，同理可证：1114DD C S =S △ADC ， 1114AD A S =S △ABD ，S △CB 1C 114=S △BDC ，∴111112A B C D S =四边形S 四边形ABCD ，同法可证2222111112A B C D A B C D S S =四边形四边形，又四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝4，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 的面积是16．∴四边形A n B n ∁n D n 的面积116822n n −==．故选：B ．【变式1】如图1，1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点，且AC BD ⊥，6AC =，10BD =．（1）试判断四边形1111D C B A 的形状，并证明你的结论；（2）如图2，依次取11A B ，11B C ，11C D ，11D A 的中点2A ，2B ，2C ，2D ，再依次取22A B ，22B C ，22C D ，22D A 的中点3A ，3B ，3C，3D ……以此类推，取11n n A B −−，11n n B C −−，11n n C D −−，11n n D A −−的中点n A ，n B ，n C ，n D ，根据信息填空：①四边形1111D C B A 的面积是__________； ②若四边形n n n n A B C D 的面积为1516，则n =________； ③试用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积___________． 【答案】（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③1152n − 【解析】（1）四边形1111D C B A 是矩形，证明：∵1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点， ∴11A B AC ，11C D AC ，∴1111A B C D ，同理可得1111A D B C ∥，∴四边形1111D C B A 是平行四边形，又∵AC BD ⊥，易得1111A B B C ⊥，∴四边形1111D C B A 是矩形； （2）①由题意可知：A 1B 1=12AC=3，A 1D 1=12BD=5，四边形1111D C B A 的面积=3×5=15；②由构图过程可得：A 2D 2=B 2C 2=12B 1D 1=12C 2D 2=B 2A 2=12A 1C 1=12可知四边形2222A B C D 为菱形，∴2222A B C D S =222212A C B D ⨯=111112A B B C ⨯=152；同理可求：3333A B C D S =154，4444A B C D S =158，…，n n n n A B C D S =1152n −，故当四边形n n n n A B C D 的面积为1516时，1152n −=1516，解得：n=5；③由②可知：用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积为1152n −.故答案为：（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③1152n −题型四、中点综合问题例4.通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，已学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有密切的联系，最近方程家族的《一元二次方程》我们也学习了它的求解方法和应用。
四边形拓展—中点应用
四边形拓展练习——中点应用中点，特别是线段的中点是几何图形中的一个特殊点，直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、中心对称图形、三角形中位线和梯形中位线等都有其身影．那么，如何恰当地利用中点和处理与中点有关的问题呢？关键在于：充分挖掘中点所包含的信息，合理联想构造含中点的图形来解决问题．一、利用中点构造三角形中线例1．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 是中线，AE BD ⊥交BC 于点E ．求证：2BE CE =．例2．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 是中线，AM BD ⊥于M ，交BC 于点E ．求CDE S ∆．【注】如果是等腰三角形的问题，则腰上的中点即为构造全等三角形创造了条件．三角形中线的性质是分三角形为两个面积相等的小三角形．在涉及求面积时，往往是常用的结论之一．二、利用中点构造中心对称三角形例3．如图，在梯形ABCD 中，90D ∠=︒，M 为AB 中点． 若 6.5CM =，17BC CD DA ++=，求梯形ABCD 的面积．BB例4．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ．求直线BF 与DE 所夹的锐角的度数．【注】：在四边形问题中，若已知条件中有一边的中点，往往可利用中点构造中心对称的全等的三角形，从而把分散的条件相对集中，为解题创造有利条件．三、利用中点构造三角形中位线例5．如图，在ABC ∆中，7AC =，4BC =，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，且1902AED C ∠=︒+∠．求CE 的长．例6．如图，已知AD 为ABC ∆的角平分线，AB ＜AC ，在AC 上截取CE AB =，M 、N 分别为边BC 、AE 的中点．求证：//MN AD ．【注】：在四边形问题中，当已知条件中出现四边形对边的两个中点时，常见的方法是：另外作对角线的中点，再利用三角形的中位线来解题．EA四、利用中点构造直角三角形斜边中线和三角形中位线例7．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，E G 、分别为AD AC 、的中点，DF BE ⊥，垂足为F ．求证：FG DG =．例8．如图，在ABC ∆内取一点P ，使PBA PCA ∠=∠，作PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ．求证：DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M ．【注】：当题目的条件中涉及到三角形一边的中点和直角三角形时，常用的方法是：另取一边（一般取斜边）的中点，为沟通直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理架起一座桥梁．五、利用中点构造梯形中位线例9．在梯形ABCD 中，90ABC DCB ∠=∠=︒，AD 上有一点E 使得BE EC ⊥，且45CED ∠=︒．求证：AB CD BC +=．例10．如图，M N 、分别是四边形ABCD 边AB CD 、的中点，BN 与MC 交于点P ，AN 与MD 交于点Q ．求证：BCP ADQ MQNP S S S ∆∆=+四边形．六、利用多个中点构造三角形和四边形例11．如图，在任意五边形ABCDE 中，M N P Q 、、、分别为AB CD BC DE 、、、的中点，K L 、分别为MN PQ 、的中点．求证：//KL AE 且1=4KL AE ．例12．在六边形ABCDEF 中，//AB DE ，//BC EF ，//CD FA ，AB DE BC EF +=+，1111A B D E 、、、分别是边AB BC DE EF 、、、的中点，且1111A D B E =．求证：CDE AFE ∠=∠．ABE1ADABCD配套练习：1．如图，在菱形ABCD 中，100A ∠=︒，M N 、分别是边AB BC 、的中点，MP CD ⊥于点P ，求NPC ∠的度数．2．如图，在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，点E F 、分别在边AC AB 、上，且ABE ACF ∠=∠，BE 与CF 交于点O ，作OP AC ⊥，OQ AB ⊥，P Q 、为垂足．求证：DP DQ =．3．如图，在ABC ∆中，2A B ACB ∠+∠=∠，8BC =，D 为AB 的中点，且CD =，求AC 的长．BBD BAFE MABCDM4．如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于D ，M 为BC 的中点，求证：12DM AB =5．如图，在ABC ∆中，2ABC C ∠=∠，AD 平分BAC ∠，过BC 的中点M 作AD 的垂线，交AD 的延长线于F ，交AB 的延长线于E ，求证：12BE BD =．6．如图，已知五边形ABCDE 中，90,ABC AED BAC EAD ∠=∠=︒∠=∠。
《中点四边形》教学设计
设计意图：采用直观的形式，引导学生发现总结未知图形特点，直接给出定义。
并给出充分的时间，让学生理解。
2、小组探究：中点四边形的形状操作几何画板，让学生观察，同时思考证明方法。
学生分析，并给出结论：中点四边形是平行四边形。
引导学生经历定理“操作----观察---猜测----证明”的得出过程。
板书：顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形。
引导学生分析命题的条件和结论部分，并学习将文字语言转化成为符号语言与图形语言。
教师板书过程：已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.选出小组代表对本组的发现、以及论证进行展示。
学生总结出所得的结论：顺次连接任意四边形的四边中点得到一个平行四边形。
方法一：连接一条对角线，根据判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
方法二：连接两条对角线;根据判定定理：两组学生认真观察、畅所欲言表达自己的发现。
学生经历定理的得出过程，并感受数学三种语言之间的相互转化。
选择不同层次的学生口述证明过程，并让不同学生展现不同的证明方法，发展学生的逻辑思维能力。
教师总结归纳。
对边分别相等（平行）的四边形是平行四边形。
设计意图：通过几何画板的动态演示效果，强化学生对图形化换中各种关系的理解。
通过活动经历定理的得出过程，体验数学的严谨性。
经历数学三种语言的自由转化过程，能准确无误分析命题的条件和结论部分，能用正确的数学符号语言转化成已知和求证，并准确画出图形。
锻炼学生的课堂语言表达能力，增强学生思维的逻辑性。
3、如果顺次连接特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形）各边中点所构成的中点四边形是什么图形?结合几何画板观察，小组合作探究。
一般四边形的中点四边形都是________平行四边形的中点四边形是__________矩形的中点四边形是________________菱形的中点四边形是________________正方形的中点四边形是______________设计意图：在上一个环节中，学生已经具备了证明一般中点四边形的方法。
《中点四边形》说课稿
《中点四边形》说课稿各位老师：大家好，我说课的内容是人教版八年级下第19章第二节《特殊平行四边形》一一中点四边形。
下面，我从教材分析、学情分析、教学方法、教学过程、教学评价、设计思想等五个方面来谈一谈我对这节课的教学设计。
一、教材分析教材的地位与作用：在前面的学习中，学生已经对矩形、菱形和正方形的判定、性质及其相互关系进行了初步的探索，对证明的必要性和证明的方法有了一定的了解和掌握，无论从知识体系，还是从证明的方法体系，本节课都是在原基础上的进一步发展，对四边形性质的研究已不是停留在操作、实验层面，而是用以归纳、推理为主要方法，并以三角形中位线定理为其理论基础，讨论、论证由各边中点所构成的四边形及其判定的正确性，这样做，对于引导学生把握平行四边形的变化规律，进行推理探究和逆向思维，都具有明显的积极作用和促进价值。
教材内容的特点：与传统的教学内容相比，新课程下的这节内... 容更加强调学习的过程和数学思维的发生发展过程，而不仅仅局限在概念、性质获得的结果；强调知识的综合，不仅仅局限在以往的新知识的介绍上。
重视数学思想方法与数学思维的建构。
教学目标：在新理念下，要加强对学生的主动性和探究性培养，同时基于教材和学生的实际情况，确定本节课的教学目标如下:1、知识与技能目标：能判别一个任意四边形的中点四边形，并能给予证明。
2、过程与方法目标：通过对有关中点四边形的逆命题的判别与证明，培养学生的探究能力、分析能力和解决问题的能力；学会从不同的角度认识与解决问题。
3、情感与态度目标：进一步应用转化的数学思想。
给学生提供主动探索学习的时间与空间，学会与他人合作交流，培养质疑、反思的探究意识。
教学重点及难点：本节的教学重点是判断一个四边形的中点四边形的形状，并应用三角形的中位线定理、特殊平行四边形的判定进行证明。
而教学难点是倒过来探究中点四边形的形状与原四边形之间的关系。
因为倒过来能否成立涉及充分必要条件理论，而限于初中教学内容，所以只能从观察、演示中归纳出正确结论。
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案例——中点四边形
伊州区第四中学 赵丽娟
教学环节一创设情境，导入新课 出主意：小张大学毕业后在哈密开了一家装潢店，现需要从一张任意四边形纸片上取一个平行四边形用作装饰材料，你们帮他想一想，怎样做才能既简单又可靠？
设计意图：这个问题情境的设置联系生活实际，开门见山，直奔主题，既简单明了，又轻松自然，能激发学生对本课的
学习兴趣 学生交流：通过讨论可以得出：依次取四边形的四边中点E,F,G,H,顺次连接各点得到四边形EFGH 设计意图：学生在前面已经有了用三角形的中位线思考问题的经历，通过此环节培养学生运用所学知识解决实际问题的能力
讨论：四边形E F G H 是平行四边形，你认为可靠吗？
请同学们证明自己的判断这个证明的关键是什么？
设计意图：教师通过对平行四边形“可靠性”的置疑，引导学生从直观中得出结论，很自然地将学生的思考引导到“证明的必要性”上来 结论：作四边形A B C D 的对角线A C （或B D ）将四边形转化为两个三角形，然后运用三角形的中位线定理证明E F G H 是平行四边形。
设计意图：教师对学生所得到的证明过程进行评价，并提出新的问题， 对教学进行反思，揭示了证明中点四边形的一般规律，并为后面的一 系列探究与证明作好铺垫，这对提高学生的思维十分必要。
设计意图：教师对学生所得到的证明过程进行评价，并提出新的问题，对教学进行反思，揭示了证明中点四边形的一般规律，并为后面的一系列探究与证明作好铺垫，这对提高学生的思维十分必要
学生交流：我们能否给这个四边形EFGH一个合适的命名？
顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形
设计意图：这一命名虽然简单，但具有一定的创意，命名的过程也是学生对数学概念进一步理解和把握的过程。
教学环节二：改变图形，提出猜想
试一试：如果我们改变四边形ABCD的形状，它的中点四边形是什么形状，你能不能提出新的问题或猜想？你能不能证明自己的猜想？
设计意图：四边形A B C D的演变以及中点四边形的形状都不给出，全部由学生猜想探究，既培养了学生的分类思想的应用，又顺应了学生自主学习、探究学习的需要，给学生的想象与创造提供了更大的空间。
学生交流一
如果学生不能顺利说出四边形A B C D的四种变化，就借助几何画板，拖动四边形A B C D的顶点，使之分别变成平行四边形、矩形，菱形和正方形，通过观察，猜想E F G H的形状。
提出猜想：
1、平行四边形的中点四边形是平行四边形；
2、矩形的中点四边形是菱形；
3、菱形的中点四边形矩形；
4、正方形的中点四边形是正方形
学生交流二
1、学生相互评价证明的思路和方法。
2、总结证明的思路和关键：
思路：平行四边形+（特殊条件）=特殊四边形。
关键：作对角线，将四边形ABCD 转化成两个三角形，然后运用三角形的中位线定理证明。
设计意图：通过此环节，引导学生在主动猜想和思考的基础上，自觉上升到理性思考，进行严谨的证明，同时培养学生交流合作的能力 教学环节三：转换成逆命题，进一步探索规律
探究：把上面四个命题的条件和结论颠倒过来还成立吗？ m ∠HEF = 90.00︒EH = 2.55 厘米
FE = 2.55 厘米
m ∠GFE = 90.00︒HG = 2.55 厘米EH = 2.55 厘米m ∠APD = 90.00︒
AC = 5.11 厘米DB = 5.11 厘米m ∠APD = 90.00︒DB = 5.11 厘米AC = 5.11 厘米
HE = 2.01 厘米
HG = 2.61 厘米
EF = 2.61 厘米
设计意图：可以针对学生在讨论中遇到的思维障碍，运用几何画板拖动四边形A B C D ，通过对角线的变化让学生进行观察与分析，让学生在变化中寻找不变的规律。
同时体会运用现代科技手段解决问题的方法和思路。
学生交流：
结论：原来四个命题的条件与结论倒过来所得到的命题并不正确，中点四边形EFGH的形状的决定因素不是ABCD的边，而是它的对角线，正确的判断是：
1、如果中点四边形EFGH是平行四边形，那么原四边形ABCD是任意四边形；
2、如果中点四边形EFGH是菱形，那么原四边形ABCD的对角线相等；
3、如果中点四边形EFGH是矩形，那么原四边形ABCD的对角线互相垂直；
4、如果中点四边形EFGH是正方形，那么原四边形ABCD的对角线互相垂直且相等；
设计意图：经过实验、观察和推理学生终于看到了中点四边形的一般规律与本质——对角线是决定性的因素，同时教师从命题的角度进行分析，一个命题正确，它的逆命题不一定正确，培养学生的逻辑思维能力。
教学环节四：总结反思，完善认知
通过本节的学习，你最大的收获或感想是什么？
1、对角线是一种常用的辅助线——将四边形转化为两个三角形；
2、归纳与猜想是创新与发明的重要步骤，然而，猜想只是归纳的结果而非可靠的判断，它的正确性有赖于用推理的方法加以证明；
3、数学思想方法：转化思想。
设计意图：这一环节在于启发引导学生自己对本课进行回顾与反思，体会学习的成果，感受成功的喜悦，产生进一步学习的激情，把主动学习、师生互动贯穿于课堂始终。
教学环节五：感悟问题，发挥联想，
想一想：下面这个图形是一个叫“美菱”的品牌的商标，当A B C D 是矩形或菱形时，此时中点四边形之中点四边形的形状变化有什么规律？面积变化呢？重复做下去，直到第2004次中点四边形，结果如何？
进一步联想： 三角形的中点三角形的形状演变有没有规律性，它的周长和面积怎样随原三角形的变化而变化？把你的发现写成数学小论文。
设计意图：下课并不是问题的终结，更不是一种思维的结束，而是留给学生足够的思考时间和空间，让他们不断的质疑，不断地发现，通过本课的学习，已为学生课后进一步探索指明方向，本课的作业的设计能较好地激发学生的探索潜能。
教学反思：
1、根据本课的教学内容的特点，本课的设计体现了三个原则：围绕课题的学习，自主探索式学习，多元开放式的学习；
2、学生师友互助学习可以大大激发学生学习兴趣，提高教学效率，
使不同层次的学生得到不同层面的进步，而在数学课堂教学中恰当得开展师友互助小组的活动，使之“活而不乱”，从而更好地提高学生主动性，消除学生学习数学的畏惧性，达到提高教学效率的目的，
3、在教学方式上，以问题驱动的方式，不断创设新问题，充分调动学生的探索激情，鼓励学生发表自己思考和探索的结果，把课堂真正还给学生；
4、本课的设计重视数学思想方法的学习，在本节课的教学中重点突出了转化思想，同时注重培养学生抽象概括的能力和逻辑思维能力；
5、师生共同参与评价，关注学生的情感体验，让学生经历体验和感受数学发现的过程（从猜想到得出结论）的挑战和欣喜，在与他人交流的过程中，尊重、理解他人；问题情境的创设贴近生活实际，体会生活中处处有数学，进一步激发用所学的数学知识主动解决生活中的有关实际问题的热情。
6、本课的设计体现实验几何、操作几何的特征，利用几何画板的动态操作，让学生在变化中寻找不变的规律，有助于学生主动观察、猜测、验证、推理、交流等，使每名学生始终处于思维活跃、高度参与课堂的状态，都能在数学上得到适度的发展；
总之，本课设计的一个突出特点是，利用多媒体辅助教学，大大丰富了学生的切身体验和感受，以学生探究为主线，让学生在数学活动中获得数学知识技能上的发展，同时获得对数学的积极情感，力争取得良好的教学效果。