人教版八年级数学下册第十八章四边形典型中点构造专题

⑴写出四边形AnBnCnDn的面积；
⑵求四边形A5B5C5D5的周长.
【解析】⑴由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四
边形，它的面积变为原来的一半，四边形
的面积为 ；
⑵根据中位线的性质易知，A5B5= A3B3= × A1B1= × × AB，
B5C5= B3C3= × B1C1= × × BC， = .
∴CF//DA且CF=DA，
CF//BD且CF=BD
∴四边形DBCF是平行四边形
∴DF//BC且DF=BC
又
∴DE//BC，且
【点评】教师可以让学生尝试不同方法证明三角形中位线，并复习了平行四边形的判定与性质．
下面方法请做参考．
方法一：如图1，过点 作 的平行线交 延长线于点 ，证明 ，再证四边形 为平行四边形．
【例5】已知：在 中， ，点 在直线 上， 与直线 垂直，垂足为 ，且点 为 中点，连接 、 ．
⑴如图1，若点 在线段 上，探究线段 与 及 与 所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；
⑵如图2，若点 在 延长线上，你⑴中的结论是否发生变化？写出你的猜想并证明；
【解析】⑴
⑵结论不变，由题意知 ，∴
⑵取AC中点H连接FH、EH
∴
∵AB=AC、DC=AC
∴AB=CD、EH=FH
∴∠HFE=∠FEH
∵EH∥AB、FH∥CD
∴∠BGE=∠GEH，∠HFE=∠GEB
∴∠BGE=∠BEG
∴∠AGE=∠GEC
∴四边形AGEC是等邻角四边形
⑶存在，如图连接辅助线，同理可证，四边形AGHC为等邻角四边形
思维拓展训练(选讲)
【解析】取 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ，
可知 ，又 为梯形 中位线，∴
∴ ∴
训练3.如图，已知： 和 都是直角三角形，且 ． ,连接 ，设 为 的中点．求证： ；
1【解析】如图，分别取 的中点 ，连接 ，
由 分别是 的中点，
∴ ， ，
∵ 是直角三角形，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
由 ，可得 是平行四边形，∴ ，
【探究二】关于凹四边形或折四边形，课本中没有编写相关方面的知识，但我们应该给学生一
个较为完整的认识体系.这样一方面提高了学生的认识，培养了学生由特殊到一般
的认识事物的能力；另一方面巩固学生对刚学习的三角形中位线定理的认识．
【变式2】O是△ABC所在平面内一动点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，如果DEFG能构成四边形：
⑵取AD中点P，连接EP、FP
则EP、FP分别为△ABD和△DAC中位线
即 ， ，且EP∥BD，FP∥AC
∵AC⊥BD，∴△PEF为直角三角形，
故
典题精练
思路导航
定义：顺次连接一个四边形四边中点所得四边形称为中点四边形．
中点四边形题型的思路是将四边形转化为三角形，构造三角形中位线进行证明．而探索中点四边形为特殊的平行四边形取决于原四边形的两条对角线是否相等或垂直．
⑴如图，当O点在△ABC内部时，证明四边形DEFG是平行四边形，
⑵当O点移动到△ABC外部时，（1）的结论是否还成立？画出
图形并说明理由，
⑶若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？试说明理由.
【解析】⑴如图，由三角形中位线定理得DG∥BC且DG= BC，EF∥BC且EF= BC，
故DG平行且等于EF，四边形DEFG是平行四边形；
∴ ，∴ ，∴ ．
训练4.在图1至图3中，点 是线段 的中点，点 是线段 的中点．四边形 和 都是正方形． 的中点是 ．
⑴如图1，点 在 的延长线上，点 与点 重合时，点 与点 重合，
求证： ， ；
⑵将图1中的 绕点 顺时针旋转一个锐角，得到图2，请判断 的形状．（直接写出结论）
⑶将图2中的 缩短到图3的情况， 还是等腰直角三角形吗？证明你的结论．
题型三：直角三角形斜边中线
直角三角形斜边中线
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
若 为 斜边上的中线，则
相关结论
如上图，⑴ ；
⑵ 为等腰三角形
⑶
相关模型
在由两个直角三角形组成的图中， 为公共边的中点，总有结论：
例题精讲
【引例】 在△ABC中，CD⊥AB交AB于D，BE⊥AC交AC于E，F为BC的中点，连DF、EF、DE，请判定△DEF的形状
【解析】⑴∵四边形 和 都是正方形，又∵点 与点 重合，点 与点 重合，
∴ ， ．
∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
⑵等腰直角三角形．
⑶方法一：连接 ，如图，设 与 交于点 ．
∵ 分别是 的中点，
∴ ，且 ；
，且 ．
∴四边形 是平行四边形．∴ ．
1【解析】⑴方法一：连接 并延长交 的延长线于 ．
∵ ， 是 的中点
易证
∴ ，
∴
∵ 是 的中点
∴ 是 的中位线
∴ 且
∴ 且
方法二：过F作 ，交 于 ，交 的延长线于 ．
∵
∴四边形 是平行四边形
∴ ，
∵ 是 的中点
∴
易证
∴ ，
∵ 是 的中点∴
∴ ，
∴四边形 是平行四边形
∴ ，
∴ 且
⑵ ， ．
证明：连接 并延长交 于 ．
∵
∴ ，
∵ 是 的中点∴
易证
∴ ，
∴ 是 的中位线
∴ 且
∴ ，
⑶ ．
证明：过 作 交 于 ， 交 于 ．
∵
∴四边形 、 是平行四边形
∴ ， ， ，
∵
∴
∴
∵ 、 分别是 、 的中点
∴ ，
∴
在 中， ，
∴ ∴
【点评】此题主要是借助梯形，将三角形中的两个重要结论放在一起，让学生灵活运用．
【例2】⑴四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，求证：
⑶顺次连结对角线相等的四边形的各边中点所构成的四边形是菱形；
⑷顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点所构成的四边形是矩形．
例题精讲
【引例】如图，四边形 中， 分别是 的中点．
求证：四边形 为平行四边形．
【解析】如图，连接
∵ 分别是 的中点．
∴HG、EF是△DAC和△BCA的中位线
∴ ，
∴可得HG//EF且HG=EF，
④三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半，其面积为原三角形面积的四分之一．
如图： 、 、 是 的三条中位线，则有
①
②
③ ，
例题精讲
【引例】 如图，已知 ， 分别是 的中点，求证： 且 ．
1【解析】延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF．
∵AE=EC
∴四边形ADCF是平行四边形
四边形典型中点构造
题型一：三角形中位线
思路导航
三角形中位线
定义：连接三角形两边中点的线段；
定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
如图：若 为 的中位线,则 ，且
三角形中位线中隐含的重要性质：
①一个三角形有三条中位线．
②三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．
③三角形的三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形．
两式相减，得
【例6】 在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．M、N是AP、BP的中点，分别连接EM、DM和DN、FN，求证：⑴△DEM≌△FDN; ⑵∠PAE=∠PBF．
2【解析】⑴∵D为AB的中点，M是PA的中点
∴
∵
∴
同理
∴
∴ ，
∵
∴
∴
⑵∵点 、 、 、 分别为 、 、 、 的中点
∴ ， ，同理： ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形
∵ ， ，
∴
∴平行四边形 是菱形
∵ ，
∴
又∵
∴ ∴ ∴菱形 是正方形．
【探究一】中点四边形的周长等于原四边形对角线之和，面积为原四边形面积的一半；
【变式1】如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBnCnDn.
⑴如图2，若点 、 分别在正方形 的边 、 的延长线上，且 ，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
⑵如图3，在⑴的基础上，连接 中点，试判断四边形 的形状，并证明你的结论．
1【解析】⑴∵四边形 是正方形
∴ ，
在 和 中
【分析】此题设计目的是突显这一讲中的经典辅助线，总结梯形中的几个经典几何模型．同时告诉学生梯形中位线可以转化为三角形中位线来研究．证明不难，记住结论对解答填空选择有帮助，在解答题中最好通过添加辅助线转化为三角形中位线来解答．⑴⑵可以转化为三角形中位线；⑶可以转化为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要结论．
① ；②
⑵四边形ABCD中，AC⊥BD，E、F分别为AB、CD的中点，求证： ．
【解析】 ⑴①取AD中点M，连接EM、FM
则EM、FM分别为△ABD和△DAC中位线
即 ，
在△MEF中，
故
②取AC中点N，连接EN、FN
则EN、FN分别为△ABC和△ACD中位线
即 ，
在△NEF中，
故
当EF恰好过四边形ABCD对角线AC中点时取等号（如矩形、正方形均为此种情况）
【变式3】在四边形 中， ， ， 分别是 、 的中点， ， 分别是对角线 ， 中点，证明： 与 互相垂直．