2024吉林新高考试卷结构、题型【新高考】
2024年高考真题语文(新高考II卷)含参考答案
2024年高考真题（新高考II卷）语文（包含参考答案）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成下面小题。
材料一：土星5号火箭升空了！它一点一点上升，庞大的身躯稳健有力。
阿姆斯特朗、柯林斯和奥尔德林被巨大的推力紧紧摁在座位上。
火箭在他们身下持续上升，各级火箭按照预定程序点火，第一级火箭、逃逸塔、第二级火箭一一分离。
绕地球轨道飞行一周后，宇航员检查了火箭和飞船状况。
第三级火箭再次点火，把飞船推向更远的高空。
当地球被甩到身后，就是船箭分离的时候：第三级火箭前端打开，哥伦比亚号从顶端弹出。
鹰号（登月舱）在火箭顶端继续待命，这艘小飞船外形奇特，像一只蜷缩着的蜘蛛。
哥伦比亚号的驾驶员柯林斯，让飞船慢慢转身。
“哥伦比亚”与“鹰”对接成功。
宇航员告别土星5号的最后一级火箭，乘坐合成一体的两艘小飞船继续飞行。
终于抵达月球上空。
阿姆斯特朗和奥尔德林驾驶鹰号离开，向着月球越飞越近。
柯林斯驾驶着哥伦比亚号孤独地环绕月球飞行。
此时此刻，那些远在地球上的人，不管是朋友还是陌生人，都时刻关注着、期待着……预定着陆区在哪儿？宇航员们全力搜寻。
但是意外忽然发生：当他们发现着陆区，鹰号已经飞过了头！数英里一闪而过，舷窗外的月球变得崎岖不平。
家园远在万里之外，更无法奢望什么援手。
此时此刻，他们能做的，只有保持镇定，平稳驾驶，继续飞行。
看到了，就在不远处，那里平整而干净！鹰号慢慢减速、缓缓下降。
登月舱越来越低、越来越低……直到平稳落地！此时此刻，在遥远的地球，人们鸦雀无声、屏息聆听。
2024年新高考II卷英语高考试卷(原卷+答案)
2024年普通高等学校招生全国统一考试（新高考II卷）（适用地区:辽宁、重庆、海南、山西、新疆、广西、贵州、黑龙江、甘肃、吉林、云南）英语注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分听力（1—20 小题）在笔试结束后进行。
第二部分阅读（共两节, 满分50分）第一节（共15 小题; 每小题2.5 分, 满分37.5分）阅读下列短文, 从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。
AChoice of Walks for Beginner and Experienced WalkersThe Carlow Autumn Walking Festival is a great opportunity for the beginner, experienced or advanced walker to enjoy the challenges of Carlow’s mountain hikes or the peace of its woodland walks.Walk 1 — The Natural WorldWith environmentalist Éanna Lamhna as the guide, this walk promises to be an informative tour. Walkers are sure to learn lots about the habitats and natural world of the Blackstairs.Date and Time: Saturday, 1st October, at 09:00Start Point: Scratoes BridgeWalk Duration: 6 hoursWalk 2 — Introduction to HillwalkingEmmanuel Chappard, an experienced guide, has a passion for making the great outdoors accessible to all. This mountain walk provides an insight into the skills required for hillwalking to ensure you get the most from future walking trips.Date and Time: Sunday, 2nd October, at 09:00Start Point: Deerpark Car ParkWalk Duration: 5 hoursWalk 3 — Moonlight Under the StarsWalking at night-time is a great way to step out of your comfort zone. Breathtaking views of the lowlands of Carlow can be enjoyed in the presence of welcoming guides from local walking clubs. A torch (手电筒) along with suitable clothing is essential for walking in the dark. Those who are dressed inappropriately will be refused permission to participate.Date and Time: Saturday, 1st October, at 18:30Start Point: The Town HallWalk Duration: 3 hoursWalk 4 — Photographic Walk in Kilbrannish ForestThis informative walk led by Richard Smyth introduces you to the basic principles of photography in the wild. Bring along your camera and enjoy the wonderful views along this well-surfaced forest path.Date and Time: Sunday, 2nd October, at 11:45Start Point: Kilbrannish Forest Recreation AreaWalk Duration: 1.5 hours1. Which walk takes the shortest time?A. The Natural World.B. Introduction to Hillwalking.C. Moonlight Under the Stars.D. Photographic Walk in Kilbrannish Forest.2. What are participants in Walk 3 required to do?A. Wear proper clothes.B. Join a walking club.C. Get special permits.D. Bring a survival guide.3. What do the four walks have in common?A. They involve difficult climbing.B. They are for experienced walkers.C. They share the same start point.D. They are scheduled for the weekend.BDo you ever get to the train station and realize you forgot to bring something to read? Yes, we all have our phones, but many of us still like to go old school and read something printed.Well, there’s a kiosk (小亭) for that. In the San Francisco Bay Area, at least.“You enter the fare gates (检票口) and you’ll see a kiosk that is lit up and it tells you can get a one-minute, a three-minute, or a five-minute story,” says Alicia Trost, the chief communications officer for the San Francisco Bay Area Rapid Transit — known as BART. “You choose which length you want and it gives you a receipt-like short story.”It’s that simple. Riders have printed nearly 20,000 short stories and poems since the program was launched last March. Some are classic short stories, and some are new original works.Trost also wants to introduce local writers to local riders. “We wanted to do something where we do a call to artists in the Bay Area to submit stories for a contest,” Trost says. “And as of right now, we’ve received about 120 submissions. The winning stories would go into our kiosk and then you would be a published artist.”Ridership on transit (交通) systems across the country has been down the past half century, so could short stories save transit?Trost thinks so.“At the end of the day all transit agencies right now are doing everything they can to improve the rider experience. So I absolutely think we will get more riders just because of short stories,” she says.And you’ll never be without something to read.4. Why did BART start the kiosk program?A. To promote the local culture.B. To discourage phone use.C. To meet passengers’ needs.D. To reduce its running costs.5. How are the stories categorized in the kiosk?A. By popularity.B. By length.C. By theme.D. By language.6. What has Trost been doing recently?A. Organizing a story contest.B. Doing a survey of customers.C. Choosing a print publisher.D. Conducting interviews with artists.7. What is Trost’s opinion about BART’s future?A. It will close down.B. Its profits will decline.C. It will expand nationwide.D. Its ridership will increase.CWe all know fresh is best when it comes to food. However, most produce at the store went through weeks of travel and covered hundreds of miles before reaching the table. While farmer’s markets are a solid choice to reduce the journey,Babylon Micro-Farm (BMF) shortens it even more.BMF is an indoor garden system. It can be set up for a family. Additionally, it could serve a larger audience such as a hospital, restaurant or school. The innovative design requires little effort to achieve a reliable weekly supply of fresh greens.Specifically, it’s a farm that relies on new technology. By connecting through the Cloud, BMF is remotely monitored. Also, there is a convenient app that provides growing data in real time. Because the system is automated, it significantly reduces the amount of water needed to grow plants. Rather than watering rows of soil, the system provides just the right amount to each plant. After harvest, users simply replace the plants with a new pre-seeded pod (容器) to get the next growth cycle started.Moreover, having a system in the same building where it’s eaten means zero emissions (排放) from transporting plants from soil to salad. In addition, there’s no need for pesticides and other chemicals that pollute traditional farms and the surrounding environment.BMF employees live out sustainability in their everyday lives. About half of them walk or bike to work. Inside the office, they encourage recycling and waste reduction by limiting garbage cans and avoiding single-use plastic. “We are passionate about reducing waste, carbon and chemicals in our environment,” said a BMF employee.8. What can be learned about BMF from paragraph 1?A. It guarantees the variety of food.B. It requires day-to-day care.C. It cuts the farm-to-table distance.D. It relies on farmer’s markets.9. What information does the convenient app offer?A. Real-time weather changes.B. Current condition of the plants.C. Chemical pollutants in the soil.D. Availability of pre-seeded pods.10. What can be concluded about BMF employees?A. They have a great passion for sports.B. They are devoted to community service.C. They are fond of sharing daily experiences.D. They have a strong environmental awareness.11. What does the text mainly talk about?A. BMF’s major strengths.B. BMF’s general management.C. BMF’s global influence.D. BMF’s technical standards.DGiven the astonishing potential of AI to transform our lives, we all need to take action to deal with our AI-powered future, and this is where AI by Design: A Plan for Living with Artificial Intelligence comes in. This absorbing new book by Catriona Campbell is a practical roadmap addressing the challenges posed by the forthcoming AI revolution (变革).In the wrong hands, such a book could prove as complicated to process as the computer code (代码) that powers AI but, thankfully, Campbell has more than two decades’ professional experience translating the heady into the understandable. She writes from the practical angle of a business person rather than as an academic, making for a guide which is highly accessible and informative and which, by the close, will make you feel almost as smart as AI.As we soon come to learn from AI by Design, AI is already super-smart and will become more capable, moving from the current generation of “narrow-AI” to Artificial General Intelligence. From there, Campbell says, will come Artificial Dominant Intelligence. This is why Campbell has set out to raise awareness of AI and its future now — several decades before these developments are expected to take place. She says it is essential that we keep control of artificial intelligence, or risk being sidelined and perhaps even worse.Campbell’s point is to wake up those responsible for AI-the technology companies and world leaders—so they areon the same page as all the experts currently developing it. She explains we are at a “tipping point” in history and must act now to prevent an extinction-level event for humanity. We need to consider how we want our future with AI to pan out. Such structured thinking, followed by global regulation, will enable us to achieve greatness rather than our downfall.AI will affect us all, and if you only read one book on the subject, this is it.12. What does the phrase “In the wrong hands” in paragraph 2 probably mean?A. If read by someone poorly educated.B. If reviewed by someone ill-intentioned.C. If written by someone less competent.D. If translated by someone unacademic.13. What is a feature of AI by Design according to the text?A. It is packed with complex codes.B. It adopts a down-to-earth writing style.C. It provides step-by-step instructions.D. It is intended for AI professionals.14. What does Campbell urge people to do regarding AI development?.A. Observe existing regulations on it.B. Reconsider expert opinions about it.C. Make joint efforts to keep it under control.D. Learn from prior experience to slow it down.15What is the author’s purpose in writing the text?A. To recommend a book on AI.B. To give a brief account of AI history.C. To clarify the definition of AI.D. To honor an outstanding AI expert.第二节（共5小题; 每小题2.5分, 满分12.5分）阅读下面短文, 从短文后的选项中选出可以填入空白处的最佳选项。
2024年高考试卷结构
高考试卷结构因地区和考试科目的不同而有所差异，但一般来说，主要包括以下几个方面：
1. 考试形式：高考试卷通常采用闭卷、笔试形式，考试时间一般为2小时。
2. 题型与分值：高考试卷中的题型一般包括选择题、填空题、计算题、论述题等。
不同题型所占分值不同，一般而言，选择题和填空题分值较高，计算题和论述题分值较低。
3. 知识点覆盖：高考试卷通常会涵盖该科目高中阶段所学知识点，且各知识点所占分值比例不同。
4. 难度分布：高考试卷中的题目难度通常呈现由易到难的分布，以考察学生的知识掌握程度和应用能力。
5. 考试内容：高考试卷的考试内容通常会根据该科目高中阶段的教学大纲来确定，一般包括该科目的基本概念、基本理论、基本应用等方面。
需要注意的是，具体的高考试卷结构可能会因地区、考试科目、考试年份等因素而有所差异。
因此，在备考高考时，考生应该根据自己所
在地区和所报考科目的具体情况，了解和熟悉该科目的高考试卷结构，制定合理的备考计划，提高自己的备考效率。
2024年高考评析-新结构,新思想,新导向
新结构，新思想，新教学——2024年高考数学试题评析主要内容1.“三新”背景下的高考改革2.减量增质的新高考试题分析3.考生主观题答题的情况分析4.试题对未来数学教学的启示1.“三新”背景下的高考改革•新课标2017年修订版：内容领域，核心素养，学业质量要求，命题建议，教学评等。
（附录有多个考查核心素养的案例）•新教材“主线-主题一单元一核心内容”：预备知识、函数主线、几何与代数、概率与统计、数学建模与探究、数学文化•新高考依据《课标》、无考纲、《高考评价体系》三新新高考新教材新课标•新高考命题的演变•情境化•新题型2020年•考本质•重探究2021年•强运算•用结论2022年•回教材•导衔接2023年•2020年•情境丰富；•阅读量大；•题型较多；•难度较大。
•2021年•强调数学本质；•重视数学探究。
•2022年•运算要求较高；•多次运用结论。
•2023年•回归教材•教考衔接•演变的特点（1）打破常规，敢于尝试（2020）文理不分科，情境化试题，增多选题，结构不良问题，等。
（2）稳中求变，重视本质（2021）稳定题型，情境简化，强调探究，重视数学本质。
（3）运算繁杂，回调过猛（2022）运算技巧性强，过多二级结论，分析思想，代数思维。
（4）简单回归，思维加大（2023）基础题目增多，考查概念和原理，注重数学思维过程。
2020创新2021调整2022挑战2023思维2024再创新九省联考2024省一模•新高考命题就是要优化情境设计，增强试题开放性、灵活性，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用，引导减少死记硬背和“机械刷题”现象。
•高考数学就是要发挥数学学科特点，以测试数学综合能力、发展数学核心素养为目标，通过创新试卷结构与试题形式，创新试题形式，加强情境设计，注重联系社会生活实际，增加综合性、开放性、应用性、探究性试题。
•考题的方向既清晰又模糊清晰的要按照“九省联考”的模式，题量减少，难度加大；模糊的是，难度究竟有多大？特别是最后的压轴，将是怎样的“大咖”？•复习的策略随之如何改变基础题，达到怎样的基础性？中档题又有多少？如何应对摸不着边际的“压轴题”？2. 减量增质的新高考试题分析•教育部考试院三考：“考主干、考能力、考素养”三重：“重思维、重创新、重应用”三突出：考查思维过程、思维方法和创新能力•关于试题的相关数据（1）考查内容的分布表 1 2024年与2023年新高考数学I 卷试卷考查内容与分值分布年份函数与导数解析几何三角立体几何概率统计数列集合复数向量计数原理2024462223201283556 202327272022171755555101520253035404550函数与导数解析几何三角立体几何概率统计数列集合复数向量计数原理知识点内容2024年2023年•函数与导数、几何、三角、概率统计是此次考查的主干内容, 分值在111分左右.•尤其在几何方面, 解析几何和立体几何分别占22分和20分, 如果将解三角形也归入几何领域, 那么分值达到了65分, 占比接近全卷的十分之三.•与2023年高考试题相比较, 函数与导数的占比从18%提升到30.7%, 函数与导数在单项选择题、多项选择题、填空题以及简答题四种类型的题目都有所考查, 题量分别为3、2、1、1, 考查的内容包括幂函数、分段函数单调性、指对函数的概念与性质、二次函数的单调性、抽象函数的单调性、三次函数的极值与最值和单调性、切线方程、函数的奇偶性及对称性等。
最新2024高考英语题型盘点,高考改革后的英语题型
最新2024高考英语题型盘点,高考改革后的英语题型2024年高考英语题型盘点与改革后的英语题型随着新高考改革的不断推进，2024年高考英语试卷的题型也将发生一些变化。
本文将为大家盘点2024年高考英语的最新题型，并分析改革后的英语题型，探讨其可能对学生的影响。
一、听说题型：1、听说测试：作为高考英语试卷的重要组成部分，听说测试将更加注重考察学生的实际交流能力。
听说测试可能会包括一些情境模拟，如对话、短文听力、角色扮演等，旨在评估学生的听力理解、口语表达和交流技巧。
2、机考形式：部分省份的听说测试将采用机考形式进行，这对学生适应现代化考试模式和电子设备操作的能力提出了更高的要求。
二、阅读理解：1、多项选择题：阅读理解仍将沿用多项选择题的形式，但可能会增加题量或提高难度，以更好地考察学生的阅读速度和准确度。
2、主观题：为了更好地评估学生的阅读理解能力，可能会出现一些主观题，例如问答题或短文摘要写作等。
三、完形填空：1、取消单项选择：完形填空可能将不再采用单项选择的形式，而是提供一些语境空白，让学生根据上下文填写适当的单词或短语。
2、注重语用能力：这种改革旨在更加注重学生的语用能力和语境理解，而非单一的语法知识。
四、语法填空：1、整体考查：语法填空题可能会更加注重学生对英语语法结构的整体掌握，通过提供一些语境线索，让学生在空格中填写适当的单词或词组。
2、形式变化：语法填空的形式可能会发生变化，例如可能会采用短文或对话形式，以更好地融入听说测试和阅读理解的情境。
五、写作：1、应用文写作：写作部分将继续强调应用文写作，例如信函、通知、便条等，以评估学生在实际情境中的写作能力和语言运用能力。
2、读后续写：为了考察学生的阅读理解和创作能力，写作部分可能会采用读后续写的方式，让学生根据所提供的文章进行续写或改写。
3、内容概要：为了提高学生的综合语言运用能力，写作部分可能会要求学生对所提供的文章进行内容概要或评论，以评估学生的阅读理解、写作技巧和批判性思维。
2024高考数学试题调整
2024高考数学试题调整调整内容2024 年高考数学试卷在整体上延续了原全国新课标卷的单选题、多选题、填空题、解答题的结构，知识点要求没有太大变化，但试题数量几十年来首次调整。
1、题量减少3 道：由原来的 8+4+4+6 共 22 道题目，变成 8+3+3+5 共 19 道题目，其中多选题由 4 个变成 3 个，填空题由 4 个变成3 个，解答题由 6 个变成 5 个。
2、分值有变化：单选的分值没有变化，多选的分值由之前的 5 分变成 6 分，填空题分值没有变化，解答题分值由之前的 10、12、12、12、12、12 变成现在的 13、15、15、 17、17，总分值 150 分没有变化，但选填题的总分值由原来的 80 分变为 73 分，解答题的总分值由原来的 70 分变为 77 分。
3、题目顺序有变化，特别是解答题不再是之前的三角、数列、导数、立体几何、解析几何、概率统计全考，而是六个板块中选出 4 个，最后压轴题是新题型，考察学生综合能力。
改革解读本次试题体现了高考改革需求，题目设置层次递进有序，难度结构合理，中低难度的题目平和，高难度的题目综合性强，体现了很好的区分性。
将注重培养学生的综合能力和创新思维。
在几何与代数方面，可能会注重几何问题的应用和代数思维的培养。
概率与统计方面，可能会突出数据分析和统计推理的能力。
同时，题目可能更加注重思维方法和解题过程的展示，强调学生的思考和推理能力。
备战 2024 高考的同学们，不仅要熟练掌握各个知识点，更要注重实际运用和思维方法的培养。
提醒广大考生要更加注重中档题的拿分，专注基础，保证中档题的满分。
怎么应对？1、目标 100 分以下的考生最直接的利好，题目减少，作答时间增加，而且以九省联考为例，解答题第一个送分（13 分）真是送到位了，这部分考生接下来要做的就是夯实基础，同时注意答题步骤规范，多总结，多整理错题，少出错，少重复出错。
2、目标 100-120 分之间的考生影响有限，当然由于解答题分值增加，给分可能就会更加详细，所以需要更加注意解答题的规范表达，核心步骤不能跳跃，尽可能避免丢掉一些不该丢的分。
2024年高考政治试卷黑龙江、吉林、辽宁卷(教师讲评用卷)
2024年高考政治试卷（黑龙江、吉林、辽宁卷）注意事项：本试卷共8页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．下列对“两个必然”和“两个决不会”关系认识正确的是（）①两者都依据社会基本矛盾运动规律阐释社会形态的更替问题②两者都论证了社会主义终将代替资本主义，但过程是漫长的③前者揭示社会形态更替的必然性，后者揭示其实现的条件性④前者反映资本主义社会的运行方式，后者反映社会形态更替的实现方式A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】A【知识点】生产力和生产关系的关系；社会发展的基本矛盾【解析】【分析】①符合题意，“两个必然”和“两个决不会”都依据社会基本矛盾运动规律阐释社会形态的更替问题；②不合题意，“两个必然”论证了社会主义代替资本主义的客观必然性，“两个决不会”强调了社会主义代替资本主义的长期性和艰巨性；③符合题意，“两个必然”是马克思、恩格斯运用社会基本矛盾推动社会发展的规律，对未来社会发展作出的科学预见，这是人类历史发展规律的必然指向，这揭示社会形态更替的必然性，“两个决不会”表明社会主义代替资本主义是必然的，但客观条件不具备时，这种“必然”暂时不会成为现实，揭示其实现的条件性；④不合题意，资本主义经济运行方式主要是通过资本家对工人的剥削来实现剩余价值的生产。
2024年高考数学19题新模式新结构新题型数学与阅读理解 解析版
2024年高考数学19题新模式新结构新题型1(2023上·北京朝阳·高三统考期中/24南通)已知A m =a 1,1a 1,2⋯a 1,m a 2,1a 2,2⋯a 2,m ⋮⋮⋱⋮a m ,1a m ,2⋯a m ,m(m ≥2)是m 2个正整数组成的m 行m 列的数表，当1≤i <s ≤m ,1≤j <t ≤m 时，记d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t ．设n ∈N *，若A m 满足如下两个性质：①a i ,j ∈1,2,3;⋯,n (i =1,2,⋯,m ;j =1,2,⋯,m )；②对任意k ∈1,2,3,⋯,n ，存在i ∈1,2,⋯,m ,j ∈1,2,⋯,m ，使得a i ,j =k ，则称A m 为Γn 数表．(1)判断A 3=123231312是否为Γ3数表，并求d a 1,1,a 2,2 +d a 2,2,a 3,3 的值；(2)若Γ2数表A 4满足d a i ,j ,a i +1,j +1 =1(i =1,2,3;j =1,2,3)，求A 4中各数之和的最小值；(3)证明：对任意Γ4数表A 10，存在1≤i <s ≤10,1≤j <t ≤10，使得d a i ,j ,a s ,t =0．【答案】(1)是；5(2)22(3)证明见详解【分析】(1)根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可；(2)根据条件讨论a i +1,j 的值，根据d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t ，得到相关的值，进行最小值求和即可；(3)当r i ≥2时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有r i -1条有向线段，得到横向有向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明.【详解】(1)A 3=123231312是Γ3数表，d a 1,1,a 2,2 +d a 2,2,a 3,3 =2+3=5.(2)由题可知d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t =1(i =1,2,3;j =1,2,3).当a i +1,j =1时，有d a i ,j ,a i +1,j +1 =(a i ,j -1)(a i +1,j +1-1)=1，所以a i ,j +a i +1,j +1=3.当a i +1,j =2时，有d a i ,j ,a i +1,j +1 =(2-a i ,j )(2-a i +1,j +1)=1，所以a i ,j +a i +1,j +1=3.所以a i ,j +a i +1,j +1=3(i =1,2,3;j =1,2,3).所以a 1,1+a 2,2+a 3,3+a 4,4=3+3=6,a 1,3+a 2,4=3,a 3,1+a 4,2=3.a 1,2+a 2,3+a 3,4=3+1=4或者a 1,2+a 2,3+a 3,4=3+2=5，a 2,1+a 3,2+a 4,3=3+1=4或者a 2,1+a 3,2+a 4,3=3+2=5，a 1,4=1或a 1,4=2，a 4,1=1或a 4,1=2，故各数之和≥6+3+3+4+4+1+1=22，当A 4=1111122212111212时，各数之和取得最小值22.(3)由于Γ4数表A 10中共100个数字，必然存在k ∈1,2,3,4 ，使得数表中k 的个数满足T ≥25.设第i 行中k 的个数为r i (i =1,2,⋅⋅⋅,10).当r i ≥2时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有r i -1条有向线段，所以横向有向线段的起点总数R =∑r i ≥2(r i -1)≥∑i =110(r i -1)=T -10.设第j 列中k 的个数为c j (j =1,2,⋅⋅⋅,10).当c j ≥2时，将纵向相邻两个k 用从上到下的有向线段连接，则该列有c j -1条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数C =∑c j ≥2(c j -1)≥∑j =110(c j -1)=T -10.所以R +C ≥2T -20,因为T ≥25,所以R +C -T ≥2T -20-T =T -20>0.所以必存在某个k 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，即存在1<u <v ≤10，1<p <q ≤10,使得a u ,p =a v ,p =a v ,q =k ，所以d a u ,p ,a v ,q =a u ,p -a v ,p +a v ,p -a v ,q =0，则命题得证.2(镇海高三期末)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C ：y =f x 上的曲线段AB，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB运动到B 点时，A 点的切线l A 也随着转动到B 点的切线l B ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l B 的倾斜角与l A 的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义K =lim Δs →0ΔθΔs =y 1+y 2 32(若极限存在)为曲线C 在点A 处的曲率．(其中y ＇，y ＇＇分别表示y =f x 在点A 处的一阶、二阶导数)(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆x 24+y 2=1在3,12处的曲率；(3)定义φy =22y1+y3为曲线y =f x 的“柯西曲率”．已知在曲线f x =x ln x -2x 上存在两点P x 1,f x 1 和Q x 2,f x 2 ，且P ，Q 处的“柯西曲率”相同，求3x 1+3x 2的取值范围．【答案】(1)1(2)16749(3)2e ,1 【解析】【分析】(1)依据所给定义求解即可.(2)直接利用定义求解即可.(3)合理构造给定式子，转化为一元函数，结合高观点极限方法求解即可.【小问1详解】K =ΔθΔs=π3π3=1．【小问2详解】y =1-x 24，y=-x 41-x 24 -12，y =-141-x 24 -12-x 2161-x 24-32，故y x =3=-32，y x =3=-2，故K =21+3432=16749．【小问3详解】fx =ln x -1，fx =1x ，故φy =22y 1+y3=22x ln x 3=2233s ln s 3，其中s =3x ，令t 1=3x 1，t 2=3x 2，则t 1ln t 1=t 2ln t 2，则ln t 1=-t ln tt -1，其中t =t 2t 1>1(不妨t 2>t 1)令p x =x ln x ，p x =1+ln x ⇒p x 在0,1e 递减，在1e ,+∞ 递增，故1>t 2>1e>t 1>0；令h t =ln t 1+t 2 =ln t +1 -t ln tt -1，h 't =1t -1 2ln t -2t -1 t +1 ，令m (t )=ln t -2t -1 t +1(t >1)，则m(t )=t -1 2t (t +1)，当t >1时，m (t )>0恒成立，故m (t )在(1,+∞)上单调递增，可得m (t )>m (1)=0，即ln t -2t -1t +1>0，故有h t =1t -1 2ln t -2t -1 t +1>0，则h t 在1,+∞ 递增，又lim t →1h t =ln2-1，lim t →+∞h t =0，故ln t 1+t 2 ∈ln2-1,0 ，故3x 1+3x 2=t 1+t 2∈2e ,1．【点睛】关键点点睛：本题考查求导数新定义，解题关键是将给定式子合理转化为一元函数，然后利用极限方法求得关键函数值域，最终即可求解．3(合肥一中期末)同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a ，b ∈Z ，m ∈N *且m >1．若m a -b 则称a 与b 关于模m 同余，记作a ≡b (mod m )(“|”为整除符号)．(1)解同余方程x 2-x ≡0(mod3)；(2)设(1)中方程的所有正根构成数列a n ，其中a 1<a 2<a 3<⋯<a n ．①若b n =a n +1-a n (n ∈N *)，数列b n 的前n 项和为S n ，求S 2024；②若c n =tan a 2n +1⋅tan a 2n -1(n ∈N *)，求数列c n 的前n 项和T n ．解：(1)由题意x x -1 ≡0(mod3)，所以x =3k 或x -1=3k (k ∈Z )，即x =3k 或x =3k +1(k ∈Z )．(2)由(1)可得a n 为3,4,6,7,9,10,⋯ ，所以a n =3×n +12n 为奇数3×n 2+1n 为偶数．①因为b n =a n +1-a n (n ∈N *)，所以b n =1n 为奇数2n 为偶数．S 2024=b 1+b 2+b 3+⋯+b 2024=3×1012=3036．②c n =tan a 2n +1⋅tan a 2n -1=tan3n ⋅tan3n +1 (n ∈N *)．因为tan3n ⋅tan3n +1 =tan3n +1 -tan3ntan3-1，所以T n =c 1+c 2+⋯c n =tan6-tan3tan3-1 +tan9-tan6tan3-1 +⋯+tan3n +1 -tan3n tan3-1=tan3n +1 -tan3tan3-n =tan3n +1 tan3-n -1．4(北京西城)给定正整数N ≥3，已知项数为m 且无重复项的数对序列A ：x 1,y 1 ,x 2,y 2 ,⋅⋅⋅,x m ,y m 满足如下三个性质：①x i ,y i ∈1,2,⋅⋅⋅,N ，且x i ≠y i i =1,2,⋅⋅⋅,m ；②x i +1=y i i =1,2,⋅⋅⋅,m -1 ；③p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中.(1)当N =3，m =3时，写出所有满足x 1=1的数对序列A ；(2)当N =6时，证明：m ≤13；(3)当N 为奇数时，记m 的最大值为T N ，求T N .【答案】(1)A :1,2 ,2,3 ,3,1 或A :1,3 ,3,2 ,2,1(2)证明详见解析(3)T N =12N N -1【解析】【分析】(1)利用列举法求得正确答案.(2)利用组合数公式求得m 的一个大致范围，然后根据序列A 满足的性质证得m ≤13.(3)先证明T N +2 =T N +2N +1，然后利用累加法求得T N .【小问1详解】依题意，当N =3，m =3时有：A :1,2 ,2,3 ,3,1 或A :1,3 ,3,2 ,2,1 .【小问2详解】当N =6时，因为p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中，所以m ≤C 26=15，所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次，又因为x i +1=y i i =1,2,⋯,m -1 ，所以只有x 1,y m 对应的数可以出现5次，所以m ≤12×4×4+2×5 =13.【小问3详解】当N 为奇数时，先证明T N +2 =T N +2N +1.因为p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中，所以T N ≤C 2N =12N N -1 ，当N =3时，构造A :1,2 ,2,3 ,3,1 恰有C 23项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1.对奇数N ，如果和可以构造一个恰有C 2N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么多奇数N +2而言，可按如下方式构造满足条件的序列A ：首先，对于如下2N +1个数对集合：1,N +1 ,N +1,1 ,1,N +2 ,N +2,1 ，2,N +1 ,N +1,2 ,2,N +2 ,N +2,2 ，⋯⋯N ,N +1 ,N +1,N ,N ,N +2 ,N +2,N ，N +1,N +2 ,N +2,N +1 ，每个集合中都至多有一个数对出现在序列A 中，所以T N +2 ≤T N +2N +1，其次，对每个不大于N 的偶数i ∈2,4,6,⋯,N -1 ，将如下4个数对并为一组：N +1,i ,i ,N +2 ,N +2,i +1 ,i +1,N +1 ，共得到N -12组，将这N -12组对数以及1,N +1 ,N +1,N +2 ,N +2,1 ，按如下方式补充到A 的后面，即A ,1,N +1 ,N +1,2 ,2,N +2 ,N +2,3 ,3,n +1 ,⋯,(N +1,N -1),(N -1,N +2),(N +2,N ),(N ,N +1),(N +1,N +2),(N +2,1).此时恰有T N +2N +1项，所以T N +2 =T N +2N +1.综上，当N 为奇数时，T N =T N -T N -2 +T N -2 -T N -4 +⋯+T 5 -T 3 +T 3 =2N -2 +1 +2N -4 +1 +⋯+2×3+1 +3=2N -2 +1 +2N -4 +1 +⋯+2×3+1 +2×1+1 =2N -3 +2N -7 +⋯+7+3=2N -3+32×N -2+12=12N N -1 .【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”--明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.5(如皋市)对于给定的正整数n ，记集合R n ={α |α=(x 1,x 2,x 3,⋅⋅⋅,x n ),x j ∈R ,j =1,2,3,⋅⋅⋅,n }，其中元素α称为一个n 维向量.特别地，0 =(0,0,⋅⋅⋅,0)称为零向量.设k ∈R ，α =(a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n )∈R n ，β =(b 1,b 2,⋅⋅⋅,b n )∈R n ，定义加法和数乘：kα =(ka 1,ka 2,⋅⋅⋅,ka n )，α +β=(a 1+b 1,a 2+b 2,⋅⋅⋅,a n +b n ).对一组向量α1 ，α2 ，⋯，αs (s ∈N +,s ≥2)，若存在一组不全为零的实数k 1，k 2，⋯，k s ，使得k 1α1 +k 2α2+⋅⋅⋅+k s αs =0 ，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．(1)对n =3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．①α=(1,1,1)，β =(2,2,2)；②α =(1,1,1)，β =(2,2,2)，γ=(5,1,4)；③α =(1,1,0)，β =(1,0,1)，γ=(0,1,1)，δ =(1,1,1).(2)已知α ，β ，γ 线性无关，判断α +β ，β +γ ，α +γ是线性相关还是线性无关，并说明理由．(3)已知m (m ≥2)个向量α1 ，α2 ，⋯，αm线性相关，但其中任意m -1个都线性无关，证明：①如果存在等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0(k i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )，则这些系数k 1，k 2，⋯，k m 或者全为零，或者全不为零；②如果两个等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，l 1α1 +l 2α2 +⋅⋅⋅+l m αm =0 (k i ∈R ,l i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )同时成立，其中l 1≠0，则k 1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=km l m.(1)解：对于①，设k 1α +k 2β =0 ，则可得k 1+2k 2=0，所以α ,β线性相关；对于②，设k 1α +k 2β +k 3γ =0，则可得k 1+2k 2+5k 3=0k 1+2k 2+k 3=0k 1+2k 2+4k 3=0 ，所以k 1+2k 2=0，k 3=0，所以α ,β ,γ线性相关；对于③，设k 1α +k 2β +k 3γ+k 4δ =0 ，则可得k 1+k 2+k 4=0k 1+k 3+k 4=0k 2+k 3+k 4=0 ，解得k 1=k 2=k 3=-12k 4，所以α ,β ,γ ,δ 线性相关；(2)解：设k 1(α +β )+k 2(β +γ )+k 3(α +γ)=0 ，则(k 1+k 3)α +(k 1+k 2)β +(k 2+k 3)γ =0，因为向量α ，β ，γ线性无关，所以k 1+k 3=0k 1+k 2=0k 2+k 3=0 ，解得k 1=k 2=k 3=0，所以向量α +β ，β +γ ，α +γ线性无关，(3)①k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0，如果某个k i =0，i =1，2，⋯，m ，则k 1α1 +k 2α2 +⋯+k i -1αi -1 +k i +1αi +1 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，因为任意m -1个都线性无关，所以k 1，k 2，⋯k i -1，k i +1，⋅⋅⋅，k m 都等于0，所以这些系数k 1，k 2，⋅⋅⋅，k m 或者全为零，或者全不为零，②因为l 1≠0，所以l 1，l 2，⋅⋅⋅，l m 全不为零，所以由l 1α1 +l 2α2 +⋅⋅⋅+l m αm =0 可得α1 =-l 2l 1α2 -⋅⋅⋅-l m l 1αm，代入k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 可得k 1-l 2l 1α2 -⋅⋅⋅-l m l 1αm+k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，所以-l 2l 1k 1+k 2 α2 +⋅⋅⋅+-lm l 1k 1+k mαm =0 ，所以-l 2l 1k 1+k 2=0，⋯，-lm l 1k 1+k m =0，所以k 1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=km l m.6(江苏四校)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A ，B ，C ，D 是直线l 上互异且非无穷远的四点，则称AC BC ⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB =-BA )为A ，B ，C ，D四点的交比，记为(A ,B ;C ,D )．(1)证明：1-(D ,B ;C ,A )=1(B ,A ;C ,D )；(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：(A1,B1;C1,D1)= (A2,B2;C2,D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG与ΔE F G 的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则ΔEFG与ΔE F G 对应边的交点在一条直线上．解：(1)1-(D,B;C,A)=1-DC⋅BABC⋅DA=BC⋅AD+DC⋅BABC⋅AD=BC⋅(AC+CD)+CD⋅ABBC⋅AD=BC⋅AC+BC⋅CD+CD⋅ABBC⋅AD =BC⋅AC+AC⋅CDBC⋅AD=AC⋅BDBC⋅AD=1(B,A;C,D)；(2)(A1,B1;C1,D1)=A1C1⋅B1D1B1C1⋅A1D1=SΔPA1C1⋅SΔPB1D1SΔPB1C1⋅SΔPA1D1=12⋅PA1⋅PC1⋅sin∠A1PC1⋅12⋅PB1⋅PD1⋅sin∠B1PD112⋅PB1⋅PC1⋅sin∠B1PC1⋅12⋅PA1⋅PD1⋅sin∠A1PD1=sin∠A1PC1⋅sin∠B1PD1sin∠B1PC1⋅sin∠A1PD1=sin∠A2PC2⋅sin∠B2PD2sin∠B2PC2⋅sin∠A2PD2=SΔPA2C2⋅SΔPB2D2SΔPB2C2⋅SΔPA2D2==A2C2⋅B2D2B2C2⋅A2D2=(A2,B2;C2,D2)；第(2)问图第(3)问图（3）设EF与E F 交于X，FG与F G 交于Y，EG与E G 交于Z，连接XY，FF 与XY交于L，EE 与XY交于M，GG 与XY交于N，欲证X，Y，Z三点共线，只需证Z在直线XY上．考虑线束XP，XE，XM，XE ，由第(2)问知(P,F;L,F )=(P,E;M,E )，再考虑线束YP，YF，YL，YF ，由第(2)问知(P,F;L, F )=(P,G;N,G )，从而得到(P,E;M,E )=(P,G;N,G )，于是由第(2)问的逆命题知，EG，MN，E G 交于一点，即为点Z，从而MN过点Z，故Z在直线XY上，X，Y，Z三点共线．7(高考仿真)已知无穷数列a n满足a n=max a n+1,a n+2-min a n+1,a n+2(n=1,2,3,⋯)，其中max {x,y}表示x，y中最大的数，min{x,y}表示x，y中最小的数.(1)当a1=1，a2=2时，写出a4的所有可能值；(2)若数列a n中的项存在最大值，证明：0为数列a n中的项；(3)若a n>0(n=1,2,3,⋯)，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有a n≤M？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.【答案】(1){1,3,5}(2)证明见解析(3)不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)根据定义知a n≥0，讨论a3>2、a3<2及a3,a4大小求所有a4可能值；(2)由a n≥0，假设存在n0∈N*使a n≤a n0，进而有a n≤max{a n+1,a n+2}≤a n，可得min{a n+1,a n+2}=0，即可证结论；(3)由题设a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，令S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，讨论S =∅、S ≠∅求证a n >M 即可判断存在性.【小问1详解】由a n =max a n +1,a n +2 -min a n +1,a n +2 ≥0，a 1=max {2,a 3}-min {2,a 3}=1，若a 3>2，则a 3-2=1，即a 3=3，此时a 2=max {3,a 4}-min {3,a 4}=2，当a 4>3，则a 4-3=2，即a 4=5；当a 4<3，则3-a 4=2，即a 4=1；若a 3<2，则2-a 3=1，即a 3=1，此时a 2=max {1,a 4}-min {1,a 4}=2，当a 4>1，则a 4-1=2，即a 4=3；当a 4<1，则1-a 4=2，即a 4=-1(舍)；综上，a 4的所有可能值为{1,3,5}.【小问2详解】由(1)知：a n ≥0，则min a n +1,a n +2 ≥0，数列a n 中的项存在最大值，故存在n 0∈N *使a n ≤a n 0，(n =1,2,3,⋯)，由a n 0=max {a n 0+1,a n 0+2}-min {a n 0+1,a n 0+2}≤max {a n 0+1,a n 0+2}≤a n 0，所以min {a n 0+1,a n 0+2}=0，故存在k ∈{n 0+1,n 0+2}使a k =0，所以0为数列a n 中的项；【小问3详解】不存在，理由如下：由a n >0(n =1,2,3,⋯)，则a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，设S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，若S =∅，则a 1≤a 2，a i <a i +1(i =2,3,⋯)，对任意M >0，取n 1=Ma 1+2([x ]表示不超过x 的最大整数)，当n >n 1时，a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+...+(a 3-a 2)+a 2=a n -2+a n -3+...+a 1+a 2≥(n -1)a 1>M ；若S ≠∅，则S 为有限集，设m =max {n |a n >a n +1,n ≥1}，a m +i <a m +i +1(i =1,2,3,⋯)，对任意M >0，取n 2=M a m +1+m +1([x ]表示不超过x 的最大整数)，当n >n 2时，a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+...+(a m +2-a m +1)+a m +1=a n -2+a n -3+...+a m +a m +1≥(n -m )a m +1>M ；综上，不存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有a n ≤M .【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，并构造集合S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，讨论S =∅、S ≠∅研究存在性.8(高考仿真)若项数为k (k ∈N *，k ≥3)的有穷数列{a n }满足：0≤a 1<a 2<a 3<⋅⋅⋅<a k ，且对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤k )，a j +a i 或a j -a i 是数列{a n }中的项，则称数列{a n }具有性质P ．(1)判断数列0,1,2是否具有性质P ，并说明理由；(2)设数列{a n }具有性质P ，a i (i =1，2，⋯，k )是{a n }中的任意一项，证明：a k -a i 一定是{a n }中的项；(3)若数列{a n }具有性质P ，证明：当k ≥5时，数列{a n }是等差数列．解析：(1)数列0,1,2具有性质P .理由：根据有穷数列a n满足：0≤a1<a2<a3<⋅⋅⋅<a k，且对任意的i,j(1≤i≤j≤k)，a j+a i或a j-a i是数列a n中的项，则称数列a n具有性质P，对于数列0,1,2中，若对任意的i,j(1≤i≤j≤k)，可得a j-a i=0或1或2，可得a j-a i一定是数列a n中的项，所以数列0,1,2具有性质P.⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)证明：由a i(i=1,2,⋯,k)是数列a n中的任意一项，因为数列{a n}具有性质P，即a j+a i或a j-a i是数列a n中的项，令j=k，可得a k+a i或a k-a i是数列a n中的项，又因为0≤a1<a2<⋯<a k，可得a k+a i一定不是数列a n中的项，所以a k-a i一定是数列a n中的项. ⋯⋯⋯⋯⋯8分(3)由数列{a n}具有性质P，可得a k+a k∉a n，所以a k-a k∈a n，则0∈a n，且a1=0，又由a k+a i∉a n，所以a k-a i∈a n，又由0=a k-a k<a k-a k-1<a k-a k-2<⋯<a k-a2<a k-a1，①设2≤i≤k，因为0≤a1<a2<⋯<a k可得a k-a k=0,a k-a k-1=a2,a k-a k-2=a3,⋯,a k-a2=a k-1,a k-a1=a k，当k≥5时，可得a k-a k-i=a i+11≤i≤k-1， (∗)②设3≤i≤k-2，则a k-1+a i>a k-1+a2=a k，所以a k-1+a i∉a n，由0=a k-1-a k-1<a k-1-a k-2<⋯<a k-1-a3<a k-a3=a k-2，又由0≤a1<a2<⋯<a k-3<a k-2，可得a k-1-a k-1=a1,a k-1-a k-2=a2⋯<a k-1-a k-3=a3,a k-1-a3=a k-3，所以a k-1-a k-i=a i(1≤i≤k-3)，因为k≥5，由以上可知：a k-1-a k-1=a1且a k-1-a k-2=a2，所以a k-1-a1=a k-1且a k-1-a2=a k-2，所以a k-1-a k-i=a i(1≤i≤k-1)，(∗∗)由(∗)知，a k-a k-i=a i+11≤i≤k-1两式相减，可得a k-a k-1=a i+1-a i1≤i≤k-1，所以当k≥5时，数列a n为等差数列. ⋯⋯⋯⋯⋯17分.9(安徽)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q,P的距离之比MQMP=λ(λ>0,λ≠1),λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=4，定点分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的离心率为e=1 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为k (k >0)的直线l 与椭圆C 相交于B ,D (点B 在x 轴上方)，点S ,T 是椭圆C 上异于B ,D 的两点，SF 平分∠BSD ,TF 平分∠BTD .①求BSDS的取值范围；②将点S ､F ､T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程.【答案】(1)x 28+y 26=1(2)①13,1 ②y =52x -102【解析】(1)方法①特殊值法，令M ±2,0 ,c -2 a -2=c +2a +2，且a =2c ，解得c 2=2.∴a 2=8,b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1，方法②设M x ,y ，由题意MFMA =(x -c )2+y 2(x -a )2+y 2=λ(常数)，整理得：x 2+y 2+2c -2aλ2λ2-1x +λ2a 2-c2λ2-1=0，故2c -2aλ2λ2-1=0λ2a 2-c 2λ2-1=-4，又c a =12，解得：a =22,c = 2.∴b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1.(2)①由S △SBF S △SDF =12SB⋅SF ⋅sin ∠BSF 12SD⋅SF ⋅sin ∠DSF =SB SD ，又S △SBF S △SDF =BF DF ，∴BS DS=BF DF(或由角平分线定理得)，令BF DF=λ，则BF =λFD，设D x 0,y 0 ，则有3x 20+4y 20=24，又直线l 的斜率k >0，则x 0∈-22,2 ,x B =2λ+1 -λx 0y B =-λy 0代入3x 2+4y 2-24=0得：321+λ -λx 0 2+4λ2y 20-24=0，即λ+1 5λ-3-2λx 0 =0，∵λ>0,∴λ=35-2x 0∈13,1 .②由(1)知，SB SD=TB TD=BF DF，由阿波罗尼斯圆定义知，S ,T ,F 在以B ,D 为定点的阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为C 1，半径为r ，与直线l 的另一个交点为N ，则有BF DF =NB ND ，即BF DF =2r -BF 2r +DF ，解得：r =11BF-1DF.又S 圆C 1=πr 2=818π，故r =922,∴1BF -1DF=229又DF =x 0-2 2+y 20=x 0-2 2+6-34x 20=22-12x 0，∴1BF -1DF =1λDF -1DF =5-2x 0322-12x 0 -122-12x 0=2-2x 0322-12x 0=229.解得：x 0=-22,y 0=-6-34x 20=-3104,∴k =-y 02-x 0=52,∴直线l 的方程为y =52x -102.10(郑州外国语)记U ={1,2,⋯,100}．对数列a n n ∈N * 和U 的子集T ，若T =∅，定义S T =0；若T =t 1,t 2,⋯,t k ，定义S T =a t 1+a t 2+⋯+a tk ．例如：T =1,3,66 时，S T =a 1+a 3+a 66．现设a n n ∈N * 是公比为3的等比数列，且当T =2,4 时，S T =30．(1)求数列a n 的通项公式；(2)对任意正整数k 1≤k ≤100 ，若T 1,2,⋯,k ，求证：S T <a k +1；(3)设C ⊆U ,D ⊆U ,SC ≥SD ，求证：S C +S C ∩D ≥2S D ．解：(1)当T =2,4 时，S T =a 2+a 4=a 2+9a 2=30，因此a 2=3，从而a 1=a 23=1,a n =3n -1；(2)S T ≤a 1+a 2+⋯a k =1+3+32+⋯+3k -1=3k -12<3k =a k +1；(3)设A =∁C C ∩D ,B =∁D C ∩D ，则A ∩B =∅,S C =S A +S C ∩D ，S D =S B +S C ∩D ，S C +S C ∩D -2S D =S A -2S B ，因此原题就等价于证明S A ≥2S B ．由条件S C ≥S D 可知S A ≥S B ．①若B =∅，则S B =0，所以S A ≥2S B ．②若B ≠∅，由S A ≥S B 可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ,B 中最大元素为m ，若m ≥l +1，则由第(2)小题，S A <a l +1≤a m ≤S B ，矛盾．因为A ∩B =∅，所以l ≠m ，所以l ≥m +1，S B ≤a 1+a 2+⋯+a m =1+3+32+⋯+3m -1=3m -12<a m +12≤a l 2≤S A 2，即S A >2S B ．综上所述，S A ≥2S B ，因此S C +S C ∩D ≥2S D ．11(福建模拟)2022年北京冬奥会标志性场馆--国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．(Ⅰ)利用祖暅原理推导半径为R 的球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体M ，几何体M 的底面半径和高都为R ，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d 的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明；(Ⅱ)现将椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A ，B (如图)，类比(Ⅰ)中的方法，探究椭球A 的体积公式，并写出椭球A ，B 的体积之比．【答案】解： (Ⅰ)由图可知，图①几何体的为半径为R 的半球，图②几何体为底面半径和高都为R 的圆柱中挖掉了一个圆锥，与图①截面面积相等的图形是圆环(如阴影部分)证明如下：在图①中，设截面圆的圆心为O 1，易得截面圆O 1的面积为πR 2-d 2 ，在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d ，所以，圆环的面积为πR 2-d 2 ，所以，截得的截面的面积相等(Ⅱ)类比(Ⅰ)可知，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，构造一个底面半径为b ，高为a 的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上(如图)，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为b ，高为a ；在半椭球截面圆的面积πb 2a2a 2-d 2 ，在圆柱内圆环的面积为πb 2-πb 2a 2d 2=πb 2a2a 2-d 2 ∴距离平面α为d 的平面截取两个几何体的平面面积相等，根据祖暅原理得出椭球A 的体积为：V A =2V 圆柱-V 圆锥 =2π⋅b 2⋅a -13π⋅b 2⋅a =4π3ab 2，同理：椭球B 的体积为V B =4π3a 2b 所以，两个椭球A ，B 的体积之比为b a． 【解析】本题考查新定义问题，解题的关键是读懂题意，构建圆柱，通过计算得到高相等时截面面积相等，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．(Ⅰ)由题意，直接画出阴影即可，然后分别求出图①中圆的面积及图②中圆环的面积即可证明；(Ⅱ)类比(Ⅰ)可知，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，构造一个底面半径为b ，高为a 的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为b ，高为a ，证明截面面积相等，由祖暅原理求出出椭球A 的体积，同理求出椭球B 的体积，作比得出答案．12用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f 'x 是f x 的导函数，f ''x 是f 'x 的导函数，则曲线y =f x 在点x ,f x 处的曲率K =|f (x )|1+[f (x )]232．(1)若曲线f x =ln x+x与g x =x在1,1处的曲率分别为K1，K2，比较K1，K2的大小；(2)求正弦曲线h x =sin x(x∈R)曲率的平方K2的最大值．【答案】解：(1)由题意，得f'(x)=1x+1,f''(x)=-1x2,g'(x)=12x-12,g''(x)=-14x-32，∴K1=f''(1)1+f'(1)232=-11+2232=1125,K2=g''(1)1+g'(1)232=-141+12232=1412564=2125，∴K1<K2；(2)由h(x)=sin x(x∈R)，得h'(x)=cos x,h''(x)=-sin x，则K=-sin x1+cos2x32，K2=sin2x1+cos2x3=sin2x2-sin2x3，令t=2-sin2x，则t∈1,2,K2=2-tt3，设p t =2-tt3,t∈1,2，则p't =-t3-32-tt2t6=2t-6t4，所以p't <0，p t 在1,2上单调递减，则p(t)max=p1 =1，即当sin2x=1,cos x=0时，即x=nπ+π2,n∈Z时，K2取最大值1．【解析】本题考查了导数的运算、指数幂运算、三角函数的性质、利用导数求函数的最值，属于中档题．(1)利用曲率的定义分别求出K1，K2，然后比较即可；(2)利用曲率的定义求出K，再求出K2，然后利用正弦函数的性质结合利用导数求最值即可求解．13设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1-12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋯+∠Q k-1PQ k+∠Q k PQ1)，其中Q i(i=1，2，⋯，k，k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q 1PQ 2，平面Q 2PQ 3，⋯，平面Q k -1PQ k和平面Q k PQ 1遍历多面体M的所有以P为公共点的面．(1)任取正四面体的一个顶点，求该点处的离散曲率；(2)如图1，已知长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD，AB=BC=1，AA1=22，点P为底面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则求四棱锥P-ABCD在点P处的离散曲率的最小值；(3)图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域?(只需确定“区域α”还是“区域β”)【答案】解：记∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋯+∠Q n PQ1=θ，则离散曲率为1-θ2π，θ越大离散曲率越小．(1)对于正四面体而言，每个面都是正三角形，所以∠Q1PQ2=∠Q2PQ3=∠Q3PQ1=60°，所以离散曲率为1-1 2ππ3×3=12；(2)P在底面ABCD的投影记为H，通过直观想象，当H点在平面ABCD中逐渐远离正方形ABCD的中心，以至于到无穷远时，θ逐渐减小以至于趋近于0.所以当H点正好位于正方形ABCD的中心时，θ最大，离散曲率最小．此时HA=HB=22=PH，所以PA=PB=1=AB，所以∠APB=60°，θ=4π3，离散曲率为1-12π×4π3=13；(3)区域β比区域α更加平坦，所以θ更大，离散曲率更小，故区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是区域α．【解析】本题考查空间几何体的性质以及新定义，正四面体的几何特征和曲率的计算公式，考查分析问题的能力以及空间想象能力，综合性较强，属于较难题．(1)利用离散曲率为1-θ2π，以及三角形的内角和公式求解；(2)记∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋯+∠Q n PQ1=θ，于是θ越大离散曲率越小，进而求得结果；(3)区域β比区域α更加平坦，所以θ更大，离散曲率更小，进而得答案．14近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于2π与多面体在该点的所有面角之和的差(多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示)，多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是π2，所以正方体在各顶点的曲率为2π-3×π2=π2，故其总曲率为4π．(1)求四棱锥的总曲率；(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有：D -L +M =2.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数．【答案】解：(1)四棱锥有5个顶点，4个三角形面，1个凸四边形面，故其总曲率为2π×5-4×π-2π=4π.(2)设多面体有M 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为1,2,⋯,M 号.设第i 号(1≤i ≤M )多边形有L i 条边．则多面体共有L =L 1+L 2+⋯+L M2条棱．由题意，多面体共有D =2-M +L =2-M +L 1+L 2+⋯+L M2个顶点．i 号多边形的内角之和为πL i -2π，故所有多边形的内角之和为π(L 1+L 2+⋯+L M )-2πM ,故多面体的总曲率为2πD -πL 1+L 2+⋯+L M -2πM=2π2-M +L 1+L 2+⋯+L M2 -πL 1+L 2+⋯+L M -2πM =4π所以满足题目要求的多面体的总曲率为4π．【解析】本题考查棱锥与简单组合体的结构特征，属于较难题．(1)利用总曲率定义即可得到结果；（1）利用总曲率定义及欧拉定理即可证明其为常数．。
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2024吉林新高考试卷结构、题型
【新高考】
2024吉林新高考试卷结构、题型
《吉林省普通高中学业水平选择性考试试卷结构》从2024 年开始实施。
思想政治
一、考试形式
采用闭卷、笔试形式。
考试时间 75 分钟，试卷满分 100
分。
二、题型、题量分值
题型题量分值
单项选择题16 48
非选择题 4 52
合计20 100 历史
一、考试形式
采用闭卷、笔试形式。
考试时间 75 分钟，试卷满分 100分
二、题型、题量及分值
题型题量分值
单项选择题16 48
非选择题 4 52
合计20 100 地理
一、考试形式
采用闭卷、笔试形式。
考试时间 75 分钟，试卷满分100分。
二、题型、题量及分值
题型题量分值
单项选择题16 48
非选择题 3 52
合计19 100 物理
一、考试形式
采用闭卷、笔试形式。
考试时间 75 分钟，试卷满分 100
分。
二、题型、题量及分值
题型题量分值
单项选择题7 28
多项选择题 3 15
非选择题 5 57
合计15 100 化学
一、考试形式
采用闭卷、笔试形式。
考试时间 75 分钟，试卷满分 100
分。
二、题型、题量及分值
题型题量分值
单项选择题14 42
非选择题 4 58
合计18 100 生物学
一、考试形式
采用闭卷、笔试形式。
考试时间 75 分钟，试卷满分 100
分。
二、题型、题量及分值
题型题量分值
单项选择题16 48
非选择题 5 52
合计21 100 2024年吉林高考满分是多少
2024年吉林高考满分为750分。
由语文、数学、外语(含英语、俄语、日语、德语、法语、西班牙语)统一高考科目和3门普通高中学业水平选择性考试科目(含1门首选科目和2门再选科目)组成，不分文理科。
吉林新高考改革方案
1、考试类型
普通高中学业水平考试分为合格性考试(以下简称合格考)和选择性考试(也称等级性考试，以下简称选择考)。
合格考成绩作为普通高中学生毕业、高中同等学力认定的主要依据。
选择考成绩计入考生总成绩，作为普通高等学校招生录取的重要依据。
2、考试科目
合格考科目覆盖国家普通高中课程方案规定的语文、数学、外语、思想政治、历史、地理、物理、化学、生物学、信息技术、通用技术、音乐、美术、体育与健康14门科目。
选择考设置思想政治、历史、地理、物理、化学、生物学6门科目。
3、考试对象
合格考试对象为普通高中在校学生、高中阶段其他学校在校学生和社会人员。
选择考试对象为符合教育部和高考报名条件并已报名参加考试的人员。
4、考试内容
以国家普通高中课程方案和课程标准为依据。
合格考试范围为课程标准确定的必修内容。
选择考试范围为课程标准确定的必修和选择性必修内容。
2024年实行新高考的省份有哪些
2024年实行新高考的省份是黑龙江、甘肃、吉林、安徽、江西、贵州、广西。
新高考模式的省份：
2023年有14个省份采用新高考模式：浙江、上海、江苏、山东、福建、广东、海南、北京、天津、河北、辽宁、重庆、湖南、湖北。
2024年有7个省份将开始首届新高考，加
入新高考队伍：黑龙江、甘肃、吉林、安徽、江西、贵州、广西。
首届新高考的省份：
2025年山西、河南、陕西、内蒙古、四川、云南、宁夏、青海8个省份首届新高考，截止目前全国共有29个省份启动新高考改革。
高考科目：
全国统一考试科目包括语文、数学、外语(含英语、俄语、日语、法语、德语、西班牙语)3门科目，不分文理，使用全国卷。
选择性科目由学生根据高校选科要求，结合自身特长兴趣，首先在物理和历史中选择1门，再从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门，即3+1+2模式。
高考的意义
选拔人才：
高考是选拔人才的重要途径之一。
通过高考，学校能够从众多考生中选拔出优秀的学生，为社会培养各个领域的人才。
高考的成绩直接关系到考生是否能够进入理想的大学，进而决定了他们未来的发展方向。
促进教育公平：
高考的实行，促进了教育公平。
高考是通过一次统一的考试来选拔学生，避免了地区和学校的差异对学生择校、升学造成的影响。
所有的考生都站在同一起跑线上，有公平竞争的机会。
高考是一个公平、公正的选拔机制。
只要通过高考，就有机会进入理想的大学。
激励学习：
高考作为一项重要考试，对学生的学习态度和学习动力有很大的激励作用。
学生为了取得好的成绩，会更加努力地学习，提高自己的知识和能力。
这种激励作用有助于培养学生的自律能力和学习习惯。
高考的存在，对于提高学校和教师的教育质量起到了一定的促进作用。