2020北大自主招生数学试题

一.选择题

1.整数x,y,z 满足xy+yz+zx=1，则(1+2x )(1+2

y )(1+2z )可能取到的值为（ ） A ．16900 B ．17900 C ．18900 D ．前三个答案都不对

2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（ ）

A ．3524

B ．3624

C ．3724

D ．前三个答案都不对

3.已知x ∈[0,2

π]，对任意实数a ，函数y=2cos x −2a cosx+1的最小值记为g(a )，则当a 取遍所有实数时，g(a )的最大值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．前三个答案都不对

4.已知2010−202是2n 的整数倍，则正整数n 的最大值为（ ）

A ．21

B ．22

C ．23

D ．前三个答案都不对

5.在凸四边形ABCD 中，BC=4，∠ADC=60∘，∠BAD=90∘，四边形ABCD 的面积等于

2AB CD BC AD ⋅+⋅，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（ ）

A ．6.9

B ．7.1

C ．7.3

D ．前三个答案都不对

二.填空题

6.满足等式120151

11+)(1)2015

x x +=+（的整数x 的个数是_______． 7.已知a ,b,c,d ∈[2,4]，则2

2222()()()

ab cd a d b c +++ 的最大值与最小值的和为___________

8.对于任意实数x ∈[1,5],|2x +px+q|≤2,的最大整数是__________

9.设x=2222b c a bc +-,y=2222a c b ac +-,z=222

2b a c ba

+-,且x+y+z=1，则201520152015x y z ++的值为___ 10.设12,,...,n A A A 都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集，已知|i A |为奇数，1≤i ≤n,|i j A A ⋂|为偶数，1≤i ≠j ≤n ，则n 的最大值为____________

三．解答题

11.已知数列{n a }为正项等比数列，且3412a a a a +--=5,求56a a +的最小值

12.已知f (x)为二次函数，且a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))成正项等比数列，求证：f (a )=a

13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角△ABC 的三边满足a >b>c ， 求证：这个三角形内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B

+ 14.从O 出发的两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于A 、B 两点，且AOB S ∆=c(c 为定值),记AB 的中点为X ， 求证：X 的轨迹为双曲线

15.已知i a (i=1,2,3,…,10)满足：1210...a a a +++=30，1210...a a a <21，求证：i a ∃，使得i a <1

##Answer##

1．1+2x =xy+yz+zx+2x =(x+y)(x+z)，同理1+2

y =(y+z)(y+x),1+2z =(z+x)(z+y) (1+2x )(1+2y )(1+2z )=2

[()(y z)(z x)]x y +++，对照前三个答案，只有A 是一个完全平方数 检验，不妨取x+y=2,y+z=5,z+x=13,有解x=5,y =−3,z=8.选A

2.考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50，则必有2个数位于 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意．所以这50个不同的正整数中必有50，而 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选中．因为50+49=99，所以(49,51)中选51；因为51+48=99，所以(48,52)中选52；以此类推，可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法．经检验，选50,51,52,⋯,98,99满足题意，此时50+51+⋯+98+99=3725。故选D ．

3.令t=cosx ，令h(t)=2t −2a t+1,t ∈[0,1],g(a )=2(1)22,1()1,01(0)1,0h a a h a a a h a =-≥⎧⎪=-+<<⎨⎪=≤⎩

作图象知最大值为1，选A

4. 2010−202=202(205-1)=202(105+1)(105-1)=202(105+1)(55+1)(5-1)(432

555+++5+1),

432555+++5+1是奇数，5-1=4是22，55+1=54+1（）+1被4除余数为2，同理105+1被4除余数也是2，于是n 的最大值为24，选D

5.设四边形ABCD 的面积为S ，直线AC,BD 的夹角为θ，则

7.设a =(a ,d),b =(b,c)，二者夹角为θ，则所求为2||||a b a b ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭

=2cos θ，如图

0≤θ≤∠AOB ⇒1≥cos θ≥cos ∠AOB=

||||OA OB OA OB ⋅=45⇒1625≤2cos θ≤1。填4125 8.设y=f (x)=2x +px+q,x ∈[1,5]，它可以由y=2x ,x ∈[-2,2]平移得到，y=2x 最值之差为4，根据|2x +px+q|≤2，