(最全)高中数学概率统计知识点总结(最新整理)

∑ (x - x ) ∑ ( y - y ) n

2

n

2

i =1

i i =1

i

∑ (x - x ) ∑ ( y - y ) n 2

n

2

i =1

i i =1

i

1 2 n 1 2 n n i i

i

i

i

一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。

概率与统计

x + x + ⋅⋅⋅ + x x + x + ⋅⋅⋅ + x 2、平均数：①、常规平均数： x = 1 2 n

n

②、加权平均数： x = 1 1 2 2 n n

+ + ⋅⋅⋅ + 1 2 n

3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。

4、方差： s 2

= 1

[(x - x )2

+ (x - x )2

+ ⋅⋅⋅ + (x - x )2 ]

n

1 2 n

二、频率直方分布图下的频率

1、频率 =小长方形面积： f = S = y ⨯ d ；频率=频数/总数

2、频率之和： f + f + ⋅⋅⋅ + f = 1；同时 S + S + ⋅⋅⋅ + S = 1 ；

三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。

2、平均数： x = x f + x f + x f + ⋅⋅⋅ + x f x = x S + x S + x S + ⋅⋅⋅ + x S 1 1

2 2

3 3

n n

1 1

2 2

3 3

n n

3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于 0.5 时 x 的值。

4、方差： s 2 = (x - x )2 f + (x - x )2 f + ⋅⋅⋅ + (x - x )2 f

1

1

2

2

n

n

四、线性回归直线方程： y ˆ = b ˆx + a ˆ

n n

∑

(x i - x )( y i - y ) ∑ x i y i - nxy 其中： b ˆ = i =1 = i =1 ,

a ˆ = y -

b ˆx

∑n (x - x )2 ∑ x 2 - nx 2

i =1

i

i

i =1

1、线性回归直线方程必过样本中心(x , y ) ；

2、b ˆ > 0 : 正相关； b ˆ < 0 : 负相关。

3、线性回归直线方程： y ˆ = b ˆx + a ˆ 的斜率b ˆ 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。 五、回归分析

1、残差： e ˆ = y - y

ˆ （残差=真实值—预报值）。分析： e ˆ 越小越好；

i

i

i

i

2、残差平方和： ∑n

( y - y ˆ )2

， i =1

分析：①意义：越小越好； ②计算： ∑n

( y - y ˆ )2 = ( y - y ˆ )2 + ( y - y ˆ )2 + ⋅⋅⋅ + ( y - y ˆ )2

i =1

i i 1 1 2 2 n n

∑n

( y - y

ˆ )2 3、拟合度（相关指数）： R 2

= 1-

i =1

，分析：①. R 2 ∈(0,1] 的常数；

②.越大拟合度越高；

∑n ( y - y )2

i =1

n

n

∑ (x i - x )( y i - y ) ∑ x i y i - nx ⋅ y

4、相关系数： r =

i =1

=

i =1

分析：①.

r ∈[-1,1] 的常数； ②. r > 0 :正相关； r < 0 : 负相关

③. r ∈[0, 0.25]；相关性很弱； 六、独立性检验

1、2×2 列联表：

2、独立性检验公式 r ∈(0.25, 0.75) ；相关性一般；

r ∈[0.75,1]；相关性很强；

①． k 2 = n (ad - bc )2

(a + b )(c + d )(a + c )(b + d )

②．犯错误上界 P 对照表

3、独立性检验步骤

距

x 1

x 2

合计

y 1 a b a + b y 2

c d

c +

d 合计

a + c

b + d

n

0 0

①．计算观察值k ： k =

n (ad - bc )2

；

(a + b )(c + d )(a + c )(b + d )

②．查找临界值k ：由犯错误概率 P ，根据上表查找临界值k ； ③．下结论： k ≥ k ：即犯错误概率不超过 P 的前提下认为： ,有 1-P 以上的把握认为： ; k < k ：即犯错误概率超过 P 的前提认为： ,没有 1-P 以上的把握认为：

;

【经典例题】

题型 1 与茎叶图的应用

例 1（2014 全国）某市为考核甲、乙两部门的工作情况，学科网随机访问了 50 位市民。根据这 50 位市民 （1） 分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；

（2） 分别估计该市的市民对甲、乙 部门的评分做于 90 的概率； （3） 根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙学科网两部门的评价。

题型 2 频率直方分布图的应用

例 2（2015 广东）某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度），以[160,180) ，[180, 200) ，[ 200, 220) ，

[ 220, 240) ，[ 240, 260) ，[ 260, 280) ，[ 280,300] 分组的频率分布直方图如图 2，

（1） 求直方图中 x 的值； （2） 求月平均用电量的众数和中位数；

（3）在月平均用电量为[ 220, 240) ，[ 240, 260) ，[ 260, 280) ，

[ 280,300] 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则 月平均用电量在[ 220, 240) 的用户中应抽取多少户？

练习 2 （2014 全国 1）从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：

质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125)

频数 6 26 38 22 8