碰撞振动系统Lyapunov指数谱的计算
关于Lyapunov指数计算方法的比较
关于Lyapunov指数计算方法的比较
张海龙;闵富红;王恩荣
【期刊名称】《南京师范大学学报（工程技术版）》
【年(卷),期】2012(012)001
【摘要】针对常用的几种Lyapunov指数数值计算方法,即定义法、正交法、wolf 法和小数据量法,以典型的Lorenz系统为例,分别计算Lorenz混沌吸引子的Lyapunov指数谱或者最大Lyapunov指数,比较各种方法的计算精度、计算复杂度,并且对含噪声的混沌时间序列给出Lyapunov指数计算结果,比较各种抗干扰能力.给出了不同计算方法的性能差异、适用场合和选择依据.
【总页数】5页(P5-9)
【作者】张海龙;闵富红;王恩荣
【作者单位】南京师范大学电气与自动化工程学院,江苏南京210042;南京师范大学电气与自动化工程学院,江苏南京210042;南京师范大学电气与自动化工程学院,江苏南京210042
【正文语种】中文
【中图分类】O415
【相关文献】
1.分段线性齿轮系统的Lyapunov指数计算方法 [J], 杨建军;李晋;邓效忠;方宗德
2.带约束多体系统Lyapunov指数的数值计算方法 [J], 付士慧;王琪
3.非光滑动力系统Lyapunov指数谱的计算方法 [J], 金俐;陆启韶
4.一类基于奇异值分解的Lyapunov指数计算方法 [J], 张晓丹;李志萍;张丽丽
5.极限图形映射中Lyapunov指数计算方法浅析 [J], 金媛媛
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lyapunov方程的求解
lyapunov方程的求解
听说Lyapunov方程了吗？就是那个让一堆数学大师头疼的东西。
不过别担心，咱们就用大白话聊聊。
说简单点，Lyapunov方程就像是给系统稳定性拍了个“X光”，能看出系统内部的问题。
你想想看，要是你的自行车轮子不稳，骑
起来就得摇摇晃晃，对吧？这就是因为稳定性没搞好。
而Lyapunov
方程就是帮我们找到那个能让系统稳如泰山的“魔法公式”。
话说回来，求解Lyapunov方程可不是件轻松的事儿。
你得有点
数学功底，还得有点耐心和毅力。
有时候，解这个方程就像是解一
个复杂的拼图游戏，得把各个碎片拼在一起，才能看到完整的图画。
不过，好消息是，现在有了电脑和数学软件，求解Lyapunov方
程变得容易多了。
就像是你有了一个超级助手，帮你处理那些繁琐
的计算和推理。
这样一来，你就能更快地找到答案，也不用那么头
疼了。
所以啊，虽然Lyapunov方程听起来有点吓人，但只要咱们用对
方法，就能轻松搞定它。
就像是你面对一个看似复杂的问题，只要找到了解决方法，就能迎刃而解。
这就是数学的魅力所在！。
基于组合策略的Lyapunov指数谱的计算
(9)
将 (9) 式变形 ,可得 :
ΔXt + kτ = D F( m) k ( t) ΔXt
(10)
根据 Oseledec 乘积遍历性定理[7] ,可构造以下矩阵 :
A
=
lim [
(
D F( m)
k
)
T
·(
D F( m)
k
)
1
]2k
k →∞
(11)
假定矩阵 A 的全部特征值为ρ1 ,ρ2 , …,ρm ,则原始序列{ xi }的 Lyapunov 指数谱为 :
单维的混沌时间序列{ xi } ( i = 1 ,2 , …, N) ,由相空间重构理论[5 ,6] 可以得到该序列在 m 维重构相空间中的
相点为 :
Xt = ( xt , xt- τ , …, xt- ( m- 1)τ) t = ( m - 1)τ + 1 , ( m - 1)τ + 2 , …, N
第7期
基于组合策略的 Lyapunov 指数谱的计算
95
数 f ( Xt ) 往往并非是纯粹的线性函数或非线性函数 ,而是总体上表现为非线性但在某些局部表现为线性 ,
或者总体上表现为线性而某些局部表现为非线性. 因此 , f ( Xt ) 可以看成某线性函数与非线性函数的加权
叠加 ,即 :
f ( Xt ) = αfL ( Xt ) + βf NL ( Xt )
xt +τ
xt
F( m) :
xt
→
xt - τ
⁝
⁝
(4)
xt - ( m - 2)τ
xt - ( m - 1)τ
对于 (4) 式 ,不妨令 :
n维离散系统李雅普诺夫指数
n维离散系统李雅普诺夫指数
在数学和动力系统理论中，n维离散系统的李雅普诺夫指数（Lyapunov exponent）是一种描述系统稳定性和混沌性质的重要指标。
它衡量了在系统的相空间中初始条件微小变化的指数增长率。
对于一个n维离散系统，设其状态变量为x=[x1, x2, ..., xn]，时间步长为τ。
考虑一个由初始条件x0引起的微小扰动，用δx 表示，表示初始条件发生微小变化后得到的新状态变量。
通过迭代系统的动力学方程，可以得到δx的演化方程：
δx(t+τ) ≈ J(t) δx(t)
其中，J(t)表示系统在时间t处的雅可比矩阵，其定义为系统状态变量对于时间的导数。
李雅普诺夫指数λ定义为：λ = lim (1/t)log‖J(t)δx(0)‖
其中，t趋近于无穷大，‖‖表示向量的模。
李雅普诺夫指数的值可以为正、负或零，分别表示系统的指数增长、指数衰减或者不变。
n维离散系统的李雅普诺夫指数对于系统的稳定性和混沌性有着重要的意义。
当所有的李雅普诺夫指数都为负时，系统是稳定的；当至少一个李雅普诺夫指数为正时，系统是混沌的；而当所有的李雅普诺夫指数为零时，系统是边界稳定的或周期性的。
通过计算和分析系统的李雅普诺夫指数，可以揭示系统的
动力学性质，例如系统的稳定性、周期性还是混沌性质，并对系统的行为进行预测和控制。
因此，李雅普诺夫指数在动力系统理论和非线性科学领域有着广泛的应用。
李雅普诺夫指数的综述.doc
李雅普诺夫指数• 1.李雅普诺夫指数的定义• 2. 李雅普诺夫指数的划分意义• 3. 李雅普诺夫指数用在混沌中,如何应用一李雅普诺夫指数的定义李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间的推移,按指数分离或聚合的平均变化速率。
李雅普诺夫指数的定义: 首先考虑一维映射假设初始位置附近有一点,则经过一次迭代后,这两点之间的距离为：（1）并利用微分中值定理有：（2）n次迭代后,并利用微分中值定理,这两点之间的距离为：（3）由（3）式可得：（4）又由复合函数的微分规则有：其中那么式（4）就变为：（5）则称（6）为Lyapunov指数。
一维映射就对应一个李雅普诺夫指数,而且当时,该系统具有混沌特性。
当时,对应着分岔点或系统的周期解,既系统出现周期现象。
时,系统有稳定的不动点,即此时对应的是一个点。
而对于多维系统则有多个李雅普诺夫指数。
Lyapunov 特性指数沿某一方向取值的正负和大小表示长时间系统在吸引子中相邻轨线沿该方向平均发散或收敛i的快慢程度,仅从数学角度考虑,Lyapunov特性指数无量纲。
n 维系统具有n 个Lyapunov 特性指数,形成指数谱。
其中数值最大的被称为最大Lyapunov 特性指数。
最大Lyapunov 指数定义为其中,表示时刻最邻近零点间的距离；M为计算总步数。
最大Lyapunov指数不仅是区别混沌吸引子的重要指标,也是混沌系统对于初始值敏感性的定量描述。
其中一维系统只有一个指数,二维系统有两个指数来表征。
在实际计算中,要计算所有的Lyapunov指数,计算量较大,尤其当系统维数L较大时更为突出.所以注意力集中在计算系统的最大Lyapunov指数λm上.二李雅普诺夫指数的物理意义系统的Lyapunov指数谱可有效地表征变量随时间演化时,系统对初值的敏感性。
指数小于零说明体系的相体积在该方向上是收缩的,此方向的运动是稳定的；而正的指数值则表明了体系的相体积在该方向上不断膨胀和折叠,以致吸引子中本来邻近的轨线变得越来越不相关,从而使初态对任何不确定性的系统的长期行为成为不可预测,即所谓的初值敏感性。
lyapunov方程求数值解
lyapunov方程求数值解
Lyapunov方程是控制理论中的一个重要方程，用于求解线性系
统的稳定性。
Lyapunov方程的一般形式为AX + XA^T = -Q，其中A
是系统的状态矩阵，X是要求解的对称正定矩阵，Q是一个对称正定
矩阵。
Lyapunov方程的解决对于确定系统的稳定性和性能至关重要。
要求解Lyapunov方程的数值解，通常可以采用以下方法之一：
1. Schur分解法，这是一种常用的数值方法，它将状态矩阵A
分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
然后，可以将Lyapunov方程转化为一个更容易求解的形式，进而求解X的数值解。
2. 离散时间Lyapunov方程的数值解，对于离散时间系统，可
以利用迭代法或者数值线性代数方法来求解Lyapunov方程的数值解。
3. MATLAB等数学软件，许多数学软件包括MATLAB都提供了专
门用于求解Lyapunov方程的函数或工具箱，可以直接利用这些工具
来求解数值解。
无论采用哪种方法，都需要注意数值解的稳定性和精度，尤其
是在系统维度较大时。
此外，还需要对所得到的数值解进行验证，确保其满足Lyapunov方程的定义和性质。
总之，求解Lyapunov方程的数值解需要结合数值方法和专业工具，以确保得到准确可靠的结果。
最大Lyapunov指数计算的几种方法
最大Lyapunov指数计算的几种方法
张军;汪秉宏
【期刊名称】《地震》
【年(卷),期】1994(000)004
【摘要】地震预报以各种时间序列数据为依据，因此如何从大量的时间序列中提取描述地震蕴孕过程的复杂性特征，成为从非线性科学角度探索地震预报的一个重要研究方向。
本文讨论了混沌吸子的Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数计算问题，并以一个模拟时间序列为例，讨论了如何从实验数据时间序列计算Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数的问题，给出了两种实用的计算方法，对数值计算结果作了比较。
此方法可用于地震及前兆时间序列复杂性刻划。
【总页数】7页(P86-92)
【作者】张军;汪秉宏
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】P315.7
【相关文献】
1.一种基于模糊C均值聚类小数据量计算最大Lyapunov指数的新方法 [J], 周双;冯勇;吴文渊;汪维华
2.基于小波变换的最大Lyapunov指数的计算方法 [J], 陈琢;梁蓓
3.基于行列式计算的几种特殊计算方法解析 [J], 王俊花
4.基于行列式计算的几种特殊计算方法解析 [J], 王俊花;
5.开关变换器的仿真建模方法及最大Lyapunov指数计算 [J], 周宇飞;汪莉丽;陈军宁
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含-X5+X7项Duffing方程的Lyapunov指数计算
◎叶 锋 （ 广州科技职业学 院基础部 ）
摘要：本文主要是利用非重正 交化 的Ｒ Ｒ 法计 算含 （ Ｈ算 一ｘ ＋ｘ’ ） 项Ｄ ｆ ｉ ｇ ｕ ｆ ｎ 方程 的Ｌ ａ ｕ ｏ ￣数 ，并 利用 四阶Ｒ ｎ ｅ Ｋ ｔ 法求 出 ｙ ｐｎ ｖ ｕ ｇ — ｕｔ ａ Ｌ ａ ｕ ｏ ￥ 数与参数 间的变化 关系，从而确定 了系统 由混沌状 态 ｙ ｐｎｖ￣ 之 进 入 周 期 状 态 的 阈值 。
程：
［
将式 （ ． ）代 入式 （ ． ）中， ２７ ２５ 并且左乘 Ｏ和右乘 （得到 ） １ ）
（ （ ＋ｊ ） ） （ ∞ ） ０＝ 五０ ＝， （ ｆ ｆ ｛应 ） ） ＝ ｆ ） ， ） 厶， （ （ ） ２ ２》 ｇ 利 用ＲＲ 法思想， Ｈ算 将正交矩 阵 写成 角度变量 的形式：设角度 ∞
变量为 ） ０ ，则正 交矩 阵 ∞和其相应 的上－ Ｊ 阵为 － 矩 ＝Ｚ
ｃｏ
＝
＋ 一ｘ ＋ｘ ＝ ｃ ｓ ｏ（ ）
（．） １ １
ｓ ｔ Ｏ（ ） ）
的Ｌ ａ ｕ ｏ 指 数 ， 并 利 用 四 阶 Ｒ ｎ ｅ Ｋ ｔ ａ 计 算 出 ＝１ ＝０５ ｙ ｐｎｖ ｕ ｇ－ｕ ｔ法 ， 时 的Ｌ ａ ｕ ｏ 指数 与 参 数 ｝之间 的 变 化 关 系 。 ｙｐｎｖ ２ 系 统 （ ． ）的Ｌ ａ ｕ ｏ 指数 １１ ｙ ｐ ｎｖ
删
因 不参与Ｌａｕｏ指数的运算，敌不考虑其形式。 ｙｐｎｖ
将 式 （ ． ）代 入 式 （ ． ２９ ２８）中 ， 有
） 胁 Ｐ （ ｌ ２ ｌ ＿ ， ） ］
对于确 定的动 力系统 ，求Ｌ ａ ｕ ｏ 指数 的方法可 归结 为两种 ： ｙｐ ｎ ｖ 种 是基于系 统基本解矩 阵的Ｑ 分解 ［］ Ｒ ２ ；另 一种是基 于系统基本解 矩阵 的奇异值 分解 。奇异值分解法 由于计算过程 的耗时性和计算结果 的不 稳 定 性 逐 步被 舍 弃 ，然 而 Ｑ 分 解 法 也 有 其 局 限 性 ： 矩 阵Ｑ 正 交 Ｒ 的 性 随 着 时 间 的推 移 逐 渐丧 失 会 使 得 到 的 Ｌ ａ ｕ ｏ 指数 误 差 偏 大 。 文 献 ｙｐｎｖ ［］ ２ 分别给 出了维 持矩 阵Ｑ 正交性的重正交化方法 ，虽然 这些 方法可 以 较好 的保 持矩阵Ｑ 的正交性 ，但 频繁 的重 正交和数值调 整使计算效 率 低下 ，不利于 实际应用 。１ ９ 年Ｒ ｎ ａ ａ ａ 等人提 出了非重正交化的 ９ ８ ａｇｒｊｎ ＲＲ Ｈ 算法 ，下面主要利 用改进 的Ｒ Ｒ Ｈ 算法求解系 统 （ ． ）的Ｌ ａ ｕ ｏ １１ ｙｐｎ ｖ 指数 。 设 系统 （ ． ） 的初 始 值 为ｘｏ＝１ （） ，将 系 统 （ ． ） 转 化 为 １１ （） ， ０＝１ １１
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１ 力学模 型及其 Ｌ ａｕ ｏ 指数谱的计算 ｙｐ ｎ ｖ
图１ 为两 自由度含间隙碰撞振动系统的力学模 型Ｌ 。 １． 。 在任意相邻两 次碰撞之 间， 系统的无量纲运
动 微分 方程 为
［ ［
ｌ １Ｉ ｂ ＜ ． Ｘ
［ ２ 一 ｛
｝ ＋ ，
（） １
数 （ 件 Ｌ ａｕ ｏ 条 ｙ ｐ ｎ ｖ指数 ） 皆应 为 负值． 因此 计 算 Ｌ ａｕ ｏ 指数谱对于判定动力系统的运动稳定性 、 ｙｐ ｎ ｖ 混 沌特 性及 混沌控 制都 是极 为重要 的． 目前， 对光滑动力 系统 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙｐ ｎ ｖ指数谱计算
及其 Ｊｃｂ 矩 阵， 出碰撞振动 系统 Ｌ ａ ｕ ｏ 指数谱 的计算方 法； ａｏ ｉ 得 ｙｐ ｎ ｖ 通过 数值仿 真给 出 了系统 的 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙｐ ｎ ｖ指数谱
随参数 大范围变化的规律 ， 与相应 的分岔 图进行对照 ， 验证 了其方法的正确性 和有效性 ．
关 键 词 ： 撞 振 动 ； ｙｐ ｎ ｖ指 数 谱 ； 岔 ； 沌 碰 Ｌ ａｕｏ 分 混１２ Βιβλιοθήκη ＸＡ 一 一 Ｊ一 ｌ十 Ａ
兰
（ｃ一 ６ ， ｓ ）
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第３ １卷
主 ｌ ｃ ＋一一 Ｒ １ （ 一 一 ６ ． 主ｃ － ）
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１ ２ … ，，
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（） ７
方程（） １ 的解见文献［． ８ 由于碰撞的存在 ， ］ 使得 质块 Ｍ１的速 度 在碰 撞 前 后 瞬 时 发生 突变 ， 向量 场 在该处 的 Ｊｃｂ 矩阵不 存在 ， ａｏｉ 因此光滑 动力系统 Ｌ ａ ｕｏ 指数谱 的计算 方法不能直接应用到该碰 ｙｐ ｎ ｖ 撞振 动 系统． 此利 用 Ｐ ｉｃｒ 在 ｏｎａ６映射 方 法将 图 ｌ所
Ｊｃｂ 矩 阵 ， 出 系 统 Ｌ ａｕ ｏ ａｏ ｉ 得 ｙｐ ｎ ｖ指 数 谱 的计 算 方
八／—＿ ２ Ｌ ＿ —— 八 ＿ ｛肼 』 肘Ｊ
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图 １ 系统模型图
Ｆ ｇ １ Ｓ ｈ ｍａ ｉ ｉｇ ａ ｏ ｈ ｙ ｔｍ ｉ． ｃ ｅ ｔ ｄ ａ ｒ ｍ ｆｔ ｅｓ ｓ ｅ ｃ
示 系统 在碰撞 截 面处 离散 化 ， 出系统 的 映射 方 程 得
方 法 的研 究 已 比较 成 熟 ［］但 是 相 对 而 言 ， 非 光 ２． 对 滑 动力 系统 ， ｙｐ ｎ ｖ 数谱计 算 方法 的研 究 还处 Ｌ ａｕ ｏ 指 于不 成熟 阶段 ． Ｃ７ 对 碰撞 振 动 系 统 ， 连 续 两 文 ｓ］ －针 在 次碰 撞 之间 ， 引人 超 越 映 射 ， 光 滑 离 散 动 力 系 统 将
法． 最后 ， 通过数值仿真的方法验证 了该计算方法的 正确性 和有效性 ．
质块 Ｍ 冲击 方程 为 的
收 稿 日期 ：０ ２０ —０ ２ １—３３
基金项 目： 国家 自然科学基金（ 】 ７ １ ９ １ ９ ２ ９ ） 兰州交通 大学青 年科学研究基金（ ０ １ １ ） １１ ２ １ ， ０ ７０ ５ ； ２ １ ０ ４ 作者简介 ： 吕小红 （９ ７） 男， １ ７ 一， 甘肃天水人 ， 博士生 ， 讲师．
中图分类号 ： ３ ０３ ２
文献标 志码 ： Ａ
０ 引言
自从 １６ ９ ３年美 国气象 学家 Ｌ ｒｎ 正 式 提 出混 ｏｅｚ 沌理论 以来 ， 沌理论 得 到 了快 速发 展． 混 对初 始值 的 极端 敏感性 是混 沌 系统 的一 个重 要 特 性 ， ｙｐ ｎ ｖ Ｌ ａ ｕ ｏ 指数谱 是定 量描 述 这 种 特性 的重 要 指标 ． 当系 统 的 Ｌ ａｕ ｏ 数 出现正值 时 ， ｙｐ ｎｖ指 意味着 系统 处 于 混沌 状 态 Ｌ． 外 ， 定 由混沌 系统 分解 出 的子系 统 间能 否 １此 ］ 判 实现 同步 的主要 判据 之 － ｉ子 系 统 的 Ｌ ａｕ ｏ ￣ １ ］ ｙｐ ｎ ｖ指
Ａ
／， ／， ／ Ｉ
ｌ 一 ２Ｂ — Ｉ
Ｌ ａ ｕ ｏ 指数谱的计算方法应用到该 系统． ｙｐ ｎ ｖ 文 。 ］ 对维 非光 滑 （ 刚性 约束 和分段 光滑 ） 动力 系统 引进局 部映射 ， 利用 Ｐ ｉ ａ６ ｏ ｃｒ 映射分析方法得 出了非光滑 ｎ 系统 Ｌ ａｕ ｏ 指数谱 的计算方法． 文以系统第 ｙｐ ｎ ｖ 本 次碰撞后的瞬时状态作为初值 ， 利用 Ｐ ｉ ａ６ ｏｎ ｒ 映射 ｃ 方法 构建 含 间隙碰撞 振动 系统 的第 次 映射方 程 及其
碰 撞 振 动 系统 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙ ｐ ｎ ｖ指 数 谱 的计 算
吕小红 ， 罗冠 炜
（＿ １ 兰州交通大学 机 电与动力工程学院 ， 甘肃 兰州 ７０ ７ ；． ３００ ２ 甘肃省轨道交通装备 系统动力学与可靠性重点实验室 ， 甘肃 兰州 ７０７） ３００
摘
要 ： 用 Ｐ ｉｃｒ 映射 方法将含 间隙碰撞振动 系统在碰 撞截 面转化 为 离散动 力 系统， 建 了系统的映射 方程 利 ｏｎａ６ 构
第３卷 第 ３ １ 期 ２１ 年 ６ ０２ 月
兰
州
交
通
大
学
学
报
Ｖ ０ １Ｎｏ ３ Ｌ３ ．
Ｊｕ ｎ ｌ ｆＬ ｎ ｈ ｕＪａ ｔｎ ｉｅｓ ｙ ｏ ｒａ ａ ｚ ｏ ｉ ｏ ｇＵｎｖ ｒｉ ｏ ｏ ｔ
Ｊ ｎｅ２ １ ｕ ０ ２
文 章 编 号 ：０ １４ ７ （ ０ ２ ０ －１ １ ４ １０ －３ ３ ２ １ ）３０ ６— ０
式中： 表示第 次碰撞后的初始相角． 在每一次碰 撞完成的瞬间， 时间 ｔ 直接置为零 ， 相角 ｒ 作为调整 初始时间的一个参数． 第 次碰撞后的初始相角为
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ｐ ｉ（ ＋ ） ｓｎＤＴ ｘ
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