中考数学 一元二次方程综合试题及答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．

(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？

(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．

【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．

试题解析：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则

，（其中），当时，

，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm 的两段；

（2）两正方形面积之和为48时，，，

∵，∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确．

考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．

2．解方程：

2

33

230 2121

x x

x x

????

--=

? ?

--

????

．

【答案】x=1

5

或x=1

【解析】【分析】

设

3

21

x

y

x

=

-

，则原方程变形为y2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y，再求x．

【详解】

解：设321

x y x =

-，则原方程变形为y 2-2y-3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3, ∴3121x x =--或3321

x x =-． 解得x=15

或x=1． 经检验：x=15

或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=

15或x=1． 【点睛】

考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．

3．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；27120x x -+=④；?它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．

()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程； ()2请写出第n 个方程和它的根．

【答案】（1）x 1＝7，x 2＝8.（2）x 1＝n －1，x 2＝n .

【解析】

【分析】

（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k 值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解.

【详解】

解：(1)由题意可得k ＝－15，则原方程为x 2－15x ＋56＝0，则(x －7)·

(x －8)＝0，解得x 1＝7，x 2＝8.

(2)第n 个方程为x 2－(2n －1)x ＋n(n －1)＝0，(x －n)(x －n ＋1)＝0，解得x 1＝n －1，x 2＝n.

【点睛】

本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.

4．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，

（1）解方程求两条线段的长。

（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。 （3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。

【答案】（1）2和6；（2）3）83

【解析】

【分析】

（1）求解该一元二次方程即可;

（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；

（3）设分为两段分别是x 和6x -，然后用勾股定理求出x ，最后求面积即可.

【详解】

解：（1）由题意得()()260x x --=，

即：2x =或6x =，

∴两条线段长为2和6；

（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3，

∴此等腰三角形面积为12

2

??= （3）设分为x 及6x -两段

()22226x x +=- ∴83

x =， ∴2823x S ?=

=， ∴面积为83

. 【点睛】

本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键.

5．已知x=﹣1是关于x 的方程x 2+2ax+a 2=0的一个根，求a 的值．

【答案】1

【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得到关于a 的一元二次方程1﹣2a+a 2=0，然后解此一元二次方程即可．

试题解析：把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得

1﹣2a+a 2=0，

解得a 1=a 2=1，

所以a 的值为1.

6．设m 是不小于﹣1的实数，关于x 的方程x 2+2（m ﹣2）x+m 2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，

（1）若x 12+x 22=6，求m 值；

（2）令T=1212

11mx mx x x +--，求T 的取值范围． 【答案】（1）m=

517-；（2）0＜T≤4且T≠2． 【解析】

【分析】

由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m ＜1，根据根与系数的关系可得x 1+x 2=4﹣2m ，x 1?x 2=m 2﹣3m+3；（1）把x 12+x 22=6化为（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，代入解方程求得m 的值，根据﹣1≤m ＜1对方程的解进行取舍；（2）把T 化简为2﹣2m ，结合﹣1≤m ＜1且m≠0即可求T 得取值范围.

【详解】

∵方程由两个不相等的实数根，

所以△=[2（m ﹣2）]2﹣4（m 2﹣3m+3）

=﹣4m+4＞0，

所以m ＜1，又∵m 是不小于﹣1的实数，

∴﹣1≤m ＜1

∴x 1+x 2=﹣2（m ﹣2）=4﹣2m ，x 1?x 2=m 2﹣3m+3；

（1）∵x 12+x 22=6，

∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，

即（4﹣2m ）2﹣2（m 2﹣3m+3）=6

整理，得m 2﹣5m+2=0

解得m=

； ∵﹣1≤m ＜1

所以m=

． （2）T=+

=

=

=

=

=2﹣2m ．

∵﹣1≤m＜1且m≠0

所以0＜2﹣2m≤4且m≠0

即0＜T≤4且T≠2．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

7．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．

（1）求每个月生产成本的下降率；

（2）请你预测4月份该公司的生产成本．

【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．

【解析】

【分析】

（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．

【详解】

（1）设每个月生产成本的下降率为x，

根据题意得：400（1﹣x）2=361，

解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．

答：每个月生产成本的下降率为5%；

（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），

答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．

8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣1

2

）＝0．

（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；

（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？

【答案】（1）详见解析；（2）k＝3

2

或2．

【解析】

【分析】

（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义

得到结论；

（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．

【详解】

（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣1

2

）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，

∴该方程总有实数根；

（2）

() 2k12k3 x=

2

±

＋﹣

∴x1＝2k﹣1，x2＝2，

∵a、b、c为等腰三角形的三边，

∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，

∴k＝3

2

或2．

【点睛】

本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.

9．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．

（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；

（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．

【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣，x2=﹣1或

【解析】

试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-b

a

，x1?x2=

c

a

，表示出两根的关系，得到

x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，

∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，

∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣3

5）2+

36

5

，

∴△＞0，

则方程有两个不相等的实数根；

（2）∵x1?x2=c

a

=﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，

∴x1，x2异号，

又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，

若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，

∴m﹣3=﹣2，即m=1，

方程化为x2+2x﹣1=0，

解得：x1=﹣x2=﹣1，

若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，

∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，

方程化为x2﹣2x﹣25=0，

解得：x1=1，x2

10．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．

（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；

（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．

【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（

1

2

-，0）或（

1

2

，0）.

【解析】

【分析】

（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；

（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-

4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．

【详解】

解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，

所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），

由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，

所以0＝a+2，

解得a＝﹣2；

（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”

∴11

a b

-=，

∴a+b＝0．

∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根

∴a+b＝k＝0，

∴x2﹣4＝0，

∴x1＝2，x2＝﹣2．

①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为

1

,0

2

??- ???

；

②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（1

2

，0 ）

∴综上所述，“x牵手点”为

1

,0

2

??

- ?

??

或（

1

2

，0）

【点睛】

本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．