初中数学培优竞赛讲座第18讲--乘法公式

第十八讲 乘法公式

乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：

1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式；

2．根据待求式的特点，模仿套用公式；

3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；

4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．

例题

【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)

(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题)

思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．

注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．

从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法．

乘法公式常用的变形有：

(1)ab b a b a 2)(2

22 ±=+，2

)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++； (3) ab b a b a 4)()(2

2=--+； （4）4

)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ） A ．M>N B ． M

思路点拨 运用乘法公式，在化简M 、N 的基础上，作差比较它们的大小．

【例3】 计算：

(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1； (天津市竞赛题)

(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452． (江苏省竞赛题)

思路点拨 若按部就班计算，显然较繁．能否用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征，对于(2)，由于数字之间有联系，可用字母表示数(称为换元)，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特征．

【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十

45＝2x 十y ，求代数式y x xy +的值． (“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x ，y 满足不等式y x y x 22122+≤++，求x+y 的值． (第14届“希望杯”邀请赛试题)

(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ，乙商场：两次提价的百分率都是2

b a +(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则哪个商场提价最多?说明理由． (河北省竞赛题)

思路点拔 对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x 、y 的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示，作差比较它们的大小．

注： 有些问题常常不能直接使用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，才能使用公

式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等．

完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论： (1)0)(2222≥±=+±b a b ab a ；

揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题． (2)ab b a 222≥+

应用于代数式的最值问题．

代数等式的证明有以下两种基本方法：

(1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量．

【例5】 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数．

证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶；

(2)2(a+b+1)是完全平方数．

思路点拨 从222c b a =+的变形入手；222b c a -=，运用质数、奇偶数性质证明．

学力训练

1．观察下列各式：

(x 一1)(x+1)＝x 2一l ；

(x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；

(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．

根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ． (武汉市中考题) 2．已知052422=+-++b a b a ，则b

a b a -+= ． (杭州市中考题) 3．计算：

(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ；

(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ；

(3)2199919991999199719991998222

-+ ．

4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式 ． (大原市中考题)

5．已知51=+a

a ，则2241a a a ++= ． (菏泽市中考题) 6．已知5,3-=+=-c

b b a ，则代数式ab a b

c ac -+-2的值为( )．

A ．一15

B ．一2

C ．一6

D ．6 (扬州市中考题)

7．乘积)2000

11)(199911()311)(211(2222----

等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．4000

2001 (重庆市竞赛题) 8．若4,222=+=-y x y x ，则20022002y x +的值是( )． A ．4 B ．20022 C ． 22002 D ．42002

9．若01132=+-x x ，则441x

x +的个位数字是( )． A ．1 B ．3 C ． 5 D ．7

10．如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．

A ．))((22b a b a b a -+=-

B ．2

222)(b ab a b a ++=+

C ．2222)(b ab a b a +-=-

D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+ (陕西省中考题)

11．(1)设x+2z ＝3z ，判断x 2一9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由．

(2)已知x 2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x —1)2+(x+3)(x 一3)+(x 一3)(x 一1)． (上海市中考题)

12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．

13．观察：2514321=+???

21115432=+???

2

1916543=+???

……

(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；

(2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003+1的结果(用一个最简式子表示)． (黄冈市竞赛题)

14．你能很快算出19952吗?

为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n 为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n ＝3……这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．

(1)通过计算，探索规律．

152225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；

352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；……752＝5625可写成 ；852＝7225可写成 ．

(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ．

(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝ ． (福建省三明市中者题)

15．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． (天津市选拔赛试题)

16．(1)若x+y ＝10，x 3+y 3=100，则x 2+y 2＝ ．

(2)若a-b=3，则a 3-b 3-9ab ＝ ．

17．1，2，3，……，98共98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是 ． (初中数学联赛)

18．已知a-b=4，ab+c 2+4=0，则a+b=( )． A ．4 B ．0 C ．2 D ．一2

19．方程x 2-y 2=1991，共有( )组整数解． A ．6 B ．7 C ．8 D ．9

20．已知a 、b 满足等式)2(4,2022a b y b a x -=++=，则x 、y 的大小关系是( )．

A ．x ≤y

B ．x ≥y

C ．x

D ．x>y (大原市竞赛题)

21．已知a=1999x+2000，b ＝1999x+2001，c ＝1999x+2002，则多项式a 2+b 2+c 2一ab —bc-ac 的值为( )．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 (全国初中数学竞赛题)

22．设a+b=1，a 2+b 2=2，求a 7+b 7的值． (西安市竞赛题)

23．已知a 满足等式a 2-a-1=0，求代数式487-+a a 的值． (河北省竞赛题)

24．若b a y x +=+，且2222b a y x +=+，求证：1997199719971997b a y x +=+． (北京市竞赛题)

25．有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用xl ，y 1顺次表示第一号选手胜与负的场数；用x 2，y 2顺次表示第二号选手胜与负的场数；……；用x 10、y 10顺次表示十号选手胜与负的场数． 求证：2

1022212102221y y y x x x +++=+++ ．

26．（1）请观察： 222233*********,335112225,351225,525====

写出表示一般规律的等式，并加以证明．

(2)26＝52+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32．

任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?

注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过分析，可发现其中的奥秘．

瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表示为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个平方数之和．即

(a 2+b 2+c 2十d 2)(e 2+f 2+g 2+h 2)=A 2+B 2+C 2+D 2．这就是著名的欧拉恒等式．

第十八讲乘法公式参考答案