概率统计习题及答案

1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。

A. A,B 互不相容

B. A,B 相互独立

C.A ?B

D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ）

A. 1/2

B. 1/12

C. 1/18

D. 1/9

3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ）

A.91

9

9

100

98.02.0C

B.i i i i

C -=∑1001009

10098.02.0 C.

i

i i i C

-=∑100100

10

100

98

.02.0 D.i i i i C

-=∑-

1009

100

98.02.01

4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)()3

1

253(321=++X X X E B

A. 0

B. 25.5

C. 26.5

D. 9

5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25

24

2

3

21X

X X X X c +++?

服从t 分布。（ C ）

A. 0

B. 1

C.

26

D. -1

6、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ A ）

A.

6

)14(2

61--

x e

π

B.

3

2)14(2

61--

x e

π

C.

6

)14(2321--

x e

π

D.

2

3)14(2

61--

x e

π

7、321,,X X X 为总体),(2

σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ）

A.

32121

10351X X X ++ B. 32141

6131X X X ++ C. 32112

5

2131X X X +

+ D. 3216

13131X X X ++ 8 、设离散型随机变量X 的分布列为

则常数C 为（ C ）

（A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8

9 、设随机变量X ～N(4,25), X1、X2、X3…Xn 是来自总体X 的一个样本，则样本均值X 近似的服从（ B ）

（A ） N （4，25） （B ）N （4，25/n ） （C ） N （0,1） （D ）N （0，25/n ） 10、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.05下，拒绝假设

00μμ=：H ，则在显著水平a=0.01下，（ B ）

A. 必接受0H

B. 可能接受，也可能拒绝0H

C. 必拒绝0H

D. 不接受，也不拒绝0H

二、填空题（每空1.5分，共15分）

1、A, B, C 为任意三个事件，则A ，B ，C 至少有一个事件发生表示为：__AUBUC_______；

2、甲乙两人各自去破译密码，设它们各自能破译的概率为0.8，0.6，则密码能被破译的概率为_____0.92____；

3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx )(+∞<<-∞x ,则A ＝＿1/2＿＿，B ＝＿1/3.14＿＿＿；

4、随机变量X 的分布律为k

C x X P )3

1()(==，k =1,2,3, 则C=__27/13_____; 5、设X ～b （n,p ）。若EX=4，DX=2.4，则n=____10_____，p= ____0.4_____。 6、X 为连续型随机变量，

1 ， 0

f （x ）= ，则P(X ≤1) = ____1___。 0 ， 其他

7、在总体均值的所有线性无偏估计中，___样本均值____是总体均值的无偏估计量。 8、当原假设H0为假而接受H0时，假设检验所犯的错误称为___第II 类错误____。

99.0)33.2(,9032.0)30.1(,9474.0)62.1(,926.0)45.1(=Φ=Φ=Φ=Φ 0150

.2)5(,1318.2)4(,5706.2)5(,7764.2)4(05.005.0025.0025.0====t t t t

711.0)4(,488.9)4(,484.0)4(,143.11)4(295.0205.02975.02025.0====χχχχ

一.选择题（15分，每题3分）

1. 如果 1)()(>+B P A P ，则 事件A 与B 必定 （C ）

)(A 独立； )(B 不独立； )(C 相容； )(D 不相容.

2. 已知人的血型为 O 、A 、B 、AB 的概率分别是0.4； 0.3；0.2；0.1。现任选4人，则4

人血型全不相同的概率为： （ A ）

)(A 0.0024； )(B 40024.0； )(C 0. 24； )(D 224.0.

3. 设~),(Y X ???<+=.,

0,

1,/1),(22他其y x y x f π 则X 与Y 为 （ C ）

)(A 独立同分布的随机变量； )(B 独立不同分布的随机变量； )(C 不独立同分布的随机变量； )(D 不独立也不同分布的随机变量.

4. 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.7

5. 则射击次数的数学期望与

方差分别为 （A ）

)

(A 4934与； )(B 16934与； )(C 4941与； (D) 9

434与． 5. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，以下μ的四个估计量中最有效的是（D ）

)(A 32112110351?X X X ++=μ

； )(B 32129

4

9231?X X X ++=μ

； )(C 321321

6131?X X X ++=μ

； )(D 32141254131?X X X ++=μ． 二. 填空题（18分，每题3分）

1. 已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则

=?)(B A P 62.0 ．

2. 设随机变量X 的分布律为?

??

? ??-+c b a 4.01.02.04321，则常数c b a ,,应满足的条件 为 0,4.0,1.0,3.0≥≤-≥=+-c b a c b a 且 . 3. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，试用),(y x F 表示概率

=>>),(b Y a X P

),(),(),(1b F a F b a F +∞-∞+-+； .

4. 设随机变量)2,2(~-U X ，Y 表示作独立重复m 次试验中事件)0(>X 发生的次数，

则=)(Y E m/2 ，=)(Y D m/4 .

5．设),,,(21n X X X 是从正态总体),(~2

σμN X 中抽取的样本，则 概率 =≤-≤

∑=)76.1)(37.0(2220

1

20

1

2

σσ

X X

P i

i 985.0 .

6．设n X X X ,,,21 为正态总体),(2

σμN （2

σ未知）的一个样本，则μ的置信

度为1α－的单侧置信区间的下限为

)

1(--

n t n

S X α. .

2、设二维随机变量（X,Y ）的联合密度函数为

1,02,max{0,1}min{1,}

(,)0,x x y x f x y otherwise ≤≤-≤≤?=?

?

求：边缘密度函数(),()X Y f x f y .

3、已知随机变量X 与Z 相互独立，且)1,0(~U X ,)2.0,0(~U Z ，Z X Y += 试求：(),(),XY E Y D Y ρ.

4、 学校食堂出售盒饭，共有三种价格4元，4.5元，5元。出售哪一种盒饭是随机的，售出三种价格盒饭的概率分别为0.3，0.2，0.5。已知某天共售出200盒，试用中心极限定理求这天收入在910元至930元之间的概率。

概率论与数理统计B

一．单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设事件A 和B 的概率为12

(),()23

P A P B =

= 则()P AB 可能为（） (A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6

2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（）

(A)

12; (B) 225; (C) 425; (D)以上都不对 3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ）

(A)

518; (B) 13; (C) 1

2

; (D)以上都不对 4．某一随机变量的分布函数为()3x

x

a be F x e +=+，(a=0,b=1)则F (0)的值为（ ）

(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对

5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ）

(A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对

二．填空题（每小题3分，共15分）

1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B = .

2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξξξ==，则n =______.

3．随机变量ξ的期望为()5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2

()E ξ=_______.

4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为2()22

a

f x x x =

++，a 为常数，则P (ξ≥

0)=_______.

三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球.

四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为

, 03()10, x<0x>3

A

x f x x

??

=+???当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望.

五．(本题10分)

(1) ξ与η是否相互独立? (2) 求ξη?的分布及()E ξη?；

六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？

七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他

要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.

八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？ (注：(1.28)0.90Φ=,(1.65)0.95Φ=)

九．(本题6分)设事件A 、B 、C 相互独立，试证明A

B 与

C 相互独立.

十．测量某冶炼炉的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）：

1820，1834，1831，1816，1824

假定重复测量所得温度2

~(,)N ξμσ.估计10σ=，求总体温度真值μ的0.95的置信区间. (注：(1.96)0.975Φ=,(1.65)0.95Φ=)

一．一箱产品，A ，B 两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？ 二．设随机变量X 的密度函数为()x

f x Ae -= ()x -∞<<+∞,

求 (1）系数A, (2) {01}P x ≤≤ (3) 分布函数)(x F 。

三．已知随机变量X 的密度函数为

?

??<<+-=其它,01

0),144()(2x x x c x f

求（1）常数c ；（2）X 的分布函数)(x F ；（3）}5.01.0|2.0{≤<≤X X P

四、（本题满分10分）设2)(=X E ，4)(=Y E ，4)(=X D ，9)(=Y D ，5.0=ρXY ，求

（1）3232

2

-+-=Y XY X U 的数学期望； （2）53+-=Y X V 的方差。 五、（本题满分18分）设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为：

?

?

?-<<<<=其它,0)

1(20,10,1),(x y x y x f 求：

（1）关于X 和Y 的边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ； （2）)(X E 和)(X D ；

（3）条件概率密度函数)|(|y x f Y X ；

（4）Z =X +Y 的概率密度函数)(z f Z 。 六、（本题满分16分）设总体X 的概率密度函数为

???<<+θ=θ其它,

01

0,)1()(x x x f

其中1->θ为未知参数，n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本。

（1）求θ的矩估计量M

θ

?； （2）求θ的极大似然估计量MLE θ?；

七、（本题满分14分）水泥厂用自动包装机包装水泥，每袋额定重量为50公斤，某日开工后随机抽查了9袋，称得重量如下（单位：公斤）：

49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2

设每袋重量服从正态分布),(2

σμN 。

（1）试问该包装机工作是否正常?)05.0(=α

（2）若已知该天包装机包装的水泥重量的方差为3.02

=σ，求水泥平均重量μ的置信度为95%的置信区间。

（已知：;

5362.0,9.49==s x 283.11.0=z ，645.105.0=z ，960.1025.0=z ；

3968.1)8(1.0=t ，3830.1)9(1.0=t ，3722.1)10(1.0=t ，8695.1)8(05.0=t ，8331.1)9(05.0=t ，8125.1)10(05.0=t ，3060.2)8(025.0=t ，2622.2)9(025.0=t ，2280.2)10(05.0=t ）

答案

2解： ,

01()2,120,X x x f x x x otherwise ≤

=-≤≤???

[1,[0,1]()0,[0,1]X x f x x ∈?=???

1,[0,1]()0,[0,1]Y y f y y ∈?=?

?? [,

01()2,120,Y y y f y y y otherwise ≤

=-≤≤???

3解： 11111

(),()()()222020

E X E Y E X E Z =

=+=+=

cov(,)(())()()

1

()12

X Y E X X Z E X E X Z D X =+-+==

11101()()()()1212001200

D Y D X Z D X D Z =+=+=

+=

[15013

]

1

XY

ρ==2625] 4解：设i X 为第i 盒的价格(1,2,,200.)i =，则总价200

1i i X X ==∑

() 4.6,

()0.19i i E X D X ==

2001

()()200 4.6920i

i E X E X ==

=?=∑.

200

1

()()2000.1938i

i D X D X ==

=?=∑.

(910930)212(1.622)120.947410.8948P X P ≤≤=≤≤≈Φ-=Φ-=?-=

[ 8064.01)298.1(2)928912(=-Φ≈≤≤X P ]