高考数学(文)(新课标版)考前复习46分专项练(四) Word版含答案
高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习：46分专项练(一) Word版含答案
解答题规范练 46分专项练46分专项练(一) 17、18、19题＋三选一1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值．2．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12na n ，n ∈N *.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .3.如图，四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，∠BAD ＝π3，AB ＝2，CD ＝3，M 为PC 上一点，PM ＝2MC .(1)证明：BM ∥平面P AD ；(2)若AD ＝2，PD ＝3，求二面角D -MB -C 的正弦值．4．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T ，其范围为[0，10]，分别有5个级别：T ∈[0，2)畅通；T ∈[2，4)基本畅通；T ∈[4，6)轻度拥堵；T ∈[6，8)中度拥堵；T ∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段(T ≥3)，从贵阳市交通指挥中心随机选取了二环以内50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示．(1)据此直方图估算交通指数T ∈[4，8)时的中位数和平均数；(2)据此直方图求出早高峰二环以内的3个路段至少有2个严重拥堵的概率是多少？ (3)某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．5．(二选一)(Ⅰ)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数，a ＞0)．(1)若曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，求a 的值；(2)当a ＝3时，曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离． (Ⅱ)选修4-5：不等式选讲已知a 、b 都是实数，a ≠0，f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)若f (x )>2，求实数x 的取值范围；(2)若|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对满足条件的所有a 、b 都成立，求实数x 的取值范围．参考答案与解析1.(1)因为a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，所以由正弦定理得sin A ＝－sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，即sin A ＝－12sin A －32cos A ，化简得tan A ＝－33， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝5π6. (2)因为A ＝5π6，所以sin A ＝12，由S ＝34c 2＝12bc sin A ＝14bc ，得b ＝3c ， 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7c 2，则a ＝7c ， 由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝714.2.(1)证明：由a n ＋1＝n ＋12n a n 知a n ＋1n ＋1＝12·a nn，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为12，公比为12的等比数列，所以a n n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，所以a n ＝n2n ，所以S n ＝121＋222＋…＋n2n ，①则12S n ＝122＋223＋…＋n2n ＋1，② ①－②得：12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，所以S n ＝2－n ＋22n .3．[导学号：30812280](1)证明：如图，过点M 作ME ∥CD 交PD 于E ，连接AE .又PM ＝2MC ，故EM CD ＝PM PC ＝23，因为CD ＝3，所以EM ＝2.因为AB ∥CD ，故AB ∥EM .而AB ＝2，所以AB 綊EM ，故四边形ABME 为平行四边形，从而BM ∥AE ，又AE ⊂平面P AD ，所以BM ∥平面P AD .(2)以D 为坐标原点，DC ，DP 所在射线分别为y ，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .由已知AD ＝AB ＝2，∠BAD ＝π3，故△ABD 为等边三角形，所以DB ＝2，∠ABD ＝π3.因为AB ∥CD ，故∠BDC ＝π3.记B 点的坐标为(x B ，y B ，0)，则x B ＝DB ·sin ∠BDC ＝3，y B ＝DB ·cos ∠BDC ＝1，即B ＝(3，1，0)．由已知PD ＝DC ＝3，故D (0，0，0)，P (0，0，3)，C (0，3，0)，DP →＝(0，0，3)，PC →＝(0，3，－3)．由PM ＝2MC ，故PM →＝23PC →＝(0，2，－2)，DM →＝DP →＋PM →＝(0，2，1)，即M (0，2，1)．所以DB →＝(3，1，0)，MC →＝(0，1，－1)，BC →＝()－3，2，0，设平面BDM 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面BCM 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由n 1·DM →＝0，n 1·DB →＝0，得⎩⎨⎧2y 1＋z 1＝0，3x 1＋y 1＝0，故可取n 1＝(－1，3，－23)， 由n 2·MC →＝0，n 2·BC →＝0，得⎩⎨⎧y 2－z 2＝0，－3x 2＋2y 2＝0，故可取n 2＝(2，3，3)． 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－108，故所求二面角D -MB -C 的正弦值为368.4.(1)由直方图知：T ∈[4，8)时交通指数的中位数为5＋1×0.20.24＝356.T ∈[4，8)时交通指数的平均数为4.5×0.2＋5.5×0.24＋6.5×0.2＋7.5×0.16＝4.72. (2)设事件A 为“1条路段严重拥堵”，则P (A )＝0.1， 则3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为： P ＝C 23×⎝⎛⎭⎫1102×⎝⎛⎭⎫1－110＋C 33×⎝⎛⎭⎫1103＝7250，所以3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为7250.(3)由题意，所用时间X 的分布列如下表：则E (X )＝30×0.1＋35所以此人上班路上所用时间的数学期望是40.6分钟．5．(Ⅰ)(1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t 的普通方程为y ＝3－2x .曲线C 1与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫32，0.曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝3sin θ的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1.曲线C 2与x 轴的交点为(－a ，0)，(a ，0)．由a ＞0，曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，知a ＝32.(2)当a ＝3时，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ为圆x 2＋y 2＝9.圆心到直线y ＝3－2x 的距离d ＝|3|22＋12＝355.所以A ，B 两点的距离|AB |＝2r 2－d 2＝29－⎝⎛⎭⎫3552＝1255.(Ⅱ)(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x ≤1，1，1<x ≤2，2x －3，x >2，由f (x )>2得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3－2x >2或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －3>2，解得x <12或x >52.所以所求实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. (2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得 |a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )．又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，所以f (x )≤2.因为f (x )>2的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >52，所以f (x )≤2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤52， 所以所求实数x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，52.。
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第46练 不等式选讲题型一 含绝对值不等式的解法例1 不等式|x ＋3|－|2x －1|<x 2＋1的解集为________________． 破题切入点 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2 解析 ①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <10，∴x <－3. ②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1， 解得x <－25，∴－3≤x <－25. ③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x 2＋1， 解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2. 题型二 不等式的证明例2 求证下列不等式：(1)设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2；(2)a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2； (3)a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc .破题切入点 (1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明．证明 (1)3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )－2b 2·(a －b )＝(a －b )(3a 2－2b 2)．∵a ≥b >0，∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>0.∴(a －b )(3a 2－2b 2)≥0.∴3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.(2)a 6＋8b 6＋127c 6≥33827a 6b 6c 6 ＝3×23a 2b 2c 2＝2a 2b 2c 2， ∴a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2. (3)∵a 2＋4b 2≥2a 2·4b 2＝4ab ，a 2＋9c 2≥2a 2·9c 2＝6ac ，4b 2＋9c 2≥24b 2·9c 2＝12bc ，∴2a 2＋8b 2＋18c 2≥4ab ＋6ac ＋12bc ，∴a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc .题型三 不等式的综合应用例3 (2013·陕西)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．破题切入点 利用基本不等式求解最值时，有时需化简代数式，切记等号成立的条件． 答案 2解析 先化简式子，再利用基本不等式求解最值，注意等号取得的条件．∵a ，b ，m ，n ∈R ＋，且a ＋b ＝1，mn ＝2，∴(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋a 2mn ＋b 2mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2ab ·mn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋b 2＋2ab )＝2(a ＋b )2＝2，当且仅当m ＝n ＝2时，取“＝”．∴所求最小值为2.总结提高 (1)对于带有绝对值的不等式的求解，要掌握好三个方法：一个是根据绝对值的几何意义，借助于数轴的直观解法；二是根据绝对值的意义，采用零点分区去绝对值后转化为不等式组的方法；三是构造函数，通过函数图象的方法．要在解题过程中根据不同的问题情境灵活选用这些方法．(2)使用绝对值三角不等式求最值很方便，如|x ＋2|＋|x －4|≥|(x ＋2)－(x －4)|＝6.(3)易错点：解绝对值不等式时忽视去掉绝对值的分界点．1．(2014·重庆)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1，12] 解析 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12]． 2．不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－1,4]解析 由绝对值的几何意义知，|x ＋3|＋|x －1|的几何意义为数轴上点x 到点－3,1的距离的和，则|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，∴不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.∴a 的取值范围为[－1,4]．3．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝________.答案 {x |－2≤x ≤5}解析 由|x ＋3|＋|x －4|≤9，当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3；当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立；当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5.综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}．又∵x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)， ∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当且仅当t ＝12时取等号． ∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．4．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x －a |≤8的解集不是空集，则a 的最小值是________． 答案 －7解析 |x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|a －1|，要使关于x 的不等式不是空集，则|a －1|≤8，∴－7≤a ≤9，即a 的最小值为－7.5．(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值． 答案 －2解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b ≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧ b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2.6．若T 1＝2s m ＋n，T 2＝s (m ＋n )2mn ，则当s ，m ，n ∈R ＋时，T 1与T 2的大小为________． 答案 T 1≤T 2解析 因为2s m ＋n －s (m ＋n )2mn ＝s ·4nm －(m ＋n )22mn (m ＋n )＝－s (m －n )22mn (m ＋n )≤0. 所以T 1≤T 2.7．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是________． 答案 c解析 由a 2＝2x ，b 2＝1＋x 2＋2x >a 2，a >0，b >0得b >a .又c －b ＝11－x －(1＋x )＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x>0得c >b ，知c 最大． 8．设x >0，y >0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y 2＋y，则M 、N 的大小关系为__________． 答案 M <N解析 N ＝x 2＋x ＋y 2＋y >x 2＋x ＋y ＋y 2＋x ＋y ＝x ＋y 2＋x ＋y＝M . 9．若a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，M ＝a b ＋b a ，N ＝a ＋b ，则M 、N 的大小关系为________． 答案 M >N解析 ∵a ≠b ，∴a b ＋b >2a ，b a ＋a >2b ， ∴a b ＋b ＋b a ＋a >2a ＋2b ， ∴a b ＋b a >a ＋b .即M >N . 10．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________．答案 5解析 ∵|x －1|≤1，∴－1≤x －1≤1，∴0≤x ≤2.又∵|y －2|≤1，∴－1≤y －2≤1，∴1≤y ≤3，从而－6≤－2y ≤－2.由同向不等式的可加性可得－6≤x －2y ≤0，∴－5≤x －2y ＋1≤1，∴|x －2y ＋1|的最大值为5.11．不等式⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －5|＋1对于任一非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (4,6)解析 ⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2， 所以|a －5|＋1<2，即|a －5|<1，∴4<a <6.12．不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2)解析 由绝对值的几何意义知|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.。
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第46练分类讨论思想[思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.1.中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”.3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.常考题型精析题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例1设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围.点评对概念、公式、法则的内含及应用条件的准确把握是解题关键，在本题中，B⊆A，包括B＝∅和B≠∅两种情况.解答时就应分两种情况讨论，在关于指数、对数的运算中，底数的取值范围是进行讨论时首先要考虑的因素.变式训练1若函数f(x)＝a x (a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.题型二分类讨论在含参函数中的应用例2已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]上有最大值2，求a的值.点评 本题中函数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴进行讨论，分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出a 的值.变式训练2 (2015·江苏)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R ).(1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞，求c 的值.题型三 根据图形位置或形状分类讨论例3 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是( ) A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]点评 几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等.变式训练3 设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且||PF 1＞||PF 2，求||PF 1||PF 2的值.高考题型精练1.对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A.f (0)＋f (2)<2f (1)B.f (0)＋f (2)≤2f (1)C.f (0)＋f (2)≥2f (1)D.f (0)＋f (2)>2f (1)2.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是( )A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对3.已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 等于( )A.－12B.12C.0D.－12或0 4.(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |＋|PB |的取值范围是( ) A.[5，25] B.[10，25] C.[10，45] D.[25，45]5.(2015·大连模拟)抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P 的个数为( )A.2B.3C.4D.66.在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________. 7.已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________.8.(2014·浙江)若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________.9.(2015·南昌模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当K (m,0)是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.10.已知a是实数，函数f(x)＝x(x－a).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值.①写出g(a)的表达式；②求a的取值范围，使得－6≤g(a)≤－2.答案精析第46练 分类讨论思想常考题型精析例1 解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况.(1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1. (2)当B A 时，又可分为两种情况.①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}，当x ＝0时，有a ＝±1；当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1.又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件；②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值范围为a ≤－1或a ＝1.变式训练1 14解析 若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12， 此时g (x )＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意.若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ， 此时a ＝14，m ＝116，检验知符合题意. 例2 解 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .(1)当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0，∴a ＝1±52(舍). (3)当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.变式训练2 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a 3. 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，x ∈⎝⎛⎭⎫－2a 3，0时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－2a 3，0上单调递减； 当a ＜0时，x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞时，f ′(x )＞0，x ∈⎝⎛⎭⎫0，－2a 3时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，－2a 3上单调递减. (2)由(1)知，函数f (x )的两个极值为f (0)＝b ，f ⎝⎛⎭⎫－2a 3＝427a 3＋b ，则函数f (x )有三个零点等价于f (0)·f ⎝⎛⎭⎫－2a 3＝b ⎝⎛⎭⎫427a 3＋b ＜0， 从而⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，－427a 3＜b ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，0＜b ＜－427a 3. 又b ＝c －a ，所以当a ＞0时，427a 3－a ＋c ＞0或当a ＜0时，427a 3－a ＋c ＜0. 设g (a )＝427a 3－a ＋c ，因为函数f (x )有三个零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞， 则在(－∞，－3)上g (a )＜0，且在⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞上g (a )＞0均恒成立. 从而g (－3)＝c －1≤0，且g ⎝⎛⎭⎫32＝c －1≥0，因此c ＝1.此时，f (x )＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)[x 2＋(a －1)x ＋1－a ]， 因函数有三个零点，则x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不等实根，所以Δ＝(a －1)2－4(1－a )＝a 2＋2a －3＞0，且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，解得a ∈(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 综上c ＝1.例3 D [由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4， 取点A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4).(1)当3≤s <4时，可行域是四边形OABC ，如图(1)所示，此时，7≤z <8.(2)当4≤s ≤5时，此时可行域是△OAC ′，如图(2)所示，z max ＝8.综上，z ＝3x ＋2y 最大值的变化范围是[7,8].]变式训练3 解 若∠PF 2F 1＝90°，则||PF 12＝|PF 2|2＋||F 1F 22，又∵||PF 1＋||PF 2＝6，||F 1F 2＝25，解得||PF 1＝143，||PF 2＝43，∴||PF 1||PF 2＝72. 若∠F 1PF 2＝90°，则||F 1F 22＝||PF 12＋||PF 22，∴||PF 12＋(6－||PF 1)2＝20，又|PF 1|>|PF 2|，∴||PF 1＝4，||PF 2＝2，∴||PF 1||PF 2＝2. 综上知，||PF 1||PF 2＝72或2. 高考题型精练1.C [依题意，若任意函数f (x )为常函数时，则(x －1)f ′(x )＝0在R 上恒成立；若任意函数f (x )不是常函数时，当x ≥1时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数；当x <1时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，1)上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)>f (1)，f (2)>f (1)，综上，则有f (0)＋f (2)≥2f (1).]2.D [∵S n ＝p n －1，∴a 1＝p －1，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －1(n ≥2)， 当p ≠1且p ≠0时，{a n }是等比数列；当p ＝1时，{a n }是等差数列；当p ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列.]3.D [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0垂直(如图①)或直线y ＝kx ＋1与直线y ＝2x 垂直(如图②)时，平面区域才是直角三角形.由图形可知斜率k 的值为0或－12.] 4.B [由动直线x ＋my ＝0知定点A 的坐标为(0,0)，由动直线mx －y －m ＋3＝0知定点B 的坐标为(1,3)，且两直线互相垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动.故当点P 与点A 或点B 重合时，|P A |＋|PB |取得最小值，(|P A |＋|PB |)min ＝|AB |＝10.当点P 与点A 或点B 不重合时，在Rt △P AB 中，有|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.因为|P A |2＋|PB |2≥2|P A ||PB |，所以2(|P A |2＋|PB |2)≥(|P A |＋|PB |)2，当且仅当|P A |＝|PB |时取等号，所以|P A |＋|PB |≤2|P A |2＋|PB |2＝2×10＝25，所以10≤|P A |＋|PB |≤25，所以|P A |＋|PB |的取值范围是[10，25].]5.C [当|PO |＝|PF |时，点P 在线段OF 的中垂线上，此时，点P 的位置有两个；当|OP |＝|OF |时，点P 的位置也有两个；对|FO |＝|FP |的情形，点P 不存在.事实上，F (p,0)，若设P (x ，y )，则|FO |＝p ，|FP |＝(x －p )2＋y 2，若(x －p )2＋y 2＝p ，则有x 2－2px ＋y 2＝0，又∵y 2＝4px ，∴x 2＋2px ＝0，解得x ＝0或x ＝－2p ，当x ＝0时，不构成三角形.当x ＝－2p (p >0)时，与点P 在抛物线上矛盾.∴符合要求的点P 一共有4个.]6.32或6 解析 当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32， S 3＝3a 1＝92，显然成立； 当q ≠1时，由题意，得⎩⎨⎧ a 1q 2＝a 3＝32，a 1(1－q 3)1－q ＝S 3＝92.所以⎩⎨⎧ a 1q 2＝32， ①a 1(1＋q ＋q 2)＝92， ②由①②，得1＋q ＋q 2q2＝3，即2q 2－q －1＝0，所以q ＝－12或q ＝1(舍去).当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6. 综上可知，a 1＝32或a 1＝6. 7.4解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3. 设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3， 令g (x )＝3x 2－1x 3，g ′(x )＝3(1－2x )x 4>0，g (x )在区间[－1，0)上单调递增， 因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上得a ＝4.8.6解析 输入n ＝50，由于i ＝1，S ＝0，所以S ＝2×0＋1＝1，i ＝2，此时不满足S >50；当i ＝2时，S ＝2×1＋2＝4，i ＝3，此时不满足S >50；当i ＝3时，S ＝2×4＋3＝11，i ＝4，此时不满足S >50；当i ＝4时，S ＝2×11＋4＝26，i ＝5，此时不满足S >50；当i ＝5时，S ＝2×26＋5＝57，i ＝6，此时满足S >50，因此输出i ＝6.9.解 (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2， 由题意得4＋p 2＝5，所以p ＝2， 所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意知，圆M 的圆心为点(0,2)，半径为2.当m ＝4时，直线AK 的方程为x ＝4，此时，直线AK 与圆M 相离；当m ≠4时，由(1)知A (4,4)，则直线AK 的方程为：y ＝44－m(x －m )，即4x －(4－m )y －4m ＝0，圆心M (0,2)到直线AK 的距离d ＝|2m ＋8|16＋(m －4)2， 令d >2，解得m >1.所以，当m >1时，直线AK 与圆M 相离；当m ＝1时，直线AK 与圆M 相切；当m <1时，直线AK 与圆M 相交.10.解 (1)函数的定义域为[0，＋∞)，f ′(x )＝3x －a 2x(x >0). 若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )有单调递增区间[0，＋∞).若a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝a 3， 当0<x <a 3时，f ′(x )<0， 当x >a 3时，f ′(x )>0. f (x )有单调递减区间[0，a 3]， 有单调递增区间(a 3，＋∞). (2)①由(1)知，若a ≤0，f (x )在[0,2]上单调递增，所以g (a )＝f (0)＝0.若0<a <6，f (x )在[0，a 3]上单调递减，在(a 3，2]上单调递增， 所以g (a )＝f (a 3)＝－2a 3a 3. 若a ≥6，f (x )在[0,2]上单调递减，所以g (a )＝f (2)＝2(2－a ).综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，a ≤0，－2a 3a 3，0<a <6，2(2－a )，a ≥6.②令－6≤g (a )≤－2.若a ≤0，无解.若0<a <6，解得3≤a <6.若a ≥6，解得6≤a ≤2＋3 2.故a的取值范围为3≤a≤2＋3 2.。
高考数学(文)(新课标版)考前复习小题专题练(三) 数 列 Word版含答案
小题专题练(三)数列．已知数列{}为等差数列，其前项和为，若＝，＝，则公差＝( )．．．．设为等比数列{}的前项和，已知＝－，＝－，则公比＝( )．．．．．已知数列{}中，＝，＋－＝，＝，则数列{}的前项和等于( )．．．．．设{}是首项为，公差为－的等差数列，为其前项和．若，，成等比数列，则的值为()．．－．－．若数列{}满足＝，＝，＝(≥且∈*)，则＝( )．．．(·广州模拟)在数列{}中，已知＋＋…＋＝－，则＋＋…＋等于( )．(－)．－．在数列{}中，若＝，且对任意正整数，，总有＋＝＋，则{}的前项和＝( )．(－)．(＋) ．(·重庆适应性考试)设等比数列{}的前项和＝，且－为，的等差中项，则＋＋＝( )．．－．．．(·郑州第二次质量检测)设数列{}满足：＝，＝，且＝(－)－＋(＋)＋，则的值是( )．(·合肥模拟)已知等比数列{}的前项和为，若＝，·＝，则下列说法正确的是( )．{}是单调递减数列．{}是单调递减数列．{}是单调递减数列．{}是单调递减数列．已知函数()＝且＝()＋(＋)，则＋＋＋…＋＝( )．．．．－．如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于，那么＝( )．．．．．(·桂林模拟)设是等差数列{}的前项和，若＝，＝，则等于．．设数列{}的各项都是正数，且对任意∈*，都有＝＋，其中为数列{}的前项和，则数列{}的通项公式为＝．．已知数列{}的前项和为，若＝－，则＝．．(·西安模拟)在数列{}中，＝，(＋－)·(－)＝(∈*)，则该数列的前项的和是．参考答案与解析．在等差数列{}中，＝＝＝，解得＝，又＝＋＝＋＝，解得＝，选.．由题意知，≠，则，两式相减可得＝－，即＝，所以＝.．[导学号：]由＝，＋－＝可知，{}是首项为，公比为的等比数列，所以＝，故＝＝，故数列{}的前项和为＝＝.．因为等差数列{}的前项和为＝＋，所以，，分别为，－，－.因为，，成等比数列，所以(－)＝·(－)，解得＝－.．＝，＝，＝＝，＝＝，依次可得＝，＝，＝，＝，＝，…，可见{}是周期为的数列，所以＝×＝＝.．设为{}的前项和，＝＋＋…＋＝－，当≥时，－＝－－，＝－－(－－)＝－，＝－，当＝时，＝也符合上式，所以＋＋…＋＝＝.．[导学号：]依题意得＋＝＋，即有＋－＝＝，所以数列{}是以为首项、为公差的等差数列，＝＋(－)＝，＝＝(＋)，选.．依题意得＋＝－，即＝＋＋＝，数列，－，－成等比数列，即数列，，－成等比数列，于是有－＝，即＋＋＝，选.．因为＝(－)－＋(＋)＋，所以数列{}是以＝为首项，－＝为公差的等差数列，所以＝＋×＝，所以＝，故选.．由于{}是等比数列，则＝＝，又＝，则＞，＝，＝，当＝－时，{}和{}不具有单调性，选项和错误；＝－＝×单调递减，选项正确；当＝－时，{}不具有单调性，选项错误．。
高考数学(鲁、京、津(文科))考前抢分必做：“10+5”专项练4 Word版含解析
“10＋5”专项练41．设全集U＝{x|x<9且x∈Z}，集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，图中阴影部分所表示的集合为()A．{1,2,3,4,5,6,7,8}B．{1,2,4,5,6}C．{1,2,4,5,6,7,8}D．{1,2,3,4,5,6}答案 B2．已知i为虚数单位，则复数2i1＋i等于()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i答案 A3．(2016·浙江)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n＜x20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n＜x20答案 D解析原命题是全称命题，条件为∀x∈R，结论为∃n∈N*，使得n≥x2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D选项符合．4．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误答案 C解析 ∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误．5．若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 方程x 2k －3＋y 2－(k ＋3)＝1表示双曲线，只需满足(k －3)(－k －3)＜0，解得k ＞3或k ＜－3. 所以k ＞3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的充分不必要条件． 6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83 B ．8 C.43 5 D ．45 答案 A解析 该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为2的正方形，右侧面是腰长为5的等腰三角形，且垂直于底面，由此可得四棱锥的高为2，所以体积V ＝83，故选A. 7．如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各条棱长都相等，则异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值大小为( )A.14B ．－14 C.12D ．－12 答案 A解析 延长BA 到D ，使得AD ＝AC ，则ADA 1B 1为平行四边形，∴AB 1∥A 1D ，∴∠DA 1C 就是异面直线AB 1和A 1C 所成的角， 又△ABC 为等边三角形， 设AB ＝AA 1＝1，∠CAD ＝120°， 则CD ＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos ∠CAD＝1＋1－2×1×1×(－12)＝3，A 1C ＝A 1D ＝2，在△A 1CD 中，cos ∠DA 1C ＝(2)2＋(2)2－(3)22×2×2＝14，故选A.8．设函数f (x )＝x a ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则数列{1f (n )}的前9项和是( ) A.2936B.3144 C.3655D.4366答案 C解析 由题意得函数f (x )＝x a ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，即ax a －1＋a ＝2x ＋2，所以a ＝2，即f (x )＝x 2＋2x ，1f (n )＝1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)，所以S n ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)，则S 9＝12(1＋12－110－111)＝3655，故选C. 9．若在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点，则△PBC 的面积大于S4的概率是( ) A.14B.12 C.34D.23 答案 C 解析 如图，在AB 边上取点P ′， 使AP ′AB ＝34，则P 只能在AP ′上(不包括P ′点)运动， 则所求概率为AP ′AB ＝34.10．(2016·课标全国甲)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k 等于( ) A.12B ．1 C.32D ．2 答案 D解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，由PF ⊥x 轴知，|PF |＝2，所以P 点的坐标为(1,2)，代入曲线y ＝kx (k >0)得k ＝2，故选D. 11．sin 47°cos 17°＋cos 47°cos 107°＝________. 答案12解析 sin 47°cos 17°＋cos 47°cos 107° ＝sin 47°cos 17°－cos 47°sin 17°＝sin(47°－17°) ＝sin 30°＝12.12．(2016·课标全国丙改编)执行下面的程序框图，如果输入的a ＝4，b ＝6，那么输出的n ＝________.答案 4解析 第一次循环a ＝6－4＝2，b ＝6－2＝4，a ＝4＋2＝6，s ＝6，n ＝1；第二次循环a ＝4－6＝－2，b ＝4－(－2)＝6，a ＝6－2＝4，s ＝10，n ＝2；第三次循环a ＝6－4＝2，b ＝6－2＝4，a ＝4＋2＝6，s ＝16，n ＝3；第四次循环a ＝4－6＝－2，b ＝4－(－2)＝6，a ＝6－2＝4，s ＝20，n ＝4，满足题意，结束循环．13．在一次对人体脂肪百分比和年龄关系的研究中，研究人员获得如下一组样本数据：由表中数据求得y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.6x ＋a ^，若年龄x 的值为50，则y 的估计值为________． 答案 32解析 由题意可得x ＝30，y ＝20，将(30,20)代入y ^＝0.6x ＋a ^，解得a ^＝2，所以线性回归方程为y ^＝0.6x ＋2，再将x ＝50代入y ^＝0.6x ＋2得y ^＝32，故答案为32. 14．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第10组抽出的号码应是________． 答案 47解析 22＋(10－5)×5＝47.15．(2016·北京)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________. 答案 1解析 由a sin A ＝c sin C 得sin C ＝c sin A a ＝13×32＝12，又0＜C ＜π3，所以C ＝π6，B ＝π－(A ＋C )＝π6. 所以b c ＝sin Bsin C ＝sin π6sin π6＝1.。
2017高考数学文新课标版考前冲刺复习：46分专项练二
46分专项练(二) 17、18、19题＋二选一1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0，2b sin A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为14.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．2．(2016·长沙雅礼中学月考)已知数列{a n }的各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)．(1)设b n ＝1a n，求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和S n .3.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是正三角形，点D 是A 1B 1的中点，AC ＝2，CC 1＝ 2.(1)求三棱锥C -BDC 1的体积； (2)证明：A 1C ⊥BC 1.4．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表：z ＝y －5得到下表：(1)求z 关于t (2)通过(1)中的方程，求出y 关于x 的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？ 附：对于线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中 b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1 x 2i －n x 2,a ^＝y －b ^x5．(二选一)(Ⅰ)[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知三点O (0，0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4.(1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θy ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值． (Ⅱ)[选修4-5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x ＋m |－|5－x |(m ∈R )． (1)当m ＝3时，求不等式f (x )＞6的解集；(2)若不等式f (x )≤10对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．参考答案与解析1. (1)由a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，A ＝π6.由2b sin A ＝a ，得2sin B sin A ＝sin A ，则sin B ＝12，又A ＝π6，故B ＝π6.(2)由(1)知AC ＝BC .设AC ＝BC ＝x ，在△AMC 中，由余弦定理得AM 2＝x 2＋x 24－2x ·x2·⎝⎛⎭⎫－12＝(14)2， 解得x ＝22，故S △ABC ＝12×22×22×32＝2 3.2. (1)证明：因为a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)， 所以a n ＋1＝a na n ＋1.因为b n ＝1a n ，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1a n ＝a n ＋1a n －1a n ＝1，又b 1＝1a 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项、1为公差的等差数列． (2)由(1)知，b n ＝n ，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n ，所以a n n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 3．[导学号：96982281](1)依题意，VC BDC1＝VD BCC 1，过点D 作DH ⊥C 1B 1，垂足为H ，在直三棱柱中C 1C ⊥平面A 1B 1C 1， 所以C 1C ⊥DH ，所以DH ⊥平面BCC 1，所以DH 是三棱锥D -BCC 1在平面BCC 1上的高， 所以DH ＝32， 又S △BCC 1＝12×2×2＝2，所以VC BDC 1＝VD BCC 1＝13×32×2＝66.(2)证明：取C 1B 1的中点E ，连接A 1E ，CE ， 因为底面是正三角形，所以A 1E ⊥B 1C 1， 易知A 1E ⊥BC 1，Rt △C 1CE 中，C 1C ＝2，C 1E ＝1，Rt △BCC 1中，BC ＝2，CC 1＝2，所以C 1C BC ＝C 1ECC 1，所以△CC 1E ∽△BCC 1，所以∠C 1BC ＝∠ECC 1，∠C 1BC ＋∠BC 1C ＝90°， 所以∠ECC 1＋∠BC 1C ＝90°， 所以CE ⊥BC 1，所以BC 1⊥平面A 1CE ，所以A 1C ⊥BC 1.4. (1) t ＝3，z ＝2.2，∑i ＝15t i z i ＝45, ∑i ＝15t 2i ＝55，b ^＝45－5×3×2.255－5×9＝1.2，a ^＝z －b ^t ＝2.2－3×1.2＝－1.4，所以z ＝1.2t －1.4.(2)将t ＝x －2 010，z ＝y －5，代入z ＝1.2t －1.4， 得y －5＝1.2(x －2 010)－1.4，即y ＝1.2x －2 408.4. (3)因为y ＝1.2×2 020－2 408.4＝15.6，所以预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元． 5．(Ⅰ)[选修4-4](1)O (0，0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4对应的直角坐标分别为O (0，0)，A (0，2)，B (2，2)，则过点O ，A ，B 的圆的普通方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入可求得经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程为ρ＝22cos(θ－π4)．(2)圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θy ＝－1＋a sin θ(θ是参数)对应的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，当圆C 1与圆C 2外切时，有2＋|a |＝22，解得a ＝±2.(Ⅱ)[选修4-5](1)当m ＝3时，f (x )＞6，即|x ＋3|－|5－x |＞6， 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5x ＋3－（x －5）＞6，解得x ≥5； 或⎩⎪⎨⎪⎧－3＜x ＜5x ＋3＋（x －5）＞6，解得4＜x ＜5； 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3－x －3＋（x －5）＞6，解集是∅.故不等式f(x)＞6的解集为{x|x＞4}．(2)f(x)＝|x＋m|－|5－x|≤|(x＋m)＋(5－x)|＝|m＋5|，由题意得|m＋5|≤10，则－10≤m＋5≤10，解得－15≤m≤5，故m的取值范围为[－15，5]．。
2017高考数学理新课标版考前冲刺复习：46分专项练一
解答题规范练 46分专项练46分专项练(一) 17、18、19题＋三选一1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值．2．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12na n ，n ∈N *.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .3.如图，四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，∠BAD ＝π3，AB ＝2，CD ＝3，M 为PC 上一点，PM ＝2MC .(1)证明：BM ∥平面P AD ；(2)若AD ＝2，PD ＝3，求二面角D -MB -C 的正弦值．4．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T ，其范围为[0，10]，分别有5个级别：T ∈[0，2)畅通；T ∈[2，4)基本畅通；T ∈[4，6)轻度拥堵；T ∈[6，8)中度拥堵；T ∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段(T ≥3)，从贵阳市交通指挥中心随机选取了二环以内50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示．(1)据此直方图估算交通指数T ∈[4，8)时的中位数和平均数；(2)据此直方图求出早高峰二环以内的3个路段至少有2个严重拥堵的概率是多少？ (3)某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．5．(二选一)(Ⅰ)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数，a ＞0)．(1)若曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，求a 的值；(2)当a ＝3时，曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离． (Ⅱ)选修4-5：不等式选讲已知a 、b 都是实数，a ≠0，f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)若f (x )>2，求实数x 的取值范围；(2)若|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对满足条件的所有a 、b 都成立，求实数x 的取值范围．参考答案与解析1. (1)因为a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，所以由正弦定理得sin A ＝－sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，即sin A ＝－12sin A －32cos A ，化简得tan A ＝－33， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝5π6. (2)因为A ＝5π6，所以sin A ＝12，由S ＝34c 2＝12bc sin A ＝14bc ，得b ＝3c ， 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7c 2，则a ＝7c ， 由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝714.2. (1)证明：由a n ＋1＝n ＋12n a n 知a n ＋1n ＋1＝12·a nn，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为12，公比为12的等比数列，所以a n n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，所以a n ＝n2n ，所以S n ＝121＋222＋…＋n2n ，①则12S n ＝122＋223＋…＋n2n 1，② ①－②得：12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，所以S n ＝2－n ＋22n .3．[导学号：30812280] (1)证明：如图，过点M 作ME ∥CD交PD 于E ，连接AE .又PM ＝2MC ，故EM CD ＝PM PC ＝23，因为CD ＝3，所以EM ＝2.因为AB ∥CD ，故AB ∥EM .而AB ＝2，所以AB 綊EM ，故四边形ABME 为平行四边形，从而BM ∥AE ，又AE ⊂平面P AD ，所以BM ∥平面P AD .(2)以D 为坐标原点，DC ，DP 所在射线分别为y ，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .由已知AD ＝AB ＝2，∠BAD ＝π3，故△ABD 为等边三角形，所以DB ＝2，∠ABD ＝π3.因为AB ∥CD ，故∠BDC ＝π3.记B 点的坐标为(x B ，y B ，0)，则x B ＝DB ·sin ∠BDC ＝3，y B ＝DB ·cos ∠BDC ＝1，即B ＝(3，1，0)．由已知PD ＝DC ＝3，故D (0，0，0)，P (0，0，3)，C (0，3，0)，DP →＝(0，0，3)，PC →＝(0，3，－3)．由PM ＝2MC ，故PM →＝23PC →＝(0，2，－2)，DM →＝DP →＋PM →＝(0，2，1)，即M (0，2，1)．所以DB →＝(3，1，0)，MC →＝(0，1，－1)，BC →＝()－3，2，0，设平面BDM 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面BCM 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由n 1·DM →＝0，n 1·DB →＝0，得⎩⎨⎧2y 1＋z 1＝0，3x 1＋y 1＝0，故可取n 1＝(－1，3，－23)， 由n 2·MC →＝0，n 2·BC →＝0，得⎩⎨⎧y 2－z 2＝0，－3x 2＋2y 2＝0，故可取n 2＝(2，3，3)． 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－108，故所求二面角D -MB -C 的正弦值为368.4. (1)由直方图知：T ∈[4，8)时交通指数的中位数为5＋1×0.20.24＝356.T ∈[4，8)时交通指数的平均数为4.5×0.2＋5.5×0.24＋6.5×0.2＋7.5×0.16＝4.72. (2)设事件A 为“1条路段严重拥堵”，则P (A )＝0.1， 则3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为： P ＝C 23×⎝⎛⎭⎫1102×⎝⎛⎭⎫1－110＋C 33×⎝⎛⎭⎫1103＝7250，所以3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为7250.(3)由题意，所用时间X 的分布列如下表：则E (X )＝30×0.1＋35所以此人上班路上所用时间的数学期望是40.6分钟．5．(Ⅰ) (1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t 的普通方程为y ＝3－2x .曲线C 1与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫32，0.曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝3sin θ的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1.曲线C 2与x 轴的交点为(－a ，0)，(a ，0)．由a ＞0，曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，知a ＝32.(2)当a ＝3时，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ为圆x 2＋y 2＝9.圆心到直线y ＝3－2x 的距离d ＝|3|22＋12＝355.所以A ，B 两点的距离|AB |＝2r 2－d 2＝29－⎝⎛⎭⎫3552＝1255.(Ⅱ) (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x ≤1，1，1<x ≤2，2x －3，x >2，由f (x )>2得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3－2x >2或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －3>2，解得x <12或x >52.所以所求实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. (2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得 |a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )．又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，所以f (x )≤2.因为f (x )>2的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >52，所以f (x )≤2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤52， 所以所求实数x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，52.。
高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习：小题分类练(四) Word版含答案
小题分类练(四) 综合计算类(2)1．若U ＝{1，4，6，8，9}，A ＝{1，6，8}，B ＝{4，6}，则A ∩∁U B 等于( ) A ．{4，6}B ．{1，8} C ．{1，4，6，8}D ．{1，4，6，8，9}2．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π6 B ．π4C.π3D ．2π33．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10＝( ) A ．100 B ．210 C ．380D ．4004．函数f (x )＝e x －x (e 为自然对数的底数)在区间[－1，1]上的最大值是( ) A ．1＋1eB ．1C ．e ＋1D ．e －15．已知sin φ＝35，且φ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为( )A ．－35B ．－45C.35D.456．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA →·MB →＝0，则m ＝( )A. 2 B ．22C.12D ．07．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B ．332C.3＋62D ．3＋3948．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为( )A.1225B ．2425C ．－2425D ．－12259．某高校要从6名短跑运动员中选出4人参加全省大学生运动会4×100m 接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为( )A.415 B ．215C.421D ．1510．函数f (x )＝1＋log a x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．411．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 212．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a＞0，且a ≠1)，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和S n 大于62，则n 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．913．已知cos(θ＋π)＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝________．14．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝________．15．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：16．在数列{a n }中，a 1＝5，(a n ＋1－2)(a n －2)＝3(n ∈N *)，则该数列的前2016项的和是________．参考答案与解析1．B因为U ＝{1，4，6，8，9}，A ＝{1，6，8}，B ＝{4，6}，所以∁U B ＝{1，8，9}，因此A ∩∁U B ＝{1，8}，故选B.2．B 因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0，所以cos 〈a ，b 〉＝22，所以〈a ，b 〉＝π4. 3．[导学号：30812236]B d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，所以a 1＝7－4＝3，所以S 10＝10×3＋10×92×4＝210，故选B.4．Df ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝0.又f (0)＝e 0－0＝1，f (1)＝e －1>1，f (－1)＝1e ＋1>1，而e －1－⎝⎛⎭⎫1e ＋1＝e －1e －2＝e 2－2e －1e>0，所以f (x )max ＝f (1)＝e －1. 5．B由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，得到其最小正周期为π，所以ω＝2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos φ＝－1－sin 2φ＝－45.6．B由题意解得A (2，22)，B ⎝⎛⎭⎫12，－2，因为M (－1，m )，且MA →·MB →＝0，所以2m 2－22m ＋1＝0，解得m ＝22. 7．[导学号：30812237]B由余弦定理得AB 2＋4－2·AB ×2×cos60°＝7，解得AB ＝3，或AB ＝－1(舍去)，设BC 边上的高为x ，由三角形面积关系得12·BC ·x ＝12AB ·BC ·sin60°，解得x ＝332，故选B.8．B因为α为锐角，cos⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45>0，所以α＋π6为锐角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425，故选B.9．C依题意，从6名短跑运动员中任选4人参加4×100m 接力赛，其中甲不跑第一棒且乙不跑第四棒的方法共有A 46－2A 35＋A 24＝252种，在这252种方法中甲跑第二棒的方法共有C 14·A 24＝48种，因此所求的概率为48252＝421，故选C. 10．B由题意可得函数f (x )＝1＋log a x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (1，1)，又点A在直线mx ＋ny －2＝0上，得m ＋n ＝2，所以1m ＋1n ＝12⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋n 2m ＋m2n≥2，当且仅当n 2m ＝m 2n 时取等号，可得m ＝n ＝1，所以1m ＋1n的最小值为2.11．[导学号：30812238]C 由题设易知A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，不妨设B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . 因为A 1B ⊥A 2C ，所以b 2a c ＋a ·－b 2a c －a ＝－1，整理得a ＝b .因为渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±x ，所以渐近线的斜率为±1. 12．A因为f (x )＝a x g (x )，所以f （x ）g （x ）＝a x ，因为f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝(a x )′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）g 2（x ）＝a xln a ＞0，即ln a ＞0，所以a ＞1.因为f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，所以a ＋a －1＝52，所以a ＝2，所以f （x ）g （x ）＝2x，所以f （n ）g （n ）＝2n，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）为等比数列，所以S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2＞62，所以n ＋1＞6，即n ＞5，所以n 的最小值为6，故选A.13.因为cos(θ＋π)＝－13，所以cos θ＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝cos2θ＝2cos 2θ－1＝－79. －79 14.双曲线的右焦点为F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入x 2－y 23＝0，得y 2＝12，y ＝±23，所以|AB |＝43.4 3 15.对于甲，平均成绩为x 甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90，所以方差为s 2甲＝15(32＋12＋02＋12＋32)＝4；对于乙，平均成绩为x 乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90，所以方差为s2乙＝15(12＋02＋12＋22＋22)＝2，由于2<4，所以乙的平均成绩较稳定．216．[导学号：30812239]依题意得(a n＋1－2)(a n－2)＝3，(a n＋2－2)·(a n＋1－2)＝3，因此a n＋2－2＝a n－2，即a n＋2＝a n，所以数列{a n}是以2为周期的数列．又a1＝5，因此(a2－2)(a1－2)＝3(a2－2)＝3，故a2＝3，a1＋a2＝8.注意到2 016＝2×1 008，因此该数列的前2 016项的和等于1 008(a1＋a2)＝8 064.8064。
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分专项练(四) 、、题＋二选一
．已知，，是△中角，，的对边，且＋＝＋.
()求角的大小；
()若△的面积＝，＝，求的值．
．“冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的慈善公益活动，活动规定：被邀请者要么
在小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款(不接受挑战)，并且不能重复参加该活动．
若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以
邀请另外个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响
．
()若某参与者接受挑战后，对其他个人发出邀请，则这个人中至少有个人接受挑战的
概率是多少？
()为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调
查得到如下×列联表：
接受挑战 不接受挑战 总计
男性
女性
总计
根据表中数据，能否有的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？
附：＝
(≥)
.
如图，在多面体中，△是等边三角形，△是等腰直角三角形，∠＝°，平面⊥平面，⊥
平面，点为的中点，连接.
()求证：∥平面；
()若＝＝，求三棱锥-的体积．
．如图，在四棱锥-中，⊥平面，＝＝＝，四边形满足⊥，∥
且＝，点为的中点，点为边上的点．
()求证：平面⊥平面；
()当＝时，求点到平面的距离．
．(二选一)(Ⅰ)[选修-：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为
(α为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为ρ
＝.
()求曲线和直线在该直角坐标系下的普通方程；
()动点在曲线上，动点在直线上，定点的坐标为(－，)，求＋的最小值．
(Ⅱ)[选修-：不等式选讲]
设，，为正实数，且＋＋＝.
()求证：＋＋＋≤；
()求证：＋＋≥.