受迫振动时的应力计算
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§ 15-3 阻尼与受迫振动1运动方程及其解
d 2q dq q L 2 R E 0 cos t dt C dt
其稳态解为
L
E t
R
C
q Q0 cos t 0
电路中的电流为 dq i Q0 cos t 0 I 0 cos t 0 dt 2
1 R L C 1 当电路条件满足L 时，电路中的电流振幅有最大 C E0 值。此时的电流振幅为 ，电流与电动势的相位差 R 0 。这种状态称为电共振。电共振的条件为 0
T 2 LC
对电量的表达式求时间的导数，任意时刻的电流 dq i Q0 sin t 0 dt
令 I 0 Q0 为电流振幅，改写电流表达式为
i I 0 sin t 0 I 0 cos t 0 2
将上式与电量的表达式比较知， 电流的相位比电量的相 位超前 。 2
T t 2
3T t 4
C
I
Q
Q
A A
I
Q
Q
C
t T
2．电流随时间的变化规律 设 t 时刻电容器极板上的电量为 q ，电 路中的电流为 i，回路电流沿顺时针方向。 线圈两端的电势差等于电容器极板间的电 势差，有 di q U L UC 即 L dt C 由于电流的方向使电容器的电量减少，故有 d 2q 1 dq q i 2 LC dt dt 令
2. 共振（resonance) 理论计算得到稳定时受迫振动的振幅和初相为
A
m
2 0
F0
2 2 4Fra bibliotek 2 22 gb tan 0 2 , 0为受迫振动与强迫力的相位差。 2 0 稳态时物体的速度 v dx v cos t dt 2
受冲击荷载作用时构件的应力和变形计算
0.083
2.25MPa
[ ]
4
现在学习的是第26页，共55页
解法之二：
现在学习的是第27页，共55页
解：沿CD杆轴线单位长度上的惯性力（如图b所示）为
qd
(x)
(
4
0.082
76.4 103 )lCD lCD
402
x
614 103
xN/
m
Hale Waihona Puke 当 x 0 时， qd 0
当 x 0.04m 时（c截面处）， qd 24.6 103N/ m
3.动荷载作用下构件的强度条件
于是，动载荷作用下构件的强度条件为：
d max ( st )max Kd [ ]
式中得[]仍取材料在静载荷作用下的许用应力。
动荷系数 Kd的物理意义：是动载荷、动荷应力和动荷变形与
静载荷、静荷应力和静荷变形之比。因此根据胡克定律，有以
下重要关系：
Kd
Pd Pst
现在学习的是第32页，共55页
根据假设，工程实际上的梁、杆均可简化为弹簧来
分析。现以一弹簧代表受冲构件，受重物Q,在高度H处
落下的作用，计算冲击应力。
Q H
Q
H A
Q H
B 弹簧
现在学习的是第33页，共55页
设：受重物Q自高度 H 落下，冲击弹性系统后，
Q
速度开始下降至0，同时弹簧变形达到最
H Q
大值 d 。
Q
D
此时，全部（动）势能转化为变形能， 杆内动应力达最大值（以后要回跳）。就
以此时来计算：
弹簧
释放出的动能（以势能的降低来表示）
T
Q(H
)
D
增加的变形能，在弹性极限内
2.25MPa
[ ]
4
现在学习的是第26页，共55页
解法之二：
现在学习的是第27页，共55页
解：沿CD杆轴线单位长度上的惯性力（如图b所示）为
qd
(x)
(
4
0.082
76.4 103 )lCD lCD
402
x
614 103
xN/
m
Hale Waihona Puke 当 x 0 时， qd 0
当 x 0.04m 时（c截面处）， qd 24.6 103N/ m
3.动荷载作用下构件的强度条件
于是，动载荷作用下构件的强度条件为：
d max ( st )max Kd [ ]
式中得[]仍取材料在静载荷作用下的许用应力。
动荷系数 Kd的物理意义：是动载荷、动荷应力和动荷变形与
静载荷、静荷应力和静荷变形之比。因此根据胡克定律，有以
下重要关系：
Kd
Pd Pst
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根据假设，工程实际上的梁、杆均可简化为弹簧来
分析。现以一弹簧代表受冲构件，受重物Q,在高度H处
落下的作用，计算冲击应力。
Q H
Q
H A
Q H
B 弹簧
现在学习的是第33页，共55页
设：受重物Q自高度 H 落下，冲击弹性系统后，
Q
速度开始下降至0，同时弹簧变形达到最
H Q
大值 d 。
Q
D
此时，全部（动）势能转化为变形能， 杆内动应力达最大值（以后要回跳）。就
以此时来计算：
弹簧
释放出的动能（以势能的降低来表示）
T
Q(H
)
D
增加的变形能，在弹性极限内
9.7受迫振动
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结束
第九章 振 动
§9.7 受迫振动
受迫振动——振动系统在周期性外界强迫力作用下
的振动.
§9.7.1 受迫振动的动力学方程
1. 动力学方程 设驱动力 对弹簧振子 令 得
F ( t ) F 0 cos t
m d x dt
2
2 2
F0为力幅
F 0 cos t
kx
dx dt
0
d x dt
2 2
k m
, 2
dx dt
2
m
,
f0
F m
2
0 x f 0 cos t
上页 下页
(9.7.1 )
返回 结束
第九章 振 动 2. 受迫振动演示实验 动画演示
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第九章 振 动
§9.7.2受迫振动的运动特征
在小阻尼情况，式(9.7.1 )的通解为：
0
2
2
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结束
第九章 振 动
(3) A0由固有参量决定
x
A0 f0 （ 0 ） 4
2 2 2 2 2
t
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结束
第九章 振 动
§9.7.3 位移共振
位移共振——振动系统受迫振动时,其振幅达极大值 的现象.
A0 f0 （ 0 ） 4
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第九章 振 动
§9.7.5 速度共振
受迫振动的速度在一定条件下也可以发生共振叫 速度共振（速度振幅最大）. 速度共振条件
05-3 多自由度系统的受迫振动
(2)固有频率 特征方程：
B [ K ] 2 [M ] 3K 2 m 2K 0 2K 3K 2 m K
2
燕山大学
Yanshan University
0 K K 2 2 m
3
0
展开并整理得：
K 4 K 2 K 6.5 7.5 0 m m m
1 振型矩阵： P 1.4235 2.0523
1 0.8544 0.5399
1.0279 0.1128 1
正则振型矩阵 主质量矩阵：
燕山大学
Yanshan University
1 1 1 1.4235 2.0523 m 0 0 1 T 0 m 0 1.4235 0.8544 1.0279 1 0.8544 0.5399 M P P M P 1 1.0279 0.1128 0 0 2m 2.0523 0.5399 0.1128 0 0 11.4502 m 0 2.3130 0 0 2.0820 0
燕山大学
Yanshan University
F0 x x sin t m
2 n
F0 x 2 m 2 sin t n
系统正则响应方程：
Q 1 1 2 2 sin t n1 Q 2 sin t 2 2 2 n 2 Q n sin t n 2 2 nn
5.3
多自由度系统的受迫振动
燕山大学
Yanshan University
5.3.1 无阻尼系统的受迫振动 无阻尼系统受迫振动运动方程：M K x Q(t ) x 式中:
有阻尼体系受迫振动位移响应分析
有阻尼体系受迫振动位移响应分析1. 引言振动是在物体受外力作用下产生的周期性的运动。
在实际的工程问题中，往往会遇到受迫振动的问题，即外界施加着周期性的力或位移而引起的振动现象。
而当受迫振动的物体存在阻尼时，振动的特性将会发生一些变化。
对于有阻尼体系受迫振动的位移响应进行分析和研究具有重要的意义。
2. 有阻尼体系受迫振动的基本方程对于有阻尼体系受迫振动的分析，首先需要建立受迫振动的基本方程。
考虑一个有阻尼的单自由度振动系统，系统的受迫振动可以表示为以下方程：m*x'' + c*x' + k*x = F0*cos(ω*t)m为系统的质量，c为阻尼系数，k为刚度，F0为外界施加的迫振动力的振幅，ω为外界力的角速度，x为系统的位移，x'为位移的一阶导数，x''为位移的二阶导数。
这个方程描述了阻尼体系受迫振动的基本特征，通过对这个方程进行分析可以得到系统的位移响应。
针对上述的受迫振动方程，我们可以通过解析方法得到系统的位移响应。
最常用的方法是采用叠加原则和复数法，通过解析得到系统的稳态和瞬态解。
对于稳态解，我们可以通过欧拉公式将其表示为：x(t) = A*cos(ω*t - φ)A和φ分别为振幅和相位，可以通过系统的初始条件和受迫振动的特性进行计算。
而对于瞬态解，我们可以通过拉普拉斯变换的方法得到系统的响应函数，从而得到系统的瞬态解。
有阻尼体系受迫振动的频率响应特性是描述系统响应的重要指标之一。
频率响应特性可以通过系统的传递函数来描述，传递函数可以通过对系统的受迫振动方程进行拉普拉斯变换得到。
通过对传递函数的分析，我们可以得到系统在不同频率下的频率响应特性。
具体来说，我们可以得到系统的共振频率、阻尼比对系统响应的影响，从而对系统进行频率特性的分析。
除了通过解析方法进行分析外，我们还可以通过数值模拟的方法来研究有阻尼体系受迫振动的位移响应。
数值模拟方法可以通过有限元分析、时域积分等方法来进行，通过对系统的微分方程进行离散化，我们可以得到系统在不同时间下的位移响应。
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可知，杆内各点处的惯性力是 个分布力系，为此，可用线分 布力集度q d 来度量惯性力的大 小。
m
x
P
m
Nx
惯性力集度 q d为单位长度杆的质量与加速度 的乘积，即
A 1 A qd g g
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第二节 构件作等加速直线运动 或等速转动时的动应力计算
2001.07 东南大学远程教育
第四节
构件在受冲击时应力和变形的计算
2 st
2h d st 2h st 1 1 st st
代入上式：
48EI 2h 2h Pd 3 1 1 st 1 1 P Kd P L st st
2001.07
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2001.07
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第二节 构件作等加速直线运动 或等速转动时的动应力计算
可见，对于匀质的等截面直杆， 距旋转中心为x处的惯性力集度 等于单位长度杆的质量与该点处 的向心加速度的乘积。
A 1 2 x q d x g A2 x g
1 2 l 2 lD 2 g
当杆长l远大于转轴的直径D时，上式括号中的第二项lD可以略 去不计。
说明 ①对于等截面杆，动应力的大小与杆的横截面面积无关
②对于一定的材料，等截面直杆的转动角速度 有一极 限值，该极限值与杆的横截面面积无关
2001.07
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第三节
构件在受迫振动时的应力计算
一个应力循环
max
min
o
应力谱曲线
2001.07
t
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第五节 交变应力下材料的 疲劳破坏、疲劳极限
o
max
t
min
r=1
o
静载
t
0
对称 r=1
max
o
2001.07
min 0
脉动循环 max
t
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第六节
钢结构构件及其连接的疲劳计算
max max min min
r ５．对称循环交变应力—当 max min 时，即 1 ６．非对称循环交变应力—当 r 1 时。 ７．脉动循环交变应力—当 r 0 时，即 min 0 ８．同号（异号）应力循环—当 r 0时。 ９．疲劳寿命—疲劳破坏时，所经历的应力循环次数。
对于m—m截面，该截面处的内力 Nx 为 A N x q d x x g 应力为
可见，虽q d 均匀分布，但离起点越远，质量越多，惯性力、惯 性应力也就越大 二．等速转动 一匀质等截面直杆AB，B端固定在直径为D的转轴上，转轴的角速 度为 ，杆AB的长度为l，横截面面积为A，计算杆内最大动应力 。
2001.07
mP
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第三节
构件在受迫振动时的应力计算
H
二．受迫振动的应力计算
角速度 n ，则转角 nt ， 惯性力分量： 水平分量为 H cos nt 因EA很大，可略去轴向振动 而铅垂分量为 H sin nt 产生上下振动 则受迫振动的理论力学公式为
振幅
A H, H Hl 3EI
讨论对象
作等加速直线运 动或等速转动的构件 受冲击荷载作用的构件和强迫振动的构件的动应力计算 交变应力作用下的构件的疲劳破坏和疲劳强度校核
2001.07
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第二节 构件作等加速直线运动 或等速转动时的动应力计算
一．加速直线运动
如右图所示杆，受一轴向力P 作用，加速度为 ，杆的比重 为 ，根据达朗伯原理，在杆 的各点处加上惯性力。
3
P P
st
H
H sin nt
H
放大系数
2001.07
P
st
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1 n 2 c 2 n 2 1 4
d max
第三节
构件在受迫振动时的应力计算
n
干扰力的频率
n 2f
P
L 2 L 2
B
m 一、假定： L mP （１）不计冲击物的变形， 接触后回弹，粘在一起，被冲 击物视为无质量的线弹性体， 冲击应力瞬时传遍冲击物。 （２）不计能耗，满足机 械能守恒。
TVU
2001.07
A
Pd d
最大位移
d
B
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第四节
构件在受冲击时应力和变形的计算
二、求 d （最大位移） 依能量受恒原理：冲击物减少的动能、势能＝梁增加 的变形能 U d
方向与加速度方向相反
D
沿杆轴加上惯性力 qd x 后，即可按分布静荷载作用下的拉杆来计算 杆AB内的动应力 d 。
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第二节 构件作等加速直线运动 或等速转动时的动应力计算
显然，杆AB内的最大动应力发生在B端的横截面上，其值 为 1 1 D 2 A2 d max xdx D 2 A g
E v Eh Ud 1 1 48EI E h Ph d U d Pd d 3 d d 2 2 L 3 1 48EI 2 PL 1 2 h d d Ph d 3 d 2 L 48EI 2 1 2 d st h d 2
方法：按许用应力幅法建立疲劳强度条件
长幅疲劳破坏问题（应力循环中 不变的疲劳） 许用应力幅：
C是与构件和连接的种类及其受力情况有关的系数 长幅疲劳强度条件为
C N
1
验算的条件： 5 ①应力变化的循环次数 N 10 ②应力循环中出现拉应力的部位
重物
一．几个基本概念
１．自由振动—在铅垂外力作用下， 使梁离开静平衡位置振动 若 mL mP 时，梁视为无质量的弹性体 若计 m L 时，为无限自由度体系
静平衡位置 最大位移位置
图例及符号
２．受迫振动—在重物处（或自由端） 作用一沿铅垂方向且随时间作周期 变化的干扰力而使梁发生振动 最大位移位置 静平衡位置 重物，质量 m L 梁，质量
K d —冲击时的动荷系数，代表冲击力为原自重的几倍 d Kd st
2001.07
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第五节 交变应力下材料的 疲劳破坏、疲劳极限
一．疲劳破坏机理
交变应力：随时间作交替变化的应力 疲劳破坏：金属材料若长期处于交变应力下，在最大工作应力远低 于材料的屈服强度，且不产生明显塑性变化情况下，发 生的骤然的断裂。 破坏机理： 实质上是构件在交变应力下，经历由疲劳裂纹源的形成、 疲劳裂纹的扩展以及最后的脆断三个过程
振动系统的固有频率，
c
k 1 g g m m W st
阻尼系数
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第四节
构件在受冲击时应力和变形的计算
由于在冲击过程中，冲击物的 速度在短时间内发生变化，不 易确定，另外，从理论上对被 A 冲击物的冲击应力、变形作精 确分析也是复杂的。本处，仅 一种介绍偏于安全的简化方法。
二．交变应力的基本参量
１．应力谱—应力随时间变化的曲线 ２．应力循环—应力在最大值和最小值之间作周期性变化，应力每重复 变化一次，称为一个应力循环。 ３．循环特征—应力循环中最小应力与最大应力的比值
min r max
４．应力幅—应力变化的幅度
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第五节 交变应力下材料的 疲劳破坏、疲劳极限
第九章
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
动荷载
概述
交变应力
构件作等加速直线运动或等速转动时的 动应力计算 构件在受迫振动时的应力计算 构件在受冲击时应力和变形的计算 交变应力下材料的疲劳破坏、疲 劳极限 钢结构构件及其连接的程教育
第一节
几个概念
概述
１．静载—①荷载增加缓慢，再从零增加到某值，保持P不变或变动很小 ②加载过程中引起构件内各质点的加速度很小而忽略 ２．动载—①P随时间而改变（地震、风等、海浪冲击海浪冲击海洋平台 ②作加速运动或作匀速转动的流中构件的惯性力也是一种动载。 例如起重机吊物，机械中的飞轮 ３．动应力—在动载作用下，构件内的应力
m
x
P
m
Nx
惯性力集度 q d为单位长度杆的质量与加速度 的乘积，即
A 1 A qd g g
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第二节 构件作等加速直线运动 或等速转动时的动应力计算
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第四节
构件在受冲击时应力和变形的计算
2 st
2h d st 2h st 1 1 st st
代入上式：
48EI 2h 2h Pd 3 1 1 st 1 1 P Kd P L st st
2001.07
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2001.07
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第二节 构件作等加速直线运动 或等速转动时的动应力计算
可见，对于匀质的等截面直杆， 距旋转中心为x处的惯性力集度 等于单位长度杆的质量与该点处 的向心加速度的乘积。
A 1 2 x q d x g A2 x g
1 2 l 2 lD 2 g
当杆长l远大于转轴的直径D时，上式括号中的第二项lD可以略 去不计。
说明 ①对于等截面杆，动应力的大小与杆的横截面面积无关
②对于一定的材料，等截面直杆的转动角速度 有一极 限值，该极限值与杆的横截面面积无关
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第三节
构件在受迫振动时的应力计算
一个应力循环
max
min
o
应力谱曲线
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t
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第五节 交变应力下材料的 疲劳破坏、疲劳极限
o
max
t
min
r=1
o
静载
t
0
对称 r=1
max
o
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min 0
脉动循环 max
t
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第六节
钢结构构件及其连接的疲劳计算
max max min min
r ５．对称循环交变应力—当 max min 时，即 1 ６．非对称循环交变应力—当 r 1 时。 ７．脉动循环交变应力—当 r 0 时，即 min 0 ８．同号（异号）应力循环—当 r 0时。 ９．疲劳寿命—疲劳破坏时，所经历的应力循环次数。
对于m—m截面，该截面处的内力 Nx 为 A N x q d x x g 应力为
可见，虽q d 均匀分布，但离起点越远，质量越多，惯性力、惯 性应力也就越大 二．等速转动 一匀质等截面直杆AB，B端固定在直径为D的转轴上，转轴的角速 度为 ，杆AB的长度为l，横截面面积为A，计算杆内最大动应力 。
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mP
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第三节
构件在受迫振动时的应力计算
H
二．受迫振动的应力计算
角速度 n ，则转角 nt ， 惯性力分量： 水平分量为 H cos nt 因EA很大，可略去轴向振动 而铅垂分量为 H sin nt 产生上下振动 则受迫振动的理论力学公式为
振幅
A H, H Hl 3EI
讨论对象
作等加速直线运 动或等速转动的构件 受冲击荷载作用的构件和强迫振动的构件的动应力计算 交变应力作用下的构件的疲劳破坏和疲劳强度校核
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第二节 构件作等加速直线运动 或等速转动时的动应力计算
一．加速直线运动
如右图所示杆，受一轴向力P 作用，加速度为 ，杆的比重 为 ，根据达朗伯原理，在杆 的各点处加上惯性力。
3
P P
st
H
H sin nt
H
放大系数
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P
st
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1 n 2 c 2 n 2 1 4
d max
第三节
构件在受迫振动时的应力计算
n
干扰力的频率
n 2f
P
L 2 L 2
B
m 一、假定： L mP （１）不计冲击物的变形， 接触后回弹，粘在一起，被冲 击物视为无质量的线弹性体， 冲击应力瞬时传遍冲击物。 （２）不计能耗，满足机 械能守恒。
TVU
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A
Pd d
最大位移
d
B
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第四节
构件在受冲击时应力和变形的计算
二、求 d （最大位移） 依能量受恒原理：冲击物减少的动能、势能＝梁增加 的变形能 U d
方向与加速度方向相反
D
沿杆轴加上惯性力 qd x 后，即可按分布静荷载作用下的拉杆来计算 杆AB内的动应力 d 。
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第二节 构件作等加速直线运动 或等速转动时的动应力计算
显然，杆AB内的最大动应力发生在B端的横截面上，其值 为 1 1 D 2 A2 d max xdx D 2 A g
E v Eh Ud 1 1 48EI E h Ph d U d Pd d 3 d d 2 2 L 3 1 48EI 2 PL 1 2 h d d Ph d 3 d 2 L 48EI 2 1 2 d st h d 2
方法：按许用应力幅法建立疲劳强度条件
长幅疲劳破坏问题（应力循环中 不变的疲劳） 许用应力幅：
C是与构件和连接的种类及其受力情况有关的系数 长幅疲劳强度条件为
C N
1
验算的条件： 5 ①应力变化的循环次数 N 10 ②应力循环中出现拉应力的部位
重物
一．几个基本概念
１．自由振动—在铅垂外力作用下， 使梁离开静平衡位置振动 若 mL mP 时，梁视为无质量的弹性体 若计 m L 时，为无限自由度体系
静平衡位置 最大位移位置
图例及符号
２．受迫振动—在重物处（或自由端） 作用一沿铅垂方向且随时间作周期 变化的干扰力而使梁发生振动 最大位移位置 静平衡位置 重物，质量 m L 梁，质量
K d —冲击时的动荷系数，代表冲击力为原自重的几倍 d Kd st
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第五节 交变应力下材料的 疲劳破坏、疲劳极限
一．疲劳破坏机理
交变应力：随时间作交替变化的应力 疲劳破坏：金属材料若长期处于交变应力下，在最大工作应力远低 于材料的屈服强度，且不产生明显塑性变化情况下，发 生的骤然的断裂。 破坏机理： 实质上是构件在交变应力下，经历由疲劳裂纹源的形成、 疲劳裂纹的扩展以及最后的脆断三个过程
振动系统的固有频率，
c
k 1 g g m m W st
阻尼系数
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第四节
构件在受冲击时应力和变形的计算
由于在冲击过程中，冲击物的 速度在短时间内发生变化，不 易确定，另外，从理论上对被 A 冲击物的冲击应力、变形作精 确分析也是复杂的。本处，仅 一种介绍偏于安全的简化方法。
二．交变应力的基本参量
１．应力谱—应力随时间变化的曲线 ２．应力循环—应力在最大值和最小值之间作周期性变化，应力每重复 变化一次，称为一个应力循环。 ３．循环特征—应力循环中最小应力与最大应力的比值
min r max
４．应力幅—应力变化的幅度
2001.07 东南大学远程教育
第五节 交变应力下材料的 疲劳破坏、疲劳极限
第九章
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
动荷载
概述
交变应力
构件作等加速直线运动或等速转动时的 动应力计算 构件在受迫振动时的应力计算 构件在受冲击时应力和变形的计算 交变应力下材料的疲劳破坏、疲 劳极限 钢结构构件及其连接的程教育
第一节
几个概念
概述
１．静载—①荷载增加缓慢，再从零增加到某值，保持P不变或变动很小 ②加载过程中引起构件内各质点的加速度很小而忽略 ２．动载—①P随时间而改变（地震、风等、海浪冲击海浪冲击海洋平台 ②作加速运动或作匀速转动的流中构件的惯性力也是一种动载。 例如起重机吊物，机械中的飞轮 ３．动应力—在动载作用下，构件内的应力