高考数学总复习第2节矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量练习苏教版选修4-2

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高二数学选修4-2 矩阵与变换 PPT

X’，根据矩阵变换的性质有
16
矩阵乘法的几何意义——变换的合成乘法满足结合律，不满足交换律
1/2 0 0 –1 的变换过程(先旋转后压缩):
0 1 10
0 –1 1/2 0 的变换过程(先压缩后旋转):
10 01
17
逆变换与逆矩阵
伸压变换之逆为伸压变换
1/2 0 01
20 01
20 01
1/2 0 01
14
矩阵表示的变换，把直线或者变成直线，或者变成一个点
直线的向量方程一般地，在平面直角坐标系中，经过点
M0(x0,y0）且平行于非零向量的直线l的方程为
v0
v1
v
2
15
矩阵表示的变换，把直线或者变成直线，或者变成一个点
给量向定量OuuMuM矩uur0v阵'变0。M成,它向把量点OuuMMuu0ur0变，成点M把M向0’，量即v0把变向成对l上任意一点X,矩阵M把点X变成点
1
1 3 y = -2
求解线性方程组即为：求一个向量，它由已知变换变为一个已知向量。
Mx xM1
可以根据变换，讨论可逆解的情况。
21
特征值与特征向量的意义
1 0
矩阵
0
1 2
的特征向量为 1 和
0
0
1
和
矩阵只改变其特征向量的
0 –1
1
0
高中数学选修４- 2
矩阵与变换
1
主要内容
通过几何变换讨论二阶方阵的乘法及性质、矩阵的逆和矩阵的特征向量，初步展示矩阵应用。
2
特色
突出矩阵的几何意义
从具体到一般，从直观到抽象
用实例展示矩阵应用广泛性

人教版高中数学选修 4-2矩阵变换第三章第一节逆变换与逆矩阵

导入新课除了我们已学过的一些矩阵的性质之外还有其他性质么?知识回顾矩阵乘法的运算性质结合律(ab)c=a(bc)交换律ab=ba消去律设a≠0,若ab=a,则b=c;若ba=ca,则b=c.类比实数的乘法运算中有一条重要的运算性质：.aa a a ,a 1=1•=•10则如果 ≠把恒等变换I 和单位矩阵E 作为数1的类比对象知识与能力掌握逆矩阵的概念和简单性质过程与方法●通过线性变换理解逆矩阵的性质情感态度与价值观●培养学生提出问题,解决问题的能力重点：●逆矩阵的概念与简单性质.●逆矩阵的概念;●用线性变换的角度理解逆矩阵的简单性质.难点：探究1对于一个线性变换ρ,是否存在一个线性变换σ,使得σ·ρ=ρ·σ= I ?对于一个二阶矩阵A,是否存在一个二阶矩阵B,使得AB=BA=E?Oyx30°R －30°R 30°αα′例1 旋转变换R 30°：.y x y ,y x x 23+21=′2123=′－R －30°：.y x y ,y x x 23+21=′21+23=′－对于直角坐标系xOy 内的任意一个向量α由图可得：α′ αα有：（R 30°· R －30°）= R 30°（R －30°）= α α α同理可得：R －30°· R 30°=I∴R 30°· R －30°= I23212123－23212123－对于二阶矩阵,存在二阶矩阵,使得23212123－23212123－23212123－23212123－==E 2思考一般的旋转变换Rψ,也有相似的结论么?探究2对于切变变换、伸缩变换、反射变换等线性变换,能否找到一个线性变换,使得它们的复合变换是恒等变换I?同学们:我会了哦!你们会了么?类比书本看看答对了么?定义设ρ是一个线性变换,若存在线性变换σ,使得σρ=ρσ= I,则称变换ρ可逆,并称σ是ρ的逆矩阵.用矩阵的语言表述:设A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使得AB=BA=E2,则称矩阵A可逆,或A是可逆矩阵,并称B是A的逆矩阵.设A是一个二阶可逆矩阵,对于对应的线性变换为ρ,由矩阵和变换的对应关系,得到A的逆矩阵就是ρ逆变换对应的矩阵.思考是否每一个二阶矩阵都可逆?若能,请说明理由;若不能,请举例说明.答案:不是.如A =0012探究31.若一个线性变换是可逆的,则它的逆变换是唯一的么?2.若一个二阶矩阵是可逆的,则它的逆矩阵是唯一的么?以例1中的两个旋转变换为例反证法证明:假设不唯一,则存在变换R 30°的任意一个逆变换σ,使得σ R 30°= R 30°σ= I .∴对平面上任意一个向量有,α()()()()()().R I R R R R R R R I α=α=ασ•=ασ=ασ=ασ=ασ°30°30°30°30°30°30°30°30 －－－－－）（.=σ°30假设不成立－,R ∴∴逆变换是唯一的.性质1设A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.证明：设B,B2都是A的逆矩阵,则1B1A=AB1=E2,B2A=AB2=E2.∴B=E2B1=(B2A)B1=B2(AB1）1=B2E2=B2.即：B=B2.1探究4两个可逆变换的复合变换仍可逆么?yy ,x x 2=′=′伸缩变换ρ:yx y ,y x x 23+21=′2123=′－旋转变换R 30°:它们的逆矩阵分别为:y y ,x x 21=′=′：－ρ1yx y ,y x x 23+21=′21+23=′－R －30°:任意一个平面向量: = .αy x 先经ρ·R 30°的复合变换,再经R －30°·ρ－1,最终仍得到α如图:ρOyxαR °30－R °30ρ1－()()().RR R R .I R R I R R 1°301°3011°30°30°301°30°30°301ρ=ρ=ρ•,ρ•=ρ•ρ•=ρ••ρ－－－－－－－－－且可逆即：变换）（类似：；）（∴性质2设A , B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则AB 也可逆,且(AB)－1=B－1A－1.证明：∵(AB)(B－1A－1)=A(BB－1)A－1=AE2A－1=AA－1=E2,(B－1A－1) (AB)= B－1( AA－1)B= B－1E2B= B－1B=E2,即:(AB)(B－1A－1)=(B－1A－1)(AB)=E2∴AB可逆,且(AB)－1 = B－1A－1.课堂小结1. A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使,则称矩阵A可逆.得AB=BA=E22.A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.3.A, B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则AB也可逆,且(AB)－1=B－1A－1.教材习题答案：）伸缩变换（ρ11.：其逆变换为可逆σ,kyy ,x x =′=′yky ,x x 1=′=′：轴的反射变换）关于（ρ2x 可逆，yy ,x x －=′=′.y y ,x x －=′=′：其逆变换为ρ1201－1201）（12.其逆矩阵为可逆,10021021）（2其逆矩阵为可逆,1000）（3不可逆θθθθcos sin sin cos －θθθθcos sin sin cos －）（4其逆矩阵为可逆,()()..I I .I ,I ,.逆变换是唯一的则矩阵都是它的逆，是可逆的，设线性变换∴∴σ=σ•=σ•ρ•σ=σ•ρ•σ=•σ=σ=ρ•σ=σ•ρ=ρ•σ=σ•ρσσρ322212*********().A AA .E A A A A ,E A A A A ,A .=====41111111－－－－－－－可逆且即：则可逆设二阶矩阵∴()()()()()().A A A .E A A EA A A A A A A A ,E A A A AE A AAA A A .E A A A A ,A .211221111221111121211===========5－－－－－－－－－－－－－－也可逆且则可逆设二阶矩阵∴∴∴。

苏教版数学高二选修4-2学案 2.3 章末分层突破

章末分层突破一、矩阵的乘法运算矩阵与矩阵的乘法运算是高考考查本章知识的一个重要考点.已知二阶矩阵M 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，求M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.【解】设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，所以a ＝1，c ＝0.由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ＋bc ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，所以b ＝1，d ＝2. 所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2. 所以M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 4. 所以M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－4.二、矩阵的乘法与变换的复合问题以矩阵乘法为载体考查矩阵变换的有关知识是高考考查的热点.在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点O (0，0)，A (2，0)，B (1，2)，求 △OAB 在矩阵MN 的作用变换下所得图形的面积，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1， N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 22.【导学号：30650030】【解】 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤122022＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1×1＋0×0 1×22＋0×220×1＋（－1）×0 0×22＋（－1）×22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22. 又因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1，所以O ，A ，B 三点在矩阵MN 的作用变换下所得点分别为O ′(0，0)，A ′(2，0)，B ′(2，－1)，所以S △O ′A ′B ′＝12×2×1＝1.故△OAB 在矩阵MN 的作用变换下所得图形的面积为1.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求抛物线y 2＝x 经过矩阵AB 作用下变换得到的曲线方程.【导学号：30650031】【解】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 在曲线y 2＝x 上任取一点P (x ，y )，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2y ，y ′＝x ，即⎩⎨⎧x ＝y ′，y ＝－12x ′，代入y 2＝x ，得y ′＝14x ′2，所以曲线y 2＝x 经过矩阵AB 作用下变换得到的曲线方程为y ＝14x 2.三、数形结合思想我们从平面变换的观点引入了二阶矩阵的乘法，矩阵变换是数学中变换的一种方法，利用矩阵的方法实际上是把某些几何图形的变换转化为代数的运算，使具体的问题抽象化，把某些方法进行统一.在解决代数问题时，矩阵方法主要是对运算过程的一种简化，也是对运算本质的一种提炼.因此本章中始终贯穿数形结合的思想.已知矩形ABCD ，其中A (0，0)、B (2，0)、C (2，1)、D (0，1)，将矩形绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形作关于y 轴的反射变换.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；(2)求点A 、B 、C 、D 在连续两次变换后所得到的结果；(3)在平面直角坐标系内画出两次对应的几何图形，并验证(2)中的结论. 【解】 (1)绕原点逆时针方向旋转90°的变换矩阵为Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，而关于y轴的变换矩阵为P＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1001，则连续两次变换所对应的变换矩阵M由矩阵乘法可得.M＝PQ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1001⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110.(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.所以点A、B、C、D分别变换成点A″(0，0)、B″(0，2)、C″(1，2)、D″(1，0).如图所示.(3)从几何变换角度，先作绕原点逆时针旋转90°的变换T1，再将所得图形作关于y轴的轴反射变换T2，所得结果与(2)一致，如图所示.章末综合检测(三)1.计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－2312；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ－sin θsin θcos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos φ－sin φsin φcos φ.【解】(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2312＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×0＋2×31×（－2）＋2×123×0＋4×33×（－2）＋4×12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－112－4.(2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos φ －sin φsin φ cos φ＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos θcos φ－sin θsin φ －cos θsin φ－sin θcos φsin θcos φ＋cos θsin φ －sin θsin φ＋cos θcos φ ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos （θ＋φ）－sin （θ＋φ）sin （θ＋φ） cos （θ＋φ）. 2.已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，计算AB ，并从变换的角度解释.【导学号：30650032】【解】AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－3232 －32＋12. AB 所对应的变换为复合变换，即由旋转变换和切变变换连续变换得到的.3.已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－2222 22，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，且MN ＝A ，求二阶矩阵N . 【解】设N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22（a －c ）22（b －d ）22（a ＋c ） 22（b ＋d ）＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧22（a －c ）＝1，22（b －d ）＝0，22（a ＋c ）＝0，22（b ＋d ）＝1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝22，b ＝22，c ＝－22，d ＝22.∴N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22－2222. 4.设E 为二阶单位矩阵，试证明对于任意二阶矩阵M ，ME ＝EM ＝M . 【证明】设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，a ，b ，c ，d 均为实数，则 ME ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝M ， EM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝M . 所以等式得证.5.已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α sin α－sin α cos α，试求A 2，A 3，并据此猜想A n (n ∈N *).【导学号：30650033】【解】因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos α sin α－sin α cos α，所以A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ cos α sin α－sin α cos α⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos α sin α－sin α cos α＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ cos αcos α－sin αsin α cos αsin α＋sin αcos α－cos αsin α－sin αcos α －sin αsin α＋cos αcos α ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos 2α sin 2α－sin 2α cos 2α， A 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ cos 2α sin 2α－sin 2α cos 2α⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos α sin α－sin α cos α ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos 3α sin 3α－sin 3α cos 3α，所以据此猜想A n ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos n α sin n α－sin n α cos n α. 6.根据如图1所示的变换，你能将其分解为已知的一些变换吗？图1【解】 (1)先施以矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 －1对应的关于原点的中心反射变换，再往以矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1对应的伸压变换得到. (2)先施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1对应的伸压变换，再施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的伸压变换得到.7.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1. (1)计算AB ，BA ；(2)设M ＝AB ，N ＝BA ，若矩阵M ，N 分别把直线l ：x ＋y ＋2＝0变为直线l 1，l 2，求直线l 1，l 2的方程.【解】 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2×1＋1×0 2×（－2）＋1×1－1×1＋2×0 －1×（－2）＋2×1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 4， BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 2 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×2＋（－2）×（－1） 1×1＋（－2）×2 0×2＋1×（－1） 0×1＋1×2 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －3－1 2. (2)任取直线l 上一点P (x ，y )经矩阵M 变换后为点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2x －3y －x ＋4y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －3yy ′＝－x ＋4y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45x ′＋35y ′y ＝15x ′＋25y ′，把上式代入x ＋y ＋2＝0得： 45x ′＋35y ′＋15x ′＋25y ′＋2＝0，即x ′＋y ′＋2＝0，∴直线l 1的方程为x ＋y ＋2＝0，同理可求l 2的方程为3x ＋7y ＋10＝0.8.在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标分别为A (0，0)，B (1，1)，C (0，2)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 【解】由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1. 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2，可知A ，B ，C 三点在矩阵MN 作用下变换所得到的点分别是A ′(0，0)，B ′(1，－1)，C ′(0，－2).计算得△A ′B ′C ′的面积为1.所以△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积为1. 9.已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 20d ，且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 0－2 0. (1)求实数a ，b ，c ，d 的值；(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象.【导学号：30650034】【解】由题设得⎩⎪⎨⎪⎧c＋0＝22＋ad＝0bc＋0＝－22b＋d＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a＝－1b＝－1c＝2d＝2.(2)设直线y＝3x上的任意点(x，y)，在矩阵M所对应的线性变换作用下的象是点(x′，y′)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x－y－x＋y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x2x得y′＝－x′，即点(x′，y′)必在直线y＝－x上.由(x，y)的任意性可知，直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程为y＝－x.10.假设我们收集到苹果和香蕉在两个不同商店的价格，每个男性与女性分别对这两种水果的日需求量以及两个不同公司中男性与女性人员数量，并用矩阵表示如下：利用A，B，C，按下列要求求出矩阵乘积：(1)计算乘积BA，并说明该乘积矩阵表示的是什么量表；(2)哪两个矩阵的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量？并计算出这个量表.【解】(1)BA＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1232⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.5 1.22.83.0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7.17.210.19.6.打印版高中数学由于7.1＝1×1.5＋2×2.8，表示男性每日在A 店买苹果和香蕉共需消费7.1元；10.1＝3×1.5＋2×2.8，表示女性每日在A 店买苹果和香蕉共需消费10.1元.故BA 表示男、女在A ，B 两店每日需消费的金额，用量表表示如下：(2)C与B 的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量：CB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 5080 120⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤350 500440 400，故量表为。

2020年高三总复习数学人教旧版-选修4-2[第8讲二阶矩阵的乘法] 讲义(教师版)

第 9页
这个结果，并从几何上给予解释.
【答案】略
1×1＋0×0 1×0＋0×2 1 0
【解析】左边＝
＝
0×1＋0×0 0×0＋0×2 0 0
1 1×1＋0×0 1×0＋0×
2 10
右边＝ 0×1＋0×0
1 0×0＋0×
＝
0
. 0
2
∴左边＝右边.
1 01 0 表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍，再往 x 轴上投影.
0 00 2
10
1 0
0 00
1 2
1 表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，再往 x 轴上投影.
2
矩阵乘法的运算性质 (1)矩阵乘法不满足交换律 (2)矩阵乘法满足结合律 (3)矩阵乘法不满足消去律
第 8页
1.变换的复合两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒. 2．两个矩阵的乘法的几何意义是对应变换的复合，反过来，可以对平面中的某些几何变换进行简单的分解。 3.矩阵乘法的性质需要反复练习印证
1 3k
＝
.
01
例 3.
1 －2
2 －1
已知 M＝
，W＝
，试求满足 MZ＝W 的二阶矩阵 Z.
23
－3 1
1 0－
7
【答案】Z＝
3
－1
7
ab
1
【解析】设 Z＝
，则 MZ＝
cd
2
－2 a 3c
b a－2c ＝
d 2a＋3c
b－2d .又因为 MZ＝W，且 W
2b＋3d
2 －1
a－2c b－2d
2 －1
第 6页

(江苏专版)2019版高考数学一轮复习讲义：第二十二章选修4系列 22.1 矩阵与变换讲义

10 分 10 分
21D, 21D, 21D, 21D, 21D,
B
解答题 ★★★
10 分 10 分 10 分 10 分 10 分
分析解读江苏高考对选修 4 的考查方式是从“矩阵与变换,坐标系与参数方程,不等式选讲”三个题目中任意选做两题,试题为容易题,基本是课本改编题,只要掌握基本概念和基本公式、定理就能解决.复习时要严格控制难度,注意解题的准确性和规范性.
2 所以
B=
1 1
4 1 0 2
.
1
[ ] [ ] [ ] 1 2 0 -2
1 4 1
0
5 1
4
因此,AB=
2 = 0 - 1 .
[ ] [ ] 1
�� 1
3.(2015 江苏,21B,10 分)已知 x,y∈R,向量 α= - 1 是矩阵 A= �� 0 的属于特征值-2 的一个特征向量,求矩阵 A
2
5.(2017 江苏徐州期末调研)已知矩阵 A= - 1 �� 的一个特征值为 2,其对应的一个特征向量 α= 1 .求 a,b 的值.
[ ][ ] [ ] [ ] [ ] 1 �� 2 2
2 + �� 4
解析由条件知,Aα=2α,即 - 1 �� 1 =2 1 ,即 - 2 + �� = 2 ,
[ ] [ ] 0 1 1 0
(1)因为 A= 1 0 ,B= 0 2 ,
[ ][ ] [ ] 0 1 1 0 0 2
所以 AB= 1 0 0 2 = 1 0 .
(2)设 Q(x0,y0)为曲线 C1 上的任意一点,它在矩阵 AB 对应的变换作用下变为 P(x,y),

江苏省一轮复习数学试题选编7：矩阵与变换(教师版).pdf

江苏省2014届一轮复习数学试题选编37：矩阵与变换填空题．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））设矩阵的逆矩阵为,a+b+c+d=_________________. 【答案】0 解答题．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4—2:矩阵与变换) 已知矩阵的一个特征值为,其对应的一个特征向量为,已知,求.【答案】．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）B 选修4 - 2:矩阵与变换若矩阵有特征值,,它们所对应的特征向量分别为和,求矩阵. 【答案】选修4 - 2:矩阵与变换解.设,由得,即,, 所以．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题）B.选修4-2:(矩阵与变换)已知二阶矩阵M有特征值=3及对应的一个特征向量,并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15),求矩阵M. 【答案】B.选修4-2:(矩阵与变换)设,则,故 ,故联立以上两方程组解得,故=．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-2:矩阵与变换已知,若矩阵所对应的变换把直线:变换为自身,求.【答案】对于直线上任意一点,在矩阵对应的变换作用下变换成点,则,因为,所以, 所以解得所以, 所以．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-2:矩阵与变换设曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为,求矩阵M的逆矩阵.【答案】【解】设曲线上任一点在矩阵对应的变换下的像是,由,得因为在圆上,所以,化简可得依题意可得,或而由可得故, ．（2010年高考（江苏））矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中,A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0,k∈R,M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍,求实数k的值【答案】，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（，-2）。

【同步教学参考】2013-2014学年高中苏教版数学选修4-2 课时作业6

1．已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转π4，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．【解】这个变换的逆变换是作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转π4变换，其矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos (－π4) －sin (－π4)sin (－π4) cos (－π4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 －22－22－22. 2．求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1的逆矩阵．【解】法一待定矩阵法：设矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ z w x ＋z y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，所以⎩⎨⎧z ＝1，w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝1，w ＝0，故所求逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0. 法二 A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111中，0×1－1×1＝－1≠0，∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1－1－1－1－1 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0. 3．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵．【证明】因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001， BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以B 是A 的逆矩阵． 4．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，求矩阵MN 的逆矩阵．【解】因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，所以MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12. 设矩阵MN 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 2b c 2 d 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，c 2＝0，d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝0，d ＝2.故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2. 5．已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)．(1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，请说明理由．【解】 (1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎨⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 21－1 2. (2)变换矩阵A 是可逆的．设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，得⎩⎨⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25.6．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 1. 若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1. 【解】设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以x 1＋2x 2＝1,3x 1＋x 2＝0，y 1＋2y 2＝0,3y 1＋y 2＝1，即x 1＝－15，y 1＝25，x 2＝35，y 2＝－15，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－15 25 35 －15.7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .【解】因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1.因为AX ＝B ，所以A －1(AX )＝A －1B .又因为(A －1A )X ＝A －1(AX )，所以(A －1A )X ＝A －1B ，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1. 教师备选8．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程．【解】 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，所以⎩⎨⎧ a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎨⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，从而M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12. (2)设直线l 上任意一点(x ，y )，在变换M 作用下对应直线m 上任意一点(x ′，y ′)，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：2x ′－y ′＝4，所以2(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即直线l 的方程为x ＋4＝0.。

江苏版高考数学 22.1 矩阵与变换

专题二十二选修4系列【真题典例】22.1 矩阵与变换挖命题【考情探究】分析解读矩阵与变换是江苏卷附加题中三选二的内容之一,主要考查矩阵的变换、矩阵的乘法、逆矩阵、特征值和特征向量等,难度不大.破考点【考点集训】考点矩阵与变换1.(2019届江苏盐城一中月考)在平面直角坐标系xOy中,设点A(-1,2)在矩阵M=-对应的变换作用下得到点A',将点B(3,4)绕点A'逆时针旋转90°得到点B',求点B'的坐标.解析设B'(x,y).由--=,得A'(1,2).则=(2,2),=(x-1,y-2).记旋转矩阵N=-,则-=--,即-=--,解得-所以点B'的坐标为(-1,4).2.(2018江苏如皋中学月考)已知矩阵M=的逆矩阵M-1=--,求实数m,n的值.解析因为MM-1=--=---=,所以---解得3.(2019届江苏梅村中学月考)已知矩阵A=(c,d为实数).若矩阵A属于特征值2,3的一个特征向量分别为,,求矩阵M的逆矩阵A-1.解析由题意知==2,==3,所以解得-所以A=-,所以A-1=-.4.(2019届江苏盐城中学月考)已知二阶矩阵A=-.(1)求矩阵A的特征值和特征向量;(2)设向量β=-,求A5β.解析(1)矩阵A的特征多项式f(λ)=--=(λ-3)(λ+2).令f(λ)=0得λ1=3,λ2=-2.设λ1=3对应的一个特征向量为,则将λ1=3代入二元一次方程组得-解得y=0.所以矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.设λ2=-2对应的一个特征向量为,则--取x1=1,则y1=-1.所以矩阵A的属于特征值-2的一个特征向量为-.(2)由(1)可知向量β是矩阵A的属于特征值-2的一个特征向量, 所以A5β=λ5β=-.炼技法【方法集训】方法一求解逆矩阵1.(2018江苏扬州期末)已知x,y∈R,若点M(1,1)在矩阵A=对应的变换作用下得到点N(3,5),求矩阵A 的逆矩阵A-1.解析因为A=,即=,即解得所以A=.解法一(定义法):设A-1=,则AA-1==,即解得--所以A-1=--.解法二(公式法):因为A-1=--,且det A==2×2-1×3=1,所以A-1=--.2.(2019届江苏常州一中月考)已知矩阵M=,试求:(1)矩阵M的逆矩阵M-1;(2)直线y=2x在矩阵M-1对应的变换作用下的曲线方程.解析(1)因为M=,所以M-1=.(2)设点P(x,y)是直线y=2x上任意一点,在矩阵M-1对应的变换作用下得到点Q(x',y'), 则==,所以即因为点P在直线y=2x上,于是2y'=2×x',所以2y'=x',即直线y=2x在矩阵M-1对应的变换作用下的曲线方程为y=x.方法二矩阵变换应用1.(2019届江苏泰州中学月考)已知曲线C:x2+2xy+2y2=1,矩阵A=所对应的变换把曲线C变成曲线C1,求曲线C1的方程.解析设曲线C上的任意一点P(x,y),P在矩阵A=对应的变换下得到点Q(x',y'),则=,即x+2y=x',x=y',所以x=y',y=-.代入x2+2xy+2y2=1,得y'2+2y'-+2-=1,即x'2+y'2=2,所以曲线C1的方程为x2+y2=2.2.(2019届江苏宿迁中学月考)已知矩阵M=,N=,试求曲线y=sin x在矩阵MN变换下的函数解析式.解析MN==,即在矩阵MN变换下→==,所以即代入y=sin x得y'=sin 2x'.即曲线y=sin x在矩阵MN变换下的函数解析式为y=2sin 2x.过专题【五年高考】自主命题江苏卷题组1.(2017江苏,21B,10分)已知矩阵A=,B=.(1)求AB;(2)若曲线C1:+=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.解析本小题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.(1)因为A=,B=,所以AB==.(2)设Q(x0,y0)为曲线C1上的任意一点,它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x,y),则=,即所以因为点Q(x0,y0)在曲线C1上,则+=1,从而+=1,即x2+y2=8.因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2:x2+y2=8.2.(2016江苏,21B,10分)已知矩阵A=-,矩阵B的逆矩阵B-1=-,求矩阵AB. 解析设B=,则B-1B=-=,即=,故--解得所以B=.因此,AB=-=-.3.(2015江苏,21B,10分)已知x,y∈R,向量α=-是矩阵A=的属于特征值-2的一个特征向量,求矩阵A 以及它的另一个特征值.证明由已知,得Aα=-2α,即-=-1=,则--即-所以矩阵A=-.从而矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ-1),所以矩阵A的另一个特征值为1.4.(2014江苏,21B,10分)已知矩阵A=,B=,向量α=,x,y为实数,若Aα=Bα,求x+y的值.解析由已知,得Aα=-=-,Bα=-=-.因为Aα=Bα,所以-=-.故--解得-所以x+y=.教师专用题组1.(2013江苏,21B,10分,0.949)已知矩阵A=-,B=,求矩阵A-1B. 解析设矩阵A的逆矩阵为,则-=,即--=,故a=-1,b=0,c=0,d=,从而A的逆矩阵为A-1=-,所以A-1B=-=--.2.(2011江苏,21B,10分)已知矩阵A=,向量β=.求向量α,使得A2α=β. 解析A2==.设α=.由A2α=β,得=,从而解得x=-1,y=2,所以α=-.评析本题考查矩阵运算法则等基础知识,对运算能力有一定的要求,属中等难度题.3.(2012江苏,21B,10分)已知矩阵A的逆矩阵A-1=--,求矩阵A的特征值.解析因为A-1A=E,所以A=(A-1)-1.因为A-1=--,所以A=(A-1)-1=,于是矩阵A的特征多项式为f(λ)=----=λ2-3λ-4.令f(λ)=0,解得A的特征值λ1=-1,λ2=4.评析本题主要考查矩阵的基础知识,考查运算求解能力.4.(2014福建,21(1),7分)已知矩阵A的逆矩阵A-1=.(Ⅰ)求矩阵A;(Ⅱ)求矩阵A-1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.解析(Ⅰ)因为矩阵A是矩阵A-1的逆矩阵,且|A-1|=2×2-1×1=3≠0,所以A==.(Ⅱ)矩阵A-1的特征多项式为f(λ)==λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3), 令f(λ)=0,得矩阵A-1的特征值为λ1=1或λ2=3,所以ξ1=是矩阵A-1的属于特征值λ1=1的一个特征向量,ξ2=是矩阵A-1的属于特征值λ2=3的一个特征向量.【三年模拟】解答题(共60分)1.(2019届江苏南京六校调研)设矩阵A满足A=--,求矩阵A的逆矩阵A-1. 解析A=---=---=-.因为det A=-,所以A-1=-.2.(2018江苏南京、盐城一模)已知矩阵M=,求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程.解析设P(x0,y0)是圆x2+y2=1上任意一点,则+=1.设点P(x0,y0)在矩阵M对应的变换下所得的点为Q(x,y),则=,即解得代入+=1,得+y2=1,即为所求的曲线方程.3.(2017江苏镇江期末)已知实数a,b,矩阵A=-对应的变换将直线x-y-1=0变换为自身,求a,b的值. 解析设直线x-y-1=0上任意一点P(x,y)在变换T A的作用下变成点P'(x',y').由-=,得-因为P'(x',y')在直线x-y-1=0上,所以x'-y'-1=0,即(2-b)x+(a+1)y-1=0.又因为P(x,y)在直线x-y-1=0上,所以x-y-1=0.因此--解得a=-2,b=1.4.(2018江苏南京、盐城、连云港二模)已知α=为矩阵A=-属于实数λ的一个特征向量,求λ和A2. 解析因为-=λ,所以-解得所以A=-,所以A2=-.5.(2018江苏南京学情调研)设二阶矩阵A=.(1)求A-1;(2)若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C':6x2-y2=1,求曲线C的方程.解析(1)根据逆矩阵公式,可得A-1=--.(2)设曲线C上任意一点P(x,y)在矩阵A对应的变换作用下得到点P'(x',y'),则==,所以因为(x',y')在曲线C'上,所以6x'2-y'2=1,代入得6(x+2y)2-(3x+4y)2=1,化简得8y2-3x2=1,所以曲线C的方程为8y2-3x2=1.6.(2018江苏苏州高三上学期期中调研,21B)已知矩阵A=,α=,求A49α的值.解析矩阵A的特征多项式f(λ)==λ2-2λ-3.令f(λ)=0,解得矩阵A的特征值λ1=-1,λ2=3.当λ=-1时特征向量为α1=,当λ=3时特征向量为α2=,又∵α==α1+3α2,∴A49α=α1+3α2=-.方法点拨解此类题应分成以下几个步骤:一是求特征值,二是根据特征值求特征向量,三是把已知向量用特征向量表示,最后求得结果.。

苏教版数学高二- 选修4-2 教案 2.3变换的复合与矩阵的乘法

2.3 变换的复合与矩阵的乘法1．矩阵的乘法一般地，对于矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22，规定乘法法则如下：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22.2．矩阵乘法的几何意义(1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵．(2)矩阵乘法的几何意义：矩阵乘法MN 的几何意义为：对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换．(3)当连续对向量实施n ·(n ＞1且n ∈N *)次变换T M 时，对应地我们记M n ＝M·M·…·M.3．矩阵乘法的运算性质(1)矩阵乘法不满足交换律对于二阶矩阵A 、B 来说，尽管AB 、BA 均有意义，但可能AB≠BA. (2)矩阵乘法满足结合律设M 、N 、P 均为二阶矩阵，则一定有(MN)P ＝M(NP)． (3)矩阵乘法不满足消去律设A 、B 、C 为二阶矩阵，当AB ＝AC 时，可能B≠C.1．矩阵的乘法与实数的乘法有什么异同？【提示】 (1)运算条件不同，任何两个实数均可作乘法，而两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时，才能作乘法．(2)从运算律上看，实数的乘法满足交换律、结合律及消去律，而矩阵的乘法只满足结合律．2．矩阵的乘法与变换的复合有什么关系？简单变换与复合变换有什么关系？【提示】矩阵的乘法对应着变换的复合，这样使得若干个简单变换可以复合成较为复杂的变换；反过来较为复杂的变换可以分解成若干个简单的变换．3．矩阵乘法MN 与NM 的几何意义一致吗？为什么？【提示】不一致；因为前一个对应着先T N 后T M 的两次几何变换，而后者对应着先T M 后T N 的两次几何变换.矩阵的乘法运算(1)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1，计算AB.(2)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，计算AB ，BA. (3)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1，计算A 2、B 2.【思路探究】利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明．【自主解答】 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×0 1×0＋0×10×0＋0×0 0×0＋0×1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.(2)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×1 1×－1＋0×00×0＋2×1 0×－1＋2×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0×1＋－1×0 0×0＋－1×21×1＋0×0 1×0＋0×2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0.(3)A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12， B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可，但对揭示矩阵乘法的性质却有着重要的意义．(1)中尽管A 、B 均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；(2)中AB≠BA ；(3)中尽管B≠C ，但有AB ＝AC ，这与一般数乘有着本质的区别；(4)中A 2＝A ，B 2＝0，这里0是一个二阶零矩阵．证明下列等式并从几何变换的角度给予解释．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1301⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0【解】 ∵左＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋3×0 1×0＋3×00×1＋1×0 0×0＋1×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，右＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋13×0 1×0＋13×0 0×1＋1×0 0×0＋1×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0，∴左＝右．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000对应的变换将平面上的点垂直投影到x 轴，而x 轴上的点沿x 轴的切变变换是不动点.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1130 1均为沿x 轴的切变变换，自然有等式成立.矩阵乘法的简单性质已知正方形ABCD ，点A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)、D(0,0)，变换T 1所对应的矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，变换T 2所对应的矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，计算MN 、NM ，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释．【思路探究】利用具体的几何变换验证．【自主解答】 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0， NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －121 0. 故MN≠NM.从几何变换的角度来看，矩阵M 表示T 1为向x 轴压缩为一半的变换，矩阵N 表示T 2为逆时针旋转90°的变换．这样MN 表示矩阵ABCD 先经T 2，再经T 1的变换，变换结果如图所示：而NM 表示矩形ABCD 先经T 1，再经T 2的变换，变换结果如图．(2)从图(1)以及图(2)可知，MN 和NM 表示的不是同一个变换．一个旋转变换与一个伸压变换的乘积一般不满足交换律．但两个旋转变换、两个反射变换满足交换律．算式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012表示AB ＝AC ，但A≠0且有B≠C ，请通过计算验证这个结果，并从几何上给予解释．【解】左边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋0×0 1×0＋0×20×1＋0×0 0×0＋0×2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100右边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋0×0 1×0＋0×120×1＋0×0 0×0＋0×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0.∴左边＝右边．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再往x 轴上投影．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12，再往x 轴上投影.变换的复合问题已知圆C ：x 2＋y 2＝1，先将圆C 作关于矩阵P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002的伸压变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°，求所得曲线的方程．【思路探究】先求出旋转90°的矩阵Q ，进而求QP ，再求曲线方程．【自主解答】绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则M ＝QP ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 设A(x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点A′(x′0，y′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′0y′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x′0＝－2y 0，y′0＝x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y′0，y 0＝－x′02.又因为点A(x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上，所以(y′0)2＋⎝⎛⎭⎫－x′022＝1. 故所得曲线的方程为x 24＋y 2＝1.矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒．若将本例中两次变换的顺序交换，则曲线的方程如何？【解】绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵 Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则M ＝PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0. 设A(x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点A′(x′0，y′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′0y′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x′0＝－y 0，y′0＝2x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y′02，y 0＝－x′0.又因为点A(x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上，所以⎝⎛⎭⎫y′022＋(－x′0)2＝1. 故所得曲线的方程为x 2＋y 24＝1.(教材第47页习题2.3第5题)已知△ABC ，A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，对它先作M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001对应的变换，再作N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2对应的变换，试研究变换作用后的结果，并用一个矩阵来表示这两次变换．(2013·南京模拟)已知曲线C 1：x 2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002对应的变换，再作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0对应的变换，得到曲线C 2：x 24＋y 2＝1.求实数b 的值．【命题意图】本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力．【解】从曲线C 1变到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0. 在曲线C 1上任意选一点P(x 0，y 0)，设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为P′(x′，y′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2by 0x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′.故⎩⎪⎨⎪⎧2by 0＝x′，x 0＝y′.解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12b x′，x 0＝y′.代入曲线C 1方程得，y′2＋(12bx′)2＝1.即曲线C 2方程为：(12b)2x 2＋y 2＝1.与已知的曲线C 2的方程x 24＋y 2＝1比较得(2b)2＝4.所以b ＝±1.1．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则AB ＝________，BA ＝________. 【解析】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×1 1×－1＋0×00×0＋2×1 0×－1＋2×0 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0×1＋－1×0 0×0＋－1×2 1×1＋0×0 1×0＋0×2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 02．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 24 4，则AB ＝________，AC ＝________.【解析】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 200，AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 24 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 200.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 03．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1，则A 2＝________.【解析】 A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1×1＋1×－1 1×1＋1×－1－1×1＋－1×－1 －1×1＋－1×－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 04．矩阵乘法⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12的几何意义是________．【解析】几何意义是先施以沿y 轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换．【答案】先施以沿y 轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，计算AB 、AC. 【解】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 0， AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 0.2．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1.【解】原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 111＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234.3．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －22 3，W ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－3 1，试求满足MZ ＝W 的二阶矩阵Z.【解】设Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则MZ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －22 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2cb －2d 2a ＋3c 2b ＋3d .又因为MZ ＝W ，且W ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－3 1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2c b －2d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－3 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2c ＝2，b －2d ＝－1，2a ＋3c ＝－3，2b ＋3d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－17，c ＝－1，d ＝37.故Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －17－1 37.4．验证下列等式，并说明其几何意义(结合法从右到左进行)． (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110.【解】 (1)右边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234＝左边．故等式成立．从几何变换上说，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1把点P(x ，y)切变到点P 1(y ，x ＋y)；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤110 1把点P 1(y ，x ＋y)切变到点P 2(x ＋2y ，x ＋y)；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002把点P 2(x ＋2y ，x ＋y)垂直于x 轴伸长2倍变成点P 3(x ＋2y,2x ＋2y)；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011把点P 3(x ＋2y,2x ＋2y)向y 轴正向切变到点P 4(x ＋2y,3x ＋4y)．这样连续实施以上四次变换的结果与用矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4直接把点P(x ，y)变到点P 4(x ＋2y,3x＋4y)是一致的．(2)右边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k1＝左边．故等式成立．从几何上看，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0把点A(x ，y)以直线y ＝x 为对称轴，反射到其点A 1(y ，x)；而⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1把点A 1(y ，x)平行于x 轴切变到点A 2(y ＋kx ，x)；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110把点A 2(y ＋kx ，x)以直线y ＝x 为对称轴，反射到对称点A 3(x ，y ＋kx)．这样连续三次变换的结果与用矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1直接把点A(x ，y)沿y 轴切变到A 3(x ，y ＋kx)是一致的．5．试求曲线y ＝sin x 在矩阵MW 变换下的函数解析式，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，W ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1. 【解】 MW ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×12＋0×0 1×0＋0×10×12＋2×0 0×0＋2×1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2. 设(x′，y′)是曲线y ＝sin x 上任意一点，变换后曲线上与之对应的点为(x ，y)，则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x′ 2y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12x′＝x ，2y′＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝12y. 所以12y ＝sin 2x ，即y ＝2sin 2x.故曲线y ＝sin x 在矩阵MW 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x.6．求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－11.【解】 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－22，设P(x′，y′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P′(x ，y)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x′－2x′＋2y′ 于是x′＝x ，y′＝x ＋y2.代入2x′2－2x′y′＋1＝0得xy ＝1，所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1. 7．已知晴天和阴天的转移矩阵A ，及表示今天天气晴、阴的概率α分别为A ＝明天晴天阴天⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 1313 23，α＝今天晴天阴天⎣⎢⎡⎦⎥⎤1878 (1)计算A 2、A 3，并分别说明A 2、A 3的实际意义；(2)请用矩阵A 与向量α表示出明天，后天与再后天的天气晴、阴的概率．【解】 (1)A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤59 4949 59，A 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1427 13271327 1427，它们分别表示 A 2＝后天晴阴⎣⎢⎡⎦⎥⎤59 4949 59，A 3＝再后天晴阴⎣⎢⎡⎦⎥⎤1427 13271327 1427.(2)明天天气晴、阴概率Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3858；后天天气晴、阴概率A 2α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11241324；再后天天气晴、阴概率A 3α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35723772.教师备选8．设T A 是绕原点旋转且旋转60°的旋转变换，T B 是以直线x ＋y ＝0为轴的反射变换，求先进行T A 变换后进行T B 变换的复合变换对应的矩阵．【解】若逆时针方向旋转，则T A ，T B 对应的矩阵分别为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 60° －sin 60°sin 60° cos 60°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－3232 12， B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0，故所求矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－3232 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32 －12－12 32. 若顺时针方向旋转，则T A ，T B 对应的矩阵分别为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －60° －sin －60°sin －60° cos －60°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12 32－32 12， B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0，故所求矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12 32－32 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 32 －12－12 －32. 综上所述，所求矩阵为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32 －12－12 32或⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 32 －12－12 －32.一、矩阵的乘法运算矩阵与矩阵的乘法运算是高考考查本章知识的一个重要考点．已知二阶矩阵M 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，求M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.【解】设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，所以a ＝1，c ＝0.由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，所以b ＝1，d ＝2.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2.所以M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 102⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 304.所以M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4. 二、矩阵的乘法与变换的复合问题以矩阵乘法为载体考查矩阵变换的有关知识是高考考查的热点．在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点O(0,0)，A(2,0)，B(1，2)，求△OAB 在矩阵MN 的作用变换下所得图形的面积，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 22. 【解】 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2222 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1×1＋0×0 1×22＋0×220×1＋－1×0 0×22＋－1×22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22.又因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1，所以O ，A ，B 三点在矩阵MN 的作用变换下所得点分别为O′(0,0)，A′(2,0)，B′(2，－1)，所以S △O′A′B′＝12×2×1＝1.故△OAB 在矩阵MN 的作用变换下所得图形的面积为1.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求抛物线y 2＝x 经过矩阵AB 作用下变换得到的曲线方程．【解】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 在曲线y 2＝x 上任取一点P(x ，y)，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P′(x′，y′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－2y ，y′＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y′，y ＝－12x′，代入y 2＝x ，得y′＝14x′2，所以曲线y 2＝x 经过矩阵AB 作用下变换得到的曲线方程为y ＝14x 2.三、数形结合思想我们从平面变换的观点引入了二阶矩阵的乘法，矩阵变换是数学中变换的一种方法，利用矩阵的方法实际上是把某些几何图形的变换转化为代数的运算，使具体的问题抽象化，把某些方法进行统一．在解决代数问题时，矩阵方法主要是对运算过程的一种简化，也是对运算本质的一种提炼．因此本章中始终贯穿数形结合的思想．已知矩形ABCD ，其中A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)、D(0,1)，将矩形绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形作关于y 轴的反射变换．(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；(2)求点A 、B 、C 、D 在连续两次变换后所得到的结果；(3)在平面直角坐标系内画出两次对应的几何图形，并验证(2)中的结论．【解】 (1)绕原点逆时针方向旋转90°的变换矩阵为Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，而关于y 轴的变换矩阵为P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01，则连续两次变换所对应的变换矩阵M 由矩阵乘法可得．M ＝PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110.(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10. 所以点A 、B 、C 、D 分别变换成点A″(0,0)、B″(0,2)、C″(1,2)、D″(1,0)．如图所示．(3)从几何变换角度，先作绕原点逆时针旋转90°的变换T 1，再将所得图形作关于y 轴的轴反射变换T 2，所得结果与(2)一致，如图所示．综合检测(三)1．计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －2312；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos φ －sin φsin φ cos φ.【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －2312＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋2×3 1×－2＋2×123×0＋4×3 3×－2＋4×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 －112 －4.(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos φ －sin φsin φ cos φ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θcos φ－sin θsin φ －cos θsin φ－sin θcos φsin θcos φ＋cos θsin φ －sin θsin φ＋cos θcos φ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ＋φ －sin θ＋φsin θ＋φ cos θ＋φ.2．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，计算AB ，并从变换的角度解释．【解】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －12－3232 －32＋12. AB 所对应的变换为复合变换，即由旋转变换和切变变换连续变换得到的．3．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，且MN ＝A ，求二阶矩阵N. 【解】设N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22a －c 22b －d 22a ＋c22b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 22a －c ＝1，22b －d ＝0，22a ＋c ＝0，22b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝22，c ＝－22，d ＝22.∴N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 22 22－22 22. 4．设E 为二阶单位矩阵，试证明对于任意二阶矩阵M ，ME ＝EM ＝M. 【证明】设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，a ，b ，c ，d 均为实数，则 ME ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝M ，EM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝M.所以等式得证． 5．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α sin α－sin α cos α，试求A 2，A 3，并据此猜想A n (n ∈N *)．【解】因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α sin α－sin α cos α，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos α sin α－sin α cos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α sin α－sin α cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos αcos α－sin αsin α cos αsin α＋sin αcos α－cos αsin α－sin αcos α －sin αsin α＋cos αcos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos 2α sin 2α－sin 2α cos 2α， A 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos 2α sin 2α－sin 2α cos 2α⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos α sin α－sin α cos α ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 3α sin 3α－sin 3α cos 3α，所以据此猜想A n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos nα sin nα－sin nα cos nα. 6．根据如图所示的变换，你能将其分解为已知的一些变换吗？【解】 (1)先施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的关于原点的中心反射变换，再往以矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1对应的伸压变换得到．(2)先施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的伸压变换，再施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2对应的伸压变换得到．7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1.(1)计算AB ，BA ；(2)设M ＝AB ，N ＝BA ，若矩阵M ，N 分别把直线l ：x ＋y ＋2＝0变为直线l 1，l 2，求直线l 1，l 2的方程．【解】 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2×1＋1×0 2×－2＋1×1－1×1＋2×0 －1×－2＋2×1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 4，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×2＋－2×－1 1×1＋－2×2 0×2＋1×－1 0×1＋1×2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －3－1 2. (2)任取直线l 上一点P(x ，y)经矩阵M 变换后为点P′(x′，y′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2x －3y －x ＋4y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x′＝2x －3y y′＝－x ＋4y ，即⎩⎨⎧ x ＝45x′＋35y′y ＝15x′＋25y′，把上式代入x ＋y ＋2＝0得：45x′＋35y′＋15x′＋25y′＋2＝0，即x′＋y′＋2＝0，∴直线l 1的方程为x ＋y ＋2＝0，同理可求l 2的方程为3x ＋7y ＋10＝0.8．在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标分别为A(0,0)，B(1,1)，C(0,2)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 【解】由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1. 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，可知A ，B ，C 三点在矩阵MN 作用下变换所得到的点分别是A′(0,0)，B′(1，－1)，C′(0，－2)．计算得△A′B′C′的面积为1.所以△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积为1.9．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 20 d ，且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 0－2 0. (1)求实数a ，b ，c ，d 的值；(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象．【解】由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＋0＝22＋ad ＝0bc ＋0＝－22b ＋d ＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－1c ＝2d ＝2.(2)设直线y ＝3x 上的任意点(x ，y)，在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象是点(x′，y′)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y －x ＋y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x 2x 得y′＝－x′，即点(x′，y′)必在直线y ＝－x 上．由(x ，y)的任意性可知，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程为y ＝－x.10．假设我们收集到苹果和香蕉在两个不同商店的价格，每个男性与女性分别对这两种水果的日需求量以及两个不同公司中男性与女性人员数量，并用矩阵表示如下：价格日需求量A ＝苹果香蕉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.5A 店 1.2B 店2.8 3.0，B ＝男女⎣⎢⎡⎦⎥⎤1苹果 2香蕉3 2，人员数量C ＝公司甲公司乙⎣⎢⎡⎦⎥⎤200男 50女80 120. 利用A ，B ，C ，按下列要求求出矩阵乘积：(1)计算乘积BA ，并说明该乘积矩阵表示的是什么量表；(2)哪两个矩阵的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量？并计算出这个量表．【解】 (1)BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.5 1.22.8 3.0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7.1 7.210.1 9.6. 由于7.1＝1×1.5＋2×2.8，表示男性每日在A 店买苹果和香蕉共需消费7.1元；10.1＝3×1.5＋2×2.8，表示女性每日在A 店买苹果和香蕉共需消费10.1元．故BA 表示男、女在A ，B 两店每日需消费的金额，用量表表示如下：BA ＝男女⎣⎢⎡⎦⎥⎤7.1A 店 7.2B 店10.1 9.6日消费额. (2)C 与B 的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量：CB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 5080 120⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 232 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤350 500440 400，故量表为D ＝公司甲公司乙⎣⎢⎡⎦⎥⎤350苹果 500香蕉440 400日需求量.。

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1
x4-2-2 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量练习苏教版选修
4-2

一、填空题
1．已知A＝1 3a 6可逆，则实数a的取值范围是________．
解析：矩阵A可逆当且仅当det(A)≠0，
即6－3a≠0，∴a≠2，
∴a的取值范围为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
答案：(－∞，2)∪(2，＋∞)

2．设矩阵M＝12 3232 －12，则矩阵M的特征向量可以是________．
解析：矩阵M的特征多项式
f(λ)＝λ－12 －32－32 λ＋12＝λ
2
－1.

由于f(λ)＝0得矩阵M的特征值为λ1＝1，λ2＝－1.
经计算可得，矩阵M属于特征值λ＝1的一个特征向量为31，而属于特征值λ＝－1

的一个特征向量为 1－3.
答案： 1－3
3．设可逆矩阵A＝a 34 5的逆矩阵A－1＝b ca －1，则a＝________，b＝________，c＝节
________．
解析：由AA－1＝E得ab＋3a ac－34b＋5a 4c－5＝1 00 1，
2

即ac＝3，4b＋5a＝0，4c－5＝1，ab＋3a＝1
解方程组得a＝2，b＝－52，c＝32.
答案：2 －52 32

4．已知二元一次方程组22x－22y＝－1，22x＋22y＝1，从线性变换的角度求解时应把向量－1 1绕原点
作顺时针旋转________的旋转变换．
解析：因为方程组22x－22y＝－1，22x＋22y＝1，的矩阵形式是





22 －2
2

22 2
2

xy＝－1 1，它是把向量xy绕原点作逆时针旋转π4变换得到



－1
1
，所以解

方程组就是把向量－1 1绕原点作顺时针旋转π4的旋转变换．
答案：π4

5．A＝1 －10 112 －3232 12，则A－1＝________．

解析：A＝1 －10 112 －3232 12＝1－32 －1－3232 12，
∵|A|＝1－32×12－－1－32×32＝1≠0.
∴A－1＝12 1＋32－32 1－32.
3

答案：12 1＋32－32 1－32
6．现用矩阵对信息进行加密后传递，规定英文字母数字化为：a→1，b→2，…，z→26，双
方约定的矩阵为1 40 2，发送方传递的密码为67，30，31，8，此组密码所发信息为________．

解析：因为A＝1 40 2，所以det A＝1 40 2＝2≠0，
所以A－1＝1 －20 12，而密码矩阵为B＝67 3130 8，
故明码矩阵X＝A－1B＝1 －20 1267 3130 8＝7 1515 4，
对应信息为“good”．
答案：good

7．矩阵M＝－1 252 3的特征值与特征向量分别为________．

解析：由λ＋1 －2－52 λ－3＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)(－52)＝λ2－2λ－8＝0，得矩阵
M
的特征值为λ1＝4，λ2＝－2.
设属于特征值λ1＝4的特征向量为xy，则它满足方程(λ1＋1)x＋(－2)y＝0，即5x－

2y＝0.故可取25为属于特征值λ1＝4的一个特征向量．
设属于特征值λ2＝－2的特征向量为xy，同理可得x＋2y＝0.故可取－2 1为属于特征
值λ2＝－2的一个特征向量．

综上所述，矩阵M＝－1 252 3有两个特征值λ1＝4，λ2＝－2，属于λ1＝4的一个特征

向量为α1＝25；属于λ2＝－2的一个特征向量为α2＝－2 1.
答案：λ1＝4，α1＝25和λ2＝－2，α2＝－2 1
4

8．已知矩阵A＝2 －1－4 3，B＝4 －1－3 1，则满足方程AX＝B的二阶矩阵X＝________．
解析：∵A＝2 －1－4 3，
∴|A|＝2 －1－4 3＝2×3－(－1)×(－4)＝2≠0.
∴A－1＝32 122 1.∵AX＝B，∴X＝A－1B，
∴X＝32 122 14 －1－3 1＝92 －15 －1.
答案：92 －15 －1
二、解答题
9．已知矩阵A＝1 2－2 －3，B＝2 31 2，C＝0 11 0，求满足AXB＝C的矩阵X.
解：AXB＝C，所以(A－1A)XB·B－1＝A－1CB－1
而A－1AXB·B－1＝EXBB－1
＝X(BB－1)＝X，所以X＝A－1CB－1

因为A－1＝－3 －22 1，

B
－1
＝2 －3－1 2，

所以X＝A－1CB－1
＝－3 －22 10 11 02 －3－1 2

＝－2 －31 22 －3－1 2
＝－1 00 1.
10．已知矩阵A＝6 24 4.
(1)求矩阵A的特征值及对应的特征向量；
(2)计算矩阵An.
解：(1)矩阵A的特征方程为
5




λ
－6 －2

－4 λ－4
＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16＝0.

得矩阵A的特征值为λ1＝8，λ2＝2.
当λ1＝8时，A属于λ1的特征向量为

α1＝11；
当λ2＝2时，A属于λ2的特征向量为
α2＝ 1－2.

(2)设An＝a bc d
Anα1＝8nα1，Anα2＝2nα
2
，

即a bc d11＝8n8n

a bc d 1－2＝


2
n
－2·2
n
，

即a＋b＝8nc＋d＝8na－2b＝2nc－2d＝－2·2n
解得a＝2×8n＋2n3，b＝8n－2n3，
c＝2×8n－2n＋13，d
＝8n＋2n＋13.

故An＝2×8n＋2n3 8n－2n32×8n－2n＋13 8n＋2n＋13.

11．给定矩阵M＝23 －13－13 23，N＝2 11 2，向量α＝ 1－1.
(1)求证：M和N互为逆矩阵；
(2)求证：向量α同时是M和N的特征向量；
(3)指出矩阵M和N的一个公共特征值．
6

解：(1)证明：因MN＝23 －13－13 23
2 11 2＝


1 0
0 1
，

且NM＝2 11 223 －13－13 23＝1 00 1，
所以M和N互为逆矩阵．
(2)证明：因为Mα＝23 －13－13 23 1－1＝ 1－1，
所以α是N的特征向量．
因为Nα＝2 11 2 1－1＝ 1－1，
所以α是N的特征向量．
(3)由(2)知，M对应于特征向量 1－1的特征值为1，N对应于特征向量 1－1的特征值也
为1，
故1是矩阵M和N的一个公共特征值．

12．(2011·高考福建卷)设矩阵M＝a 00 b(其中a>0，b>0)
①若a＝2，b＝3，求M的逆矩阵M－1；
②若曲线C：x2＋y2＝1，在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：x24＋y2＝1，
求a，b的值．
解：①设M－1＝x1 y1x2 y2，则MM－1＝1 00 1又M＝2 00 3，∴2 00 3x1 y1x2 y2＝1 00 1.
∴2x1＝1，2y1＝0，3x2＝0，3y2＝1.
即x＝12，y1＝0，x2＝0，y2＝13.

∴M－1＝12 00 13.
7

②设C上任一点P(x，y)，在M作用下得点P′(x′，y′)，
则a 00 bxy＝x′y′，

∴ax＝x′by＝y′，
又点P′(x′，y′)在C′上，所以x′24＋y′2＝1.
即a2x24＋b2y2＝1为曲线C的方程．
又C的方程为x2＋y2＝1，∴a2＝4，b2＝1.
又a>0，b>0，所以a＝2，b＝1.

高考数学总复习 第2节 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量练习 苏教版选修4-2

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人教版高中数学选修 4-2矩阵变换 第三章 第一节 逆变换与逆矩阵

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(江苏专版)2019版高考数学一轮复习讲义： 第二十二章 选修4系列 22.1 矩阵与变换讲义