一阶常微分方程习题
一阶常微分方程习题（一）
1．dx
dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y
dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x+c y=e+e=cex 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0
原方程的通解为y= cex,x=0 y=1时 c=1
特解为y= e.
2. ydx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydx=-(x+1)dy 2y
dy dy=-11+x dx 两边积分: -y
1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e
特解：y=|
)1(|ln 1+x c 3．dx dy =y
x xy y 32
1++ 解：原方程为：dx dy =y
y 21+31x x + y
y 2
1+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x)(1+y)=cx
4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0
解：原方程为： y
y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c
另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0
解：原方程为：
dx dy =-y
x y x +- 令x
y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有：
-1
12++u u du=x 1dx ln(u+1)x=c-2arctgu 即 ln(y+x)=c-2arctg
2x y . 6. x dx
dy -y+22y x -=0 解：原方程为：
dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x
y =u dx dy =u+ x dx du 2
11
u - du=sgnx x 1dx arcsin x
y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0
解:原方程为：tgy dy =ctgx
dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x
c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y
e x
y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y
e y
2e 2 e-3e=c.
9.x(lnx-lny)dy-ydx=0
解：原方程为：dx dy =x y ln x
y 令x
y =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dx
du =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln x
y =cy. 10. dx
dy =e
解：原方程为：
dx dy =ee e=ce 11 dx
dy =(x+y) 解：令x+y=u,则
dx dy =dx du -1 dx
du -1=u 211u
+du=dx arctgu=x+c
arctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)
(1y x + 解：令x+y=u,则
dx dy =dx du -1 dx du -1=21u
u-arctgu=x+c
y-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1
212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx
xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0
dxy-d(y-y)-dx+x=c
xy-y+y-x-x=c 14: dx dy =2
5--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx
xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0
dxy-d(21y+2y)-d(2
1x+5x)=0 y+4y+x+10x-2xy=c. 15:
dx
dy =(x+1) +(4y+1) +8xy 解：原方程为：dx
dy =（x+4y ）+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41
41dx du -4
1=u+3 dx
du =4 u+13 u=2
3tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=3
2(x+4y+1). 16:证明方程y x dx dy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+xy)dx=xdy
2） y x dx dy =2
222x -2 y x 2y + 证明： 令xy=u,则x
dx dy +y=dx
du 则dx dy =x 1dx du -2x
u ，有： u x dx du =f(u)+1 )
1)((1+u f u du=x 1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
1） 令xy=u 则dx dy =x 1dx du -2
x u (1) 原方程可化为：dx dy =x
y [1+（xy ）] (2) 将1代入2式有：x 1dx du -2x u =x
u (1+u) u=22+u +cx
17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y ’(x- x )+ y 则与x 轴，y 轴交点分别为：
x= x - '
0y y y= y - x y’ 则 x=2 x = x -
'0y y 所以 xy=c 18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中 =4
π 。
解：由题意得：y ’=
x y y 1dy=x 1 dx ln|y|=ln|xc| y=cx.
=4
则y=tgx 所以 c=1 y=x. 19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y ’=kx
则：y=kx +c 即为所求。
总结一阶常微分方程奇解的求法
总结一阶微分方程奇解的求法 摘要：利用有关奇解的存在定理，总结出求一阶微分方程奇解的几种方法，并通过一些具体的例题说明这几种方法的应用 Using relevant theorems to develop several methods of finding singular solution of ordinary differential equation. In addition, illustrate the application of these methods through the concrete examples. 关键词：常微分方程 奇解 c-判别式 p-判别式 方法一：利用c-判别式求奇解 设一阶微分方程0, ,=?? ? ?? dx dy y x F ① 可求出方程①的通解为()0,,=c y x φ ② 如果()()???==0 ,,0,,' c y x c y x c φφ ③ 是微分方程①的解，且对③式满足：()()02 '2 '≠+y x φφ ④ 则③是微分方程①的奇解，且是通解②的包络。 例1：方程() 2 2 2 x x y dy dx dy dx + -= 的奇解 解：首先，本具题意求出该微分方程的通解为2 2 2 c cx y x ++= 与4 2 x y = 其中c 为任意常数 当时2 2 2 c cx y x ++= ， ()y c cx x c y x -++= 2 2 2 ,,φ 其相应的c -判别式为 ? ??=+=-++02022x 2 c x y c cx 易得到： ? ??=-=2 2c y c x
代入原微分方程，可知? ??=-=2 2c y c x 不是原微分方程的解； 当4 2 x y = 时，易求出2 ,1''x y x ==φφ，则有()()02 '2 '≠+y x φφ 故4 2 x y = 为原微分方程的奇解 例2：试求微分方程() () y y dy dx 9 42 2 1= -的奇解 解：首先，根据题意求出微分方程的通解为：()()0322=---y y c x 其中c 为任意常数 再由相应的c-判别式： ()()()? ??=--=---020 322c x y y c x 易求出：? ??==0y c x 或 ???==3y c x 当???==0y c x 时，代入原微分方程成立； 所以? ??==0y c x 为原微分方程的解 且有()02'=--=c x x φ；()()93232 '-=---=y y y y φ 满足(Φ‘ x )2 +(Φ‘ y )2≠0 易验证???==3y c x 不是原微分方程的解 故x=c, y=0 是元微分方程的奇解。 方法二：利用p-判别法求奇解 在微分方程①中，设y ′=p,则此方程的p-判别式为： ()()?????==0,,0 ,,' p y x F p y x F p ⑤ 消去p 之后得到的函数y=?(x)是微分方程①身为解，
第十九讲一阶微分方程、可降阶微分方程的练习题答案
第十九讲:一阶微分方程、可降阶微分方程的练习题答案 一 、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．微分方程2()y x y dx x dy +=是 （B ） A ．一阶线性方程 B ．一阶齐次方程 C ．可分离变量方程 D ．二阶微分方程 解:变形 2 22dy xy y y y dx x x x +⎛⎫ ==+ ⎪⎝⎭ ∴原方程是一阶齐次方程,选B 2．下列微分方程中，是可分离变量的方程是 （C ） A ．'x y y e x += B ．'sin y y x -= C ．22'1y y x y x =+++ D ．'2x y xy y e += 解:()()2 211dy y x x dx =+++ ()()211x y =++∴221y y x y x '=+++ 是可分离变量方程,选C 3．2 cos dy y dx x =的通解是 （B ） A ．1 sec tan y y c x ⋅=+ B ．1 tan y c x =-+ C ．1 ln cos y c x =-+ D ．1 1 cos c y x =+ 解：221 cos dy dx y x =⎰⎰ 1 tan y c x ∴=-+ 选B 4．2'2x y xy e -+=满足(0)0y =的特解是（A ） A ．2x y xe -= B ．2x y xe = C ．2x y e -= D ．2x y e = 解：2 22xdx xdx x y e e e dx c --⎡⎤ ⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰
222x x x e e e dx c --⎡⎤=+⎣⎦ ⎰ 22x x ce xe --=+ 由 ()00y =得0c =, 故2x y xe -= 选A 5．2'3550x x y +-=满足01x y ==的特解 是 （ B ） A ．321152 y x x = + B ．3211152 y x x =++ C ．3115 y x =+ D ．2112x + 解：321552y x x c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 由()01y =,知1c = 故特解为2 31152 x y x =++ 选B 6．可降阶微分方程''' xy y =的通解是 （D ） A ．2 y x c =+ B ．2 2 x y c =+ C ．12y c x c =+ D ．212y c x c =+ 解：(1)方程不显含y :令'y p =, ''dp y dx =,dp x p dx =. 1dp dx p x =⎰⎰33,ln ln ,,p c x p c x == 2 212122 x y c c c x c =⋅+=+ 选D 二、 填空题 7．2 ' 2y y y x x =-的通解是
常微分方程标准答案-一二章
习题1.2 4. 给定一阶微分方程2dy x dx =， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解； (3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件1 02ydx =?的解； (5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。 解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈ ； (2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+； (3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223 y x c y x ?=+?=+?只有唯一解，即 223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是24y x =+； (4). 把2y x c =+代入 1 2ydx =? 即得5c =，故满足条件 1 2ydx =? 的解是 253y x =+； (5). 图形如下： -1.5 -1-0.500.51 1.5 1234567
5. 求下列两个微分方程的公共解： 242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++-- 解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得 ()()2 2 2210y x x y -++= 所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。 6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。 解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得 220 0010 k b k xk kx b k b k b k k -=?+--=??====?-=?或 所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。 8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程： (2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。 解：因为过点(),x y 的切线的横截距和纵截距分别为y x y - ' 和y xy '-，故 (2). ()2 2 2y x y xy l y ??'-+-= ?'? ?； (5). 2y xy x '-=。 习题2.1 1. 求下列方程的解： (2). ()210y dx x dy ++=，并求满足初值条件0,1x y ==的特解； 解：当0y ≠，分离变量，得 2111 dy dx y x =-+ 两边同时积分，得
一阶微分方程求解例题
一阶微分方程求解例题 今天分享一篇一阶微分方程求解的例题，也是在高中，初中阶段的微分方程中求解一阶微分方程的常用方法。因为一阶导数方程一般在函数中解，所以一阶导数方程很难被求解，尤其是初年级和高中阶段。接下来就用一阶不等式来解答这类几何问题。先看两道例题：例1,假设 X=4 b+2 k+1 k+1 m,此时一阶导数方程为()例2,若在函数(x, y)中定义为 x, y的一维微分方程是 m=5 x+1 k j表示的x轴对称解。 一、设微分方程为 a= b+ b+2 c+2 c,且 a和 b都是常数，那么 c是一个常数，那么此时方程应该为 a= b (c>0)+ b (c≤0)+ b (c≤1),其中 c是常数。 因为常数 c越大，方程的解就越难求解。但一般的问题中，往往要考虑到求导问题，一般需要先把常数 c降低。这里就需要把 c值降低到0或1。此时如果 a是常数，那么方程就是 a= b (c>0)+ b (c≤1),其中 c是常数；如果 a是常数，那么方程就是 a= a= b (c>0)+ b (c≤1),其中 c为常数。所以如果将这些常数取一个来求解一阶微分方程（多根方程）就不难了。再分析一下：假设方程中有两个常数分别为 y和 b (t>0),则这两个常数必然是一个最大值问题。那么这个最大值问题解决了吗？ 二、求出 b的值后我们再利用几何中两种图形形式的简单变式就可以求出 b= b+2k-1 k的一阶不等式了，即 n是唯一解。 由于 a, b在函数中的值是未知的，所以可以通过变换 a, b的值来求出 a= b+2k-1 k。注意这道题中并没有解方法，因为 b只有一种基本的解法，即 m。于是我们只需要继续利用(x, y)中的简单变形即可取得正确的结果了。我们把 b= c+ b 2 k+ b 1 k转化为 b= b+2k-1 k就可以了。但要注意不能转化成 u= a/b或者 a= a/b/2了。所以我们需要注意在求出 b的值后再进行变换。而变换的主要方法就是将 u等于0转变为 x (0)的形式来求解。如果能将 u= b+2 k这个一阶不等式转化成一个 u-1-2 k或 u-2-2-1 k这个不等式或形式就更好了 三、如果 f (x)等于2 n时，方程不成立只有这一个结论，那么我们要用等式代替它们。 其实这个等式只是为了让更多的人能够理解方程的含义，从而使更多学习微分方程的人能够更加明白函数定义方法及应用，从而提高学习微分方程的效率以及应用知识解决问题的能力。本题的解题过程如下：先用公式进行计算，确定出求解方程的 x, y和 y轴的交点，用求出 a, b 和 c的值即得到 c为 y轴上的任意点的值域即 a、 b、 c、 d四个点之和；再用代入方程得到x的解，即 m=5 x+1 k j。注意：此处取了 n≥1,所以 m≠1,所以这道题不能用方程解析解的方式解出来。这里首先要说明一点：微分方程可在函数中解。而微分方程中可能存在解（或导）方程组（或导数方程组),若没有相应的函数，在数学解题中应该先将这个函数存在解（或导）方程组考虑在内。最后还要注意一点：这道题在初高中阶段是有难度的，建议大家在解题过程中不要直接用微分方程解析解来解题。 四、当 f (x)大于0时，我们要用函数(x)表示方程的解了。 因为 F表示的是一个常数，所以只要 F大于0,这个方程就可以解了。注意题中 f的值不一定代表是 f的解了，而是可以被 f消去。因为消去的部分如果是 f (x)值大，那么消去的部分就大有不同，需要进行适当分析。首先用函数(x)来表示就是要让 x值是负数，其次如果 k (x)大于0, k的值是-1也就是 k值大于0。要把 z取反了呢？当然也是为了求解析式中的 f (x)。然后将 y取反了么？如果不取反，则方程就没有解了。所以求解析式中的 y取反是不可能的一件事了。 五、利用函数(x)在x轴对称点处的对应关系来求解一阶导数方程就可以了。 若 f (x)在 x轴对称点处为零，则称该方程为一阶导数方程；若 f (x)在 y轴对称点处为正，则称该方程为一阶导数方程。以上是一阶微分方程求解的基本步骤，通过对例题的分析可知。利用该方法求解一阶导数方程是很简单的事情，但要注意本题中方程(x)的取值范围比较窄。因
【典型例题】 第三章 一阶微分方程的解的存在定理
第三章 一阶微分方程的解的存在定理 例3-1 求方程 22y x dx dy += 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。 解 函数2 2 ),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域 b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=0 )0(22y y x dx dy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),, min(22),(y x M M b a h D y x +==∈。 因为逐次逼近函数序列为 ⎰-+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10， 此时，2 200),(,0,0y x y x f y x +===，所以 0)(0=x y ， ⎰=+=x x dx x y x x y 03 2 02 13 )]([)(， 63 3)]([)(7 032 12 2x x dx x y x x y x +=+=⎰， ⎰⎰ +++=+=x x dx x x x x dx x y x x y 0 14 1062 2 223)3969 18929()]([)( 59535 20792633151173x x x x +++=。 现在求h 的最大值。 因为 ),, min(2 2b a b a h += 对任给的正数 b a ,，ab b a 22 2 ≥+，上式中，当 b a = 时， 2 2b a b +取得最大值 a ab b 21 2= 。
一阶常微分方程习题
一阶常微分方程习题（一） 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x+c y=e+e=cex 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e. 2. ydx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：ydx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 2 1+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x)(1+y)=cx 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有：
-1 12++u u du=x 1dx ln(u+1)x=c-2arctgu 即 ln(y+x)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e 2 e-3e=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令x y =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dx du =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln x y =cy. 10. dx dy =e
专升本高等数学(一)-常微分方程(一)
专升本高等数学(一)-常微分方程(一) (总分：91.98，做题时间：90分钟) 一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：13，分数：26.00) 1.下列方程为一阶线性微分方程的是______ ∙ A. (y')2+2y=x ∙ B. y'+2y2=x ∙ C. y'+y=x ∙ D. y"+y'=x （分数：2.00） A. B. C. √ D. 解析：[解析] 本题主要考查微分方程的有关概念．一阶线性微分方程要求方程中所含有关未知函数的导数的最高阶数为一阶的，且未知函数及其一阶导数均为一次幂．(答案为C) 2.微分方程的通解是______ A. B. C. D. 其中C为任意常数) （分数：2.00） A. B. C. D. √ 解析：[解析] 利用直接积分法可求得给定线性微分方程的通解 [*]．(答案为D)． 3.微分方程y"=y的通解是______ ∙ A. y=C1+C2e x ∙ B. y=e x+e-x ∙ C. y=C1e x+C2e-x ∙ D. y=Ce x+Ce-x(其中C，C1，C2为任意常数) （分数：2.00） A. B. C. √ D. 解析：[解析] 已知微分方程y"=y为二阶线性微分方程，其通解中应含两个独立的任意常数C1，C2．选项B、D中的函数不含有任意常数或者只含有一个任意常数，所以选项B、D是错误的，应筛去． 选项A中，y=C1+C2e x中含有两个任意常数，通过求导可得y'=C2e x，y"=C2e x，代入微分方程y"=y，等式关系不成立，因此y=C1+C2e x不是微分方程y"=y的通解． 选项C中，y=C1e x+C2e-x中含有两个任意常数，通过求导得y'=C1e x-C2e-x，y"=C1e x+C2e-x，代入微分方程y"=y，等式关系成立，因此y=C1e x+C2e-x是微分方程y"=y的通解．(答案为C)
常微分方程练习题
常微分方程练习题 在数学中，微分方程是研究函数及其导数之间关系的方程。常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是指只含有一个自变量的 微分方程。常微分方程的研究对于很多领域都具有重要意义，比如物 理学、经济学、工程学等。本文将通过一些常见的常微分方程练习题 来帮助读者巩固对这一概念的理解。 练习题一：一阶线性常微分方程 求解微分方程 $\frac{{dy}}{{dx}} + y = 2x$。 解答： 根据微分方程的一阶线性常数系数形式，我们可以将方程写为 $\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$ 的形式，其中 $P(x) = 1$，$Q(x) = 2x$。 首先，我们求解齐次线性微分方程 $\frac{{dy_{h}}}{{dx}} + y_{h} = 0$。解得 $y_{h} = Ce^{-x}$，其中 $C$ 为常数。 接下来，我们求解非齐次线性微分方程的特解。首先，我们猜测特解形式为 $y_{p} = Ax + B$，代入微分方程得到 $A = 2$，$B = -1$，因此特解为 $y_{p} = 2x - 1$。 最后，将齐次解和特解相加，得到原微分方程的通解为 $y = Ce^{-x} + 2x - 1$。 练习题二：二阶齐次常微分方程
求解微分方程 $y'' - 4y' + 4y = 0$。 解答： 首先，我们设 $y = e^{rx}$，代入微分方程得到 $r^{2} - 4r + 4 = 0$。解这个二次方程得到重根 $r = 2$。 因此，齐次线性微分方程的通解为 $y = (C_{1} + C_{2}x)e^{2x}$， 其中 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 为常数。 练习题三：二阶非齐次常微分方程 求解微分方程 $y'' + 3y' + 2y = 4x^{2} + 1$。 解答： 首先，我们求解齐次线性微分方程 $y'' + 3y' + 2y = 0$。设 $y = e^{rx}$，代入微分方程得到 $r^{2} + 3r + 2 = 0$。解这个二次方程得到两个根 $r_{1} = -1$，$r_{2} = -2$。 因此，齐次线性微分方程的通解为 $y_{h} = C_{1}e^{-x} + C_{2}e^{-2x}$，其中 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 为常数。 接下来，我们求解非齐次线性微分方程的特解。根据 $4x^{2} + 1$ 的形式，我们猜测特解形式为 $y_{p} = Ax^{2} + Bx + C$，代入微 分方程得到 $A = \frac{2}{3}$，$B = -\frac{5}{3}$，$C = \frac{1}{3}$，因此特解为 $y_{p} = \frac{2}{3}x^{2} - \frac{5}{3}x + \frac{1}{3}$。
考研数学一常微分方程
考研数学一常微分方程 1. 【单项选择题】 A. x2+y2=C2 B. x2-y2=C2 C. x2+y2=C D. x2-y2=C 正确答案：A 参考解析： 2. 【单项选择题】微分方程y”+2y'-3y=e-x+x的一个特解形式为（）． A. ae-x+bx+c B. axe-x+x(bx+c) C. axe-x+bx+c D. ae x+x(bx+c) 正确答案：A 参考解析： 3. 【单项选择题】下列方程中，以y=C1e x+C2cosx+C3sinx(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是（）． A. y'''-y''+y'-y=0 B. y'''+y''+y'-y=0 C. y'''+y''-y'-y=0 D. y'''-y''-y'-y=0 正确答案：A 参考解析：由通解y=C1e x+C2cosx+C3sinx，知其特征根为r1=1，r2=i，r3=-i，故对应的特征方程为(r-1)(r2+1)=0，即r3-r2+r-1=0，故对应的微分方程为y'''- y''+y'-y=0，A正确。 4. 【单项选择题】若二阶常系数线性齐次微分方程y"+py'+qy=0的通解为 y=C1e x+C2xe x，则非齐次微分方程y"+py'+qy=x满足y(0)=2，y’(0)=0的特解为y=（）． A. xe x-x-2 B. xe x-x+2
C. -xe x+x+2 D. -xe x-x+2 正确答案：C 参考解析：y由齐次微分方程通解为y=C1e x+C2xe x，知对应特征方程的根为 r1=r2=1，其特征方程为(r-1)2=0，即r2-2r+1=0，故p=-2，q=1，所以非齐次微分方程为y"-2y'+y=x ① 令特解y*=ax+b，代入上式，得-2a+ax+b=x，解得a=1，b=2，故①的通解为 y=C1e x+C2xe x+x+2。由y(0)=2，y'(0)=0，得C1=0，C2=-1，故y=-xe x+x+2，C正确。 5. 【单项选择题】 A. xy'-ylny=x2y B. xy'+ylny=xy2 C. xy'-ylny2=xy D. xy'+ylny=xy 正确答案：A 参考解析： 6. 【单项选择题】设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个解，若常数λ，μ，使得λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是对应的齐次微分方程的解，则（）． A. B. C. D. 正确答案：B 参考解析：
一阶常微分方程解法总结
第一章一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程： ①、形如学= m)g(y) dx 当g(y)HO时，得到 ^ = f(x)dx,两边积分即可得到结果：g(y) 当g(〃°) = o时，则y(A) = 也是方程的解。 例、^- = xy dx 解：当yHO时，有牛=沁,两边积分得到ln|y| = + + C (C为常数) 所以y = (G为非零常数址=±/) y = 0显然是原方程的解： 综上所述，原方程的解为y = C^T(G为常数) ②、形如M(x)N(y)dx+ P(x)Q(y)dy = 0 当P(x)N(y)HO时，可有空2心=纟丄1〃八两边积分可得结果； PM N(y) 当N(y" = 0时，y = y°为原方程的解，当P(x0) = 0时，x = 为原方程的解。例、- \)dx + y(x2 - \)dy = 0 解：当(X2-l)(r-l)^O时，有—= 心两边积分得到 ]_y・ f _] ln|x2-l| + ln|y2-l| = hi|C| (C H O),所以有(x2-1)(/-1) = C (CHO)； 当(x2-l)(y2-l) = 0时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为(x2-l)(y2-l) = C (C为常数)。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如— = ^(2) dx x
解法：令n = 则dy = xdi t + udx.代入得到x — + u = g （u ）为变量可分离方程，得到 x dx f （mx.C ） = O （C 为常数）再把u 代入得到/（丄,0 = 0 （C 为常数）。 x ②、形如 ^ = G （ax + by ）^ib^0） dx 解法：令u = ax + by ,则dy = 6/^A ,代入得到- = G （u ）为变量可分藹方程, b b dx b 得到/（“,x,C ） = 0 （C 为常数）再把u 代入得到f （ax + h y>x,C ） = 0 （C 为常数）。 —“ dv a x x + b.y + c. s ③、形如丁=f( 一严一L) dx a 2x + b 2y + c 2 z/y =0>转化为一 =G （俶+ by ）.下同①; dx z v a l + b l - ) = ^(-)>下同②: t v u G + b 、— 还有几类：yf(xy}dx + xg(xy)dy = 0上=xy M (x, y)(xdx + ydy) + N (A \ y)(xdy - ydx) = 0, x = /• cos&, y =厂 sin & 以上都可以化为变 量可分离方程。 解：令u = x-y-2 ,则〃y = dx-cht,代入得到1一竺=殳上？，有仇他=一7心 dx u 所以£ = _7X + C （C 为常数），把u 代入得到IV ~V ~2； -+7A - = C （C 为常数）。 2 2 例、空=兰土1 dx x - 2 v +1 * 2\ «1 b \ HO, < g 严*社的解为（3。）, 4 a 2 b 2 a 2x + b 2y + c 2 = 0 u= x- x () v = >?-)?o 解法：1° 得到，牛=/(冲!)=/( du a 2u +b 2v dx x-y+ 5 x-y-2 dx
专升本高等数学一常微分方程模拟试卷1_真题-无答案
专升本高等数学一（常微分方程）模拟试卷1 (总分58,考试时间90分钟) 1. 选择题 1. 微分方程(y')2=x的阶数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 微分方程y2dx一(1一x)dy=0是( ) A. 一阶线性齐次方程 B. 一阶线性非齐次方程 C. 可分离变量方程 D. 二阶线性齐次方程 3. 已知函数y=+x+C是微分方程y''=x一1的解，则下列正确的是( ) A. y是该微分方程的通解 B. y是微分方程满足条件y｜x=0=1的特解 C. y是微分方程的特解 D. 以上都不是 4. 方程xy'=2y的特解为( ) A. y=2x B. y=x2 C. y=2x3 D. y=2x4 5. 微分方程y'+的通解是( ) A. arctanx+C B. (arctanx+C) C. arctanx+C D. +arctanx+C 6. 方程y''一y'=ex+1的一个特解具有形式( ) A. Aex+B B. Axex+B
C. Aex+Bx D. Axex+Bx 7. 某二阶常微分方程的下列解中为特解的是( ) A. y=Csinx B. y=C1sin3x+C2cos3x C. y=sin3x+cos3x D. y=(C1+C2)cosx 8. 下列方程中，可用代换p=y'，p'=y''降为关于p的一阶微分方程的是( ) A. +xy'一x=0 B. ＋yy'一y2=0 C. ＋x2y'一y2x=0 D. ＋x=0 2. 填空题 1. 方程(xy2+x)dx+(y－x2y)dy=0满足y｜x=0=1的特解为_______． 2. 已知微分方程y'+ay=ex的一个特解为y=xex，则a=_______． 3. 微分方程y''一4y'+3y=excosx+xe3x对应齐次微分方程的通解为=_______，它的特解形式为y*=________． 4. 非齐次微分方程y''+9y=cosx，它的一个特解应设为________． 5. 设二阶常系数线性齐次微分方程y''＋ay'+by=0的通解为y=C1ex+C2e2x，那么非齐次微分方程y''+ay'+by=1满足的条件y(0)=2，y'(0)=一1的解为________． 3. 解答题 1. 求微分方程dy=sin(x+y+100)dx的通解． 2. 求微分方程xy'一=0的通解． 3. 求方程xsecydx+(1+x2)dy=0，满足初始条件y｜x=0=的特解． 4. 求微分方程secx．y'+tanx．y=ecosx的通解． 5. (1)求微分方程xy'+ay=1+x2满足y｜x=1=1的解y(x，a)，其中a为常数．(2)证明(x，a)是方程xy'=1+x2的解．
常微分方程习题及答案
第十二章常微分方程 (A) 7. y=-所满足的微分方程是 x 、是非题 1•任意微分方程都有通解。（） 2.微分方程的通解中包含了它所有的解。（） 3.函数y =3sinx —4cosx 是微分方程y" + y=0的解。（ ） 4.函数y=x 2 ■e x 是微分方程y"-2y ，+y=0的解。（ ） 1 2 5.微分方程xy'-1 n X = 0的通解是j In x ） +C （C 为任意常数）。（ ） 6. y' 7. y' 8. y 9. dy dx 、填空题 =sin y 是一阶线性微分方程。（） = x 3y 3 +xy 不是一阶线性微分方程。（） -2/ +5y=0 的特征方程为 r 2 -2 r + 5=0。( = 1+x + y 2 +xy 2是可分离变量的微分方程。（ ） 1.在横线上填上方程的名称 ①(y -3 H n xdx-xdy =0 是 ②(xy 2 +x dx + (y - X 2y dy = 0是 2. 3. 4. 5. ③x —.ln y 是 dx x ④ xy’ = y +x 2 sinx 是 y ^+sin xy’—x =cosx 的通解中应 含 y =sin2x -cosx 的通解是 xy'" + 2x 2y"2 +x 3y = x 4 +1 是 6.微分方程yry"-(y '6 =0是 个独立常数。 阶微分方程。 阶微分方程。
12. 3阶微分方程yJx 3的通解为 三、选择题 1 .微分方程xyy "+x （y ，3-y 4 y = 0的阶数是（） A. 3 B . 4 C . 5 D . 2 2 .微分方程 厂-x 2 y"-x 5 =1的通解中应含的独立常数的个数为（）。 A. 3 B . 5 C . 4 D A . y = 2x B . y = X 2 C . 2 4 .微分方程y'=3y 3的一个特解是（）。 A . y = x 3+1 B . y =(x + 23 C . y =(x +C )2 D . ^C ^x f 5 .函数y =cosx 是下列哪个微分方程的解（）。 A . y' + y=O B . y' + 2y =0 C . y n + y = 0 D . y" + y =cosx 6. y=C 1e x +C 2e""是方程 y"-y = 0 的() 8. W = 2y 的通解为 x 9. 竺+也=0的通解为 y x 10. dx 一 x 2 ：""'，其对应的齐次方程的通解为 11. 方程xy J （1 +x 2 y =0的通解为 3.下列函数中，哪个是微分方程 dy - 2xdx = 0 的解() 。 y = —2x D . y = -X ，其中G , C2为任意常数。 A.通解B .特解C .是方程所有的解 D .上述都不对 7 . y'=y 满足ylxT = 2的特解是（） x A. y=e x +1 B . y =2e x C . y =2 e 2 D . y=3 e x &微分方程于+ y=sinx 的一个特解具有形式 A. y =asi nx .y = a cosx C. y =x(asi nx+bcosx) y =acosx + bsinx 9. 下列微分方程中，（） 是二阶常系数齐次线性微分方程。
常微分方程第一、二、三次作业参考答案
1、给定一阶微分方程 2dy x dx =： （1） 求出它的通解； 解：由原式变形得： 2dy xdx =. 两边同时积分得 2y x C =+. （2） 求通过点（2，3）的特解； 解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得： 1C =- 即通过点（2,3）的特解为： 21y x =-. （3） 求出与直线23y x =+相切的解； 解：依题意联立方程组： 223y x C y x ⎧=+⎨ =+⎩ 故有：2230x x C --+=。由相切的条件可知： 0∆=，即2(2)4(3)0C --⨯-+= 解得4C = 故2 4y x =+为所求。 （4） 求出满足条件3 3ydx =⎰的解。 解：将 2 y x C =+代入3 30 dy =⎰，可得 2C =- 故2 2y x =-为所求。 2、求下列方程的解。 １） 3x y dy dx -= 2） 233331 dy x y dx x y -+=--
解：依题意联立方程组： 2330 3310 x y x y -+=⎧⎨ -+=⎩ 解得：2x =，73y = 。则令2X x =-，73 Y y =-。 故原式可变成： 2333dY x y dX x y -= -. 令Y u X = ，则dy Xdu udx =+，即有 233263u dx du u u x -=-+. 两边同时积分，可得 1 22 (263)||u u C X --+= . 将7 32 y u x - = -，2X x =-代入上式可得： 1 2 227()614323|2|2(2)y y C x x x -⎛ ⎫- ⎪--+=- ⎪-- ⎪ ⎝⎭ . 即上式为所求。 3、求解下列方程: 1) 24dy xy x dx +=. 解：由原式变形得： 22dy xdx y =-. 两边同时积分得：1 2 ln |2|y x C --=+. 即上式为原方程的解。 2) ( )x dy x y e dx -=. 解：先求其对应的齐次方程的通解： ()0dy x y dx -=. 进一步变形得： 1 dy dx y =.
常微分方程题库
常微分方程分项习题 一、选择题 第一章： 1．微分方程''20y xy y +-=的直线积分曲线为（ ） （A ）1y =和1y x =- （B ）0y =和1y x =- （C ）0y =和1y x =+ （D ）1y =和1y x =+ 第二章： 2．下列是一阶线性方程的是（ ） （A ）2 dy x y dx =- （B ）232()0d y dy xy dx dx -+= （C ）22( )0dy dy x xy dx dx +-= （D ）cos dy y dx = 3．下列是二阶线性方程的是（ ） （A ）222d y dy x x y dx dx +=- （B ）32()()0dy dy xy dx dx -+= （C ）2 (1)0dy x xy dx +-= （D ）22cos cos d y y x dx = 4．下列方程是3阶方程的为（ ） （A ）'23y x y =+ （B ）3 ( )0dy xy dx += （C ）3223()0dy d y x y dx dx +-= （D ）3cos dy y dx = 5．微分方程43( )()0dy dy dy x dx dx dx +-=的阶数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 6．方程2342()20dy d y x y dx dx +-=的阶数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7．针对方程 dy x y dx x y -=+，下列说法错误的是（ ）． （A ）方程为齐次方程
（B ）通过变量变换y u x = 可化为变量分离方程 （C ）方程有特解0y = （D ）可以找到方程形如y kx =的特解(1y x =- 8．针对方程2sin (1)y x y '=-+，下列说法错误的是（ ）． （A ）为一阶线性方程 （B ）通过变量变换1u x y =-+化为变量分离方程 （C ）方程有特解12 y x π =++ （D ）方程的通解为tan(1)x y x C -+=+ 9．伯努利方程 n y x Q y x P dx dy )()(+=，它有积分因子为（ ） （A ）(1)()n P x dx e -⎰ （B ）()nP x dx e ⎰ （C ）(1)()n P x dx xe -⎰ （D ）()nP x dx xe ⎰ 10．针对方程 2(cos sin )dy y y x x dx +=-，下列说法错误的是（ ）． （A ）方程为伯努利方程 （B ）通过变量变换2z y =可化为线性方程 （C ）方程有特解0y = （D ）方程的通解为1 sin x y Ce x =- 11．方程 2()dy y xf dx x =经过变量变换（ ）可化为变量分离方程。 （A ）u xy = （B ）y u x = （C ）2y u x = （D ）2u x y = 12．方程2 ()dy x f xy dx =经过变量变换（ ）可化为变量分离方程。 （A ）u xy = （B ）y u x = （C ）2y u x = （D ）2u x y = 13．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）伯努利方程 14．针对方程2''2(1)(2)y y y -=-下面说法错误的是（ ） （A ）不显含x 的形如'(,)0F y y =的隐式方程 （B ）设'2y yt -=，原方程消去'y 后可求解
常微分方程应用题及答案
应用题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞满足以下条件 （1）求()F x 所满足的一阶微分方程； （2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ⎰，求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →⎛ ⎫+ ⎪= ⎪ ⎪⎝ ⎭ ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞连续，5 (1)2 f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+⎰ ⎰⎰，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+⋅⎰ 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+⎰，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ϕ-=， 其中21 ()01x x x ϕ<⎧=⎨>⎩ 。试求在(,)-∞∞的连续函数 ()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的 交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。 （1）求曲线()y f x =的方程； （2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为A ， 已知||||MA OA =，且L 过点33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，求L 的方程。 12、设曲线L 的极坐标方程为(),(,)r r M r θθ=为L 上任一点，0(2,0)M 为L 上一定点， 若极径0,OM OM 与曲线L 所围成的曲边扇形面积值等于L 上0,M M 两点间弧长值的一半，求曲线L 的方程。
常微分方程自学练习题
常微分方程自学练习题 常微分方程自学习题及答案 一填空题: 1 一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线. 2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________. 3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________. 4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间. 5 方程 21y dx dy -=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______ 7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解. 10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12 求解方程 y x dx dy /-=的解是( ). 13已知(0)()32 2 2 =+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________. 14 =+=0 )0(22y y
x dx dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). 15方程0652 =+-??? ??y dx dy dx dy 的通解是( ). 16方程5 34 y x y dx dy =++?? 的阶数为_______________. 17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y 在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________. 18若P(X)是方程组Y =)(x A dx dy 的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 19、一般而言，弦振动方程有三类边界条件，分别为：第一类边界条件u(0,t)=g 1(t), ；第二类边界条件)(),0(t u t x u =??，；第三类边界条件F )(),0(),0(0t u t u t x u k =-??， T )(),(),(1t v t L u t L x u k =-??，其中k 0,k 1,T 都是大于零的常数，u(t),v(t)为给定的函数。 20、在偏微分方程组中，如果方程个数未知函数的个数，则方程组为不定的。反之，如果方程的个数未知函数的个数，则方程组称为超定的。（选填“多于”、“少于”或“等于”） 21、一般2个自变量2阶线性偏微分方程有如下形式： +??+??+? +??+?? y u