人教版九年级数学上册教案第21章 一元二次方程
第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程
01 教学目标
1．理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系数和常数项．
2．理解一元二次方程的根的意义，能够运用代入法检验根的正确性．
02 预习反馈
1．等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．如：下列方程：①1－x 2＝0；②2(x 2－1)＝3y ；③2x 2－3x －1＝0；④1x 2－2
x ＝0中，是一元二次方程的是①③．
2．一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，其中，ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．
3．使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．求方程的解的过程，叫做解方程．
如：下面哪些数是方程x 2－x －6＝0的根？－2，3． －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
03 名校讲坛
类型1 一元二次方程的一般形式
例1 (教材P3例)将方程3x (x －1)＝5(x ＋2)化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
【解答】 去括号，得3x 2－3x ＝5x ＋10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x 2－8x －10＝0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
【方法归纳】 1.把一元二次方程化为一般形式，就是把一元二次方程化为ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的形式．其中，二次项系数、一次项系数、常数项均包括数字前的符号．
2．将一元二次方程化为一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．
【跟踪训练1】 方程x 2－2(3x －2)＋(x ＋1)＝0的一般形式是(A )
A ．x 2－5x ＋5＝0
B ．x 2＋5x ＋5＝0
C ．x 2＋5x －5＝0
D ．x 2＋5＝0
【跟踪训练2】 (《名校课堂》21.1习题)一个关于x 的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是2x 2＋3x －5＝0．
类型2 一元二次方程的解的意义
例2 (教材补充例题)关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋||a －1＝0的一个根为0，则a ＝1．
【思路点拨】 将x ＝0代入一元二次方程，得到关于a 的方程，解方程即可．注意二次项系数a ＋1≠0. 【跟踪训练3】 已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的一个根是x ＝－a(a ≠0)，则a －b 的值为(A )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
04 巩固训练
1．若(p－2)x2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则(D)
A．p＝2 B．p≠0 C．p＞2 D．p≠2 2．把方程(x－2)(x＋2)＋(2x－1)2＝0化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是(D)
A．5、－4、6 B．1、－5、0 C．5、－2、1 D．5、－4、－3 3．若x＝3是关于x的方程2x2＋ax－6＝0的一个根，则a的值是－4．
4．根据题意，列出方程(不必解答)：
(1)两个连续整数的积是210，求这两个数；
(2)在一块长250 m、宽150 m的草地四周修一条路，路修好后草地的面积减少1 191 m2，求这条路的宽度．
解：(1)设其中一个整数为x，则另一个整数为(x＋1)，依题意，得x(x＋1)＝210.
(2)设这条路的宽为x m，则(250－2x)(150－2x)＝250×150－1 191.
05课堂小结
21.2 解一元二次方程
21．2.1 配方法 第1课时 直接开平方法
01 教学目标
1．理解解一元二次方程“降次—转化”的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 2．能熟练解形如x 2＝p(p ≥0)或(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的一元二次方程．
02 预习反馈
1．已知方程x 2＝25，根据平方根的意义，得x ＝±5，即x 1＝5，x 2＝－5．
2．已知方程(2x －1)2＝5，根据平方根的意义，得2x －1x 12x 22
3．方程x 2＋6x ＋9＝2的左边是完全平方式，这个方程可化为(x ＋3)2＝2，进行降次，得到x ＋3x 1
x 2
【点拨】 上面的解法，实际上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
03 名校讲坛
例 (教材P6练习变式)解下列方程：
(1)3x 2－27＝0；(2)1
3
(x ＋3)2＝4；
(3)4(x －2)2－36＝0；(4)x 2＋2x ＋1＝9.
【思路点拨】 把已知方程变形为x 2＝p 或(mx ＋n )2＝p (p ≥0)的形式，再对方程的两边直接开平方． 【解答】 (1)移项，得3x 2＝27. 方程两边同时除以3，得x 2＝9. 方程两边开平方，得x ＝±3. ∴x 1＝3，x 2＝－3.
(2)方程两边同时乘3，得(x ＋3)2＝12.
方程两边开平方，得x ＋3＝±2 3. ∴x 1＝23－3，x 2＝－23－3. (3)移项，得4(x －2)2＝36.
方程两边同时除以4，得(x －2)2＝9. 方程两边开平方，得x －2＝±3. ∴x 1＝5，x 2＝－1.
(4)根据完全平方公式，可将原方程变形为(x ＋1)2＝9. 方程两边开平方，得x ＋1＝±3. 即x ＋1＝3或x ＋1＝－3， ∴x 1＝2，x 2＝－4.
【方法归纳】 直接开平方法适用于解x 2＝a (a ≥0)形式的一元二次方程，这里的x 可以是单项式，也可以是含有未知数的多项式．换言之，只要经过变形可以转换为x 2＝a (a ≥0)形式的一元二次方程都可以用直接开平方法进行求解．
【跟踪训练】 (《名校课堂》21.2.1第1课时习题)解下列方程：
(1)4x 2＝1；(2)(2x －3)2－1
4
＝0.
解：(1)二次项系数化为1，得x 2＝1
4.
∴x 1＝12，x 2＝－12
.
(2)移项，得(2x －3)2＝14.∴2x －3＝±12.
∴x 1＝74，x 2＝5
4
.
04 巩固训练
1．一元二次方程(x ＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是(D )
A ．x －6＝－4
B ．x －6＝4
C ．x ＋6＝4
D ．x ＋6＝－4 2．若(x ＋1)2－1＝0，则x 的值为(D )
A ．±1
B ．±2
C ．0或2
D ．0或－2 3．已知关于x 的一元二次方程(x ＋1)2－m ＝0有两个实数根，则m 的取值范围是(B )
A ．m ≥－3
4 B ．m ≥0 C ．m ≥1 D ．m ≥2
4．方程4x 2＋4x ＋1＝0的解是(D )
A ．x 1＝x 2＝2
B ．x 1＝x 2＝－2
C ．x 1＝x 2＝12
D ．x 1＝x 2＝－1
2
5．解下列方程：
(1)16x 2－49＝0； (2)64(1＋x)2＝100； (3)(x －3)2－9＝0； (4)(3x －1)2＝(3－2x)2. 解：(1)x 1＝74，x 2＝－7
4.
(2)x 1＝14，x 2＝－9
4.
(3)x 1＝0，x 2＝6. (4)x 1＝4
5
，x 2＝－2.
05 课堂小结
(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？说一说．
第2课时 配方法
01 教学目标
1．了解配方法解一元二次方程的意义．
2．掌握配方法解一元二次方程的步骤，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．
02 预习反馈
1．填空：x 2＋6x ＋9＝(x ＋3)2.
2．(教材P6“探究”)怎样解方程x 2＋6x ＋4＝0?
解：移项，得x 2＋6x ＝－4.
方程两边加9(即(6
2)2)，使左边配成x 2＋2bx ＋b 2的形式为x 2＋6x ＋9＝－4＋9，
左边写成完全平方的形式为(x ＋3)2＝5，
降次，得
解一次方程，得x 1x 2
3．通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解．
03 名校讲坛
例 (教材P7～8例1)解下列方程： (1)x 2－8x ＋1＝0；(2)2x 2＋1＝3x ；(3)3x 2－6x ＋4＝0.
【思路点拨】 (1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法．(2)先把方程化成2x 2－3x ＋1＝0，它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2.(3)与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方．
【解答】 (1)移项，得x 2－8x ＝－1.
配方，得x 2－8x ＋42＝－1＋42，(x －4)2＝15.
由此可得x －4＝±15， x 1＝4＋15，x 2＝4－15. (2)移项，得2x 2－3x ＝－1.
二次项系数化为1，得x 2－32x ＝－1
2.
配方，得x 2－32x ＋(34)2＝－12＋(3
4)2，
(x －34)2＝1
16
.
由此可得x －34＝±14，
x 1＝1，x 2＝1
2
.
(3)移项，得3x 2－6x ＝－4.
二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－4
3.
配方，得x 2－2x ＋12＝－4
3＋12，
(x －1)2＝－1
3
.
因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，(x －1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．
【方法归纳】 用配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)将一元二次方程化为一般形式； (2)将常数项移到方程的右边；
(3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；
(4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边为一个常数；
(5)当方程右边是一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是一个负数时，原方程无实数解．
04 巩固训练
1．一元二次方程x 2－8x －1＝0配方后可变形为(C )
A ．(x ＋4)2＝17
B ．(x ＋4)2＝15
C ．(x －4)2＝17
D ．(x －4)2＝15
2．将方程x 2－2x ＝2配方成(x ＋a)2＝k 的形式，则方程的两边需加上1． 3．在横线上填上适当的数，使等式成立． (1)x 2＋18x ＋81＝(x ＋9)2； (2)4x 2＋4x ＋1＝(2x ＋1)2. 4．用配方法解下列方程： (1)x 2－2x －3＝0； (2)2x 2－7x ＋6＝0；
(3)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7. 解：(1)移项，得x 2－2x ＝3. 配方，得(x －1)2＝4. ∴x －1＝±2，∴x 1＝－1，x 2＝3.
(2)系数化为1，得x 2－7
2
x ＋3＝0.
配方，得x 2－72x ＋4916＝－3＋4916，即(x －74)2＝1
16.
∴x －74＝±14.∴x 1＝2，x 2＝3
2
.
(3)去括号，得4x 2－4x ＋1＝3x 2＋2x －7. 移项、合并同类项，得x 2－6x ＝－8. 配方，得(x －3)2＝1. ∴x －3＝±1，∴x 1＝2，x 2＝4.
05 课堂小结
1．用配方法解一元二次方程的步骤． 2．用配方法解一元二次方程的注意事项.
21.2.2公式法
第1课时一元二次方程的根的判别式
01教学目标
掌握一元二次方程的根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理．
02预习反馈
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac.
当Δ>0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根；
当Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
当Δ<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．
03名校讲坛
类型1利用根的判别式判别一元二次方程根的情况
例1不解方程，判别下列方程的根的情况．
(1)2x2＋3x－4＝0；(2)16y2＋9＝24y；(3)5(x2＋1)－7x＝0.
【解答】(1)∵a＝2，b＝3，c＝－4，
Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝9＋32＝41＞0，
∴原方程有两个不等的实数根．
(2)原方程化为一般形式为16y2－24y＋9＝0.
∵a＝16，b＝－24，c＝9，
Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×16×9＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．
(3)原方程可化为5x2－7x＋5＝0.
∵a＝5，b＝－7，c＝5，
Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×5×5＝49－100<0，
∴原方程无实数根．
【方法归纳】判别一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况的思维过程：化成一般形式→求Δ→判断Δ>0，Δ＝0，Δ＜0或Δ≥0，Δ<0→根的情况．
【跟踪训练1】完成下列表格．
类型2根据根的情况确定一元二次方程中字母的值或取值范围
例2已知关于x的方程(m－2)x2－2(m－1)x＋m＋1＝0.当m为何非负整数时．
(1)方程只有一个实数根？
(2)方程有两个相等的实数根？
(3)方程有两个不相等的实数根？
【思路点拨】(1)方程只有一个实数根，则方程为一元一次方程，据此可以得到m的值；(2)方程有两个相等的实数根，则根的判别式为0，从而求得m的值；(3)方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于0，从而得到m的值．
【解答】 (1)∵方程只有一个实数根， ∴m －2＝0.解得m ＝2.
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝4(m －1)2－4(m －2)(m ＋1)＝0.解得m ＝3. (3)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(m －1)2－4(m －2)(m ＋1)＞0. 解得m ＜3.
∵m 为非负整数，且m ≠2，∴m ＝0或1. 【方法归纳】 此类问题应考虑两个方面： (1)根据判别式建立不等式或方程； (2)一元二次方程的二次项系数不等于0.
【跟踪训练2】 若关于x 的方程kx 2－3x －9
4＝0有实数根，则实数k 的取值范围是(C )
A ．k ＝0
B ．k ≥－1且k ≠0
C ．k ≥－1
D ．k ＞－1
【易错提示】 该方程是一次方程，即k ＝0时，方程也有实数根．
04 巩固训练
1．一元二次方程x 2－2x ＝0根的判别式的值为(A )
A ．4
B ．2
C ．0
D ．－4
2．(《名校课堂》21.2.2第1课时习题)一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的根的情况是(A)
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根
D ．没有实数根
3．关于x 的一元二次方程x 2－x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是m>1
4．
4．若关于x 的方程x 2－6x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是8． 5．(《名校课堂》21.2.2第1课时习题)已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0. (1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一个根； (2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 解：(1)∵1为原方程的一个根， ∴1＋a ＋a －2＝0.
∴a ＝12.代入方程，得x 2＋12x －32＝0.
解得x 1＝1，x 2＝－32
.
∴a 的值为12，方程的另一个根为－3
2
.
(2)证明：∵在x 2＋ax ＋a －2＝0中，
Δ＝a 2－4a ＋8＝(a －2)2＋4>0，
∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
05 课堂小结
1．本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课还有哪些疑惑？说一说！
第2课时 用公式法解一元二次方程
01 教学目标
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．
2．会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程．
02 预习反馈
1．解一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)． 移项，得ax 2＋bx ＝－c ．
二次项系数化为1，得x 2＋b a x ＝－c
a ．
配方，得
x 2＋
b a x ＋(b 2a )2＝－
c a ＋(b 2a )2，即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac
4a 2
. 因为a ≠0，所以4a 2＞0. 当
b 2－4ac>0
时，b 2－4ac 4a 2>0，所以x ＋b 2a ＝±2a
所以x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac
2a ；
当
b 2－4a
c ＝0
时，b 2－4ac 4a 2
＝0，
所以x ＋b 2a ＝0，所以x 1＝x 2＝－b
2a ；
当
b 2－4a
c ＜0
时，b 2－4ac 4a 2
＜0，此时(x ＋b 2a )2＜0，而x 取任何实数都不能使(x ＋b
2a
)2＜0，因此方程无实数根． 2．当Δ≥0时，方程
ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根可写为
x ＝2a
程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式．解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．
03 名校讲坛
例 (教材P11例2)用公式法解下列方程：
(1)x 2－4x －7＝0；(2)2x 2－22x ＋1＝0；(3)5x 2－3x ＝x ＋1；(4)x 2＋17＝8x .
【思路点拨】 用公式法解一元二次方程时，一定要先写对a ，b ，c 的值，再判断Δ的正负． 【解答】 (1)a ＝1，b ＝－4，c ＝－7. Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－7)＝44>0.
方程有两个不等的实数根x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－（－4）±44
2×1＝2±11，
即x 1＝2＋11，x 2＝2－11.
(2)a ＝2，b ＝－22，c ＝1.
Δ＝b 2－4ac ＝(－22)2－4×2×1＝0. 方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－b 2a ＝－－222×2
＝2
2.
(3)方程化为5x 2－4x －1＝0.
a ＝5，
b ＝－4，
c ＝－1.
Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0. 方程有两个不等的实数根
x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－（－4）±362×5＝4±610，
即x 1＝1，x 2＝－1
5
.
(4)方程化为x 2－8x ＋17＝0. a ＝1，b ＝－8，c ＝17.
Δ＝b 2－4ac ＝(－8)2－4×1×17＝－4<0. 方程无实数根．
【方法归纳】 用公式法解一元二次方程的步骤： (1)把方程化为一般形式，确定a ，b ，c 的值； (2)求出b 2－4ac 的值；
(3)若b 2－4ac ≥0，将a ，b ，c 的值代入求根公式计算，得出方程的解．
用公式法解一元二次方程注意点有：①注意化方程为一般形式；②注意方程有实数根的前提条件“Δ≥0”；③注意方程有根应该是两个；④求解出的根注意适当化简．
04 巩固训练
用公式法解下列方程：
(1)x 2＋x －12＝0； (2)x 2－2x －1
4＝0；
(3)x 2＋4x ＋8＝2x ＋11； (4)x(x －4)＝2－8x ； (5)x 2＋2x ＝0； (6)x 2＋25x ＋10＝0. 解：(1)x 1＝3，x 2＝－4. (2)x 1＝
2＋32，x 2＝2－3
2
.(3)x 1＝1，x 2＝－3.(4)x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.(5)x 1＝0，x 2＝－2.(6)无解．
05 课堂小结
1．求根公式的概念及其推导过程． 2．公式法的概念．
3．应用公式法解一元二次方程．
21．2.3 因式分解法
01 教学目标
1．会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程．
2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．
02 预习反馈
1．因式分解：x 2－x ＝x(x －1)．方程x 2－x ＝0变形为x(x －1)＝0，所以x ＝0或x －1＝0，所以原方程的解为x 1＝0，x 2＝1．
2．因式分解：(x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝(x ＋1)(x －3)．解一元二次方程(x ＋1)(x －1)＝2(x ＋1)，移项得(x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝0，左边因式分解得(x ＋1)(x －3)＝0，所以x ＋1＝0或x －3＝0，所以原方程的解为x 1＝－1，x 2＝3．
03 名校讲坛
类型1 用因式分解法解一元二次方程
例1 (教材P14例3)解下列方程：
(1)x (x －2)＋x －2＝0；(2)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋3
4.
【解答】 (1)因式分解，得(x －2)(x ＋1)＝0.
于是得x －2＝0，或x ＋1＝0. x 1＝2，x 2＝－1.
(2)移项、合并同类项，得4x 2－1＝0. 因式分解，得(2x ＋1)(2x －1)＝0. 于是得2x ＋1＝0，或2x －1＝0， x 1＝－12，x 2＝12
.
【方法归纳】 利用因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程的右边化为0；
②将方程的左边进行因式分解；
③令每个因式为0，得到两个一元一次方程； ④解一元一次方程，得到方程的解．
【跟踪训练1】 用因式分解法解下列方程： (1)(2＋x)2－9＝0； (2)3x(x －2)＝2(x －2)． 解：(1)(x ＋5)(x －1)＝0， x 1＝－5，x 2＝1.
(2)原方程变形为3x(x －2)－2(x －2)＝0， 即(3x －2)(x －2)＝0， 解得x 1＝2
3
，x 2＝2.
类型2 用合适的方法解一元二次方程
例2 (教材补充例题)选择合适的方法解一元二次方程：
(1)4(x －5)2＝16；(2)3x 2＋2x －3＝0；
(3)x 2＋2x ＋3(x ＋2)＝0.
【思路点拨】 根据方程的不同特点选取最简便的方法．(1)可以用直接开平方法；(2)可以用公式法；(3)可以用因式分解法．
【解答】 (1)(x －5)2＝4，∴x －5＝±2， ∴x 1＝7，x 2＝3.
(2)∵b 2－4ac ＝22－4×3×(－3)＝4＋36＝40， ∴x ＝－2±402×3
，∴x 1＝－1＋103，x 2＝－1－103.
(3)原式可化为(x ＋2)(x ＋3)＝0，
∴x ＋2＝0或x ＋3＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝－ 3.
【方法归纳】 解一元二次方程的方法主要有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，其中直接开平方法和因式分解法较为简便，但是不适用于所有方程，配方法和公式法可适用于所有方程，所以先考虑直接开平方法和因式分解法，再考虑配方法和公式法．
【跟踪训练2】 用合适的方法解下列方程： (1)5x 2－4x －1＝0；(2)x 2＋2x －3＝0.
解：(1)x 1＝1，x 2＝－1
5
.(2)x 1＝1，x 2＝－3.
04 巩固训练
1．方程x(x －1)＝x 的根是(D )
A ．x ＝2
B ．x ＝－2
C ．x 1＝－2，x 2＝0
D ．x 1＝2，x 2＝0 2．一元二次方程(x －2)2＝x －2的解是x 1＝2，x 2＝3． 3．(《名校课堂》21.2.3习题)用适当的方法解下列方程：
(1)2(x ＋1)2＝4.5； 解：(x ＋1)2＝2.25. x ＋1＝±1.5.
∴x 1＝0.5，x 2＝－2.5. (2)x 2＋4x －1＝0； 解：(x ＋2)2＝5.
x ＋2＝±5.
∴x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5. (3)3x 2＝5x ； 解：3x 2－5x ＝0. x (3x －5)＝0.
x ＝0或3x －5＝0. ∴x 1＝0，x 2＝53
3
.
(4)4x 2＋3x －2＝0.
解：a ＝4，b ＝3，c ＝－2.
b 2－4a
c ＝32－4×4×(－2)＝41>0. ∴x ＝－3±412×4＝－3±418.
∴x 1＝－3＋418，x 2＝－3－41
8
.
05 课堂小结
1．用因式分解法解一元二次方程的步骤． 2．选择合适的方法解一元二次方程．
*
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
01 教学目标
1．通过求根公式探索并理解根与系数的关系，会用这个关系求方程的两根之和与积或未知数． 2．通过对代数式的熟练变形，能根据一元二次方程根与系数的关系求代数式的值．
02 预习反馈
阅读教材P 15～16，完成下列内容． 1．完成下列表格：
问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律：两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项． ②x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1，x 2，用式子表示你发现的规律：x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q ． 2．完成下列表格：
问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立) 请完善规律：
①用语言叙述发现的规律：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．
②ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2，用式子表示你发现的规律：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c
a .
3．利用求根公式推导根与系数的关系： ax 2＋bx ＋c ＝0
的两根x 12a x 22a
则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c
a
．
03 名校讲坛
类型1 利用根与系数的关系求方程的两根之和与积
例1 (教材P16例4)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x 1，x 2之和与两根之积：
(1)x 2－6x －15＝0； (2)3x 2＋7x －9＝0； (3)5x －1＝4x 2.
解：(1)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝－15. (2)x 1＋x 2＝－7
3，x 1x 2＝－3.
(3)x 1＋x 2＝54，x 1x 2＝1
4
.
【点拨】 先将方程化为一般形式，找对a ，b ，c 的值，若b 2－4ac ≥0，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c
a
.
例2 (教材补充例题)已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值．
【思路点拨】 本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x ＝－3代入方程先求k ，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答．
解：另一根为3
2
，k ＝3.
【跟踪训练1】 已知实数x 1，x 2满足x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝12，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是(A ) A ．x 2－7x ＋12＝0 B ．x 2＋7x ＋12＝0 C ．x 2＋7x －12＝0 D ．x 2－7x －12＝0
【点拨】 以x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0.
【跟踪训练2】 (《名校课堂》21.2.4习题)不解方程，求下列方程两个根的和与积． (1)x 2－6x ＝－5；(2)2x 2－1＝3－5x ； (3)3x 2－3x ＝x 2；(4)4x 2－2x ＋1＝x ＋8.
解：(1)原方程化为x 2－6x ＋5＝0，所以两根的和为6，两根的积为5. (2)原方程化为2x 2＋5x －4＝0，所以两根的和为－5
2，两根的积为－2.
(3)原方程化为2x 2－3x ＝0，所以两根的和为3
2，两根的积为0.
(4)原方程化为4x 2－3x －7＝0，所以两根的和为34，两根的积为－7
4
.
类型2 根据一元二次方程根与系数的关系求相关代数式的值
例3 已知α，β是方程x 2－3x －5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．
(1)1α＋1
β
；(2)α2＋β2；(3)α－β. 解：∵α，β是方程x 2－3x －5＝0的两根， ∴α＋β＝3，αβ＝－5. (1)1α＋1β＝α＋βαβ＝－35
. (2)α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝32－2×(－5)＝19. (3)∵(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ＝32－4×(－5)＝29.
∴α－β＝29或－29.
【方法归纳】 利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤及六种常用变形： 1．三个步骤：
(1)算：计算出两根的和与积；
(2)变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式； (3)代：代入求值． 2．六种常用变形：
(1)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2；(2)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2；(3)(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1；
(4)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2；(5)x 1x 2＋x 2x 1＝x 21＋x 22x 1x 2＝（x 1＋x 2）2
－2x 1x 2x 1x 2
； (6)|x 1－x 2|＝（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.
【跟踪训练3】 若方程x 2－2x －1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为3．
【跟踪训练4】 已知关于x 的方程x 2－6x ＋k ＝0的两根分别是x 1，x 2，且满足1x 1＋1
x 2
＝3，则k 的值是2．
04 巩固训练
1．一元二次方程x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1x 2的值是(D )
A ．4
B ．－4
C ．3
D ．－3 2．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是(B )
A ．1
B ．5
C ．－5
D ．6 3．两个实数根的和为3的一元二次方程是(A )
A ．x 2－3x －4＝0
B ．x 2＋3x －4＝0
C ．x 2－3x ＋4＝0
D ．x 2＋3x ＋4＝0
4．已知方程x 2＋mx ＋3＝0的一个根是1，则它的另一个根是3，m 的值是－4．
5．已知方程x 2＋5x ＋1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 21＋x 2
2＝23．
6．已知关于x 的方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－2＝0，试根据下列条件，求m 的值． (1)两根互为相反数； (2)两根互为倒数．
解：设原方程的两个根为x 1，x 2，
由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1x 2＝m 2－2. (1)若两根互为相反数，则x 1＋x 2＝2(m ＋1)＝0， 解得m ＝－1.
(2)若两根互为倒数，则x 1x 2＝m 2－2＝1，
解得m ＝±3，而Δ＝b 2－4ac ＝[－2(m ＋1)]2－4×1(m 2－2)≥0，解得m ≥－3
2.
因为－3<－3
2，所以m ＝－3舍去，
因此m ＝ 3.
05 课堂小结
一元二次方程根与系数的关系：
一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)的两根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系：
x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c
a
.
21.3实际问题与一元二次方程
第1课时用一元二次方程解决传播问题
01教学目标
1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．2．通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
02预习反馈
阅读教材P19“探究1”，完成下面的探究内容．
问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了x人，第一轮后共有(x＋1)人患了流感；
②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，第二轮后共有1＋x＋x(1＋x)人患了流感．
则列方程1＋x＋x(1＋x)＝121，
解得x＝10或x＝－12(舍)，
即平均一个人传染了10个人．
再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？
03名校讲坛
类型1利用一元二次方程解决传播问题
例1(教材P19探究1的变式题)某种电脑病毒的传播速度非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
【思路点拨】设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑，用含有x的代数式表示出经过两轮感染后被感染的电脑的台数，从而可列出方程．
【解答】设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑．列方程，得
1＋x＋x(1＋x)＝81.
解得x1＝8，x2＝－10(舍去)．
∴第三轮被感染的电脑为：81＋81×8＝729(台)．
∵729＞700，
∴3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．
答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，三轮感染后，被感染的电脑会超过700台．
【方法归纳】传播类问题规律：
(1)设开始数量为1，每轮感染的数量为x，经n轮感染后的数量为b，则所列方程为(1＋x)n＝b；
(2)设开始数量为a，每轮感染的数量为x，经n轮感染后的数量为b，则所列方程为a(1＋x)n＝b.
【跟踪训练1】某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总数达24 000个．其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
解：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意，得
60(1＋x)2＝24 000.
解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)．
答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌．
类型2利用一元二次方程解决握手问题
例2(教材补充例题)在李老师所教的班级中，两个学生都握手一次，全班学生一共握手780次，那么你知道
李老师所教班共有多少名学生吗？
【思路点拨】 设李老师所教班共有x 名学生，每个人都要和其他(x －1)个人握手一次，共握手x (x －1)次，但每两个人握手一次，则全班学生一共握手1
2
x (x －1)次．
【解答】 设李老师所教班共有x 名学生，依题意有 1
2
x (x －1)＝780， 即(x －40)(x ＋39)＝0，
解得x ＝40或x ＝－39(舍去)．
答：李老师所教班共有40名学生．
【跟踪训练2】 某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， ∴共7×4＝28场比赛．
设比赛组织者应邀请x 队参赛，则由题意可列方程为
x （x －1）
2
＝28. 解得x 1＝8，x 2＝－7(舍去)．
答：比赛组织者应邀请8队参赛．
类型3 利用一元二次方程解决数字问题
例3 (教材补充例题)一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数． 【思路点拨】 设这个数的个位数字为x ，则根据“十位数字比个位数字小2”可以表示出十位上的数字．再根据等量关系“一个两位数等于其各位数字之积的3倍”列出方程．
【解答】 设这个数的个位数为x ，则十位数字为(x －2)． 由题意，得10(x －2)＋x ＝3(x －2)x .
解得x 1＝5
3
，x 2＝4.
答：两位数为24.
【方法归纳】 数字问题常用解题技巧：
(1)三个连续偶数(奇数)：若设中间的一个数为x ，则另两个数分别为x －2，x ＋2.
(2)两位数的表示方法：若十位、个位上的数字分别为a ，b ，则这个两位数可表示为10a ＋b .
(3)三位数的表示方法：若百位、十位、个位上的数字分别是a ，b ，c ，则这个三位数可表示100a ＋10b ＋c .
【跟踪训练3】 一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1 008，求这个两位数．
解：设原两位数的个位数字为x ，十位数字为(6－x)． 根据题意，得[10(6－x)＋x][10x ＋(6－x)]＝1 008， 即x 2－6x ＋8＝0， 解得x 1＝2，x 2＝4，
∴6－x ＝4，或6－x ＝2，
∴10(6－x)＋x ＝42或10(6－x)＋x ＝24， 答：这个两位数是42或24.
04 巩固训练
1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，则每轮传染中，平均一个人传染的人数为(C )
A．11人B．10人C．9人D．8人2．两个相邻正整数的平方和比这两个数中较小的数的2倍大51，则这两个数是5，6.
3．某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向9个人发送短信．
4．(《名校课堂》21.3第1课时习题)某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，求每个枝干长出多少小分支？
解：设每个枝干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91，
即x2＋x－90＝0.
解得x1＝9，x2＝－10(舍去)．
答：每个枝干长出9个小分支．
05课堂小结
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)“设”，即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；
(2)“列”，即根据题中的等量关系列方程；
(3)“解”，即求出所列方程的根；
(4)“检验”，即验证是否符合题意；
(5)“答”，即回答题目中要解决的问题．
第2课时用一元二次方程解决增长率问题
01教学目标
1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．2．通过实际问题中的增降情况，学会将应用问题转化为数学问题，列一元二次方程解有关增降率的应用题．
02预习反馈
阅读教材P19～20“探究2”，完成下面的探究内容．
问题两年前生产1吨甲种药品的成本是5 000元，生产1吨乙种药品的成本是6 000元．随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3 000元，生产1吨乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.001)
绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5 000－3 000)÷2＝1 000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6 000－3 600)÷2＝1 200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降率较大．
相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．
分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5__000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5__000(1－x)2元．
依题意，得5__000(1－x)2＝3__000．
解得x1≈0.225，x2≈1.775(舍)．
根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为0.225．
②设乙种药品成本的年平均下降率为y.
则列方程6__000(1－y)2＝3__600．
解得y1≈0.225，y2≈1.775(舍)．
答：两种药品成本的年平均下降率相同．
思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？
03名校讲坛
类型1利用一元二次方程解决增长(降低)率问题
例1(教材P19探究2变式题)受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．
(1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；
(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
【思路点拨】(1)设这两年该企业年利润平均增长率为x，则可用含x的代数式表示出2016年的利润，从而根据题意列出方程求解；(2)根据该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率来解答．
【解答】(1)设这两年该企业年利润平均增长率为x.根据题意，得2(1＋x)2＝2.88.
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：这两年该企业年利润平均增长率为20%.
(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为：
2．88(1＋20%)＝3.456，3.456＞3.4.
答：该企业2017年的利润能超过3.4亿元．
【方法归纳】平均增长(降低)率问题规律：
1．平均增长率是指增长数与基数的比．若基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为a(1＋x)，两次增长后的值为a(1＋x)2.
2．平均降低率是指降低数与基数的比．若基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为a(1－x)，两次降低后的值为a(1－x)2.
【跟踪训练1】 某商场有一批皮衣，售价为每件5 000元，为加快资金周转，进行了一次降价，但仍无人购买，又进行了第二次降价处理，其降价的百分率为第一次的2倍，结果以每件皮衣2 400元的价格销售一空，问第二次降价的百分率是多少？
解：设第一次降价的百分率为x ，则第二次降价的百分率为2x.根据题意，得 5 000(1－x)(1－2x)＝2 400.
解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝1.3＝130%(不合题意，舍去)． 答：第二次降价的百分率为40%.
类型2 利用一元二次方程解决销售利润问题
例2 (教材补充例题)百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接“五·一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件．要想平均每天销售这种童装盈利1 200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？
【思路点拨】 设每件童装应降价x 元，则可分别用含有x 的代数式表示出每件衣服的销售利润及平均每天的销售量，再根据等量关系“每件的销售利润×销售量＝1 200”列出方程求解即可．
【解答】 设每件童装应降价x 元．由题意，得 (100－60－x )(20＋2x )＝1 200. 解得x 1＝10，x 2＝20.
∵商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，∴x ＝20. ∴每件童装应定价为100－20＝80(元)． 答：每件童装应定价80元．
【方法归纳】 销售利润问题中常见的公式：
①利润＝售价－成本；②利润率＝利润
成本
×100%.
【跟踪训练2】 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8 800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
解：因为60棵树苗售价为120元×60＝7 200元＜8 800元，所以该校购买树苗超过60棵． 设该校共购买了x 棵树苗．由题意，得 x[120－0.5(x －60)]＝8 800. 解得x 1＝220，x 2＝80.
当x ＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100， ∴x ＝220(不合题意，舍去)；
当x ＝80时，120－0.5×(80－60)＝110＞100， ∴x ＝80.
答：该校共购买了80棵树苗．
04 巩固训练
1．(《名校课堂》21.3第2课时习题)共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1 000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，则所列方程正确的为(A)
A ．1 000(1＋x )2＝1 000＋440
B ．1 000(1＋x )2＝440
C ．440(1＋x )2＝1 000
D ．1 000(1＋2x )＝1 000＋440
人教版初中数学九年级上册第二十一章：一元二次方程(全章教案)
第二十一章一元二次方程 本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)，一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题．其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容． 方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习做好准备．联系一元二次方程和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”． 本章是中考考查的重点内容，主要考查一元二次方程的解及其解法、一元二次方程根与系数的关系、建立一元二次方程模型解决实际问题． 【本章重点】
一元二次方程的解法及应用． 【本章难点】 1．一元二次方程根与系数的关系的应用． 2．利用一元二次方程解决实际问题． 【本章思想方法】 1．体会和掌握转化法，如：在解一元二次方程时，利用转化法将一元二次方程转化为一元一次方程． 2．掌握建模思想，如：在利用一元二次方程解决实际问题时，根据题意建立适当的一元二次方程，将实际问题转化为数学模型． 21.1一元二次方程1课时 21.2解一元二次方程4课时 21.3实际问题与一元二次方程1课时
21.1一元二次方程 一、基本目标 【知识与技能】 1．理解一元二次方程及相关概念． 2．掌握一元二次方程的一般形式． 3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 【过程与方法】 从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念． 【情感态度与价值观】 通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养． 二、重难点目标 【教学重点】 1．一元二次方程的概念及其一般形式． 2．判断一个数是不是一元二次方程的解． 【教学难点】 能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．
初中数学九年级上册第二十一章 一元二次方程《一元二次方程》教案
一元二次方程 一、教学目标： 知识技能： 1.理解一元二次方程的概念； 2.掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系数和常数项； 3..理解一元二次方程的根的意义，能够运用代入法检验根的正确性. 数学思考：在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性. 问题解决：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移得到一元二次方程的概念. 情感态度：通过用数学知识解决实际问题的思想激发学生的学习热情和积极性. 二、教学重难点：通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念、一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及一元二次方程的根等概念，并能用这些概念解决简单问题. 把实际问题转化为一元二次方程模型. 教学时间：两课时 三、教学过程：第一课时 洋葱小视频分享一、有关解方程的科学家的故事，激发学生学习方程的兴趣。 洋葱小视频分享二、一元二次方程的定义讲解，激发学生利用手中的工具提前预习，轻松学习知识。 （一）、知识回顾、教师引导学生完成下列题目，复习一元一次方程的相关知识： 一元一次方程的知识： 1.一元一次方程中的“一元”是指__1个未知数__，“一次”是指__未知数的次数是1__，一元一次方程左右两边都是__整式__的形式. 2.一元一次方程的一般形式是__ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)__．若关于x的方程(m＋1)x|m|＋1＝0是一元一次方程，则m＝____1____. 3.什么是一元一次方程的解？如何判断一个数是不是一元一次方程的解？若已知x＝1是方程ax＋3＝0的解，则a＝__－3__． （二）、【课堂引入】 问题1：有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
初中数学人教版九年级上册：第21章《一元二次方程》全章教案
初中数学人教版九年级上册实用资料 第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 重点 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 难点 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 活动1 复习旧知 1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？ 2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1 x ＋1＝0 (4)x 2＝1 3．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程． 1．教材第2页 问题1. 提出问题： (1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？ (2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2. 提出问题： (1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？ (2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？ (3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？ 3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数． 提出问题： 本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题： (1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？ (2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？
人教版初中数学九年级上册第二十一章：一元二次方程(全章教案)
人教版初中数学九年级上册第二十一章：一元二次方程(全章教案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第二十一章一元二次方程 本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)，一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题．其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容． 方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习做好准备．联系一元二次方程和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”． 本章是中考考查的重点内容，主要考查一元二次方程的解及其解法、一元二次方程根与系数的关系、建立一元二次方程模型解决实际问题． 【本章重点】 一元二次方程的解法及应用． 【本章难点】 1．一元二次方程根与系数的关系的应用． 2．利用一元二次方程解决实际问题． 【本章思想方法】 1．体会和掌握转化法，如：在解一元二次方程时，利用转化法将一元二次方程转化为一元一次方程． 2．掌握建模思想，如：在利用一元二次方程解决实际问题时，根据题意建立适当的一元二次方程，将实际问题转化为数学模型． 21.1一元二次方程1课时 21.2解一元二次方程4课时 21.3实际问题与一元二次方程1课时
21.1一元二次方程 一、基本目标 【知识与技能】 1．理解一元二次方程及相关概念． 2．掌握一元二次方程的一般形式． 3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 【过程与方法】 从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念． 【情感态度与价值观】 通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养． 二、重难点目标 【教学重点】 1．一元二次方程的概念及其一般形式． 2．判断一个数是不是一元二次方程的解． 【教学难点】 能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项． 环节1自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P1～P4的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．解决下列问题： 问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 【解析】设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)_cm__，宽为__(50－2x)_cm__.
新人教版九年级数学上册-第21章一元二次方程教学教案
第二十一章一元二次方程教学学案 单元要点分析 教材内容 1．本单元教学的主要内容． 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用． 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容． 教学重点 1．一元二次方程及其它有关的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点 1．一元二次方程配方法解题． 2．用公式法解一元二次方程时的讨论． 3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键 1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型． 2．用配方法解一元二次方程的步骤． 3．解一元二次方程公式法的推导． 课时划分 本单元教学时间约需16课时，具体分配如下： 21．1 一元二次方程 2课时 21．2 降次──解一元二次方程 7课时 21．3 实际问题与一元二次方程 5课时 发现一元二次方程根与系数的关系 2课时 第1课时 21．1 一元二次方程 教学内容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念． 教学目标 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+b x+c=0（a≠0）及其派生的概念；?应用一元二次方程概念解决一些简单题目． 1．通过设置问题，建立数学模型，?模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．
3．解决一些概念性的题目． 4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键 1．?重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 教学过程 一、复习引入 学生活动：列方程． 问题（1）古算趣题：“执竿进屋” 笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。 有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。 借问竿长多少数，谁人算出我佩服。 如果假设门的高为x?尺，?那么，?这个门的宽为_______?尺，长为_______?尺，?根据题意，?得________． 整理、化简，得：__________． 问题（2）如图，如果AC CB AB AC ，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．https://www.360docs.net/doc/da19203565.html, 如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________． 整理得：_________． 问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？ 如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______． 整理，得：________． 老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理． 二、探索新知 学生活动：请口答下面问题． （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？ 老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）?都有等号，是方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0
初中数学人教九年级上册第二十一章 一元二次方程九年级数学上《解一元二次方程 》教案
解一元二次方程(因式分解法) 教学设计 课题解一元二次方程单元第二十一 章 学科数学年级 九年级 上 学习目标情感态度和价 值观目标 积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成功体验。 能力目标 1 .经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理 能力。 2.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法。 知识目标 1.了解因式分解法的概念。 2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解， 根据两个因式的积等于0，必有因式为0，从而降次解方程。 重点会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，从而降次解方程。 难点将整理成一般形式的方程左边因式分解。 学法探索学习法、合作交流法教法启发引导，问题驱动，讲练结合。教学过程 教学环节教师活动学生活动设计意图 导入新课一、复习引入 你还记得用配方法和公式法解一元二次方程的一般步骤吗？分别用配方法和公式法解下列方程： ① x2﹣6x+6=0．②1﹣x=x2． 前面我们学习了用配方法和公式法解一元二次方程，这节课我们来学习一种新的方法. 学生回 顾配方法和 公式法的解 题思路，通过 复习上节课 内容引入本 节课新知。 通过 温故知新， 引导学生 思考学习 更多的解 方程方法。 讲授新课二、探究新知 1.思考：根据如果把一个物体从地面以10m/s 的速度竖 直上抛，那么物体经过x s离地面的高度（单位：m）为：通过应用题 引出方程，然 后学生观察 式子特点，进 行因式分解， 为下面的学 习作铺垫。 学生通过 回顾“因式 分解知 识”，为引 入因式分 解法解方 程作铺垫。
新人教版初中数学九年级上册《第二十一章一元二次方程：21.1一元二次方程》优质课教案_0
21.1《一元二次方程》教学设计 一、教学内容 一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式及一元二次方程的解（根）的概念． 二、教学目标 （1）体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型，并理解一元二次方程的概念． （2）了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化成一般形式． （3）会判定一个数是否是方程的根及解决一些概念性的题目． （4）通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 三、教学重、难点 重点： 一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 难点 1. 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 2. 判定一个数是否是方程的根． 课时安排 1课时． 四、教学过程设计 （1）复习回顾 1、什么叫做方程？ 2、我们都学过哪些方程？ 3、我们如何定义方程的“元”和“次”？ （2）探究新知 1、集思广益 方程 2240+-=x x 属于什么方程？其他实际问题中是否也能列出这一类方程呢？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为(100―2x ) cm ，宽为(50―2x ) cm ．根 据方盒的底面积为3600 cm 2，得(100―2x )(50―2x )＝3 600． 整理，得 4x 2―300x ＋1 400＝0. 化简，得 x 2―75x ＋350＝0 问题一、如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600 2cm ，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题二、要组织一次排球邀请赛，参赛 的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，你说组织者应该邀请多少个队参赛？ 分析： 全部比赛共有28场． 若设应邀请x 个队参赛，则每个队要与其他x-1个队各赛一场，比赛共有x(x-1)/2场，由此，我们可以列出方程x(x-1)/2=28，化简得x 2―x=56.
第21章 一元二次方程——一元二次方程的解法(复习课) 2022—2023学年人教版数学九年级上册
课题：《一元二次方程的解法》复习教案 一、教材分析： 解一元二次方程是人教版九年级上册第21章第二节的内容，本节的主要内容是一元二次方程的解法（直接开方法、因式分解法、配方法、公式法）。解一元二次方程在课标中的要求是：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。一元二次方程的解法是中学方程教学的重要环节，又是后续内容学习解决实际问题的基础和工具。一元二次方程是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备。学好这部分内容，对增强学生学习代数的信心具有十分重要的意义。 二、学情分析： 学生已经学习了一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法后的一节复习课，已经掌握了学生的薄弱点： 1.易错点：直接开平方法中，学生容易只取正的这一个根； 2.配方法中，学生容易把一次项系数不除以2直接平方，个别学生会忘记平方，方程左边加了常数项，右边忘记加；公式法中，学生容易把公式中的-b记错成b,个别学生再代入系数的时候会忘记前面的负号；等等。 2.不能灵活选择解法，由于不会根据方程系数的特征找到最优解法，造成错误率提高，用时过长的弊端，从而影响到了少数学生对数学的自信心。 三、教学目标： （一）知识与技能： 1.掌握一元二次方程的四种解法，会根据方程的不同特点，灵活选用适当 的方法解方程。 2.避免易错点，提高解方程的正确率。 （二）过程与方法 通过观察方程的特征选择不同解法，培养学生的观察猜想、归纳总结、分析问题、解决问题等能力，同时还培养学生化归的思想。 （三）情感态度价值观 通过对一元二次方程解法的复习，使学生进一步理解“降次”的数学方法，
21.1一元二次方程教案(人教版数学九年级上册)
21.1一元二次方程 （一）教学目标 （1）知识技能： 1.通过类比方程，了解一元二次方程的定义及一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念。 2.了解一元二次方程的解的定义，会检验一个数是不是一元二次方程的解。（2）过程与方法： 通过实例，列出一元二次方程，让学生体会一元二次方程是实际问题数量关系的有效模型，培养学生初步形成“模型思想”，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识。 （3）情感态度 使学生经历类比方程得到一元二次方程定义的过程，减少学生对新知识的陌生感，提高学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点难点 重点：通过类比方程，了解一元二次方程的定义及一般形式ax2+bx+c= 0（a≠0）和一元二次方程的解等定义,并能使用定义解决简单问题。 难点：一元二次方程、二次项及其系数、一次项及其系数与常数项的分别。 教学方法： 教学准备：课件 （三）教学过程： 一、复习引入： 同学们我们已经学习了一元一次方程，二元一次方程组和可化为一元一次 方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非 常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识，先来回忆一下 方程的有关概念. 1.什么是方程？什么的一元一次方程？ 2.指出下面哪些方程是已经学过的方程？分别是什么方程？ （1）3x+2=0；（2）2x−3y=8；（3）2 5x +3 y =0；（4）1 3 y=4；
（5）x2−2x+1=0；（6）y(y−8)=24;（7）5+1 x−3=1;（8）2x 3 −y 2 =2. 3.什么的元？什么的次？ 二、探究新知： 1.课件出示教材问题1、2，要求学生列出方程，思考下列问题。 问题1 有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？ 提问： （1）问题1中列方程的等量关系是，所列的方程为，化简后为。1 （2）问题2中列方程的等量关系是，为什么要乘1 2 ？所列的方程为，化简后为。 注意：（1）学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚； （2）学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题． 说明：由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型． 2.观察方程 （1）x2−75x+350=0；（2）x2−x−56=0. 请口答下面问题． （1）上面几个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？ 结论：（1）都只含一个未知数x；
九年级数学上册第21章一元二次方程21.1一元二次方程教案新人教版(2021年整理)
新疆精河县九年级数学上册第21章一元二次方程 21.1 一元二次方程教案（新版）新人教版 新疆精河县九年级数学上册第21章一元二次方程21.1 一元二次方程教案（新版）新人教版 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（新疆精河县九年级数学上册第21章一元二次方程21.1 一元二次方程教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为新疆精河县九年级数学上册第21章一元二次方程21.1 一元二次方程教案（新版）新人教版的全部内容。
新疆精河县九年级数学上册 第21章 一元二次方程 21.1 一元二次方程教案 （新版）新人教版 课题21。1一元二次方程 教学媒体多媒体 教学目标 知识技能 1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的。 2。掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式,能将一个一元二次方程化为一般形式 3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根 过程方法 1.。通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活。 2.通过观察，思考,交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式. 3。经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念， 情感态度通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 教学重点一元二次方程的概念,一般形式和一元二次方程的根的概念 教学难点通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 教学过程 一、复习引入 导语:小学五年级学习过简易方程,上初中后学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程,运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识。先来学习一元二次方程的有关概念. 二、探究新知 ● 探究课本问题2 分析: 1。参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？ 2。全部比赛场数是多少？若设应邀请x 个队参赛，如何用含x 的代数式表示全部比赛场数？ 整理所列方程后观察: 1。方程中未知数的个数和次数各是多少？ 2。下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？ 4x+3=0；0422=-+x x ;042=-+y x ；0350752=+-x x ； 0621=-+x x ● 概念归纳： 1。一元二次方程定义: 分析:首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2。 2。一元二次方程的一般形式： 分析： 错误!.为什么规定a ≠0? 错误!。方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x 的一元二次方程()002≠=--a c bx ax 的各项分别是什么？各项系数是什么? 3。特殊形式：()002≠=+a bx ax ；()002≠=+a c ax ；()002≠=a ax ● 课本例题
2022年人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程教案 一元二次方程的根与系数的关系
21.2 解一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 一、教学目标 【知识与技能】 1.掌握一元二次方程根与系数的关系； 2.能运用根与系数的关系解决具体问题. 【过程与方法】 经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程,培养学生分析问题和解决问题的能力. 【情感态度与价值观】 通过观察、归纳获得数学猜想,体验数学活动充满着探索性和创造性,理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点,掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法,培养学生勇于探索的精神. 二、课型 新授课 三、课时 1课时 四、教学重难点 【教学重点】 一元二次方程根与系数的关系及其应用. 【教学难点】 探索一元二次方程根与系数的关系.
五、课前准备 课件 六、教学过程 （一）导入新课 1.一元二次方程的求根公式是什么？（出示课件2） 学生口答:2(40). =-≥ x b ac 2.如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？ 学生口答: 对一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0). b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根. b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根. b2-4ac<0时,方程无实数根. 想一想:方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？（二）探索新知 探究根与系数的关系 填表,观察、猜想（出示课件4） 你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律； ②x2+px+q=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规律. 出示课件5:若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式,你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？ 教师引导: 归纳结论:（出示课件6） 如果关于x的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则: x1+x2=-p,x1·x2=q. 教师问:如果方程二次项系数不为1呢?（出示课件7） 上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律. ①用语言叙述发现的规律； ②ax2+bx+c=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律. 师生共同归纳:（出示课件8） 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）:
人教版数学九年级上册21.2.1配方法解一元二次方程 教案
配方法解一元二次方程的教案 教学内容：本节内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第21章第2节第1课时。 一、教学目标 （一）知识目标 1、理解求解一元二次方程的实质。 2、掌握解一元二次方程的配方法。 （二）能力目标 1、体会数学的转化思想。 2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。 （三）情感态度及价值观 通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们学习数学的兴趣。 二、教学重点 配方法解一元二次方程的一般步骤 三、教学难点 具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。 四、知识考点 运用配方法解一元二次方程。 五、教学过程 （一）复习引入 1、复习： 解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。 2、引入： 二次根式的意义：若x2=a (a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a 。实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。 （二）新课探究 通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点。通过问题吸引学生的注
意力，引发学生思考。 问题1： 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来， 具体解题步骤： 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2 列出方程：60x2=1500 x2=25 x=±5 因为x为棱长不能为负值，所以x=5 即：正方体的棱长为5dm。 1、用直接开平方法解一元二次方程 （1）定义：运用平方根的定义直接开方求出一元二次方程解。 （2）备注：用直接开平方法解一元二次方程，实质是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元二次方程来求方程的根。 问题2： 要使一块矩形场地的长比宽多6cm，并且面积为16㎡，场地的长和宽应各为多少？ 问题2重在引出用配方法解一元二次方程。而问题2应该大部分同学都不会，所以由我来具体的讲解。主要通过与完全平方式对比逐步解这个方程。再由这个方程的求解过程师生共同总结出配方法解一元二次方程的一般步骤。让学生加深映像。 具体解题步骤： 解：设场地宽x m，长（x +6）m。 列方程： x（x +6）=16 即： x2+6x-16=0 x2+6x=16 x2+6x+9=16+9 （x+3）2=25 x+3=±5 x+3=5 x+3=-5 x 1=2， x 2 =-8 2、配方法解一元二次方程 （1）定义：通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法。 （2）配方法解一元二次方程一般步骤： 一化：先将常数移到方程右边，后将二次项系数化为1 二配：方程左右两端都加上一次项系数一半的平方 三成式：将方程左边化为一个含有未知数的完全平方式
新人教版九年级数学第21章一元二次方程教案导学案(全章)
第21章一元二次方程 教材内容 1．本单元教学的主要内容． 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用． 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容． 教学目标 1．知识与技能 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 2．过程与方法 （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念． （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等． （3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程． （4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0． （5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它． （6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题． 3．情感、态度与价值观 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣． 教学重点 1．一元二次方程及其它有关的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题． 教学难点 1．一元二次方程配方法解题．
人教版数学九年级上册 第21章 解一元二次方程 21.2.2公式法 教案
人教版数学九年级上册第21章解一元二次方程 21.2.2公式法教案
一、教学目标： 1、经历一元二次方程求根公式的推导过程,进一步培养学生观察、分析、概括的能力以及准确而迅速的运算能力; 2、使学生理解一元二次方程求根公式的推导过程; 3、会熟练运用公式法解一元二次方程。 二、重点、难点： 1、重点：一元二次方程求根公式的推导过程和公式法的应用。 2、难点：一元二次方程的公式法的推导过程。 三、学习过程： 温故知新：请用配方法解一元二次方程2x2+4x+1=0. 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评） 1、移项:把常数项移到方程的右边; 2、系数化为1：将二次项系数化为1； 3、配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 4、开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 5、求解:解一元一次方程; 6、定解:写出原方程的解。 探索新知： 如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题。 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)。 解：移项，得：， 二次项系数化为1，因为a≠0，所以可得 配方，得：即 ∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况： （1）b2-4ac>0，两边同时开方得：即 24 b b ac -±- ∴x 1= ，x 2 = （2）b2-4ac<0，此时方程的根为 即一元二次程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个的实数根。 （3）b2-4ac=0，此方程实数根。 一般的，___________________________________________叫根的判别式，通常表示为__________________。 归纳：①当△=b-4ac>0时，方程____________________________实数根； ②当△=b-4ac=0时，方程____________________________实数根； ③当△=b-4ac<0时，方程____________________________实数根。
人教版九年级数学上第21章一元二次方程全章总结教案
一元二次方程全章总结 要点链接 ☆一元二次方程的定义:只含有 未知数，且未知数的最高次数是 的 方程叫做一元二次方程 ☆一元二次方程的解法： 、 、 、 . ☆一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的情况，由 判定 （1）☆>0时， ；（2）☆=0时 ；（3）☆<0时， . ☆有实数根的一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x = . 范例点悟 考点一：一元二次方程及解法 例1.（1）一元二次方程22 (1)10a x ax a +-+-=的一个根为0，则a = . （2） i ）方程25x x =的根是 . ii ）方程2 4200x x --=的解是 . 即学即练 1.关于x 的一元二次方21(1)420m m x x ++++=的解为（ ） A.121,1x x ==- B.121x x == C.121x x ==- D.无解 2.方程2 10x -=的根是 . 3.解下列方程
（1）2 510x x -+=（用配方法） （2）23(2)(2)x x x -=-； （3）2250x --=（公式法） （4）22(2)(31)y y +=- 考点二：一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 例2.已知关于x 的一元二次方程223(2)202 m m x mx -+++= （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若 362 m <<试判断方程两个实数根的符号，并证明你的结论 即学即练 4.一元二次方程2 270x x -+=的根的情况为（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 5.若2,3是方程20x px q ++=的两实根，则2x px q ++可以分解为（ ）
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程教案新人教版
21.2 解一元二次方程 配方法（1） 教学内容 间接即通过变形运用开平方法降次解方程． 教学目标 理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤． 重难点关键 1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤． 2．难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7 老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得 x=或mx+n=p≥0）． 如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗? 二、探索新知 列出下面问题的方程并回答： （1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？ （2）能否直接用上面三个方程的解法呢？ 问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？ （1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有． （2）不能． 既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化： x2+6x-16=0移项→x2+6x=16 两边加32使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2+6x+32=16+9 左边写成平方形式→（x+3）2=•25 •降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5 解一次方程→x1=2，x2= -8