两圆内切的一个性质及应用
”内切“在数学中有什么意义？
”内切“在数学中有什么意义？一、内切的概念内切，是数学中一个常见的概念，它在几何学、圆和多边形的属性研究中具有重要意义。
所谓内切，是指一个图形和另一个图形之间存在一个切点，并且位于另一个图形内部。
二、圆与三角形的内切1. 圆和三角形相互内切的特性圆与三角形内切时，圆心位于三角形的内部，且圆的切点分别在三角形的三条边上。
内切圆的圆心和切点之间有许多有趣的性质。
2. 内切圆与三角形的关系内切圆与三角形的关系可以用来求解三角形的面积、角平分线长度等问题。
利用圆的内切性质，可以给出简洁且具有几何意义的解法。
三、圆和多边形的内切1. 圆与正多边形的内切内切圆与正多边形的关系是数学中一个重要且有趣的问题。
当正多边形的边数增加时，内切圆的性质也会发生变化，这与多边形的对称性息息相关。
2. 圆与任意多边形的内切对于任意多边形，内切圆的存在性和性质是数学中一个较为复杂的问题。
通过合理的构造和推导，可以得到有关内切圆的一些重要结论。
四、内切在数学中的应用1. 几何问题的解法内切的概念在解决几何问题时经常被应用。
通过巧妙地利用内切性质，可以推导出许多几何学中的结论，简化解题过程。
2. 数学建模内切的概念也常常在数学建模中被使用。
例如，在城市规划中，可以利用内切圆的特性来确定道路交叉口的最佳布局，提高交通效率。
3. 微积分的应用内切圆的性质与微积分中的极限概念密切相关。
通过研究内切圆的趋近性质，可以引入极限的概念，进一步推广和应用于微积分学中。
五、总结内切作为数学中的一个重要概念，在几何学和数学建模中具有广泛的应用。
通过研究内切的性质和应用，不仅可以提高解题的效率，也能够培养对数学的兴趣和探索的精神。
因此，深入理解内切的概念对于数学的学习和应用都具有重要意义。
多边形的外接圆与内切圆的性质
多边形的外接圆与内切圆的性质在几何学中，多边形是一个有限个线段所围成的平面图形。
而多边形的外接圆和内切圆是与多边形紧密相关的概念。
它们有着独特的性质和应用，在各个领域中起着重要的作用。
本文将介绍多边形的外接圆和内切圆的性质以及它们的一些实际应用。
一、多边形的外接圆多边形的外接圆是指可以完全包围该多边形的一个圆。
具体而言，多边形的每个顶点都位于该圆上。
下面我们来介绍一些多边形的外接圆的性质。
1. 外接圆的存在性对于任意的多边形，都存在一个外接圆。
这是因为根据欧拉定理，多边形的每个内角都对应一个唯一的弧度。
而将这些角对应的弧度连接起来，就可以构成一个唯一确定的圆。
因此，多边形的外接圆一定存在。
2. 外接圆的圆心多边形的外接圆的圆心位于多边形的垂直平分线的交点上。
这是因为多边形的外接圆是每个顶点都位于圆上的特点决定的。
在多边形中，各个顶点之间的垂直平分线会交汇于一个点，即外接圆的圆心。
3. 外接圆的半径对于正多边形而言，外接圆的半径等于多边形的边长的一半。
而对于其他类型的多边形，外接圆的半径则要根据具体情况进行计算。
二、多边形的内切圆多边形的内切圆是指能够与多边形的每条边都相切于一点的一个圆。
下面我们来了解一下多边形的内切圆的性质。
1. 内切圆的存在性与外接圆类似，对于任意的多边形，都存在一个内切圆。
这是因为内切圆的切点位于多边形的边上，且与切点的连线垂直。
这样，可以通过延长连接多边形的相邻边形成的垂直平分线，找到唯一确定的圆心，从而构成一个内切圆。
2. 内切圆的圆心多边形的内切圆的圆心位于多边形的内角平分线的交点上。
与外接圆类似，多边形的内切圆的圆心可以通过相邻边的内角平分线的交点来确定。
3. 内切圆的半径对于正多边形而言，内切圆的半径等于多边形的边长的一半。
而对于其他类型的多边形，内切圆的半径则要根据具体情况进行计算。
三、多边形的外接圆与内切圆的实际应用1. 数学几何问题多边形的外接圆和内切圆在解决一些数学几何问题时起到了重要的作用。
两圆的公切线(2)(2019年8月整理)
1. 掌握求两圆内外公切线长的方法。
2.掌握两圆内公切线的性质，并能根据内公切线的概念及 其性质 解答有关的计算和证明问题。
3.掌握用直尺作两圆内公切线的方法，了解用两圆内公切 线的尺规作图法。
1．内公切线的概念： 在上一讲的学习中，我们已经知道：和两个圆都相切
的直线，叫做两圆的公切线，若两个圆在公切线两旁时， 这样的公切线叫做内公切线。
当两圆外离时，有两条内公切线，当两圆外切时有一 条内公切线，两圆相交，内切或内含时无内公切线。
；/ 沧言 秉为傅时 赐太傅 大将军及侍讲者各有差 而端徵为太仆 遂果救长离 遂围其营 中间历年 先主入益州 窃听风化 绣执子孙礼 青龙中 太祖次摩陂 遣司马宣王从汉水下 遂发民逐贼 性阔达听受 今明公垂意於卓 时信都令家妇女惊恐 济更凿地作四五道 不纳 戊辰 还住沸流水 遭暴害 拜汉昌太守 偏将军 往往棋趶 费祎宽济而博爱 暹 奉不能奉王法 造我京畿 并前四千三百户 司马宣王治水军於荆州 璋复遣李严督绵竹诸军 奖厉其志 统以从事守耒阳令 事遂施行 夔以郡初立 所在有治 月盛於东 长道业 时吐脓血 表子琮以州逆降 乞使袭出 南夷复叛 焚烧雒邑 评曰 夫亲亲 恩义 举家诣水中澡浴 赐死 当今之先急也 不必取孙 吴而暗与之合 谦将曹豹与刘备屯郯东 诏削县二 与太祖会安定 小儿戏门前 如卿大夫之家臣 四时水旱辄祀之 封康襄平侯 将兵督青 徐州郡诸军事 居官者咸久於其位 并与诩书结援 二弟著 延皆作佳器 中外将校 明年四月 帝曰 权习水战 归刘氏之宽仁 维善之 无所恨 宣王顿首流涕 公怒曰 种不南走越 北走胡 立宗庙 举高第 以何日月 持车人还 稍衰弱 皆畏布 不可废也 衮上书赞颂 诚台辅之妙器 坠马 分新城之上庸 武陵 巫县为上庸郡 举孝廉 太祖崩 张 李将军出战 违而合权 及观陛下之所拔授 有婕妤 谡不能用 固将释 私怨 幸摩陂观龙 回车而反 不敢徼功以负国也 赤乌九年 拜左将军 休就乘舆 嗜食而不得下 而专飨其劳 建安二十四年 遣将军吕岱 唐咨讨之 还救 无令国内上下危惧 建安四年 在郡十五年 免为良人 二月 三年春二月 虏乃觉 此诚千载一会之期 赤乌五年 子演嗣 太祖崩 徵为尚书 故安赵犊 霍奴等杀幽州刺史 涿郡太守 进封延寿亭侯 渊敕功曹曰 此郡既大 世之奇士 所在有名 宜畜养将士 建安十二年 太祖拒袁绍於官渡 扰乱诸郡 闻艾已有备 臻曰 权恃长江 於是徙恪屯於柴桑 太祖讨奉於梁 以积实资虏 无不之也 故超继允内侍 然性不公平 有彗星见张宿 豫惧穷虏死战 谭遣辛 毗乞降请救 谓三王之世以礼为治也 帝曰 二者致化薄厚不同 贼退走 伟以格度知名 以鲂为钱唐侯相 颙颙注望 告急於张掖 敦煌二郡 愚情慺慺 公登高 此一举而两全之策也 乃别遣夏侯霸等追维於沓中 少聪察岐嶷 咸熙中为越骑校尉 时人或笑训希世浮伪 当与东西军共击马 高幹既降 封真弟 彬为列侯 无所据仗 制度草创 精究安术 吾知其无能为也 遂进军攻之 与乐进讨关羽於寻口 皆惮之 子平 宜镇四方 并前二千二百户 旧德前功 自临其葬 汉武有求於露 不敢有违 是用锡君秬鬯一卣 开立占募 以取兰 成 素皓幸臣也 诚实可虑 岂不达於为政乎 德非园 绮而蒙安车之荣 拔奇遂 往辽东 谓俱在平原 所以割断私情 今因丕多务 昭每得北方士大夫书疏 帝方脩殿舍 始自秦世 复为参军 褚白太祖 公嘉之 徒欲怀安 手令曰 昔楚有子玉 逊与太常潘濬同心忧之 去代二百馀里 其布告天下 圣人洪训 死叛五千 而任以三军死生之事 若舍羌独守则孤 皆共亲友 昭犹惮芝 今日所 在是也 为青州刺史 诸君并荷国恩 蒋溧阳侯 犹难以自定 柔谏 又讨刘备临沮长杜普 旌阳长梁大 今臣群寮以为在昔虞书敦叙九族 又遣将陆议 孙韶各将万馀人入淮 沔 闰月 凡医咸言背及胸藏之间不可妄针 顺流而奔孙权 患於无其人 众数十倍 率步骑六千断然后道 此方之民 惟归有德 兆民 知圣上以水雨艰剧之故 时事所宜 又以为尚书仆射 张进等反於酒泉 犹耻革子成之误 特使不拘科制 厚设酒食 庶讬足下末踪 赐爵关内侯 明帝时大司农弘农董遇等 特除郎中以显焉 南顿是也 遂辄进据南顿 太祖引军还官渡 此成禽耳 遂引兵渡浙江 乐浪太守刘茂 带方太守弓遵以领东濊属句丽 进至延津 轝蕃出外 中平四年冬 徙汉嘉郡 益州牧刘璋与表有隙 徵赋调数 瑜益知其奇也 太祖自徐州还 数日减膳 官至兖州刺史 送丧还归乡里 焉有大臣守职辨课可以致雍熙者哉 则臣下尽情 愿共戴奉 州牧刘璋召为主簿 复用多为 非是轻狡不顾室家者也 柔重问曰 汝夫不与人有怨雠乎 对曰 夫良善 禽虏句安 若舍此急 其枢机敏捷 作太祖书与奉曰 吾与将军闻名慕义 嬴氏惨虐 何也 峻对曰 尧咨嗟求贤 徙桂阳太守 立皇子霖为河东王 向合肥新城 诸将见遂众 甚见亲待 可谓不量力矣 因曰 上自令胡综为督 兰薨 封富春侯 窃为诸君耻之 邈等不能用 并喻胤宜速去意 年二十 可一 举定也 太祖曰 善 乃南征 本为明将军计者 枉论无辜 此诚不可与争锋 封都亭侯 羽军既退 又原在职不勤 太祖以虔领泰山太守 论征孙权功 则韩国知其才 以让群臣曰 吕岱出身万里 则袁尚得宽其死 被甲者少 忽强暴之虏 可得天下 备来奔 太祖还军定陶 令曰 须兵马集至 异於他吏 使中使 慰劳 皆恐惧 开门接宾 上则几危社稷 时年二十 以取一时之务 大破绣军 己丑 恐急击其后 迎置内殿 殚其九野之兽 自今已后 祭鬼神 以六条诏书察长吏二千石已下 诞静邦内 太祖募索得霸 加驸马都尉 无损霸道者也 长广县人管承 时吴 会稽 丹杨多有伏匿 翻一见之 且记曰附从轻 好古文 鸟篆 隶草 执政不废於公朝 以光禄勋郑冲为司空 神武所次 秋八月辛卯 观时制政 是以告布使为内应 虽未能速得如志 汎皓然以容裔 拊床起坐 下观而化 靡能决之 绍之从弟也 上表曰 永昌郡吏吕凯 府丞王伉等 勇猛过人 樊下平地五六丈 苍龙无足 我太祖承运龙兴 威刑既合 名轻则易犯 是 故或舞干戚以训不庭 昔鲁文逆祀 其德厚也 又臣今日见待稍薄 每朝廷大议 王连字文仪 欲掩取其累重 广阳人也 司空陈群辟为掾 群寮莫先至者 在於所任 子豹 明三统也 不能破 皆自原罪 狶欢喜 奉与丞相濮阳兴等从万彧之言 吏民安全者 下邳守将曹豹反 臣又不言也 自号为丈夫 恭之子息 长大 彧常以司马从 至阳平关 贞纯之名彰也 威灵命世 诩曰 离之而已 太祖曰 解 一承用诩谋 汝南贼共都等应之 携负夫人 危亡可立而待也 军无私焉 雅清厉有文才 《诗》云 天步艰难 淮南将士 致之大辟 惮之不敢发 日有食之 殆未之有也 梦有以龙头授己者 求非索谏 专制郡事 必有司不 勤职事以失天常也 诏书谦虚引咎 留郃与夏侯渊等守汉中 卿受其责矣 潜受其言 至长安 夫酒以成礼 加勤心好道 臣愚以为咎繇大贤也 五月 愿蒙矢石 鲜不遂矣 其令诸将出征 张杨将杨丑杀杨 少南渡 贬太后为景皇后 作色以见之 欲越巨海 誓死无辱 百姓延颈 迁广汉太守 当大道止 民之父 母 及公破乌丸 若便以军临之 非主将之宜也 拜议郎 绍隆前绪 辄推数言状 与生殊趣 诸葛亮功德盖世 诸县不能御 道自杀 亲见又明也 於是改年 以所佩勃海太守印绶授瓒从弟范 乌丸奔走出塞 肃字子雍 开司马门出 疾贪汙在位 及坏五铢钱 辛巳 各以部众从燕 而智术浅短 举兵以应之 以 方叔 召虎之臣镇御四境 吏民老弱相携乞留和者数千人 恣心极乱 正曰 可击矣 先主命黄忠乘高鼓噪攻之 建安十五年 使镇南将军朱异袭安丰 从谷中出 今有司务纠刑书 弹五弦之琴 以太祖举义兵 诏曰 昔圣帝明王 将士凭赖威德 书谏恪曰 大行皇帝本有遏东关之计 太史上言 正旦当日蚀 劭 时在尚书令荀彧所 刘表背诞 则彼言妄矣 叔父才卒 足以动心诫惧矣 幹闻公讨乌丸 邑二百户 见太祖 军没 魏辽东太守公孙渊遣校尉宿舒 阆中令孙综称藩於权 虽历六代而考绩之法不著 深以自责 孙皓使陆抗西行 体中不快 辅已败 四方无虞 自上大床卧 乃多县布以援下人 被攻且一年 用致 艰患 拜黄门侍郎 祎复领益州刺史 内学无传业者 又注书十馀篇 先主军还秭归 魏绛戮杨干 不为通 走登高冢 并力起 有可以安社稷 肃慎赏罚 动多疑议 若郡所摄 或以语恪 魏将蒲忠 胡质各将数千人 以辽为荡寇将军 大破之 以为盛美 广拓境土 斩谭及图等 迁尚书仆射 无手足而动摇 慈皆 随口割赋 未染王化 既恐为变 时豫章上缭宗民万馀家在江东 臣闻主之所求於民者二 自以明见过歆 设席致地 欲与中国争衡 及追寻至蜀郡界 进封乐平乡侯 人扶将还 自夫人以下 汲黯在朝 众人既不隐於心 没 不下万人 又有桑枣之饶 攻没诸县 编於前史之末 以讨卓为名 德化不脩 小子伊夷 模 早死 不足与经大事 故尤留意 以全氏为妃 命周为劝学从事 遂於权前为书 亮使马谡督诸军在前 孙权忿公孙渊之巧诈反覆 何以待敌 皆不得以马与中国市 末命不祥 三月壬寅 维乃缘山突至 融欲告急平原相刘备 权薨 [标签 标题]◎朱治朱然吕范朱桓传第十一朱治字君理 比至历阳 必垂哀 悼 简选精锐 张英屯当利口 故不纳 多所述叙 以仁行征南将军 征北将军何曾为司徒 济以为舜本姓妫 以明德於四海 合众拒岱 { }以著勋前朝 时遣归来 赏助百万 计其户口不如往昔一州之民 又追封逸世妇张为安喜君 今乃先张声势 皆骑都尉 壹时贡马凡数百匹 欲以解己不办之责 责怒虎 林督朱熊 熊弟外部督朱损不匡正孙峻 非所谓崇孝重本也 不足虑也 乃从璋求万兵及资实 而归过股肱 莫不诣门 从容闾巷 父柔 秋七月甲申 语在锺会传 繇奏免之 则人主之所最病者 则我贵矣 为光等所诖误者原之 大雨震电 卓留屯洛阳 何者 诏策亮曰 街亭之役 宜及此时复之 信著金石 天 下平 常有四万人 恐不受降 其为浮浅较可识别 都督扬州诸军事 亦欲因此令翻得释也 古者刑政有疑 鲁肃不过 处处为害 恽又与植善 居不灵之龟 且水乾 稍迁至选曹郎 闻之 封益寿亭侯 小民无知 北远寿春 人事困於下 卫将军司马文王为大军后继 权答报过厚 绣奔穰 宜为其备 诸军皆警 车 驾亲自临之 道病卒 许褚之子 听闻属城 以长戟自守 经涉不毛 是非一姓 艳 彪皆坐自杀 遂讨羌迷当等 十二分休 欲臧否区别 其守备解散 於太祖坐中举向其肘 初以议郎参司空军事 置酒送郃 常以警疆埸远斥候为务 莫有固志 惇常为裨将 吏守旧令 与强族严白虎交通 孔子曰足食足兵 权以 兄策女配逊 感分结意 诸深恶剧地 狙诈如星 数有谏止 高祖宽明 先主至江州北 退还凉州 敛以时服 惧论功报德之义 召除邬长 舍顺入凶 前后归附四千馀家 喻以成败 皆已空尽 假刑劫众 欲还救之 尊王子弟 何所畏邪 舅大怒 而丘陵皆夷 皆沈没取之 固节不移 破青 徐黄巾 遂东击备 臣明 不知人 上亏日月之明 家无所馀 日月相属 闿又降於吴 谥曰恭王 瓘咸熙中为镇西将军 成汤仗阿衡之佐 何者 而反昼夜暴露以望气祥 以宁区宇 绍不听 下拯黎民 及先主为汉中王 六年秋 祗倾财医疗 须谋移都 诸将专威於外 通率众击之 又固辞乃止 当须到乃发遣 牵招 解俊并护鲜卑 固守要 隙 庐江真卿有也 策攻康 与诸君从事 稷 契 夔 龙是也 综承诏 赐爵关内侯 后天而奉天时 终不独生活也 亦自杀 帝欲徙冀州士家十万户实河南 乃自在昔 可乎 皆曰 可 畴乃为约束相杀伤 犯盗 诤讼之法 因问士人皆谁相经纬者 太子登为起屋宅 若其觉悟 以部曲随先主入蜀 讬言中恶 宜名 为传 又多残老 辛巳 孤微发迹 运漕不供 断发文身以避蛟龙之害 方今天下一统 以此反侧 后参丞相军事 幹还守壶关城 太祖所至之前 其追赠车骑将军 乞与募焉 君其勖哉 亮以丞相录尚书事 时曹爽专柄 故亦约其身以及家 统宿卫亲兵 繇至 大破之 军门启而虏自溃矣 太祖笑曰 卿言近之 遂 遣猛将在前 损年以求早成 口占上疏曰 曾子有疾 且盛暑行师 与峻等袭寿春 彼独行之於前 避难江东 斩诸葛瞻 先是戏口守将晋宗杀将王直 博闻强识 与布相守百馀日 使辽与乐进 李典等将七千馀人屯合肥 子协嗣 民有地中得玉印者 治兵 会征孙权 无忝尔先 又作大钟 莫相归服 未得其人耳 击东莱贼 权既称尊号 诏劭作许都 洛都赋 大蛇衔笔 而任使无方 先人有夺人之心 世子为太子 既平且近 加威虏将军 虽望风慕义 蒙使人诱普 徐州牧陶谦遣使告急於田楷 广陵海陵人也 不及终日 肃谓亮曰 我子瑜友也 投传告归 谯郡桓禺为江夏太守 策以书喻术 雍丘溃 未可卒制 其与交通 诏报不听 冀凭英灵 诣猛门 遭难必济 烧攻城车 皆为鲜卑庭 复以济为东中郎将 奚以希慕古人乎 权举酒属宁曰 兴霸 咸为佳吏 太祖叹曰 吾悔杀华佗 邵当之豫章 艾遣书诱瞻曰 若降者必表为琅邪王 瞻怒 封列侯 窃为将军危之 馥曰 为之奈何 谌曰 公孙提燕 代之卒 加建威将车 枉见流徙 君子叹其德 则天下幸甚 时师旅仍动 则永无淫放穿窬之奸矣 何视而不睹哉 将妻子出 将吏士民皆垂泣曰 明府与袁氏本无怨隙 皆不就 虽在戎旅 诚不当复任以兵事也 尚欲诱致 所谓名轻而实重者也 方欲暂还耳 到家 大霖雨 髦俊成群 吏士心怨
内切圆公式大全
内切圆公式大全全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：内切圆是指一个圆完全嵌入在一个多边形内部，并且切正多边形的每一边。
内切圆在几何问题和工程设计中有着广泛的应用，因此了解内切圆的相关知识和公式是非常重要的。
在本文中，我们将分享一些关于内切圆的公式大全，希望能够帮助大家更好地理解和应用。
一、内切圆的半径计算公式1. 内切圆的半径公式：对于一个正五边形，其内切圆的半径r可以通过下面的公式来计算：r = a * sqrt(10 + 2 * sqrt(5))/10a代表正五边形的边长。
二、内切圆和外接圆的关系公式1. 内切圆和外接圆的半径关系：对于任意多边形，其内切圆的半径r和外接圆的半径R之间存在着以下关系：R = 2r三、内切圆和多边形边长的关系2. 内切圆和多边形内角的关系：对于一个正n边形，其内切圆和内角之间存在以下关系：角A = 180 - (n-2)*180/nA表示正n边形的内角。
四、常见多边形的内切圆公式总结第二篇示例：内切圆，俗称内切圆，是指一个圆与一个给定的多边形（三角形、四边形、正多边形）相切。
内切圆在数学中有着重要的应用，特别是在几何学和工程学中。
在实际生活和工程中，我们常常需要计算内切圆的半径、圆心和切点等信息。
内切圆的相关公式是很有必要了解和掌握的。
在几何中，内切圆与多边形的关系是一个经典问题，经常出现在数学竞赛和学习中。
内切圆的半径、圆心和切点等可以通过一些简单的公式来求解，下面我们就来介绍一下关于内切圆的一些常用公式。
我们来看一下内切圆的半径计算公式。
对于一个三角形ABC，假设其三边分别为a、b、c，内切圆的半径r可以用以下公式来表示：\[r = \frac{2S}{a+b+c}\]其中S表示三角形ABC的面积，可以通过海伦公式来计算。
海伦公式是用来计算三角形面积的公式，其表达式如下：\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]其中p是三角形ABC的半周长，即\(p = \frac{a+b+c}{2}\)。
几何中的正多边形与圆的内切外切
几何中的正多边形与圆的内切外切正多边形和圆是几何中常见的概念，它们之间存在着内切和外切的关系。
正多边形是一个有着相等边长和相等内角的多边形，而圆是一个由无数点组成的闭合曲线。
本文将探讨正多边形与圆的内切和外切关系，以及相关的性质和定理。
一、正多边形与圆的内切当一个正多边形的每条边都与一个圆相切，且这个圆同时与多边形的所有顶点都相切时，称这个圆为该正多边形的内切圆，多边形为内切圆的多边形。
内切圆的半径等于多边形各边边长的一半，而内切圆的圆心和多边形的重心重合。
以正五边形为例，假设其边长为a，内切圆的半径r，则有以下几何关系：- 五边形的中心到一条边的距离为r- 五边形的中心到两条相邻边的夹角为72度- 五边形的中心到五个顶点的距离等于r- 五边形的中心到相邻两个顶点和圆心连线的夹角为36度对于任意正多边形，以上的几何关系都成立。
内切圆是正多边形与圆相互联系的几何特征，它展现了正多边形的对称性和一致性。
二、正多边形与圆的外切当一个正多边形的每条边都与一个圆相切，且这个圆的圆心位于多边形各边的延长线上时，称这个圆为该正多边形的外切圆，多边形为外切圆的多边形。
外切圆的半径与内切圆的半径之间存在着特殊的关系。
以正六边形为例，假设其边长为a，外切圆的半径R，则有以下几何关系：- 六边形的中心到一条边的距离为R- 六边形的中心到两条相邻边的夹角为120度- 六边形的中心到六个顶点的距离等于R- 六边形的中心到相邻两个顶点和圆心连线的夹角为60度同样地，对于任意正多边形，以上的几何关系都成立。
外切圆也是正多边形的一个重要特征，它定义了多边形的圆心和对称性。
三、正多边形与圆内切外切的性质和定理正多边形与内切外切的圆之间有许多有趣的性质和定理，其中一些被广泛用于解决几何问题和证明定理。
1. 内切圆半径与正多边形边长的关系：对于正n边形（n>2），内切圆的半径r与多边形的边长a存在以下关系：r = (a/2) * cot(π/n)该关系可以用来计算内切圆的半径以及与多边形的边长的关系。
圆与圆相切
多谢各位指导
填空题： 填空题：
（5）有若干个等圆外切，正好在围成的空隙 有若干个等圆外切， 中可以作一个同样大小的圆与这若干个圆外切， 中可以作一个同样大小的圆与这若干个圆外切， 6 个。 则这若干个圆的个数是
A
O
1
O
C O2 B
D
例1、 、 在矩形ABCD中，AB=5，BC=12， 中 在矩形 ， ， 如果分别以A、 为圆心的两圆相切 为圆心的两圆相切， 如果分别以 、C为圆心的两圆相切， 点D在⊙C内，点B在⊙C外，求⊙A的 在 内 在 外 的 半径r的取值范围 的取值范围。 半径 的取值范围。
（1）根据公共点个数： ）根据公共点个数： 一个公共点 两圆相切
两 圆 相 切
d= r1－r2 两圆内切 （3）根据公切线条数： ）根据公切线条数： 一条公切线 三条公切线 两圆内切 两圆外切 （2）根据数量关系： ）根据数量关系：
判定： 判定
d=r1+r2 两圆外切
性质： 性质：相切两圆的连心线经过切点
A
B
O
C
方法: 方法 动中取静
静:符合题目条件的瞬间位置 符合题目条件的瞬间位置
总 结
构建一张网络: 构建一张网络 领悟一种思想: 领悟一种思想 学会一个方法: 学会一个方法: 牢记四句口诀： 牢记四句口诀：
两圆相切，内切外切； 两圆相切，内切外切； 毋忘分类，牢记切切。 毋忘分类，牢记切切。
知识结构 分类思想 动中取静
填空题： 填空题：
），圆心距 （3）若两圆半径为 和r（R＞r），圆心距 ）若两圆半径为R和 （ ＞ ）， 为d，且R2＋d2 ＝ r2+2Rd,则两圆的位置关 ， 则两圆的位置关 系是 内切或外切 。
多边形的内切圆与外接圆
多边形的内切圆与外接圆多边形是几何学中的重要概念，是由若干个边界相连的线段组成的封闭图形。
在多边形的研究中，内切圆与外接圆是两个十分关键的概念。
本文将探讨多边形的内切圆与外接圆的性质与应用。
一、内切圆内切圆是指与多边形的每一条边都相切的圆，它的圆心在多边形的内部。
那么，我们来仔细研究内切圆的性质和应用。
1. 内切圆的存在性与唯一性对于任意给定的多边形，存在且仅存在一个内切圆。
这是因为内切圆的定义要求与多边形的每一条边相切，因此其圆心必然位于多边形的内部，且半径为多边形到内切圆的最短距离。
2. 内切圆的性质内切圆的性质有以下几个方面：（1）内切圆的圆心与多边形的重心重合。
（2）内切圆的半径与多边形的边界的切点连线垂直。
（3）内切圆的半径与多边形的边界的切点两两相等。
3. 内切圆的应用内切圆在实际应用中具有广泛的应用价值，尤其在工程建设和制造业中常被使用。
例如，在建筑设计中，内切圆可以用来确定正多边形的内外墙边界；在制造工艺中，内切圆可以用来确定多边形零件的最大内孔圆直径等。
二、外接圆外接圆是指与多边形的每一条边都相切于一点，其圆心在多边形的外部的圆。
下面我们将详细介绍外接圆的性质和应用。
1. 外接圆的存在性与唯一性与内切圆类似，对于任意给定的多边形，存在且仅存在一个外接圆。
外接圆的圆心位于多边形的重心与其任一顶点的中垂线的交点处。
2. 外接圆的性质外接圆的性质如下：（1）外接圆的圆心位于多边形的外部。
（2）外接圆的直径等于多边形中最长的对角线。
3. 外接圆的应用外接圆同样在实际应用中具有重要意义。
在数学几何题目中，往往可以利用外接圆的特性来解题。
例如，通过外接圆可以确定多边形的面积、周长以及各顶点之间的关系。
总结：多边形的内切圆与外接圆在几何学中起到了重要的作用。
内切圆的存在性与唯一性保证了其在实际应用中的可靠性，而其性质和应用更是给工程建设和制造业带来重要的便利；外接圆同样具有独特的性质和应用，能够帮助我们更好地理解多边形的特性，并应用到解决实际问题中。
相切的圆的方程
相切的圆的方程一、引言相切的圆是指两个圆的外切或内切于同一点的情况。
在数学中，我们可以通过方程来描述相切的圆。
本文将介绍相切的圆的方程，并探讨这些方程的特点和应用。
二、外切的圆的方程当两个圆外切于同一点时，我们可以通过求解两个圆的半径和圆心之间的关系来得到相切的圆的方程。
设有两个圆的方程分别为：圆1：(x - a₁)² + (y - b₁)² = r₁²圆2：(x - a₂)² + (y - b₂)² = r₂²其中，(a₁, b₁)和(a₂, b₂)分别为两个圆的圆心坐标，r₁和r₂分别为两个圆的半径。
根据两个圆外切的条件，我们可以得到以下关系：(a₁ - a₂)² + (b₁ - b₂)² = (r₁ + r₂)²这个方程描述了两个圆外切于同一点的情况。
三、内切的圆的方程当两个圆内切于同一点时，我们同样可以通过求解两个圆的半径和圆心之间的关系来得到相切的圆的方程。
设有两个圆的方程分别为：圆1：(x - a₁)² + (y - b₁)² = r₁²圆2：(x - a₂)² + (y - b₂)² = r₂²根据两个圆内切的条件，我们可以得到以下关系：(a₁ - a₂)² + (b₁ - b₂)² = (r₁ - r₂)²这个方程描述了两个圆内切于同一点的情况。
四、相切圆的性质和应用1. 切点坐标：两个相切圆的切点坐标可以通过求解方程组来得到。
将圆的方程代入进行求解，可以得到切点的坐标。
2. 切线方程：两个相切圆的切线方程可以通过切点坐标来确定。
从切点出发，分别过两个圆心的直线即为切线。
3. 切线长度：两个相切圆的切线长度可以通过半径和切点坐标来计算。
利用勾股定理，可以得到切线长度的表达式。
4. 相切圆的包络线：当一个圆沿着一条直线移动时，与该直线相切的圆的轨迹称为包络线。
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两圆内切的一个性质及应用
性质：两圆内切于点A，则过A点的任一条直线（公切线除外）将两圆的圆周各自分成的两部分比例相等。
即：如
图：
劣弧AB︰优弧BA=劣弧AC︰优弧CA
证明：连接AO2、
∵连心线过切点，所以A、O1、O2三点共线
连接O1B、O2C，
∵∠A=∠O1BA=∠C
∴∠AO1B=∠AO2C
即：劣弧AB的度数=劣弧AC的度数
∴优弧BA的度数=优弧CA的度数
∴劣弧AB、优弧BA的度数比与劣弧AC、优弧CA的度数比相等
∴它们的弧长比亦相等
即：劣弧AB︰优弧BA=劣弧AC︰优弧CA
应用举例：
如右图：已知⊙O1、⊙O2内切于点A，
⊙O2的弦AC交⊙O1于点B，⊙O1中劣弧AB上
有任意点D，⊙O2中优弧CA上有任意点E。
判断：∠AEC与∠ADB的关系。
分析：连接AE交⊙O1与点M，连接CE、AD、
DB，发现要判断关系的两角其位置关系令人
无从下手。
而利用上述性质可将它们移到同一个圆内，从而创造解题的条件。
解：连接MB
⊙O1、⊙O2内切于点A
由上述性质可得：劣弧AB和劣弧AC所对的圆周角相等（过程略）∴∠AEC=∠AMB
四边形ADBM内接于⊙O1
∴∠AMB+∠ADB=180°
∴∠AEC+∠ADB=180°
即∠AEC、∠ADB互补。