直线与圆06_09全国高考数学真题分类汇编

2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编

第七章《直线与圆》

一、选择题（共17题）

1．（卷）如果实数x y 、满足条件??

??≤++≥+≥+-01,01,01y x y y x 那么2x y -的最大值为

A ．2

B ．1

C ．2-

D ．3-

解：当直线2x y t -=过点(0，-1)时，t 最大，故选B 。

2．（卷）直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值围是

．1) B

．1) C

．(1) D

．1)

解：由圆

2220(0)x y ay a +-=>的圆心(0,)a 到直线1x y +=大于a ，且0a >，选A 。

3．（卷）已知两条直线

2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于

（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1- 解析：两条直线

2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则(2)1a a +=-，∴ a =－1，选D.

4．（卷）在约束条件0024

x y y x s y x ≥??≥?

?+≤??+≤?下，当35x ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化围是

A.[6,15]

B. [7,15]

C. [6,8]

D. [7,8]

解析：由

???-=-=???

?=+=+4

2442s y s

x x y s y x 交

点

为

)4,0(),,0(),42,4(),2,0(C s C s s B A '--，

（1）当

43<≤s 时可行域是四边形OABC ，此时，87≤≤z （2）当54≤≤s 时可行域是△OA C '此时，8max =z ，故选D.

5．（卷）已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形部＆边界组成。若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z ＝x ＋my 取

得最小值，则m

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．4 解：依题意，令z ＝0，可得直线x ＋my ＝0的斜率为－

，结合可行域可知当直线x ＋my ＝0与直线AC 平行时，线段AC 上的任意一点都可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，而直线AC 的斜率为－1，所以m ＝1，选C 6．（卷）若圆

2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=

的距离为则直线l 的倾斜角的取值围是 ( )

A.[

124ππ

] B.[

1212ππ

] C.[

,]63ππ

D.[0,]2

解析：圆

0104422=---+y x y x

整理为222(2)(2)x y -+-=，∴圆心坐标为(2，2)，半径为

2，要求圆上至少有

三个不同的点到直线

0:=+by ax l 的距离为2

2，则圆心到直线的距离应小于等于

， ∴

，∴

x +y

2()4()1a a b b ++≤0，∴

2()2a b --+≤()a

k b =-，∴

22+k ≤l 的倾斜角的取值围是]12

512[π

π，，选B. 7．（卷）圆0104422

=---+y x y x

上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是

A ．36 B. 18 C. 2

6 D. 25

解析：圆0104422

=---+y x y x

的圆心为(2，2)，半径为32，圆心到直线014=-+y x

=2，圆上的点到直线

的最大距离与最小距离的差是2R =6

2，选C.

8．（卷）圆1)3()1(22=++-y x

的切线方程中有一个是

（A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝0

【正确解答】直线

ax+by=02

2(1)

(1x y -+=与相切

1=，由排除法，

选C,本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。

【解后反思】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解. 9．（全国卷I ）从圆

222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为

A ．

12 B ．3

．

解析：圆

222210x x y y -+-+=的圆心为M(1，1)，半径为1，从外一点(3,2)P 向这个圆作两条切线，则点P 到圆心M 的距离等于5，每条

切线与PM 的夹角的正切值等于21，所以两切线夹角的正切值为1

242tan 1314

θ?

=-，该角的余弦值等于35，选B.

10．（卷）某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束

??≤≥+-≥-.112,

932,22115x y x y x 则z =10x +10y 的最大值是 (A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 解：画出可行域：

易得A （5.5，4.5）且当直线z ＝10x ＋10y 过A 点时， z 取得最大值，此时z ＝90

，选C

11．（卷）已知x 和y 是正整数，且满足约束条件??

??≥≤-≤÷.72,2,10x y x y x 则x －2x ÷3y 的最小值是

(A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5

解：画出可域：如图所示易得B 点坐标为（6，4）且当直线z ＝2x ＋3y

过点B 时z 取最大值，此时z ＝24，点C 的坐标为（3.5，1.5），过点C 时取得最小值，但x ，y 都是整数，最接近的整数解为（4，2），故所求的最小值为14，选B 12．(卷)设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x 2

+y 2

=2相切,则a 的值为( ) A.± 2 B.±2 B.±2 2 D.±4

解析：设直线过点(0，a )，其斜率为1，且与圆x 2+y 2

=2相切，设直线方程为

y x a =+，圆心(0，0)道直线的距离等于半径2，∴

=，∴ a 的值±2，选B ．

13．（卷）某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为1a 、1b 千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为2a 、2b 千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为1d 、2d 元。月初一次性购进本月用原料A 、B 各1c 、2c 千克。要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润12z d x d y =+最大的数学模型中，约束

条件为

（A ）12112200a x a y c b x b y c x y +≥??+≥??≥??≥?（B ）11122200a x b y c a x b y c x y +≤??+≤??≥??≥?（C ）12112200a x a y c b x b y c x y +≤??+≤??≥??≥?（D ）121

12200a x a y c b x b y c x y +=??+=??≥??≥?

解析：设全月生产甲、乙两种产品分别为

x 千克，y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润12z d x d y =+最大的数学模型中，约束条件为

121

12200a x a y c b x b y c x y +≤??+≤??

≥??≥?

，选C. 14．（卷）设变量x 、y 满足约束条件??

??-≥≥+≤632x y y x x

y ，则目标函数y x z +=2的最小值为（）

A ．2

B ．

3 C ．

4 D ．9

解析：设变量x 、y 满足约束条件2,36y x x y y x ≤??

+≥??≥-?

在坐标系中画出可行域△ABC ，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，则目标函数2z x y =+的最小值为3，

选B.

15．（卷）在平面直角坐标系中，不等式组??

??≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是

(A)24

(B)4 (C) 22 (D)2

【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积。

解析：由题知可行域为

ABC ?， 42

204=?-=

?ABC S ，故选择B 。

16．(卷)过坐标原点且与x 2

+y 2 +

4x +2y +

=0相切的直线的方程为（A ）y =-3x 或y =31x (B) y =-3x 或y =-31x （C ）y =-3x 或y =-31x (B) y =3x 或y =3

解析：过坐标原点的直线为

y kx

=，与圆

225

4202

x y x y +-++

=相切，则圆心(2，－1)到直线方程的距离等于半

径

，

则

1或33k k ==-，∴ 切线方程为x y x y 313=-=或，选A.

17．(卷)以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为

（A ）2

2(2)(1)3x y -++= （B ）22(2)(1)3x y ++-= （C ）2

2(2)

(1)9x y -++= （D ）22(2)(1)3x y ++-=

解：r

3，故选C

二、填空题（共18题）

18．（卷）已知点(,)P x y 的坐标满足条件4

1x y y x x +≤??

≥??≥?

，点O 为坐标原点，那么||PO 的最小值等于_______,最大值等于____________.

解：画出可行域，如图所示：易得A （2，2），OA

＝

B （1，3），OB

＝，C （1，1），OC

故|OP|

19．（卷）已知实数x 、y 满足1,1,y y x ≤???≥-??

则2x y +的最大值是＿＿＿＿。

解析：已知实数x 、y 满足1,

1,y y x ≤???≥-??

在坐标系中画出可行域，三个顶点分别是A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)，∴ 2x y +的最大值是4.

20．（卷）已知直线5120x y a

-+=与圆2220x x y -+=相切，则a 的值为。

解：圆的方程可化为2

2(1)

1x y -+=，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，由已知可得

|5|

1|5|1313

a a +=?+=，所以a 的值为－18或8。

21．（卷）若直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2

＋(y －3)2

＝1有两个不同的交点，则k 的取值围是 .

解：由直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2

＝1有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交，故圆心到直线的距离小于圆的半径，

<1，

解得k ?(0，

) 22．（卷）已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤?

则22

x y +的最小值是 .

解析：由??

???≤--≤+-≥022011y x y x x ，画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则2

2y x +的最小值是5.

23．（卷）设变量x 、y 满足约束条件??

??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为

【正确解答】画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点 A(3,4)处，目标函数z 最大值为18

24．（卷）已知圆M ：（x ＋cosq ）2

＋（y －sinq ）2

＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题：（A ）对任意实数k 与q ，直线l 和圆M 相切；（B ）对任意实数k 与q ，直线l 和圆M 有公共点；

（C ）

对任意实数q ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切

（D ）对任意实数k ，必存在实数q ，使得直线l 与和圆M 相切其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）

解：选（B ）（D ）圆心坐标为（－cosq ，sinq ），d ＝

|sin |1

θ?≤－－＝（＋）25．（全国卷I ）设2z y x =-，式中变量x y 、满足下列条件??

??≥≤+-≥-123231

2y y x y x ，则z 的最大值

为_____________。

解析：在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC 中满足

2z y x =-的最大值是点C ，代入得最大值等于11.

26．（全国II ）过点（1，2）的直线l 将圆(x －2)2＋y 2

＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝．解析(数形结合)由图形可知点

A 在圆22(2)4x y -+=的部, 圆心为

O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线

l OA ⊥,

所以

1l OA k k =-

27．(卷)已知圆

2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是．

解：由已知得圆心为：

(2,0)P

，由点到直线距离公式得：d

28．(卷)已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a =____.

解：两条直线1

2:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，2

a -

=-，则a =2. 29．(卷)已知实数,x y 满足30

25000

x y x y x y +-≥??+-≤?

?≥??≥?，则2y x -的最大值是_________.

解析：实数,x y 满足3025000

x y x y x y +-≥??+-≤?

?≥??≥?，在坐标系中画出可行域，得三个交点为A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，则2y x -的最大值是0.

30．（卷）设,x y 满足约束条件：1

12210

x y x x y ≥???

≥??+≤??，则2z x y =-的最小值为 ;

解析：设,x y 满足约束条件：112210

x y x x y ≥???

≥??

+≤??，在直角坐标系中画出可行域△ABC ，其中A(1，21)，B(1，8)，C(4，2)，所以2z x y =-的最小值

为－6。

31．（卷）设直线30ax y -

+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB

的长为a =____________．

解析：设直线30ax y -

+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB

的长为(1，2)到直线的距离等于

，

1=，a =0．

32．（卷）若半径为1的圆分别与

轴的正半轴和射线(0)3

y x x =

≥相切，则这个圆的方程为．

解析：若半径为1的圆分别与

轴的正半轴和射线(0)y x x =

≥相切，则圆心在直线y=3x 上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为3，这

个圆的方程为2

2(1)

(1x y -+=。

33．(卷)已知变量x ,y 满足约束条件1≤x+y ≤4,-2≤x-y ≤2.若目标函数z =ax +y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值围为___________.

解析：变量

,x y 满足约束条件14,2 2.x y x y ≤+≤-≤-≤ 在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD ，其中A(3，1)，1,1AD AB k k ==-，

目标函数

z ax y =+（其中0a >）中的z 表示斜率为－a 的直线系中的截距的大小，若仅在点()3,1处取得最大值，则斜率应小于1AB k =-，即

1a -<-，所以a 的取值围为(1，+∞)。

34．(卷)已知变量x ，y 满足约束条件230

33010x y x y y +-≤??

+-≥??-≤?

。若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,0)

处取得最大值，则a 的取

值围为。

解：画出可行域如图所示，其中B （3，0）， C （1，1），D （0，1），若目标函数

z ax y =+取得最大值，必在B ，C ，D 三点处取得，故有

3a >a ＋1且3a >1，解得a >12

35．（春）已知圆)0()5(:2

22>=++r r y x

C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l

围

是 .

解：由题意知，圆心(-5,0) 到直线 l:3x+y+5=0 的距离 d 必须小于圆的半径 r ．因为，所以．从而应填．

2007年高考数学试题分类详解

直线与圆

一、选择题 1、．与直线

20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是．

【答案】:. 2

2(2)

(2)2x y -+-=

【分析】：曲线化为2

(6)(6)18x y -+-=，其圆心到直线20x y +-=的距离为d =

=所求的最小圆的圆心在直线

y x =，圆心坐标为(2,2).标准方程为22(2)(2)2x y -+-=。

2、(文5)若圆

04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为

,则a 的值为

(A)-2或2

(B)

321或 (C)2或0 (D)-2或0

解析：若圆

04222=--+y x y x 的圆心(1，2)到直线0=+-a y x 的距离为

2，∴2=，∴ a =2或0，选C 。

3、（文13）圆

01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（

）

Ａ．2

)2()3(22=

-++y x

Ｂ．2

1)2()3(22=

++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y x

Ｄ．2)2()3(22=++-y x