高中数学直线和圆知识点总结

直线和圆

一．直线

1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0,

)2

π

θ∈时，0k ≥；

（2）2

π

θ=时，k 不存在；（3）(

,)2

π

θπ∈时，0k <

（4）当倾斜角从0?

增加到90?

时，斜率从0增加到+∞；

当倾斜角从90?

增加到180?

时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程

（1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+

（3）两点式：

1

21121x x x x y y y y --=--

（4）截距式：

1x y

a b

+= （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式

（1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP =

（2）点

00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d =

（3）平行线间的距离：

10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：d =

4．位置关系

（1）截距式：y kx b =+形式

重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式

重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠

垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系

1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所

有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程

（1）标准形式：2

2

2

()()x a y b R -+-=（0R >）

（2）一般式：2

2

0x y Dx Ey F ++++=（22

40D E F +->）

（3）参数方程：00cos sin x x r y y r θ

θ=+??=+?

（θ是参数）

【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.

（4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系

（1）点00(,)P x y 和圆222

()()x a y b R -+-=的位置关系：

当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222

()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222

()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222

()()x a y b R -+-=外

（2）直线0Ax By C ++=和圆222

()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++=

的距离d =R 的大小关系

当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）； 判断直线与圆的位置关系常见的方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．

3．圆和圆的位置关系

判断圆心距12d OO =与两圆半径之和12R R +，半径之差12R R -（12R R >）的大小关系 当12d R R >+时，两圆相离，有4条公切线； 当12d R R =+时，两圆外切，有3条公切线；

当1212R R d R R -<<+时，两圆相交，有2条公切线； 当12d R R =-时，两圆内切，有1条公切线； 当120d R R ≤<-时，两圆内含，没有公切线； 4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减

5．弦长公式：l =

例1若圆x 2

＋y 2

＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．

解析：由题意知2

1＋k

2

＞1，解得－3＜k ＜ 3. 答案：(－3， 3)

例2已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2

＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．

解析：两圆相减即得x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝0

例3设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2

＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．

解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2

＝1，解得m ＝±3

3. 答案：±

3

3

例4若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2

＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．

解析：由题意可知圆C ：x 2

＋y 2

＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为2

4－? ??

??c a 2＋b 22，由于a 2＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3.

答案：2 3

例5已知⊙M ：x 2＋(y －2)2

＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．

(1)若|AB |＝42

3

，求|MQ |及直线MQ 的方程；

(2)求证：直线AB 恒过定点．

解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP |＝22

3

，又|AM |＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP |＝

12

－89＝13

，

又∵|MQ |＝|MA |

2

|MP |

，∴|MQ |＝3.

设Q (x,0)，而点M (0,2)，由x 2

＋22

＝3，得x ＝±5， 则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．

从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.

(2)证明：设点Q (q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x (x －q )＋y (y －2)

＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx －2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点? ??

??0，32.

例6过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2

－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为 2，则直线l 的斜率为________．

解析：将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2

＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得弦心距为22.

设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，则|2k －3|k 2＋1＝22

，化简得7k 2

－24k ＋17＝0，得k ＝1或k ＝177.

答案：1或177

例7圆x 2

－2x ＋y 2

－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．

解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|

1＋3

＝1.

答案：1

例8圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．

解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2

(a ＞0)

∴|2|1＋1＝a ，∴a ＝2，

∴x 2＋y 2

＝2.

答案：x 2＋y 2

＝2

例9已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________．

圆C 的方程为x 2＋y 2

＋Dx ＋F ＝0， 则?

????

26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0， 解得?

??

??

D ＝－4，

F ＝－6.

圆C 的方程为x 2

＋y 2

－4x －6＝0.

[答案] (1)C (2)x 2＋y 2

－4x －6＝0

例10 (1)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．

(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2

＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．

解析：(1)依题意，曲线C 表示的是以点C (－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C (－1，－1)到直线y ＝2－x

即x ＋y －2＝0的距离等于|－1－1－2|2＝22，易知所求圆的半径等于22＋22＝32

2.

(2)令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由

|2×2＋1－b |

5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5. 答案：(1)32

2

(2)5＋ 5 5－ 5

例11已知x ，y 满足x 2＋y 2

＝1，则y －2x －1

的最小值为________．

解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1

的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设

直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥3

4，故最小值

为3

4

. 答案：34

例12已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2

－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．

解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝3

2

，

则AB 边上的高的最小值为3

2－1.

故△ABC 面积的最小值是12×22×? ????

32－1＝3－ 2.

答案：3－ 2

例13平面直角坐标系xoy 中，直线10x y -+=截以原点O （1）求圆O 的方程；

（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程；

（3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP 、NP 分别交于x 轴于点（m ，０）和（n ，０），问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

解： ⑴因为O 点到直线10x y -+=

，

所以圆O 故圆O 的方程为222x y +=．

⑵设直线l 的方程为1(0,0)x y

a b a b

+=>>，即0bx ay ab +-=，

由直线l 与圆O

=221112

a b +=，

222222211

2()()8DE a b a b a b =+=++≥，

当且仅当2a b ==时取等号，此时直线l 的方程为20x y +-=．

⑶设11(,)M x y ，22(,)P x y ，则11(,)N x y -，22112x y +=，22222x y +=，

直线MP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y --，12

21

21x y x y m y y -=-， 直线NP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y ++，12

21

21x y x y n y y +=+，

22222222

12211221122112212222

21212121(2)(2)2x y x y x y x y x y x y y y y y mn y y y y y y y y -+----====-+--， 故mn 为定值2．

例14圆x 2+y 2=8内一点P （－1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点. （1）当α=

4

3π

时,求AB 的长； （2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.

解:（1）当α=

4

3π

时，k AB =－1， 直线AB 的方程为y －2=－（x+1），即x ＋y －1=0. 故圆心（0，0）到AB 的距离d =2

1

00-+=

2

2， 从而弦长|AB|=22

1

8-

=30. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=－2，y 1+y 2=4.

由?????=+=+,8,

82222

2121y x y x

两式相减得（x 1+x 2）（x 1－x 2）+（y 1+y 2）（y 1－y 2）=0， 即－2（x 1－x 2）+4（y 1－y 2）=0， ∴k AB =

2

1

2121=--x x y y . ∴直线l 的方程为y －2=2

1（x ＋1），即x －2y ＋5=0.

例15已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l :x －y +10=0上. (1)若动圆C 过点(－5,0),求圆C 的方程;

(2)是否存在正实数r ,使得动圆C 中满足与圆O :x 2+y 2=r 2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.

解: (1)依题意,可设动圆C 的方程为(x －a)2+(y －b)2=25,

其中圆心(a,b)满足a －b+10=0.

又∵动圆过点(－5,0),∴(－5－a)2+(0－b)2=25. 解方程组????

?=-+--=+-25

)0()5(0

102

2b a b a ,

可得??

?=-=010b a 或?

??=-=55

b a , 故所求圆C 的方程为(x+10)2+y 2=25或(x+5)2+(y －5)2=25. (2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d=

1

110+=52.

当r 满足r+5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切的圆；

当r 满足r+5＞d 时，r 每取一个数值，动圆C 中存在两个圆与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切； 当r 满足r+5=d,即r=52－5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切.

题目

1．自点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，则切线l 的方程为 ．

2．求与圆52

2=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.

3．若点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16相切于点M ，则PM 的最小值 ．

4．设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足·=0. （1）求m的值；

（2）求直线PQ的方程.

5．已知圆C：x2+y2－2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.

6. 已知曲线C：x2+y2－4ax＋2ay－20＋20a=0.

（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；

（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；

（3）若曲线C与x轴相切，求a的值.