函数与绝对值结合压轴练习题和详细的分析解答(1)

函数与绝对值结合压轴练习题和详细的分析解答（1）

问题一：证明不等式 1．已知函数ln(1)

()x f x x

+=

，实数(0,1)a ∈，证明： （Ⅰ）()12

x f x >-

； （Ⅱ）当0||1

a

x a <<+时，|()1|f x a -<．

2．已知函数()2

e x

f x x =-，()

g x ax =.

（1）求证：存在唯一的实数a ，使得直线()y g x =与曲线()y f x =相切； （2）若[]

1,2a ∈，[]0,2x ∈，求证：()()2

e 6

f x

g x -≤-.

（注：e 2.71828=为自然对数的底数.）

问题二：不等式恒成立

3．设函数2()1x f x e kx =--，k ∈R . （1）讨论()f x 在(0,)+∞上的单调性；

（2）当2k >时，若存在正实数m ，使得对(0,)x m ?∈，都有|()|2f x x >，求实数k 的取值范围.

4．已知函数()(),ln x

f x e

g x x ==．

（1）设()()2

h x g x x =-，求函数()h x 的单调增区间；

（2）设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数()y g x =的图象在点()()

00,A x g x 处的切线l 与函数()y f x =的图象也相切；

（3）求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()1

1f x a x

--＜成立．

问题三：零点

5．已知函数()()()ln 20f x x a ax a =+->的最大值为()M a .

（1）若关于a 的方程()M a m =的两个实数根为12,a a ，求证：1241a a <；

（2）当2a >时，证明函数()()g x f x x =+在函数()f x 的最小零点0x 处取得极小值.

6．已知函数()x a

f x x -=(0a >)，且满足112f ??= ???

. （1）求a 的值；

（2）设函数()()g x xf x =，()2x

h x t t =-(1t >)，若存在1x ，21,22

x ??∈????

，使得

()()12h x g x =成立，求实数t 的取值范围；

（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程()2

2220x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.

函数与绝对值结合压轴练习题和详细的分析解答（1）

1．已知函数ln(1)

()x f x x

+=

，实数(0,1)a ∈，证明： （Ⅰ）()12

x f x >-

； （Ⅱ）当0||1

a

x a <<

+时，|()1|f x a -<． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】

(Ⅰ)构造函数2()ln(1)(12

x F x x x x =+-+>-且0)x ≠，利用导数求出()F x 的单调性，

再结合(0)=0F ，即可证明不等式成立；

(Ⅱ)在01a x a <<+和01

a

x a -

<<+两种情况下，利用(Ⅰ)结论以及导数分别证明不等式成立即可. 【详解】

(Ⅰ)构造函数2

()ln(1)(12x F x x x x =+-+>-且0)x ≠，

2

1()1011x F x x x x

'

=-+=>++，

∴()F x 在(1,0)-和(0,)+∞上单调递增. 又(0)=0F

∴当0x >时，()(0)=0F x F >，即有

ln(1)12

x x

x +>-； 当10x -<<时，2

()ln(1)02

x F x x x =+-+<，即有

ln(1)12x x x +>-.

()12

x f x ∴>-

. (Ⅱ)设()ln(1)h x x x =-+，则1()111x h x x x

'=-

=++， 所以(1,0)x ∈-时，()0h x '<，()h x 在(1,0)-上单调递减；

(0,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增.

所以min ()(0)0h x h ==，故ln(1)0x x +-<. ①当01

a x a <<

+时，由(Ⅰ)知ln(1)0()112x x

f x x +>-=

->-， 则ln(1)2x x x

x +-<，

ln(1)22(1)

x x x a

a x a +-∴

<<<+，|()1|f x a ∴

-<. ②当01

a x a -

<<+时，111a x +>+，

令()ln(1)g x x x ax =+--，11

()1(1)011g x a a x x

'=

--=-+<++， ()g x ∴在,01a a ??

-

?+??

上单调递减，()(0)0g x g ∴>=，

ln(1)x x ax ∴+>+，即

ln(1)

1x a x

+<+， 从而ln(1)0x x

a x

+-<

<，即0()1f x a <-<.

综上所述，当0||1

a

x a <<+时，|()1|f x a -<. 【点睛】

本题主要考查了利用导数证明不等式，结合了导数研究函数的单调性以及最值等相关知识，属于难题.

2．已知函数()2

e x

f x x =-，()

g x ax =.

（1）求证：存在唯一的实数a ，使得直线()y g x =与曲线()y f x =相切； （2）若[]

1,2a ∈，[]0,2x ∈，求证：()()2

e 6

f x

g x -≤-.

（注：e 2.71828

=为自然对数的底数.）

【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）曲线()y f x =在()()

,t f t 处的切线为(

)()()2

2t

t

y e t

e t x t --=--，所以

()()

2e 2,e e 2,

t t t

a t t t t ?=-??--=--??只需证明()2

1e 0t t t --=有唯一解即可. (2) 要证()()2

e 6

f x

g x -≤-，即证2226e e e 6x x ax -≤--≤-,设()2

e x ax F x a =--，

即()()22226e 1e 66e 2e 6F F ?-≤≤-??-≤≤-??，只要证明()()2

21e 626e F F ?≤-??≥-??

，然后构造函数，讨论单调性，分析函数的最值，即可证明. 【详解】

证明：（1）由()e 2x

f x x '=-知，在()(),t f t 处的切线为(

)()()2

2t

t

y e t

e t x t --=--，

当该直线为y ax =时，可得()()

2e 2,e e 2,t

t t

a t t t t ?=-?

?--=--??

所以()2

1e 0t

t t --=，所以1t >，

令()()2

1e t

h t t t =--，则当1t >时，()()

e 20t

h t t '=->，

所以()h t 在()1,t ∈+∞单调递增，

而()110h =-<，()2

2e 40h =->，所以存在唯一的实数t （()1,2t ∈），

使得()0h t =，相应的e 2t a t =-也是唯一的，

即存在唯一-的实数a ，使得直线()y g x =与曲线()y f x =相切. （2）要证()()2

e 6

f x

g x -≤-，即证2226e e e 6x x ax -≤--≤-，

令()2

e x

ax F x a =--，对于确定的x ，()F a 是一次函数，只要证明，

()()22

22

6e 1e 6,

6e 2e 6,F F ?-≤≤-??-≤≤-??

注意到对于同一[]0,2x ∈，()()12F F ≥，所以只要证明

()()22

1e 6,26e ,F F ?≤-??≥-??

①

② 先证明①：记()()2

1e x

G x F x x ==--，则()e 21x

x G x '=--，

令e 21x

y x =--，因为e 2x

y '=-，所以ln 20x y '?>>，

由此可知()G x '在区间[]0,ln 2递减，在区间[]ln 2,2递增. 又因为()00G '=，()ln2

e

2l 2l n 10n 2G =--<'，()22e 50G '=->，

所以，在区间[]ln 2,2上存在唯一实数0x ，使得()00G x '=. 故在区间[]00,x ，()G x 递减，在区间[]0,2x ，()G x 递增. 于是()()(){}

2

max max 0,2e 6G x G G ==-.①得证.

再证明②：记()()2

2e 2x

H x F x x ==--，

当[]0,1x ∈时，利用不等式e 1x x ≥+得，

()()22221111116e x x x x H x x --=--+≥--=->-≥+；

当[]1,2x ∈时，利用不等式2e 12

x

x x ≥++（0x ≥）得

()()21

21e e e e

e 11222x x x x -??-?≥?+-+=+ ? ???

，

于是()()222e e e e 2122222x x x x x H x ????

≥++--=--+

? ?????

，

其中二次函数()2

e e 1222x x x ???=--+

???

开口向上，对称轴为222x e =>-，

当[]

1,2x ∈时，()x ?最小值为()e e 5e 41822224???

=--+=-

???

，

所以()()()2

26e H x x ??≥≥>-.

综上，不等式①②均成立.

所以，当[]0,2x ∈，对任意的[]

1,2a ∈，总有()()2

e 6

f x

g x -≤-.

【点睛】

本题考查曲线的切线问题，根据单调性分析方程的解，考查不等式的证明问题，考查构造函数解决问题，属于难题.

3．设函数2()1x f x e kx =--，k ∈R . （1）讨论()f x 在(0,)+∞上的单调性；

（2）当2k >时，若存在正实数m ，使得对(0,)x m ?∈，都有|()|2f x x >，求实数k 的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）(4,)+∞ 【解析】 【分析】

（1）对2()1x f x e kx =--求导，2()20x f x e k '=->得到增区间，()0f x '<得到减区间，

注意对k 讨论. （2）要使得对

(0,)x m ?∈，都有|()|2f x x >，只需研究()min |()|20f x x ->，00x ?>，使得对任意

()00,x x ∈，都有()0f x <，去掉绝对值号有2(2)10x k x e -+->，令

2()(2)1x t x k x e =-+-，对2()(2)1x t x k x e =-+-求导，分24k <≤和4k >两种情况

研究单调性和最小值，注意(0)0t =这一特殊函数值. 【详解】

解：（1）由2()1x f x e kx =--，得2()2x f x e k '=-，

∵(0,)x ∈+∞，∴222x e >， 当2k >时，

由2()20x

f x e k '=->，得1ln 22k x >，即函数()f x 在1ln ,22k ??+∞ ???

上单调递增，

由()0f x '<，得10ln 22k x <<，即函数()f x 在10,ln 22k ??

???

上单调递减；

当k 2≤，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，即函数()f x 在(0,)+∞上单调递增. 综合以上有，

k 2≤，即函数()f x 在(0,)+∞上单调递增. 2k >，()f x 在10,ln

2

2k ?

? ??

?上单调递减，在1ln ,22k ??+∞ ???

上单调递增. （2）由（1）知， 当2k >时，()f x 在10,ln

2

2k ?? ??

?

上单调递减，且0

(0)010f e =--= 00x ?>，使得对任意()00,x x ∈，都有()0f x <，此时，2|()|1x f x kx e =+-

则由|()|2f x x >，得2(2)10x

k x e -+->.

设2()(2)1x

t x k x e =-+-，

令()0t x '

>得12ln 22k x -<

，令()0t x '

<得12ln

22k x ->. 若24k <≤，则12

ln

022

k -≤， ∵()0120,ln ,22k x -???+∞

???

，

∴()t x 在()00,x 上单调递减，注意到(0)0t =， ∴对任意()00,x x ∈，()0t x <，与题设不符； 若4k >，则

12ln 022k ->，12120,ln ,ln 2222k k --???

??-∞ ? ?????， ∴()t x 在1

20,ln

2

2k -??

??

?

上单调递增， ∵(0)0t =，∴对任意120,ln

2

2k x -??

∈ ???

，()0t x >符合题意. 此时取0120min ,ln

2

2k m x -??

<≤???

?

，

可得对任意(0,)x m ∈，都有()2f x x >. 综上所述，k 的取值范围为(4,)k ∈+∞. 【点睛】

本题考查导数的综合应用，是难题. 4．已知函数()(),ln x

f x e

g x x ==．

（1）设()()2

h x g x x =-，求函数()h x 的单调增区间；

（2）设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数()y g x =的图象在点()()

00,A x g x 处的切线l 与函数()y f x =的图象也相切；

（3）求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式

()1

1f x a x

--＜成立． 【答案】（1）()h x 的单调增区间为（0

，2

]；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）求出导函数)'(h x ，在函数定义域内由'()0h x >确定其增区间；

（2）先求出()g x 在0x 处的切线方程，设这条切线与()y f x =的图象切于点11(,())x f x ，由010101

()()

'()'()g x f x k g x f x x x -===

-，得出关于0x 的方程，然后证明此方程的解在

(1,)+∞上存在且唯一．

（3）把问题转化为10x e ax x ---<在(0,)+∞上有解，令()1x

H x e ax x =---，则只

要min ()0H x <即可． 【详解】

（1）h （x ）＝g （x ）﹣x 2＝lnx ﹣x 2，x ∈（0，+∞）．

令2221()20

x x h x x x x

????

-+- ???????'=-=≥，

解得0x ≤

＜． ∴函数h （x ）的单调增区间为（0

，

2

]． （2）证明：设x 0＞1，1()g x x

'=

，可得切线斜率01k x =， 切线方程为：000

1

ln ()y x x x x -=

-． 假设此切线与曲线y ＝f （x ）＝e x 相切于点B （x 1，1x e ），f ′（x ）＝e x ． 则k=1x e ，

∴11

010

ln 1x x e x k e x x x -===-． 化为：x 0lnx 0﹣lnx 0﹣x 0－1＝0，x 0＞1． 下面证明此方程在（1，+∞）上存在唯一解． 令u （x 0）＝x 0lnx 0﹣lnx 0﹣x 0－1，x 0＞1．

000

1

()ln u x x x '=-

，在x 0∈（1，+∞）上单调递增． 又u ′（1）＝－1，1

'()10u e e

=-

>， ∴'()0u x =在(1,)+∞上有唯一实数解m ，

0(1,)x m ∈，0'()0u x <，()u x 递减， 0(,)x m ∈+∞时，0'()0u x >，()u x 递增，

而(1)20u =-<，∴0()0u x =在(1,)m 上无解，

而2

2

()30u e e =->，∴0()0u x =在(,)m +∞上有唯一解． ∴方程0()0u x =在（1，+∞）上存在唯一解．

即：存在唯一的x 0，使得函数y ＝g （x ）的图象在点A （x 0，g （x 0））处的切线l 与函数y ＝f （x ）的图象也相切．

（3）证明：()11

1x f x e x x x

----=

， 令v （x ）＝e x ﹣x ﹣1，x ＞0． ∴v ′（x ）＝e x ﹣1＞0，

∴函数v （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增， ∴v （x ）＞v （0）＝0．

∴()11

10x f x e x x x

----=＞，

∴不等式

()1

1f x a x

--＜，a ＞0?e x ﹣x ﹣1﹣ax ＜0， 即H （x ）＝e x ﹣x ﹣1﹣ax ＜0，

由对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()1

1f x a x

--＜成立?H （x ）min ＜0． H （x ）＝e x ﹣x ﹣1﹣ax ，a ，x ∈（0，+∞）． H ′（x ）＝e x ﹣1﹣a ，令e x ﹣1﹣a ＝0， 解得x ＝ln(1)a +＞0，

函数H （x ）在区间（0，ln(1)a +）上单调递减，在区间（ln(1)a +，+∞）上单调递增． ∵H （0）＝0，∴min ()(ln(1))0H x H a =+<． ∴存在对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()1

1f x a x

--＜成立． 【点睛】

本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，不等式的证明，考查综合运算能力，转化与化归思想，本题难度较大．

5．已知函数()()()ln 20f x x a ax a =+->的最大值为()M a .

（1）若关于a 的方程()M a m =的两个实数根为12,a a ，求证：1241a a <；

（2）当2a >时，证明函数()()g x f x x =+在函数()f x 的最小零点0x 处取得极小值. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】

分析：（1）本小问的解决方法是利用()()12M a M a =这个条件，得到含有12a a ，的等式，

对等式进行变形处理，使得等式左边是124a a ，右边是分式

2

1

2112

2ln

a a a a a a ??- ???

。则求证目标不等式

等价于证等式右端的部分212112

2ln

1a a a a a a <-，运用作差比较法构造函数()()12ln 1h t t t t t =-->，

对()h t 运用导数进行研究，即可证明原不等式；

（3）讨论函数的单调性，取绝对值得到()g x 的分段形式，若证明01

21

x a a <

-+，则证明()01102a x a +-

<+，记()121H a f a a ??=- ?+??

，求导分析单调性即可证得. 详解：（1）

()()121,2,0

22a x a a f x a x a a x a

x a

?'?-+-

??

?

=-=

>->++，由()0f x '>，

得122a x a a -<<

-；由()0f x '<，得1

2x a a

>-； 所以，()f x 的增区间为12,

2a a a ?

?-- ??

?，减区间为12,a a ??-+∞ ???

， 所以()2

1221ln M a f a a a a ??=-=-- ???

，

不妨设12a a <，∴22

112221ln 21ln a a a a --=--，

∴()

22

2

21211

2ln ln ln

a a a a a a -=-=， ∴22212

121212?ln a a a a a a a a -=，∴212121214?2ln a a a a a a a a ??-= ???，∴2

11221122ln

4a a a a a a a a =??- ?

??

，

设()()12ln 1h t t t t t =-->，则()2

2121110h t t t t ??

=+-=-> ??

'?，

所以，()h t 在()1,+∞上单调递增，()()10h t h >=，则12ln 0t t t

->>，

因

211a a >，故2

2121

21121

12

2ln

2ln 0,1a a a a a a a a a a a a ->><-，所以1241a a <； （2）由（1）可知，()f x 在区间12,2a a a

??-- ??

?

单调递增，又2x a →-时，()f x →-∞，

易知，()21221ln f a M a a a a ??

-==--

???

在()2,+∞递增，()()27ln20M a M >=->，

∴0122a x a a -<<

-，且02a x x -<<时，()0f x <；01

2x x a a

<<-时，()0f x >， 当1

22a x a a -<<-时，()()()()

()()0012,2121,2a x ln x a a x x g x ln x a a x x x a a ?+-+-<

，

于是02a x x -<<时，()()()011

1122g x a a x a x a

=+-

<+-++'，

所以，若证明0121

x a a <

-+，则证明()01102a x a +-

<+， 记()()2

11221ln 111H a f a a a a a ??=-=+--+ ?

++??

， 则()()

2

1

141

1H a a a a -

+'=-

+， ∵2a >，∴()11

8093

H a -

'>->， ∴()H a 在()2,+∞内单调递增，∴()()22

2ln203

H a H >=->， ∵

11

221a a a a

-<-+， ∴()f x 在112,

22,21a a a a a a ?

???

--?-- ? ?+?

???

内单调递增， ∴012,

21x a a a ?

?∈-- ?+??

，

于是02a x x -<<时，

()()()()0111

1110

122221

g x a a a x a x a a a a =+-

<+-<+-=++-++'. 所以()g x 在()02,a x -递减.

当012x x a a

<<-时，相应的()()()11

1a 110

1222g x a x a a a

a

=+-'>--=>+-+. 所以()g x 在012x a a

??- ??

?

，递增. 故0x 是()g x 的极小值点.

点睛：本题主要考查导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程

()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧

值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. 28．已知函数()x a

f x x -=(0a >)，且满足112f ??= ???

. （1）求a 的值；

（2）设函数()()g x xf x =，()2x

h x t t =-(1t >)，若存在1x ，21,22

x ??∈????

，使得

()()12h x g x =成立，求实数t 的取值范围；

（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程()2

2220x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.

【答案】（1）1；（2）2t ≥；（3）10,16??

???

【解析】 【分析】

（1）根据题意，代入函数值，即可求解；

（2）根据题意，求解函数()g x 和()f x 值域，若存在1x ，21

,22x ??∈????

，使得()()12h x g x =成立，转化为值域有交集，即可求解参数取值范围；

（3）由（1）分析函数()f x 的值域，可知()()0,1f x ∈时，x 有两根；再观察方程，同除2x 后方程可化简为()()2

220f x f x m -+=，只需使方程在()()0,1f x ∈上有两根，即可求

解. 【详解】

（1）由112

1122

a

f -??== ???

，得1a =或0.

因为0a >，所以1a =，所以()1

x f x x

-=

. （2）()()1,121

1,12x x g x xf x x x -≤≤??

==?-≤

， 所以()01g x ≤≤;故()g x 的值域为[]0,1A =

因为1t >时，()2x h x t t =-在1,22

??????

()2

22t h x t t ≤≤-，

所以()h x

的值域为2

2,2B t t t ?=-?，由题意

A B φ?≠，

20t <，所以220t t -≥，解得2t ≥; 综上:实数t 的取值范围是2t ≥

（3）当1x >时，()11

1x f x x x -=

=-，()f x 在()1,+∞上为增函数; 当()1,x ∈+∞时，()()1

10,1f x x

=-∈.

可得()f x 在()0,1上为减函数，当()0,1x ∈时，()()1

10,f x x

=-∈+∞.

方程()2

2

21120x x x mx ---+=可化为2

2

112

20x x m x

x

---

+=，

即()()2

220f

x f x m -+=.

设()s f x =，方程可化为2220s s m -+=. 要使原方程有4个不同的正根，

则关于s 方程2220s s m -+=在()0,1有两个不等的根1s ，2s ，

则有211602021120

m m m ->??>???-+>?

，解得1016m <<，

所以实数m 的取值范围为10,16??

???

. 【点睛】

（1）考查计算能力，基础题；（2）转化与化归思想解题，考查求函数值域，交集不空的参数范围，属于中等题；（3）转化方程与已知函数关联，考查函数与方程思想，转化与化归思想，一元二次方程根的限定条件，综合性较强，属于难题.