不等式性质的应用
不等式性质的应用
不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。
1．不等式性质成立的条件
运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。
例1：若0<
，则下列不等关系中不能成立的是（ ）
A ．b a 11>
B ．a
b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a >
解：∵0<->-b a 。
由b a -<
-11，b
a 11>，∴（A ）成立。 由0<<
b a
，||||b a >，∴（C ）成立。
由0>->-b a ，22)()(b a ->-，22b a >，∴（D ）成立。
∵0<
，0<-b a ，0<-->-a b a ，
)(11b a a --<-，b
a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。
例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<
，则0<
（2）若0<
分析：解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质就是看是否满足性质所需要的条件。 解：（1）错误。当0=c 时不成立。
（2）正确。∵02
≠c 且02>c ，在
2
2c b
c a >两边同乘以2
c ，不等式方向不变。∴b a
>。
（3）错误。b
a b a
1
1
>，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >?>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。
2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2232
>-+x x
与0432>-+x x
（2）13
8112++
>++
x x x 与82>x （3）35
7354-+>-+x x x 与74>x （4）
023
>-+x
x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）04322322
>-+?>-+x x x x 。
（2）482>?>x x
，44,11
3
8112>?>-≠?++>++
x x x x x x 。 （3）47357354>?-+>-+
x x x x 且3≠x ，4
7
74>?>x x 。
（4）不等式的解均为}23|{<<-x x
∴应选B 。
3．利用不等式性质证明不等式
利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的八条性质并注意在解题中灵活准确地加以应用。
例4：若0>>b a
，0< d b e c a e -> -。 分析：本题考查学生对不等式性质的掌握及灵活应用。注意性质的使用条件。 解：∵0< ，0>->-d c ，又0>>b a ∴0>->-d b c a ，故d b c a -< -1 1。 而0 b e c a e -> - 4．利用不等式性质求范围 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径。 例5：若二次函数 )(x f 图像关于y 轴对称，且2)1(1≤≤f ，4)2(3≤≤f ，求)3(f 的范围。 解：设 c ax x f +=2)(（0≠a ）。 ?? ?+=+=c a f c a f 4)2()1(??? ???? -=-=?3)2()1(43)1()2(f f c f f a 3 ) 1(5)2(83)2()1(4)1(3)2(39)3(f f f f f f c a f -= -+ -=+= ∵2)1(1≤≤ f ，4)2(3≤≤f ， ∴10)1(55≤≤f ，32)2(824≤≤f ，27)1(5)2(814≤-≤f f ， ∴ 93) 1(5)2(8314≤-≤f f ， 即9)3(3 14≤≤f 。 5．利用不等式性质，探求不等式成立的条件 不等式的性质是不等式的基础，包括五个性质定理及三个推论，不等式的性质是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确地理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化才能正确地加以运用，利用不等式的性质，寻求命题成立的条件是不等式性质的灵活运用。 例6：已知三个不等式：①0>ab ；②b d a c >；③ad bc >。以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成_____________个正 确命题。 解：对命题②作等价变形： 0>-?>ab ad bc b d a c 于是，由0>ab ，ad bc >，可得②成立，即①③?②； 若0>ab ， 0>-ab ad bc ，则ad bc >，故①②?③； 若ad bc >， 0>-ab ad bc ，则0>ab ，故②③?①。 ∴可组成3个正确命题。 例7：已知b a >，b b a a 1 1->- 同时成立，则ab 应满足的条件是__________。 解：∵ab ab b a b b a a )1)(()1()1(+-=---，由b a >知0) 1(>+ab ab ， 从而0)1(>+ab ab ，∴0>ab 或1- 不等式的证明 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用 2 222b a b a +≥+ (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 1、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1 已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 2、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2 a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2222)(1)(3c b a c b a ++=≥++? ∴2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3 设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(444 c b a abc c b a ++>++ 证：∵ 22442b a b a >+ 22442c b c b >+ 22442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 22222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+ 即 2 ) (2 2 2 b a b a +≥ +，两边开平方得 )(2 2222 2 b a b a b a +≥+≥ + 同理可得 )(2 2 2 2 c b c b +≥ +)(2 2 2 2 a c a c +≥ +三式相加，得 )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥+++++ 5),0(∞+∈y x 、且1=+y x ，证：9 )1 1)(11(≥++y x 。 证： )1)(1()11)(11(y y x x y x y x ++++=++) (25)2)(2(y x x y y x x y ++=++=9225=?+≥ 6已知.9 111111,,≥??? ??+??? ?? + =+∈+ b a b a R b a 求证： 策略:由于的背后隐含说明1,,4121 ,,2 =+∈≤??? ?????? ??+≤=+∈++b a R b a ab b a ab b a R b a .41 ≤ab 着一个不等式 证明：411,,≤∴=+∈+ ab b a R b a 。.91111. 981211111111111 ≥?? ? ??+??? ??+∴=+≥+=+++=+++=??? ??+??? ??+b a ab ab ab b a ab b a b a 而 3、分析法 分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。 7已知a 、b 、c 为正数，求证： )3(3)2( 23 abc c b a ab b a -++≤-+ 证：要证：)3(3)2( 23 abc c b a ab b a -++≤-+只需证：332abc c ab -≤- 即：332abc ab c ≥+∵ 3333abc ab ab c ab ab c =≥++成立∴ 原不等式成立 8 ),0(∞+∈c b a 、、且1=++c b a ，求证3≤++c b a 。 证： 3≤++c b a 3)(2 ≤++?c b a 即：2222≤++ac bc ab ∵b a ab +≤2 c b bc +≤2 c a ac +≤2即2)()()(222=+++++≤++c a c b b a ac bc ab ∴原命题成立 4、换元法 换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。 9， 1 1 )1)(1(22≤--+b a ab 。 证明：令αsin =a 2π πα+ ≠k Z ∈k β sin =b 2π πβ+ ≠k Z ∈k 左β αβαβαβαcos cos sin sin cos cos sin sin ±=?+= 1)c o s (≤±=βα∴ 1)1)(1(2 2≤--+b a ab 10：122 =+y x ，求证：22≤+≤-y x 证：由12 2 =+y x 设αcos =x ，αsin =y ∴ ] 2,2[)4 sin(2sin cos -∈+ =+=+π αααy x ∴ 22≤+≤-y x 11知a>b>c,求证： .4 11c a c b b a -≥-+- 证明：∵a －b>0, b －c>0, a －c>0 ∴可设a －b=x, b －c=y (x, y>0) 则a －c= x + y, 原不等式转化为证明 y x y x +≥ +411即证4)11)((≥++ y x y x ，即证42≥++x y y x ∵2≥+x y y x ∴原不等式成立（当仅x=y 当“=”成立） 12知1≤x 2 ＋y 2 ≤2，求证： 2 1≤x 2－xy ＋y 2 ≤3． 证明：∵1≤x 2 ＋y 2 ≤2，∴可设x = rcos θ，y = rsin θ，其中1≤r 2 ≤2，0≤θ＜π2． ∴x 2 －xy ＋y 2 = r 2 －r 2 sin θ2= r 2 (1－2 1 sin θ2)，∵ 21≤1－21sin θ2≤23，∴21r 2≤r 2 (1－2 1sin θ 2)≤ 2 3r 2，而21r 2≥21，23r 2 ≤3∴ 2 1≤x 2－xy ＋y 2 ≤3． 13已知x 2 －2xy ＋y 2 ≤2，求证：| x ＋y |≤ 10 ． 证明：∵x 2 －2xy ＋y 2 = (x －y)2 ＋y 2 ，∴可设x －y = rcos θ，y = rsin θ，其中0≤r ≤2，0≤θ＜π 2． ∴| x ＋y | =| x －y ＋2y | = | rcos θ＋2rsin θ| = r|5sin(θ＋ractan 2 1 )|≤r 5≤10． 14解不等式15+--x x ＞ 2 1 解：因为22)1()5( ++-x x =6，故可令 x -5 =6 sin θ，1+x ＝6 cos θ，θ∈［0， 2 π］ 则原不等式化为 6 sin θ－6 cos θ ＞ 21所以6 sin θ ＞2 1 +6 cos θ 由θ∈［0， 2 π ］知21+6 cos θ＞0，将上式两边平方并整理，得48 cos 2θ+46 cos θ－23＜0 解得0≤cos θ＜ 24 6282-所以x ＝6cos 2θ－1＜ 12 4724-，且x ≥－1，故原不等式的解集是｛x|-1≤x ＜ 12 47 24-} . 15：－1≤ 2 1x -－x ≤ 2． 证明：∵1－x 2 ≥0，∴－1≤x ≤1，故可设x = cos θ，其中0≤θ≤π． 则 2 1x -－x = θ2cos 1-－cos θ= sin θ－cos θ= 2sin(θ－ 4π)，∵－4π≤θ－4π≤4 3π， ∴－1≤ 2sin(θ－ 4 π)≤2，即－1≤2 1x -－x ≤ 2． 增量代换法 在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a ＞b ＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简． 16a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，求证：(a ＋2)2 ＋(b ＋2)2 ≥ 225． 证明：∵a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，∴设a =21＋t ，b=2 1 －t ， (t ∈R) 则(a ＋2)2＋(b ＋2)2= (21＋t ＋2)2＋(21－t ＋2)2= (t ＋25)2＋(t －25)2= 2t 2 ＋225≥225． ∴(a ＋2)2＋(b ＋2)2 ≥2 25． 利用“1”的代换型 17. 91 11 ,1 ,,,≥++=++∈+c b a c b a R c b a 求证：且已知策略：做“1”的代换。 证明： c c b a b c b a a c b a c b a +++ +++++=++1119 22233=+++≥??? ??++??? ??++??? ??++=c b b c c a a c b a a b . 5、反证法 反证法的思路是“假设→矛盾→肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。 18若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3 = 2，求证：p ＋q ≤2．证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8，∵p 3＋q 3 = 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2 )，又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2 －pq ＋q 2 ，即(p －q)2 ＜0，矛盾．故假设p ＋q ＞2不成立，∴p ＋q ≤2． 19已知a 、b 、∈c （0，1），求证：b a )1(-，c b )1(-，a c )1(-，不能均大于41 。 证明：假设b a ?-)1(，c b ?-)1(，a c ?-)1(均大于41 ∵ )1(a -，b 均为正 ∴ 2141)1(2)1(=>?-≥+-b a b a 同理 2141)1(2)1(=>?-≥+-c b c b 212)1(>+-a c ∴ 21 21212)1(2)1(2)1(++>+-++-++-a c c b b a ∴ 23 23> 不正确 ∴ 假设不成立 ∴ 原命题正确 20已知a,b,c ∈（0，1），求证：（1－a ）b, （1－b ）c, （1－c ）a 不能同时大于 4 1 。 证明：假设三式同时大于 4 1∵0＜a ＜1 ∴1－a ＞0 ∴ 2 1 41)1(2)1(=> -≥+-b a b a 21 a 、b 、R c ∈，0>++c b a ，0>++ca bc ab ，0>??c b a ，求证：a 、b 、c 均为正数。 证明：反证法：假设a 、b 、c 不均为正数 又 ∵ 0>??c b a a 、b 、c 两负一正 不妨设0 ，0c 又 ∵ 0>++c b a ∴ 0)(>+->b a c 同乘以)(b a + ∴ 2 )()(b a b a c +-<+即 0)(22<++-<++b ab a ab bc ac ，与已知0>++ca bc ab 矛盾 ∴ 假设不成立 ∴ a 、b 、c 均为正数 6、放缩法 放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩 22已知a 、b 、c 、d 都是正数，求证：1＜ c b a b ++＋ d c b c ++＋ a d c d ++＋ b a d a ++＜2． 证明：∵ d c b a b +++＜ c b a b ++＜b a b +， d c b a c +++＜d c b c ++＜ d c c +， d c b a d +++＜ a d c d ++＜ d c d +， d c b a a +++＜ b a d a ++＜b a a +， 将上述四个同向不等式两边分别相加，得：1＜ c b a b ++＋ d c b c ++＋ a d c d ++＋ b a d a ++＜2． 23 * N n ∈，求证： 1 213 12 11)11(2-<+ ++ + <-+n n n 。 证明：∵ ) 1(21 221 --=-+< += k k k k k k k ) 1(21 221k k k k k k k -+=++> += ∴ ) 1(2)23(2)12(2112 11--++-+-+<+ ++ n n n 12-=n ) 1(2)23(2)12(212 11n n n -+++-+->+++ )11(2-+=n 判别式法 24A 、B 、C 为ABC ?的内角，x 、 y 、z 为任意实数，求证：A yz z y x cos 2222≥++C xy B xz cos 2cos 2++。 证明：构造函数，判别式法令)cos 2cos 2cos 2()(222C xy B xz A yz z y x x f ++-++= )cos 2()cos cos (2222A yz z y C y B z x x -+++?-=为开口向上的抛物线 )cos 2(4)cos cos (4222A yz z y C y B z -+-+=? )cos 2cos cos 2sin sin (42222A yz C B yz C y B z ++--= )]sin sin cos (cos 2cos cos 2sin sin [42222C B C B yz C B yz C y B z -+-+-= ]sin sin 2sin sin [42222C B yz C y B z -+-= 0)cos sin (42≤--=C y B z 无论 y 、z 为何值，0≤? ∴ R x ∈ 0)(≥x f ∴ 命题真 构造函数法 构造函数法证明不等式24 设0≤a 、b 、c ≤2，求证：4a ＋b 2 ＋c 2 ＋abc ≥2ab ＋2bc ＋2ca ． 证明：视a 为自变量，构造一次函数 )(a f = 4a ＋b 2＋c 2＋abc －2ab －2bc －2ca = (bc －2b －2c ＋4)a ＋(b 2＋c 2－2bc)，由0≤a ≤2，知 )(a f 表示一条线段．又)0(f = b 2＋c 2－2bc = (b －c)2≥0，)2(f = b 2＋c 2－4b －4c ＋8 = (b －2)2＋(c －2)2≥0， 可见上述线段在横轴及其上方，∴ )(a f ≥0，即4a ＋b 2＋c 2＋abc ≥2ab ＋2bc ＋2ca ． 构造向量法证明不等式 根据已知条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等式关系→ m ·→ n ≤|→ m |·|→ n |，就能避免复杂的凑配技巧，使解题过程简化．应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握． 25 设a 、b ∈R +，且a ＋b =1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2 ≥ 2 25 ． 证明：构造向量→ m = (a ＋2，b ＋2)，→ n = (1，1)．设→ m 和→ n 的夹角为α，其中0≤α≤π． ∵|→ m | = 2 2)2()2(+++b a ，|→ n | = 2，∴→m ·→n = |→m |·|→ n |cos α= 2 2)2()2(+++b a · 2·cos α； 另一方面，→ m ·→ n = (a ＋2)·1＋(b ＋2)·1 = a ＋b ＋4 = 5，而0≤|cos α|≤1， 所以 2 2)2()2(+++b a · 2 ≥5，从而(a ＋2)2＋(b ＋2)2 ≥ 2 25 ． 构造解析几何模型证明不等式 如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何模型，化数为形，利用数学模型的直观性，将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决． 26设a ＞0，b ＞0，a ＋b = 1，求证： 12+a ＋12+b ≤22． 证明：所证不等式变形为： 2 1 212+++b a ≤2．这可认为是点A( 12+a 12+b )到直线 x ＋y = 0的距离． 但因( 12+a )2＋(12+b )2= 4，故点A 在圆x 2＋y 2= 4 (x ＞0，y ＞0)上．如图所示，AD ⊥BC ，半径AO ＞AD ，即有： 2 1 212+++b a ≤2，所以 12+a ＋12+b ≤22． 浅谈不等式恒成立问题 1 转换主元法 确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。 例1：若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。 解：原不等式化为 (x 2－1)m －(2x －1)<0 记f(m)= (x 2－1)m －(2x －1) (－2 ≤m ≤2) 根据题意有：?????<=<=01)-(2x -1)-2(x f(2)0 1)-(2x -1)--2(x f(-2)2 2 即：?????<->+0 1-2x 2x 0 3-2x 2x 22 解之：得x 的取值范围为2 3 1x 271+<<+- 2 化归二次函数法 根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。 例2：在R 上定义运算? ：x ? y ＝(1－y) 若不等式(x －a) ? (x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( ) (A)－1 22 a -<< 解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)] <1对任意x 成立 即x 2-x-a 2+a+1>0对x ∈R 恒成立 记f(x)=x 2-x-a 2+a+1 则应满足(-1)2-4(-a 2+a+1)<0 化简得 4a 2-4a-3<0 解得 2 3 21<<- a ,故选择C 。 例3：若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。 解：设f(x)=x 2-2mx+2m+1 本题等价于函数f(x)在0 ≤x ≤1上的最小值大于0，求m 的取值范围。 (1)当m<0时，f(x)在[0,1]上是增函数，因此f(0)是最小值， 解 ?? ?>+=<0 12m f(0)0m 得 21- ≤m ≤1时，f(x)在x=m 时取得最小值 解 ???>++=≤≤0 12m -m f(m)1 m 02 得 0≤m ≤1 (3)当m>1时，f(x)在[0,1] 上是减函数，因此f(1)是最小值 解 ?? ?>= >02f (1) 1m 得 m>1 综合(1)(2)(3) 得 2 1 m - > 注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解。 3 分离参数法 在题目中分离出参数，化成a>f(x) （a 例4：已知向量a =(x 2,x+1), b =(1-x,t) 若函数f(x)＝a ·b 在区间(－1，1)上是增函数，求t 的取值范围。 解：依题意， f(x)＝x 2(1-x)+(x+1)t=-x 3+x 2+tx+t 则f ＇(x)=-3x 2+2x+t ∵f(x)在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上有f ＇(x)≥0 即-3x 2+2x+t ≤0在x ∈(-1，1)上恒成立 设g(x)=3x 2 -2x ∴t ≥g(-1) 即 t ≥5 例5：设a 0为常数，数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝5 1 [3n +(-1)n-1 ·2n ]+(-1)n ·2n ·a 0(n ∈N * )若对任意n ≥1，n ∈N * ，不等式a n >a n-1恒成 立，求a 0的取值范围。 解：依题意： 5 1 [3n +(-1)n-1 ·2n ]+(-1)n ·2n ·a 0> 51 [3n-1 +(-1)n-2 ·2n-1 ]+(-1)n-1·2n-1 ·a 0 化简，得 (-1)n ·3·2 n-1 ·a 0 >-52·3n-1 +5 3 (-1)n ·2n-1 (1)当n=2k-1 k ∈N * 时 a 0< 152·(23)n-1 +5 1 设g 1 (n)= 152·(23)n-1 +5 1 ∵g 1(n)在n ∈N * 时且n=2k-1,k ∈N * 时是增函数 ∴g 1 (n)的最小值为g 1 (1)＝3 1 ∴a 0 <3 1 (2) 当n=2k k ∈N * 时 a 0 >-152·(23)n-1 +5 1 设g 2(n)=- 152·(23)n-1 +5 1 ∵g 2 (n)在n ∈N * 且n=2k,k ∈N * 时是减函数 ∴g 2(n)的最大值为g 2(2)＝0 ∴a 0>0 综上可知0 3 1 例6：函数y ＝f(x)在区间(0, ∞+)内可导，导函数' f (x)是减函数，且 'f (x)>0。设x 0 ∈(0, ∞+)，y=kx+m 是曲线y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )) 处的切线方程并设函数g(x)=kx+m （Ⅰ）用x 0，f(x 0)， 'f (x 0 )表示m ； （Ⅱ）证明：当x ∈(0, ∞+)时，g(x)≥f(x) （Ⅲ）若关于x 的不等式x 2+1≥ax+b ≥2 33 2 x 在[0, ∞+）上恒成立，其中a 、b 为实数。求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系。 本题（Ⅲ）应用了此方法。 （Ⅲ）解：0 ≤b ≤1，a>0是不等式成立的必要条件。以下讨论设此条件成立。 x 2+1≥ax+b 即x 2 -ax+(1-b)≥0对任意x ∈[0, ∞+ )成立的充要条件是a ≤2 1b)-2(1 令Φ(x)=ax+b-2332 x ，于是ax+b ≥2 33 2 x 对任意x ∈[0, ∞+)成立的充要条件是Φ(x)≥0 由 ' Φ (x)=a-3 1x - =0得x=3 a - 当0 a -时， 'Φ(x) <0；当x>3a -时，'Φ(x) >0,所以，当x ＝3a -时，Φ(x)取最小值。因此，Φ(x)≥0成立的充要条件是 Φ(3a -)≥0。 即a ≥ 2 1(2b) - 综上，不等式x 2 +1≥ax+b ≥2 33 2 x 对任意x ∈[0, ∞+]成立的充要条件是 2 1(2b) - ≤a ≤12 2(1-b) ………………………………………………① 显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是： 不等式2 1(2b)-≤12 2(1-b) …………………………………………② 有解。 解不等式②得 4 2 2b 422+≤≤-……………………………③ 因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数a 与b 所满足的关系。 4.数型结合法 例7：如果对任意实数x ，不等式kx 1x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围是1k 0≤≤ 解析：画出y 1=1x +,y 2 =kx 的图像，由图可看出 0≤k ≤1 例8： a 的取值范围 (] 2,1 1,21?? ???? 解析：不等式x 2 -a x < 21可化为 a x > x 2 -21 画出y 1= a x ,y 2= x 2 -21的图像。由图可看出 2 1 ≤a<1或1 在解综合性较强的恒成立问题时，有时一题多法。所以以题为本，关键抓住恒成立的实质，具体问题具体分析，不拘泥于一种方法。 线性规划常见题型及解法 线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件 2 2 2x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z =x +2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x +2y ＝0，将 l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为（） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△AB C的面积即为所求，由梯 O M B C的面积减去梯形O M AC的面积即可，选B 三、求可行域中整 点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥ ? ?--≤ ? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容整点个数为13个，选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使z=x+a y(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值 为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+a y＝0，要使目标函数z=x+a y(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x、y满足以下约束条件 220 240 330 x y x y x y +-≥ ? ? -+≥ ? ?--≤ ? ，则z=x2+y2的最大 值和最小值分别是（） A、13，1 B、13，2 C、13， 4 5 D、 解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为 4 5 ，选C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）－1,1），则m的 取值范围是（） A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3） 解：|2x－y＋m|＜3等价于 230 230 x y m x y m -++>? ? -+- 由右图可知 33 30 m m +> ? ? -< ? ,故0＜m＜3，选 C 不等式性质的两个重要应用 一．利用不等式性质证明不等式 利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. 例1：若0>>b a ，0< 不等式的性质和证明 一、基础知识 1．性质 对称性a＞b?b＜a 传递性a＞b，b＞c T a＞c 加法单调性a＞b T a+c＞b+c 乘法单调性a＞b，c＞0 T ac＞bc；a＞b，c＜0 T ac＜bc开方法则a＞b＞0 T移项法则a+b ＞c T a＞c－b 同向不等式相加a＞b，c＞d T a+c＞b+d 同向不等式相乘a＞b＞0，c ＞d＞0 T ac＞bd 乘方法则a＞b＞0 T a n＞b n倒数法则a＞b，ab＞0 T 2．证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法 证明技巧：逆代，判别式，放缩，拆项，单调性 3．主要公式及解题思路 公式：a2+b2≥2ab（a，b∈R） a3+b3+c3≥3abc（a，b，c∈R+） 思路：① ② ③ ④正数x，y且x+y=1，求证：≥ 二、例题解析 1．（1）a，b∈R+且a＜b，则下列不等式一定成立的是（） A．B． C．D． （2）若0＜x＜1，0＜y＜1且x≠y，则x2+y2，x+y，2xy，中最大的一个是（） A．x2+y2B．x+y C．2xy D． （3）若a，b为非零实数，则在①a2+b2≥2ab ②≤ ③≥ ④≥2中恒成立的个数为（） A．4B．3C．2D．1 （4）下列函数中，y的最小值是4的是（） A．B．C．y= D．y=lgx+4log x10 （5）若a2+b2+c2=1，则下列不等式成立的是（） A. a2+b2+c2＞1 B.ab+bc+ca≥ C.|abc|≤ D a3+b3+c3≥ 2．（1）已知x，y∈R+且2x+y=1，则的最小值为 （2）已知x，y∈R 且x2+y2=1，则3x+4y的最大值为 （3）在等比数列{a n}和等差数列{b n}中，a1=b1＞0，a3=b3＞0，a1≠a3，试比较大小：a5b5 （4）已知a＞0，b＞0，a + b=1，则的最小值为 （5）已知：x+2y=1，则的最小值为 （6）已知：x＞0，y＞0且x+2y=4，则lg x + lg y的最大值为 （7）若x＞0，则，若x＜0，则 （8）建造一个容积为8 m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁造价分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为元。 （9）某工厂生产机器的产量，第二年比第一年增长的百分率为a，第三年比第二年增长的百分率为b，第四年比第三年增长的百分率为c，设年平均增长的百分率为P，且a+b+c 为定值，则P的最大值为 3．求证：a2+b2≥ab+a+b－1 4．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：≥ 5．已知：a，b，c∈R+且a+b+c=1，求证： 专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法 一、选择题 1．（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1 2.1等式性质与不等式性质 (一) 1.数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数 大. 2.实数的运算性质与大小顺序之间的关系(教材中方框内的三个等价关系). 3.差值比较法比较两个实数的大小. (二) 1.掌握差值比较法. 2.会用差值比较法比较两个实数的大小. (三) 1.培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 2.培养学生数形结合的数学思想和灵活应变的解题能力. 3.培养学生分类讨论的数学思想和思考问题严谨周密的习惯. ●教学重点 理解在两个实数a、b之间具有以下性质：a＞b?a－b＞0；a＝b?a－b＝0；a＜b?a －b＜0.这是不等式这一章内容的理论基础，是不等式性质证明、证明不等式和解不等式的主要依据. ●教学难点 比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号(注意是指差的符号，至于值是多少，在这里无关紧要).差值比较法是比较实数大小的 基本方法，通常的步骤是：作差→变形→判断差值的符号. ●教学方法 ●教具准备 投影片两张. ●教学过程 Ⅰ.课题导入 在客观世界中，不等关系具有普遍性、绝对性，是表述和研究数量取值范围的重要工具.研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式.实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系. Ⅱ. (一)打出投影片§6.1.1 A ［师］数轴的三要素是什么? ［生］原点、正方向、单位长度. ［师］把下列各数在数轴上表示出来，并从小到大排列： 213-,5-,0,-4,2 3 ［生］ ∴213-＜-4＜0＜2 3＜｜－５｜. ［师生共析］在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. (二)请同学们预习课本，(教师打出投影片§6.1.1 A ，§６.1.1 B)，在解决了投影片 §６.1.1 A 问题基础上解决下列问题： ［师］若a ＞b ，则a －b 0；若a ＝b ，则a －b 0；若a ＜b ，则a －b 0. ［生］若a ＞b ，则a －b ＞0；若a ＝b ，则a －b ＝0；若a ＜b ，则a －b ＜0，反之亦然. ［师］“a ＞b ”与“a －b ＞0”等价吗? ［生］显然，“a ＞b ”与“a －b ＞0”等价. ［师生共析］ 此等价关系提供了比较实数大小的方法：即要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了. (三) ［例1］比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小. ［师］比较两个实数a 与b 的大小，可归纳为判断它们的差a －b 的符号(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要).由此，把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题. 本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项. ［生］由题意可知： （a ＋3）（a －５）－（a ＋2）（a －4） ＝（a 2－2a －1５）－（a 2－2a －８） ＝－７＜0 ∴（a ＋3）（a －５）＜（a ＋2）（a －4） ［例2］已知x ≠0，比较（x 2＋1）2与x 4＋x 2＋1的大小. ［师］同例1方法类似，学生在理解基础上作答. 本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项. ［生］由题意可知： （x 2＋1）2－（x 4＋x 2＋1） ＝（x 4＋2x 2＋1）－（x 4＋x 2＋1） ＝x 4＋2x 2＋1－x 4－x 2－1 ＝x 2 学生姓名陈 年级初一 授课时间2012.6 .2 教师姓名刘 课时 2 不等式易错题、难题集合 （注意：运用不等式的性质是解题的关键！ ！ ！ ！ ！ ！不等式的性质切记！ !!!!!!!） -，选择题 1.下列不等式一定成立的是（） A.5a >4a B.X +2 v X +3 C. — a >— 2a D.- a 2. 右一a >a ,贝U a 必为（） A.正整数B .负整数C .正数D .负数 3. 若a > b ,则下列不等式一定成立的是（ ） b a A . <1 B. >1 C.-a>-b D.a-b>0 a b 4. 若a — b v 0,则下列各式中一定正确的是（ ） a <0 D . b A. a >b B . ab>0 C —a >— b 5.如果b A.- a 那么 1 1 b 6. 若果 x-y>x,x+y>y A.0 专题15 不等式性质，线性规划及基本不等式 考纲解读明方向 考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度 不等式的概念和性质了解现实世界和日常生活中 的不等关系,了解不等式 (组)的实际背景 理解 2017山 东,7; 2016北 京,5; 2013陕 西,10 选择题★★☆ 分析解读 1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题. 考点内容解读要求高考示例常考题 型 预测热 度 1.平面区 域 问题①会从实际情境中抽象出 二元一次不等式组; ②了解二元一次不等式的 几何意义,能用平面区域 表示二元一次不等式组 理解 2016浙江,3;2016山 东,4; 2015课标Ⅰ,15;2014 课标Ⅰ,9 选择题 填空题 ★★★ 2.线性规 划 问题会从实际情境中抽象出一 些简单的二元线性规划问 题,并能加以解决 理解 2017课标全国Ⅱ,5; 2017课标全国Ⅰ,14; 2017课标全国Ⅲ,13; 2016课标全国Ⅲ,13 选择题 填空题 ★★★ 分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查及平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题. 分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为5分. 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 （1）能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系； （2）初步学会作差法比较两实数的大小； （3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. （一）新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< （二）新课讲授 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 （1）某路段限速40km /h ； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c . 对于（4），如图，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足 为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着， 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解：提价后销售的总收入为错误!x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 要点重温之不等式的性质与证明 1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ?a n >b n ； 当a<0,b<0时，a>b ?a 2b 2?|a|>|b|。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由 x 1<2推得的应该是：x>21或x<0，而由x 1>2推得的应该是： 0 1 专题2.1 等式性质与不等式性质 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示( ) A ．v ≤120(km/h)或d ≥10 (m) B.?? ?≥≤) (10) /(120m d h km v C ．v ≤120(km/h) D ．d ≥10(m) 【答案】B 【解析】最大限速与车距是同时的，故选B. 2．已知0N C ．M ＝N D ．M ≥N 不等式的基本性质知识点 1 .不等式的定义：a-b>0 a>b, a-b=O a=b, a-b ⑶ a>b>0 —a n>b n(n € N, n>1)。 ⑷ a>b>0= 川>w (n € N, n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“ ”和“ ”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，禾U用不等式的性质，判断不等式能否成立。 ⑵利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 ⑶利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 专题03 等式的性质与不等式的性质、基本不等式 一、知识结构思维导图 二、学法指导与考点梳理 知识点1 一元一次不等式的解法 一元一次不等式ax>b 的解的情况： （1）当a>0时，a b x > ； （2）当a<0时，a b x <； （3）当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。 知识点2 分式方程、分式不等式的解法 1、分式方程的解法 ①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法． (2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去． 说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法． 2、分式不等式的解法： 分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． 3、可化为一元二次方程的分式方程 1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程 简单分式不等式的解法 x y O x 1 x 2 x y O x 0 x y O 知识点3 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式 1、表中a ac b b x 2421---=，a ac b b x 2422-+-= 2、)0(02 ≠>++a c bx ax 恒成立???<-=?>?0 40 2 ac b a )0(02 ≠<++a c bx ax 恒成立???<-=?0时， ①a x a a x a x <<-??>2 2 ||或x>a 2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号． 对于形如|()|()f x g x ≥和|()|()f x g x ≤的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得 |()|()f x g x ≥?()()f x g x ≥或()()f x g x ≤；|()|()f x g x ≤?()()()g x f x g x -≤≤． 知识点5 基本不等式 1、基本不等式(或)均值不等式 ab b a ≥+2 2、基本不等式的变形与拓展 (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+； (2)若R b a ∈,,则22 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）． (3)若00a ,b >>,则 ab b a ≥+2 ； (4)若00a ,b >>,则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）； (5)若00a ,b >>,则2 2? ? ? ??+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”）． (6)若0x >,则12x x + ≥（当且仅当1x =时取“=”） ；若0x <,则1 2x x +≤-（当且仅当1x =-时取“=”）；若0x ≠,则12x x +≥,即12x x +≥或1 2x x +≤-（当且仅当b a =时取“=”）． 不等式的意义、性质及其应用 教学重点：不等式的性质 教学难点：不等式的实际应用 一、问题引入 某班同学去植树，原计划每位同学植树4棵，但由于某组的10名同学另有任务，未能参加植树，其余同学每位植树6棵，结果仍未能完成计划任务，若以该班同学的人数为x,此时的x应满足怎样的关系式？ 依题意得4x>6(x-10) 二、概念回顾 1.不等式：用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫不等式. 解析:(1)用≠表示不等关系的式子也叫不等式 (2)不等式中含有未知数,也可以不含有未知数; (3)注意不大于和不小于的说法 例1 用不等式表示 (1)a与1的和是正数; (2)y的2倍与1的和大于3; (3)x的一半与x的2倍的和是非正数; (4)c与4的和的30%不大于-2; (5)x除以2的商加上2,至多为5; (6)a与b两数的和的平方不可能大于3. 三.不等式的解 不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解. 解析:不等式的解可能不止一个. 例2 下列各数中,哪些是不等是x+1<3的解?哪些不是? -3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5 练习: 1.判断数:-3,-2,-1,0,1,2,3,是不是不等式2x+3<5 的解?再找出另外的小于0的解两个. 2.下列各数:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x+5<7和2x+2>0的有哪几个数? 四.不等式的解集 1.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集. 例3 下列说法中正确的是( ) A.x=3是不是不等式2x>1的解 B.x=3是不是不等式2x>1的唯一解; C.x=3不是不等式2x>1的解; D.x=3是不等式2x>1的解集 2.不等式解集的表示方法 例4 在数轴上表示下列不等式的解集 (1)x>-1;(2)x ≥-1;(3)x<-1;(4)x ≤-1 分析:按画数轴,定界点,走方向的步骤答 五、不等式的性质 不等式性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 不等式性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 不等式性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 例1 利用不等式的性质，填”>”,:<” (1)若a>b,则2a+1 2b+1; (2)若-1.25y<10,则y -8; (3)若a 不等式的性质及其应用 不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论依据，不等式性质的应用也是历年高考的重点。因此掌握不等式的性质及其应用是非常必要的，本文就不等式的性质及其应用加以探讨。 一、不等式最基本的性质 对称性：a b b a >?< 传递性：,a b b c a c >>?> 加法性： ,a b c R a c b c >∈?+>+ 乘法性： 00 a b ac bd c d >≥??>? >≥? 除法性： 110a b ab a b >??? 乘方性： 0()n n a b a b n N *>≥?>∈ 开方性： 0)a b n N *>≥>∈ 倒数法则：011ab a b a b >??? 二、不等式性质的应用 （1）比较实数的大小 因为“0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -≠且的大小 分析：对于1(1)log a a +和(1)log a a +这两个对数，由于式中含有参数a ，故我们不能直接确定它 们之间的大小关系，于是可用上面的不等式的最基本的性质，让它们作差从而比较大小。 解：∵1 111(1)(1)1log log log log 10a a a a a a a a a ++++-===-<，∴1(1)(1)log log a a a a ++< 点评：通过让两个式子作差，并经过恒等变形，从而确定了两式差的符号，即确定了两式的大小。 例2、（2006年上海卷）如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ） A. 11a b < 22a b < D.||||a b > 解：对于A ：如果0,0a b <>，那么110,0a b <>，由不等式的传递性知 11a b <，故选A 点评：在运用不等式性质时，不要忽略性质成立的条件 （2）求范围 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，求解步骤：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”。 例2、若二次函数)(x f 图像关于y 轴对称，且2)1(1≤≤f ，4)2(3≤≤f ，求)3(f 的范围。 高中数学知识要点重温（11）不等式的性质与证明 1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ?an>bn ； 当a<0,b<0时，a>b ?a2 专题05 等式与不等式的性质 知识梳理 1．等式的性质 (1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 2．恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 3．方程的解集 一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 1．一元二次方程的解集 一般地，Δ＝b 2 －4ac 称为一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式． (1)当Δ>0时，方程的解集为{2a ，2a }； (2)当Δ＝0时，方程的解集为??? ? ?? －b 2a ； (3)当Δ<0时，方程的解集为?． 2．一元二次方程根与系数的关系 若x 1，x 2是一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a ． 一、不等式的性质： （1）;a b b a （2） （3）;c b c a b a +>+?> （4）;,d b c a d c b a +>+?>> （5）;0,;0,bc ac c b a bc ac c b a >?>> （6）;0,0bd ac d c b a >?>>>> （7）;0n n b a b a >?>>、 （8）;0n n b a b a >? >> （9）;11,0,b a b a ab b a ≠且同号、 （10）.b a b a b a +≤±≤- 注：在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法： 其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。 其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用； 二、比较两式大小的常见方法：作差法、作商法 作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段； ;,c a c b b a >?>> 1.1 课时1 不等式的基本性质 一、教学目标 （一）核心素养 在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平. （二）学习目标 1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. （三）学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明. （四）学习难点 灵活应用不等式的基本性质. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 （1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空： a b >? a b =? a b >?> ②a c b c a b +>+?> ③ac bc a b >?> ④33a b a b >?> ⑤22a b a b >?> ⑥,a b c d ac bd >>?> 2.预习自测 （1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值. 【知识点】作差比较法 【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=- 【思路点拨】熟悉作差比较法 【答案】[0,1] （2）若c ∈R ，则22ac bc > a b > A.? B.? C.? D.≠ 【知识点】不等式的基本性质 【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】A. （3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出 11a b ，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法 【答案】当0ab >时， 11a b <. (二)课堂设计 1.问题探究 探究一 结合实例，认识不等式 ●活动① 归纳提炼概念 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法 关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实： 如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >?->=?-= 不等式的基本性质 1、不等式的基本性质1：如果a>b，那么 a+c____b+c， a－c____b－c． 不等式的基本性质2：如果a>b，并且c>0，那么ac_____bc． 不等式的基本性质3：如果a>b，并且c<0，那么ac_____bc． 2、设a 1、已知关于x的不等式（1－a）x>2变形为x< 2 1-a，则1－a是____数． 2、已知△ABC中三边为a、b、c，且a>b，那么其周长p应满足的不等关系是 A．3b不等式性质的两个重要应用
不等式的性质和证明
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2.1 等式性质与不等式性质
初一数学-不等式易错题、难题集合--不等式性质应用
三年高考高考数学试题分项版解析专题15不等式性质线性规划与基本不等式理
人教A版新课标高中数学必修一教案-《等式性质与不等式性质》
高中数学知识点总结不等式的性质与证明
【2021培优】专题2.1 等式性质与不等式性质(解析版)
不等式的基本性质知识点
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不等式的意义、性质及其应用
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高中数学知识要点重温(11)不等式的性质与证明知识点分析
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人教课标版高中数学选修4-5：《不等式的基本性质》教案(1)-新版
不等式的基本性质__习题精选